Содержание к диссертации
Введение
Глава I Нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос
Вводные замечания 26
1.1 Построение математической модели общего вида 27
1.2 Математическая модель в резонансном случае 30
1.3 Результаты численного анализа математической модели 32
1.4 Оценка ляпуновской размерности аттрактора 37
1.5 Физический эксперимент (вариации амплитуды внешней силы) 39
1.6 Исследование бифуркационных процессов при вариациях частоты внешней силы. Численный и натурный эксперименты 41
1.7 Основные результаты и выводы по первой главе 45
Глава II Автопарамстричсский сценарий хаотизацип движения автоколебательных систем
Вводные замечания 47
2.1 Необходимые условия реализации автопараметрического перехода к хаотическому типу движения и сопутствующие признаки 48
2.2 Обсуждение условий проведения численного моделирования и натурных экспериментов 49
2.3 Реализация автопараметрического сценария в автоколебательных системах 51
2.3.1 Бифуркационные процессы в системе релаксационного типа 51
2.3.1.1 Построение математической модели и обсуждение ее свойств 52
2.3.1.2 Численное моделирование 57
2.3.1.3 Физический эксперимент 61
2.3.2 Бифуркационные процессы в автоколебательной системе осцилляторного типа
2.3.2.1 Построение математической модели и обсуждение ее свойств 64
2.3.2.2 Численное моделирование 67
2.3.2.3 Физический эксперимент 71
2.3.3 Бифуркации в автоколебательной системе с запаздыванием 73
2.3.3.1 Построение математической модели и анализ ее свойств 73
2.3.3.2 Численное моделирование 77
2.3.3.3 Физический эксперимент 83
2.4 Основные результаты и выводы по второй главе 84
Глава III Спектрально-временные разложения уравнений движения дискретных и распределенных систем
Вводные замечания 86
3.1 Построение математических моделей генерирующих структур с запаз дыванием 88
3.1.1 Автоколебательная система кольцевого типа 89
3.1.2 Автоколебательная система с отрицательным сопротивлением 92
3.2 Основные предпосылки построения системы спектрально-временных уравнений 94
3.3 Спектрально-временной метод анализа автоколебательных систем с запаздыванием, математической моделыо которых является нелинейное интегральное уравнение 96
3.4 Решение задачи Коши для математической модели в виде дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа 101
3.5 Приведение системы спектрально-временных уравнений к действительному виду 104
3.6 О применимости асимптотических методов теории нелинейных колебаний к системе спектрально-временных уравнений 107
3.7 О связи между спектрально-временным описанием движения в двух классах автоколебательных систем 111
3.8 Об особенностях движения в динамических системах с запаздыванием 115
3.9 Исследование закономерностей самовозбуждения АКС с ЗОС 117
3.9.1 Определение областей самовозбуждения методом D -разбиения пространства параметров 118
3.9.2 Вычисление компонентов линейного базиса АКС с полосовым фильтром 121
3.10 Влияние запаздывания на интенсивность естественных флуктуации амплитуды и фазы в автогенераторе с запаздыванием 123
3.11 Полигармонические процессы в автогенераторах с запаздыванием 129
3.11.1 Исследование двухчастотных автоколебательных режимов на основе усреднённых уравнений движения 131
3.11.2 Сравнительный анализ точных и приближённых решений двухчастотного движения 138
3.11.3 Спектральные характеристики двухмодового режима. Натурный эксперимент 143
3.12 Прямой алгоритм вычисления спектра характеристических показателей Ляпунова динамических систем с запаздыванием 144
3.12.1 Вывод уравнения эволюции возмущения 145
3.12.2 Спектрально-временное разложение уравнения эволюции возмущения 146
3.12.3 Предельный переход к нелинейному осциллятору Ван-дер-Поля 148
3.12.4 Редукция к конечномерной системе уравнений 149
3.12.5 Тестирование алгоритма 151
3.13 Основные результаты и выводы по третьей главе 154
Глава IV Динамический хаос в системах с дискретным временем 156
Вводные замечания 156
4.1 Модифицированное логистическое отображение и его свойства 157
4.1.1 Неподвижные точки отображения, границы аттрактора и бассейн притяжения 158
4.1.2 Бифуркационный и спектральный анализ временных рядов, порождаемых отображением 160
4.1.3 Хаос и строгий хаос в МЛО 162
4.1.4 Сопоставление МЛО с автоколебательной системой с запаздывающей обратной связью 166
4.1.5 Статистические свойства отображения 170
4.2 КС-энтропия МЛО при параметрическом внешнем воздействии 178
4.2.1 Гармоническая модуляция параметра порядка 178
4.2.2 Модуляция нерегулярным процессом - белым шумом 186
4.3 Бифуркационные явления и процессы в системе связанных МЛО 190
4.3.1 Математическая модель 190
4.3.2 Спектр показателей Ляпунова системы связанных МЛО 191
4.3.3 Бифуркационный анализ 193
4.3.4 Регулярная и хаотическая синхронизация 195
4.3.5 Формирование геометрически упорядоченных структур в фазовом про странстве 207
4.4 Основные результаты и выводы по четвертой главе 209
Глава V Динамический хаос в прикладных задачах радиофизики 212
Вводные замечания 212
5.1 Широкополосная генерирующая структура СВЧ диапазона с высокой спектральной плотностью выхода 214
5.1.1 Математическая модель хаотического модулятора 214
5.1.2 Численное исследование модели хаотического модулятора 218
5.1.3 Практическая реализация модулятора 223
5.1.4 Экспериментальное исследование модулятора 224
5.1.5 Результаты экспериментов в СВЧ диапазоне 226
5.2 Динамический хаос и конфиденциальная связь 228
5.2.1 Классификация систем связи, использующих динамический хаос 228
5.2.2 Сравнительный анализ некоторых систем синхронной хаотической связи 230
5.2.2.1 Структура исследуемых систем синхронной хаотической связи 230
5.2.2.2 Исследование математической модели генератора хаотических колебаний 233
5.2.2.3 Практическая реализация генератора хаотических колебаний 237
5.2.2.4 Экспериментальные исследования 238
5.2.3 Система ЧМ хаотической связи 242
5.2.4 Двухканальная система активной синхронной хаотической связи 245
5.2.5 Система синхронной хаотической связи с пассивной синхронизацией . 250
5.3 Основные результаты и выводы по пятой главе 253
Глава VI STRONG Неоднозначные и дискуссионные вопросы. Обсуждение, поиск путей преодоления 256
Вводные замечания STRONG 256
6.1 Классификация систем, объектов и процессов 258
6.1.1 Замкнутая динамическая система с детерминированным хаосом 260
6.1.2 Замкнутая локально-неустойчивая динамическая система с регулярным поведением 263
6.1.3 Открытая условно-динамическая система. Квазидетерминированный
хаос 264
6.1.4 Открытая условно-динамическая система. Индуцированный хаос 268
6.2 Характеристические показатели Ляпунова и чувствительность к начальным условиям квазипериодически возбуждаемой системы с белым шумом 270
6.2.1 Математическая модель анализируемой системы 271
6.2.2 Методика проведения численных экспериментов 271
6.2.3 Влияние белого шума на поведение ляпуновского показателя 273
6.2.4 Влияние белого шума на существенную зависимость фазовых траекторий от начальных условий 275
6.3 Порождает ли знаковая корреляция квазипериодических колебаний с иррационально связанными частотами детерминированный хаос? 279
6.3.1 Краткое изложение основных идей анализируемой работы 279
6.3.2 Анализ результатов работы 280
6.3.3 Порождает ли знаковая корреляция пуассоновский поток? 281
6.3.4 Порождает ли знаковая корреляция динамический хаос? 284
6.3.5 Натурный эксперимент 286
6.4 Основные результаты и выводы по шестой главе 288
Заключение , 291
Список использованной литературы
- Оценка ляпуновской размерности аттрактора
- Обсуждение условий проведения численного моделирования и натурных экспериментов
- Спектрально-временной метод анализа автоколебательных систем с запаздыванием, математической моделыо которых является нелинейное интегральное уравнение
- Неподвижные точки отображения, границы аттрактора и бассейн притяжения
Введение к работе
Одним из основных предметов исследования радиофизики являются физические процессы, связанные с генерацией электромагнитных колебаний и волн.
Стандартным требованием, предъявляемым к автогенераторам, является высокая чистота спектра выходного сигнала, узость его спектральной линии. К настоящему времени известны многообразные технические приемы, позволяющие добиться требуемого результата. К ним можно отнести приемы, связанные с явлением затягивания частоты автогенератора внешним высокодобротным резонатором, умножение в требуемое число раз частоты низкочастотного кварцевого генератора или какого-либо стандарта частоты, использование систем фазовой привязки (фазовой синхронизации) и ряд других, реже используемых, методов.
Однако можно сформулировать ряд чрезвычайно важных с точки зрения практических приложений задач, для решения которых требуются источники сигналов с совершенно противоположными свойствами, а именно: устройства воспроизводящие сигналы с широкой спектральной линией, с высокой спектральной плотностью, занимающей широкий частотный диапазон.
Так, например, современная радиофизика и радиоэлектроника испытывает повышенную потребность в источниках широкополосных, шумоподобных колебаний. Эта потребность обусловлена возможностью построения на их основе современных систем радиопротиводействия и радиомаскировки, шумовой радиолокации и конфиденциальной связи, сверхбыстродействующей радиосвязи, криптографических структур, приборов нетрадиционного воздействия на биологические объекты, различного рода устройств специального назначения.
