Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Модифицированная система телеграфных уравнений и методы ее асимптотического интегрирования 14
1.1. Модифицированная система телеграфных уравнений 14
1.2. Асимптотики для первичных параметров неоднородной линии передачи 16
1.3. Методы асимптотического интегрирования системы телеграфных уравнений 21
1.4. Методы асимптотического интегрирования модифицированной системы телеграфных уравнений 28
1.5. Построение ВКБ-асимптотик для одномодовых и двумодовых неоднородных линий передачи 34
1.6. Выводы 43
Глава 2. Асимптотические разложения для решений модифицированной системы телеграфных уравнений в случае глобального вырождения главной матрицы системы .. 44
2.1. Построение ВКБ-асимптотик решений модифицированной системы телеграфных уравнений в случае глобального вырождения главной матрицы системы 44
2.2. Вывод расчетных формул для коэффициентов ВКБ-асимптотик для некоторых случаев глобального вырождения главной матрицы системы 51
2.3. Симметричные неоднородные линии передачи 57
2.4. Выводы 63
Глава 3. Случай локального вырождения главной матрицы модифицированной системы телеграфных уравнений .. 65
3.1. Постановка задачи. Преобразование исходного уравнения 65
3.2. Исследование задачи о существовании равномерных асимптотических разложений 70
3.3. Вычисление коэффициентов, "сшивающих" ВКБ-асимптотики 75
3.4. Исследование некоторых случаев локального вырождения главной матрицы модифицированной системы телеграфных уравнений. Анализ численных данных 78
3.5. Выводы 83
Глава 4. Анализ установившихся и переходных процессов. Задачи частичного синтеза 85
4.1. Установившиеся режимы 85
4.2. Переходные процессы 92
4.3. Определение параметров неоднородной линии передачи по результатам рефлектометрии 100
4.4. Выводы 106
Заключение 108
Список использованных источников 112
Приложения 119
- Методы асимптотического интегрирования модифицированной системы телеграфных уравнений
- Вывод расчетных формул для коэффициентов ВКБ-асимптотик для некоторых случаев глобального вырождения главной матрицы системы
- Исследование некоторых случаев локального вырождения главной матрицы модифицированной системы телеграфных уравнений. Анализ численных данных
- Определение параметров неоднородной линии передачи по результатам рефлектометрии
Введение к работе
Обзор проблемы и ее актуальность. В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 гг. и на период до 1990 г." было указано на необходимость сосредоточить усилия на решение таких важнейших проблем, как развитие физики и радиофизики / I /. Исследование электромагнитных процессов в нерегулярных направляющих системах является одной из важнейших задач в радиофизике. Систематическое изучение нерегулярных направляющих систем началось в 50-х годах в связи с широким внедрением в технику СВЧ волноводов с различными типами неоднородностей / 2 /, а также отрезков неоднородных линий / 3,4 /, применяемых в ряде радиотехнических и информационных систем и энергосистемах. К настоящему времени изучен достаточно широкий класс нерегулярных направляющих систем. Этой проблематике посвящена обширная литература (см.например / 2,5 ./ .).
Наряду с этим многие виды направляющих систем изучены недостаточно полно. К их числу относятся многомодовые нерегулярные системы, при расчете которых необходимо учитывать частотную дисперсию погонных параметров, в частности, скин-эффект.
Изучение распределенных систем со скин-эффектом началось в тридцатых годах. Здесь следует отметить работы / 6-8 /. В этих работах изучены одномодовые регулярные системы. Исследование их основывалось на модифицированной системе телеграфных уравнений (МСТУ), в которой погонный параметр активных потерь был заменен его асимптотическим разложением (или конечным числом слагаемых этого разложения), описывающим зависимость сопротивления от частоты.
