Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод выявления качественной роли отдельных частей конструкции, теряющей устойчивость 12
1.1 Активная и пассивная роль отдельных частей конструкции, теряющей устойчивость 12
1.2. Интегральный критерий оценки роли отдельных сжатых стержней при потере устойчивости системы 13
1.3. Дифференциальный критерий определения характера участия каждого элементарного участка длины стержня в потере устойчивости системы 16
1.4. Использование интегрального критерия для рам с центрально сжатыми стойками 20
1.5. Использование интегрального критерия при продольно-поперечном изгибе рам 22
1.6. Примеры применения критериев для сложных многоэлементных систем 1.6.1 Графическое представление результатов критериального анализа в разработанном программном комплексе 26
1.6.2 Пример анализа модельного стержневого каркаса с использованием энергетических критериев 26
1.7 Влияние геометрической нелинейности на результаты критериального анализа 32
ГЛАВА 2. Некоторые вопросы создания программного комплекса, содержащего процессор критериального анализа сложных многоэлементных систем 35
2.1. Структура и краткое описание разработанного программного комплекса 36
2.2. Матрица жесткости элемента естественно закрученного стержня 43
2.3. Расчет с учетом геометрической нелинейности в больших перемещениях
2.3.1. Организация итерационного процесса с усилением сходимости для учета геометрической нелинейности 53
2.3.2. Конечный элемент растянуто- или сжато-изогнутого пространственного стержня 55
2.3.3. Вычисление реакций в деформированном состоянии для растянуто-или сжато-изогнутого стержня с учетом деформаций сдвигов и построение касательной матрицы жесткости 57
2.3.4. Формирование грузового вектора для растянуто- или сжато-изогнутого стержня 60
2.3.5. Особенности алгоритма расчета пространственных систем с учетом геометрической нелинейности в больших перемещениях з
2.4. Алгоритм расчета стержневой системы на устойчивость по недеформированной схеме 68
2.4.1. Определение критического параметра для всей нагрузки 68
2.4.2. Определение критического параметра для временной нагрузки при неизменной постоянной нагрузке
2.5. Алгоритм расчета стержневой системы на устойчивость по деформированной схеме 70
2.6. Особенности практического использования интегрального и дифференциального критериев в программных комплексах для расчета сооружений 71
ГЛАВА 3. Примеры компьютерного критериального анализа конструкций 79
3.1. Пример расчета стержневого каркаса здания в г. Москве на Ленинском проспекте 79
3.1.1. Расчет на постоянные нагрузки 81
3.1.2. Расчет на постоянные нагрузки и ветер 84
3.2. Пример расчета купола, образованного из стержневых элементов : 84
3.2.1. Линейный расчет на устойчивость и оценка роли отдельных сжатых элементов 85
3.2.2. Исследование влияния изменения формы конструкции на распределение значений энергетического критерия 88
3.2.3. Геометрически нелинейный расчет купола в больших перемещениях 91
3.2.4. Расчет купола на устойчивость по деформированной схеме 92
ГЛАВА 4. Анализ поведения упруго-пластических систем с учетом действительных диаграмм деформирования материала 97
4.1. Расчет стержневых систем с учетом реальных диаграмм деформирования 97
4.2. Организация итерационного процесса по методу дополнительных нагрузок 101
4.3. Экстраполяция по формуле геометрической прогрессии 102
4.4. Вычисление дополнительных реакций для стержня 103
4.5. Построение итерационного процесса для одновременного учета геометрической и физической нелинейности 107
4.6. Упруго-пластическое деформирование и устойчивость шарнирно-опертого стержня 110
4.7. Приближенное аналитическое решение 114
4.8. Приближенное численное решение по упрощенной модели 120
4.9. Решение по методу конечных элементов с учетом
геометрической и физической нелинейностей 126 4.9.1. Метод дополнительных связей для построения равновесных кривых устойчивости систем в упруго-пластической стадии 127
4.9.2. Решение по методу конечных элементов 1 4.10. Пример исследования устойчивости одиночного стержня с учетом реальной диаграммы деформирования 135
4.11. Пример исследования упруго-пластического деформирования и устойчивости плоской рамы
4.11.1 Результаты расчета рамы при =350 см 143
4.11.2 Результаты расчета рамы при =440 см 145
4.11.3 Результаты расчета рамы при .=544 см 148
Заключение 151
Список использованной литературы 153
- Дифференциальный критерий определения характера участия каждого элементарного участка длины стержня в потере устойчивости системы
- Матрица жесткости элемента естественно закрученного стержня
- Пример расчета купола, образованного из стержневых элементов :
- Построение итерационного процесса для одновременного учета геометрической и физической нелинейности
Введение к работе
з
Актуальность проблемы. События последних лет показали актуальность вопросов связанных с поиском путей повышения безопасности зданий и сооружений. Особое место в данной области занимают вопросы исследования общей и местной устойчивости равновесия конструкций, т.к. обычно процесс потери устойчивости развивается почти мгновенно и не оставляет времени на эвакуацию людей и принятие мер по предотвращению разрушения.
