Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Литературный обзор 19
ГЛАВА II. Стационарные волны в активной срще с малой гармонической модуляцией диэлект рической проницаемости 26
П.І Дисперсионные свойства линейных периодических структур. Исходные уравнения для среды с активной нелинейностью 27
П.2 Уравнения стационарного режима 34
П.З Точные стационарные решения 41
П.4 Приближенные стационарные решения 46
Основные результаты и выводы к главе П 54
ГЛАВА III. Стационарные волны в периодически модулированной среде с реактивной нелинейностью 57
Ш.І Уравнения стационарного режима 58
Ш.2 Графический анализ стационарных решений . 62
Ш.З Аналитический вид стационарных решений . 71
Ш.4 Уравнения для электромагнитного поля вдали от полосы брэгговского отражения 78
Основные результаты и выводы к главе I 80
ГЛАВА ІV. Связанные периодически модулированные волноводы с реактивной нелинейностью 83
ІУ.І Вывод уравнений для огибающих электромагнит ного поля 84
ІУ.2 Дисперсионные характеристики линейных связанных периодически модулированных волноводов. Линейные решения для электромагнитного поля 90
ІУ.З Стационарные решения для синфазного и противофазного распределения полей в волноводах 95
ІУЛ Взаимодействие стационарных решений в первом порядке теории возмущений , 99
Основные результаты и выводы к главе ІУ 107
Заключение 109
Литература
- Уравнения стационарного режима
- Приближенные стационарные решения
- Аналитический вид стационарных решений
- Дисперсионные характеристики линейных связанных периодически модулированных волноводов. Линейные решения для электромагнитного поля
Введение к работе
п. I. Нелинейные взаимодействия в системах оптической обработки информации, пути повышения их эффективности.
Одним из важных приложений современной оптики является обработка и передача информации [і-з]. В последние годы в этом направлении произошли качественные изменения, связанные с развитием волоконной и интегральной оптики [4-ю] - области физики, занимающейся вопросами распространения электромагнитных колебаний оптического диапазона по волноеодным структурам с линейными размерами порядка длины волны света. Применение идей и методов волноводной техники, заимствованных из сверхвысоких частот, позволяет полностью использовать потенциальные возможности оптической обработки информации - высокое быстродействие, параллельную передачу и обработку большого числа информационных каналов, значительную помехозащищенность, а в перспективе - надежность и экономичность систем обработки [.9-15, 82J.
В области практической реализации, наибольшее распространение в настоящее время получили комбинированные опто-электронные и электрооптические схемы, представляющие собой дискретные оптические элементы (объемные, либо волноводные) б сочетании со стандартными электронными узлами и микросхемами [12, 15-17, 19]. Такое сочетание, как правило, не является принципиальным и обусловлено, в основном, отсутствием на современном этапе ряда оптических устройств (оптические усилители и ретрансляторы, опто-оп-тические модуляторы, линии задержки, оптические логические элементы и т.п.)» которые могли бы составить конкуренцию электронным аналогам [10, 12, 19, 83-85],
Трудности практической реализации названных устройств заключаются б том, что б основе их функционирования должны лежать операции управления света светом. Такое управление возможно только на основе нелинейных взаимодействий волн в нелинейных средах. Поскольку в оптике коэффициенты нелинейной поляризуемости известных веществ крайне малы [20-22J, то для получения заметных нелинейных эффектов необходимо обеспечивать очень большие плотности мощности.
Частично эта проблема решается переходом от объемных устройств к пленарным и полосковыми волноводными структурами [23--26, 18], в которых происходит значительная концентрация энергии в сечении, перпендикулярном направлению распространения электромагнитных волн и, как указывалось, имеющим характерные размеры порядка длины волны распространяющегося излучения.
Дальнейшее увеличение плотности электромагнитных волн и, следовательно, эффективности их взаимодействия с нелинейной средой может быть достигнуто за счет увеличения времени взаимодействия. Возможным вариантом увеличения времени взаимодействия электромагнитного излучения с нелинейной средой является использование периодических структур, в которых свет многократно проходит один и тот же участок нелинейной среды из-за переотражений на периодических неоднородностях. Последнее приводит к уменьшению групповой скорости распространения электромагнитных волн, причем групповая скорость уменьшается во столько раз, во сколько раз увеличивается эффективность взаимодействия. Правда, увеличение это достигается на сигналах не произвольной формы, а вполне определенных, близких к собственным волнам соответствующих нелинейных структур. Наиболее интересными из этих собственных волн являются уединенные образования (типа солитонов [27-31, 86, 87] ), которые могут быть использованы в устройствах с кодо- - б -
ЕО-импульеной обработкой и передачей информации [15, 32, 33,
88-90].
В связи с вышесказанным, исследование распространения электромагнитных волн в нелинейных периодически модулированных полосковых (или волоконных) волноводах с большим групповым замедлением представляет, на наш взгляд, значительный интерес для систем оптической обработки информации.
В известной нам литературе по нелинейным волнам (см. главу I) рассматриваются, как правило, нелинейные "гладкие" структуры, групповая скорость распространения электромагнитных волн в которых близка к скорости света. Нелинейные волны с большим групповым замедлением, существующие в нелинейных периодических структурах, насколько нам известно, до настоящего времени не рассматривались. п. 2. Физическая картина распространения электромагнитных волн в нелинейных, периодически модулированных средах. Возможности практического использования рассматриваемых структур.