Нестрогий вывод из уравнений Максвелла ЖЛУ с переменными коэффициентами, а также систем более общего вида, чем МСТУ был произведен С.А.Щелкуновым / 10 /. Нестрогость вывода, произведенного С.А.Щелкуновым, состояла, в частности, в том, что он не оценил погрешности, возникающей при переходе от уравнений Максвелла к МСТУ. Вывод обобщенной системы телеграфных уравнений (СТУ) и, в частном случае, МСТУ из уравнений Максвелла с асимптотической оценкой возникающей при этом погрешности был произведен в / II /. В книге / 12 / МСТУ используется при исследовании многомодовых однородных систем. Изучение переходных процессов в одномодовых неоднородных системах со скин-эффектом произведено в / 9 /. В этой работе строятся асимптотики решений для МСТУ с переменными коэффициентами. Полученные при этом асимптотические формулы используются для изучения трансформации единичного перепада напряжения,подаваемого на вход одномодового канала. Отметим, что подход, примененный в работе / 9 ^ не дает возможности проводить исследование многомодовых систем. Следует отметить также нефизичность постановки задачи о трансформации единичного перепада напряжения в / 9 /. Дело в том, что МСТУ достаточно точно описывает электромагнитные процессы при Ь5 »і . Если же "UJ невелико, то не имеет место асимптотическое представление для активного сопротивления, используемое в МСТУ. Вместе с тем, значительная часть спектральной плотности единичного перепада сосредоточена вблизи нуля.
Общий подход анализа электромагнитных процессов в нерегулярных направляющих системах, основывающийся на технике построения ВКБ-асимптотик решений систем линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной / 13 /, был развит в / 14-18 /. В этих работах, в предположении, что собственные значения главной матрицы обобщенной СТУ (и, в частности, ШТУ) попарно различны, разработан процесс построения
ВКБ-асимптотик для решений обобщенной СТУ. Отметим, что в / 15/ построение ВКБ-асимптотик для случая, когда собственные значения главной матрицы системы имеют постоянную кратность ( большую единицы), было рассмотрено лишь для СТУ, в которой не учитывается частотная дисперсия погонных параметров неоднородной линии передачи (НЛП), т.е. такие явления как скин-эффект и т.д. Особый интерес с теоретической и прикладной точек зрения представляет случай, когда при некоторых значениях продольной координаты совпадают скорости нескольких распространяющихся в НЛП волн (ВКБ-волны). Точки, в которых совпадают скорости нескольких ВКБ-волн в радиофизике называют точками локального вырождения (ТЛВ). В теории дифференциальных уравнений их принято называть "точками поворота". В ТЛВ происходит перераспределение амплитуд ВКБ-волн. Изучение электромагнитных процессов в направляющих системах с ТЛВ впервые было произведено Ю.М.Исаенко /19/ и Б.З.Кацеленбаумом / 2 /. Эта задача рассматривалась также И.А.Молотковым и А.С.Старковым для плоских волноводов / 20-22 /, а В.В.Новиковым и Т.И.Бичуцкой для моделей волноврдных каналов Земля-ионосфера и некоторых других типов волноводных трактов / 23-28 /. В работах указанных авторов рассмотрен случай простого касания скоростей ВКБ-волн в ТЛВ. Разработанный, ими метод нахождения амплитуд перераспределенных ВКБ-волн дает возможность найти для этих амплитуд лишь первые приближения.. В работе / 17 / изучены электромагнитные процессы в многомодовых системах с ТЛВ, описываемых СТУ. Рассмотрен случай произвольного порядка касания скоростей ВКБ-волн в ТЛВ. Для коэффициентов "сшивки" (коэффициенты, сшивающие ВКБ-асимптотики по разные стороны от ТЛВ), определяющих перераспределение амплитуд ВКБ-волн, получены приближения всех порядков. Отметим, что проведенный в /17/ анализ электромагнитных процессов в НЛП с ТЛВ дает возможность исследовать такие процессы и для трехмерных задач. Однако, следует подчеркнуть, что в перечисленных работах процесс перераспределения амплитуд ВКБ-волн в ТЛВ рассматривался без учета частотной дисперсии погонных параметров НЛП.
Таким образом, очерченая выше проблематика определила цель и направление исследований, проведенных в этой диссертации.
Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики Харьковского ордена Трудового Красного Знамени института радиоэлектроники имени ак. М.К.Янгеля в соответствии с. планом научно-технических работ. Тематика работы входит в целевую межвузовскую комплексную научную программу 3.2.13 "Разработать и исследовать методы и программно-аппаратурные средства автоматизированного проектирования" (САПР).