Часто «виновником» является один элемент или небольшая их группа, как это наблюдалось, при обрушении Квебекского моста, Истринского купола и др. В связи с этим еще более полувека назад в работах Н.В. Карнаухова и А.Ф. Смирнова в строительную механику были введены понятия о состояниях стесненной и принужденной потери устойчивости отдельных частей конструкции, испытывающей общую потерю устойчивости. Однако длительное время они имели чисто качественное значение, и не были указаны количественные признаки, на основании которых для любого стержня можно было бы указать, какой вид бифуркации он испытывает в момент потери устойчивости стесненный или принужденный. Лишь совсем недавно практически одновременно и независимо друг от друга в работах Александрова А.В. (Александров А.В. Роль отдельных элементов стержневой системы при потере устойчивости. Вестник МИИТа. Научно-технический журнал. Выпуск 5. - М.: 2001, с. 46.), а также работах Перельмутера А.В. и Сливкера В.И. (Перельмутер А.В., Сливкер В.И., Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев, ВПП «Компас», 2001, 364-369 с.) был указан критерий определения вида бифуркации стержня (стесненной или принужденной) или какой-либо части конструкции. В диссертации дается развитие указанного критерия, строится методика и соответствующее программное обеспечение для анализа стержневых систем, теряющих устойчивость с выявлением наиболее активных и тем самым опасных элементов. Насколько известно автору, Сливкером В.И. и Перельмутером А.В. параллельно ведется работа в том же направлении, и результаты внедряются в программный комплекс SCAD. Такое совпадение усилий в указанном направлении свидетельствует о важности и актуальности рассматриваемой проблемы.
Как известно, потеря устойчивости элементов конструкций часто происходит в упруго-пластической стадии деформирования. Поэтому весьма актуальными являются вопросы разработки методики численного
моделирования поведения систем в состояниях, близких к критическим и закритических, с учетом геометрической нелинейности и реальных диаграмм деформирования.
Цели и задачи работы.
1. Разработка теории, алгоритмов и программного постпроцессора для
анализа роли отдельных сжатых элементов или их групп в процессе потери
устойчивости стержневых конструкций на основе критериев выявления
наиболее опасных элементов системы.
-
Поскольку описанная выше задача предполагает использование вычислительной техники, то одной из целей диссертационной работы является разработка программного комплекса для расчета произвольных пространственных стержневых систем и включение в него упомянутого постпроцессора.
-
Разработка и внедрение в программный комплекс методики численного моделирования поведения стержневых систем с учетом геометрической и физической нелинейности в состояниях, близких к критическим и закритических. Разработка приемов преодоления расходимости и ускорения итерационного процесса. Тестирование комплекса на ряде задач.
-
Разработка физико-математической модели и алгоритма решения задачи построения равновесных кривых сжатых стержней при монотонном возрастании нагрузки, имеющих малое начальное искривление, произвольную форму сечения, и работающих в упруго-пластической стадии, при произвольной диаграмме деформирования. Сравнение аналитического решения задачи по упрощенной модели и точного решения по методу конечных элементов в целях тестирования комплекса.
5. Распространение разработанного алгоритма для расчета напряженно-
деформированного состояния и оценки несущей способности по
устойчивости в упруго-пластической стадии произвольных стержневых
систем. Демонстрация на ряде примеров.
Научная новизна работы.
Традиционная методика оценки общей устойчивости стержневых систем развита в части энергетического анализа системы, теряющей устойчивость с помощью критериев выявления наиболее опасных элементов конструкций. К ранее известному (интегральному) критерию активности элемента предложена его модификация - дифференциальный критерий. Наличие двух критериев расширяет возможности совершенствования конструкций в целях
5 повышения устойчивости (от перераспределения материала до изменения схемы конструкции).