Остановимся на качественной картине волновых процессов в нелинейных модулированных волноводах. Периодические модулированные структуры можно условно разделить на два класса: I) структуры с малой глубиной модуляции и периодом, сравнимым с длиной волны распространяющегося излучения; 2) дискретные периодические структуры типа цепочки резонаторов Фабри-Перо, состоящей, например, из чередующихся диэлектрических пластин с различными показателями преломления и толщиной, много большей длины волны света. Такое разделение отражает не столько разни- цу в физике явлений, которая весьма сходна для обоих классов, сколько различие в математическом аппарате, применяемом для анализа.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением структур 1-го класса3*). По типу нелинейности их также можно разбить на два вида: I) волноводные системы с активной нелинейностью, когда от интенсивности поля зависит поглощение (усиление) среды; 2) волноводы с реактивной нелинейностью, когда от интенсивности поля зависит показатель преломления.
В качестве примера структуры с активной нелинейностью, рассмотрим волновод с малой гармонической модуляцией эффективного показателя преломления, активированный двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, накачиваемыми внешним источником (рис. B.I). Выберем частоты переходов активирующих частиц равными частоте Брэгга. Сечения поглощения и концентрации подберем таким образом, чтобы для малых шумовых ин-тенсивностей света среда была бы поглощающей,'а при интенсив-ностях, больших некоторой пороговой - усиливающей (рис. В.2). Объяснить возможность существования в такой структуре медленных волн можно следующим образом. Допустим, что в начале полубесконечной среды в некоторый момент времени превышена пороговая интенсивность света. Тогда за счет переотражений на решетке эта интенсивность будет возрастать и область с усилением расширяться. Через некоторый промежуток времени инверсная населенность в начале среды будет снята и интенсивность здесь начнет уменьшаться. При этом область с усилением и, соответственно, с боль-
Наряду со структурами 1-го класса параллельно исследовались и нелинейные дискретные структуры. Их анализу посвящены работы [34-37].
ЭНЕРГИЯ
a) 6)
Рис. B.I. Системы энергетических уровней четырехуровневых усиливающих (а) и двухуровневых поглощающих (б) частиц:
I - безызлучательные переходы; 2 - активные переходы; 3 - накачка.
Рис. В.2. Зависимость коэффициента усиления в двухкомпо-нентной среде от интенсивности света: усиление в четырехуровневой среде; поглощение в двухуровневой среде; суммарный коэффициент усиления/поглощения. шей интенсивностью света переместится вглубь среды. Если проследить за светом дальше, то можно увидеть, что он будет все дальше удаляться от начала среды. Однонаправленность распространения импульса света определяется тем, что впереди импульса имеются инвертированные частицы, а позади инверсная населенность "сожжена". На некотором расстоянии от начала среды можно ожидать, что интенсивность в области с усилением установится на таком уровне, который будет соответствовать равенству притока энергии в области с усилением в центре импульса потерям в области с поглощением на переднем и заднем фронтах. При этом скорость распространения области с усилением должна быть мала из-за брэгговского отражения (волны, формирующие импульс, многократно проходят один и тот же участок среды, переотражаясь на неодно-родностях). Описанная картина внешне похожа на распространение области горения в бикфордовом шнуре. Существенное отличие заключается в том, что бикфордов шнур после скигания безвозвратно теряется, а "сожженная" инверсная населенность через небольшой промежуток времени восстанавливается под действием внешнего источника накачки. В течение этого времени линия обладает значительными потерями и сигнал в ней распространяться не может.
Отметим, что приведенное рассмотрение справедливо только для полосковых или волоконных волноводов достаточно малого поперечного сечения, для которых спектр нелинейных волн уже частотного расстояния между соседними модами. При этом условии поперечное распределение поля в нелинейном волноводе будет устойчивым и близким к поперечному распределению поля в линейном волноводе.
Особенности формирования и распространения импульсов е периодически модулированных активных волноводах позволяют говорить о возможности их практического использования, например, в качестве чисто оптических ретрансляторов для волоконно-оптических линий связи с кодово-импульсной модуляцией. Такой ретранслятор должен представлять собой отрезок активного полоскового или волоконного волновода с периодической модуляцией параметров. При поступлении на его вход сигнала с мощностью, превышающей пороговую, на выходе его формируется стационарный импульс, форма которого не зависит от формы возбуждающего сигнала и определяется только лараметрами среды. Преимущество такого ретранслятора заключается в том, что он, в отличие от используемых в настоящее время, не требует перевода оптического сигнала в электрический и обратно. Кроме того, благодаря высокой добротности резонатора с распределенной обратной связью, энергетика этого ретранслятора будет сравнимой с энергетикой лазера с высокодоб-ротным резонатором.
Если длина рассматриваемого ретранслятора достаточно велика (много больше расстояния, на котором формируется стационарный импульс), то его можно использовать и в качестве оптической линии задержки, скорость распространения сигнала в которой определяется внешней накачкой.
Другим возможным применением активных периодически модулированных волноводов является использование их в логических элементах систем оптической обработки информации. Действительно, пороговые свойства линии, однонаправленность распространения стационарных волн и наличие позади стационарных импульсов зоны с сильным поглощением (зоны "рефрактерноети") - все это отвечает требованиям, необходимым для построения полного набора ней-ристорных логических элементов 38-40, 9l].
Одним из простейших логических элементов может служить пе- - II - ресечение двух активных волноводов, на котором осуществляется операция "не" - импульс, распространяющийся в одном из волноводов, гасится, если в месте пересечения он попадает в зону преф~ рактерности" импульса, распространяющегося в другом волноводе.
По-видимому, аналогичные логические элементы можно построить и на реактивных линиях, не требующих накачки и действие которых может быть основано на рассеянии одного импульса другим при их столкновении на пересечении двух волноводов. Потери энергии импульсов, неизбежные при таких столкновениях, могут быть компенсированы на отрезке активного нейристора. Использование комбинации активных и реактивных нейристоров должно существенно уменьшить затраты энергии на обработку информации в среднем по всему устройству.
В качестве примера реактивного нейристора рассмотрим волновод, эффективный показатель преломления которого является периодической функцией продольной координаты и квадратичной функцией напряженности электрического поля.