Целью настоящей работы является разработка методов построения асимптотических разложений для решений МСТУ в случаях локального и глобального вырождений главной матрицы системы и использование полученных результатов при расчете и анализе электромагнитных процессов в НЛП с частотной дисперсией погонных параметров. Соответственно этому диссертация состоит из четырех глав, заключения и двух приложений.
В первой главе описана и исследована МСТУ - основная математическая модель, используемая в работе. Получены асимптотические разложения для погонных параметров НЛП с учетом их частотной дисперсии. Выведены расчетные формулы для коэффициентов ВКБ-асимптотик решений СТУ и УСТУ. Основные результаты этой главы опубликованы в / 29-31 /.
Во второй главе разработана процедура построения асимпто- тических разложений для решений МСТУ в случае глобального вырождения главной матрицы системы. Показано применение полученных асимптотических формул. Исследованы симметричные НЛП. Основные результаты второй главы опубликованы в / 32 - 34 /.
В третьей главе исследована задача о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случае локального вырождения главной матрицы системы. Получены выражения для решений ШУТУ по обе стороны от ТЛВ. Приведен расчет НЛП, имеющих ТЛВ. Произведен анализ численных данных. Выяснено, начиная с каких частот полученные асимптотические формулы дают достаточно точные приближения (момент "выхода на асимптотику"). Основные результаты данной главы опубликованы в /35-38/.
Четвертая глава посвящена применению разработанных асимптотических методов при исследовании электромагнитных процессов в НЛП, работающих в режиме ТЕМ. Решена также задача частичного синтеза: разработаны вычислительные методики определения некоторых характеристик НЛП по результатам рефлектометрии. Основные результаты четвертой главы опубликованы в / 39-44 /.
В приложения вынесен иллюстративный материал, а также некоторые выкладки и построения, включение которых в основной текст нецелесообразно.
В результате проведенного исследования получены следующие результаты, выводы и рекомендации, которые выносятся на защиту:
I. Разработана процедура построения асимптотических разложений для решений МСТУ в случае глобального вырождения главной матрицы системы. Построение асимптотик в этом случае сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, решению системы дифференциальных уравнений пониженного поряд- ка, не зависящей от большого параметра (частоты), и квадратурам. Показано, что в ряде случаев система дифференциальных уравнений сводится к квадратурам.
Исследована задача о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случае локального вырождения главной матрицы системы. Получены выражения для коэффициентов, "сшивающих" асимптотические разложения для решений МСТУ по обе стороны от ТЛВ.
Получены расчетные формулы для ВКБ-асимптотик в следующих случаях: а) для одномодовой НЛП во всех порядках; б) первые три приближения для одномодовой НЛП, описывае мой МСТУ; в) нулевое приближение для двумодовой, вообще говоря, несимметричной НЛП.
Получены асимптотические формулы для первичных параметров НЛП с учетом частотной дисперсии.
4. Проведено исследование НЛП: а) сравнение результатов расчета установившихся режимов с результатами, полученными численными методами (метод Рунге-Кутта),.а там, где это возможно, с точными решениями; б) выяснено, как влияют последующие ВКБ-приближения на точность вычислений; в) изучена реакция НЛП на прямоугольный и гармонический импульсы; г) по результатам рефлектометрии найдены параметры НЛП, определяющие задержку, затухание и выглаживание фронтов им пульсов ; д) изучен процесс перераспределения амплитуды ВКБ-волн в двумодовой НЛП, которая описывается МСТУ с ТЛВ. Для конкретной двумодовой НЛП выяснен момент "выхода на асимптотику" выражений для коэффициентов перераспределения амплитуд ВКБ-волн.
Более подробный перечень основных результатов диссертации дан в выводах по главам и заключении.
Обоснованность и достоверность основных положений и выводов диссертационной работы следует из математической строгости всех полученных решений и адекватности построенных математических моделей реальным физическим процессам.
В качестве основной математической модели, описывающей электромагнитные процессы в НЛП, в диссертационной работе используется МСТУ, которая может быть получена из уравнений Максвелла. В диссертации исследован вопрос о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случаях глобального и локального вырождений главной матрицы МСТУ. Для проверки достоверности результатов, полученных с помощью разработанных в диссертационной работе методов исследования НЛП, проведено сравнение с результатами, полученными методом ]?унге-Кутта, а там, где это возможно, и с точными решениями.
