Содержание к диссертации
Введение
16 Глава 1
34 Глава 2
69 Глава 3
82 Глава 4
99 Заключение
110 Литература
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию полуаналитических методов решения задач распространения электромагнитных волн при наличии в области распространения угловых точек разного типа. Необходимость отдельного рассмотрения таких задач обусловлена, во-первых, распространенностью подобных конфигураций (действительно, в большинстве теоретических и практических задач область, в которой распространяются электромагнитные волны, содержит в себе углы, ребра, изломы и т.п.), а во-вторых, специфичностью проблем, возникающих при их решении. Таким образом, методы решения таких задач в некотором смысле кардинально отличаются от прочих задач распространения.
Первые работы, в которых сингулярные задачи были рассмотрены как отдельно стоящий класс задач дифракции, начали появляться в 60-70х годах [1, 2, 3]. В дальнейшем, в связи с возросшей необходимостью решения практических задач, к этому направлению обратились многие авторы [4-7]. В настоящее время накопилось довольно большое число различных методов, позволяющих эффективно решать задачи дифракции для тех или иных конфигураций области распространения. Однако порой довольно сложно определить, какой метод (или даже какой класс методов) лучше всего подходит для исследования конкретной системы. Чтобы понять это, надо быть хорошо знакомым с различными методами, видеть их связь между собой, их сходства и различия. Многие, весьма далекие друг от друга методы, используют одну и ту же идею, и наоборот -похожие по построению решения методы имеют совершенно разные теоретические основания. Можно сказать, что назрела необходимость подробной и четкой классификации сингулярных задач, с указанием и обоснованием того, как надо искать решение для определенной области (класса областей) распространения. Данная работа посвящена именно
исследованию методов решения сингулярных задач, их связи между собой, достоинств и недостатков.
Подавляющее большинство методов решения сингулярных задач так или иначе связаны с методом частичных областей (МЧО). МЧО заключается в сшивании тангенциальных компонент полей на границах частичных областей с углами (на которые разбивается исходная область), с последующим проектированием полученных функциональных уравнений на некоторое полное пространство функций и переходом к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Дальнейшие действия связаны с редукцией полученных линейных систем и их решением (численным или аналитическим). Основная проблема, связанная с сингулярностью - нерегулярность полученной бесконечной системы: ее матричный оператор не является ограниченным в /2, и
корректное усечение невозможно.
Из вышесказанного следует, что эффективный метод решения должен учитывать особенность поля вблизи ребра. Часто используются различные методы обращения сингулярной части оператора - например, метод обращения разностной части матричного оператора [8], метод полуобращения [9], а также метод квазистатической функции Грина [10]. В некоторых методах используется знание поведения функции вблизи сингулярной точки - это метод прямого усечения и метод вычетов [2]. Довольно редко, но порой чрезвычайно эффективно возможно строгое решение сингулярной системы, что позволяет избежать трудностей, связанных с невозможностью ее усечения. К таким методам можно отнести метод задачи Римана-Гильберта[4].
Кроме вышеприведенной классификации, методы также можно условно поделить на численные, полуаналитические и аналитические. Критерии такого разделения очевидны: чем больше параметров задачи входят в конечную формулу в аналитическом виде, тем ближе
рассматриваемый метод к аналитическим. Если же часть или вся конфигурация рассматривается в интегральном виде, без возможности явно наблюдать зависимость решения от геометрии системы, то мы имеем дело с полуаналитическим или чисто численным методом. Естественно, что чисто аналитические методы применимы только во вполне определенных конфигурациях, и с трудом могут быть распространены на хотя бы даже немного более сложные структуры. В то же время универсальность численных методов в некоторой степени компенсирует их «ненаглядность» - невозможность явно увидеть влияние тех или иных факторов на распространение, а также невозможность прямых вычислений при наличии углов на поверхности области. Пожалуй, наиболее интересными в плане дальнейшего развития представляются полуаналитические методы - т.е. методы, сочетающие в себе гибкость численных методов с наглядностью анализа. Их совершенствование может преследовать одну из двух целей: во-первых, они позволяют анализировать и синтезировать довольно сложные системы, а во-вторых, -оптимизировать численные методы, позволяя учитывать меньше членов ряда, коэффициентов разложения и т.д. и т.п. Обе цели важны и заслуживают отдельного внимания.
ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ
Обращение разностной части оператора
Идейная сторона данного метода основана на методе частичного обращения оператора задачи и состоит в выделении и обращении сингулярной части матричных операторов бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, к которым первоначально сводятся многие задачи теории дифракции. Общей чертой этих нерегулярных СЛАУ
является то, что главные части соответствующих операторов представляют собой матрицы с так называемым ядром «типа свертки», которые могут быть обращены в явном виде [8]. Используя это, а также аналитические решения некоторых других канонических СЛАУ с тем же разностным матричным оператором, краевые задачи удается свести к обращению корректных систем уравнений второго рода. Тип регуляризующего матричного оператора зависит от класса рассматриваемой структуры. В некоординатных задачах (таких, как сочленение двух волноводов под некоторым (не прямым) углом, наклонные перегородки) оператор с разностной частью порождается сшиванием полей через нерегулярный треугольный район, в координатных (конфигурации, где все углы прямые), - при сшивании полей на двух характерных подинтервалах полной области. Обращаемая в явном виде часть решения задачи не связана прямо с сингулярностью поля на том или ином ребре структуры, а значит, и не так жестко ограничивает класс возможных конфигураций. Последовательное использование регуляризирующих операций позволяет свести исходные СЛАУ-1, в общем случае состоящие из нескольких подсистем, к последовательности матричных уравнений второго рода, причем их количество и вид матричных операторов определяются конфигурацией конкретной краевой задачи. Найденные таким образом решения не только допускают обоснование процедур нахождения приближенных численных решений, но и в силу их быстрой сходимости дают эффективный инструмент анализа широкого класса задач теории дифракции.
Модифицированный метод вычетов
Модифицированный метод вычетов (ММВ) [2] также опирается на регуляризацию систем уравнений, полученных с помощью МЧО. Однако, в отличие от предыдущего метода, в ММВ строится функция, вычеты
которой дают решение всей системы, а не только ее канонической части с чисто разностным оператором. При этом правильное поведение полученного решения на ребре обеспечивается за счет выбора этой функции: особенность поля на ребре определяется характером поведения искомой функции. Выбрав соответствующую функцию, мы можем добиться выполнения условий Мейкснера. Как показано в [8], поскольку ММВ более детально, чем метод обращения разностной части оператора, учитывает особенность данной задачи, он обеспечивает несколько более высокую точность расчетов, но существенно уступает в общности и алгоритмичности. К недостаткам метода относится также сложность численной процедуры вычисления матричных элементов системы, решения которой определяют параметры искомой функции, что делает получение каких-либо аналитических результатов весьма затруднительным. Применение этого метода оправдано в основном только в волноводах с прямыми углами.
Прямое усечение
Как и ММВ, Метод прямого усечения [2] основан на знании правильной особенности поля в сингулярной точке. Как мы уже упоминали, простая редукция систем, получаемых в результате применения МЧО к сингулярным задачам, невозможна, поскольку их оператор не обладает свойствами конечности и непрерывности. Однако, если известен характер поведения поля на ребре, то существует способ корректного усечения системы таким образом, что полученное решение будет удовлетворять условиям Мейкснера [1,2]. Оказывается, что характер поведения поля определяется скоростью убывания коэффициентов разложения по нормальным волнам, которая, в свою очередь, зависит от того, сколько уравнений мы возьмем. Так, например, если взять систему для пустого
разветвленного волновода, то для получения правильного решения отношение числа уравнений, взятого в двух системах, должно быть равно отношению толщин волноводов.