Разработана методика и комплекс программ с учетом геометрической нелинейности и одновременно физической нелинейности по методу дополнительных нагрузок с учетом реальных диаграмм деформирования, позволяющий моделировать поведение стержневых систем в докритических, близких к критическим и закритических состояниях. Применительно к методу дополнительных нагрузок для учета физической нелинейности разработан ряд приемов усиления и ускорения сходимости процессов последовательных приближений. Показана их эффективность.
Разработанные алгоритмы и программы позволили провести численный эксперимент задачи о взаимном положении равновесных кривых Кармана, Шенли, и кривых для сжатых стержней при наличии малой погиби, который позволяет констатировать, что во всех рассмотренных случаях кривая Шенли являлась предельной кривой, к которой стремились снизу кривые равновесия для стержней с погибью, что согласуется с имеющимися в литературе предположениями на этот счет. Это представляет некоторый теоретический интерес и может быть полезным в практике проведения экспериментов со сжатыми стержнями.
Практическая ценность. В диссертации разработана в определенном смысле новая методика расчета на устойчивость на основе критериев выявления наиболее опасных элементов конструкций. Проведенная работа, как нам представляется, будет способствовать созданию более совершенных компьютерных программ и методов расчета сложных стержневых систем на устойчивость, а также позволит усовершенствовать существующие приближенные методики СНиП и внедрить их в компьютерные программы для расчета конструкций.
Создан универсальный программный комплекс MAV. Structure приспособленный для автоматизированного и интерактивного решения различных проектных и расчетных задач. Комплекс позволяет производить расчеты произвольных пространственных стержневых и ните-стержневых систем методом конечных элементов с одновременным учетом геометрической нелинейности (при малых и больших перемещениях) и физической нелинейности (при использовании произвольных диаграмм деформирования и форм сечений из тонкостенных элементов), а также реализует разработанную в диссертационной работе методику поиска наиболее опасных элементов. Разработка комплекса ведется автором с
2000 г. и на сегодняшний день комплекс обладает достаточными возможностями для его практического применения. MAV. Structure используется в ряде организаций и в учебном процессе Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ). Программа представлена в сети Интернет по адресу . При создании комплекса был использован опыт и некоторые методики, разработанные к.т.н., доц. Гершуни И.Ш. при создании им программ "GER" и "GERpro". При реализации метода итераций подпространства для решения обобщенной проблемы собственных значений была использована и усовершенствована автором программа к.т.н., доц. Осокина В.М.
По заказу ЗАО «ЦНИИИЭП им. Мезенцева Б.С.» с использованием разработанных алгоритмов и программ были проведены расчеты ряда сооружений, планируемых к постройке в г. Москве, что позволило усовершенствовать конструкции проектируемых объектов в отношении их устойчивости. По заказу ООО «Научно-техническое предприятие «Трубопровод» с помощью ПК произведены теоретические исследования и разработана методика расчета труб с учетом геометрической нелинейности, которая внедрена в известный программный комплекс «СТАРТ».
Разработанные в диссертационной работе методики и алгоритмы расчетов весьма эффективны и могут быть применены при проектировании каркасов зданий и сооружений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-практических конференциях МИИТа «Неделя науки» по секции «Строительная механика» (Москва, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 г.); на III и VI научно-практических конференциях «Безопасность движения поездов» в МИИТе (Москва, 2002, 2003 г.); на научно-методической и научно-исследовательской конференции МАДИ (ГТУ) (Москва, 2003 г); на научном семинаре кафедры «Строительная механика» МИИТа (2004 г.)
Публикации. По материалам диссертации опубликованы одиннадцать работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и 2-х приложений. Материал изложен на 183 страницах, содержит 124 рисунка, 19 таблиц и библиографический список из 86 наименований.
Дифференциальный критерий определения характера участия каждого элементарного участка длины стержня в потере устойчивости системы
Так как Uj 0, то сумма работ (1.5) также всегда 0. Но знаки слагаемых Aj(Nj) и Aj(Mj,Qi) могут быть либо одинаковы, либо различны. Для сжимающей силы Nj ее работа Aj(Nj) 0 и это значит, что она способствует бифуркации стержня, т.е. его активной потере устойчивости. Работа концевых реакций A;(Mj,Qj) при данной схеме нагружения рамы может быть 0, 0 и равна нулю.