Научная новизна. В диссертационной работе получены новые, с научной точки зрения результаты:
I. Разработана процедура построения асимптотических разложений для решений МСТУ в случае глобального вырождения главной матрицы системы. Построение асимптотик в этом случае сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, решению системы дифференциальных уравнений пониженного порядка, не зависящей от большого параметра (частоты), и квадратурам. Показано, что в ряде случаев система дифференциальных уравнений сводится к квадратурам. - II -
Исследована задача о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случае локального вырождения главной матрицы системы. Получены выражения для коэффициентов, "сшивающих" асимптотические разложения для решений МСТУ по обе стороны от ТЛВ.
Получены расчетные формулы для ВКБ-асимптотик, используемых при исследовании различных типов НЛП.
Проведено исследование установившихся и переходных режимов в НЛП. Решена обратная задача определения параметров НЛП по результатам рефлектометрии.
Практическая ценность. Основным теоретическим результатом диссертации является исследование вопроса о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случаях глобального и локального вырождений главной матрицы МСТУ, а также вывод асимптотических выражений для коэффициентов перераспределения амплитуд ВКБ-волн при их прохождении через ТЛВ. Используя разработанные теоретические положения, в диссертационной работе получены следующие практические ценные результаты:
1. Получены расчетные формулы для ВКБ-асимптотик в сле дующих случаях: для одномодовой НЛП во всех порядках; первые три приближения для одномодовой НЛП,.описываемой МСТУ; нулевое приближение для двумодовой, вообще говоря, несимметричной НЛП.
Получены асимптотические формулы для первичных параметров НЛП с учетом частотной дисперсии.
2. Проведено исследование НЛП: - сравнение результатов расчета установившихся режимов с результатами, полученными численными методами (метод Бунге-Кутта), а там, где это возможно, с точными решениями; выяснено, как влияют последующие ВКБ-приближения на точность вычислений; изучена реакция НЛП на прямоугольный и гармонический импульсы; по результатам рефлектометрии найдены параметры НЛП, определяющие задержку, затухание и выглаживание фронтов импульсов; изучен процесс перераспределения амплитуд ВКБ-волн в двумодовой НЛП, которая описывается МЗТУ с ТЛВ.
Для конкретной двумодовой НЛП выяснен момент "выхода на асимптотику" выражений для коэффициентов перераспределения амплитуд ВКБ-волн.
Разработанные алгоритмы и вычислительные процедуры используются в настоящее время в НИР кафедры прикладной математики Харьковского института радиоэлектроники при расчете электромагнитных процессов в конечномодовых НЛП.
Самостоятельную практическую ценность имеет разработанный комплекс программ, который может быть использован для дальнейших исследований электромагнитных процессов в НЛП, для оптимизации параметров НЛП, для включения его в системы машинного проектирования НЛП, а также различных информационных и радиотехнических устройств.
Разработанные в диссертации вычислительные методики и алгоритмы внедрены в практику расчета и анализа электромагнитных процессов в НЛП. Итоги внедрения ряда результатов работы отражены в соответствующих документах. Полученный экономический эффект составляет 88 тыс. рублей. - ІЗ -
Диссертация представляет собой изложение и обобщение опубликованных работ / 29-44 /. Основные результаты ее обсуждались на УШ Всесоюзном симпозиуме по "Дифракции и распространению радиоволн", на ряде Всесоюзных и республиканских конференций : и семинарах.
Общий объем диссертации 161 с.; из них основной текст 108 с; 3 рис. на 3-х с; два приложения на 43 с; библиография 56 наименований на 7 с.
В диссертации принята сплошная нумерация подразделов и сквозная нумерация формул в пределах каждой главы. При ссылке на формулы указывается номер главы и формулы: (3.21)-формула 21 из главы 3.
В диссертации используются следующие сокращения: СТУ -система телеграфных уравнений, ІЗТУ - модифицированная система телеграфных уравнений, ТЛВ - точка локального вырождения.
Методы асимптотического интегрирования модифицированной системы телеграфных уравнений
В данной главе рассматриваются электромагнитные процессы в многомодовых НЛП, содержащих точки, в которых кратность спектра матрицы А0(х) изменяется. Такие точки называются точками локального вырождения (ТЛВ) главной матрицы МСТУ.