Метод квазистатической функции Грина
Метод квазистатической функции Грина (МКФГ), разработанный в [10, 11] и модифицированный в [12-14], является полуаналитическим методом решения задач дифракции в волноводах с кусочно-непрерывными границами. Метод основан на регуляризации матричного оператора бесконечной системы с помощью функции Грина оператора Лапласа с исходными граничными условиями. Волновод разбивается на ряд частичных областей. В каждой из них строится полная система функций, и поле в каждой подобласти ищется как линейная комбинация этих функций. Затем с помощью функции Грина осуществляется «обобщенное» сшивание (приравниваются не сами поля, а их произведения с функцией Грина и ее производными). Проектирование полученных функциональных уравнений на некоторую полную систему функций приводит к регулярной бесконечной алгебраической системе. Такая система допускает редукцию, причем имеет в ряде случаев хорошую сходимость. Матричными элементами будут двукратные интегралы, содержащие функцию Грина и функции, на которые проектируются функциональные уравнения. Преимуществами метода является достаточно широкий класс решаемых задач, быстрая сходимость, независимость матричных интегралов от частоты. Кроме того, в некоторых случаях удается получить достаточно простые аналитические выражения зависимости коэффициентов распространения от параметров задачи.
В принципе, данный метод можно применять и к решению некоординатных задач - но в этом случае мы сталкиваемся с серьезным препятствием: сложностью сшивания нормальных волн на границе разных областей. Однако ценой увеличений кратности матричных интегралов
[14] или их числа [15] эту трудность можно преодолеть, и таким образом значительно расширить границы применимости метода (к сожалению, за счет его эффективности). Еще одно ограничение связано с тем, что МКФГ обеспечивает регуляризацию только в окрестности сингулярной (угловой) точки, но не на бесконечности. Поэтому важным моментом является выбор правильной системы функций для проектирования функциональных уравнений. В ряде случаев это затруднительно или невозможно, особенно на сочленении областей различной формы. Основной трудностью метода является вычисление матричных элементов. Кроме того, серьезным ограничением является невозможность применения метода при наличии диэлектрического заполнения в области распространения.
Полуобращение
Помимо методов, основанных на МЧО, существуют и другие - один из них, метод полуобращения (МПО), также рассматривается в данной работе.
МПО, впервые использованный в 1996 году [9], основан на обращении сингулярной части оператора Гельмгольца. С помощью конформного преобразования исходный волновод, граница которого содержит сингулярные точки, переводится в волновод с гладкими границами. Эта процедура устраняет сингулярность, связанную с оператором Лапласа. Дальнейшее решение основано на использовании функции Грина и формулы Кирхгофа: мы получаем интегральное уравнение, которое является уравнением Фредгольма II рода. При условии
малости нормы ядра (<1) полученного интегрального оператора удобно применить метод последовательных приближений.
К достоинствам метода можно отнести простоту получения нулевого приближения для практически произвольной области, а также выделение особенности (в решении) в явном виде (особенность будет определяться исключительно коэффициентом Ламэ конформного преобразования). К недостаткам - ограничения на параметры задачи, связанные с требованием малости нормы интегрального оператора, большие сложности интегрирования по площади уже для первого приближения (растущие по мере усложнения вида конформного преобразования), и, как следствие, большие сложности получения второго и старших приближений.