В первом случае это означает, что работы одной продольной силы N; недостаточно для компенсирования приращения потенциальной энергии деформации стержня U; и окружение стержня (в виде опорных реакций) помогает его потере устойчивости. Это случай "пассивной" или "принужденной" потери устойчивости.
Случай, когда AJ(MJ,QJ) 0, напротив, говорит о том, что окружение стержня сопротивляется его бифуркации и, следовательно, сам стержень испытывает "активный" тип потери устойчивости, вовлекая в общую бифуркацию всю систему. Поскольку окружение стесняет потерю устойчивости рассматриваемого стержня при Aj(Mj,Qj) 0, этот тип его бифуркации называют также "стесненной" потерей устойчивости. В принципе возможен случай Aj(Mj,Qj) = 0, что, очевидно, соответствует равноустойчивости і - го стержня и всей рамы. Итак, можно заключить, что работа (1.6) может служить искомым критерием. При этом неравенство Ai(Mi,Qi) 0 (1.7) является признаком "активной" потери устойчивости данного стержня при данной схеме нагружения рамы, а неравенство Ai(Mi,Qi) 0 (1.8) служит признаком "пассивной" бифуркации этого стержня. Равенство Ai(Mi,Qi) = 0 (1.9) является признаком равноустойчивости стержня и рамы. Сами числовые значения (1.6) работы А; (М;, Qf), представляющие энергетические вклады окружения в бифуркацию каждого і - го стержня, дают количественную меру активности либо пассивности рассматриваемого стержня (или некоторой выделенной части системы).
Вычисление работы (1.6) делается либо с помощью специальных функций метода перемещений [65] для реакций сжато-изогнутых стержней, либо, при использовании МКЭ, непосредственно по реакциям и узловым перемещениям Zj , получаемым в процессе определения критического параметра нагрузки и формы потери устойчивости рамы.
Дифференциальный критерий определения характера участия каждого элементарного участка длины стержня в потере устойчивости системы
Предложим еще один критерий [3, 6, 39], который можно назвать дифференциальным по отношению к критерию (1.6) [4]. Предположим, что составлено выражение (1.6) в виде функции A;(z). Производная от него представляет собой интенсивность или плотность «работы бифуркации», отнесенной к бесконечно малому элементу dz стержня в произвольной точке z по его длине. Так же как и критерий (1.6) функция интенсивности работы бифуркации (1.10) по знаку и по величине характеризует качество участия в процессе деформирования при потере устойчивости каждого элемента рассматриваемого стержня. Приведем простейший пример (рис. 1.4) - потеря устойчивости шарнирно-опертого стержня с жесткостью EI=const. В этом случае (рис. 1.4,а) V и для участка стержня длиной z (рис. 1.4,6) имеем в данном случае равен нулю, поскольку стержень упруго не взаимодействует с какой-либо другой частью конструкции. На 1.4,г изображена та же кривая, но если бы она была получена путем деления длины на 10 конечных элементов А, для каждого элемента был подсчитан свой критерий (1.6), отложенный на рисунке в виде ступеньки с ординатой
На кривых (рис. 1.4,в,г) отрицательные участки соответствуют частям стержня, где меньше накапливается энергия упругой деформации и наиболее проявляется их «толкающий» эффект (участки активной бифуркации), а положительные - наоборот, за счет накопления энергии деформации активно сопротивляются потере устойчивости (пассивная бифуркация). Использование предлагаемого критерия интенсивности работы бифуркации, как видим, позволяет более детально проанализировать целесообразность распределения материала в системе с точки зрения ее усиления при оценке устойчивости системы. Это особенно важно для сложных нестержневых систем (пластинчато-стержневых, оболочечных и т.п.) где предложенные критерии в сочетании с соответствующим программным обеспечением могут открыть новые пути создания рациональных (оптимальных) по устойчивости систем.
Участки стержня, имеющие положительную интенсивность работы, деформируются и удерживают элемент от потери устойчивости, а участки с отрицательной интенсивностью работы практически не деформируются, а смещаются как абсолютно жесткое тело, подталкивая систему к потере устойчивости.