Кроме того, интерес к нелинейным радиофизическим структурам, генерирующим хаотические типы колебаний, обусловлен потребностью получения новых знаний, новой информации, новых законов функционирования, поскольку эти новые знания могут быть востребованы на практике для решения ряда важных прикладных задач нетрадиционными методами.
Теория колебаний, являясь междисциплинарной наукой, исследует наиболее общие свойства динамических систем различной природы и в настоящее время интенсивно развивается. В немалой мере этому способствовало открытие ограниченных непериодических движений в нелинейных консервативных и диссипативных системах с небольшим числом степеней свободы. Такие движения, называемые стохастическими или хаотическими, как следует из огромного числа посвященных им публикаций, к настоящему времени обнаружены в механических, электромагнитных, химических, биологических и многих других структурах.
В фазовом пространстве геометрическим образом хаотических движений является странный аттрактор, отличительным свойством которого является фрак талыюсть, а одной из мер странности - дробная размерность Хаусдорфа-Безиковича. Демонстрировать указанные режимы способны лишь структуры, обладающие существенной зависимостью от малых вариаций начальных условий, что находит отражение в положительном значении хотя бы одного из полного спектра характеристических показателей Ляпунова.
Исследованием указанных типов колебаний занимается новая область физики, которая называется по-разному: нелинейная физика, нелинейная динамика, теория детерминированного хаоса, синергетика, nonlinear science, complexity. Предмет этой новой области необычайно широк и разнообразен. Он включает в себя радиофизику, гидродинамику, механику, акустику и многое другое [1-4].
Открытие ограниченных, неустойчивых по Ляпунову, но устойчивых по Пуассону движений в физических системах самой разнообразной природы явилось одним из крупнейших достижений современной физической науки. Стало ясно, что на длительное время от нас был скрыт целый мир динамических явлений и процессов - мир динамического хаоса. В этом мире уже нет места ранее незыблемой уверенности в абсолютной предсказуемости поведения системы на любом этапе ее эволюции. Потребовались принципиальные перемены во взглядах на вопросы функционирования давно и детально изученных физических структур.
По мнению таких известных ученых, популяризаторов и методологов науки современности как И.Р. Пригожин [5,6], Г. Хакен [7,8], Д.И. Трубецков [9,10], СП. Курдюмов [11,12], Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда [1,13], Заславский Г.М. [14], СП. Капица, Г.Г. Малинецкий [15], B.C. Анищенко [16], СП. Кузнецов [17], А.С Дмитриев, В.Я. Кислов [18] и многих других, нелинейная физика является лидером наук на рубеже XX-XXI столетий. Лауреат Нобелевской премии по физике 2003 г. В.Л. Гинзбург в своем известном списке тридцати наиболее важных и интересных проблем физики и астрофизики XXI века [19] на одном из первых мест располагает нелинейную физику, турбулентность, детерминированный хаос и фракталы.
Для понимания современного состояния проблемы необходимо, вкратце, коснуться ее истории. В начале 19-го века Навье впервые вывел уравнения + (uV)u-W2u = -VP + f, Vu = 0, описывающие течение несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью U под действием внешней силы f; р- давление, v- вязкость, t- время. В классической постановке (точная формулировка и доказательство теоремы о трехмерном движении на достаточно больших интервалах времени) проблема не решена до сих пор, о природе турбулентности (термин, введенный Кельвином) известно достаточно не много. Поэтому турбулентность является одной из старейших нерешенных проблем современной физики.
В то же время проблемы перехода от ламинарных течений к турбулентным важны для целого ряда практических приложений, например, для гидро- и аэромеханики. Более того, проблема возникновения турбулентности и анализа возникающих неустойчивостей важна не только в связи с инженерными потребностями. Ведь большая часть среды, заполняющей Вселенную, находится в турбулентном движении, поэтому с неустойчивостями сталкиваются в физике атмосферы и астрофизике, в радиофизике, в океанологии, физике планет?многих других областях науки.
Одним из первых (1934г.), кто предпринял попытку создания теории турбулентности, был французский исследователь Д. Лерой [20]. Возникновение нерегулярных во времени и пространстве решений для потока (В1) он объяснял следующим образом. Теорема существования и единственности для трехмерных уравнений Навье - Стокса доказана лишь для локальных полупотоков, т.е. для потоков текущих в положительном направлении изменения времени и на малых временных интервалах. Следовательно, турбулентность обусловлена просто нарушением теоремы на больших временных интервалах. Но вскоре было доказано существование глобальных решений во времени для двумерных уравнений Навье - Стокса, а это указывало на противоречивый характер теории Лероя. Кроме того, теория Лероя была далека от физики явления.
В 1944г. советский физик Л.Д. Ландау предложил свою стройную и внутренне непротиворечивую теорию слабой турбулентности [21], в которой рассматривался переход от ламинарного течения жидкости к турбулентному по мере увеличения числа Рейнольдса Re - параметра, пропорционального скорости течения жидкости и обратно пропорционального ее вязкости. Суть теории Ландау сводилась к следующему.
Пусть равновесное состояние замкнутой системы нарушается, например, при возникновении градиента давления. При этом жидкость будет двигаться в сторону меньших значений давления и возникает ламинарное течение, в котором потоки и термодинамические силы связаны линейными соотношениями, а производство энтропии минимально.
Из-за неизбежных флуктуации возникают малые отклонения скорости движения от стационарных значений, экспоненциально затухающие во времени. При увеличении средней скорости потока выше критической некоторые из малых возмущений перестают затухать, скорость движения жидкости начинает осциллировать с некоторой частотой C0j. Происходит первая бифуркация Хопфа. Линейная зависимость между потоками и силами нарушается и уже не выполняется теорема Пригожина о минимальном приросте энтропии.
При дальнейшем увеличении Re периодический режим также теряет устойчивость. Появляются осцилляции скорости еще с одной частотой со2, в общем случае несоизмеримой с частотой со,. Устанавливается квазипериодический режим, которому в фазовом пространстве соответствует двумерный тор Т . Далее последовательно возбуждаются частоты co3,co4,...,coA/, при этом интервал частот сокращается, и, по теории Ландау, появляющиеся новые движения имеют все более мелкие масштабы. Нерегулярное поведение, типичное для турбулентного движения, есть результат бесконечного каскада бифуркаций. Из-за нелинейности наряду с частотами (о3, о4,...,(ом возникают их суммарные и разностные комбинации. Аттрактор турбулентного потока представляет тор достаточно большой размерности Тм. Фурье-спектр такого движения имел бы линейчатый характер, но неизбежное присутствие малых флуктуации ведет к размыванию дискретных спектральных линий и приданию спектру континуального характера. В результате каскада бифуркаций Хопфа при достаточно больших Ми возникает турбулентный поток. Из теории Ландау непосредственно следовало, что хаотическое поведение во времени и пространстве может возникать только в системах с очень большим числом степеней свободы, с размерностью фазового пространства, превышающей размерность аттрактора Тм.
Ситуация изменилась коренным образом в 60-х годах прошлого века, когда американский метеоролог Э. Лоренц в численном эксперименте показал [22], что существует поток
х = -ox + оу, y = rx-y-xz, (В2)
і = bz + ху,
с положительными параметрами o,b,r, который воспроизводит хаотические типы колебаний при отсутствии каких-либо внутренних и внешних флуктуации. Нерегулярное поведение определялось только внутренней динамикой системы (В2). Поток Лоренца имел всего полторы степени свободы, а размерность вложения его фазового пространства равнялась всего трем. Таким образом, впервые было показано, что генерация сложных хаотических колебаний не является свойством физических систем с большим числом степеней свободы, достаточно чтобы система описывалась системой трех нелинейных дифференциальных уравнений.
Справедливости ради, необходимо отметить, что сам Э.Лоренц признавал приоритет в открытии ограниченных непериодических движений Б. Зальцману [23], кроме того, на приоритет в обозначенной проблеме вполне обоснованно претендует горьковская школа теории нелинейных колебаний [1].
Представленные Э.Лоренцем результаты долгое время рассматривались, как сомнительные, как результат непонятой до конца погрешности численного эксперимента и, поэтому, не привлекали особого внимания исследователей. Потребовалось еще около восьми лет для того, чтобы научное сообщество осознало фундаментальное значение этого открытия.
Положение радикально изменилось только после появления в 1971 г. важной работы французских математиков Д. Рюэля и Ф. Такенса [24]. В ней впервые было введено понятие "странного аттрактора" и строго доказана реальность его возникновения и существования в потоковых системах с размерностью фазового пространства равной или большей трем. Аттрактор был назван "странным" вследствие того, что топологически он отличался от хорошо известных в то время аттракторов - точки покоя, предельного цикла и тора. На странном аттракторе любые две первоначально сколь угодно близкие траектории, в конце концов, расходятся. Более того, расхождение траекторий (усредненное по коротким интервалам времени) возрастает со временем экспоненциально.
Работа Рюэля и Такенса имела сугубо математический характер, поэтому природа турбулентности аттрактора авторами не обсуждалась, а само существование такого аттрактора просто постулировалось. Турбулентное течение определялось как течение, у которого фазовые траектории не притягивались ни к одной замкнутой кривой.
