Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Формулировка краевых задач. Обращение интегральных операторов 13
1.1. Классификация волн в линиях передачи 13
1.2. Интегральная формулировка задач о собственных волнах полосковых и щелевых линий передачи 15
1.3. Обращение интегралов 44
1.4. Выводы 55
Глава 2. Одиночные экранированные волноведущие структуры 56
2.1. Решение адмитансного интегрального уравнения 56
2.2. Решение импедансного интегрального уравнения 104
2.3. Выводы 137
Глава 3. Электродинамический анализ направляю щих структур с многоуровневым располо жением проводящих полосок 138
3.1. Классификация собственных волн двухсторонней щелевой линии передачи 138
3.2. Двухсторонняя полосковая линия передачи 167
3.3. Экранированная полосково-щелевая волноведущая структура 194
3.4. Выводы , 210
Глава 4. Краевые задачи, формулируемые в виде интегральных уравнений, определённых на объединении интервалов 211
4.1. Многопроводная щелевая линия передачи 211
4.2. Многопроводная полосковая линия передачи 238
4.3. Выводы 269
Глава 5. Волноведущие структуры с кусочно—однородным диэлектрическим заполнением 270
5.1. Математическая модель экранированного прямоугольного диэлектрического волновода 274
5.2. Результаты расчётов 290
5.3. Выводы 294
Заключение 295
Литература
- Интегральная формулировка задач о собственных волнах полосковых и щелевых линий передачи
- Решение импедансного интегрального уравнения
- Двухсторонняя полосковая линия передачи
- Многопроводная полосковая линия передачи
Введение к работе
Создание современной радиотехнической аппаратуры для радиосвязи, радиолокации, радионавигации, радиоастрономии и других областей техники базируется на технологии плоскостных и объёмных интегральных схем (ИС) СВЧ [1-3]. Использование ИС СВЧ позволяет уменьшить габариты и массу, повысить надёжность и улучшить ряд электрических характеристик СВЧ узлов. Основу ИС СВЧ составляют полосковые и щелевые линии передачи. Поэтому проблемы реализации систем математического моделирования и автоматизированного проектирования И С СВЧ в значительной степени определяются наличием эффективных вычислительных алгоритмов для расчёта параметров собственных волн полосково-щелевых направляющих структур.
Базовым элементам интегральных схем, как правило, отвечают краевые задачи, неразрешимые в аналитическом виде. Для моделирования электромагнитных полей в направляющих структурах, образованных линейными средами, используются прямые методы, приводящие к однородным системам линейных алгебраических уравнений. Наиболее универсальными являются дискретизационные методы. Сюда, прежде всего, относятся разностные схемы [4], применяемые непосредственно к дифференциальным уравнениям электродинамики и предполагающие замену пространственных производных конечными разностями значений искомых функций в узлах сетки, покрывающей рассматриваемую область. Метод коллокаций подразумевает выполнение решаемых уравнений (дифференциальных или интегральных) в выбранной определённым образом системе точек. При этом неизвестные компоненты напря-жённостей поля представляются в виде рядов по некоторым базисным функциям. Относительно коэффициентов этих разложений и записываются получаемые в конечном счёте алгебраические уравнения. Метод коллокаций, так же как и разностные схемы, может быть использован для решения задач с некоординатными границами. В качестве примера можно привести работу Дж. Гоелла [5], в которой исследуются собственные волны открытого прямоугольного диэлектрического волновода. Радиальные изменения продольных составляющих напряжённостей во внутренней и внешней областях представляются суммами цилиндрических функций. При этом согласование полей осуществляется в точках, расположенных на прямоугольном контуре, ограничивающем диэлектрический стержень.
Группу декомпозиционных алгоритмов составляют метод минимальных автономных блоков и метод автономных многомодовых блоков [6], разработанные В. В. Никольским для решения электродинамических задач. Данные методы предполагают возможность разбиения поперечного сечения направляющей структуры на области, имеющие однородное диэлектрическое заполнение и координатные границы. (Чаще всего это — области прямоугольной формы.) Волновые каналы, соответствующие каждой из таких областей, рассматриваются как независимые электродинамические объекты, описываемые матрицами проводимости или матрицами рассеяния. Математическая модель исходного объекта строится посредством рекомпозиции, т. е. объединения отдельных блоков, дескрипторы которых предварительно найдены.