Теоретически, целесообразно усиливать только участки с положительной интенсивностью работы бифуркации, тем самым, повышая степень их сопротивления деформациям. Усиление же участков с отрицательной интенсивностью не имеет смысла, так как это не приведет к существенному повышению критической нагрузки для стержня (системы). Таким образом, можно предложить стратегию усиления конструкций из условий устойчивости - ориентируясь на диаграмму дифференциального критерия, следует повышать жесткость лишь участков с положительной интенсивностью, не изменяя или даже понижая жесткость участков с отрицательной интенсивностью работы бифуркации.
Существует и другое стратегическое направление усиления системы для повышения ее устойчивости. Оно, как правило, требует внесения изменений в структурную схему объекта. Их следует вносить так, чтобы снизить роль участков системы, в пределах которых эпюра дифференциального критерия имеет отрицательные ординаты. Делать это нужно не за счет перераспределения материала стержней в существующей схеме, а путем введения новых связей, которые стеснят или совсем устранят линейные и угловые перемещения частей расчетной схемы с отрицательными ординатами эпюры дифференциального критерия. Тем самым будет снижен или устранен «толкающий» эффект этих фрагментов, снижающий критическую нагрузку. Для примера рассмотрим потерю устойчивости двухшарнирной арки (рис. 1.5, а). Такая система теряет устойчивость при первой Эйлеровой нагрузке по кососимметричной форме. По аналогии с 1.4 кривая распределения дифференциального критерия будет иметь вид, изображенный на рис. 1.5, б. Следуя первому направлению усиления системы (без изменения схемы), следует перераспределить материал примерно так, как показано на рис. 1.5, в. В пределе будем стремиться к трехшарнирной арке с полуарками переменного сечения. При этом Ч\„р будет превышать q0nP Первая форма потери устойчивости при этом остается кососимметричной.
Матрица жесткости элемента естественно закрученного стержня
Алгоритм такой - сначала делается нелинейный статический расчет с учетом геометрической нелинейности на заданную докритическую нагрузку, и после этого включается процедура расчета на устойчивость для полученного напряженно-деформированного состояния конструкции.
Расчет производится аналогично обычному линейному расчету на устойчивость, только вместо обычной матрицы жесткости системы R используется касательная матрица жесткости, полученная на последней итерации нелинейного статического расчета RKac. Матрица геометрической жесткости GKac формируется для новой геометрии системы с учетом текущих значений нормальных сил и с учетом текущих длин элементов: (Кас-Жкас)2 = 0 (2.45)
Если нагрузка на систему равна критической, то определитель матрицы RKac равен нулю, следовательно, значения X также равны нулю. Для того чтобы получить ориентировочное значение предельной нагрузки на конструкцию, нужно умножить всю нагрузку, для которой производился нелинейный статический расчет, на коэффициент (1+ А,). Опыт показывает, что такая ориентировочная оценка дает завышенные результаты при малых по сравнению с критической нагрузками и снижается при приближении нагрузок к фактическому критическому значению. Пример расчета купола, представляющего собой стержневой каркас на устойчивость по деформированной схеме дан в главе 3, п. 3.2.4.
Особенности практического использования интегрального и дифференциального критериев в программных комплексах для расчета сооружений
При решении задач устойчивости в качестве линии прогибов стержневых элементов принимается кубическая парабола (см. параграф 2.7.1), поэтому для достижения необходимой точности каждый стержень делится на несколько конечных элементов. Отсюда возникает некоторая особенность при использовании результатов такого расчета. Следует различать стержневые конечные элементы, моделирующие отдельные участки стержней, и целые стержни, состоящие из нескольких участков. Вычисление гибкости, выполнение проверки устойчивости стержней согласно нормативным документам и вычисление значений интегрального энергетического критерия имеет смысл только для «конструктивных» элементов, то есть для целых стержней. Конструктивный стержневой элемент - это цепочка из нескольких стержневых конечных элементов, лежащих на одной прямой с одинаковыми параметрами поперечного сечения, одинаковыми углами ориентации локальных осей и с концевыми объединениями по всем возможным степеням свободы.
Рассмотрим особенность вычисления интегрального энергетического критерия для конструктивного элемента, составленного из нескольких конечных элементов. Рассмотрим стержень, состоящий из четырех участков (рис. 2.10). Работа концевых реакций для каждого конечного элемента состоит из трех слагаемых: 1. работы концевых моментов A,(Mj), 2. концевых поперечных сил Aj(Qj) 3. концевых поперечных реакций, вызванных продольной силой в элементе Aj(Nj).
