Содержание к диссертации
Введение
1 Метод различения созвездий КАМ сигнала 10
1.1 Методы определения видов модуляции 10
1.1.1 Алгоритмы на основе метода максимального правдоподобия 12
1.1.2 Алгоритмы на основе метода минимального расстояния 13
1.2 Метод различения созвездий КАМ сигнала 15
1.3 Выводы 19
2 Методы оценки амплитуды КАМ сигнала и отношения сигнал/шум 20
2.1 Постановка задачи 20
2.2 Граница Рао-Крамера 21
2.3 Оценка методом моментов 24
2.3.1 Оценка с использованием второго и четвёртого моментов 25
2.3.2 Оценка с использованием первого и второго моментов 26
2.3.3 Анализ результатов статистического моделирования 27
2.4 Оценка с использованием итерационного процесса ЕМ-типа 32
2.4.1 Общая схема построения алгоритма ЕМ-типа для оценки параметров смеси распределений 32
2.4.2 Способы аппроксимации распределения Раиса 34
2.4.3 Алгоритм ЕМ-типа для гауссовского приближения 34
2.4.4 Алгоритм ЕМ-типа для приближения с повышенной точностью 36
2.4.5 Обобщение для созвездий, содержащих нулевой уровень амплитуды . 38
2.4.6 Сравнительный анализ способов аппроксимации функции правдоподобия 41
2.4.7 Анализ влияния числа итераций и способа выбора начальных условий на статистические характеристики оценки 43
2.5 Выводы 49
3 Метод оценки несущей частоты и начальной фазы КАМ сигнала 52
3.1 Постановка задачи 52
3.2 Методы синхронизации по несущей частоте КАМ сигнала 54
3.3 Предлагаемый метод оценки несущей частоты и начальной фазы КАМ сигнала 61
3.4 Асимптотическая дисперсия оценки параметров комплексного гармонического сигнала на фоне аддитивного белого шума методом наименьших квадратов . 65
3.5 Учёт влияния порогового эффекта 69
3.6 Асимптотическая дисперсия оценки несущей частоты и начальной фазы КАМ сигнала 71
3.7 Анализ статистических свойств оценок 75
3.7.1 Цели статистического моделирования 75
3.7.2 Описание модели 76
3.7.3 Влияние параметра q нелинейного преобразования сигнала на характеристики оценок в зависимости от структуры созвездия 79
3.7.4 Анализ границ применимости выражений без учёта порогового эффекта 81
3.7.5 Анализ границ применимости поправок, учитывающих пороговый эффект 83
3.7.6 Оптимальный выбор параметра q нелинейного преобразования 86
3.7.7 Анализ статистической эффективности оценок 87
3.7.8 Число итераций точного поиска и вероятность формирования некорректных начальных условий 91
3.7.9 Влияние точности оценки ОСШ на эффективность алгоритма 91
3.8 Выводы 92
4 Анализ энергетической эффективности предложенного алгоритма различения со звездий 94
4.1 Анализ влияния оценки амплитуды и ОСШ 95
4.2 Анализ влияния оценки несущей частоты и начальной фазы 97
4.3 Анализ совместного влияния оценок несущей частоты, начальной фазы, амплитуды и ОСШ 99
4.4 Выводы 103
Заключение 104
Приложение А
- Алгоритмы на основе метода минимального расстояния
- Анализ результатов статистического моделирования
- Анализ влияния числа итераций и способа выбора начальных условий на статистические характеристики оценки
- Асимптотическая дисперсия оценки параметров комплексного гармонического сигнала на фоне аддитивного белого шума методом наименьших квадратов
Введение к работе
Актуальность проблемы
Одной из проблем, связанных с развитием новых направлений в системах цифровой связи, является значительное усложнение процесса тестирования и отладки оборудования, вызванное увеличением количества изменяющихся во время работы системы параметров сигнала. В связи с этим существует потребность в инструменте для автоматизированного анализа сигнала, который был бы способен, определив вид модуляции, выполнить все необходимые измерения, а также при необходимости сравнить характеристики принимаемых сигналов с заранее заданной эталонной моделью.
Схожая по постановке задача представляет интерес для служб радиоконтроля. Появление новых систем связи и бурное развитие беспроводных технологий в последние годы приводит к ощутимому увеличению объёма задач, связанных с обеспечением их электромагнитной совместимости. Возможность регистрации мешающего сигнала с последующим автоматическим определением его типа существенно упростила бы процедуру поиска источника помехи.
Таким образом, можно прийти к выводу, что проблема автоматического определения вида модуляции и анализа радиосигнала является актуальной.
Не смотря на высокий интерес к этой проблеме и большое количество работ по данной тематике, опубликованных за последние 20 лет, основная их масса посвящена либо отдельным аспектам данной задачи, либо узкоспециализированным решениям, рассчитанным на работу с определённым набором систем связи. При этом нередко задача определения вида модуляции рассматривается в отрыве от оценки параметров сигнала и предлагаемые алгоритмы не могут напрямую применяться в рамках рассматриваемых приложений. Таким образом, задача автоматического определения вида модуляции при неизвестных параметрах сигнала на сегодняшний день в полной мере не решена.
