Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. Модель Тимошенко и ее приложение к динамическим расчетам пластин. 11
1.1. Общие принципы построения уточненных теорий в динамике стержней, пластин и оболочек 11
1.2. Уточнение классической теории поперечных колебаний призматических стержней 13
1.3. Приложение модели Тимошенко в теории колебаний пластин 15
Глава 2. ' Вывод основных зависимостей для пластины (модель Тимошенко) в
произвольных криволинейных ортогональных координатах па плоскости 18
2.1. Криволинейные ортогональные координаты на плоскости 18
2.2. Перемещения и деформации элемента пластины 24
2.3. Напряжения и усилия в элементе пластины 33
2.4. Соотношения, связывающие напряжения и усилия с деформациями пластины 37
2.5. Вывод уравнений колебаний пластины 41
2.5.1. Динамическое равновесие элемента, выделенного из пластины ; 41
2.5.2. Уравнения, записанные в безразмерных величинах относительно усилий 46
2.5.3. Уравнения, записанные в безразмерных величинах относительно перемещений 48
2.5.4. Вывод разрешающих уравнений колебаний пластины 50
2.6. Определение собственных частот и форм '. 51
2.7. Решение задачи о вынужденных колебаниях 53
2.7.1. Выбор метода решения нестационарной динамической задачи 53
2.7.2. Условия ортогональности собственных форм 54
2.7.3. Представление решений задач о вынужденных колебаниях в рядах по собственным формам 58
Глава 3. Решение задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины Тимошенко постоянной толщины 61
3.1. Основные зависимости для кольцевой пластины постоянной толщины в полярных координатах 62
3.2. Решение задачи о собственных колебаниях 63
3.3. Сравнение полученных решений с результатами решения динамической задачи теории упругости для полого цилиндра 69
3.4. Решение задачи о вынужденных колебаниях при импульсном воздействии 73
Глава 4. Определение области достоверного применения модели Тимошенко в динамике прямоугольной пластины постоянной толщины 77
4.1. Определение собственных частот прямоугольной пластины Тимошенко постоянной толщины 77
4.2. Решение динамической задачи теории упругости для прямоугольного параллелепипеда 79
4.3. Сравнение полученных результатов 81
Глава 5. Решение задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины • Тимошенко переменной толщины 84
5.1. Выбор метода решения 84
5.2. Решение в рядах по собственным формам 85
5.2.1. Определение собственных частот и форм 85
5.2.2. Сравнение полученных решений с известными результатами эксперимента.. 88
5.2.3. Решение задачи о вынужденных колебаниях 90
5.3. Решение с применением вычислительных средств компьютерной системы Mathematica 90
5.4. Сравнение результатов вычислений двумя методами для случая импульсного воздействия 94
Заключение 96
Список литературы 98
Приложение 113
Введение к работе
Актуальность работы. Использование элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами постоянной и переменной толщины (плавающие крыши резервуаров, перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), в условиях интенсивных воздействий (сейсмических, аэродинамических и технологических нагрузок), неразрывно связано с совершенствованием методик их динамического расчета. Предъявляемые практикой требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных решений приводят к необходимости проведения таких расчетов на основе более точных расчетных моделей.
Повышение достоверности динамических расчетов в части увеличения области допустимых толщин и определения спектра высших частот и форм колебаний элементов сооружений, моделируемых при проектировании пластинами, возможно при переходе в теории колебаний пластин к более совершенным кинематическим моделям (модель Тимошенко вместо классической модели, основанной на гипотезах Кирхгофа) или при отказе от кинематических гипотез и переходе к расчетам на основе теории упругости. Это подтверждается известным сравнением [20] с экспериментальными данными результатов, полученных для цилиндрических тел описанными выше способами: теория упругости, модель Тимошенко, классическая модель. В [20] показано, что модель Тимошенко дает хорошее совпадение вычисленных низших частот с результатами теории упругости и с экспериментом для пластин со значением приведенной толщины e = hlR \.5 (h - абсолютная толщина пластины, R - внешний радиус), в то время как классическая модель применима только при определении низших частот при є 0.2.
Применение аналитических методов решения (метод разложения в ряды по собственным формам) динамических задач теории упругости и теории пластин (с учетом уточненной кинематической гипотезы Тимошенко) позволяет не только формулировать известные зависимости в более корректной форме, что необходимо для постановки задачи в наиболее общем виде, но также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования для частных случаев (конкретных типов пластин на действие определенных типов нагрузок), что позволяет строить новые доступные для инженера расчетные программы.
При анализе полученных по таким программам результатов для элементов сооружений в форме тел вращения, моделируемых круглыми и кольцевыми пластинами постоянной и переменной толщины, появляется возможность выделить из общего спектра колебаний, который получается при решении аналогичной задачи методом конечных элементов с реализацией в современных вычислительных комплексах (ANSYS), собственных частот, зависящих от числа узловых диаметров.
