Введение к работе
Актуальность проблемы. Применение различных асимптотических методов для решения задач дифракции и распространения волн получило широкое распространения во многих разделах физики. Это связано в первую очередь с наличием развитого математического аппарата построения асимптотических разложений по большому параметру решений дифференциальных и интегральных уравнений математической физики, во-вторых, с хороией физической интерпретацией полученного решения и, в конце концов, с возможностью получения решения поставленной задачи в тех случаях, когда другие метода (аналитические или численные) не работают по тем или другим причинам. Наиболее широко известным асимптотическим методом является приближение геометрической оптики (ГО) и его аналоги в других областях физики (метод ВКБ в квантовой механике, метод геометрической акустики и т.д.). Решение задачи, в рамках этого метода,строится в виде асимптотического ряда по обратным степеням большого параметра задачи. Таким большим параметром, как правило, является отношение характерного размера задачи к длине волны. Полученная данным методом асимптотика решения, тем ближе к точному решению задачи, чем больше данное отношение. Однако величина большого параметра не единственное ограничение на применимость ГО-приближвния и других лучевых методов решения волновых, задач. Данный метод становится неприменимым в областях фокусировок волновых полей, в частноста, в областях структурно-устойчивых фокусировок, соответствующих различным конфигурациям каустических поверхностей. Такие области, со сложной дифракционной структурой поля и высокой интенсивностью возникают в различных радиофизических задачах: при распространении волн в ионосфере Земли и других планет, дифракции СВЧ-излучения на плагменных образованиях и. телах неправильной формы, дифракции лазерного излучения на неоднородгастях среда распространения. Исследование структуры фекальных областей привлекает внимание большого числа специалистов. Это позволяет, с одной стороны решать проблему создания локализованных в пространстве и времени фокусировок волновых полей, с другой стороны описать структуру поля в областях много-
- A -
лучевости. в окрестности каустик, когда обычный ГО метод встречается со значитбльныами сложностями. Решение задачи описания волновых полей строится на основе объединения метода канонического оператора Ыаслова (КОМ)1' и теории особенностей дифференцируемых отображений2'. Было получено соответствие между различными конфигурациями каустических поверхностей и типом топологической особенности, введены специальные функции волновых катастроф3' и показано, что волновое поле в фокальной области может быть описано равномерно по параметрам задачи через СВК с высокой точностью. Полученное выражение является асимптотическим разложением решения задачи по большому параметру, и таким образом задача сводится к вычислению коэффициентов асимптотического разложения и аргументов спецфункций.
Другим существенным недостатком приближения геометрической оптики является отсутствие решения задачи в области геометрической тени, обусловленной наличием тел в среде распространения. Такой недостаток преодолевает другой лучевой метод - геометрическая теория дифракции (ГТД)4'. В рамках этого метода считается, что любая неоднородность среда распространения, за исключением бесконечно дифференцируемых плагных нводнородностей, является источником дополнительного семейства волн (краевых, угловых, поверхностных, волн соскальзывания и т.д.). Полученные методом ГТД решения позволяют как найти решение в области тени, так и учесть влияние
1' Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические метода. - М.: Изд.мТУ, 1965, 553 с.
2' Арнольд В.И.,Вачэнко А.Н.,Гусейн-Заде СМ. Особенности дифференцируемых отображений: Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. - М.:Наука. 1982.
3' Крюковский А.С, Лукин Д.С., Палкин Е.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с вырожденными седловыми точками.Препринт /ИРЭ АН СССР. М., 1984. Ш (413).75 с. Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Специальные функции волновых катастроф. Препринт /ИРЭ АН CCCP.M.,I984. )643(415).75 с
4' Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции.-И.^ Связь. 19№. 34а с.
,s -
границ среда распространения. Тем не менее, как и для метода геометрической оптики, существенным недостатком, является невозможность построения решения в областях фокусировок, а также в окрестности границы "свет-тень".
Успех применения теории особенностей дифференцируемых отображений (теории катастроф) к задачам рапространения и дііфракции волн в плавно неоднородных средах без границ позволил надеятся на успех аналогичного подхода к задачам с границами. Для описания в области границы "свет-тень" (предельного ГО луча) необходимо построить соответивувдую геометрии задачи особенность (катастрофу) и далее выразич'ь поле, через спецфункции данной волновой катастрофы. При таком подходе задача, сводится к топологической части - нахождению типа особенности (чем определяется и соответс-вуххцие СВК), и асимптотической - нахождению коэффициентов разложения и аргументов спецфункций. Применение такого подхода позволяет построить решение ряда краевых и угловых задач5'. Таким образом нахождение связи между конфигурацией каустической поверхности в окрестности границы среды распространения и типом катастрофы решает проблему равномерного асимптотического описания поля в сложных переходных областях, когда другие лучевые методн становятся неприменимыми. Классификация типов угловых катастроф позволит решить топологическую часть проблемы, определять связь между геометрией лучевых семейств и структурой решения, и на основе волновой теории катастроф с ограничениями построить равномерные решения в окрестности угловой точки на границе "свет-тень", что является актуальной проблемой современной теории дифракции.
Целью диссертационной работы является исследование структуры поля в областях сложных фокусировок в окрестности угловых точек тел; классификация типов угловых катастроф, соответствующих лучевой геометрии задачи; построения равномерных асимптотических разложений в окрестности точки образования катастрофы; нахождение связи между угловыми и основными катастрофами, симметричными
5^ Крпковский A.G., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Краевые и угловые катастрофы в задачах дифракции и распространения волн.- Казань: КАИ, 1988, 200 с.
