Содержание к диссертации
Введение
1 Флуктуационно - диссипационная теория открытых квантовых систем 15
1.1 Введение 15
1.2 Поведение системы при наличии сторонних сил и полей. Теория S - матрицы 15
1.3 Линейные и нелинейные отклики и их свойства 18
1.4 Флуктуационно - диссипационная теория 23
1.5 Гауссовы переменные и их свойства. Гармонический осциллятор. 27
2 Статистическая квантовая электродинамика 33
2.1 Стохастические уравнения для нелинейных квантовых систем, взаимодействующих с гауссовым термостатом 33
2.2 Броуновское движение релятивистского электрона в фотонном термостате 36
2.3 Расходимости и перенормировки в классической и квантовой электродинамике 41
2.4 Нерелятивистское приближение 46
2.5 Заключение 50
3 Эффект квантовой нелокальности и радиационное затухание электрона Дирака 52
3.1 Введение 52
3.2 Коэффициент радиационного трения 54
3.3 Эффект пространственно-временной квантовой нелокальности 57
3.4 Вычисление коэффициента радиационного затухания электрона в релятивистском случае 60
3.5 Взаимосвязь коэффициента трения, электромагнитной массы электрона и лэмбовского сдвига уровней 68
3.6 Заключение 71
4 Эффект квантовой нелокальности и статистическая теория лэм бовского сдвига энергетических уровней 74
4.1 Введение 74
4.2 Исходные уравнения и постановка задачи 76
4.3 Вычисление лэмбовского сдвига энергетических уровней 78
4.4 Выводы 82
Заключение 84
- Поведение системы при наличии сторонних сил и полей. Теория S - матрицы
- Броуновское движение релятивистского электрона в фотонном термостате
- Эффект пространственно-временной квантовой нелокальности
- Исходные уравнения и постановка задачи
Введение к работе
Задача о взаимодействии электрона с его собственным полем излучения рассматривается в физике на протяжении многих десятилетий [1-23], активно обсуждается в учебниках и монографиях [24, 25]. Радиационное затухание, представляющее собой реакцию собственного поля излучения на движение заряженной частицы, является одним из фундаментальных эффектов электродинамики и затрагивает наиболее принципиальные вопросы физической теории. Для рассмотрения этой задачи в рамках классической электродинамики характерны две особенности: предположение о точечное заряда электрона и существенная нелинейность взаимодействия между полем и частицей — частица генерирует поле, которое воздействует на частицу. Однако, такое самовоздействие не может быть представлено как последовательность процессов, описываемых линейным волновым уравнением и линейным дифференциальным уравнением конечной степени. Кроме этого, для точечной частицы собственная электромагнитная энергия и энергия взаимодействия бесконечны, вследствие чего самовоздействие допускает корректное описание лишь при устранении расходимостей [24]. Таким образом, основные трудности физического понимания и строгой теоретической трактовки данного явления обусловлены как предположением о точечности заряда электрона, так и принципиально нелинейным характером взаимодействия электрона с собственным полем излучения. В результате классического рассмотрения этой задачи получается формула для радиационной силы трения Абрагама-Лоренца [36],которая приводит к хорошо известному парадоксу само ускорения [24, 26]: состояние электрона с определенной скоростью оказывается неустойчивым, и электрон за очень короткий промежуток времени приобретает ультрарелятивистскую скорость. Кроме этого, решение, следующее из соответствующего уравнения Лоренца, не удовлетворяет принципу причинности [24, 2]. Вследствие указанных парадоксов радиационную силу, строго говоря, нельзя считать малой. Тем не менее, традиционный способ решения классических задач с учетом реакции излучения основан на формальном использовании малости радиационной силы, то
есть выражение для радиационной силы трения Абрагама-Лоренца рассматривается как возмущение в уравнении Лоренца [24, 26].
Эти проблемы, возникшие в начале двадцатого столетия, до сих пор продолжают привлекать к себе внимание многих исследователей ввиду особой важности их решения [2-23]. Наиболее известный подход к устранению парадоксов заключается в "размазывании "заряда электрона по некоторой области пространства, причем модель распределения заряда не играет особой роли [25, 2]. Однако такой подход непоследователен и является феноменологическим, поскольку до настоящего времени структура электрона остается неизвестной [30]. Кроме этого, результаты такого "размазывания"драматически меняются, если размер электрона в выбранной модели меньше его классического радиуса, хотя, конечно, такие пространственные масштабы не являются областью действия классической электродинамики. Если же попытаться последовательно устранить расходимости (путем перенормировки собственной энергии электрона) и строго учесть релятивистские свойства электрона [9], то даже несмотря на это, не удается избежать парадоксов в теории радиационного трения. Физически это связано с тем, что классическая электродинамика исходит, как выше было указано, из идеализации точечное частицы. Реакция собственного поля излучения заряженной точечной частицы приводит к ее ускорению и нарушению принципа причинности. Поэтому все многочисленные попытки устранить противоречия теории радиационного затухания в рамках классической электродинамики, не распределяя заряд, не увенчались успехом [11,18-20,23]. Это произошло ещё и потому, что радиационное затухание, как и закономерности теплового поля излучения, имеет принципиально квантовую природу.
