Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы
В последнее Бремя нелинейная динамика получает псе большее распространение и проникает в самые различные области естествознания. Давно уже стал привычным (и даже само-собой разумеющимся) подход к радиофизическим системам как к типичным представителям "нелинейнодинамнческого" мира. Идеи нелинейной динамики с успехом применяются при исследовании сложных физических систем, таких как лазеры, "электронный поток — электромагнитное поле" п т.д. Более того, в последнее время совершенно отчетливо прослеживается тенденция использования идей и методов нелинейной динамики для исследования и описания нефизических объектов, таких как биологические, экономические и социальные. В то же самое время среди исследователей (Ашпценко B.C., Кузнецов СП., Кузнецов А.П., Рабинович М.И., Ланда И.С., Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Каиско К., Chua L.O., Komuro М., Matsiinioto Т.) не угасает интерес к простым нелинейным системам, которые, несмотря на их простоту, демонстрируют сложную динамику, являясь как бы ключом к пониманию общих закономерностей, характерных для нелинейного мира. Среди них выделяется группа систем с кусочно-линейными характеристиками.
Аироксимацпя нелинейных элементов динамических систем кусочно-линейными функциями используется довольно часто и широко. Стоит однако отметить, что этим далеко не исчерпывается роль кусочно-линейных систем: они представляют немалый интерес для исследователей сами по себе, а их поведение, как показывают результаты многочисленных исследовании, несмотря на внешнюю простоту, оказывается подчас чрезвычайно сложным. В этом отношении кусочно-линейные схемы нисколько не уступают своим нелинейным "собратьям". Пожалуй, для хусочно-линейных систем характерны те же особенности, что и для чисто нелинейных объектов.
Неудивительно поэтому, что относительно простые кусочно-линейные системы стали объектом пристального внимания со стороны нс-
следователей: в них активно исследуются явления стохастического резонанса (работы Анищенко B.C. и его научной группы), гиперхаотического поведения, управляемого хаоса (Nakagava S., Saito Т., Tsubone Т., Aguirre L.A.), сосуществования нескольких хаотических и/или периодических аттракторов (Sanada N., Saito Т, Lozi R., Ushiki S), перемежаемости т.д.
Следует отметить, что среди систем с кусочно-линейными характеристиками особое центральное место занимают так называемые "схемы Чуа", которые стали классическими радиотехническими кусочно-линейными схемами со сложным поведением. Несмотря на то, что эти схемы относительно просты, и, казалось бы, уже весьма хорошо изучены, число публикаций, посвященных исследованиям схем Чуа не уменьшается: эти схемы стали как бы "зеркалом", в котором отражаются все современные идеи и методы нелинейной динамики (Анищенко B.C., Кузнецов СП., Кузнецов А.П., Chua L.O., Komuro М., Sanada N., Saito T, Matsumoto Т.). Помимо изучения вышеописанных явлений для сегодняшнего дня характерно исследование нескольких схем Чуа, соединенных друг с другом, цепочек из этих схем, и даже массивов. Активно исследуются вопросы прохождения (и последующего восстановления) сигнала через цепочку схем Чуа, модуляции и демодуляции сигналов, которые могут иметь важное практическое применение (Itoh М., Murakami П., Chua L.O., Savaci F.A.).
Кусочно-линейные системы, в том числе (а может быть и прежде всего) схемы Чуа стали своеобразным "полигоном", на котором отрабатываются и апробируются новые идеи и методы, ведь с одной стороны, они являются типично нелинейными объектами, со всеми характерными особенностями, а с другой стороны, за счет кусочно-линейного характера систем, когда на каждом отдельном участке характеристики система может рассматриваться как линейная (а значит, к ней может быть с успехом применен математический аппарат линейной теории), возможно аналитическое рассмотрение динамики изучаемой системы, что почти никогда не удается сделать для обычных нелинейных систем. Безусловно, возникают серьезные проблемы при сшивании решений линейных областей друг с другом, когда система переходит с одной ветви
характеристики на другую, но иногда эти трудности удается преодолеть и получить весьма интересные результаты.