Цель и задачи работы
Целью данной работы являлась разработка и анализ эффективности алгоритма различения созвездий квадратурной амплитудной модуляции (КАМ), применимого к широкому классу созвездий и позволяющего автоматизировать процедуру синтеза алгоритма при расширении набора гипотез. Параметры сигнала (последовательность символов сообщения, амплитуда, несущая частота, начальная фаза, тактовая частота, задержка распространения, сигнальный импульс и отношение сигнал/шум) неизвестны, а в качестве меры качества алгоритма выбрана энергетическая эффективность, то есть зависимость вероятности ошибки различения от значения отношения сигнал/шум, определяемого как отношение средней энергии символа к односторонней спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ).
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:
Разработан алгоритм различения созвездий КАМ сигнала в условиях параметрической априорной неопределённости.
Разработан метод оценки амплитуды КАМ сигнала и отношения сигнал/шум, инвариантный к последовательности символов сообщения, а также сдвигу несущей частоты и начальной фазы. Проанализированы его статистические характеристики.
Разработан метод оценки несущей частоты и начальной фазы КАМ сигнала на фоне АБГШ, инвариантный к передаваемой последовательности символов сообщения. Исследованы его статистические свойства.
Проведён анализ влияния предложенных методов оценки параметров сигнала на энергетическую эффективность различения созвездий.
Методы исследования
Для решения сформулированных задач использовался аппарат математической статистики и теории вероятностей, методы статистической радиофизики, аналитические методы математического анализа, а также численные методы и статистическое моделирование.
Практическая ценность работы
Полученные в работе результаты могут быть использованы при построении систем автоматического анализа сигналов с цифровой модуляцией и контрольно-проверочного оборудования. Разработанный метод различения созвездий КАМ применим к широкому классу созвездий и позволяет расширять число гипотез, причём процесс синтеза алгоритма для нового набора гипотез может быть автоматизирован. Предложенные в работе методы оценки параметров КАМ сигнала по энергетической эффективности близки к границе Рао-Крамера и могут применяться также для решения других задач, связанных с анализом сигналов с цифровой модуляцией.
Апробация результатов работы и публикации
Основные результаты, полученные в работе, были доложены и обсуждены на XII, XIII, XIV и XV Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2006, 2007, 2008 и 2009 г. соответственно; Международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации», Владимир-Суздаль, 2007; VII Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы радиоэлектроники», Красноярск, 2008; VII Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара, 2008; IX Международной научно-технической конференции
«Проблемы техники и технологий телекоммуникаций», Казань, 2008. По результатам диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, входящих в список, рекомендуемый ВАК РФ.
Научные результаты и положения, выносимые на защиту
Алгоритм различения созвездий КАМ сигнала, основанный на методе максимального правдоподобия и разработанных в диссертации методах оценки параметров КАМ сигнала. Результаты анализа с помощью статистического моделирования энергетической эффективности различения созвездий. Результаты анализа влияния предложенных методов оценки параметров на этот показатель.
Метод оценки амплитуды КАМ сигнала и отношения сигнал/шум (ОСШ) на основе итерационного процесса ЕМ-типа. Аналитические выражения, описывающие фазы алгоритма для двух аппроксимаций функции правдоподобия в области высоких ОСШ. Результаты анализа с помощью статистического моделирования свойств получаемых таким способом оценок. Установлено, что предложенный метод по эффективности близок к границе Рао-Крамера.
Метод оценки несущей частоты и начальной фазы КАМ сигнала, основанный на согласованном нелинейном преобразовании и методе наименьших квадратов. Аналитическое выражение для нелинейного преобразования мгновенной амплитуды, приводящего к минимизации асимптотической (при большом объёме выборки) дисперсии данных оценок. Аналитическое выражение для поправки, учитывающей пороговый эффект при большом объёме выборки. Результаты анализа с помощью статистического моделирования границ применимости полученных выражений и статистической эффективности синтезированных оценок, а также влияния на этот показатель ошибки оценки ОСШ. Проведено сравнение эффективности с известными алгоритмами.
Структура и объём диссертации
Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 103 наименования, двух приложений, содержит 54 рисунка, 9 таблиц. Общий объём диссертации составляет 120 страниц.