Метод Винера-Хопфа-Фока
Метод ВХФ [3] также не опирается на МЧО - т.е. не состоит в регуляризации сингулярной СЛАУ. Он основан на преобразовании Фурье, которое используется для сведения краевой задачи к интегральному уравнению, которое затем преобразуется в уравнение на комплексной плоскости а, где а- переменная Фурье. При этом мы получаем одно уравнение для двух неизвестных функций, которые вводятся в процессе формулировки задачи. Ключевым исходным пунктом для построения решения этим методом является формулировка задачи в виде интегрального уравнения с полубесконечными пределами. Соответственно, применение его ограничено довольно узким классом задач (однако в данном методе мы не ограничены необходимостью рассмотрения только идеально проводящих поверхностей: его можно применять, например, к решению задач о дифракции на стыке подложек с разной диэлектрической проницаемостью - классическая задача береговой
дифракции). Существует также модификация метода ВХФ, позволяющая решать более сложные задачи [19]
Метод задачи Римана-Гильберта
Иногда оказывается возможным точно решить сингулярную систему матричных уравнений, в результате чего можно обойти препятствие, связанное с невозможностью редукции подобных систем. Это хорошо иллюстрирует метод задачи Римана-Гильберта. Следуя этому методу, коэффициенты прохождения нормальных волн представляются в виде коэффициентов разложения в ряд некоторых двух вспомогательных функций, регулярных соответственно внутри и вне единичной окружности. Тогда, согласно уравнениям сшивания, эти функции будут совпадать на некоторых дугах единичной окружности; кроме того, известна их сумма на остальной части окружности. При этом получается, что аналитическое продолжение разности этих функций даст нам искомое решение. Задача Римана-Гильберта состоит в отыскании выражения для этой разности, выполняющегося на всей единичной окружности. Ее решение представляется [20] в виде интеграла по контуру, охватывающему дуги единичной окружности. Из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье получается система линейных уравнений второго рода. При этом, поскольку исходная нерегулярная система решается точно в виде квадратур, то полученная система является регулярной. Кроме того, ее матричные элементы представляются в виде конечных сумм полиномов Лежандра, что существенно облегчает вычисления. К преимуществам этого метода относятся получение быстро сходящейся системы уравнений, а также получение матричных коэффициентов этой системы в явном виде. Однако данный метод
применим только к ограниченному классу систем: в-основном к расчету решеток или диафрагм в регулярном волноводе.
Заслуживают упоминания работы [23-25], в которых МЗРГ применяется к трехмерным конфигурациям - конус со щелями, цилиндр со щелями и т.п. Используя интегральное преобразование Канторовича-Лебедева, авторы приводят систему линейных уравнений, полученную сшиванием полей на криволинейной границе, к виду, совпадающему с системой уравнений для плоской решетки, которая легко решается данным методом.
Метод моментов
Говоря о методах обращения сингулярных операторов, стоит упомянуть еще один метод решения задач подобного рода, который приводит к регулярной системе уравнений непосредственно после сшивания [26-31]. Регулярность системы в этом методе обеспечивается правильным выбором системы функций, на которые проектируются функциональные уравнения. Эти функции должны иметь ту же особенность на ребре, что и поле, - в этом случае после проектирования мы получаем регулярную систему уравнений. Основная сложность этого метода заключается в сложности нахождения системы функций, обладающих нужной особенностью, каждая конфигурация требует особенного подхода, и универсального алгоритма не существует.
Структура работы
Настоящая работа состоит из четырех глав, посвященных исследованию методов решения сингулярных задач с целью получения аналитических или полуаналитических результатов. Решаются волноводные задачи разных типов: перегородки, продольные ребра, диэлектрические вставки и
их сочетания. Оценивается эффективность применяемых методов, класс характерных задач для каждого метода, границы его применимости.
В первой главе рассмотрен метод полуобращения, основанный на регуляризации оператора Гельмгольца. Преимуществом полуобращения является идеологическая прозрачность, возможность применения практически к любым структурам (главное условие - чтобы область распространения на бесконечности переходила в регулярный волновод), а также довольно простой вид нулевого и первого приближений. Кроме того, этот метод позволяет наиболее наглядно выразить особенность поля на ребре. Недостатки же - большие вычислительные сложности при получении второго и старших приближений и невозможность рассматривать структуры с неоднородным диэлектрическим заполнением. С помощью этого метода решается задача о тонкой перегородке в волноводе - метод полуобращения требует введения ограничений на высоту перегородки (малость по сравнению с шириной волновода и длиной волны).