Согласно Рюэлю и Такенсу, последовательность бифуркаций, приводящая к хаосу, может выглядеть следующим образом: состояние покоя = предельный цикл = тор Т2 = странный аттрактор. Следовательно, хаотическое движение становится возможным после двух бифуркаций Хопфа, когда у фазовых траекторий появляется возможность выхода в дополнительное третье измерение, т.к. двухчас тотное движение соответствует движению на торе Т , на котором пересечение фазовых траекторий запрещается известной теоремой Пуанкаре [25].
После выхода в свет работы [24] хлынул поток публикаций, посвященный хаотическим колебаниям динамических систем. Апериодические, устойчивые но Пуассону режимы были обнаружены в объектах самой различной природы. Знания о природе турбулентности существенно пополнились.
Уместно кратко перечислить основные причины, которые привели к тому, что хаотические явления и процессы длительное время не привлекали внимания исследователей нелинейных систем. Таких причин можно назвать несколько.
• Теорема Коши, согласно которой движение детерминированной системы однозначно определяется начальными условиями и, следовательно, не может быть случайным.
• Теория слабой турбулентности Ландау, которая утверждала, что турбулентному потоку соответствует тор очень высокой размерности, следовательно, в системах с небольшим числом степеней свободы нерегулярности быть не может.
• Отсутствие ЭВМ, что не позволяло методами качественного исследования решений дифференциальных уравнений изучать динамические системы с размерностью фазового пространства большей, чем два, но, как было установлено позднее, хаос возможен только в нелинейных системах с размерностью фазового пространства не менее трех.
В силу указанных причин хаотические движения воспринимались как нечто физически не реализуемое, если и возможное в консервативном мире гамильтоно-вых систем с несжимаемым фазовым пространством, то никак невозможное в мире систем диссипативных, обладающих отрицательной дивергенцией фазового потока, с непрерывно сжимающимся фазовым объемом.
Однако тщательные численные и натурные эксперименты и новый взгляд на проблему позволили установить, что теорема Коши не препятствует сложной апериодической, нетрадиционной динамике. Действительно, если рассматривать фазовое пространство с размерностью три и более, то оказывается, что фазовые траектории могут блуждать в этом пространстве сколь угодно долго, ни разу не пересекаясь, т.е. не нарушая условия теоремы. На двухмерном пространстве - плоскости такого не могло бы произойти, так как в ограниченной области фазового пространства (что следует из условия диссипативности) траектории, соответствующие нерегулярным колебаниям непременно бы пересеклись. В этом случае из одной точки выходило бы уже две траектории, а именно эта неоднозначность и запрещается теоремой Коши.
После появления работы Рюэля-Такенса стало ясно, что теория Ландау описывает лишь один из возможных сценариев возникновения динамической неустойчивости и, может быть, далеко не самый распространенный в природе.
Появление мощной электронной вычислительной техники и оснащение ею обычных лабораторий открыло исследователям доступ в мир систем, обладающих сложной, нетрадиционной динамикой. Таким образом, неприятие динамических систем с хаотическими типами колебаний долгое время было обусловлено не какими-либо принципиальными теоретическими запретами, а определенной инерционностью в смене представлений о динамике достаточно простых систем.
Отметим, что динамический хаос еще не является турбулентностью, поскольку под развитой турбулентностью понимается нерегулярное поведение, как во времени, так и в пространстве. Однако хаос являет собой начальную стадию турбулентности - турбулентность только во времени, поэтому многие исследователи справедливо считают, что исследование хаотических процессов существенно прояснит понимание механизмов происхождения развитой турбулентности.
В то же время в ряде случаев возникновение и развитие хаотических состояний является крайне нежелательным. В качестве негативного примера можно привести хорошо известный случай [26], когда 13 июля 1977 г. произошла катастрофа - внезапная потеря управляемости энергосистемой города Нью-Йорка. Вследствие резкого и неожиданного разбаланса между притоком и оттоком электрической энергии энергетическая система перешла из равновесного состояния в хаотическое, способы управления которым были неизвестны. В таком состоянии город находился около 25 часов, материальные потери были колоссальны. Поэтому изучение способов управления степенью упорядоченности движений в динамических системах представляется также крайне важным и своевременным.
Весьма перспективными для решения ряда практических задач являются достижения нелинейной динамики в области динамического хаоса. Так, например, известны положительные результаты, достигнутые при построении систем высокоскоростной прямохаотической связи в радио и СВЧ диапазонах [27,28], при разработке широкополосных СВЧ автогенераторов с высокой спектральной плотностью [29]. В настоящее время широкополосные хаотические сигналы рассматриваются как новый класс сигналов, способных эффективно переносить информационную компоненту [30-32].
Выделим основные классы задач теории и практических приложений динамического хаоса, являющиеся наиболее актуальными в настоящее время.
• Общая теория бифуркационных явлений и процессов в хаотических системах. Исследования включают в себя изучение самых общих закономерностей в поведении автономных и неавтономных систем с хаотическими типами колебаний, поиск новых сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим, анализ свойств источников хаоса, построение и исследование простейших моделей, способных демонстрировать непериодические колебания при минимальных вычислительных затратах. Чрезвычайно важными представляются вопросы, связанные с управлением хаосом, стохастическим резонансом, задачи управления поведением одного хаотического источником путем воздействия на него сигналом другого хаотического источника, хаотической синхронизации, исследования возможных типов коллективного поведения при взаимодействии ансамблей хаотических систем, условия синхронизации и десинхронизации движений в таких ансамблях [1-10,13,17,24,34-69].
• Генерация динамического хаоса аналоговыми и цифровыми структурами. Исследования направлены на практическое создание, исследование свойств и практического использования хаотических источников в различных диапазонах частот. Особое внимание уделяется созданию источников с воспроизводимыми спектральными и статистическими характеристиками в заданных областях электромагнитного спектра. Цифровые структуры в силу ряда причин генерируют псевдослучайный хаос, но перенесение его на реальную генерирующую структуру с непрерывным фазовым пространством и неизбежными ішутренними флуктуа-циями позволяет формировать действительно случайный процесс, обладающий свойствами непредсказуемости и неповторяемости, [18, 60-65, 68-104].
• Конфиденциальная передача информации в компьютерных сетях и системах радиосвязи. В подавляющем большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания, модулированные по амплитуде, частоте или фазе. Передача информационной компоненты с использованием хаотической несущей существенно расширяют возможности разработчиков. Это обусловлено тем, что один и тот же хаотический источник может воспроизводить практически неограниченное число сигналов при малейших изменениях значения параметра одного из своих элементов. Возникающие при этом изменения характера колебаний может быть надежно зарегистрировано на приемной стороне. Важно отметить, что при таком способе передачи информации одновременно может быть достигнута и конфиденциальность самой передачи, невозможность ее декодирования при перехвате нежелательными лицами и организациями. Исследования по передаче аналоговой и цифровой информации, ведущиеся в низкочастотном и радио- диапазонах, в оптоволоконных системах и компьютерных сетях направлены на изучение помехоустойчивости и пропускной способности хаотических систем синхронной и асинхронной связи, разработку новых принципов кодирования и декодирования информационных сигналов, создание соответствующих алфавитов [27, 28,30-32,105-136].
• Динамический хаос и информационные технологии. Динамический хаос является перспективной основой построения принципиально новых систем обработки и хранения информации, В обоснование этого тезиса достаточно заметить, что человеческий мозг работает в хаотическом режиме, а синхронизация мозговых процессов является серьезной патологией [33, 137, 138]. Исследования в этой области направлены на построение математических моделей, в которых реализуются процессы обработки информации с использованием хаоса. В качестве таких моделей выступают нейроподобные структуры, такие как одномерные и многомерные отображения, одномерные (цепи) и двумерные (решетки) массивы хаотических ячеек,
В последние годы теория нейронных сетей, как нелинейных динамических систем, привлекает внимание многих исследователей. Интерес к нейронным сетям обусловлен желанием понять принципы работы нервной системы и уверенностью, что с помощью нейронных сетей удастся приблизиться к той поразительной эффективности в процессах обработки информации, которой обладает человек. Уже накоплен достаточно большой опыт, позволивший получить обнадеживающие результаты в разработке подходов и идей, направленных на решение ряда сложных задач создания искусственного интеллекта. Появилась соответствующая техническая база для реализации этих идей, и создаются вычислительные системы нового поколения - нейрокомпьютеры. Функционирование последних основано на использовании нейросетевых принципов параллельной обработки информации -"нейрокомпыотинге" [31, 139-161].
Следует отметить, что существуют еще целые классы задач, непосредственно связанные с проблемами изучения динамического хаоса. Так, например, в задачах геофизики и астрофизики обработка данных наблюдений методами нелинейной динамики дает новое понимание давно известных, но нерешенных до конца проблем. В качестве примера можно привести задачу о земном динамо. Здесь палео-магнитные данные за последние 600 миллионов лет удалось объяснить наличием хаотического аттрактора, связанного с динамикой полей, которые возникают при вращении Земли ее железно-никелевым ядром [162,163]. Не менее важные задачи связаны с медицинской диагностикой. В ряде случаев удается увидеть качественное изменение аттрактора сердечной мышцы, полученного в результате обработки кардиограммы методами нелинейной динамики, задолго до внезапной смерти пациента от сердечного приступа. Многообещающие результаты получены при исследовании электрической активности желудочно-кишечного тракта. Здесь сигналы настолько сложны, что применение стандартных методик практически исключается. В то же время использование процедуры реконструкции аттрактора в сочетании с вейвлет-анализом позволяет эффективно регистрировать большой набор заболеваний [164].