Алгоритмы на основе метода минимального расстояния
В работе [51] предложен алгоритм различения созвездий линейной модуляции при полностью известных параметрах сигнала, основанный на методе минимального расстояния Хел-лингера (МРХ). По утверждению авторов, главным его преимуществом в сравнении с методом МП является робастность — нечувствительность к отклонениям статистической модели от предполагаемой. Как известно, МП оценка часто претерпевает резкое ухудшение характеристик, если малая часть выборки подчиняется другому закону распределения. Метод МРХ, напротив, устойчив к выбросам и отклонениям от нормальности в направлении устойчивых-альфа законов распределения [51]. Если же выборка целиком описывается предполагаемым законом распределения, МРХ оценка асимптотически (при большом объёме выборки) эквивалентна МП оценке [5]. В рамках предложенного авторами подхода каждому из К возможных созвездий сопоставляется размерность и точка в евклидовом /С-мерном пространстве. Принятому сигналу ставится в соответствие вектор в этом пространстве, координаты которого представляют собой расстояния Хеллингера между оценкой распределения принятого сигнала и распределением сигнала с соответствующим созвездием. Далее, поскольку вектор гауссовский, задача решается известными методами. В работе предложено два пути для понижения вычислительной ресурсоёмкое алгоритма. Первый заключается в уменьшении размерности пространства посредством выбора наиболее информативных измерений на этапе синтеза алгоритма. Второй путь позволяет минимизировать число вычисляемых расстояний благодаря использованию процедуры иерархической кластеризации точек, соответствующих созвездиям, в «оптимизированном» пространстве.
Статистические свойства алгоритма проанализированы с помощью имитационного моделирования для пятнадцати созвездий при фиксированном значении отношения сигнал/шум (ОСШ) 15 дБ, пространство редуцировано до двумерного, приведена структура иерархической кластеризации гипотез. Основной проблемой алгоритма является вычисление расстояния Хеллингера. В работе [51] предполагалось, что объём выборки достаточно велик, чтобы в качестве оценки плотности распределения выборки можно было использовать гистограмму. Однако такой подход мало привлекателен для практического применения, поскольку требуется большое число сегментов гистограммы для достижения необходимой точности, а также большой объём выборки. В статье [55] предложен способ оптимального разбиения комплексной плоскости, минимизирующий число таких сегментов, и позволяющий, по утверждению авторов, значительно снизить вычислительную ресурсоёмкость алгоритма, в том числе, по сравнению с методом МП. Показано, что оптимальное разбиение достигается по линиям уровня отношения правдоподобия. Приведено выражение для оценки объёма выборки, необходимого для различения двух созвездий, в зависимости от расстояния Хеллингера между ними. С помощью имитационного моделирования показано, что предложенный метод более устойчив, чем метод МП к отклонениям статистической модели от предполагаемой. В качестве искажения модели использовались отсчёты сигнала со значением ОСШ на 10 дБ ниже предполагаемого. Необходимо однако заметить, что, хотя предложенный в [55] метод позволяет свести процесс вычисления расстояния к подсчёту числа выборок сигнала, попавших в определённую область комплексной плоскости, границы областей описываются достаточно сложными выражениями, сравнимыми по ресурсоёмкое с вычислением функции правдоподобия. Поэтому предложенное в работе [91] развитие этого подхода применительно к узкому классу созвездий — ФМн — более привлекательно, поскольку разбиение комплексной плоскости выполняется прямыми, проходящими через начало координат, и размерность уменьшена с 2 до 1. Также в этой работе предложен способ разбиения, который, в отличие от [55], подходит для вычисления сразу нескольких расстояний.
Подводя итог, отметим, что общим недостатком алгоритмов, основанных на методе МРХ, является необходимость вычисления расстояния Хеллингера и, как следствие, требуется оценка плотности распределения вероятностей сигнала. Для её получения с достаточно высокой точностью необходим либо большой объём выборки, либо большой объём вычислительных ресурсов. Квадратурная амплитудная модуляция (КАМ) представляет собой один из классов полосовой цифровой модуляции, широко применяемых в настоящее время [98,102]. КАМ сигнал общего вида на несущей частоте П0 с начальной фазой ф0 описывается следующим выражением: где t Є [0; NTS), Es — величина, пропорциональная мощности сигнала, Ts — символьный период, t0 — задержка распространения, p(t) — сигнальный импульс, Ьк — последовательность N комплексных чисел, выбранных из М-позиционного созвездия їх = {/хь//2,..., /лм} в соответствии с передаваемыми N символами сообщения с;, следующим образом: bk = /xCfc, где ( Є {1,2,..., М}. Для удобства введём следующую нормировку по мощности для созвездия и сигнального импульса: Если дополнительно предположить, что передаваемые символы равновероятны, то величина Es приобретает более конкретный физический смысл — это средняя энергия сигнала, переносимая за длительность символа, а величина А0 = уЩ2- представляет собой амплитуду сигнала. В общем случае при анализе КАМ сигнала (1.1) неизвестными параметрами являются Es, Ts, to, p(t), Q.Q, фо, bk и /І. Кроме того, в процессе передачи через канал сигнал неизбежно подвергается искажениям, характеристики которых также неизвестны на приёмной стороне. Эти искажения носят случайный характер, поэтому задача определения параметров сигнала должна решаться статистическими методами посредством синтеза выборочных оценок.