Во второй и третьей главах продолжается рассмотрение задачи о перегородке более сложными методами. Это позволяет решить ее без ограничений, введенных в первой главе, а кроме того, рассмотреть более общую задачу о дифракции на диафрагме в плоском волноводе. Используются МКФГ и МЗРГ. Они более сложны идеологически, чем полуобращение, однако применимы к большему числу структур, и приводят к регулярной, быстро сходящейся линейной системе уравнений. С помощью МКФГ решается задача о перегородке, а с помощью МЗРГ -задача о диафрагме. Затем с помощью метода обобщенных матриц рассеяния этот результат применяется к системе из нескольких диафрагм. Исследуется вопрос о влиянии местных волн в междиафрагменной части волновода на перераспределение энергии между падающим и отраженным полем.
Методы, рассматриваемые в первых трех главах, довольно эффективны для многих конфигураций. Однако все они не допускают наличия диэлектрического заполнения в области распространения. Это накладывает существенные ограничения на область их использования. Четвертая глава посвящена методам, позволяющим решать несколько более сложные задачи, в том числе с наличием диэлектрика. С помощью метода полуобращения решается задача о ветвлении волновода, о сочленении волноводов, один из которых частично заполнен диэлектриком, а также о поле диполя, расположенного в центре «ямы», заполненной диэлектриком. Последняя задача решена в том числе и для трехмерного случая (цилиндрическая яма в волноводе, состоящем из двух плоскостей).
В заключении обсуждаются основные полученные результаты. В работе используется система единиц СИ и рассматриваются поля с зависимостью от времени е'ш.
Промежуточные результаты, полученные в ходе работы над настоящей диссертацией, опубликованы в [32, 33], и представлены в виде докладов на IX, X и XI региональных конференциях по распространению радиоволн (СПб, 2003, 2004,2005) [34, 35,65].
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие основные положения:
Решение задачи о дифракции волн на перегородках в плоском волноводе и волноводе с искривленной верхней стенкой. Получены регулярные системы уравнений, допускающие усечение. В первых приближениях решение найдено в аналитическом виде. Использовались метод полуобращения и метод квазистатической функции Грина.
Использование метода Римана-Гильберта для исследования дифракции плоской волны на двух последовательно расположенных диафрагмах. Получены аналитические решения, исследована зависимость коэффициентов прохождения волн от расстояния между диафрагмами для различных конфигураций.
Применение метода обращения сингулярной части оператора для решения задач дифракции при наличии диэлектриков. Исследована дифракция волн на ветвлении плоского волновода, заполненного диэлектриками с различной проницаемостью. Получено решение задачи о распространении волн из центра заполненного диэлектриком углубления в плоском волноводе и трехмерном волноводе с цилиндрической геометрией.
Глава 1
Настоящая работа посвящена исследованию полуаналитических методов решения задач распространения электромагнитных волн при наличии в области распространения угловых точек разного типа. Необходимость отдельного рассмотрения таких задач обусловлена, во-первых, распространенностью подобных конфигураций (действительно, в большинстве теоретических и практических задач область, в которой распространяются электромагнитные волны, содержит в себе углы, ребра, изломы и т.п.), а во-вторых, специфичностью проблем, возникающих при их решении. Таким образом, методы решения таких задач в некотором смысле кардинально отличаются от прочих задач распространения.
