Введение к работе
Диссертация посвящена разработке новых теоретических методов исследования волновых полей, возбуждаемых гармоническими во времени источниками в открытых областях пространства, границы которых имеют ребра, т.е. линии, на которых скачком изменяется кривизна граничной поверхности, ее материальные свойства, или то и другое вместе. Представлен комплекс теоретических результатов, которые позволяют корректно формулировать задачу дифракции на клине или системе соприкасающихся клиньев, сводить ее к однозначно разрешимым линейным интегральным уравнениям, полз'чать и исследовать их приближенные решения, учитывая в результате в полной мере и математически обоснованными способами реальные отражающие свойства граничных поверхностей, например наличие поглощающего покрытия или конечную толщину скин-слоя. Основные типы клиновидных структур, рассмотренных в диссертации, показаны на стр.13.
Актуальность темы. Решение многих важных прикладных проблем радиофизики, акустики, оптики, сейсмологии, связано с рассмотрением процессов распространения и дифракции волн в структурах, которые содержат несколько соприкасающихся между собой клиньев с общим ребром и различными значениями постоянных, характеризующих протекание волновых процессов (секториально неоднородные среды). Простейшим примером такой структуры служит один из ключевых объектов оптической и микроволновой техники - диэлектрическая призма с показателем преломления, отличным от показателя преломления окружающей среды. Среди задач данного класса также можно назвать расчет распространения электромагнитных волн над местностью со сложным рельефом и в городских условиях, снижение уровня радиолокационного рассеяния от объектов сложной формы и больших волновых размеров, синтез антенн с оптимальными характеристиками, построение без-эховых измерительных камер, конструирование устройств СВЧ. и многие другие.
С математической точки зрения содержательное рассмотрение проблем, названных выше, требует решения эталонной (или кано-
нической) задачи - задачи дифракции на клине или, в общем случае, на системе клиновидных тел с общим ребром. Ее решение дает возможность описать два принципиальных момента, связанных со свойствами волновых полей в открытых областях с нерегулярными границами : сингулярность компонент электромагнитного поля на ребре и образование уходящей на бесконечность рассеянной волны. ( краевой волны ) убывающей по законз' О ((Ах)-1''2), обусловленной дифракцией падающего поля на изломе граничной поверхности. Эта задача является классической, достаточно сказать, что именно от нее, с работ А.Пз'аякаре и А.Зоммерфельда по дифракции на идеально проводящем экране, берет свое начало строгая математическая теория дифракции, но несмотря на свою почти столетнюю историю ее решение в общем случае до сих пор не найдено.
Особое место клина в ряду других канонических геометрий (полз'пространства. цилиндра или сферы) связано с тем, что попытка отказаться от гипотезы об идеально отражающих свойствах граничной поверхности и зачесть ее реальные материальные свойства приводит к качественном}- згсложнению задачи, обычно делая невозможным ее замкнутое решение. Например метод интегралов Зоммерфельда при попытке зачесть строгие соотношения непрерывности касательных компонент поля на границах клина приводит к сложным системам функциональных \-равнений с переменными коэффициентами и нелинейными смещениями в aprj--ментах искомых фз'нкций, которые не только не решаются ни в явном виде, ни приближенно, но даже их редукция к линейным задачам представляет серьезные трз'дности. Все имеющиеся в литературе точные решения задачи о секториалъных средах либо относятся к сл\-чаю равных скоростей (включая задачи элек-тро - и магнитостатики, в которых можно считать, что скорости во всех секторах одинаковы и равны ос), когда возможно разделение переменных, либо справедливы лишь для некоторых прямо-лтольных геометрий, когда значения углов при вершинах клиньев строго фиксированы, и обязательно прис}-тств}'ют идеально отражающие границы, либо, наконец, представляют собой некоторые частные решения з'равнения Гельмгольца. не л'довлетворяющие какому-либо из условий задачи (как правило, условию на ребре или на бесконечности).