На практике для этой цели часто используется метод максимального правдоподобия, приводящий в большинстве случаев к эффективным оценкам. Однако, при таком количестве оцениваемых величин его реализация потребует огромного объёма вычислительных ресурсов. Для снижения вычислительной ресурсоёмкости процесс получения оценок параметров сигнала целесообразно разбить на отдельные этапы, работающие каждый со своим набором параметров. В этом случае на каждом из этапов могут применяться менее ресурсоёмкие квазиоптимальные методы. Поскольку в рамках решаемой в данной работе задачи все параметры сигнала, за исключением созвездия //, являются неинформативными (мешающими) [32], для их учёта можно воспользоваться байесовским подходом [32,34]. В частности, далее будем считать, что символы сообщения равновероятны и независимы. Такое предположение не ограничит общности предлагаемого решения в связи с тем, что в системах связи информационный поток, как правило, хорошо «рандомизован» в результате кодирования источника, перемежения и канального кодирования, а длительность информационной части пакета значительно превышает длину синхропоследовательности. Обозначим рт вероятность т-й позиции созвездия в сигнале (то есть, вероятность того, что с/. = т). С учётом сформулированного предположения рш = 1/М для т = 1, М. Будем считать, что созвездие // относится к одному из Н возможных созвездий { 1\ р№\..., [/н"ї}, наблюдаемых с равными априорными вероятностями. В этом случае предлагаемый алгоритм различения созвездий, основанный на методе максимального правдоподобия, представляется в следующей форме (см. рис. 1.2). Для каждой гипотезы относительно предполагаемых созвездий находится оценка параметров сигнала в предположении, что гипотеза верна, затем вычисляются функции правдоподобия, при этом неизвестные значения параметров заменяются полученными оценками. Далее выносится решение в пользу того созвездия, которому соответствует максимальное значение функции правдоподобия.
Анализ результатов статистического моделирования
Для анализа статистических свойств оценок амплитуды КАМ сигнала и дисперсии квадратурных компонент АБГШ методом моментов использовалось статистическое моделирование. Результаты были получены для созвездий 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 из набора, приведённого в приложении А. При моделировании для каждого значения отношения сигнал/шум в диапазоне от 0 до 20 дБ с шагом в 1 дБ генерировалось по 10000 реализаций. Каждая реализация представляла собой комплексный сигнал длительностью 100 отсчётов г (1.5). Синтез реализаций выполнялся в среде Matlab 7.3.0, для хранения полученных выборок использовался формат double, определённый стандартом IEEE-754. Для обработки сигналов было разработано специализированное программное обеспечение. Для вычисления значений вырожденной гипергеометрической функции использовались алгоритмы библиотеки «AlgLib» [37], при этом ограничение на максимально допустимую абсолютную ошибку было изменено с Ю-12 на Ю-10 для того, чтобы обеспечить возможность вычисления G(x) вблизи х = 1. Функции G(x) для рассматриваемых созвездий показаны на рисунке 2.1. Помимо (2.24) и (2.29) анализировались оценки амплитуды, основанные на среднем значении огибающей, её среднеквадратичном значении, а также выборочной медиане. Хотя эти способы не подходят для решения сформулированной задачи, поскольку не позволяют оценить а2, представляет интерес их сравнение с указанными оценками. Для вычисления (2.29) использовалась кусочно-линейная аппроксимация х — G l(y) с постоянным шагом по у на интервале у Є [G(0); С?(1)]. Значение х в узловых точках вычислялось решением уравнения ХІ — G l(yi) = 0 методом хорд. Точность такой аппроксимации зависит от шага разбиения интервала у Є [G(0);G(1)} на сегменты, а также от погрешности вычисления Xi = G_1(2/i) в узловых точках. Для того чтобы оценить влияние погрешности ап проксимации на эффективность оценки амплитуды, при анализе использовались три градации точности, характеристики которых приведены в таблице 2.1. Рис. 2.1. Вид функции у = G(x), вычисляемой при оценке амплитуды КАМ сигнала и дисперсии квадратурных компонент АБГШ методом моментов с использованием первого и второго моментов огибающей. Цифрами обозначены номера созвездий, приведённых в приложении А, которым соответствуют зависимости десяти тысяч точек. При этом в качестве истинного х = G 1(y) принималось значение, полученное путём решения уравнения х — G l(y) = 0 с точностью, на два порядка превышающей точность аппроксимации в узловых точках. В ходе моделирования установлено, что разница между нормированными СКО у {{А — А)2)/А оценки амплитуды Л для низкой и средней точности аппроксимации не превышает 4.23 10_3, а для средней и высокой точности не превышает 1.18- Ю-4.