Вес вышеизложенное свидетельствует о том, что исследования, направленные на изучение динамических неустойчивостей, детерминированного хаоса являются, безусловно, актуальными.
Заканчивая настоящий раздел, автор считает необходимым отметить, что изложенные здесь концепции, явились в значительной мере результатом влияния мыслей и идей, изложенных в ряде прекрасных монографий [1-7, 9, 14, 16-18], посвященных проблемам нелинейной физики, динамического хаоса и синергетики. Эти литературные источники являются "настольными" книгами автора, что не могло не отразиться на его мировоззрении. Считаю своим долгом выразить авторам указанных работ свою искреннюю благодарность и глубокую признательность.
Цели и задачи диссертационной работы
В связи с изложенным выше целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное изучение основных принципов и законов функционирования радиофизических систем с непрерывным и дискретным временем, способных демонстрировать как регулярные, так и хаотические типы колебаний.
В рамках сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:
Исследовать нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос, проявляющиеся в неавтономных электронных цепях с нелинейной емкостью и четырехмерным фазовым пространством. Исследовать возможность возникновения и существования в фазовом пространстве таких цепей странного нехаотического аттрактора, обладающего свойством грубости в смысле Андронова-Понтрягина. Численные расчеты сравнить с натурным экспериментом. Построить и численно исследовать математические модели ряда автоколебательных систем осцилляторного и релаксационного типов с конечным и бесконечным числом степеней свободы, со знакопостоянной и знакопеременной дивергенцией фазового потока. Изучить возможность потери устойчивости периодическим движением и переход к хаосу в этих системах по одному и тому же универсальному автопараметрическому сценарию. Сравнить расчеты с физическим экспериментом.
Определить условия, при которых движения в нелинейных дискретных и распределенных структурах могут быть описаны единой системой спектрально-временных уравнений. Разработать прямой метод вычисления спектра характеристических показателей Ляпунова движения в динамических системах с запаздыванием на основе спектрально-временного разложения уравнений эволюции малых возмущений.
Исследовать основные законы функционирования системы с дискретным временем - модифицированного логистического отображения и систем таких отображений. Изучить возможность управления энтропией Колмогорова-Синая таких систем. Исследовать явления перемежаемой синхронизации и формирования геометрически упорядоченных структур фазового пространства при положительных значениях метрической энтропии. Рассмотреть возможность возникновения и существования в их фазовом пространстве странного нехаотического аттрактора, обладающего свойством грубости в смысле Анд-ронова-Понтрягина.
Исследовать возможные пути создания источников хаотических колебаний СВЧ диапазона с высокой спектральной плотностью, оценить наиболее перспективные их них, разработать источники 8-мм диапазона и исследовать их работоспособность в жестком диапазоне изменения климатических факторов и ударных нагрузок.
Провести сравнительный анализ ряда систем синхронной хаотической связи и экспериментально исследовать их характеристики. Исследовать систему частотно-модулированной синхронной хаотической связи. Провести сравнительный анализ одноканальных и двухканальных систем с активной и пассивной синхронизацией.
Построить непротиворечивую классификацию физических систем, объектов и процессов по степени открытости и типу воспроизводимого движения. Рассмотреть влияние белого шума на системы с квазипериодическим возбужде ниєм. Исследовать возможность построения хаотических источников на основе систем суммирования колебаний с иррационально связанными частотами.
Методы исследования
Для изучения основных закономерностей нелинейной динамики исследовавшихся структур использовались методы математической физики, теории функций комплексного переменного, применялось как численное моделирование, основанное на решении систем разностных и дифференциальных уравнений, описывающих движения соответствующих моделей, так и физический эксперимент. В ряде случаев получены аналитические решения.
Задача идентификации характера движений решалась с помощью собственного пакета прикладных программ, позволяющих строить однопараметрические бифуркационные диаграммы, проекции фазовых портретов на требуемые плоскости, спектры Фурье колебаний, рассчитывать спектры характеристических показателей Ляпунова. При расчете спектра характеристических экспонент автоколебательных систем с запаздыванием применялся модифицированный вариант [165, 166] спектрально-временного метода, разработанного автором совместно с А.С. Майданов-ским [167, 168].
Расчет емкостей аттракторов, их фрактальной, корреляционной и информационной размерностей осуществлялся с помощью программы, любезно предоставленной автору диссертации профессором Калифорнийского университета Д. Са-рейлом [169, 170]. Он же помогал с интерпретацией возвращаемых этой программой результатов в затруднительных случаях.
Экспериментальное исследование радиофизических макетов автогенераторов хаотических колебаний, а также реализованных на их основе систем синхронной хаотической связи основывалось на использовании стандартной измерительной аппаратуры, с помощью которой производился анализ временных и спектральных характеристик наблюдаемых в экспериментах сигналов.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Совместное проявление силового и параметрического резонансов в неавтономных радиоэлектронных цепях с двумя степенями свободы создает благоприятные условия для возбуждения в них хаотических типов колебаний. Смена регулярных режимов хаотическими происходит в областях проявления гистерезис-ных явлений скачком, что соответствует фазовым переходам первого рода в термодинамике. Предвестником бифуркации является рождение в фазовом пространстве грубого (в смысле Андронова и Понтрягина) странного нехаотического аттрактора даже при одночастотном гармоническом внешнем воздействии.
В автоколебательных системах, обладающих установленным набором свойств, реализуется особый тип автопараметрического сценария, который характеризу ется следующей последовательностью бифуркационных явлений: состояние покоя - предельный цикл - полутор - странный хаотический аттрактор. Этот сценарий является типичным для широкого класса генерирующих структур осцил-ляторного и релаксационного типов, с конечным и бесконечным числом степеней свободы, со знакопостоянной и знакопеременной дивергенцией фазовых потоков.
Автоколебательные процессы в динамических системах с запаздыванием математически строго описываются системой дифференциальных спектрально-временных уравнений первого порядка, каждое из которых соответствует одной спектральной составляющей движения и не содержит членов с запаздывающим аргументом. Физически реализуемые дискретные системы и системы с запаздыванием имеют идентичные спектрально-временные разложения.
Спектрально-временные разложения уравнений эволюции малого возмущения позволяют точно описать основные свойства движения динамических систем с запаздыванием, доказать устойчивость стационарного режима, вычислить метрическую энтропию и оценить верхнюю границу размерности аттрактора по гипотезе Каплана-Йорке.
Существует бифуркационное значение управляющего параметра, при превышении которого модифицированное логистическое отображение генерирует временные ряды строго хаотичные в смысле Девани. Управление метрической энтропией этих рядов достигается модуляцией управляющего параметра как гармоническим, так и предельно неупорядоченным процессом - белым шумом, причем с увеличением дисперсии белого шума энтропия уменьшается, а странный хаотический аттрактор трансформируется в странный нехаотический. Этот эффект является одним из проявлений стохастического резонанса, т.е. эффектом индуцированного хаосом порядка.
В системах связанных модифицированных логистических отображений существуют области таких значений коэффициентов связи, в которых проявляются новые явления "перемежаемой синхронизации" и формирования в фазовом пространстве геометрически упорядоченных структур при положительных значениях метрической энтропии. Первое явление обусловлено потерей системой свойства грубости, второе - возникновением областей-репеллеров.
Угловая модуляция квазигармонических генераторов СВЧ и оптического диапазонов низкочастотными хаотическими сигналами является эффективным путём создания источников широкополосных шумоподобных колебаний с высокой спектральной плотностью, способных функционировать в жестких условиях эксплуатации.
8. Принцип разделения канала передачи информационной составляющей и канала синхронизации позволяет создавать робастные системы конфиденциальной передачи информации на основе двухканальных систем хаотической связи с активной либо пассивной синхронизацией передающего и приемного сегментов.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность результатов, выводов и научных положений диссертационной работы обеспечиваются:
- корректностью построения математических моделей систем с дискретным и непрерывным временем;
- жестким тестированием использовавшегося в работе программного комплекса на широком классе задач, решения которых известны;
- хорошим совпадением результатов численных и физических экспериментов во всех случаях, когда они проводились;
- непротиворечием полученных результатов сложившимся представлениям об основных законах функционирования хаотических систем;
- успешным использованием ряда результатов при построении действующих образцов радиоэлектронных устройств.
Научная новизна
Новизна полученных в процессе выполнения диссертационной работы результатов и выносимых на защиту положений подтверждается тем, что впервые:
1. Предложена математическая модель, адекватно описывающие процессы в колебательной системе с четырехмерным фазовым пространством и нелинейной емкостью, находящейся под воздействием внешней гармонической силы. В отличие от ранее предлагавшихся моделей, направленных, в основном, на изучение процессов параметрического умножения частоты, новая модель позволила в полной мере исследовать сложные динамические режимы, переходы в хаотические состояния, установить существование грубых аттракторов, обладающих фрактальной геометрической структурой при отсутствии положительных ляпу-новских показателей.
2. Сформулированы требования к частотным характеристикам линейных цепей и форме нелинейности, являющихся необходимыми условиями реализации автопараметрического сценария хаотизации движения в генерирующих структурах. В численных и физических экспериментах доказано, что этот сценарий является типичным для широкого круга автоколебательных систем.
3. Установлена физическая природа автопараметрического сценария, что облегчило его понимание на интуитивном уровне и обеспечило высокую надежность предсказания возможности его реализации уже при качественном анализе свойств конкретных автоколебательных систем.