Прикладная значимость и математическая нерешенность проблемы дифракции в секториальных средах стимулировали появление большого количества новых численных и аналитических методов исследования. С помощью численных методов, основанных главным образом на методе поверхностных интегральных уравнений, были выполнены инженерные расчеты для таких важных в прикладном отношении структур, как диэлектрическая призма или клин с диэлектрическим покрытием. Однако ввиду открытого характера задач и сингулярного поведения компонент поля на ребре эти методы должны были существенно опираться на некоторые априорные гипотезы о свойствах разыскиваемых решений, такие, например, как быстрое убывание нерегулярной составляющей при удалении от ребра, мейкснеровская особенность на ребре и т.п.. справедливость которых может быть установлена лишь при аналитическом рассмотрении модельных задач. Кроме того, численные результаты не дают качественных оценок роли тех или иных параметров задачи.
Аналитические исследования закономерностей, свойственных волновым процессам в клиновидных структурах, проводились в основном с помощью приближенных методов "физического уровня строгости". Среди них наиболее часто использовались варианты методов геометрической и физической оптики, параболического уравнения, некоторые методы теории нерегулярных волноводов, а также метод приближенных импедансных граничных условий, введенный в классической работе Г.А.Гринберга и В.А.Фока, посвященной явлению береговой рефракции радиоволн. Все эти методы, упрощая расчеты полей и позволяя во многих случаях находить явные выражения для решений, тем не менее вносят трудно контролируемые погрешности, что часто ставит под сомнение их практическую ценность.
Таким образом, возникает необходимость разработки таких методов исследования задач дифракции в секториальных средах, которые, будучи математически строгими, с одной стороны сохраняли бы возможность точного решения численными методами, а с другой - при определенных значениях параметров задач указывали бы способы построения обоснованных приближенных решений. Современное состояние проблемы ясно показывает, что решение задачи о клине требует не только особого внимания к математи-
ческому аппарату и зтлубленной разработки существующих методов математической теории дифракции, но и привлечения новых идей и концепций, без чего любое дальнейшее продвижение оказывается невозможным.
Другой аспект проблемы связан с тем, что даже в тех случаях, когда решение известно, как правило в виде интегралов или рядов, содержащих специальные функции, его исследование и преобразование к форме, позволяющей проследить качественную зависимость от того или другого параметра задачи, связано с существенными математическими трудностями. Такая ситуация сложилась для одного из самых сильных результатов в теории дифракции на клине - точного решения задачи дифракции на импедансном клине, полученного Г.Д.Малюжинцем еще вначале 50-х годов. Оно было представлено контурным интегралом в комплексной плоскости в терминах новой специальной функции, и его внешняя сложность послужила причиной того, что в прикладных исследованиях вместо него использовались решения, полученные методом Винера-Хопфа. несмотря на то, что их применимость принципиально ограничена задачами с прямоугольной геометрией.
Цель работы состоит в: 1) разработке физически и математически обоснованных методов постановки, решения и исследования решений задач дифракции в угловых областях: 2) построении точных и приближенных решений новых задач; 3) доведении полученных решений до простых формул, позволяющих извлекать физические следствия и выявлять качественные закономерности, свойственные волновым полям в секториальных средах вблизи и вдали от ребра при различных соотношениях между материальными и геометрическими параметрами задачи.
Методика исследования основывается на использовании точных уравнений электромагнитного поля и исследовании их строгими математическими методами. В диссертации рассматриваются задачи для скалярных двумерных гармонических по времени полей, когда в каждой элементарной угловой области ищется одна функция и(г. ~р) двух переменных, которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца и представляет собой поперечную к
плоскости падения компоненту электрического или магнитного поля. Последовательно исследуются возможности, предоставляемые при решении задач данного класса различными методами математической теории волн, такими как классические методы интегралов Зоммерфельда - Малюжинца. интегрального преобразования Конторовича - Лебедева, Винера-Хопфа-Фока. краевой задачи Римана-Гильберта, метод Мейкснера. метод приближенных граничных условий высокого порядка и некоторые другие. Как правило, каждый из перечисленных выше методов предварительно модифицируется, чтобы сделать его максимально приспособленным для решения рассматриваемых в диссертации задач. Так интегральное преобразование Конторовича - Лебедева рассматривается на основе принципа погашаемости Фока - Малюжинца: используется связь интегралов Зоммерфельда - Малюжинца с интегральным преобразованием Лапласа и теорией аналитических функций комплексного переменного: методы Винера-Хопфа-Фока и краевой задачи Римана-Гильберта включаются в схему метода полуобращения оператора задачи: ряды Мейкснера пополняются логарифмическими членами и т.д. Устанавливаются также взаимные связи между всеми этими, казалось бы принципиально разными, подходами к решению задач дифракции в угловых областях.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
1. Разработан новый метод исследования волновых полей в
произвольных системах соприкасающихся секториально располо
женных клиньев. Согласно этому методу при постановке задачи
используется принцип предельного поглощения Фока - Малюжин
ца, и решение ищется в виде модифицированных интегралов Кон
торовича - Лебедева, обобщенных на функции не равные нулю в
начале координат: после нахождения точного или приближенного
решения оно может быть преобразовано к виду рядов бесселевых
функций или интегралов Зоммерфельда. удобных для описания
его свойств соответственно вблизи ребра или в дальней зоне.