Это позволило сделать вывод о достаточности для применения на практике параметров аппроксимации, соответствующих «низкой» точности. На рисунке 2.2 приведены зависимости нормированной среднеквадратичной ошибки оценки амплитуды от значения ОСШ для КАМ сигнала с одним уровнем амплитуды. Сравнивая приведённые кривые, можно прийти к заключению, что в данном случае наибольшей эффективностью обладают оценки основанные на первом и втором, а также втором и четвёртом моментах. Поскольку второй способ требует меньшего объёма вычислительных ресурсов, предпочтение в данной ситуации следует отдать ему. Аналогичная закономерность наблюдается и для оценок а2. Полученные результаты хорошо согласуются с приведёнными в [44]. В результате моделирования установлено, что для созвездий с несколькими уровнями амплитуды качественно характер результатов не зависит от созвездия. На рисунке 2.3 для примера приведены зависимости нормированной СКО, а на рисунке 2.4 — нормированного смещения оценки амплитуды от ОСШ для созвездия 13 (см. приложение А). Общим свойством рассматриваемых методов применительно к таким созвездиям является то, что СКО по мере увеличения ОСШ начиная с некоторого значения перестает убывать, стремясь к некоторой постоянной величине. Таким образом, проигрыш по сравнению с границей Рао-Крамера возрастает по мере увеличения ОСШ, что является существенным недостатком. Сравнивая на рис. 2.3 кривые под номерами 2 и 3, а на рис. 2.4 зависимости 1 и 2, можно заключить, что в данном случае предпочтение также следует отдать методу, основанному на втором и четвёртом моментах, поскольку эта оценка обладает меньшим смещением (как по абсолютному значению, так и по отношению к среднеквадратичной ошибке) и меньшей среднеквадратичной ошибкой. Аналогичные закономерности были зафиксированы и для оценок а2. Рис. 2.4. Нормированные смещения оценки амплитуды для созвездия 13 (см. приложение А). 1 — оценка с использованием 2 и 4 моментов, 2 — оценка с использованием 1 и 2 моментов, 3 _ оценка с использованием второго момента, 4 — оценка с использованием первого момента, 5 _ оценка на основе выборочной медианы Также следует заметить, что оценка, основанная на втором и четвёртом моментах огибающей, является лучшей среди всех, показанных на рисунках 2.3 и 2.4, по минимаксному критерию, то есть в пределах рассматриваемых значений ОСШ её максимальная среднеквадратичная ошибка является минимальной по сравнению с другими методами. Поскольку на практике значение ОСШ варьируется во всём рассматриваемом диапазоне, в некоторых случаях может потребоваться выбирать оценку именно по такому критерию. Можно заметить, что в области высоких значений ОСШ зависимости 4 и 5 на рис. 2.3 по эффективности превосходят 2, а при малых ОСШ то же самое справедливо для б, однако, как видно из рис. 2.4, эти оценки обладают большим смещением. С помощью статистического моделирования проанализировано влияние оценки амплитуды методом моментов с использованием второго и четвёртого моментов огибающей на энергетическую эффективность различения созвездий.
При моделировании использовались 10000 реализаций для каждого значения ОСШ в диапазоне от 0 до 20 дБ с шагом в 1 дБ. Набор гипотез включал созвездия 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, приведённые в приложении А. Каждая реализация представляла собой сигнал г к (1.5) с нулевым частотным и фазовым сдвигом и числом отсчётов N = 100. При вычислении функций правдоподобия значение всех параметров сигнала за исключением амплитуды полагалось известным. В качестве примера на рис. 2.5 приведены зависимости вероятности ошибки различения созвездия 14 от значения ОСШ. Сравнивая кривые 1 и 2, можно отметить, что применение предложенного метода оценки приводит к существенному ухудшению энергетической эффективности, в особенности в области высоких значений ОСШ [11]. Несмотря на это, алгоритм, основанный на втором и четвёртом моментах огибающей, может рассматриваться как компромиссное решение между вычислительной ресурсоёмкостью и эффективностью и окажется полезен в ситуациях, когда длина реализации сигнала превосходит длину, необходимую для получения требуемой точности оценки. Рис. 2.5. Вероятности ошибки различения созвездия 14 (см. приложение А). 1 —все параметры сигнала известны, 2 — оценка амплитуды методом моментов с использованием второго и четвёртого моментов Для решения задач оценивания параметров смеси распределений широкое распространение получила общая схема построения алгоритма оценивания параметров методом максимального правдоподобия при неполных данных [1,23,80]. Результатом её применения являются так называемые алгоритмы ЕМ-типа, состоящие из двух этапов, находящихся по отношению друг к другу в последовательности итерационного взаимодействия. На первом этапе (expectation) выполняется оценка скрытых переменных, при этом используются некоторые начальные приближения оцениваемых параметров. На втором этапе (maximization) оценки скрытых переменных используются для получения следующего, более точного приближения оцениваемых величин посредством максимизации функции правдоподобия. Сходимость алгоритма достигается благодаря тому, что на каждом этапе функция правдоподобия не убывает. Часто отдельные этапы ЕМ алгоритмов представляют собой ряд простых вычислительных операций, легко реализуемых на практике, и не требуют хранения больших объёмов промежуточной информации. Именно этим и обусловлен высокий к ним интерес. Кроме того, ЕМ алгоритмы обычно сходятся быстрее, чем метод градиентного спуска [1]. Необходимым условием сходимости итерационного процесса является ограниченность логарифмической функции правдоподобия [1], и применительно к задаче оценки параметров распределения (2.2) это условие приводит к следующим неравенствам:
Анализ влияния числа итераций и способа выбора начальных условий на статистические характеристики оценки
При реализации итерационного алгоритма ЕМ-типа возникает три сложности [20]. Во-первых, при оценке параметров смеси распределений в общем случае функция правдоподобия является многоэкстремальной, поэтому сходимость итерационного процесса к глобальному максимуму может быть гарантирована лишь в том случае, когда начальные условия выбраны должным образом. На практике это может достигаться посредством перебора начальных условий с некоторым шагом в области возможных значений параметров (она ограничена из физических соображений) с последующим выбором того из них, для которого итерационный процесс сходится к оценке с наибольшим значением функции правдоподобия. Реализация такого алгоритма предполагает решение оптимизационной задачи, связанной с выбором шага сетки. С одной стороны, он должен быть достаточно мал, чтобы хотя бы одно из начальных условий попадало в область притяжения главного максимума, но с другой стороны, его избыточное уменьшение нежелательно, поскольку приводит к росту объёма вычислений. Для решения этой задачи необходимо проанализировать статистические характеристики границы области притяжения главного максимума. Поскольку в аналитической форме это сделать проблематично в связи со сложным видом функции правдоподобия, для этой цели использовались численные методы. Рассмотрим асимптотическую (при большом объёме выборки) аппроксимацию функции правдоподобия, используя приближение (2.56). Оценка параметров А, а2 по выборке р В результате анализа функции (2.110) с применением численных методов не удалось выявить ситуаций, когда в интересующей области параметров существуют побочные экстремумы. Вычисление проводилось для А = 1 и значений ОСШ, равных 10, 20 и 40 дБ. Значения оценок величин 201gA и ОСШ перебирались в диапазоне от —20 до 20 дБ с шагом 0.5 дБ. Верхняя граница интегрирования в (2.110) выбрана равной 10, число точек интегрирования 10000. Такой способ анализа не может гарантировать полного отсутствия побочных экстремумов, кроме того, поведение функции правдоподобия при малом объёме выборки может существенно отличаться от асимптотического. Тем не менее, полученный результат позволяет предположить, что влияние побочных максимумов на точность оценки при достаточно большом объёме выборки может оказаться незначительным. В связи с этим, представляет интерес исследовать возможность выбора начальных условий простейшим способом — в качестве стартового значения амплитуды использовать первый момент огибающей сигнала, а начальное значение отношения сигнал/шум выбрать фиксированным.
Для анализа эффективности такого решения использовалось статистическое моделирование с параметрами модели, аналогичными п. 2.4.6. В качестве начального ОСШ использовались три значения —5 дБ, 18 дБ и 40 дБ. Анализ результатов показал, что предложенный подход по эффективности практически совпадает с ситуацией, когда начальные условия идеальны (то есть совпадают с истинными значениями параметров), а отклонение не выходит за границы доверительных интервалов для всех созвездий, за исключением созвездия 15. По отношению к нему данное условие выполняется, если увеличить объём выборки вдвое. В ходе моделирования также установлено, что в области высоких значений ОСШ при небольшом числе итераций заданная точность достигается за меньшее число шагов, когда стартовое значение Второй проблемой, которая возникает при реализации рассматриваемого алгоритма, является выбор ограничения на число итераций. Эту величину необходимо ограничивать по трём причинам. Во-первых, находить максимум с высокой точностью нецелесообразно, поскольку в этом случае погрешность будет целиком определяться случайной составляющей. Зафиксировав число шагов, можно значительно уменьшить объём вычислений, не ухудшая при этом характеристик алгоритма. Во-вторых, итерационный процесс можно представить в форме последовательности векторных операций, что позволяет эффективно реализовать его на элементной базе с возможностями параллельной обработки. Число итераций в этом случае определяет необходимый объём вычислительных ресурсов и должно быть зафиксировано на этапе проектирования. В-третьих, в некоторых задачах, например, связанных с определением вида модуляции, оценка параметров сигнала выполняется для нескольких гипотез, из которых верна только одна. Поскольку для ложных гипотез алгоритм может вообще не сходиться, в этом случае также предпочтение следует отдать процедуре с фиксированным числом шагов. Оценить влияние числа итераций на точность оценки в аналитической форме, по-видимому, невозможно, поскольку итерационный процесс определяется нелинейным разностным уравнением, параметризованным случайной выборкой. В связи с этим при анализе использовалось статистическое моделирование с параметрами, аналогичными п. 2.4.6. В качестве примера на рисунке 2.8 приведены результаты для среднеквадратичной ошибки оценки амплитуды при различном числе итераций для созвездия 14. Можно заметить, что по мере увеличения числа шагов зависимости приближаются к границе Рао-Крамера, и начиная с некоторого значения результат перестаёт изменяться. Именно это значение и представляет интерес. Точно также ведут себя зависимости и для других созвездий за исключением КАМ-256 (см. рис. 2.9), для которого начиная с некоторого значения ОСШ СКО оценки перестаёт убывать.