4. Сформулированы условия, при которых движения в линейных и нелинейных, дискретных и непрерывных динамических системах могут описываться единой системой спектрально-временных уравнений. Показано, что для получения всех коэффициентов такой системы достаточно решить линейную часть задачи.
5. Предложен прямой алгоритм вычисления полного спектра характеристических показателей Ляпунова движения в динамических системах с запаздыванием. При этом эволюция возмущений описывается уравнениями, не содержащими членов с отклоняющимися аргументами. Показана возможность редукции этой системы к конечномерной, без потери информации об основных характеристиках исследуемого движения.
6. Установлено бифуркационное значение управляющего параметра модифицированного логистического отображения, обеспечивающего воспроизводство строго хаотических, в смысле Девани, временных последовательностей.
7. Показана возможность управления значением метрической энтропии в негладких отображениях при модуляции управляющего параметра не только гармоническим воздействием, но и белым шумом. Показана возможность возбуждения странного нехаотического аттрактора в негладких динамических системах и в отсутствии квазипериодического воздействия.
8. Исследованы бифуркационные явления и процессы характерные для системы двух связанных модифицированных логистических отображений. В роли управляющих параметров выступали коэффициенты взаимной связи. Обнаружено и детально исследовано явление синхронизации хаотических движений.
9. Обнаружено явление перемежаемой синхронизации (термин автора диссертации) и установлены соответствующие ей граничные значения коэффициента взаимной связи. Обнаружено явление возникновения геометрически упорядоченных структур в фазовом пространстве исследуемой системы с положительным значением энтропии Колмогорова-Синая.
10. Исследовано влияния белого шума на динамику нелинейной динамической системы с квазипериодическим возбуждением. Подтверждено, что между знаком ляпуновского характеристического показателя и существенной зависимостью от начальных условий имеется взаимно однозначное соответствие.
11. Доказана невозможность генерации пуассоновских потоков и динамического хаоса фазовым коррелятором двух гармонических процессов с несоизмеримыми частотами.
Научная ценность работы
Обобщение результатов значительного числа численных и натурных экспериментов, позволило открыть автопараметрический сценарий хаотизации движений в нелинейных генерирующих структурах. Показано, что при определенном виде нелинейности смена последовательности бифуркационных явлений и процессов происходит совершенно одинаково в физических объектах, свойства которых существенно различны. Сформулированы необходимые условия реализации такого сценария.
Установленные в работе связи между уравнениями движений систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, позволяют анализировать их решения с общих позиций, отвлекаясь от формальных различий во внутреннем строении отдельных систем и их частей. Предложенные спектрально-временные соотношения позволяют в полной мере выявить все существенные особенности эволюции во времени исследуемых физических систем. Фактически, исследователь получает в доступной форме полную информацию о тонкой структуре движения, о внутренних взаимодействиях синхронного и асинхронного типов, о значащих и несущественных модах. Важно подчеркнуть, что проследить за внутренней динамикой системы в натурном эксперименте весьма затруднительно, так как физические приборы фиксируют интегральные эффекты, например, анализатор спектра в простом случае двухчастотного движения укажет лишь на полигармонический характер режима со сложным спектральным составом, обусловленным угловой модуляцией компонент движения.
Доказанная возможность управления метрической энтропией систем с дискретным и непрерывным временем имеет высокую степень общности, поскольку подтверждена при модуляции управляющего параметра как регулярными сигналами, так и предельно неупорядоченными - белым шумом с равномерным и нормальным законами распределения.
Предложенный прямой метод вычисления спектра характеристических показателей Ляпунова позволяет исключить элементы субъективизма, присущие косвенным методам, базирующихся на процедурах реконструкции фазового пространства.
Установленные в работе закономерности служат методологической основой решения широкого круга задач, связанных с созданием источников хаотических колебаний в широких областях спектра электромагнитных колебаний, прогнозирования их поведения при вариациях параметров.
Практическая значимость работы
Детальное изучение законов функционирования ряда радиофизических автогенераторов с хаотическими типами колебаний может служить методологической базой при проектировании источников хаоса самой различной структуры с минимальными затратами времени.
Установленные закономерности функционирования систем с дискретным временем, позволяют использовать их в качестве тестовых, т.е. как источники образцовых временных последовательностей с точно известными значениями энтропии Колмогорова-Синая и дисперсии.
Исследованные отображения способны стать основой для проектирования микропроцессорных систем, цифровых автоматов и комбинационных схем, которые в сочетании с цифроаналоговыми преобразователями и частотными (фазовыми) модуляторами позволяют решить проблему создания источников широкополосных, шумоподобных колебаний практически в любом диапазоне частот -электромагнитных колебаний. Перенесение динамического хаоса на реальные системы с неизбежным присутствием в них естественных флуктуации позволит создавать источники истинно случайных, неповторяющихся процессов.
Ряд результатов позволяет строить алгоритмы генерации белого шума с нормальным и равномерным законами распределения и хаотических последовательностей с необходимым значением метрической энтропии. Кроме того, обнаруженное явление возникновения в фазовом пространстве областей репеллеров указывает на перспективность использования связанных отображений в системах конфиденциальной передачи информации и при создании алфавитов в системах ее преобразования и хранения.
Полученные результаты полезны для преподавания теоретических основ детерминированного хаоса и постановки лабораторных практикумов для студентов самых различных направлений обучения и специалистам при самостоятельном освоении нелинейной динамики и физики открытых, неравновесных систем.
Внедрение результатов работы
Автор диссертационной работы являлся руководителем хоздоговорных НИР "Хаос (2001-2002 г.п)" и "Невод (2004-2005 г.г.)", проведенных между ОАО "НИИ ПП" (г. Томск) и Томским государственным университетом. Полученные результаты использованы ОАО "НИИПП" при выполнении работ по Договорам № 4053, № 4053/178 и № 4070, выполняемым по Госзаказу между ОАО "НИИПП" и "Корпорацией "Фазотрон-НИИР" (г. Москва) в обеспечение ОКР "Курьер", "Трасса-Т", "Курок" и "Панцирь". Соответствующие акты прилагаются.
Кроме того, ряд результатов используется в учебном процессе при чтении лекций и в лабораторном практикуме по курсу "Основы теории колебаний" для студентов радиофизического факультета Томского государственного университета.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались и представлялись на: 14-й Межд. конф. "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии (КрыМи-Ко 2004)" (Севастополь, сентябрь 2004); 7h Int. Conf. "Actual Problems of Elec tronic Instrument Engineering (APEIE 2004)" (Novosibirsk, September 2004); Bcepoc. научн.-практ. конф. "Электронные средства и системы управления" (Томск октябрь 2003); Межд. конф. "International Conference on the Noise Radar Technology (NRT 2003)" (Ukraine, Kharkov, October 2003); Межд. научн.-техн. конф. "Электроника и информатика XXI век" (Зеленоград, ноябрь 2000); Межд. симпозиум "Int. Symposium on Antennas and Propagation (ISAP 2000)" (Japan, Fukuoka, August 2000); IV-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП 98)" (Новосибирск, сентябрь 1998); Межд. конф. "Современные проблемы физики и высокие технологии" (Томск, сентябрь - октябрь 2003); И-я Всерос. научн.-техн. конф. по проблемам создания перспективной авионики (Томск, апрель 2003); IV-я Всерос. научн.-техн. конф. "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем" ( Чебоксары, 2001); Ш-й Межд. симпозиум " Application of the conversion research results for international cooperation (Sibconvers 99)" (Томск, май 1999); V-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП 2000)" (Новосибирск, сентябрь 2000); Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998); VIh Int. Conf. "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMMT 96)" (Ukraine, Lviv, September 1996); V-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП 96)" (Новосибирск, сентябрь 1996); Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996).
Публикации по теме диссертации
По теме диссертации опубликованы одна монография, одно учебное пособие, двадцать две статьи в центральной (УФН, ЖТФ, РЭ, Электронная промышленность, Изв. вузов. Физика, Изв. вузов. ПНД) и зарубежной (Int. J. of Bifurcation and Chaos) печати, еще более двадцати публикаций представляют собой труды, материалы и тезисы докладов международных, всероссийских и региональных конгрессов, симпозиумов, научно-технических конференций.
Вклад автора работы
При получении результатов настоящей работы вклад автора являлся определяющим. Он выражался в постановке решаемых задач, разработке методов их решения, руководстве проведением численных и натурных экспериментов, обсуждении и интерпретации полученных в ходе исследований результатов.
Диссертация является обобщением одного из циклов работ автора, посвященного исследованиям в области радиофизики, теории нелинейных колебаний и детерминированного хаоса. Ранние работы (1985-1988 г.г.) и раздел монографии (1993 г.) написаны в соавторстве с А.С. Майдановским (ТГУ), в более поздних работах (1997-2005 г.г.) участие принимали аспиранты автора диссертации В.В. Не груль (ТГУ) и А.А. Штраух (ТГУ). В выполнении экспериментальных исследований (2003 г.) по первой и пятой главам диссертации участвовал вед. н. с. В.И. Перфильев (ОАО "НИИПП" г. Томск).
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 6-ти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 318 страниц, в текст внедрены 159 рисунков. Список использованных литературных источников содержит 288 наименований.
Во введении обоснованы актуальность темы диссертации, ее научная и практическая ценность. Кратко проанализированы история и современное состояние научной проблемы, сформулированы цели и задачи исследований, указаны методы исследований. Доказываются научная новизна и достоверность полученных результатов, сформулированы научные положения, выносимые на защиту.