В настоящее время в электродинамике полосковых и щелевых структур СВЧ наибольшее распространение получили проекционные методы [6-9], в разработке которых большую роль сыграли исследования Г. И. Веселова, А. С. Ильинского, Л. Левина, А. М, Лерера, В. С. Миха-левского, Е. И. Нефёдова, В. В. Никольского, А. Г. Свешникова, Я. Н. Фельда. В процессе исследования волн в полосковой или щелевой линии передачи краевая задача формулируется в виде векторного интегрального уравнения первого рода относительно компонент тока на полосках или составляющих напряжённости электрического поля в щелях. Среди всех описанных численных методов, проекционную схему выделяет возможность учёта особенностей поля на геометрических сингулярностях, — рёбрах проводящих полосок и диэлектрических стержней. Это даёт возможность оптимизировать вычислительный процесс с точки зрения временных затрат и использования машинных ресурсов. При решении задач о собственных волнах направляющих структур, содержащих бесконечно тонкие проводящие полоски, в качестве проекционных базисов обычно применяются системы многочленов Чебышёва первого и второго рода. Исследование волновых полей в линиях передачи с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением проводится с использованием многочленов Гегенбауэра.
К преимуществам проекционных методов можно отнести их универсальность и относительную простоту численной реализации. Однако практическое использование таких методов наталкивается на определённые трудности. Ядра интегральных уравнений первого рода, к которым приводятся внутренние задачи электродинамики, задаются тригонометрическими рядами, содержащими в неявном виде сингулярности Коши и логарифмические особенности. В процессе алгебраизации интегрального уравнения производится усечение данных рядов, в результате чего ядра утрачивают особенности. Но решение интегрального уравнения первого рода с ограниченным ядром представляет собой некорректно поставленную задачу [10, 11]. Это приводит к неустойчивости соответствующих алгоритмов и относительной сходимости приближённых решений.
При этом различным зависимостям M(N) соответствуют различные пределы, причём задать априори оптимальный закон, связывающий предельные индексы суммирования М и N, не представляется возможным. Аналогичным образом будет вести себя последовательность приближённых значений любого другого расчётного параметра волны. Явления расходимости приближённых решений свойственны также дискретизації онным и декомпозиционным методам. В частности, в работе [13] указывается на расходимость коллокационного алгоритма Гоелла, упоминавшегося выше. Поэтому численные результаты, полученные с помощью таких методов, требуют проверки на достоверность.
В связи с этим резко возрастает роль аналитических и численно-аналитических методов решения краевых задач электродинамики, опирающихся на учёт специфики исследуемых структур и возможность существенного аналитического преобразования первоначально получаемых интегральных уравнений первого рода. К таковым относится ме тод частичного обращения оператора (МЧОО), суть которого состоит в следующем, В ядре интегрального уравнения выделяется в явном виде особенность. Пусть А — соответствующий ей интегральный оператор. Применение оператора А-1 преобразует интегральное уравнение первого рода в уравнение второго рода, решение которого математически корректно.
Разработку численно-аналитических методов решения краевых задач можно рассматривать как отдельное направление в прикладной электродинамике. МЧОО применялся В. В. Малиным при решении задачи дифракции волн на периодической системе проводящих лент [14]. В работах В. П. Шестопалова, А. А. Кириленко, Л. Н. Литвиненко, С. А. Масалова, С. Л. Просвирнина [15-18] использовались алгоритмы, основанные на решении задачи Римана — Гильберта. С их помощью было решено большое количество задач, включая задачи дифракции волн на решётках, волноводные задачи дифракции, задачи о собственных волнах открытых цилиндрических направляющих структур. Применению метода механических квадратур к решению интегральных уравнений теории дифракции на бесконечно тонких цилиндрических экранах посвящены работы В. В. Панасюка, М. П. Саврука, 3. Т. Назарчука [19, 20]. Данные методы, так же как и МЧОО, основываются на теории сингулярных интегральных уравнений, развитой в работах Н. И. Мус-хелишвили, Ф. Д. Гахова, С. М. Белоцерковского [21-24].
Построение электродинамической теории экранированных полоско-вых и щелевых направляющих структур на основе численно-аналитических методов впервые предпринято в работах В. А. Неганова, Е. И. Нефёдова [25-32]. С помощью МЧОО были разработаны математические модели ряда линий передачи, произведена оценка приближённых решений. Рассмотренный класс электродинамических структур ограничивался планарными линиями передачи на многослойных подложках, содержащими не более одной щели или проводящей полоски. Однако решение целого ряда важных с практической точки зрения задач потребовало снятия данных ограничений.