Первые работы, в которых сингулярные задачи были рассмотрены как отдельно стоящий класс задач дифракции, начали появляться в 60-70х годах [1, 2, 3]. В дальнейшем, в связи с возросшей необходимостью решения практических задач, к этому направлению обратились многие авторы [4-7]. В настоящее время накопилось довольно большое число различных методов, позволяющих эффективно решать задачи дифракции для тех или иных конфигураций области распространения. Однако порой довольно сложно определить, какой метод (или даже какой класс методов) лучше всего подходит для исследования конкретной системы. Чтобы понять это, надо быть хорошо знакомым с различными методами, видеть их связь между собой, их сходства и различия. Многие, весьма далекие друг от друга методы, используют одну и ту же идею, и наоборот -похожие по построению решения методы имеют совершенно разные теоретические основания. Можно сказать, что назрела необходимость подробной и четкой классификации сингулярных задач, с указанием и обоснованием того, как надо искать решение для определенной области (класса областей) распространения. Данная работа посвящена именно з исследованию методов решения сингулярных задач, их связи между собой, достоинств и недостатков.
Подавляющее большинство методов решения сингулярных задач так или иначе связаны с методом частичных областей (МЧО). МЧО заключается в сшивании тангенциальных компонент полей на границах частичных областей с углами (на которые разбивается исходная область), с последующим проектированием полученных функциональных уравнений на некоторое полное пространство функций и переходом к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Дальнейшие действия связаны с редукцией полученных линейных систем и их решением (численным или аналитическим). Основная проблема, связанная с сингулярностью - нерегулярность полученной бесконечной системы: ее матричный оператор не является ограниченным в /2, и г корректное усечение невозможно.
Из вышесказанного следует, что эффективный метод решения должен учитывать особенность поля вблизи ребра. Часто используются различные методы обращения сингулярной части оператора - например, метод обращения разностной части матричного оператора [8], метод полуобращения [9], а также метод квазистатической функции Грина [10]. В некоторых методах используется знание поведения функции вблизи сингулярной точки - это метод прямого усечения и метод вычетов [2]. Довольно редко, но порой чрезвычайно эффективно возможно строгое решение сингулярной системы, что позволяет избежать трудностей, связанных с невозможностью ее усечения. К таким методам можно отнести метод задачи Римана-Гильберта[4].
Глава 2
Если же часть или вся конфигурация рассматривается в интегральном виде, без возможности явно наблюдать зависимость решения от геометрии системы, то мы имеем дело с полуаналитическим или чисто численным методом. Естественно, что чисто аналитические методы применимы только во вполне определенных конфигурациях, и с трудом могут быть распространены на хотя бы даже немного более сложные структуры. В то же время универсальность численных методов в некоторой степени компенсирует их «ненаглядность» - невозможность явно увидеть влияние тех или иных факторов на распространение, а также невозможность прямых вычислений при наличии углов на поверхности области. Пожалуй, наиболее интересными в плане дальнейшего развития представляются полуаналитические методы - т.е. методы, сочетающие в себе гибкость численных методов с наглядностью анализа. Их совершенствование может преследовать одну из двух целей: во-первых, они позволяют анализировать и синтезировать довольно сложные системы, а во-вторых, -оптимизировать численные методы, позволяя учитывать меньше членов ряда, коэффициентов разложения и т.д. и т.п. Обе цели важны и заслуживают отдельного внимания.
Идейная сторона данного метода основана на методе частичного обращения оператора задачи и состоит в выделении и обращении сингулярной части матричных операторов бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, к которым первоначально сводятся многие задачи теории дифракции. Общей чертой этих нерегулярных СЛАУ является то, что главные части соответствующих операторов представляют собой матрицы с так называемым ядром «типа свертки», которые могут быть обращены в явном виде [8]. Используя это, а также аналитические решения некоторых других канонических СЛАУ с тем же разностным матричным оператором, краевые задачи удается свести к обращению корректных систем уравнений второго рода. Тип регуляризующего матричного оператора зависит от класса рассматриваемой структуры. В некоординатных задачах (таких, как сочленение двух волноводов под некоторым (не прямым) углом, наклонные перегородки) оператор с разностной частью порождается сшиванием полей через нерегулярный треугольный район, в координатных (конфигурации, где все углы прямые), - при сшивании полей на двух характерных подинтервалах полной области. Обращаемая в явном виде часть решения задачи не связана прямо с сингулярностью поля на том или ином ребре структуры, а значит, и не так жестко ограничивает класс возможных конфигураций. Последовательное использование регуляризирующих операций позволяет свести исходные СЛАУ-1, в общем случае состоящие из нескольких подсистем, к последовательности матричных уравнений второго рода, причем их количество и вид матричных операторов определяются конфигурацией конкретной краевой задачи. Найденные таким образом решения не только допускают обоснование процедур нахождения приближенных численных решений, но и в силу их быстрой сходимости дают эффективный инструмент анализа широкого класса задач теории дифракции.