Для слабых полей, при которых можно не учитывать вклад нелинейности, продольное распределение поля в модулированном волноводе в окрестности брэгговской частоты описывается экспоненциально убывающей стоячей волной [4l]. То есть, периодическая структура в брэгговской полосе является непрозрачной для электромагнитных волн. Пучности стоячей волны расположены в точках, где показатель преломления минимален (рис.Б.З). При увеличении амплитуды поля, влияние нелинейности приводит к появлению наведенной им модуляции показателя преломления. Для самофокусирующей среды наведенная модуляция оказывается точно в противофазе с модуляцией показателя преломления, которая определяет наличие брэгговского отражения для слабых полей. Очевидно, что при амп-
б)
Рис. В.З. а) распределение поля б периодически модулированной среде в окрестности брэгговской частоты; б) распределение диэлектрической проницаемости в среде с одномерной модуляцией E^^fl+AS'coskp?); 4 S" - глубина модуляции, КР - пространственный период ( Кр = 2*i/Л ) - ІЗ - литудах, больших той, при которой наведенная полем модуляция компенсирует первоначальную, среда должна быть прозрачной. Последнее означает возможность распространения электромагнитных волн на брэгговской частоте. Это распространение при определенных условиях может принять стационарный характер - вдоль волновода с постоянной скоростью будут распространяться электромагнитные волны либо в виде одиночных импульсов (солитонов), либо в виде последовательности импульсов. Скорость и вид стационарных волн при заданных параметрах среды определяются условиями возбуждения волновода.
Изменять условия возбуждения и, следовательно, осуществлять управление стационарными волнами можно с помощью двух связанных на некотором участке волноводов. В зоне связи должны осуществляться не только упомянутые выше операции рассеяния одного импульса другим, но и управление амплитудой и скоростью стационарных волн (за счет частичной перекачки энергии из одного волновода в другой).
Другим возможным применением модулированных волноводов с реактивной нелинейностью является использование их в качестве пассивных оптических линий задержки. п. 3. Формулировка задачи.
Приведенные качественные соображения о физике нелинейных процессов в периодически модулированных волноводах и следующие из них возможности практического использования рассматриваемых структур должны быть, конечно, подтверждены результатами строгого теоретического анализа.
Полный анализ распространения электромагнитных волн в периодически модулированных волноводах с активной и реактивной - іц - нелинейностью включает в себя рассмотрение целого ряда задач. Большинство из них формулируется в виде эволюционных уравнений в частных производных, описывающих процессы установления стационарных колебаний, эволюцию возмущений, взаимодействие стационарных волн друг с другом и сами стационарные волны. Как правило, такие исследования сопряжены с известными математическими трудностями, не позволяющими зачастую прийти к сколько-нибудь наглядным аналитическим результатам. Более простыми с точки зрения математики являются задачи о стационарном распространении электромагнитных волн. Их изучение, оставляя многие вопросы открытыми, дает тем не менее возможность качественно проследить некоторые основные черты рассматриваемых явлений.
В настоящей диссертационной работе проводится теоретический анализ только стационарного распространения электромагнитной энергии в волноводах с активной и реактивной нелинейностью и периодической модуляцией диэлектрической проницаемости.
При строгой постановке этой задачи для волноводов необходимо учитывать неоднородность диэлектрической проницаемости по трем пространственным координатам и, следовательно, уравнения описывающие распространения стационарных волн должны быть трехмерными. Однако, можно указать условия, при которых основные закономерности распространения электромагнитных волн достаточно точно описываются одномерными моделями.
Действительно, если принять во внимание, что реально используемые в оптике глубина модуляции показателя преломления волноводных структур и коэффициенты нелинейной поляризуемости сред малы [20-22, 41-43], а также предположить, что спектр стационарных решений уже частотного расстояния между соседними модами линейного регулярного полоскового (волоконного) волновода, то, во-первых, функции поперечного распределения нелинейного модулированного и линейного регулярного волноводов будут практически совпадать; а, во-вторых, стационарное решение, центр спектра которого совпадает с частотой какой-либо собственной моды, не будет возбуждать соседние. Поэтому продольное распределение поля в нелинейном модулированном волноводе при этих условиях будет совпадать с одномерным решением для нелинейной безграничной среды с малой одномерной гармонической модуляцией показателя преломления.
Отметим, что выбор одномерной модели для описания процессов в волноводах обусловлен простотой математической формулировки задачи. Практически же, одномерные волны в среде с одномерной модуляцией реализовать невозможно, так как плоские волны при наличие нелинейности являются неустойчивыми в поперечном направлении, в котором среда однородна.
Сформулируем теперь основные цели и задачи диссертационной работы:
1. Исследование особенностей стационарного распростране ния огибающих электромагнитных волн в нелинейных волноводах с периодической модуляцией эффективного показателя преломления на модели среды с одномерной малой гармонической модуляцией показателя преломления и нелинейностью двух типов - активной нелинейностью (для среды, активированной двух уровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами); - реактивной кубичной нелинейностью (для самофокусирующей ся среды).
2. Исследование распространения электромагнитных волн по двум связанным периодически модулированным волноводам с реак- тивной кубичной нелинейностью. п. 4. Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту.
Развитие чисто оптических методов обработки информации, основанных на нелинейных взаимодействиях, определяет актуальность работ, связанных с поисками путей повышения эффективности таких взаимодействий.
Как уже указывалось, до настоящего времени исследования эффектов сильного группового замедления в нелинейных периодически модулированных структурах, приводящих к значительному повышению эффективности нелинейных взаимодействий, в литературе не освещались. Проведенная нами работа в этом направлении позволила получить следующие новые результаты, выносимые на защиту:
Исследовано стационарное распространение огибающих электромагнитных волн в периодически модулированной среде, активированной двухуровневыми поглощающими и четырехуровневыми усиливающими частицами, накачиваемыми внешним источником. Задача сведена к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка с комплексной потенциальной ямой, зависящей от решения ( П.2).