Таким образом, сумма работ участков равна работе концевых реакций самого конструктивного элемента. Это свойство может быть использовано в программах анализа конструкций для упрощения и повышения точности вычисления значений энергетического критерия для составных конструктивных элементов.
Для инженера может представлять интерес как распределение значений интегрального критерия для конструктивных элементов, так и функции интенсивности работы бифуркации (дифференциального критерия). Для того чтобы получить достаточно гладкую диаграмму интенсивности работы бифуркации можно просто произвести разбивку всех элементов на большое число участков (рис. 1.4, г), но это приведет к неоправданному увеличению размерности задачи.
Для построения функций интенсивности работы бифуркации можно не производить разбивку элементов, а получить их в аналитическом виде. Для примера построим численным методом график интенсивности работы бифуркации для стойки рамы № 1 из примера рассмотренного ранее, для случая центрального сжатия (рис. 1.7, а). Вычисления выполняются при помощи Mathcad 2001. Будем считать, что продольная ось стержня х направлена слева направо, положительные углы поворота и реактивные моменты направлены против часовой стрелки, и ось положительных прогибов направлена вверх (рис. 2.12). p - абсолютное значение сжимающей силы в стержне, вычислено для примера расчета рамы (рис. 1.7, а); 1 - длина стержня; EI - изгибная жесткость стержня; d - параметр деформативности стержня; А, В -вспомогательные величины; v(x) — функция прогибов для сжато-изогнутого стержня при известных моментах в начале (Мп) и в конце (Мк) стержня, которые вычислены для примера расчета рамы (рис. 1.7, а); А1(х) - функция углов поворота точек стержня; RM(x) - функция реактивных моментов в правом сечения стержня при рассмотрении участка от 0 до х; RQ(x) -функция поперечных реакций в правом сечении стержня; RN(x) - функция поперечных реакций в правом сечении стержня, вызванных действием продольной силы
Графики функций v(x), А1(х), RM(x), RQ(x), RN(x) представлены на рис. 2.13. Графики функций работы реакций на соответствующих перемещениях в правом сечении стержня при рассмотрении участка от 0 до х представлены на рис. 2.14. перемещениях Интенсивность работы концевых реакций равна первой производной от функций, изображенных на рис. 2.14. Графики интенсивностей реакций представлены на рис.2.15.
Графики интенсивности работы Участки стержня, имеющие положительную интенсивность работы бифуркации, удерживают элемент от потери устойчивости. Участки с отрицательной интенсивностью смещаются как абсолютно жесткое тело, практически не деформируясь, и за счет наличия в них сжимающих сил, «подталкивают» систему к потере устойчивости (рис.2.16, а). Работу такого стержня можно представить себе в виде идеальной модели, состоящей из двух абсолютно жестких сжатых стержней, соединенных тремя пружинами (рис.2.16, б). Пружины (участки с положительной интенсивностью) удерживают систему в равновесии, а сжатые жесткие стержни (участки с отрицательной интенсивностью) пытаются вывести ее из равновесия. Усиление участков с отрицательной интенсивностью не имеет смысла, поскольку это не приведет к существенному повышению критической нагрузки. Для усиления такого стержня можно предложить два варианта: либо усилить только участки с положительной интенсивностью, либо ввести дополнительные промежуточные связи, то есть повысить сопротивление толкающему эффекту участков с отрицательной интенсивностью.
Исходя из сказанного, можно сделать предложение для усиления конструкций из условий устойчивости - ориентируясь на диаграмму интенсивности работы бифуркации, следует повышать жесткость лишь участков с положительной интенсивностью, не изменяя или даже понижая жесткость участков с отрицательной интенсивностью.
Пример расчета купола, образованного из стержневых элементов :
На каждом шаге по нагрузке вычисляется вектор дополнительных реакций в элементах системы Rdon , который затем прикладывается к узлам в качестве нагрузки. После выполнения каждого шага по нагрузке в памяти сохраняются значения достигнутых пластических деформаций 8pa3rp(v,w) (деформаций начала разгрузки) во всех точках сечений элементов.