Глава 3
Модифицированный метод вычетов (ММВ) [2] также опирается на регуляризацию систем уравнений, полученных с помощью МЧО. Однако, в отличие от предыдущего метода, в ММВ строится функция, вычеты которой дают решение всей системы, а не только ее канонической части с чисто разностным оператором. При этом правильное поведение полученного решения на ребре обеспечивается за счет выбора этой функции: особенность поля на ребре определяется характером поведения искомой функции. Выбрав соответствующую функцию, мы можем добиться выполнения условий Мейкснера. Как показано в [8], поскольку ММВ более детально, чем метод обращения разностной части оператора, учитывает особенность данной задачи, он обеспечивает несколько более высокую точность расчетов, но существенно уступает в общности и алгоритмичности. К недостаткам метода относится также сложность численной процедуры вычисления матричных элементов системы, решения которой определяют параметры искомой функции, что делает получение каких-либо аналитических результатов весьма затруднительным. Применение этого метода оправдано в основном только в волноводах с прямыми углами.
Прямое усечение
Как и ММВ, Метод прямого усечения [2] основан на знании правильной особенности поля в сингулярной точке. Как мы уже упоминали, простая редукция систем, получаемых в результате применения МЧО к сингулярным задачам, невозможна, поскольку их оператор не обладает свойствами конечности и непрерывности. Однако, если известен характер поведения поля на ребре, то существует способ корректного усечения системы таким образом, что полученное решение будет удовлетворять условиям Мейкснера [1,2]. Оказывается, что характер поведения поля определяется скоростью убывания коэффициентов разложения по нормальным волнам, которая, в свою очередь, зависит от того, сколько уравнений мы возьмем. Так, например, если взять систему для пустого разветвленного волновода, то для получения правильного решения отношение числа уравнений, взятого в двух системах, должно быть равно отношению толщин волноводов.
Метод квазистатической функции Грина
Метод квазистатической функции Грина (МКФГ), разработанный в [10, 11] и модифицированный в [12-14], является полуаналитическим методом решения задач дифракции в волноводах с кусочно-непрерывными границами. Метод основан на регуляризации матричного оператора бесконечной системы с помощью функции Грина оператора Лапласа с исходными граничными условиями. Волновод разбивается на ряд частичных областей. В каждой из них строится полная система функций, и поле в каждой подобласти ищется как линейная комбинация этих функций. Затем с помощью функции Грина осуществляется «обобщенное» сшивание (приравниваются не сами поля, а их произведения с функцией Грина и ее производными). Проектирование полученных функциональных уравнений на некоторую полную систему функций приводит к регулярной бесконечной алгебраической системе. Такая система допускает редукцию, причем имеет в ряде случаев хорошую сходимость. Матричными элементами будут двукратные интегралы, содержащие функцию Грина и функции, на которые проектируются функциональные уравнения. Преимуществами метода является достаточно широкий класс решаемых задач, быстрая сходимость, независимость матричных интегралов от частоты. Кроме того, в некоторых случаях удается получить достаточно простые аналитические выражения зависимости коэффициентов распространения от параметров задачи.