Найдено аналитическое решение этого уравнения в виде рядов Тейлора и предложена процедура вычисления коэффициентов этих рядов ( П.З).
Установлено, что стационарное решение для огибающих электромагнитного поля в модулированной среде с активной нелинейностью представляет собой уединенный импульс, распространяющийся с очень малой групповой скоростью, равной приблизительно произведению скорости света на глубину модуляции диэлектрической проницаемости ( TLA).
В рамках метода медленно меняющихся амплитуд найдено точное аналитическое решение нелинейного волнового уравнения для стационарного распространения огибающей электромагнитного поля в самофокусирующей среде с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости в зависимости от отстройки от брэг-говского условия ( Ш.І - Ш.З).
Показано, что для частот электромагнитного поля, близких к брэгговской, стационарное решение в этом случае представляет собой уединенный (солитоноподобный) импульс или последовательность импульсов, групповая скорость которых может быть много меньше скорости света в среде. На достаточном удалении от полосы брэгговского отражения задача сведена к модифицированному уравнению Кортевега-де Бриза, не обладающего солитонными решениями для рассматриваемой структуры ( Ш.2 - Ш.4).
Рассмотрено распространение электромагнитных волн по двум связанным периодически модулированным волноводам с реактивной кубичной нелинейностью ( ІУ.І). Показано, что для синфазного и противофазного распределения полей в волноводах стационарные решения полностью совпадают со стационарными решениями для самофокусирующей среды с одномерной модуляцией диэлектрической проницаемости ( 1У»3);
Рассмотрен частный случай взаимодействия стационарных решений. Показано, что в первом порядке теории возмущений одним из эффектов взаимодействия слабого периодического решения с интенсивным солитоноподобным является периодическая модуляция скорости последнего.
Основные результаты, полученные при работе над диссерта- - 18 -цией, опубликованы в работах [74-8l]. п. 5. Научная и практическая ценность.
Б работе рассматриваются реальные физические системы, моделирующие конкретные устройства, доступные современной технологии. Бее результаты, как точные, так и приближенные доведены до аналитического вида, допускающего простое физическое толкование и, при необходимости, сравнение с экспериментом.
Исследованный в работе метод позволяет реализовать заметные нелинейные взаимодействия при достаточно малых передаваемых мощностях. Как указывалось, это может найти свое применение при разработке высокоэффективных оптических ретрансляторов для волоконно-оптических линий связи и оптических нейристоров для систем обработки информации. При этом энергетика таких устройств будет сравнима с энергетикой лазеров с высокодобротными резонаторами.
Технология, разработанная в настоящее время для полупроводниковых лазеров на гетероструктурах, позволяет говорить о возможности практической реализации указанных устройств.
Г Л А В A I. ЛИТЕРАТУРНЕЙ ОБЗОР.
Исследование волновых процессов в нелинейных средах с периодической модуляцией параметров можно отнести к широкому классу задач о волнах в нелинейных дисперсионных средах, изучение которых привлекает внимание большого числа исследователей из самых различных областей физики - оптики [20, 44-4б], акустики [47, 48], электроники [49-53, 92, 94], гидро- и газодинамики [54-56], физики твердого тела [57], биофизики [58, 59] и т.д. -
Несмотря на специфические особенности этих задач и подходов к их решению, большинству нелинейных процессов присущ ряд общих качественных закономерностей. Эти закономерности являются следствием общей теории нелинейных волн в диспергирующих средах [бо]. Так, в нелинейной диспергирующей среде при синхронизме возможно явление многочастотного взаимодействия [24, 25, 44, 47, 68].
Другой эффект, также наблюдаемый в самых различных средах, - нелинейная самофокусировка или дефокусировка [20, 51, 64, 66, 68, ПО] и модуляционная неустойчивость [65, 66, 68, 100, III] волновых пакетов.
Особый интерес в изучении нелинейных диспергирующих сред представляют задачи, которые приводят к уединенным волнам, которые не искажаются в процессе распространения [27, 29-31, 49, 53, 57]. Как показали проведенные к настоящему времени исследования, уединенные солитоноподобные волны существуют в средах самой разнообразной физической природы [29, 30, 49, 53, 56, 68,
71, 87, 102, 104, 105, III].
По типу нелинейности все среды можно разделить на два класса [49]: I) консервативные системы, в которых выполняется закон сохранения энергии Wt + Рх = о ( W - плотность энергии,
Р - поток мощности), а стационарность уединенных волн обязана нелинейному сжатию пакета, компенсирующему его дисперсионное уширение; 2) системы, в которых свойства уединенных волн определяются балансом между скоростями выделения энергии и ее поглощения (см. Введение).
Как правило, задачи первого класса сводятся к таким модельным уравнениям, как уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) [29, 30, 60, 61,63, 86, 95-98], Буссинеска [29, 60, 63], синус-уравнение .Гордона [26, 63, 86, 96-98], нелинейное уравнение решетки [29, 50, 57, 8б], уравнение Хироты [29, 8б], нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)[29,62, 63, 99, 100] и т.д. Остановимся кратко на некоторых из этих уравнений.
Уравнение КдВ довольно хорошо описывает волны в ангармонической решетке [iOl], ионно-звуковые волны в плазме [102, ЮЗ], магнито-гидродинами-ческие волны в плазме [104] и т.д. Одним из наиболее интересных свойств решений уравнения КдВ является "линейное" поведение уединенных волн [63]. Как показали Забуски и Крускал [105], две уединенных волны с различными амплитудами взаимодействуют нелинейно, но выходят из взаимодействия неизменными. Нелинейность таких решений заключается в том, что координаты и фазы солитонов после взаимодействия несколько отличны от тех, которые они имели бы в отсутствие взаимодействия.