Поскольку зависимость напряжений и деформаций материала нелинейная, организован итерационный процесс последовательных приближений для определения вектора Rdon. В процессе итерирования умышленно оставляются неизменными значения деформации начала разгрузки Epa3rp(v,w) от предыдущего шага нагружения, материал как бы временно наделяется нелинейно-упругими свойствами. Алгоритм метода упругих решений строится следующим образом (рис. 4.6): 1. Заполняется матрица жесткости системы. 2. Производится факторизация матрицы жесткости 3. Определяются реакции во всех узлах системы. 4. Определяются дополнительные реакции для физически нелинейных конечных элементов. 5. Вычисляется вектор невязок равновесия узлов, который получается в результате суммирования проекций концевых реакций элементов, внешних нагрузок и дополнительных реакций Rdon во всех узлах \\f = R-P-Rdon. 6. Решается линейная система уравнений (прямой и обратный ход по Гауссу), и определяются приращения перемещений на і-й итерации. AZ = -K- .M/ 7. Вектор приращений перемещений суммируется с вектором полных перемещений узлов системы Z = Z+.Z Затем продолжается цикл итераций с п. 4. Итерирование производится по модифицированному методу Ньютона-Рафсона с неизменной матрицей жесткости. На каждой итерации уточняется вектор R оп. Процесс прекращается, когда максимальная разность 102 дополнительных реакций на двух соседних итерациях становится меньше заданного пользователем значения (4.11).
Скорость сходимости итераций по методу упругих решений в форме метода дополнительных нагрузок существенно зависит от вида функции (4.10). Если материал обладает малым упрочнением, т.е. кривая ст s сильно отклоняется от прямой а = Ег , то требуется значительное число итераций (последовательных приближений) чтобы получить вектор Йдоп с заданной точностью.
В связи с этим была разработана методика ускорения сходимости описанного выше итерационного процесса. Через каждые п итераций производится экстраполяция вектора дополнительных реакций по формуле геометрической прогрессии. Параметр п задается пользователем.
Предположим, что в процессе последовательных приближений неизвестная z стремится к точному значению zT04H "по закону геометрической прогрессии". Это надо понимать так, что отношение между двумя соседними приращениями z остается постоянным (4.12).
Предлагаемая формула (4.14) "итераций с экстраполяцией" позволяет существенно сократить число простых итераций. Несколько простых итераций (две-три) необходимы только для определения среднего значения а, после чего применяется формула (4.14). Несколько "итераций с экстраполяцией" позволяют быстро получить практически точный результат при весьма ограниченном числе простых итераций. Например, для некоторых задач такой прием позволил сократить число простых итераций с 2500 до 70 (см. Приложение 1, п.1.3.).
Рассмотрим алгоритм получения дополнительных концевых реакций для стержневого конечного элемента, т.е. реакций от дополнительных усилий На очередном шаге итерирования для каждого элемента известны перемещения и углы поворота его концов Z. Зная их, можно получить деформации стержня А (2.23). Далее строится упругая линия прогибов в каждой плоскости UV и UW. По длине стержня условно выделяются п сечений (рис. 4.2), в каждом сечении вычисляются кривизны
Считая справедливой гипотезу плоских сечений, используем выражение для деформаций в произвольной точке сечения 4.3, где v и w 104 координаты, отсчитываемые от центра тяжести вдоль главных осей инерции (рис. 4.3).
Зависимость между напряжениями и деформациями (рис. 4.4) в любой точке сечения имеет вид (4.10). Дополнительные напряжения равны разности упругих и реальных напряжений, взятых с диаграммы деформирования (4.15). Проинтегрировав дополнительные напряжения по площади сечения, получаем дополнительные усилия (4.18). Если соединить ординаты дополнительных усилий для различных сечений, можно построить их эпюры по длине стержня, они условно показаны на рис. 4.2.
В принципе, описанная выше методика позволяет работать с сечениями произвольной формы, но в целях экономии памяти и машинного времени в программе реализована возможность задания сечений, составленных только из прямых тонкостенных элементов. Такое решение было принято, поскольку именно тонкостенные сечения наиболее часто встречаются в строительных конструкциях из металла.
Построение итерационного процесса для одновременного учета геометрической и физической нелинейности
Опыт решения описанных выше задач позволил выбрать наиболее оптимальный метод реализации их решения по МКЭ, а именно метод упругих решений в форме метода дополнительных нагрузок. Также при создании алгоритмов ее решения в программном комплексе были использованы разработанные методы усиления сходимости итераций (экстраполяция и смена параметра интегрирования по равновесной кривой с Р на f), что существенно уменьшило количество необходимых итераций и, соответственно увеличило скорость работы комплекса.