Глава 4
В принципе, данный метод можно применять и к решению некоординатных задач - но в этом случае мы сталкиваемся с серьезным препятствием: сложностью сшивания нормальных волн на границе разных областей. Однако ценой увеличений кратности матричных интегралов
[14] или их числа [15] эту трудность можно преодолеть, и таким образом значительно расширить границы применимости метода (к сожалению, за счет его эффективности). Еще одно ограничение связано с тем, что МКФГ обеспечивает регуляризацию только в окрестности сингулярной (угловой) точки, но не на бесконечности. Поэтому важным моментом является выбор правильной системы функций для проектирования функциональных уравнений. В ряде случаев это затруднительно или невозможно, особенно на сочленении областей различной формы. Основной трудностью метода является вычисление матричных элементов. Кроме того, серьезным ограничением является невозможность применения метода при наличии диэлектрического заполнения в области распространения.
Полуобращение Помимо методов, основанных на МЧО, существуют и другие - один из них, метод полуобращения (МПО), также рассматривается в данной работе.
МПО, впервые использованный в 1996 году [9], основан на обращении сингулярной части оператора Гельмгольца. С помощью конформного преобразования исходный волновод, граница которого содержит сингулярные точки, переводится в волновод с гладкими границами. Эта процедура устраняет сингулярность, связанную с оператором Лапласа. Дальнейшее решение основано на использовании функции Грина и формулы Кирхгофа: мы получаем интегральное уравнение, которое является уравнением Фредгольма II рода. При условии малости нормы ядра ( 1) полученного интегрального оператора удобно применить метод последовательных приближений.
К достоинствам метода можно отнести простоту получения нулевого приближения для практически произвольной области, а также выделение особенности (в решении) в явном виде (особенность будет определяться исключительно коэффициентом Ламэ конформного преобразования). К недостаткам - ограничения на параметры задачи, связанные с требованием малости нормы интегрального оператора, большие сложности интегрирования по площади уже для первого приближения (растущие по мере усложнения вида конформного преобразования), и, как следствие, большие сложности получения второго и старших приближений.
Метод Винера-Хопфа-Фока
Метод ВХФ [3] также не опирается на МЧО - т.е. не состоит в регуляризации сингулярной СЛАУ. Он основан на преобразовании Фурье, которое используется для сведения краевой задачи к интегральному уравнению, которое затем преобразуется в уравнение на комплексной плоскости а, где а- переменная Фурье. При этом мы получаем одно уравнение для двух неизвестных функций, которые вводятся в процессе формулировки задачи. Ключевым исходным пунктом для построения решения этим методом является формулировка задачи в виде интегрального уравнения с полубесконечными пределами. Соответственно, применение его ограничено довольно узким классом задач (однако в данном методе мы не ограничены необходимостью рассмотрения только идеально проводящих поверхностей: его можно применять, например, к решению задач о дифракции на стыке подложек с разной диэлектрической проницаемостью - классическая задача береговой дифракции). Существует также модификация метода ВХФ, позволяющая решать более сложные задачи [19]
Метод задачи Римана-Гильберта
Иногда оказывается возможным точно решить сингулярную систему матричных уравнений, в результате чего можно обойти препятствие, связанное с невозможностью редукции подобных систем. Это хорошо иллюстрирует метод задачи Римана-Гильберта. Следуя этому методу, коэффициенты прохождения нормальных волн представляются в виде коэффициентов разложения в ряд некоторых двух вспомогательных функций, регулярных соответственно внутри и вне единичной окружности. Тогда, согласно уравнениям сшивания, эти функции будут совпадать на некоторых дугах единичной окружности; кроме того, известна их сумма на остальной части окружности. При этом получается, что аналитическое продолжение разности этих функций даст нам искомое решение. Задача Римана-Гильберта состоит в отыскании выражения для этой разности, выполняющегося на всей единичной окружности. Ее решение представляется [20] в виде интеграла по контуру, охватывающему дуги единичной окружности. Из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье получается система линейных уравнений второго рода. При этом, поскольку исходная нерегулярная система решается точно в виде квадратур, то полученная система является регулярной.