2. Построена система однозначно разрешимых линейных син
гулярных интегральных уравнений для функции Грина задачи ди
фракции в произвольной секториальной среде и описана схема их
преобразования к интегральным уравнениям второго рода с гладкими ядрами. Представлено трансцендентное уравнение, определяющее характер особенности сингулярных компонент электромагнитного поля на ребре произвольной системы соприкасающихся клиньев. Определена область применимости метода Мейкснера и путем пополнения рядов Мейкснера логарифмическими членами осуществлено его обобщение на случай структур, содержащих клинья с углами при вершинах рационально кратными 7г, когда разложения Мейкснера в стандартной форме степенных рядов не существуют. Задача дифракции на диэлектрическом клине сведена к двум несвязанным однозначно разрешимым интегральным уравнениям второго рода с неособыми ядрами.
-
Развит эффективный метод решения задач дифракции в системах соприкасающихся прямоугольных клиньев, предполагающий разбиение клиновидной структуры на две частичные области, в каждой из которых волновое поле записывается или в виде интеграла Фурье, если среда, заполняющая данную частичную область, однородна, или в виде разложения по спектральным функциям некоторого обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом, которое обобщает интеграл плоских волн на случай, когда свойства среды изменяются скачком на некоторой плоскости.
-
Представлено решение задачи дифракции на полупространстве, образованном двз'мя соприкасающимися прямоугольными клиньями, путем сведения ее к одному фредгольмовскому интегральном}' уравнению второго рода с гладким ядром относительно преобразования Фурье для поля в однородном полупространстве. При различных соотношениях между материальными параметрами структуры построены приближенные решения этого уравнения, которые использованы для исследования нескольких физически интересных задач (распространение над трассой со скачком электрических свойств подстилающей поверхности; излучение нитевидного источника, помещенного в четверть- пространство с сильным поглощением; дифракция на прямоугольном диэлектрическом клине).
-
Разработаны новые методы постановки и решения задач дифракции в клиновидной области при граничных условиях высокого порядка. Постановка электромагнитной гранично-контактной
задачи дифракции на клине включает в себя : а) моделирование материальных свойств граничных поверхностей с помощью краевых условий высокого порядка при сохранении свойства физической пассивности граней клина б) вывод контактных условий путем интегрирования уравнений Максвелла в окрестности ребра с помощью мейкснеровских разложений или интегральных теорем в) математическую формулировку задачи, гарантирующую единственность решения и удовлетворение им соотношения взаимности. Представлено обобщение техники Малюжинца и Тужилина на случай граничных условий произвольного порядка.
6. Построены и исследованы решения двух новых задач :
задачи дифракции плоской звуковой волны на угловом сочленении двух тонких упругих пластин, находящихся в одностороннем контакте с акустической средой :
задачи дифракции плоской электромагнитной волны на составной клиновидной структуре, которая представляет собой либо идеально проводящий клин покрытый слоем диэлектрического или ферромагнтного материала, либо клин с поглощающими гранями, когда можно пренебречь волнами, прошедшими через него насквозь.
