Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию временных характеристик броуновского диффузионного движения в потенциальных полях. Эта проблема была впервые рассмотрена Г.А.Крамерсом (Kramers Н., Physica, 1940, v.7, pp.284-304) с точки зрения скоростей реакций и успешно применяется до сих пор как адекватная модель кинетики процессов перехода различных динамических систем из одного устойчивого состояния в другое через соответствующие потенциальные барьеры. Эта модель широко используется во многих задачах физики, химии и биологии прежде всего для определения скоростей переходов, времен релаксации и времен жизни метастабильных состояний динамических систем при учете флуктуации. Например, в химии необходимо знать за какое среднее время протекает та или иная химическая реакция. В термодинамике и теории кавитации интересны средние времена жизни метастабильных состояний при фазовых переходах (Зельдович Я.Б., ЖЭТФ, 1942, т.12, ее.525-538). При работе с различными генераторами (в т.ч. и с лазерами) важно знать время выхода на стационарный режим, кроме того, в системах фазовой автоподстройки частоты флуктуации могут существенным образом влиять на их функционирование (Малахов А.Н., Флуктуации в автоколебательных системах. - М.: "Наука", 1968. - 660 ее). Флуктуации также оказывают большое влияние как на статические (вольт-амперные характеристики) так и на динамические (времена переключений) характеристики быстродействующих логических устройств джозефсоновской электроники (Лихарев К.К., Введение в динамику джозефсоновских устройств. - М.: "Наука", 1985. - 320 ее). В настоящее время необходимость учета тепловых флуктуации при разработке джозефсоновских устройств ощущается еще больше по причине перехода к высокотемпературным сверхпроводящим образцам, когда интенсивность флуктуации возрастает в десятки раз (Likharev К.К., Semenov V.K., Zorin А.В., IEEE Trans. Magn., 1989, v.25, pp.1290-1293).
2 Все эти задачи могут быть адекватно описаны моделью диффузии
броуновских частиц в различных потенциальных профилях, т.е. могут
быть описаны уравнением Ланжевена:
dt h dx
где x(t) - координата броуновской частицы, Ф(х) - потенциальный профиль, в котором происходит процесс диффузии, h - эквивалентная вязкость, (t) - белый гауссов шум, <%t)>=0, <(t) ^Ct+r)^=DS(T), D=2kT/h - интенсивность флуктуации.
При определении временных характеристик эволюции состояний динамических систем с шумами, в зависимости от типа рассматриваемой динамической системы, вводят такие понятия как время релаксации к равновесному состоянию 9, время жизни (распада) метастабильного или нестабильного состояний г.
Наряду с временем релаксации и временем жизни известно понятие среднего времени первого достижения (СВПД) броуновской частицей заданной границы, находящейся в точке х=хгр. При этом граница предполагается поглощающей, что соответствует бесконечно глубокой потенциальной яме, расположенной в точке х^, поэтому частицы, достигшие границы, изымаются из рассмотрения.
Использование СВПД удобно тем, что оно может быть точно получено на основании работы (Понтрягин Л.А., Андронов А.А., Витт А.А., ЖЭТФ, 1933, т.З, ее. 165-180) для потенциальных профилей произвольной формы. Однако, замена времени релаксации или времени жизни метастабильного состояния на СВПД может быть сделана только тогда, когда введение поглощающей границы мало сказывается на процессе броуновского движения в рассматриваемой предграничной области, что сужает класс процессов, которые могут быть проанализированы с использованием СВПД.
Начиная с Крамерса основные результаты рассматриваемой проблемы были получены главным образом для высоких потенциальных барьеров, когда интенсивность тепловых флуктуации, существующих в дина-
мических системах г предполагается~~много меньшей потенциальной энергии барьера, благодаря чему поток вероятности через потенциальный барьер можно считать малым и потому постоянным и все рассмотрение вести квазистационарным образом.
Отыскание временных характеристик диффузии для случаев средних и низких потенциальных барьеров, или же когда интенсивность тепловых флуктуации достаточно велика, требует знания нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка (УФП), соответствующего уравнению Ланжевена (1):
dW{x,i) _ 1 д
at ~ в ах
(2)
dWW{x,t) + -*-W(X,t)
dx ах
(где
являющегося основным дифференциальным уравнением рассматриваемо]'] проблемы.
Наиболее широко используемый подход к отысканию нестационарного решения уравнения Фоккера-Планка - это метод разложения оператора Фоккера-Планка по собственным функциям и нахождения минимального ненулевого собственного числа, которое и определяет временной масштаб релаксации. Однако, с помощью этого метода удалось получить искомые временные характеристики, справедливые для любой высоты потенциального барьера, лишь для некоторых простейших моделей потенциальных профилей (см., напр., Risken Н., The Fokker-Planck equation. Methods of solutions and applications. - Berlin: Springer-Verlag, 1989. - 472 pp.; Hanggi P., Talkner P., Borkovec M., Rev. Mod. Phys., 1990, v.62, pp.251-341).
Другой подход к решению данной проблемы основан на использовании преобразования Лапласа и его свойств для получения искомых временных характеристик. Этим методом Малаховым и Агудовым (Малахов А.Н., Агудов Н.В., Изв. вузов, Радиофизика, 1993, т.36, ее.148-166) были определены точные временные характеристики нестаци-
4 онарной броуновской диффузии через произвольные кусочно-линейные
потенциальные профили для любой высоты потенциальных барьеров.