Следует также отметить, что для задач о собственных волнах направляющих структур со сложной формой поперечного сечения характерно нелинейное вхождение искомого спектрального параметра в ядро интегрального уравнения. Это существенно осложняет теоретичес кое обоснование сходимости приближённых решений к точному, доказательство устойчивости, непрерывности и других свойств решений, рассматриваемых как функции исходных параметров краевой задачи.
Наряду с совершенствованием характеристик полосковых и щелевых линий передачи, традиционно используемых в интегральных схемах СВЧ, в последние десятилетия интенсивно ведётся поиск направляющих структур, на базе которых могут быть выполнены как отдельные устройства, так и интегральные схемы КВЧ и ГВЧ диапазонов. С этой точки зрения перспективным является применение прямоугольных диэлектрических волноводов (ПДВ), к преимуществам которых относятся относительная простота изготовления и малые массогабаритные параметры. Кроме того, на частотах выше 100 ГГц суммарные потери в ПДВ оказываются малы в сравнении с металлическими волноводами и полосковыми линиями передачи.
Если в интегральной оптике ПДВ давно рассматривается как основная направляющая структура, то в КВЧ диапазоне всё ещё ведётся поиск соответствующей конфигурации линии передачи и материала для неё [33]. Между тем, известно большое количество устройств миллиметрового диапазона, выполненных на основе ПДВ [34]. Это — направленные ответвители, делители и сумматоры мощности, фильтры, устройства сопряжения активных полупроводниковых приборов с вол-новедущими структурами. Диэлектрические направляющие структуры могут также использоваться при построении различных невзаимных устройств.
Исследованию открытых прямоугольных диэлектрических волноводов посвящены работы Г. И. Веселова, Дж. Гоелла, Л. Н, Дерюгина, А. И. Клеєва, А. Б. Маненкова, Маркатшіи, Шлоссера [5, 35-39]. Наиболее эффективной из существующих в настоящее время экранированных моделей ПДВ является модель, использованная в работах В. А. Кузнецова и А. М. Лерера [8, 40]. Поперечное сечение линии передачи разбивается на частичные области, одна из которых имеет многослойное диэлектрическое заполнение. Сшивание продольных составляющих напряжённос-тей электрического и магнитного полей на границе областей приводит к системе интегродифференциальных уравнений относительно оставших-ся тангенциальных к границе компонент векторов Е и Н. Полученная система решается методом Галёркина с учётом особенностей неизвестных функций на ребре диэлектрического стержня, При этом компонен ты напряженностеи разлагаются в ряды по многочленам Гегенбауэра. В [41] данный подход использован для исследования собственных волн ПДВ на диэлектрической подложке.
В настоящей работе излагается метод решения задач о собственных волнах направляющих структур с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением. Предложенный алгоритм предполагает выделение особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода и последующее его решение с учётом поведения компонент напряженностеи поля вблизи рёбер диэлектрических стержней.
Цель работы
Разработка численно-аналитических методов исследования собственных волн в регулярных экранированных направляющих структурах, содержащих геометрические сингулярности. Построение на электродинамическом уровне строгости математических моделей и расчёт параметров волн в линиях передачи указанного класса.
Научная новизна работы
состоит в следующем:
1. Предложена классификация электромагнитных волн, распространяющихся в регулярных экранированных линиях передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением и обладающих отличными от нуля критическими частотами. Классификация основана на особенностях в распределении полей волн на критических частотах. Преимущество введённого классификационного признака заключается в том, что его применение не предусматривает исследования предельных переходов для геометрических и физических параметров направляющей структуры.
2. Разработана процедура обращения сингулярного интеграла Коши и интеграла с логарифмическим ядром, определённых на объединении интервалов, позволившая обобщить метод частичного обращения оператора на задачи о собственных волнах связанных полосковых и щелевых линий передачи. 3. Разработан математически обоснованный способ оценки особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода, описывающего собственные волны прямоугольного волновода с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением.