В первой главе "Нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос" построена математическая модель неавтономной колебательной системы, содержащей нелинейную емкость и обладающей четырехмерным фазовым пространством. Проведено численное исследование бифуркационных процессов и явлений, происходящих при вариациях частоты и амплитуды внешней силы. Показано существование сложных динамических процессов, являющихся комбинацией нелинейных силового и параметрического резонансов. Установлено существование в фазовом пространстве исследуемой системы как странного хаотического, так и странного нехаотического аттракторов, причем последний обладал свойством грубости при одночастотном характере внешнего воздействия. Результаты численных расчетов подтверждены натурными экспериментами.
Во второй главе "Автопараметрический сценарий хаотизации движении автоколебательных систем" обсуждены характерные черты перехода от регулярных типов колебаний к хаотическим в автоколебательных системах осцилляторно-го и релаксационного типов, с конечной и бесконечной размерностями фазового пространства, со знакопостоянной и знакопеременной дивергенциями фазовых потоков. Установлено, что при определенном виде нелинейности этих систем хаоти-зация движения в них происходит по одному и тому же автопараметрическому сценарию. Последовательность бифуркационных явлений при этом выглядит следующим образом: состояние покоя = предельный цикл = полутор = странный аттрактор. Численные расчеты подтверждены результатами натурных экспериментов, проведенных на базе радиофизических автоколебательных систем. Обосновывается вывод об универсальном характере изученного сценария.
В третьей главе "Спектрально-временные разложения уравнений движения дискретных и непрерывных систем" излагается спектрально-временной метод анализа генерирующих структур, обсуждаются особенности построения удоб ной для физического анализа математической модели, описывающей движения в дискретных и распределенных динамических системах. Показано, что если такие системы являются физически реализуемыми, процессы в них описываются идентичными системами спектрально-временных уравнений. Установлены границы применимости к спектрально-временным разложениям асимптотических методов исследования. Проведен сравнительный анализ естественных флуктуации автоколебательных систем с запаздыванием и томсоновского типов. Излагается прямой метод вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей систем с запаздывающей обратной связью, основанный на спектрально-временном разложении уравнений эволюции возмущения.
В четвертой главе "Динамический хаос в системах с дискретным временем" определены границы и бассейн притяжения аттрактора временного ряда, порожденного модифицированным логистическим отображением, найдены значения управляющего параметра, разделяющие регулярные, хаотические и строго хаотические типы колебаний. Получены аналитические соотношения для вычисления энтропии Колмогорова-Синая и информационной энтропии Шеннона. Показано, что при зарождении хаотического движения поведение управляющего параметра соответствует фазовому переходу второго рода, установлена грубость возникающего аттрактора. Доказана связь исследуемого отображения с физической системой с запаздывающей обратной связью, имеющей бесконечную размерность фазового пространства.
Аналитически и численно исследованы свойства модифицированного логистического отображения. Изучено влияние параметра порядка на вероятностную меру, автокорреляционную функцию, среднее значение и дисперсию временных рядов, порожденных динамической системой с дискретным временем. Предложен ряд алгоритмов генерации шумовых последовательностей с точно прогнозируемыми статистическими характеристиками.
Исследуется нелинейная динамика системы двух связанных модифицированных логистических отображений. Детально исследованы бифуркационные явления и процессы, управляющим параметром являлся коэффициент взаимной связи. Описываются два ранее неизвестных явления. Первое из них заключается в возникновении "перемежаемой синхронизации" двух хаотических процессов, второе -в формировании в фазовом пространстве геометрически упорядоченных структур при строго положительном значении энтропии Колмогорова-Синая.
Исследуется возможность управления метрической энтропией систем с дискретным и непрерывным временем.
В пятой главе "Динамический хаос в прикладных задачах радиофизики" рассмотрены перспективные направления использования СВЧ генерирующих структур, обладающих высокой и равномерной спектральной плотностью в широком частотном диапазоне. Анализируются возможные способы построения таких структур. На основе последних достижений нелинейной хаотической динамики предлагается вариант построения источника детерминированных хаотических колебаний, предназначенный для угловой модуляции СВЧ автогенератора квазигармонических колебаний. Приводятся результаты численного моделирования и физических экспериментов.
Рассмотрен ряд вопросов создания робастных систем конфиденциальной связи с хаотической несущей. Изложены принципы построения двухканальных систем с активной и пассивной синхронизацией. Приведены результаты исследования частотно-модулированной системы хаотической связи. Приведен ряд экспериментальных результатов.
В шестой главе "Неоднозначные и дискуссионные вопросы. Обсуждение, поиск путей преодоления" рассмотрены некоторые проблемы, по которым отсутствует взаимопонимание у известных исследователей, работающих в освещаемой области. В целях устранения ряда неоднозначностей предложена классификация физических систем, объектов и процессов, основанная на привлечении понятий степени открытости и типа воспроизводимого движения.
Указан пример закрытой системы, генерирующей хаотические колебания при полном отсутствии внешних и внутренних флуктуации.
Исследовано влияние белого шума с нормальным и равномерным законами распределения на динамику квазипериодически возбуждаемой системы. Подтверждено однозначное соответствие между знаком ляпуновского характеристического показателя и существенной зависимостью поведения фазовых траекторий от начальных условий.
Теоретически и экспериментально показана невозможность генерации пуассо-новских импульсных потоков и динамического хаоса знаковым коррелятором двух гармонических процессов с иррационально связанными частотами.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе в целом.
Приложение содержит акты о внедрении результатов диссертации.
Оценка ляпуновской размерности аттрактора
Построенная модель (1.1), (1.4), (1.5) пригодна для проведения расчетов при произвольных значений параметров диссипативных и реактивных элементов при выполнении единственного ограничения ис g. Смысл этого ограничения достаточно прост - варикапу запрещены состояния, при которых через р-п переход протекают прямые токи, в противном случае аппроксимация (1.3) теряет смысл.
Наблюдаемые при вариациях параметров модели (1.1) бифуркационные явления и процессы настолько множественны и разнообразны, что не представляется возможным рассмотреть их в рамках настоящей главы. Поэтому здесь мы ограничимся рассмотрением только резонансного случая, представляющего к тому же наибольший практический интерес. 1.2. Математическая модель в резонансном случае
Пусть со стороны генератора накачки исследуемая динамическая система имеет в малосигналыюм случае (т(ис) \) резонансную частоту ш0. Это позволяет ввести безразмерное время т = со0/ и, поскольку d I dt = (o0d I dx, преобразовать систему уравнений (1.1) к виду /7/ Хх —- = ACOSDT-/?J/J -Rs{i\ -i?) «с dx X2 - = uc + Rs(il-i2)-R2i2, О-6) dx v r \duc Уст(ис) = 1\ 12 dx в котором использованы следующие обозначения: Хх = (JSQL\,X2 =co0L2 реактивные сопротивления индуктивных элементов, Ус=со0С0- статическая проводимость варикапа на частоте малосигналыюго резонанса, Сї = р/&0 нормированная частота внешнего воздействия. Поскольку Yc так же как и Rs является паспортной величиной для каждого конкретного типа варикапа, имеет смысл найти удобные выражения для описания остальных реактивностей, выразив их именно через эту величину. Запишем выражение для импеданса цепи на частоте со0со стороны генератора накачки:
Обычно потери в реактивных элементах незначительны, и ими можно пренебречь в первом приближении. Такое приближение вполне оправдано еще и по той причине, что с ростом амплитуды внешнего воздействия непременно проявятся ангармоничные и неизохронные свойства нелинейной системы в силу чего резонансная частота неизбежно изменится. В нашем случае нелинейность CN является "мягкой" и следует ожидать наклона резонансной кривой влево и смещения резонансной частоты вниз [172]. Это позволяет упростить выражение (1.7) до следующего вида: г( 0) = /ХХг /с(5 + г). (1.8) Л і Л. г Совершенно очевидно, что для эффективного использования напряжения накачки с частотой р«со0 необходимо отсутствие полюса затухания на этой частоте. Поэтому потребуем, чтобы Х2 Хс и положим Х2 =аХс,а \. Кроме того, из условия равенства нулю мнимой части Z(j(o0) из (1.8) следует, что Хх =аХс1(а-\), а 1. Отсюда сразу получаем искомые связи между параметрами системы уравнений (1.6): ЛГ, =а—, Х2 = — !-. (1.9) Yc а-1Ус
Параметр а имеет простой физический смысл. Поясним его. Анализ поведения импеданса Z(yco) в диапазоне частот (мы опускаем его, как не относящийся к существу рассматриваемой задачи и доступный студенту старших курсов), проведенный в приближении малых потерь, позволил установить, что кроме резонансной частоты со0 = {Lx +Ь2)/С0ЦЬ2 имеется еще и полюс затухания на частоте (Ода = 1 / JC0L2 . А параметр а определяет связь между этими частотами следующим образом: а = (со0/о);0) . Теперь, система (1.6), дополненная соотношениями (1.9), позволяет окончательно сформулировать математическую модель: 1 = КС[ЛcosQx- R\i\ -Rs( \ h) uc\ dx a = ис + Л5(/,--/2)-Д2/21 (1.10) ax a duc 1 . dx m(uc)Yc
Результаты численного анализа этой модели приведены в следующем разделе, а в заключение настоящего докажем существование для потока (1.10) аттрактора - предельного притягивающего множества в фазовом пространстве. Аттрактор существует тогда и только тогда, когда дивергенция потока D отрицательна. Действительно, в этом случае любой начальный объем фазового пространства V0 с течением времени т ведет себя следующим образом: V(x) = V0exp(Dx). (1.11) Это означает, что если 0 все фазовые траектории, стартовавшие из VQ, с течением времени "оседают" на замкнутом притягивающем множестве нулевого объема - аттракторе [16, 171].
