Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Задача обнаружения сигнала в условиях априорной неопределённости в рассматриваемой постановке сводится к построению асимптотически минимаксных тестов и к исследованию асимптотики эффективности этих тестов для задачи проверки простой пшотезы о сигнале в гауссовском белом шуме при непараметрической (бесконечномерной) альтернативе. Эта задача является одной из классических задач непараметрической статистики
Для непараметрических задач проверки гипотез асимптотически минимаксный подход является одним из наиболее естественных, при этом возникает минимаксный критерий качества тестов. Асимптотически минимаксный подход для непараметрических задач оценивания развивался с начала 60-х годов и связан с работами Н.Н.Ченцова, Р.Фарелла, И-АИбрагимова, Р.З.Хасьминского, М.С.Пинскера, Д.Л.Донохо, И.М.Джонстона и многих других. С начала 80-х годов началось систематическое изучение непараметрических задач проверки гипотез в минимаксном варианте в работах Ю.И.Ингстера, МСЕрмакова; в 90-х годах в работах О.В. Лепского, В.Ф. Спокойного.
Первые результаты об условиях различимости для рассматриваемой в работе задачи получены Ингстером в 1982 году. В работах Ингстера 1982, 1986 годов изучались условия различимости в задаче обнаружения сигнала для шаров Соболева SZ с удалённым р-шаром Первые результаты, касающиеся точной асимптотики вероятностей ошибок для ^-эллипсоидов общего вида с удалённым Яг-шаром, были получены Ермаковым в 1990 году. Аналогичные результаты для Zp-эллипсоидов с удалённым р-шаром были получены Ингстером в 1990-1993 годах. Диссертационная работа посвящена изучению неоднородного случая рф q.
Начиная с 90-х годов в математической статистике всё больший интерес вызывают неоднородные задачи. Это связано, в частности, с работами Донохо и Джонстона, которые рассматривали задачи оценивания для классов Бесова B*t и функций потерь типа Ьр-норм при р Ф q. В задачах проверки гипотез условия различимости для шаров Соболева - SJ или Бесова B%t с удалённым ?-шаром изучались Лепским и Спокойным в 1995-1996 годах. Однако систематических результатов, касающихся точной асимптотики вероятностей ошибок в неоднородных минимаксных задачах проверки гипотез, до работ диссертанта не была
В этой связи изучение точной асимптотики вероятностей ошибок в минимаксной задаче обнаружения сигнала для неоднородного случая представляется важным и актуальным.
В работе исследуется точная асимптотика минимаксных вероятностей ошибок в задаче проверки простой гипотезы Щ ' s — 0 о сигнале, наблюдаемом в гауссовском белом шуме интенсивности є — 0, против непараметрической альтернативы Hi : s Є Se, где множество Ss соответствует /7-эллипсоиду, 0 < q < оо, с длинами полуосей а"1 \ 0 и с удалённым іР-іпаром, 0 < р < оо, радиуса р при фиксированном ортонормальном базисе в г(0,1).
Эта задача сводится к проверке гипотезы Щ : v — 0 о среднем бесконечномерного гауссовского вектора против альтернативы Hi : v Є Ve, где v = («і,..., t>;...)
является, вектором координат «игнала є 1 s(t) в фиксированном базисе, а множество Vs имеет при q < со вид; Vs = {V, J2 I"'С 5 ІР^/аУ^ 12 а1 \vi\g 5 є^5}, а при
9 = оо вид: Ve = {, Івір > (р/є)*, зцр{<ф;|} < (є)-1}.'