Б работе [ІООД Бути и Шарма провели подробный анализ свойств решений модифицированного уравнения КдБ (МКдВ) и показали, что при * fl > 0 его решения обладают модуляционной неустойчивостью, а при <*р> < о решения устойчивы.
Хорошо известны уравнения "тодовской решетки", моделирующие процесс распространения звуковых волн в кристаллической решетке, d2% _ -,(e'fir« - еКи" ) с помощью которых Тода [107] описал движение в одномерной цепочке материальных точек. Хирота [108] нашел для уравнения нелинейного фильтра многосолитонное решение. Это уравнение совпадает с уравнением "тодовской решетки", а его Д/-солитонные решения имеют тот же вид, что и для уравнения КдБ.
Подробное описание уравнений и их решений для нелинейных фильтров дано в работе [50]. Экспериментальные результаты обнаружения солитонов в нелинейных фильтрах приведены в работах [50, 53, 109]. Б частности, Марченко В.Ф. и Стрельцов A.M. [53] теоретически и экспериментально показали возможность эффективного формирования ударных волн и солитонов в нелинейной линии передачи типа фильтра нижних частот с МДП-варикапами в качестве нелинейных емкостей.
Такие процессы, как стационарная самофокусировка плоской волны [бО, 64, 65, ПО], Ленгмюровские еолны в плазме [ill], одномерная автомодуляция монохроматической волны [65, 99] и т.п. хорошо описываются НУШ
Решения НУШ обладают тремя важными свойствами [62]: I) существование солитонов огибающей, 2) неустойчивость периодической волны по отношению к модулирующим возмущениям (неустойчивость Бенджамина-Фейра), 3) периодически повторяющийся во времени возврат неустойчивой волны к начальному состоянию (возврат Ферми -Паста-Улама). Солитоны НУШ устойчивы в том смысле, что после взаимодействия друг с другом они сохраняют свои параметры, если не считать возможного сдвига по координате и фазе. Замечательным свойством солитонов НУШ является то, что их фазовая скорость примерно в два раза больше групповой скорости, и, следовательно, процесс нестационарен, хотя огибающая и стационарна [62].
Кроме рассмотренных примеров, известны и другие уравнения, обладающие уединенными решениями. И поскольку эти уравнения в некотором приближении описывают реально существующие волны, то различные виды солитоноподобных образований наблюдались и в экспериментах. Среди них - солитоны на мелкой воде [54], ионно--акустические солитоны в плазме [Ю2], солитоны самофокусировки лазерного луча и оптические солитоны в волокнах [27, Зі].
Приведенные модельные уравнения (кроме уравнений решетки) являются уравнениями в частных производных. Они описывают как стационарные, так и нестационарные процессы, т.е. процессы установления колебаний и взаимодействия решений. Математический аппарат исследования этих уравнений достаточно хорошо развит. Особой популярностью пользуется метод обратной задачи рассеяния [28, 66, 112], позволяющий получить точные решения некоторых из этих уравнений. Что касается уравнений решетки, то в работе [67] развит дискретный аналог обратной задачи теории рассеяния. К настоящему времени ведутся работы и по развитию спектрального подхода к решению задач для дискретных систем [ИЗ"].
Перечисленные примеры касались систем с реактивной нелинейностью. В активных средах (второй класс систем) так же возможно стационарное распространение уединенных волн. В этом случае имеет место баланс между выделением запасенной в системе энергии на нелинейностях и поглощением энергии возмущения в среде [29], В отличие от импульсных солитонов и солитонов огибающей в реактивных системах, уединенные волны в активных средах неустойчивы в том смысле, что они не сохраняют своей формы после взаимодействия [29].
Как правило, анализ свойств решений для активной среды проводится либо на основе скоростных уравнений для активных частиц, либо волнового уравнения для среды, мнимая часть диэлектрической проницаемости которой является функцией электромагнитного поля.
Примером исследования свойств уединенных волн в активной среде может служить работа Ривлина Л.А. \.7І\9 в которой рассматривается распространение импульса света в двухкомпонентной пороговой усиливающей среде.
Подавляющее большинство работ по нелинейным взаимодействиям в реактивных и активных средах посвящено анализу гладких структур. Исследованию же нелинейных процессов в электродинамических средах с пространственной периодичностью уделяется до- вольно мало внимания. При этом, в основном, рассматривается поведение нелинейных волн в полосах прозрачности структуры, как, например, в работах Богатырева Ю.К. и Ямпурина Н.П. [51, 52], посвященных преобразованию спектра и самогоздействию нелинейных волн в зонах пропускания периодической структуры, или в работе Белякова В.А, и Шипова Н.В. [72], рассматривавших условия синхронизма и повышение эффективности генерации второй гармоники в средах с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости.
Особенности взаимодействия нелинейных волн в полосах непрозрачности (в полосах брэгговского отражения), анализируются, как правило, на примере структур конечной длины (типа брэгговского зеркала). Так, Дедушенко К.Б. и Маймистов А.И. [69] показали, что если на нелинейное брэгговское зеркало падает интенсивная световая волна, то оно саыопросветляется. Последнее может привести к гашению генерации в лазере с брэгговскими зеркалами.
Эффект просветления ограниченной брэгговской структуры рассмотрен и в работе [Пб], в которой изложена теория оптического бистабильного устройства, представляющего собой отрезок нелинейной среды с распределенной обратной связью, и проведено сравнение бистабильных и транзисторных свойств такой структуры с бистабильными устройствами на основе нелинейных резонаторов Фабри-Перо.
Что же касается собственных колебаний неограниченной нелинейной периодической структуры в полосе брэгговского отражения, то, насколько нам известно, такие исследования до настоящего времени не проводились.