В квантовой теории рассматриваемая проблема приобрела ещё большую значимость, так как оказалась связанной с влиянием на электрон флуктуаци-онного поля электромагнитного вакуума, которое нельзя исключить и которое отсутствует в классической физике.
Несмотря на значительные успехи квантовой электродинамики, применение ее традиционных методов к решению базовых задач о взаимодействии
заряженных частиц с электромагнитным полем натолкнулось на определенные трудности. Среди них так и нерешенная до конца задача о радиационном затухании электрона, появление расходимостей при вычислении электродинамических эффектов, а также значительное усложнение расчетов, например, лэмбовского сдвига при увеличении их точности.
При построении квантовой теории радиационного затухания используются различные подходы и приближения. Прежде всего была попытка перенести достижения классической физики в квантовую область. Так, например, в работе [2] рассматривался нерелятивистский электрон со сферически распределенным зарядом, взаимодействующий с квантованным электромагнитным полем. В результате обнаружилось, что если стремить радиус электрона к нулю, то самоускоренных решений не будет в отличие от классической физики. Более того, прибавка к собственной массе электрона за счет статического электрического поля не только конечная (напомним, что в классической электродинамике она равна бесконечности при нулевом радиусе электрона) — она зануляется! Следовательно, перенормировка массы электрона становится ненужной. Объясняется это некоммутативностью операторов координаты электрона в различные моменты времени, а также тем, что даже в нерелятивистской квантовой теории взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем появляется характерный пространственный масштаб — комптоновская длина волны. Однако, в этой работе не учтены флуктуации электромагнитного вакуума, собственная энергия которых бесконечна, и основной вклад в бесконечность дают моды с большим волновым вектором. Таким образом, если флуктуации учесть, то в случае точечного электрона это даст бесконечную прибавку к его собственной энергии.
Другие авторы пытались учесть флуктуационный характер квантованного электромагнитного поля, однако рассматривали при этом равновесную ситуацию — электрон находился в термодинамическом равновесии с излучением абсолютно черного тела. Например, в ряде работ [4, б, 7] было показано, что частица, взаимодействующая с термостатом, во внешнем детерминированном поле описывается моделью броуновского движения. В качестве термостата
в их задаче выступала цепочка невзаимодействующих гармонических осцилляторов — моды электромагнитного поля. Движение электрона подчинялось уравнению Ланжевена, а влияние термостата сводилось к двум параметрам -температуре и коэффициенту трения. Однако под трением здесь подразумевается влияние термостата, а не самовоздействие частицы. Поэтому в случае точечного электрона даже при квантовомеханическом рассмотрении не удалось избежать вышеуказанных парадоксов.
Еще один подход при рассмотрении задачи о взаимодействии электрона как с собственным полем, так и полем электромагнитного вакуума, заключается в использовании метода Фейнмана-Вернона [44]. Этот метод изначально создавался в качестве общего формализма для нахождения квантовых эффектов, обусловленных влиянием окружающей системы на динамическую подсистему, и был построен на базе лагранжевой трактовки квантовой механики, предложенной Фейнманом. Его недостатком явилось то, что он не позволял учесть свойства электрона, не имеющие аналогов в классической механике, как, например, спин. В то же время, методы, основанные на гамильтоновом формализме, позволяют сделать это естественным образом. Кроме этого, в большинстве случаев расчеты методом Фейнмана-Вернона гораздо более сложны. Это связано с тем, что искомой величиной является матрица плотности динамической подсистемы, что затрудняет непосредственный поиск уравнения движения электрона, необходимого в нашей задаче. Отсюда, кстати, следует наиболее типичная область исследований, где применяется указанный метод, — изучение влияния флуктуации на интерференционные эффекты в квантовой механике, что и делается, например, в ряде работ [5].