і *
Минимаксная вероятность ошибок определяется следующим образом:
f3e(Ve,a) = inS{sup{Ev(l — ф)}}, где нижняя грань берётся по множеству тестов ф
* vev, уровня значимости а : Едф < а, а Є (0,1).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является получение точной асимптотики минимаксных вероятностей ошибок II рода (3e(V,a) для задачи обнаружения сигнала при непараметрических альтермативах, соответствующих /„-эллипсоидам с удалённым /р-шаром, и изучение зависимости этой асимптотитики от скорости убывания длин полуосей эллипсоида а[1 и радиуса удаляемого шара рЕ.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работах Ингстера для определённого класса задач была разработана методика сведения задач проверки гипотез к специальным экстремальным задачам, состоящим в нахождении экстремума функционала:
uf=iaf{||7f!l2, тгеП.}, (1)
где ||7г||2 = J2 f /(еШ< ~ 1)тг;(й«)ir;(
П = {х, *=(»!,...,7Г«,...), ^(Д!) = 1, X)Sfr.H'>(p./s)', J2aiE*M" < Є~*Ь
і і
а при q = оо вид:
П. = {5г, . тг = (тть ...,щ,...), ^-([-(оіє)-1, (<це)-1}) = 1, ХХ.К > (Ре/єУ},
и показано, что при выполнении определённых условий, если существует такая экстремальная мера эт*, что щ = ||я-*||2, то выполнено соотношение:
,3(^а) = Ф(Га-<1 + о(1), (2)
где Ф - функция распределения стандартного нормального закона, величина Та -(1 — а)-квантиль, a us - решение соответствующей экстремальной задачи
В работе решается и асимптотически изучается соответствующая множеству Vs экстремальная задача для неоднородного случая д^ри последовательностей полуосей достаточно общего вида, включающего случай по порядку степенных последовательностей а : а = (ві,...,Оі,...), щ = ( г~с. а > О, с, ^ 1 при г —* оо, t > 0.
В работе показывается, что исходная экстремальная задача "расщепляется" на "одномерные задачи" для вероятностных мер на Ді, которые при q < оо имеют вид:
<Ь{\ищ)=шІ{\\г:Л\ я* Є nv}, П^ = ЫЛО = 1, ^ = A?, ,JW|»
а при q = ос имеют вид:
Ф(Хі) = infflMI2, щ є Щ «}, пх і = fad-tee)-1, (о*)"1]) = 1, Ещ \v\> = А?}, и справедливо соотношение, которое мы приведём для случая q < со:
ч*(А)=inf{^ ф(\г, „>, y,% * (а/6)*. Е аК ^ е"*}- (*)
Х=1 1=1 »=1
При q = оо справедливо аналогичное соотношение.
Затем решаются "одномерные задачи" (3), показывается, что существует единственный набор решений "одномерных задач", который является решением (4), и проверяется выполнение условий, при которых справедливо соотношение (2).
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие результаты
I. Исследованы "одномерные задачи" и показано, что, если множество, по
которому ищется инфимум, не пусто, то точные нижние грани в этих задачах
достигаются, и оптимальными мерами являются меры: 1г; = (1 — ht)60 + к{(6^ +
5ь,)/2, где ь - мера, сосредоточенная в точке 6, 0 < Л, < 1.
II. Показано, что в исследуемой задаче при q > р к достаточно медленном
убывании полуосей эллипсоида нет различимости.
-
Показано, что для рассматриваемых последовательностей полуосей эллипсоида при наличии различимости возможны 3 вида асимптотики величины щ(рє), и описаны эти виды.
-
В терминах критических радиусов р* указаны условия различимости в рассматриваемой задаче, а именно, Д.-(а) —> 0 <=> рє/р* ->оои / (а) —> 1 — а «=> P,/Pl -» 0.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Задачи обнаружения сигнала в условиях априорной неопределённости широко распространены в различных приложениях (например, в задачах радио-, гидро- и звуколокации). Поэтому результаты работы, где получена точная и порядковая асимптотика минимаксной эффективности для широкого класса непараметрических альтернатив могут найти широкое применение, а решение одномерных задач представляет самостоятельный математический интерес, так как подобные задачи возникают при решении многочисленных задач математической статистики
АПРОБАЦИЯ. Результаты работы докладывались на общегородском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ПОМИ РАН, в институте Вейерштрасса, Берлин, представлялись на IV Всемирный конгресс общества им. Бернулли (тезисы напечатаны).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы автора и одна совместная работа, список приведён в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав(и приложения (рисунков). Список литературы содержит 24 наименования. Общий объём работы 108 машинописных страниц.