В заключение представленного краткого обзора отметим, что интенсивные исследования нелинейных волновых процессов приводят не только к более глубокому пониманию физики реальных явлений, но и открывают возможности создания практически важных устройств в самых различных областях науки и техники. Если говорить о системах оптической обработки и передачи информации (см. Введение), то это в первую очередь касается реализации логических (например, бисгабильных [ГО, 115] ) элементов, устройств управления света светом [12, 83, 84І, чисто оптических усилителей и ретрансляторов, устройств формирования сверхкоротких оптических импульсов с заданной формой огибающей [Зі] и т.п.
Именно возможность практического применения теоретически и экспериментально изучаемых нелинейных явлений делает исследование последних одним №3 актуальных направлений современной физики.
Уравнения стационарного режима
Зависимость отношения амплитуд нулевой (А) и минус первой (В) гармоник нулевого решения от расстройки от брэгговского условия. pa ведет себя как среда с материальной дисперсией вдали от полос поглощения.
Внутри полосы БО мнимая часть постоянной распространения Ye не равна нулю и, следовательно, периодическая структура в этой области частот является непрозрачной для электромагнитных волн.
Коэффициенты Q i ряда (П.1.2), определяющие амплитуды пространственных гармоник некоторого В -го решения, пропорциональны Sh_e , где И. - номер гармоники. При « I решение для электромагнитного поля в модулированной среде вдали от полосы БО является почти гармоническим. Внутри и в непосред УЛРАНИ и,полосы, ственной близости от БО амплитуды I -ой и ( I - 1 )-ой гармоник I -ого решения сравнимы, а относительные амплитуды остальных много меньше единицы и решение практически является бигармо-ническим. При этом, скажем, нулевое решение можно приближенно представить как сумму нулевой и минус первой гармоник Ео = є ( А а е. ;, (пл.з) где А и В - постоянные комплексные амплитуды, связь между которыми зависит от глубины модуляции и частоты. На рис. П.2 представлена зависимость отношения В/А в окрестности брэгговской частоты.
Вдали от полосы БО групповая скорость решений близка к скорости света в среде, а внутри полосы решение представляет собой стоячую волну (рис. В.З.а) и групповая скорость равна ну лю (переноса энергии нет).
Приведенные свойства периодических структур справедливы в линейном приближении. Наличие нелинейности (в данном случае активной) должно привести к изменению характера собственных волн периодически модулированной среды, заполненной двухуровневыми и четырехуровневыми частицами. Качественная картина распространения электромагнитного излучения в такой среде была описана во Введении. Для математической формулировки задачи необходимо привести некоторые дополнительные сообракения, касающиеся исходных уравнений и рамок их применения.
Для описания явлений, связанных с взаимодействием электромагнитного поля с активными частицами, будем использовать полуклассический подход, при котором поля описываются классически, а среда - квантовомеханически [33]. Такой подход оправдан, если не рассматривать шумовые явления (например, спонтанную эмиссию) и ограничиться анализом резонансного взаимодействия, когда частота электромагнитного поля близка к частотам рабочих переходов поглощающих и усиливающих частиц.
Резонансное поглощение (и связанный с ним эффект просветления поглощающего перехода двухуровневых частиц) и когерентное излучение в четырехуровневых средах как макроскопические явления обычно обусловлены электрическими дипольными переходами между различными энергетическими уровнями в атомах и молекулах [33].
Уравнения движения для электрического дипольного момента, согласно [33], можно записать в виде уравнений для полной макроскопической поляризации Р и разности населенностей в единице объема ( л/., - л/г ) 5І? + JL1E . р - л/.лпг- ЭМ-л/Q (л/,-л/0-(л/,-л/2)е _g_ эр рлок (ИЛЛ) где % - время поперечных релаксаций, связанное с шириной линии перехода; Т - время продольных релаксаций, связанное со о спонтанным излучением; SI - частота рабочего перехода; (/V4) - разность населеннойстей в отсутствие поля; & - эффективное сечение поглощения; J3 = 120 X (Ом) - волновое сопротивление вакуума; Т» - постоянная Планка; t - локальное поле, действующее на каждый атом или молекулу.
Уравнения (П,1.4)справедливы при следующих предположениях: во-первых, ширина линии перехода мала по сравнению с резонансной частотой (Sl2t2 » I); во-вторых, поле Елок постоянно по всему объему; в третьих, разность вероятностей заселения нижнего и верхнего энергетических собственных состояний приблизительно одинакова для всех молекул. В [33] показано, что эти приближения для большинства реальных случаев приводят к весьма незначительным ошибкам.
Уравнения для поляризации и разности населенностей (П.1,4) описывают поведение среды при наличии электромагнитного поля. Чтобы эта система уравнений была замкнутой, ее необходимо дополнить уравнением для поля, учитывающим обратное воздействие динамических свойств среды на это поле. Такое уравнение выводится стандартным образом из: уравнений Максвелла для изотропной поляризуемой среды и имеет вид [33] At Со ТІ1 "Лі? (П.І.5) где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, уМа - магнитная проницаемость вакуума, С0 - скорость света в вакууме.
Приближенные стационарные решения
Продифференцировав (П.3.4) еще раз и вновь положив \ = О, получим следующую пару уравнений, определяющих \ и) и vv . Продолжая эту процедуру далее, можно получить все коэффициенты разложений (П.З.б) с точностью до числа эе , которое имеет смысл собственного числа задачи.
Уравнение для определения зе (или, что то же самое, скорости стационарного решения w , поскольку v- с-26- ), можно получить из первого уравнения системы (П.3.4) положив в нем = и и второго граничного условия: wC5 x) = о. После подстановки Мйх из второго уравнения (П.3.9) в первое, получим уравнение относительно эе .