В 3.1 осуществлена постановка задачи и произведено преобразование МСТУ к уравнению, удобному для исследования. Исследованию задачи о существовании равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случае локального вырождения главной матрицы системы посвящен 3.2. В 3.3 получены выражения для коэффициентов, "сшивающих" ВКБ-асимптотики по обе стороны от ТЛВ для НЛП, описываемой МСТУ. Расчет конкретной НЛП, имеющей ТЛВ, приведен в 3.4. Здесь же произведен анализ "выхода на асимптотику" полученных приближенных формул. Содержание и основные результаты данной главы опубликованы в работах / 35-38 /. 3.1. Постановка задачи. Преобразование исходного уравнения Пусть в некоторой точке несколько собственных значений матрицы А0(х) изменяют свою кратность, а в остальных точках _СХ,Ь] их кратность сохраняется. Процесс перераспределения амплитуд ВКБ-волн при их прохождении через ТЛВ изучен / 17 / для СТУ (без учета частотной дисперсии погонных параметров НЛП). - 66 Рассмотрим его для МСТУ. Используя метод блок-диагонали-зации / 11,13/, сведем изучение МСТУ с ТЛВ к решению некоторой формальной системы вида равномерное по X на [а,Ы , а все собственные значения матрицы До №) совпадают между собой в точке локального вырождения Пусть размерность системы (3.1) равна ТМ . Обозначим через собственные значения мат рицы В0 (х) Тогда для любых 1 К ТП Aj (і) = Лк(Х). Если Х Х в [й,Ь] , то либо A.j(x)sA.K(x), либо Xi(x) 1ХК(Х) (обозначим, в этом случае, через (2j -l) порядок нуля функции Aj(x)-AK(X) в точке XD , положим 2=тах{г,,Л). Известно / 15 /, что матрица Б0(х) диагонализируема. Пусть матрицы Бо(х) и )і ( -) приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе. Отметим, что этому предположению соответствует достаточно широкий класс реальных НЛП, в частности, симметричные линии передачи и т.д. При этом не обязательно, чтобы собственные значения (шЭС) (i = 4,2,...,171) матрицы J34 (х) равнялись между собой в точке Х . Отметим только, что если 0ДХ) ф їк (Х) , то Yi(X) Тн (х) для любых ХЕ [а,Ь] . А если (Х) =Тк(х) , то для всех Х Х в [а,Ь] либо (X) г Тк (X) , либо ТГДХ) О к №) (обозначим, в этом случае, через ( Р;,к" ) порядок нуля функции Ї) (I) - їк (X) В ТОЧКе JL , Р =TTIQ.X {Pj.Kj ) Возможные соотношения между собственными значениями матриц Ё0(х) и -Щ(х) сведены в схему ЗЛ. Кроме того, допустим, что диагональные элементы матриц Вп(х) (п = 2,з,...) , а также элементы этих матриц, лежащие на пересечении столбцов и строк с номерами і и К такими, что А. (X) а А к (х) и Т. (Х) == Тк (Х) ( случай б из схемы ЗЛ ) тождественно равны нулю. Выполнения последнего условия можно добиться всегда. В самом деле, не ограничивая общности, можно считать, что одинаковые элементы матрицы JJ0(X) сгруппированы вместе: диагональ матрицы JJ0(х) состоит из серий подряд стоящих тождественно равных функций А; (х) , элементы разных серий не равны друг другу тождественно. Обозначим, далее через М (X,)=Z 0-( блочно-диагональную матрицу, имеющую ненулевые элементы лишь на пересечении столбцов и строк с номерами -І и к такими, что L(x)sAK(x) и TJ(X) = TK(X) . Эти элементы положим равными соответствующим элементам матрицы . Таким образом, ненулевые элементы матрицы И п(х) равны соответствующим элементам матрицы невырожденная блочно-диагональная матрица той же структуры, что и М (Х,)
Вывод расчетных формул для коэффициентов ВКБ-асимптотик для некоторых случаев глобального вырождения главной матрицы системы
Из соотношений (3.25) следует, что в рассматриваемом случае 2 = 0 = 2 ,т.е. 2. 20 Следовательно для вычисления главных членов асимптотических разложений для коэффициентов Сэд и С/,5 необходимо использовать выражение (3.18).