В этих соотношениях слагаемое D{ отрицательно при любых значениях входящих в него величин, а множитель D2 всегда положителен. Слагаемое D2(ix -і2) в общем случае знакопеременно, является функцией времени и, очевидно, ограничено, хотя бы в силу конечной мощности источника накачки. Поэтому V{x) = V0exp(D,T)exp[D2(/i -/2)т]- 0 при х — со, что и доказывает существование у потока (1.10) аттрактора. Однако о свойствах и структуре этого аттрактора можно будет судить только по результатам численного анализа и натурных экспериментов.
Результаты численного анализа математической модели
Система дифференциальных уравнений (1.10) интегрировалась методом Дормана-Принса 8-го порядка с автоматическим управлением шагом интегрирования [177]. Локальная погрешность интегрирования в численных экспериментах не превышала 10 8, а в особо ответственных случаях, например, при исследовании окрестности точки бифуркационного перехода уменьшалась до 10 .
Полученные временные ряды сохранялись и затем обрабатывались. Максимальный характеристический показатель Ляпунова рассчитывался по алгоритму, предложенному в [178, 200]. Емкость аттрактора, информационная и корреляционная размерности аттракторов оценивались на основе подходов изложенных в работах [169,170]. Приведенные в данном разделе результаты получены при следующих значениях параметров модели (1.10): Е = 6В, ф0 = 0.85,/?, = Юм, R2 = 20M,RS = О.20м, Yc = 2-Ю""3 См,а = 10.
Начнем с построения однопараметрической бифуркационной диаграммы, которая простыми средствами позволяет качественно оценить типы движений и их трансформации. В общем случае бифуркационная диаграмма представляет собой зависимость максимумов некоторого процесса при вариациях управляющего параметра. Если анализируемый процесс имеет гармонический характер, то его максимумы периодически повторяются и бифуркационная диаграмма представляет собой при фиксированном значении управляющего параметра точку, а при вариациях этого параметра - линию. Однако если линии диаграммы размыты или точки сплошь заполняют целые области диаграммы, то процесс имеет ограниченный, непериодический характер и с большой долей уверенности можно говорить о странности аттрактора исследуемой динамической системы.
Обсуждение условий проведения численного моделирования и натурных экспериментов
Основные результаты настоящей главы сводятся к следующему:
1. Предложенная математическая модель динамической системы позволяет исследовать сложные динамические режимы, возникающие в тех случаях, когда имеют место проявления нелинейных силового и параметрического резонансов одновременно. Увеличение размерности фазового пространства до четырех резко обогатило динамику системы, позволяя наблюдать такие типы движений как детерминированный хаос, возбуждение, как странного хаотического аттрактора, так и странного нехаотического аттрактора.
2. Установлено, что нелинейный силовой и параметрический резонансы обеспечивают благоприятные условия для возбуждения хаотических типов колебаний в физических системах. Смена регулярных режимов хаотическими происходит в областях проявления гистерезисных явлений скачком, что для термодинамических систем соответствует фазовым переходам первого рода.
3. Исследовано влияние амплитуды и частоты внешней силы на значение старшего ляпуновского показателя, фрактальную, информационную и корреляционную размерности возбуждаемых аттракторов. 4. Показано, что и при одночастотном гармоническом внешнем воздействии в фазовом пространстве неавтономных динамических систем, содержащих нелинейную емкость, существует странный нехаотический аттрактор, обладающий свойством грубости в смысле Андропова-Понтрягина. Следовательно, режим странного нехаотического аттрактора не является каким-то редким, экзотическим явлением, а является достаточно типичным проявлением нелинейных свойств динамических систем.
Полученные в I главе результаты опубликованы в работах [65,68] и позволили сформулировать первое научное положение:
1. Совместное проявление силового и параметрического резонансов в неавтономных радиоэлектронных цепях с двумя степенями свободы создает благоприятные условия для возбуждения в них хаотических типов колебаний. Смена регулярных режимов хаотическими происходит в областях проявления гистерезисных явлений скачком, что соответствует фазовым переходам первого рода в термодинамике. Предвестником бифуркации является рождение в фазовом пространстве грубого (в смысле Андронова-Понтрягина) странного нехаотического аттрактора даже при одночастотном гармоническом внешнем воздействии. Глава II
Изучение путей перехода от регулярных, периодических движений к хаотическим в динамических системах самой разной природы стало в настоящее время одной из актуальнейших задач теории нелинейных колебаний. Знание таких механизмов позволяет дать объяснение сложному поведению, реализуемому в относительно простых динамических системах.
Почти всегда при изменении некоторого управляющего параметра можно проследить всю последовательность бифуркационных явлений, приводящих к переходу от состояния покоя или периодического движения к хаосу. Такая последовательность получила название "сценарий". К настоящему времени хорошо известны и хорошо изучены следующие сценарии: Ландау [21], рождение гомо- и гетероклинических структур [1,16], сценарий последовательного удвоения периода или каскад Фейгенбаума [195], квазигармонический сценарий Рюэля-Такенса-Ныохауза [24, 196], Керри-Йорке [197] и перемежаемость Помо-Манневиля [3].
В то же время, очевидно, что, открытые к настоящему времени сценарии перехода к хаосу, далеко не исчерпывают всех возможных путей потери устойчивости периодическим движением. Кроме того, не все из них имеют четко очерченные границы своей реализуемости. Несмотря на установление ряда закономерностей, которым подчиняются хаотические системы "...не были указаны никакие необходимые или достаточные условия, при которых возникают эти явления, на основе характерных особенностей потока. В этом отношении симфония динамических систем остается незавершенной" [3, стр.126].
Действительно, в настоящее время невозможно по виду системы дифференциальных уравнений (потока) предсказать возможность воспроизводства ей (им) апериодических движений. В монографии [3, стр.9] приводится цитата из "Фейн-мановских лекций по физике": "Следующая эра пробуждения человеческого интеллекта вполне может породить метод понимания качественного содержания уравнений. Сегодня мы не в состоянии увидеть, что уравнения гидродинамики содержат такие вещи, как вихревая структура турбулентности, наблюдаемая между вращающимися цилиндрами. Сегодня мы не знаем, содержит ли уравнение Шре-дингера лягушек, сочинителей музыки и мораль или не содержит. Мы не можем сказать, есть ли необходимость в чем-нибудь, помимо уравнения Шредингера, вро де Бога или такой необходимости нет. Пока каждый из нас может придерживаться как одной, так и другой точки зрения".
Кроме того, область действия каждого сценария ограничена конечной областью изменения параметров, варьирование параметров часто приводит к перестройке аттрактора в фазовом пространстве, сопровождающейся сменой сценария. Поэтому поиск новых сценариев перехода к хаосу и их систематическое изучение является актуальной и весьма полезной задачей.
В связи с вышеизложенным, в настоящей главе ставятся и решаются следующие задачи. 1. Построение математических моделей ряда автоколебательных систем осцил-ляторного и релаксационного типов с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Объединяющей эти системы чертой должен быть общий вид нелинейности. 2. Модели должны быть физически реализуемы и более того, представлять собой разумное сочетание традиционно используемых в радиофизике и электронике компонентов. 3. Детальное исследование построенных моделей численными методами. 4. Создание лабораторных макетов и проведение серии натурных экспериментов. 5. Сравнение результатов численных и натурных экспериментов и доказательство того факта, что потеря устойчивости периодическим движением и переход к хаосу осуществляется по одному и тому же автопараметрическому сценарию (АПС). 6. Обсуждение универсальных свойств автопараметрического сценария.
Спектрально-временной метод анализа автоколебательных систем с запаздыванием, математической моделыо которых является нелинейное интегральное уравнение
Наиболее общие представления о процессах, происходящих в автоколебательной системе с запаздывающей обратной связью, можно получить, анализируя построенные при = 0.6,Т = 2п/30 однопараметрические бифуркационные диаграммы, которые представлены на рис. 2.21. Как и в первых двух случаях в роли управляющего параметра выступал коэффициент усиления к линейного усилителя. Бифуркационные диаграммы позволили установить, что в пространстве параметра к имеются области ограниченного, непериодического движения, чередующиеся с областями регулярных колебаний.
При исследовании аттракторов динамических систем весьма важной характеристикой служат характеристические показатели Ляпунова. Наличие положительного показателя свидетельствует о хаотическом режиме в системе. Метод нахождения характеристических показателей, использованный при исследовании динамических систем релаксационного и осцилляторного типа, может бать применен лишь для систем с конечной размерностью фазового пространства. Рассматриваемая автоколебательная система с запаздывающей обратной связью имеет бесконечное число степеней свободы, поэтому в данном случае, так же как и в случае, когда имеется лишь единственная реализация во времени одной из динамических переменных системы, следует применять несколько иные алгоритмы отыскания показателей Ляпунова.
Для решения указанной задачи мы использовали детально изложенный в третьей главе прямой метод вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей систем с запаздывающей обратной связью, основанный на спектрально-временном разложении уравнений эволюции возмущения [59].