При нахождении точного решения (П.3.9) с помощью указанной методики приходится оперировать с бесконечными рядами, что сопряжено с известными математическими трудностями. Однако, если эти ряды сходятся абсолютно и равномерно, то можно воспользоваться приближенными решениями в виде ограниченных рядов Тейлора в точке = 0.
Докажем, что если система (П.3.4) имеет нетривиальное решение, то функциональные ряды (П.З.б) сходятся равномерно. Действительно, перепишем первый ряд в (П.З.б) в виде Следовательно, ряд с. ц; 2 сходится равномерно в силу признака Дирихле о равномерной сходимости функциональных рядов [117].
Равномерная сходимость рядов, соответствующих решению системы (П.ЗЛ), позволяет рассматривать приближенные решения в виде ограниченных рядов с погрешностью приближений порядка старшего отброшенного члена и разыскивать эти решения методом последовательных приближений.
Этот метод может быть реализован следующим образом. Допустим, что найдено решение в некотором л/ -ом приближении в виде ограниченных рядов чсо-z СУ, b?SV.
В этом же приближении найдены также и значения vMa и и В силу равномерной сходимости рядов (П.З.б) в следующем (л/+1)-ом приближении числа +,4 и зе м должны отличаться от v и 9GV на малую величину СА/+.) Х = л/м«х + Ал/ 7 Если ограничиться только первым порядком этих малых величин, то решение в (лЛ 4 )-ом приближении можно записать так
Подставив последние выражения в уравнения (П.3.9) и учитывая и в них только величины первого порядка малости, получим линейные соотношения, определяющие А д/ и Д эел/ . Таким образом, решение (П.3.4) может быть найдено с любой степенью точности. Количество членов, учитываемых в разложениях (П.З.б) для обеспечения необходимой точности зависит от соотношений между коэффициентами , Jb и Т . Так, при ft = 0, ненулевыми оказываются только два первых члена в разложениях (П.З.б) и точное решение (П.3.4) при этом имеет вид q,CiWe)+ 4 . (п 3,10)
Если уь 0, но не слишком велико, точность с которой приближенные выражения (П.3.10) описывают решение системы (П.3.4) оказывается вполне достаточной для выяснения основных особенностей стационарных решений.3 Поэтому дальнейший анализ ограничен этим приближением.
Приближенные стационарные решения. Следуя методике, изложенной в предыдущем параграфе, найдем решения в параболическом приближении (П.3.10), когда /(.) Можно показать, в частности, что при fi 4- 0,01 #V максимальные значения отброшенных членов разложений (П.З.б) не превышают 3 % от максимальных значений и . С уменьшением fi точность возрастает. представляется квадратичной параболой от J? , а (2) прямой.
Решая систему алгебраических уравнений (П.3.7), (П.3.8), выразим значения коэффициентов WCI), wu , V 0) и V че-рез параметры среды и собственное число : W " Wc, w С2) = -« V \p]{KT+ [VT} (П.4.І) cj(Os w«V 2 О 0 Для определения собственного числа ае осталось подставить полученные выражения в систему (П.3.9). После несложных преобразований можно получить
Подставив теперь (П.4.1) и (П.4.2) в систему (П.3.10) и ограничиваясь членами, пропорциональными в степени не выше первой, запишем решение системы (П.3.4) в "параболическом" приближении:
Эти решения справедливы при выполнении неравенства ft « ${г&ы Если это неравенство не выполняется, то необходимо учитывать следующие члены в разложениях (П.3.6). Полученные соотношения (П.4.3) позволяют найти и явную за висимость W и fy от относительной стационарной координаты = к Si m Действительно, в силу введенных ранее обозначений W(S)d4 = c » и интегрируя первое уравнение (П.4.3) по по лучим , U Є ъ4Ъ \ л (П.4.4) Соответственно, для W($) , %(%) и скорости стационарного решения V" после подстановки (П.4.4) в (ЇЇ.4.3) с учетом (П.4.2) находим
Аналитический вид стационарных решений
Из приведенного анализа видно, что поведение стационарных решений при отстройке вверх и вниз по частоте различно. Такая несимметрия в зависимости энергий нелинейных решений от расстройки объясняется тем, что в сильном поле из-за нелинейности рассматриваемой среды имеют место одновременно два явления: уменьшение ширины полосы БО из-за уменьшения эффективной глубины модуляции решетки, и сдвиг центра полосы БО в сторону низких частот из-за увеличения эффективного показателя преломления.
Этот сдвиг растет с ростом амплитуды поля и определяет динамическое положение центра полосы БО на частотной оси. Поскольку сдвиг происходит в сторону низких частот, "просветление" решетки на высокочастотном краю брэгговской полосы достигается при меньших энергиях, чем на низкочастотной.
Смещением центра полосы БО под действием поля объясняется и наличие различных классов стационарных решений слева от низкочастотной границы линейной полосы БО. В этой области расстроек характер распространения стационарных решений зависит от их энергии.
Для слабых полей влияние нелинейности незначительно, границы динамической полосы БО практически совпадают с границами линейной полосы и стационарным решениям соответствуют траектории Д на рис. Ш.4. Максимальные амплитуды этих решений изменяются в пределах 0 ьх ах 4 -I -/» (для них -(I +/л )г Сч 0) и по физическому смыслу они эквивалентны стационарным решениям с малой энергией справа от высокочастотной границы линейной полосы БО (см. рис. 1.3). С увеличением абсолютного значения отстройки / и те и другие решения стремятся к гармоническим решениям линейной периодической структуры вдали от брэгговского условия.
Для интенсивных полей смещение границ динамической полосы БО может быть таково, что центр частотного спектра стационарного решения оказывается внутри нее. В этом случае распространение стационарных решений возможно с энергиями, не меньше пороговой W»wp = I - /И , с которой начинается "просветление" среды. Следовательно, слева от низкочастотной границы линейной полосы БО можно указать интервал энергий -i - r r 1 - уи для которого стационарные решения не существуют. Вне этого интервала стационарные решения соответствуют либо траекториям Д на рис. ШЛ (и для них 20 гх -1 - /л ), либо траекториям А, Б, В, Г и Е, для которых іЛ"Мйу Л - /и .