В приложении 2 приведен пример, в котором рассчитава-ются коэффициенты перераспределения амплитуд распространяющихся в данной НЛП электромагнитных волн. Вначале вычисляются граничные условия (3.4), (3.5) на левом и правом концах НЛП. Затем для этих граничных условий методом Ї нге-Кутта строятся точные решения в ТЛВ. "Сшивая" полученные точные решения, определим матрицу коэффициентов перераспределения амплитуд распространяющихся в НЛП электромагнитных волн. Заметим, что применение метода Бунге-Кутта требует значительных затрат машинного времени. Например, при реализации программы на ЕС 1050 затраты машинного времени возрастают от нескольких минут ( 5 10) на частотах порядка I мГц до нескольких десятков минут (120 180 ) на частотах порядка I03 мГц. Применение же расчетных выражений (3.18) - (3.23) вообще не требует применения ЭВМ, а сравнение результатов вычислений позволяет сделать вывод, что начиная с частот порядка 5 6 мГц, применение соотношений (3.18) - (3.23) дает достаточно хорошую точность.
Результаты расчета рассматриваемой НЛП методом Рунге-Кутта, а также результаты использования выражения (3.18) для частот: 0,1 мГц, 0,5 мГц, I мГц, 3 мГц, б мГц, 9 мГц - приведены в приложении 2 (таблица П.2.І). Перечислим вкратце основные результаты, полученные в данной главе: 1. Установлено существование равномерных асимптотических разложений для решения МСТУ в случае локального вырождения главной матрицы системы. Этот результат является обобщением соответствующего результата, полученного в /17 / без учета скин-эффекта (предполагается лишь одновременная диаго-нализация первых двух матриц преобразованной системы уравнений) . 2. С помощью результатов п.1 получены приближения коэффициентов, "сшивающих" ВКБ асимптотики по обе стороны от ТЛВ. Этот результат,для первого и последующих приближений, обобщает соответствующий результат работы / 17 /, в которой получены формулы "сшивки" для СТУ без учета скин-эффекта. Расчетные формулы.представлены в виде асимптотических разложений по дробным степеням малого параметра (і 1 5) 2. Степень малого параметра, по которой ведется разложение, зависит от степени вырождения матриц A0(ty 5 Ad(X) .От степени вырождения этих матриц зависит также, какой из интегралов двух типов, Фурье и Лапласа, следует использовать при получении асимптотических формул. Анализ полученных расчетных формул позволяет исследовать перераспределение амплитуд ВКБ-волн при прохождении их через ТЛВ. 3. Рассчитаны коэффициенты перераспределения амплитуд ВКБ-волн, распространяющихся в НЛП, которая описывается МСТУ с ТЛВ. Для конкретной НЛП исследован вопрос "выхода на асимптотику" выражений для этих коэффициентов. В предыдущих главах рассмотрены асимптотические методы решения МСТУ. Применению этих методов для исследования установившихся и переходных электромагнитных процессов в НЛП, работающих в режиме ТЕМ, посвящена настоящая глава. В 4.1 исследуются установившиеся режимы в НЛП. Произведено сравнение результатов применения к расчету НЛП асимптотических методов и метода FyHre-Кутта. Получены различные характеристики НЛП в установившихся режимах. В 4.2 рассмотрены переходные процессы в НЛП, выяснена реакция НЛП на гармонические сигналы и прямоугольные импульсы. Задачам частичного синтеза НЛП по результатам рефлекто-метрии посвящен 4.3. Содержание и основные результаты данной главы опубликованы в работах / 39-44 /. 4.1. Установившиеся режимы В главах 1-3 были исследованы вопросы построения асимптотических разложений для решений ШУТУ при различных спектральных условиях на главную матрицу системы. Пусть Y(,) -матрица размерности 2т 2тп , столбцы которой являются асимптотическими разложениями для линейно-независимых решений 2т- мерной МОТУ.