Необходимо отметить, что кроме упомянутой работы Крамерса кусочно-параболический профиль рассматривался также и в других работах (Larson R.S., Kostin M.D., Journ. Chem. Phys., 1978, v.69, pp.4821-4829; Blomberg C, Physica A, 1977, v.86, pp.49-66). Однако, использованный в этих работах вышеупомянутый метод разложения по собственным функциям не позволил найти решение для произвольной высоты потенциального барьера; полученные приближенные решения и поправки относятся к высоким потенциальным барьерам.
Цель работы. В соответствие с рассмотренным состоянием проблемы определения временных характеристик броуновского движения в потенциальных полях, в настоящей работе были поставлены следующие цели:
- найти точное нестационарное решение уравнения Фоккера-Планка
(УФП) в терминах преобразования Лапласа для случая произвольные
кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка;
используя найденное точное решение УФП, на основе предельных теорем преобразования Лапласа, получить точные временные характеристики броуновского движения в кусочно-параболических потенциальных профилях 2-го порядка, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуации;
исследуя структуру полученных временных характеристик, попытаться найти подходы для получения точных временных характеристик броуновского движения в кусочно-параболических потенциальных профилях более высоких порядков и в произвольных потенциальных профилях;
принимая во внимание актуальность учета тепловых флуктуации при проектировании устройств джозефсоновской электроники, провести анализ влияния флуктуации на временные характеристики одиночного джо-зефсоновского элемента и бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа.
Методы 'исследований. При решении поставленных задач использовались
методы статистической радиофизики, математической физики, а также
численного анализа.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Впервые получено точное решение нестационарного уравнения Фокке-ра-Планка (УФП) в терминах преобразования Лапласа для случая произвольных кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка.
-
Для ряда конкретных примеров кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка впервые получены точные значения времен жизни метастабильных состояний и времен релаксации бистабильных систем, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуации.
-
Впервые в пределе большой вязкости точно решена проблема Крамер-са, поставленная еще в 1940 г, для случая кусочно-параболических потенциальных профилей 2-го порядка. Определены пределы применимости широко известной приближенной формулы Крамерса.
-
Впервые определена общая структура времени эволюции неравновесного состояния нелинейной системы с шумом к равновесному и показано, что время эволюции может быть представлено как сумма среднего времени первого достижения некоторой границы и времени релаксации дельта-образного начального распределения, помещенного в граничную точку.
-
Предложен и доказан принцип (названный принципом соответствия), позволяющий находить время релаксации в произвольном симметричном потенциальном профиле через известное среднее время первого достижения границы, находящейся в точке симметрии.
-
Впервые получены точные значения времени жизни сверхпроводящего состояния и времени задержки между входным и .выходным импульсами для одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента, справедливые для любой интенсивности тепловых флуктуации.
-
Впервые найдено время жизни "корректного" состояния джозефсоновс-кой бистабильной ячейки памяти на основе одноконтактного СКВИДа, справедливое для любой интенсивности тепловых флуктуации, и оценена
его дисперсия. Показано, что такая бистабильная ячейка памяти в действительности менее устойчива к воздействию тепловых флуктуации, чем предполагалось ранее.
Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании устройств джозефсо-новской электроники как в научно-исследовательских учреждениях, например в ИФМ РАН (г. Нижний Новгород), так и в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой джозефсоновских систем. Положения, выносимые на зашиту.
-
Новый способ получения точных значений временных характеристик броуновской диффузии в кусочно-параболических потенциальных профилях 2-го порядка и их анализ.
-
Принцип соответствия, позволяющий находить точные значения времен релаксации мультистабильных систем, описываемых произвольными симметричными потенциальными профилями.
-
Анализ влияния тепловых флуктуации на временные характеристики одиночного передемпфированного джозефсоновского элемента и биста-бильной ячейки памяти на основе одноконтактного.СКВИДа. Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на международной конференции "Noise in Physical Systems and 1/f Fluctuations" (Сант-Луис, США, 1993), на международной школе-семинаре "Dynamic & Stochastic Wave Phenomena" (Нижний Новгород .- Москва, Россия, 1994), на 9-ой международной конференции студентов-физиков (Санкт-Петербург, Россия, 1994), на 7-ой международной конференции "Fluctuation Phenomena in Physical Systems" (Паланга, Литва, 1994), на международной конференции аспирантов-физиков "Physique en Herbe'95" (Ницца, Франция, 1995), на 10-ой международной конференции студентов-физиков (Копенгаген, Дания, 1995), на 5-ой международной конференции по сверхпроводниковой электронике (Нагойя, Япония, 1995), на международной конференции по нелинейной динамике (Саратов, Россия, 1996), на научных конференциях по радиофизике
ННГУ (Нижний Новгород, 1993-1996), а также на семинарах Института
Физики Микроструктур РАН и кафедры бионики и статистической радиофизики ННГУ.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1-9], а также в тезисах докладов конференций [10-20]. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Общий объем работы - 156 страниц, включая 123 страницы основного текста, приложение на 2 страницах, 37 рисунков и список литературы из 125 наименований на 15 страницах.