Оценка старшего показателя Ляпунова для АКС с запаздывающим аргументом проводилась при следующих значений параметров: s = 0.6, Т = 2л/30, к= 55, 100, 200, когда в рассматриваемой системе имели место хаотические режимы генерации. В результате рассчитанные оценки старшего показателя Ляпунова А., составили соответственно: А, =0.03, 0.05, 0.04. Полученные результаты подтверждают то, что при указанных значениях параметров в фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы действительно реализуется странный хаотический аттрактор. Для примера на рис. 2.22 изображена зависимость старшего показателя от числа итераций уравнения движения, свидетельствующая о статистическом характере этой зависимости.
Более детальное представление о развитии колебательного процесса в системе можно получить из анализа временных реализаций, соответствующих им фазовых портретов и энергетических спектров, представленных на рис. 2.23. Из представленных рисунков видно, что дина мика системы развивается аналогично рассмот ренным ранее случаям релаксационной и осцилляторной АКС. Видно, что при к = 2 в автоколебательной системе существует перио дическое колебание с частотой со 0 « 0.9, кото . рому в фазовом пространстве отвечает
Динамика во времени оцеп- предельный цикл (см. рис. 2.23 при к = 2). С ки старшего показателя Ляпунова Я ростом коэффициента усиления к период этого приє-и.о,і - zn/ зі),к-55 колебания постепенно возрастает, размах сиг нала достигает такой величины, что он начинает попадать в область отрицательной крутизны нелинейной характеристики. В результате выполняются условия для возбуждения второго колебания с частотой со! «7.8, которое будет существовать лишь в те промежутки времени, когда основное колебание с частотой со0 будет находиться в области отрицательной крутизны нелинейности. На максимумах и минимумах этого колебания можно наблюдать высокочастотные осцилляции, а в спектре колебаний присутствие спектральных компонент второго колебания с частотой со,. В это время в фазовом пространстве реализуется фазовый объект, названный полутором (см. рис. 2.23 при к = 50). При дальнейшем росте к намотка полутора разрушается, и в фазовом пространстве возникает хаотический аттрактор с непрерывным энергетическим спектром (см. рис. 2.23 при к = 55). Дальнейшая динамика протекает в виде чередующихся хаотических и регулярных режимов генерации, что связано с возникновением и разрушением синхронных соотношений между колебаниями с частотами со0 и со,. Так, при значении = 100, когда резонансные взаимодействия между частотами й)\ и со2 вновь становятся незначительными, в системе реализует ся хаотический колебательный режим. По-прежнему периодические и апериодические взаимодействия между частотами здесь возникают в результате непрерывного изменения периодов двух колебаний с ростом коэффициента усиления. Результаты численных экспериментов, проведенных над системой (2.27), были проверены в натурном эксперименте. Для этой цели был создан лабораторный макет автогенератора, структурная схема которого изображена на рис. 2.17. Автогенератор заключал в себе последовательный колебательный контур с резонансной частотой /0 = 33 кГц и добротностью Q = І/s « 2, а также линию задержки с временем запаздывания 10 мкс. При данном выборе значений параметров обеспечивалась задержка сигнала в цепи обратной связи автоколебательной системы, равная 2ті/30. Как и в предыдущих двух случаях, экспериментальные результаты представлены в виде матрицы фотографий (рис. 2.24), где верхний ряд образован фрагментами временных реализаций колебаний, снятых при последовательно возрастающих значениях коэффициента усиления, а нижний ряд демонстрирует соответствующие двумерные проекции фазовых портретов.
Анализ рис. 2.24 позволяет установить, что вслед за предельным циклом в фазовом пространстве системы возникает полутор, который с дальнейшим ростом коэффициента усиления все более усложняется и, в конце концов, разрушается, переходя в странный аттрактор. Сопоставление экспериментальных результатов с результатами численных расчетов указывает на хорошее сходство проекций соответствующих фазовых портретов, а также на то, что бифуркационные переходы между отдельными колебательными режимами в обоих случаях точно повторяются.
Неподвижные точки отображения, границы аттрактора и бассейн притяжения
Выясним физический смысл коэффициентов системы (3.36). Для этого предположим, что у(/) = 1(0- Следовательно, у(/) = 8(0 а у(0+) = 0. Предположим также, что в системе отсутствует нелинейность, т.е. будем рассматривать начальный момент развития автоколебательного процесса, когда нелинейные свойства устройства ещё не сказываются. Тогда из (3.36) сразу получаем, что х(0 = хк (0)exp(oy)cos(av + 9 ), (3.37) к = \ откуда следует, что ок,аки Gk- это инкремент (ок 0) или декремент (оЛ 0), собственная частота и начальная фаза к - ой колебательной компоненты движения соответственно. Физический смысл этих трёх параметров становится совершенно понятным.
Сложнее обстоит дело с коэффициентами ц . Поскольку они стоят перед членами уравнения, определяющими нелинейные свойства генерирующей структуры, то естественно предположить, что \хк обратно пропорциональны эквивалентной добротности системы на частоте (як. Более строго докажем это утверждение в следующем параграфе.
Во всех интересных с точки зрения приложений случаях система (3.36) может быть существенно упрощена. Действительно, вследствие ограниченности полосы возбуждения реальных автоколебательных систем среди множества {z } , всегда окажется N таких, которые имеют значительные отрицательные вещественные части, т.е. лежат в левой полуплоскости переменного zk. Соответствующие им функции xk{t), как следует из (1.45), будут стремиться к нулю по экспоненциальному закону, и к моменту начала взаимодействия на нелинейности ими можно пренебречь. В этом случае верхний предел суммирования в (3.36) можно ограничить некоторым числом N.
Система уравнений (3.36) есть не что иное, как результат математически строгого перехода от одной вещественной переменной x(t) состояния к другим переменным хк, \\ к без наложения на них каких-либо ограничений. Поэтому очевидно, что в рамках избранной математической модели точные решения уравнений (3.1), (3.5), (3.6) и системы (3.36) дадут полностью совпадающие результаты.
Поскольку аналитических методов произвольных нелинейных уравнений пег, то интегрирование можно провести каким-либо численным методом. Интегрирование системы (3.36) более предпочтительно, чем непосредственное численное интегрирование уравнений (3.1) или (3.5), так как даёт возможность пронаблюдать взаимодействие колебательных компонент (мод) как на линейном, так и на нелинейном участках характеристики исследуемой системы. Это позволяет делать физически верные выводы о влиянии параметров и запаздывания АКС на вид и характер переходного и стационарного движений.
Однако в целом ряде случаев весьма желательно проводить интегрирование системы (3.36) не численными, а асимптотическими методами. Асимптотическая теория возмущений опирается на начальное приближение, построенное с помощью оператора усреднения [214,230]. Поэтому приведение уравнений движения к стандартной форме, наряду с численными методами, является одним из основных приёмов исследования влияния запаздывания на вид движения в автоколебательных системах.
Рассмотрим вначале случай, когда система уравнений движения в отличие от (3.36), будет являться системой дифференциально-разностных уравнений, при этом её усреднение удаётся провести лишь тогда, когда члены с запаздыванием содержат множителем какой-либо малый по условию задачи параметр [214]. Оценка малости этого параметра в практических приложениях является сложной и нетривиальной задачей. Наиболее просто малый параметр удаётся выделить для динамических систем, содержащих узкополосные фильтрующие звенья. При этом малый параметр тем или иным способом связывается с малой полосой пропускания устройства. Именно поэтому наиболее полные результаты к настоящему времени получены при исследовании квазилинейных систем.
Однако, даже для квазилинейных систем при значительных (по сравнению с периодом собственных колебаний) временах задержки сигнала, усреднённые уравнения неизбежно содержат переменные с отклоняющимся аргументом, что резко ограничивает возможность их анализа. В частности, при исследовании стационарных решений на устойчивость возникает необходимость исследования расположения на комплексной плоскости корней трансцендентного характеристического уравнения.
Иная ситуация возникает при анализе движения, записанного в виде спектрально-временного разложения (3.36). Поскольку переменных с отклоняющимся аргументом в ней нет, то исследование сводится к анализу алгебраических уравнений, что существенно проще.
Рассмотрим теперь возможность применения оператора усреднения к (3.36). Практически во всех интересных с точки зрения приложений случаях функция f(x) является либо многочленом, либо сходящимся рядом по степеням X.
Поэтому при х = хксо? \\)к правые части уравнений (3.36) есть периодические к=\ либо почти периодические функции t, и, следовательно, при фиксированных значениях фазовых переменных всегда имеют средние значения. Система (3.36) может содержать постоянные члены, характеризующие асинхронные процессы, либо ещё и медленно осциллирующие, отражающие наличие в рассматриваемой структуре внутренних и внешних резонансов.
Далее, если в совокупности {ак,Цк}к=] каждый из коэффициентов достаточно мал, то (3.36) будет являться системой, записанной в стандартной форме по II.II. Боголюбову, и правые части её уравнений можно заменить средними значениями. Поскольку в реальных динамических системах с запаздыванием зк, цА должны быть определены в каждом конкретном случае, то нашей задачей будет являться вычисление оценок Gk=sup{ak}k=v =sup{ujf=1, (3.38) превышение которых было бы принципиально невозможным. Если удастся определить области параметров исходных уравнений (3.1), (3.5), в которых а, jl малы, то это позволит определить границы применимости к (3.36) асимптотических методов исследования.
Достижение поставленной цели облегчается тем, что согласно полученным выше результатам для определения всей совокупности {стЛ,цЛ} =1 достаточно решить лишь линейную часть задачи, определённой уравнениями (3.1), (3.5).