Анализ результатов при удвоенном объёме выборки показал, что увеличение числа отсчётов в реализации позволяет устранить этот эффект. Таким образом, предлагаемая стратегия выбора начальных условий оправдана для всех рассматриваемых созвездий, если объём выборки достаточно велик. Рис. 2.8. СКО оценки амплитуды в зависимости от значения ОСШ при различном числе итераций (показано стрелками). ГРК — граница Рао-Крамера. Созвездие 14. Стартовое ОСШ =40 дБ Похожим образом ведут себя зависимости для оценки дисперсии шума (см. рис. 2.10). Можно отметить, что в области малых ОСШ наблюдается существенно ухудшение СКО по сравнению с границей Рао-Крамера, которое вызвано ростом смещения оценки по мере уменьшения значения ОСШ. В результате анализа зависимостей для рассматриваемых созвездий получено следующее выражение, которое позволяет грубо оценить необходимое число итераций К алгоритма в зависимости от числа уровней амплитуды МА при МА 1: В ходе моделирования также исследовалось поведение смещения по отношению к среднеквадратичной ошибке. На рис. 2.11 показаны зависимости этого показателя применительно к амплитуде при различном числе итераций. Можно отметить, что в области высоких ОСШ смещение в десятки раз меньше, чем СКО. В области средних ОСШ оно в разы меньше, а при малых ОСШ — сравнимо. Смещение оценки дисперсии шума ведёт себя похожим образом (см. рис. 2.12).. Отношение смещения оценки амплитуды к СКО в зависимости от значения ОСШ при различном числе итераций (показано стрелками). Созвездие 14. Стартовое ОСШ =40 дБ Третья проблема, возникающая при реализации предложенного алгоритма, заключается в следующем.
Поскольку при синтезе алгоритма использовалась аппроксимация функции правдоподобия, а стартовые значения итерационного процесса выбираются с использованием грубой оценки, возможны такие ситуации, когда необходимое условие существования максимума целевой функции от выборки не выполняется. Анализ результатов моделирования показал, что такие условия возникают в области низких значений ОСШ, которая с точки зрения алгоритма различения созвездия не очень важна. Кроме того, в этой области хорошими свойствами обладает оценка, основанная на втором и четвёртом моментах (см. п. 2.3), поэтому при обнаружении некорректных начальных условий вместо итерационного процесса можно воспользоваться именно этим способом. На рисунке 2.13 приведён результат оценки вероятности формирования некорректных начальных условий для созвездий 2, 15 и 7 (последнему созвездию соответствует наихудший результат). Рис. 2.13. Вероятность формирования некорректных начальных условий итерационного процесса. Цифрами обозначены номера созвездий Основываясь на приведённых в предыдущих пунктах данной главы результатах, можно сформулировать следующие выводы: 1. Применение для совместной оценки амплитуды и дисперсии квадратурных компонент АБГШ метода моментов с использованием совместно первого и второго, второго и четвёртого моментов огибающей приводит к результатам с примерно одинаковой статистической эффективностью. В области низких ОСШ она близка к границе Рао-Крамера, однако для созвездий, содержащих более одного уровня амплитуды, по мере увеличения ОСШ, начиная с некоторого его значения, дисперсия оценки перестаёт убывать, в результате чего проигрыш по отношению к границе Рао-Крамера увеличивается по мере роста ОСШ. Следствием этого является существенное ухудшение энергетической эффективности различения созвездий. 2. Алгоритм, основанный на втором и четвёртом моментах, приводит к оценке с меньшей среднеквадратичной ошибкой и меньшим смещением по сравнению с алгоритмом, основанным на первом и втором моментах, и может рассматриваться как компромиссный между эффективностью и вычислительной ресурсоёмкостью. 3. Для созвездий с одним уровнем амплитуды применение метода моментов с использованием второго и четвёртого моментов приводит к оценке, по эффективности практически совпадающей с границей Рао-Крамера. 4. Применение итерационного процесса ЕМ-типа для поиска максимума функции правдоподобия с использованием аппроксимации (2.47), (2.56) или (2.80) при достаточном числе итераций и должным образом выбранных начальных условиях приводит к оценке, по статистической эффективности близкой к границе Рао-Крамера. 5. В области ОСШ 10 дБ зффеїсгивность таїсих оценок значительно выше по сравнению с результатами для метода моментов. 6. Повышение точности аппроксимации плотности распределения (2.56 или 2.80) по сравнению с гауссовской (2.47) приводит к улучшению энергетической эффективности до 2.5 дБ ОСШ при ОСШ 10 дБ, улучшению менее 0.5 дБ при ОСШ 10 дБ, а также уменьшению смещения примерно в 1.5 раза. 7. В области высоких ОСШ смещения оценок для обоих приближений малы в сравнении с СКО. По мере уменьшения ОСШ, начиная с некоторого значения, они резко возрастают. 8. Начальные значения итерационного процесса целесообразно выбирать следующим образом: в качестве стартового значения амплитуды использовать первый момент огибающей сигнала, а начальное значение ОСШ выбрать фиксированным. Получаемая таким способом оценка при достаточно большом объёме выборки по статистическим характеристикам практически совпадает с ситуацией, когда начальные условия алгоритма выбираются равными истинным значениям параметров. Также установлено, что в этом случае в области ОСШ 10 дБ сходимость алгоритма с требуемой точностью достигается за меньшее число итераций, если начальное значение ОСШ выбирать максимально возможным.