Таким образом, применение аналитических методов также дает возможность нахождения новых закономерностей при анализе получаемых результатов, что повышает теоретический уровень инженерных расчетов.
Цель работы: разработка эффективных алгоритмов и программ динамического расчета пластин различных очертаний в плане постоянной и
переменной толщины для различных типов закрепления на границах и внешних нагрузок, основанных на использовании уточненной постановки теории колебаний пластин (модель Тимошенко).
Достижение поставленной цели предусматривает выполнение следующих задач исследования:
- получение основных зависимостей для пластины (модель Тимошенко) постоянной толщины в разрешающем виде в произвольных криволинейных ортогональных координатах на плоскости;
- в частных случаях (прямоугольная и кольцевая пластины постоянной толщины) оценка области достоверного использования модели Тимошенко в теории колебаний пластин и инженерной практике, путем сравнения полученных результатов с точными решениями аналогичных задач методами теории упругости;
- для элементов сооружений в форме тел вращения переменной толщины определение области достоверного использования в инженерных расчетах сопоставлением собственных частот с известными результатами экспериментов и построение решения задачи о вынужденных колебаниях;
- использование современных систем компьютерной математики (Mathematica) во избежание появления ошибок, как при построении, так и при реализации разрабатываемых алгоритмов;
- анализ результатов, полученных на модельных примерах. Научная новизна работы заключается в следующем:
- специальным подбором потенциальных функций в произвольных
криволинейных ортогональных координатах на плоскости в новом разрешающем виде получены уравнения равновесия (движений) пластины постоянной толщины (модель Тимошенко), которые позволяют строить решение задач о собственных и вынужденных колебаниях пластин различных очертаний в плане для широкого класса граничных условий (различных типов нагрузок и условий закрепления на границах);
- в новом (замкнутом) виде построен и реализован алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) кусочно-переменной толщины, справедливый для широкого класса граничных условий;
- в новом виде построен и реализован алгоритм численного решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевой пластины (модель Тимошенко) переменной толщины, заданной как непрерывная функция радиуса пластины, справедливый для широкого класса граничных условий;
- приводится не встречающееся в литературе сравнение решений задачи о собственных значениях (частотах) для свободной квадратной пластины Тимошенко, с аналогичным, полученным методами теории упругости для свободного прямоугольного параллелепипеда.
Практическая значимость работы:
- полученные в работе результаты позволяют расширить область достоверного использования теории колебаний пластин в практических расчетах;
- разработанные алгоритмы (методики расчетов), реализованные с
применением современных компьютерных систем (Mathematica) в программные модули, могут использоваться проектными и научно-исследовательскими организациями при анализе напряженно-деформированного состояния элементов сооружений, моделируемых пластинами постоянной и переменной толщины (крыши и днища цилиндрических резервуаров, кольцевые и прямоугольные в плане перекрытия и покрытия зданий и сооружений и мн.др.), при различном характере динамических воздействий (сосредоточенные и распределенные силы и моменты с различными законами изменения во времени) и условиях закрепления на границах (свободный край, шарнирное опирание, жесткая заделка);
- все вычисления проводятся в безразмерных величинах, что позволяет легко адаптировать разработанные программы к различным материалам (рассматриваемым в упругом и изотропном приближении) и абсолютным размерам конструкций;
- полученные замкнутые решения могут быть использованы при оценке погрешностей численных методов (в том числе, метода конечных элементов);
- некоторые из результатов, полученных в диссертационном исследовании, были использованы ООО «ГЛОБАЛТЭНКСИНЖИНИРИНГ» (РФ, г.Самара) при проектировании двудечных плавающих крыш стальных вертикальных цилиндрических резервуаров объемом 30000 м (площадка строительства Сангалы, Азербайджан) и 50000 м (площадка строительства
Сангачалы, Азербайджан) в условиях сейсмических воздействий (см. справку о внедрении результатов диссертационной работы в приложении к диссертации).
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью вывода основных соотношений и математического аппарата методов решений рассматриваемых начально-краевых задач динамики упругих тел, соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов, совпадением количественных результатов, полученных для частных случаев в приближенной (модель Тимошенко) и точной (теория упругости) постановках между собой, а также с известными, приведенными в литературе данными расчетов и результатами экспериментов.
Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались на федеральных и областных научно-технических конференциях: - 63-ей и 64-ой Всероссийских научно-технических конференциях «Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика» (Самара, 2006 и 2007 г.г.); - XXIX - XXXI Самарских областных студенческих научных конференциях «Общественные, естественные и технические науки» (Самара, 2003-2005 г.г.); - 21-ой - 24-ой межвузовских студенческих научно-технических конференциях «Студенческая наука. Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды» (Самара, 2002-2005 г.г.).
В целом по материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 3 в центральной печати.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы, содержащего 96 наименований и приложения. Объем диссертации составил 112 страниц основного печатного текста, в том числе 19 рисунков и 8 таблиц.
Похожие диссертации на Динамика пластин (модель Тимошенко) постоянной и переменной толщины