7. Разработаны методы исследования решения Г.Л. Малю
жинца для импедансного клина и выполнен анализ этого реше
ния (новые представления для функции Сф(а). асимптотическая
структура волнового поля в узкой клиновидной области с импе-
дансными граничными условиями, коротковолновые асимптоти
ки вблизи граней клина, низкочастотные разложения). Выведены
новые представления функции Грина импедансной клиновидной
области, справедливые при произвольном соотношении между ко
ординатами источника и точки наблюдения, которые использова
ны для исследования физически интересных задач (затенение ци
линдрической волны клиновидным барьером; излучение линейной
антенны, расположенной вблизи ребра импедансного клина).
Перечисленные выше результаты являются новыми и получены впервые.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы в прикладных и те-
еретических исследованиях дифракции, распространения, излучения и рассеяния электромагнитных и акустических волн в открытых областях с нерегулярными границами. Асимптотические представления решений в дальней зоне, как решения эталонной задачи, включаются в различные версии коротковолновой теории дифракции и на этой основе распространяются на широкий круг прикладных проблем, связанных с дифракцией волн на протяженных телах с кромками и линиями, на которых материальные свойства границы изменяются скачком. Низкочастотные разложения предоставляют возможность приближенного описания свойств волновых полей вблизи ребер диэлектрических, феррит-ных и импедансных поверхностей, а также могут закладываться в численные алгоритмы, использующие информацию о характере сингулярности компонент поля на ребре моделируемой структуры. Регулярные интегральные уравнения, выводимые в диссертации путем строгого обращения сингулярной части оператора задачи, обещают стать исходным пунктом в разработке эффективных численных схем для инженерных расчеюв. Решения двумерных задач дифракции в секториально неоднородных средах, полученные в работе, допускают непосредственное обобщение на пространственные задачи акустики; трехмерные задачи электромагнитной теории как правило носят существенно векторный характер и требуют особого рассмотрения, которое, однако, необходимо должно базироваться на результатах решения скалярных задач.
Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на XXIV Генеральной ассамблее международного радиосоюза URSI (Kyoto, 1993). на Пятой международной конференции по математическим методам в электромагнитной теории (ММЕТ94, Харьков, 1994), на международном симпозиуме по антеннам (JINA'94, Nice, 1994), на международном симпозиуме URSI по электромагнитной теории (Санкт-Петербург, 1995), на международном съезде по антеннам и распространению (IEEE -APS Int. Symposium and USNC/URSI Radio Science Meeting. Newport Beach. California, 1995), на XI Всесоюзной акустической конференции (Москва. 1991), на международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией (Xoise"93. Санкт-Петербург, 1993), на 127 съез-
де Американского акустического общества (Cambridge, 1994), на Третьем международном конгрессе по воздушному и структурному звз'ку (Montreal. 1994), на выездном научном совещании Научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме "Колебания и излучение механических структур" (Ленинград, пос. Репино, 1991). на международном семинаре Эйлеровского математического института по асимптотическим методам в теории распространения волн (Санкт-Петербург, 1993), на международных Днях дифракции (Ленинград, 1991; Санкт-Петербург, 1992, 1993, 1994. 1995), на семинарах кафедры радиофизики Санкт-Петербургского госз'дарственного университета, в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН, на семинарах по математической акустике при Восточно-европейской ассоциации акустиков, на объединенном семинаре по распространению волн (NOAA Environmental Research Laboratory, Institute for Telecommunication Sciences, Department of Electrical and Computer Engineering at University of Colorado, Boulder, USA), а также в лаборатории излучения электромагнитных волн Мичиганского университета (Radiation Laboratory, Department of Electrical Engineering and Computer Science. University of Michigan, USA).
Часть результатов, представленных в диссертации, была получена в рамках исследований, поддержанных грантами Государственного комитета РФ по высшем}' образованию и Международного научного фонда (ISF). Некоторые результаты использовались при проведении НИР "Защита" и "Аномалия" в центральном научно-исследовательском институте "Морфизприбор" (Санкт-Петерб}грг). В 1994 г. результаты исследований в области теории дифракции на импедансном клине были удостоены премии Европейской академии (президент - проф. A. Birdgen, председатель клуба российских членов - акад. В. Скулачев) для молодых ученых России.
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 26 публикациях, список которых приведен в заключительной части автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и параграфы, за-
ключения, трех приложений и списка цитированной литературы из 598 наименований. Общий объем диссертации - 306 страниц текста шрифтом 12pt.