Рассмотрев фазовые траектории, соответствующие стационарным решениям системы (Ш.2.І) и выяснив с их помощью особенности поведения решений в зависимости от расстройки, обратимся к рассмотрению аналитических решений уравнений стационарного режима. Из уравнения (Ш.2.2) имеем d - 72 -Левую часть уравнения (Ш.З-І) подстановками ДЛЯ С1 О и с- г, „ 1+ с _ Т2 Ь/М-хГеі для С1 О после серии преобразований удается свести к нормальной форме эллиптических интегралов первого рода [120 ] FC lm) = ± At, где d4 \l \- m s; v , m и ,J г m = —ггг—l л = г- - =- - ДЛЯ C 1 Введя в соответствии с [120] функции Якоби и Sn , запишем окончательно решение системы (Ш.І.8)
Полученные соотношения являются как решением системы (Ш.І.8), так и частным решением системы (Ш.І.6), которой они удовлетворяют тождественно для любых значений скорости v (в чем нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (Ш.3.2) в (Ш.1;6)). Последнее подтверждает правомерность сделанных ранее предположений о существовании стационарного режима в окрестности брэгговской частоты рассматриваемой структуры и правильность полученных стационарных решений. В общем случае, эти решения для ъг представляют собой периодические по г и "t функции, период и максимальные значения которых определяются параметрами среды, скоростью распространения гг и величинами и 1 .
Поскольку принятые обозначения эллиптических функций не отличаются особой наглядностью, рассмотрим некоторые значения ъта и о , для которых стационарные решения (Ш.3.2) могут быть записаны либо в элементарных функциях, либо приближенно в виде асимптотик. I. гт0 = і -/л , сро= & . Тогда С1 = - (I - /л )2 и для действительности и ы необходимо потребовать (CoS H- )1- (Л-/л)г , О, ИЛИ (Cos +2/4-1) (CoS + і) о.
Откуда следует = А = & и, следовательно, -ы0 =1-уи. Эти решения соответствуют точкам А на рис. Ш.І и Ш.4 и, как указывалось, определяют то минимальное значение запасенной энергии, которое необходимо для компенсации модуляции показателя преломления.
Дисперсионные характеристики линейных связанных периодически модулированных волноводов. Линейные решения для электромагнитного поля
Поскольку в Фь в качестве слогаемых входят как спектры солитоноподобных решений, так и произведения этих спектров на зе (см. (ІУ.4.8)), то оригиналы 4 и (г) будут состоять из самих солитоноподобных решений ( А и 6 ) и их производных по г . Свертка таких функций с экспонентай е даст также комбинацию колоколообразных функций и их производных.
Таким образом, для рассматриваемого взаимодействия, возмущение прямой волны четной моды представляет собой локализованный по г импульс, форма которого периодически меняется во времени. То же самое, очевидно, относится и к возмущению обратной волны четной моды.
Явная зависимость возмущений от г весьма громоздка, поэтому не приводя ее здесь ограничимся только некоторыми качественными соображениями.
В силу того, что в Ф„( ) входят комбинари солитоноподобных функций и их производных, периодическое изменение формы возмущений проявляется в периодическом колебании их "центров тяжести" около "центра тяжести" солитоноподобного решения. Последнее, в свою очередь, приводит к периодическому изменению во времени положения максимума распределения солитоноподобной волны вдоль г (рис. ІУ.6). То есть неподвижный солитон, взаимодействуя с движущимся периодическим решением, начинает сам периодически колебаться во времени.
Таким образом, в первом порядке теории возмущений наряду с деформацией солитоноподобной волны, эффект взаимодействия приводит к периодической модуляции групповой скорости ее распространения.
Более полный анализ взаимодействия электромагнитных волн в реактивных линиях не входил в круг задач настоящей диссертации, посвященной стационарным волнам. Приведенные результаты по взаимодействию решений можно рассматривать как первый шаг в исследовании более сложных, нежели стационарные, процессов.
Основные результаты и выводы к главе ІУ.
В главе рассмотрены особенности распространения электромагнитных волн по двум связанным волноводам с периодической модуляцией эффективного показателя преломления и кубичной реактивной нелинейностью. На основе анализа этой структуры получены следующие основные результаты:
1. Б приближении слабой связи волноводов и малости глубины модуляции эффективного показателя преломления с помощью метода медленно меняющихся амплитуд исходное 2-х мерное скалярное уравнение для электрического поля электромагнитной волны сведено к системе четырех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно комплексных амплитуд прямых и обратных волн в одном и другом голноводах,
2. Получены и проанализированы дисперсионные характеристики и решения для электромагнитного поля линейных связанных периодически модулированных волноводов. Показано, что наличие сильной (относительно эффектов рассеяния на периодической структуре) связи приводит к просветлению структуры на брэгговской частоте и образованию двух полос БО, соответственно, для четной и нечетной мод. Указана возможность создания узкополосных полосовых и заградительных фильтров на основе линейных связанных модулированных волноводов.
3. Показано, что при синфазном и противофазном распределе - 108 ний полей в волноводах, соответствующих распространению четной или нечетной мод структуры, в ней существуют медленные стационарные волны, полностью эквивалентные стационарным волнам для нелинейной среды с одномерной модуляцией диэлектрической проницаемости.
4. Рассмотрен один из частных случаев взаимодействия стационарных решений. Показано, что в первом порядке теории возмущений одним из эффектов взаимодействия слабого периодического решения с интенсивным солитоноподобным является периодическое изменение скорости последнего.