Асимптотическая дисперсия оценки параметров комплексного гармонического сигнала на фоне аддитивного белого шума методом наименьших квадратов
Сравнивая выражения (3.26) и (3.27), можно отметить, что ошибка оценки начальной фазы зависит от ошибки частоты, но не наоборот, поэтому статистическая эффективность оценки фс ограничена снизу погрешностью оценки и 0. Авторами [83] было установлено, что дискретное преобразование Фурье длительности N не всегда позволяет достичь требуемой точности начального приближения при малых значениях ОСШ, и для её повышения следует дополнить сигнал нулевыми выборками до длины от 2N до 8N. В рамках данной работы этот результат подтверждается. При моделировании во всех случаях использовалось значение 8N, а максимум (3.26) находился путём поиска корня уравнения, вытекающего из необходимого условия экстремума (3.26), определяемого следующим выражением: При поиске корня (3.28) во всех случаях использовался алгоритм, основанный на линейной интерполяции, при этом абсолютная точность 10 15 достигалась не более чем за семь итераций. Поиск корня (3.28) осуществлялся на интервале [Сис — 2TY/AN; CJC + 27r/4iV]. Для точной оценки (3.26) также может использоваться описанный в [35] метод, позволяющий найти максимум за две итерации, однако он потребует более точных начальный условий и общая вычислительная ресурсоёмкость в результате его применения может не только не уменьшиться, но и увеличиться. Одной из особенностей оценки (3.26) является так называемый «пороговый эффект» [83], возникающий, когда вероятность превышения главного максимума периодограммы (3.26) (соответствующего истинному значению частоты) побочным становится достаточно большой. Вероятность такого события растёт по мере уменьшения отношения сигнал/шум и при некотором его значении приводит к резкому увеличению дисперсии оценки. Поскольку выражения (3.25) получены без учёта этого явления, область их применимости ограничивается средними и высокими значениями ОСШ.
В работе [83] пороговый эффект учтён при получении выражения для дисперсии оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума методом наименьших квадратов. В частности, авторами получено выражение для вероятности превышения побочным максимумом периодограммы главного. В силу центральной предельной теоремы при большом объёме выборки это выражение будет справедливо для белого шума с произвольным распределением и в наших обозначениях примет вид вероятность, I„(z) определяется (2.3), а\ — дисперсия шума ик, которую согласно (3.21) можно определить как а2, — (и и ) = В — А2. Авторы статьи [50] обобщили (3.29) на случай белого гауссовского шума с различной дисперсией действительной и мнимой компонент и с помощью статистического моделирования показали, что прогнозируемое значение рьр является несколько завышенным, и, таким образом, оценка порогового значения ОСШ также окажется завышена. Поскольку результаты [83] и [50] в любом случае применимы к рассматриваемой задаче только с использованием центральной предельной теоремы, а (3.29) удобнее для вычисления, чем результат [50], в рамках данной работы предполагалось, что объём выборки достаточно велик, чтобы можно было воспользоваться выражением (3.29). Обозначив отношение сигнал/шум на отсчёт 7С = с/« = 2с/{В-А2с) и переходя к нормированной мгновенной амплитуде pd = р/Ас, формулу (3.29) можно переписать следующим образом: Nlc{Pd - If I+\NlcPa]dPd. (3.30) Анализ выражения (3.30) показывает, что изменение объёма выборки N эквивалентно пропорциональному изменению 7с- Этот результат позволяет легко вычислять изменение порогового значения ОСШ при изменении объёма выборки. Так, например, увеличение объёма выборки в 10 раз приведёт к уменьшению порогового ОСШ на 10 дБ. Используя (3.30), можно внести коррекцию в (3.25) для учёта порогового эффекта. Рассмотрим эту операцию на примере шс. Обозначив через Si дисперсию оценки частоты, вычисленную с использованием (3.25), её откорректированное значение можно записать в следующей форме: где , — дисперсия оценки частоты, когда выброс периодограммы превышает главный максимум.
Поскольку при этом оценка частоты окажется примерно (влиянием сигнала можно пренебречь) равномерно распределена на интервале [—7г,7г], дисперсия оценки будет описываться выражением 1 = Ыг) Я+Шг) и в итоге (3.25) с учётом порогового эффекта примет На практике с целью снижения объёма вычислений вместо численного интегрирования (3.29) можно воспользоваться простой, но достаточно точной аппроксимацией, предложенной в работе [79] для выражения, полученного в [83]. В рамках данной работы эта аппроксимация не использовалась в связи с тем, что вычислительная ресурсоемкость интегрирования (3.29) пренебрежимо мала по сравнению с остальными компонентами анализируемого алгоритма. Введём обозначения рк = \гк\/А, фк = агд[гк) для мгновенной амплитуды и фазы нормализованных по амплитуде отсчётов (1.5), ат = \/ит\ и фт — агд[р,т] для уровней амплитуды и фаз позиций созвездия. Обозначим х — N0/(2Es). С учётом сформулированных в п. 1.2 предположений плотность распределения вероятностей величин рк и фк, соответствующих символам Ск, описывается выражением (зависимость от параметров х о,Фо ДЛЯ краткости опущена)