Кроме того, сравнение результатов решения по МКЭ с аналитическим и численным решением по упрощенной модели позволил выявить и устранить неминуемые ошибки программирования, которые были обнаружены в алгоритмах расчета по МКЭ. Такое сравнение позволило убедиться в правильности работы программного комплекса при расчетах физически и геометрически нелинейных систем и в достоверности получаемых результатов.
Метод дополнительных связей для построения равновесных кривых устойчивости систем в упруго-пластической стадии
При решении задач о построении равновесных кривых устойчивости стержней и стержневых систем в упруго-пластической стадии с учетом как физической, так и геометрической нелинейности по методу конечных элементов, без использования каких-либо приемов усиления сходимости итерационный процесс начинает расходиться по мере приближения нагрузки Р к критическому значению (таблица 4.1).
Для обеспечения сходимости процесса ставится дополнительная связь (рис. 4.22), которой задается фиксированное перемещение f. Далее в процессе последовательных приближений определяется соответствующее значение внешней нагрузки Р, при которой реакция г в дополнительной связи равна 0. С математической точки зрения такая механическая модель соответствует смене аргумента интегрирования - задается прогиб f и определяется соответствующая сжимающая сила Р.
На встроенном в комплекс MAV.Structure языке программирования был составлен итерационный алгоритм по методу Ньютона для поиска силы Р (рис. 4.23). Итерации продолжаются до тех пор, пока реакция в дополнительной связи не станет меньше некоторого заранее заданного значения smax Кроме того, для устойчивой сходимости процесса последовательных приближений необходимо в качестве начального приближения задавать нагрузку Р, достаточно близкую к искомой. Поэтому каждый раз производится экстраполяция значения Р на следующий шаг по прогибу f с использованием трех предыдущих значений по закону квадратной параболы (Рис. 4.24).
В таблице 4.1 показано количество производимых итераций для системы с постановкой опоры и без. Как видно без опоры получить решение задачи не представляется возможным. Использование приема с постановкой дополнительной опоры позволяет строить не только докритические, но и закритические (падающие) ветви равновесных кривых. Заметим, что в более сложных системах может оказаться недостаточной постановка одной связи для устранения расходимости процесса итераций. Тогда можно вводить две и более дополнительных связей. Но для обеспечения условия равенства нулю реакций в этих связях необходимо будет решать на каждом шаге итераций соответствующую систему уравнений.
Рассматривается более сложная модель, чем в двух предыдущих случаях. Стержень разбит на 20 упруго-пластических конечных элементов, в среднем сечении установлена дополнительная связь (рис. 4.25). Расчет ведется с одновременным учетом геометрической и физической нелинейностей по разработанной автором программе MAV. Structure. Диаграмма принята в виде (4.27), сечение в виде идеального двутавра (рис. 4.11). Приняты следующие параметры системы:
Результаты расчетов представлены на рис. 4.26-4.28. Для сопоставления на тех же графиках изображены кривые P f полученные из приближенного аналитического решения. Сжимающая сила вычисляется как Р = аг-аЛ = 2400а/\. На рис. 4.26, 1 показаны равновесные кривые для симметричного сечения при Р=1 и с начальным прогибом f0=0.01. (а) - приближенное аналитическое решение, (б) - точное численное решение по МКЭ. Касательно-модульная сила (по Шенли) равна: Задача построения равновесных кривых решена для шарнирно-опертого стержня длиной 530.33 см, сжатого продольной силой с относительным эксцентриситетом mef=l и mef=0.1 (рис. 4.32). Рассмотрено два типа сечений - тонкостенный квадрат (рис. 4.24, а) и кольцо (рис. 4.24, б). Используется экспериментальная зависимость напряжений и деформаций, полученная А.С. Вольмиром [25] для стали СтЗ класса С235. На рис. 4.33 показан график этой зависимости, построенный по данным [25]. Предел пропорциональности равен 2000 кг/см , предел текучести 2400 кг/см . Параметры сечений подобраны таким образом, что гибкости стержней обоих типов сечений одинаковые и равны А, = 86.6, X = 3 .