Исследование некоторых случаев локального вырождения главной матрицы модифицированной системы телеграфных уравнений. Анализ численных данных
Для исследования НЛП разработан комплекс программ /44/, с помощью которого для НЛП I и НЛП 2 с неоднородностями вида а), б), в) были получены значения комплексов амплитуд напряжения и тока, а также различные характеристики установившегося режима НЛП, при различных частотах (60 1000 кГц) и в различных точках длины НЛП (0 5 км). Расчеты проводились как с учетом одного, так и с учетом двух и трех членов асимптотического разложения (4.1). Результаты расчета приведены в приложении I (см. первый тестовый пример комплекса программ / 44 / и таблицы П.І.І - П.І.І8). Сравнивая эти результаты с результатами, подученными методом Рунге-Кутта, а там где это возможно и с точными решениями (см. таблицы П.І.І - П.І.І8), можно сделать следующие выводы.
Неучет неоднородностей в линиях передачи при расчете в них электромагнитных процессов приводит к довольно большим (около 20 %у а в некоторых точках до 90 %, см., например, таблицу П.І.І2) погрешностям. При этом погрешность возрастает с увеличением частоты и продольной координаты.
Применение асимптотических методов для анализа электромагнитных процессов в НЛП, начиная с частот порядка 100 кГц, позволяет получить сравнительно малую погрешность вычислений: - до 20 30 % с учетом ВКБ-приближения первого порядка - до 7 4- 10 % с учетом ВКБ-приближения второго порядка - 0,5 f 1,5 % с учетом ВКБ-приближения третьего порядка. . При этом существенно (раз в 10 15 ) уменьшаются затраты машинного времени ЭВМ. Отметим, что затраты машинного времени ЭВМ при применении метода Рунге-Кутта значительно возрастают с ростом частоты и координаты X длины линии. Перейдем к анализу распространения импульсных сигналов вдоль НЛП. Эта задача является весьма актуальной, в частности, в / 53 / высказаны сожаления по поводу сравнительно малого количества исследований данной проблемы с помощью численных методов, реализованных на ЭВМ. В данной работе сделана попытка частично восполнить этот пробел. Пусть на вход полуограниченной (согласованной на конце) одномодовой х НЛП подан единичный перепад напряжения, т.е. задается лишь первая компонента вектора I (х,) . Далее в этой главе изучаются импульсы, спектры которых в основной своей массе достаточно удалены от нуля. Это требование для нас важно, т.к. МИТУ достаточно хорошо описывает электромагнитные процессы в НЛП лишь на высоких частотах. Вместе с тем, импульсы с указанными спектральными свойствами часто используются на практике. При изучении переходных характеристик ограничимся сначала первым Yo (х) членом разложения (4.1). Применяя обратное преобразование урье, подучим выражение для формы возбужденного в линии сигнала: Рассматриваются только затухающие моды. и задержку импульсного сигнала, а множитель Z}C І 2Уі:-іи.(х)/ в выражении (4.6) описывает плавное нарастание сигнала от О до величины LZ" (2.) J , т.е. определяет форму переднего фронта импульса в точке X . Расчеты переходных процессов в НЛП проводились с помощью разработанного комплекса программ / 44 / и приведены в приложении I ( см. второй тестовый пример комплекса программ и рисунки П.І.І - П.І.22 ). Расчетные кривые импульсов на выходе НЛПІ длиной 5,0 км с неоднородностями вида а) и б) при подаче на ее вход прямоугольных импульсов единичной амплитуды длительностью от I до 20 мкС представлены на рис. П.І.І и рис. П.І.2 соответственно. На рис. П.1.3 и П.1.4 приведены кривые относительного изменения напряжения на выходе НЛПІ с неоднородностями вида а) и б) в зависимости от длины линии при подаче на вход цепи импульса длительностью 10 мкС. Время запаздывания импульсов по НЛПІ с неоднородностями вида а) и б) в зависимости от длины представлено на рис.П.1.5. г Относительное укорочение одиночного прямоугольного импульса на выходе НЛП, определенное на уровне, равном половине установившегося значения, в зависимости от длительности импульса на входе для различных длин НЛПІ с неоднородностями вида а) и б) приведено на рис. П.І.6 и П.1.7. На рис. ПЛ.8-14 приведены аналогичные исследования НЛП2 с неоднородностями вида а) и б). Из выражения (4.6) (см. рис. П.І.І-5, П.I.8-12) следует, что начало импульса распространяется со скоростью JU. (X) ; выглаживание фронта импульса и его затухание возрастают с длиной пробега. Это приводит к относительному укорочению прямоугольного импульса с увеличением длины пробега и уменьшению длительности импульса (рис. П.1.7, 8, 13, 14).