_ 6 -
относительно некоторой группы преобразований; исследование амплитудной структуга поля в областях образования угловых катастроф, соответствующих некоторым модельным задачам; построение равномер-. ных асимптотических разложений угловых СВК по большому параметру в точке особенности.
Научная новизна. В диссертации строятся подходы к построению равномерной коротковолновой асимтпотики волнового поля в окрестности границы "свет-тень" при дифракции излучения на телах с угловыми точками на основе применения построенной классификации типов угловых катастроф. Ранее была проведена классификация лишь для начального отрезка угловых катастроф и построены равномерные асимптотики дифрагированного поля в окрестности гладких границ тел, или границ с угловыми точками, в случаях, когда краевые и угловые лучи сами не образуют слоеной каустической структуры.
В диссертационной работе предложена полная классификация уни- и бимодальных угловых катастроф и огораживающих их особенностей; построен определитель особенности, приведены необходимые и достаточные условия образования катастроф, что позволяет определить тип особенности, если известна фазовая функция волнового поля; построена схема подчинения особенностей, позволяющая определять типы более простых угловых особенностей, на которые может "развалиться" данная катастрофа. Построена с^язь между угловыми катастрофами к симметричными относительно некоторой группы преобразований основными квтестрофами, хорошо исследованными ранее. Применение теории построения асимптотических разложений по большому параметру интегралов от быстроосциллирующих фунцкий позволило правильно определить частотную зависимость амплитуда поля, индексы Берри и коэффициенты асимптотики СВК по большому параметру в особой точке. Исследован ряд модельных задач и амплитудная структура СВК, соответсвующей угловой г^обенности. Согласно волновой теории катастроф, такая структура совпадает в первом приближении со структурой поля в области образования такой особенности, с точностью до некоторого множителя. Рассмотрены проблемы дифракции скалярного волнового поля на экране с угловой точкой, на проводящем екране в диспергирующей среде и фокусировки симметричных волновых пучков.
Практическая значимость работы состоит в классификации типов возможных фокусировок волнового поля .дифрагированного на телах.
- T -
имеющих угловую точку, а также в задачах пространственно-временной дифракции. Знание типа угловой катастрофы позволит применить развгтый аппарат волповой теории катастроф для- построения равномерного по параметрам задачи коротковолнового асимптотического решения как в фокальных областях , так и и переходных зонах, связанных с границами "свет-тень". Рассматриваемая проблема очень важна в задачах элзтрической совместимости радиофизических устройств, при учете влияния разлита кромок на характеристики приемной антенны, СВЧ и оптических приборов, при конструировании и анализе работы.больших зеркальных антенн. Применение симметричных фокусировок позволяет исследовать аберрации в оптических системах в терминах волновых катастроф и полезно при конструировании оптических приборов и зеркальных антенн. На зашиту выносятся:
1. Классификация типов устойчивых угловых фокусировок, осно
ванная на теории дифференцируемых отображений с ограничениями на
возможные преобразования координат. Снзичэская интерпретация типа
угловой катастрофы.
а) Список нормальных форм и возмущений уни- и бимодальных
угловых катастроф, а также список огораживающих их особенностей.
б) Схема примыканий угловых катастроф, позволяющая опреде
лить более простые типы фокусировок, возникающие при развале
сложного фокуса.
в) Необходимые и достаточные условия образования катастрофы,
а также определитель особенности для нахождения тіша угловой
особенности, возникающей в физической задачи. Это позволяет одно
значно построить равномерное асимптотическое выражение для волно
вого поля в окрестности образования катастрофы (в области угловой
фокусировки).
2. Исследование специальных функций угловых катастроф. Пост
роение равномерных по большому параметру залечи разложений угло
вых СВК в точке образования катастрофы.
3. Решение модельных задач и исследование амплитудной и
каустической структуры поля в областях образования угловых я сим
метричных катастроф:
а) ігри дифракции плоской волны на искривленном екране с угловой точкой;
С) дифракция частотно-модулированного импульса на проводящем
екране в диспергирующей среде; .
с) исследование каустической структуры в областях симметричных фокусировок поля.
Ашгробэция работы. Материалы диссертационной работы докладывались на Мевдународном симпозиуме по антеннам и распространению волн (ISAP*92, Sapporo, Japan), на X школе-семинаре по дифракции її распространению вола (г.Волоколамск, 1993), на XLIII Всероссийской научной сессии научно-тэхнического общества радиотехники, электроники и связи им.А.С.ПоыоБа (г.Москеэ, 1933), на научной конференции МФТИ (1990 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации представленно в 9 научных работах.
Объем рабсы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 131 странице машинописного текста, заключает 43 рисунка и 8 таблиц. Список цитированной литературы состоит из 81 наименования.
Благодарности. Пользуясь удобным случаем, мне хотелось бы поблагодарить научного руководителя к.ф.-м.н. А.С.Крюковского за постановку задачи и научнно консультации при написании диссертации, к.ф.-м.н., с.н.с. Е.Б.Платова га существенную помощь при создании программ расчета амплитудной и фазовой структур специальных функций волновых катастроф, а твг.же зав.кафедрой д.ф.-ы.н., профессора Д.С.Лукина за создание благоприятных условий для работы над днссортацией.