4. Впервые проведено исследование сходимости приближённых решений, полученных с использованием метода частичного обращения оператора, в окрестностях критических частот собственных волн экранированной щелевой линии передачи. На основе численных экспериментов получено аналитическое соотношение, связывающее абсолютную погрешность вычисления постоянной распространения волны и саму постоянную распространения. Проведено теоретическое обоснование выявленной закономерности.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчёта, основанные на аппарате интегральных уравнений второго рода, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся:
• путём исследования внутренней сходимости решений; # сравнением полученных результатов с расчётными данными, при ведёнными в работах других авторов; согласием полученных в диссертации численных решений в пре дельных случаях геометрии краевых задач с известными анали тическими решениями. Практическая ценность работы состоит: • в получении формул обращения сингулярных интегралов Коти и интегралов с логарифмическими ядрами, определённых на объ единении интервалов, позволяющих разработать новый метод ре шения уравнений, содержащих подобного рода интегралы; » • в разработке математически обоснованного численно-аналитичес кого метода решения задач о собственных волнах регулярных эк ранированных полосковых и щелевых направляющих структур с произвольным количеством поверхностей частичной металлиза ции и произвольным числом токонесущих полосок на каждой из Ф этих поверхностей; • в построении на основе МЧОО математических моделей полосковых и щелевых линий передачи, не требующих в своей реализации значительных затрат вычислительных ресурсов; данные модели могут быть использованы при проектировании различных функциональных элементов плоскостных и объёмных интегральных схем СВЧ;
• в обнаружении явления выравнивания фазовых скоростей квазипоперечных волн в экранированных двухпроводных полосковых линиях передачи, которое может найти применение при построении направленных ответвителей, делителей и сумматоров мощ « ности;
• в выявлении закономерностей в изменении абсолютных погрешностей вычисления спектральных параметров волн в линиях передачи в окрестностях критических частот, учёт которых может существенно упростить процесс исследования сходимости при построении дисперсионных характеристик;
Результаты исследований докладывались на VIII Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Охо-тино, 1996 г.), IX Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Самара, 1997 г.), VI Международной конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (г. Самара, 1999 г.), I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2001 г.), а также научных конференциях профессорско-преподавательского состава ПГАТИ.
Положения, выносимые на защиту:
1. Обобщение метода частичного обращения интегрального оператора на случай задач о собственных волнах регулярных направляющих структур с многоуровневым расположением токопроводящих полосок.
2. Классификация собственных волн, обладающих отличными от нуля критическими частотами, в регулярных экранированных линиях передачи с неоднородным диэлектрическим заполнением, основанная на учёте особенностей в распределениях полей волн на критических частотах.
3. Формулы обращения сингулярных интегралов Коши и интегралов с логарифмическими ядрами, определённых на объединении интервалов.
4. Разработка метода частичного обращения оператора для решения задач о собственных волнах связанных полосково-щелевых структур с размещением нескольких полосок или щелей в одной плоскости, основанного на использовании авторских формул обращения интегралов.
5. Математические модели ряда экранированных полосковых и щелевых линий передачи, основанные на процедуре обращения операторов и переходе к интегральным уравнениям второго рода.
6. Метод решения задач о собственных волнах направляющих структур с кусочно-однородным диэлектрическим заполнением, основанный на выделении особенностей в ядре интегрального уравнения первого рода и последующем его решении с учётом поведения компонент напряжённостей поля вблизи ребер диэлектрических стержней.
7. Закономерности изменения абсолютных погрешностей численного определения постоянных распространения волн вблизи критических частот.
8. Обоснование внутренней сходимости метода частичного обращения оператора применительно к исследованию собственных волн экранированных полосковых и щелевых линий передачи.
9. Новые физические закономерности, установленные в процессе математического моделирования исследуемых направляющих структур:
? вывод о том, что требования непрерывной зависимости постоянных распространения волн от геометрических параметров направляющей структуры и непрерывной дифференци-руемости их критических частот по соответствующим параметрам в ряде случаев оказываются взаимоисключающими;
? эффект выравнивания фазовых скоростей квази-поперечных волн в связанных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним размещением проводников за счёт подбора размеров экрана;
? эффект выравнивания групповых скоростей квази-поперечных волн в экранированных двухпроводных полосковых линиях передачи с планарным и двухсторонним расположением проводников и произвольными значениями геометрических и физических параметров.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 45 научных работ, в том числе 1 монография, 19 статей, 9 тезисов докладов на международных научных конференциях и семинарах.
Интегральная формулировка задач о собственных волнах полосковых и щелевых линий передачи
Рассматриваемые ниже линии передачи относятся к классу регулярных экранированных направляющих структур, образованных идеально проводящими поверхностями и имеющих кусочно-однородное диэлектрическое заполнение. Используя метод комплексных амплитуд, запишем представления для напряжённо стей магнитного Н и электрического Е полей некоторой волны в линии передачи
Здесь — мнимая единица, ш — круговая частота колебаний, 7 — посто — янная распространения волны. Комплексные функции Н пЕ описывают распределения амплитуд поля волны в поперечном сечении направля —# — ющей структуры. В дальнейшем мы будем называть векторы Н и Е напряжённостями, не вводя для них специальных терминов.