Результаты, полученные при исследовании динамики систем-с
кусочно-линейными характеристиками имеют как важное практическое, так и теоретическое значение: поскольку, как уже было неоднократно сказано выше, для таких систем характерны все те же особенности поведения, что и для нелинейных систем, то получаемые результаты имеют большое значение для развития теории динамических систем, теории колебаний и волн, нелинейной динамики. Все это позволяет утверждать, что исследование систем с кусочно-линейными характеристиками на сегодняшний день представляет собой значительный интерес (как практический, так и, прежде всего, теоретический) и обуславливает актуальность и важность темы настоящей диссертационной работы.
Цель работы
В настоящей диссертационной работе ставится целью исследовать сложную динамику отдельных систем с кусочно-линейными характеристиками. Стоит подчеркнуть, что данная работа направлена не только (а, точнее говоря, даже не столько) на изучение поведения классических схем т1уа (хотя конечно же полностью их проигнорировать нельзя, и одна но таких схем будет рассмотрена в диссертации), но и других систем с кусочно-линейными элементами. Проведенные исследования не ограничиваются изучением динамики только одних лишь потоковых систем, т.е. систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями: в работе уделено также внимание системам с дискретным временем — отображениям. Более подробно цели настоящей работы можно сформулировать следующим образом:
-
Изучение вопроса, насколько влияет замена нелинейного элемента его кусочно-линейным аналогом на динамику системы на примере конкретного радиофизического генератора.
-
Исследование возможности описания динамики потоковой системы с помощью дискретного отображения. Речь здесь прежде
всего идет о построении дискретной модели потоковой системы, динамика которой качественно повторяет динамику объекта, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Исследование систем (как с непрерывным, так и с дискретным временем) с кусочно-линейными характеристиками на плоскости управляющих параметров. Такое исследование дает наиболее полную и целостную информацию о поведении изучаемых объектов, закономерностях смены различных колебательных режимов и переходов от периодических колебаний к хаотическим.
-
Исследование сложного поведения одной из схем Чуа на плоскости управляющих параметров в окрестности линии бифуркации рождения двумерного тора.
-
Изучение сложного поведения классических систем с дискретным временем - логистических отображений - связанных друг с другом принципиально новым типом связи ("пороговая связь"), существенную роль в которой играют кусочно-линейные характеристики.
Научная новиона
В настоящей диссертационной работе впервые предложен новый тип дискретных отображений, позволяющий качественно описывать динамику определенного круга систем с непрерывным временем. На примере конкретной радиофизической системы показано, что подобный подход оказывается весьма оффективным с точки зрения совпадения поведения потоковой и дискретной систем.
Также впервые исследован самоподобный характер поведения потоковой кусочно-линейной системы (генератора "TORUS") в окрестности линии бифуркации рождения двумерного тора из предельного цикла.
Впервые рассмотрена динамика классических логистических отображений с принципиально новым — пороговым типом связи (были исследованы как два отображения со взаимной двунаправленной связью,
так и одномерная цепочка таких логистических отображении с однонаправленной связью). В частности, было показано, что в одномерной цепочке таких отображений возможно распространение уединенного импульса.
Обоснование и достоверность получсшгых результатов
Хорошее совпадение результатов натурных и численных экспериментов, соответствие результатов численного моделирования и аналитических выкладок, воспроизводимость результатов, их соответствие результатам, описанным в литературе позволяет говорить об их достоверности и обоснованности.
Практическая значимость
Представленные в настоящей диссертационной работе результаты могут найти практическое применение при создании (и исследовании) определенных радиофизических систем: с помощью предложенного нового типа отображения возможно быстро "конструировать" дискретную модель-аналог исходной системы, с тем чтобы за короткое время получить полную качественную картину поведения создаваемой системы в зависимости от значении управляющих параметров, определить основные наиболее характерные режимы работы. Хотя, безусловно, предлагаемый новый тип отображения не является панацеей и, конечно же, не подойдет для всех без исключения радиофизических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, простота анализа дискретной системы на плоскости управляющих параметров по сравнению с таким же исследованием потоковых систем делает использование подобных отображений весьма привлекательным.
Полученные результаты исследования одномерной цепочки логистических отображений с однонаправленной пороговой связью могут найти практическое применение при создании искусственных сред, обеспечивающих трансляцию импульса или последовательности импульсов.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения (111 стр. основного текста), 39 иллюстраций, 15. стр. списка литературы, включающего в себя 131 наименование.