Определение параметров неоднородной линии передачи по результатам рефлектометрии
Результаты проведенного в данной работе исследования можно суммировать следующим образом: 1. Разработан алгоритм построения асимптотических разложений для решений МСТУ в случае глобального вырождения главной матрицы системы. Показано, что построение асимптотических разложений для решений МСТУ в этом случае сводится к решению систем алгебраических уравнений, решению системы дифференциальных уравнений пониженного порядка, не зависящей от большого параметра (частоты) и квадратурам. Существенной особенностью разработанного алгоритма является то, что к решению систем дифференциальных уравнений приходится прибегать лишь на первом шаге вычислительной процедуры. 2. Выяснено, что в ряде случаев (например для симметричных НЛП), система дифференциальных уравнений пониженного порядка (не зависящая от большого параметра) распадается на скалярные уравнения, которые легко интегрируются. 3. Показано, что расчет симметричных многомодовых НЛП сводится к расчету нескольких одномодовых НЛП. Выведены расчетные формулы для коэффициентов асимптотических разложений для решений МСТУ, отвечающих многомодовым симметричным НЛП. Содержащиеся в пунктах 1-3 результаты позволяют производить расчет и проводить исследования НЛП в тех случаях, когда скорости, распространяющихся в линии ВКБ-волн тождественно совпадают на всей длине НЛП, что существенно расширяет имеющиеся ранее возможности исследования ШТУ. 4. Доказано существование равномерных асимптотических разложений для решений МСТУ в случае локального вырождения ее главной матрицы. 5. С помощью результатов п.4 получены выражения для коэффициентов, "сшивающих" ВКБ-асимптотики по обе стороны ТЛВ. Расчетные формулы представлены в виде асимптотических разложе-ний по дробным степеням малого параметра Ц.Ь2) . Степень малого параметра, по которой ведется разложение, зависит от степени вырождения матриц А0(Х) , А4(х) . От степени вырождения этих матриц зависит, также, какой из интегралов двух типов, Фурье или Лапласа, следует использовать при получении асимптотических формул для коэффициентов "сшивки". Анализ полученных расчетных формул позволяет исследовать перераспределение амплитуд ВКБ-волн при прохождении их через ТЛВ. Результаты, изложенные в пп.4-5 могут найти применение при расчетах и исследовании НЛП в случае, когда скорости ВКБ-волн, распространяющихся в линии, совпадают в некоторой ее точке (точка локального вырождения). Таким образом, становится возможным проводить расчет и исследование электромагнитных процессов в НЛП при всевозможных предположениях о спектральных свойствах главной матрицы МЗТУ. Представляют практический интерес полученные в работе расчетные формулы для ВКБ-асимптотик в следующих случаях: а) для одномодовой НЛП во всех порядках; б) первые три приближения для одномодовой НЛП, описывае мой МСТУ; в) нулевое приближение для двумодовой, вообще говоря не симметричной НЛП. Самостоятельную практическую ценность имеет проведенное с помощью разработанного комплекса программ исследование установившихся и переходных режимов НЛП: а) сравнение результатов расчета установившихся режимов с результатами, полученными численными методами (метод FyHre Кутта), а там, где это возможно и с точными методами; б) выяснение влияния последующих ВКБ-приближений на точ ность вычислений; в) изучение реакции НЛП на прямоугольный и гармонический импульсы; г) расчет коэффициентов перераспределения амплитуд ВКБ волн, распространяющихся в НЛП, имеющей ТЛВ. Исследование для конкретной НЛП вопроса "выхода на асимптотику" выражений для этих коэффициентов. Эти результаты могут быть использованы для дальнейших исследований электромагнитных процессов в НЛП, для оптимизации параметров НЛП, в системах машинного проектирования НЛП, а также различных информационных и радиотехнических устройств. Особенно перспективным представляется использование результатов частичного определения параметров НЛП по результатам рефлектометрии, которые могут найти применение в задачах синтеза НЛП по заданным характеристикам.