Как следует из соотношений (1.1), при нулевом значении постоянной распространения волны j, поле представляет собой электромагнитные колебания, напряжённости которых не зависят от продольной координаты Z.
С помощью уравнений Максвелла выразим поперечные составляющие векторов Н и Е через продольные
Пусть волна обладает отличной от нуля критической частотой Полагая в (1.2) постоянную распространения у равной нулю, легко убедиться в том, что компоненты напряжённостей распадаются на две независимые системы: {EXiEyiHz} и {НхУНу,Ег}. Волны с отличными от нуля критическими частотами, поля которых удовлетворяют условиям будем называть, соответственно, НЕ- и ЕН-волнами. Волны внутри каждого из введённых классов удобно упорядочивать в соответствии со значениями их критических волновых чисел. Например, если параметры ккр волн НЕ„ и НЕт удовлетворяют неравенству то аналогичным образом будут соотноситься и целочисленные индексы в их обозначениях
Разумеется, классы волн (1.4) и (1.5) не всегда включают в себя все собственные волны направляющей структуры. Если линия передачи образована двумя и более изолированными проводящими поверхностями, то в ней могут распространяться волны, критические частоты которых не удовлетворяют неравенству (1.3). Кроме того, в линиях передачи рассматриваемого класса возможно существование волн, не обладающих отсечкой. Действительные и мнимые части их постоянных распространения обращаются в нуль на различных частотах. В работах [32, 42] на примере круглого металлического волновода с двухслойным заполнением описаны подобные случаи.
Существует иной подход к классификации волн в линиях передачи [32], основывающийся на предельном переходе к направляющей структуре с однородным диэлектрическим заполнением. При этом вводится следующее правило. При стремлении проницаемостей сред заполнения к единице, НЕ-волны переходят в магнитные, ЕН-волны — в электрические волны однородно заполненной линии передачи. Подобное определение имеет ряд недостатков. Во-первых, помимо расчёта рассматриваемой направляющей структуры, требуется исследовать краевую задачу, «
Экранированная двухслойная направляющая структура. соответствующую её однородно заполненному аналогу. Во-вторых, в процессе изменения проницаемостей сред, структура поля волны может претерпеть кардинальные изменения. Что касается определений (1.4), (1.5), то они отражают физические свойства самой НЕ- или ЕН-волны. Пусть даже эти свойства проявляются только на критической частоте.
Возможность интегральной формулировки задачи о собственных волнах предоставляет метод частичных областей [б, 43]. Рассмотрим экралированную двухслойную направляющую структуру, поперечное сечение которой изображено на рисунке 1.1. Будем полагать, что на границу раздела диэлектрических сред 1 и 2 нанесено произвольное конечное число проводящих полосок. При этом крайние полоски могут соприкасаться с боковыми стенками экрана.
Разобьём поперечное сечение линии передачи на две частичные области, имеющие однородное диэлектрическое заполнение. В области j, (j = 1,2) построим системы функций:1) Я}, {е$}, (т = 0,1,...), обладающие следующими свойствами: при любом значении индекса т пара Л , е$ является решением уравнений Максвелла; векторы Щ} и е$ удовлетворяют граничным условиям на экране, соответственно, для напряжённостей магнитного и электрического полей.
Решение импедансного интегрального уравнения
Но величина 7MJV, а следовательно и погрешность определения постоянной распространения, конечны при любых значениях волнового числа. Таким образом, в непосредственной близости от точки к = к , закон (2.43) также нарушается. Подтверждением тому служит рисунок 2.24. Здесь, по-прежнему, отображены значения погрешности 200,6 Для основной волны ЭЩЛ, но по оси абсцисс отложено нормированное волновое число. Для сравнения отметим, что диаграммам 2.19 соответствует на четыре порядка больший диапазон изменения параметра к. На интервале (/ ,, КР,М1/}, границы которого отмечены на рисунке 2.24 пунктирными линиями, погрешность му, в отличие от величин -у-1) 7jw)li слабо зависит от к. Отсчётной точке к%% отвечает третья строка таблицы 2.8. На основе приведённых здесь числовых данных можно сделать следующий вывод. Вблизи критических значений волнового числа, где велико отношение &кріМЛг — fctpj / А; — ft p, параметр А также нельзя назвать малым. Тем самым, условие 1 перестаёт выполняться. Таким образом, закон 2.43 справедлив в следующих интервалах значений волнового числа: Здесь нижняя 6 и верхняя Л грани величины & — А;кр задают, соответственно, области истинности условий 1 и 3.
В заключение отметим, что анализ сходимости последовательностей приближённых решений в окрестностях критических волновых чисел имеет большое практическое значение. Как отмечено в Приложении 3, перед построением дисперсионных характеристик собственных волн необходимо определить минимальные значения предельных индексов суммирования М и iV, гарантирующие некоторую наперед заданную точность приближённого расчёта постоянных распространения- Опыт проведения подобных исследований показывает, что абсолютные погрешности вычисления 7 достигают максимальных значений в ближайших к fcKp отсчётных точках. Наглядной иллюстрацией последнего утверждения служат рисунки 2.19, 2.20, где близким значениям волнового числа к соответствуют погрешности eMN, различающиеся в несколько раз.
Поперечное сечение рассматриваемой здесь линии передачи приведено на рисунке 2.25. Предполагается, что проводящая полоска изолирована от экранирующей поверхности
Использованию численных методов для исследования собственных волн данной направляющей структуры посвящены работы [6-9, 62, 63, 68, 84-94]. Метод частичного обращения оператора применительно к по-лосковой линии передачи излагается в [28, 29, 57, 95-98]. По сравнению с работой [96], описываемый здесь алгоритм решения краевой задачи отличается способом выделения особенности в ядре интегрального уравнения первого рода. Такой подход позволил существенно улучшить сходимость численных результатов.
Область определения Хщ адмитансного интегрального уравнения (1.32), записанного для ЭЩЛ, представляет собой интервал. В случае
Как видно, последовательности абсолютных значений коэффициентов в рядах (2.54) достаточно быстро стремятся к нулю. Это позволяет сделать вывод об ограниченности функций Щп (х,х ).
Несмотря на то, что сингулярные части (1.35), (1.44) ядер адмитанс-ного и импедансного интегральных уравнений различаются, в обоих случаях можно использовать единую процедуру обращения операторов. Введём функцию К Ограничимся в рядах (2.61) слагаемыми с индексами т М, где М — произвольное положительное целое число. Для компонент неизвестного вектора используем следующие представления ЯУ)= J—2 Е ЗыТп{и)% (і = 1,2), (2.62) где iV — произвольное неотрицательное целое число. Равенство нулю коэффициента J20 является следствием условия на ребре для поперечной составляющей плотности тока на полоске и может быть доказано по аналогии с соотношением (2.17).
Умножая обе части уравнения (2.60) на многочлены Tk{v)t (ft = 0,iV) и производя интегрирование по интервалу его определения, приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных jin
Приравнивая к нулю определитель системы (2.63), получаем дисперсионное уравнение для определения постоянных распространения собственных волн ЭПЛ. Используемые в расчётах алгоритмы вычисления интегралов Xnt Ui Си описаны в Приложении 3.
На рисунке 2,26 приведены дисперсионные характеристики собственных волн экранированной полосковой линии передачи. Поперечное сечение направляющей структуры предполагалось симметричным относительно плоскости х = а/2 (рис. 2.25). Кривые 1, 2, 5 соответствуют волнам с магнитной симметрией поля. При расчёте их постоянных распространения 7 предельные индексы суммирования в рядах (2.61) для элементов ядра интегрального уравнения и представлениях (2.62) для неизвестных функций выбирались равными соответственно. Характеристики 3, 4 описывают волны с электрической симметрией поля относительно плоскости х = а/2. Они построены
Заметим, что в случае волн с магнитной симметрией поля, к которым относится и основная волна ЭПЛ, приемлемую точность даёт уже нулевое приближение метода частичного обращения оператора, не учитывающее поперечную составляющую плотности тока на полоске. Действительно, подставляя значение JV = 0 в (2.62) и учитывая определение (2.59) функции j2i имеем
В соответствии с условием на ребре, компонента Зх обращается в нуль на рёбрах полоски. Поэтому вместо (2.64) получаем
Отметим также, что в нулевом приближении дисперсионное уравнение для определения постоянных распространения собственных волн ЭПЛ допускает простую аналитическую запись Основная волна ЭПЛ, представленная на рисунке 2.26 кривой 1, относится к классу подполосочных волн. Их поля преимущественно сосредоточены внутри подложки, в области, расположенной между полоской и нижней стенкой экрана. Для приближённого описания подполосочных волн может быть использована модель Олинера, в соответствии с которой ЭПЛ заменяется прямоугольным волноводом с магнитными боковыми стенками экрана. Размеры поперечного сечения волновода а, Ъ соответствуют ширине полоски и толщине подложки
Двухсторонняя полосковая линия передачи
Представленные характеристики соответствуют случаю нулевого перекрытия полосок Известно следующее правило. Если линия передачи образована L изолированными проводящими поверхностями, включая экран, то L — I собственная волна такой направляющей структуры имеет нулевую критическую частоту. К примеру, только одна из волн экранированной по-лосковой линии передачи (рис. 2.25) обладает указанным свойством. В случае ЭДПЛ число таких волн увеличивается до двух, сообразно количеству проводников. Как следует из рисунка 3.13, волны, описываемые кривыми 1 и 2, могут распространяться на любых частотах, вплоть до нулевой.
Вблизи точки к = 0 данные характеристики ориентированы почти горизонтально. Это означает, что на низких частотах фазовые скорости волн 1 и 2, определяемые соотношением проявляют слабую частотную зависимость. Здесь с — скорость света в свободном пространстве. Продифференцируем отношение у/к по волновому числу. Учитывая определение групповой скорости волны задающей скорость переноса энергии электромагнитного поля, находим
Таким образом, малая величина угла наклона касательной к характеристике свидетельствует о том, что групповая и фазовая скорости волны различаются незначительно. Отсюда, в частности, следует, что столь малый наклон дисперсионной кривой возможен только в области значений замедления где фазовая скорость волны в линии передачи меньше скорости света в свободном пространстве. В противном случае имеем что не может соответствовать действительности.
Ниже, при исследовании полей, будет показано, что волны 1 и 2 можно охарактеризовать как квази-поперечные. При этом энергия первой волны большей частью сосредоточена внутри подложки. Если слои металлизации частично перекрываются то волна 1 является межполосочной. Тогда для её приближённого описания может быть использована модель Олинера. Поле волны 2 более равномерно распределено между подложкой и областями с воздушным заполнением. Кривая 3 (рис. 3.13) описывает волну экранного типа, которой соответствует LEoi-волна прямоугольного волновода с трёхслойным заполнением (см. Приложение 1). Критическое волновое число последней, полученное из уравнения (П1.23), составляет к а = 1.1139.
Как видно, параметры fc , волны 3 ЭДПЛ и её идеализированного аналога имеют близкие значения. Используя классификацию, описанную в п. 1.1, третьей волне ЭДПЛ следует присвоить обозначение HEi. Зависимости постоянных распространения волн ЭДПЛ от координаты центра первой полоски зю = (зц + зіг)/2 изображены на рисунке 3.14. При этом верхний слой металлизации равноудалён от боковых стенок экрана
Зависимости постоянных распространения собственных волн ЭДПЛ от координаты центра первой полоски: у1/а = 0.95; уг/« = 1-05; уа/а = 2; (хц — ХЦ) /а = 0.1; хц/а = 0.425; х„/а = 0.575; е 1) = Е(Э) = 1; 2) = 10; = 1, (і = ТТЇЇ); ка = 1. позволили получить абсолютные погрешности определения замедлений, не превышающие величины Отсчётные точки выбирались следующим образом:
При совмещении центров полосок постоянная распространения первой волны максимальна. Удаление нижней полоски от плоскости х = #20 сопровождается уменьшением спектрального параметра волны 1. Это происходит до тех пор, пока в точке он не достигнет экстремума. При стремлении параметра хщ к его минимальному значению равному половине ширины нижнего слоя металлизации, поле волны 1 концентрируется в малой щели между ребром первой полоски и боковой стенкой экрана. Как следует из рисунка 3.14, в данном случае замедление первой волны приближается к значению соответствующему идеальной щелевой волне [114]. Как можно видеть, постоянная распространения волны 2 практически не зависит от положения нижней полоски на поверхности подложки.
Зависимости фазовых и групповых скоростей волн 1 и 2 от волнового числа представлены на рисунке 3.15. В обозначениях кривых символ «Р» отвечает фазовой, символ «G» — групповой скорости.1) Числовой индекс задаёт номер волны. Абсолютные погрешности определения величин г /с, vrp/c в отсчётных точках
Многопроводная полосковая линия передачи
В данном случае постоянная распространения 72 волны 2 приближается к спектральному параметру 7ш основной волны экранированной щелевой линии передачи (ЭЩЛ) с координатами рёбер полосок где cfi — ширина первой щели ЭМЩЛ. Замедление данной волны составляет
Однако предельный переход выполняется строго только при условии равенства размеров щелей а также при центральном расположении внутренней границы неподвижной щели
Если рёбра полосок ЭЩЛ равноудалены от боковых стенок экрана, то поле её основной волны обладает электрической симметрией относительно плоскости х = а/2. Поэтому бесконечно тонкая проводящая нить, размещённая в этой плоскости, не повлияет на структуру поля данной волны. В рассматриваемом случае условие (4.16) не выполняется. Поэтому предельное соотношение (4.15) следует считать приближённым.
Уменьшение координаты агю от значения хтах_ можно рассматривать как расширение составной щели, ограниченной плоскостями
При этом увеличивается размер центральной полоски. Поведение кривой 2 показывает, что соответствующее возмущение поля щелевой волны проявляется в уменьшении её постоянной распространения. Этот процесс даже приводит к тому, что на некотором интервале значении параметра Хщ волна 2 становится распространяющейся, обладая мнимым спектральным параметром. Процессами возмущения аналогичной природы обусловлено убывание постоянных распространения волн 1 и 2, происходящее в результате удаления первой щели от боковой стенки экрана. Действительно, если линию передачи с двумя щелями (рис. 4.1) дополнить её зеркальным отражением относительно плоскости то при положительных х, поля некоторых волн получившейся структуры будут совпадать с полями волн двухщелевои линии передачи. Речь идёт о волнах составного волновода, обладающих электрической симметрией относительно плоскости (4.17). Если полоска, расположенная между внутренними щелями, имеет нулевую ширину, замедления данных волн составляют:
Здесь верхний числовой индекс обозначает количество щелей в соответствующей направляющей структуре. Как следует из рисунка 4.3, величины 7i j 72 совпадают с пределами функций 7i (#ю)і 72 ( іо) при хю — хт-1а. В данном случае предельные переходы выполняются строго. При построении рисунка 4.3 наиболее медленная сходимость последовательности приближённых значений постоянной распространения основной волны ЭМЩЛ наблюдалась в последней отсчётной точке
При расчёте спектрального параметра второй волны учёт максимального количества слагаемых в суммах (4.9), (4.12) потребовался вблизи точек XIQ, соответствующих переходу кривой 2 из области действительных в область мнимых значений. Здесь характеристика 72 ( ю) имеет вертикальный наклон
Рисунки 4.4-4.9 содержат распределения компонент напряжённос-тей электрического и магнитного полей основной волны ЭМЩЛ. При Представленные картины поля свидетельствуют о том, что основная волна ЭМЩЛ является квази-поперечной. Силовые линии её электрического поля берут начало на внешних слоях металлизации или экране и заканчиваются на внутренней полоске. Силовые линии магнитного поля представляют собой замкнутые контуры, охватывающие центральный проводник. (рис. 4.5,4.7) стремятся расположиться по касательной к щелям. Чтобы дать этому объяснение, рассмотрим направляющую структуру, изображённую на рисунке 4.10, предполагая, что её поперечное сечение имеет горизонтальную плоскость симметрии. Основная волна такой линии передачи обладает магнитной симметрией относительно поверхности частичной металлизации. В частности, компоненты Еу, Hxt Hz напря-жённостей поля данной волны обращаются в нуль на щелях. Поведение линий уровня (4.18) вблизи плоскости у = yi следует рассматривать как проявление указанной симметрии. Переход от симметричной (рис.
На рисунках 4.11-4.16 приведены распределения полей второй волны ЭМГДЛ. Легко обнаружить их сходство с аналогичными картинами, соответствующими основной волне экранированной щелевой линии передачи (рис. 2.5-2.10). Как следует из рисунков 4.11-4.13, большинство силовых линий электрического поля волны ЭМЩЛ соединяют внешние слои металлизации. Существуют также силовые линии, идущие от первой ко второй, либо от второй к третьей полоскам. Как и в случае основной волны ЭМЩЛ, нулевые линии уровня компоненты Еу (рис. 4,12) ориентированы по касательной к плоскости у — у\л препятствуя прохождению силовых линий электрического поля сквозь щели. Подобно основной волне ЭЩЛ, в данном случае вектор Н имеет сильно выраженную продольную составляющую (рис. 4,16). Поэтому магнитное поле волны 2 оказывается эллиптически поляризованным.