Ещё один из возможных путей решения проблемы радиационного затухания и взаимосвязанных проблем расходимостей, перенормировок и частотного лэмбовского сдвига уровней основан на предложенных в работах [39, 40, 41] методах флуктуациошю-диссипационной теории нелинейных открытых квантовых систем, представляющих собой обобщение линейной теории броуновского движения квантовых систем, развитой Швингером и Сеницким [33, 34, 35]. Наряду с последовательным полевым подходом при статистическом описании вза-
имодействия электрон-позитронного поля с квантовым полем излучения возможно рассмотрение одноэлектронной квантовой электродинамики [27, 28, 32]. Такая возможность обусловлена тем, что радиационное затухание, лэмбовский сдвиг уровней и ряд других явлений представляют собой эффекты самовоздействия электрона через квантовое поле излучения. Успешное решение задач, связанных с поведением электрона Дирака в заданных внешних полях, в частности, в кулоновском потенциале приводит к убеждению о правомерности одночастичной квантовой электродинамики, рассматривающей взаимодействие релятивистского электрона с квантовым электромагнитным полем. Попытка такого рассмотрения была осуществлена в работе [8]. Была найдена общая формула для силы радиационного трения электрона, взаимодействующего как с собственным полем излучения, так и с полем электромагнитного вакуума, вычислена мнимая часть коэффициента радиационного затухания и показано, что она совпадает с известным классическим результатом в предельном случае малых частот. Именно этот метод используется в представленной диссертационной работе, которая имеет целью теоретическое исследование взаимодействия электрона Дирака с полем электромагнитного вакуума и эффектов, следующих из этого взаимодействия, с позиций флуктуационно-диссииационной теории открытых квантовых систем. А именно:
Построение последовательной теории радиационного затухания электрона Дирака.
Вычисление одного из квантово-электродинамических эффектов — лэм-бовского сдвига без обращения к процедуре перенормировок физических постоянных.
Диссертационная работа состоит из четырех глав. Первая глава диссертации посвящена краткому изложению исходных положений, с помощью которых описываются флуктуационно-диссипационные процессы в открытых квантовых системах и на которых основаны дальнейшие исследования. Приведены некоторые результаты нестационарной теории возмущений, опирающейся на формализм S-матрицы. Определены используемые в дальнейшем понятия ли-
нейного и нелинейного откликов (функций Грина), возникающих в системах при наложении внешних сил, и проанализированы их свойства. Кратко рассмотрены общие вопросы статистического описания систем, включая использование временных и спектральных характеристик флуктуации как в классической, так и в квантовой областях. Основу теории составляет флуктуационно-диссипационная теорема. Вводится понятие гауссовых переменных и их основные свойства. Показывается, что переменные гармонического осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с термостатом, имеют гауссову статистику.
Во второй главе рассматриваются особенности взаимодействия динамической системы с диссипативным окружением на основе микроскопической флук-туационно-диссипационной теории. Единственное предположение о гауссово-сти флуктуации невозмущенных переменных термостата позволяет написать стохастические уравнения движения для некоторой выделенной части полной системы — динамической подсистемы, взаимодействующей с диссипативным окружением (термостатом). Таким образом, теория строиться на основе статистических предположений и не опирается на малость константы взаимодействия. Рассмотрена динамическая подсистема, взаимодействующая с термостатом и находящаяся под воздействием внешней силы f(t). Считалось, что взаимодействие включается адиабатически в момент времени t = —со, причем невозмущенные переменные термостата Q (t) в начальном состоянии являются гауссовыми переменными. Из получившегося стохастического уравнения следует, что поведение динамической подсистемы, взаимодействующей с гауссовым термостатом, исчерпывающим образом определяется временной функцией корреляции и линейным откликом термостата на заданное внешнее воздействие. Стохастические уравнения для переменных динамической подсистемы играют роль, подобную кинетическим уравнениям. Вместе с тем эти уравнения имеют значительно более широкую область применимости. Во-первых, они позволяют вычислять в принципе любые статистические характеристики системы. Во-вторых, динамическая подсистема может находиться в сильно неравновесном состоянии, и потому стохастические уравнения одинаково при-
менимы как в квазиравновесных, так и сильно неравновесных состояниях.
Данный метод применяется к проблеме броуновского движения электрона Дирака в поле электромагнитного вакуума. Для решения поставленной задачи используется одноэлектроннос приближение. Невозмущенные переменные электромагнитного поля подчиняются гауссовой статистике с найденной корреляционной функцией Mij(k,t) и функцией Грина фотона Ду(к,і). В результате получается замкнутые уравнения в гейзенберговском представлении для операторов координаты и импульса электрона, учитывающее запаздывание взаимодействия между электроном и квантованными полями излучения и электромагнитного вакуума. Приводится выражение для силы, действующей на электрон со стороны поля, из которого получаются все основные результаты диссертации. Квантовое уравнение движения электрона Дирака нелинейно из-за наличия экспоненциальных множителей с операторами координаты в показателях. По этой причине анализ уравнений движения наталкивается на значительные трудности. Первое приближение, которое использовалось, было нерелятивистским. Было показано, что в этом случае проблемы, присущие задаче радиационного трения, не исчезают, а для устранения расходимостей при вычислении всегда можно провести процедуру перенормировки. Было найдено выражение для действительной части коэффициента радиационного затухания и, исходя из него, продемонстрировано устранение расходимости массы электрона. В заключении сформулированы основные результаты второй главы.
Вопросы, рассмотренные в третьей главе, связаны с решением проблемы радиационного затухания электрона в релятивистском случае. В основу расчетов положено выражение для силы взаимодействия электрона с электромагнитным полем, найденное во второй главе. Основной вклад в затухание вносят первые два слагаемых в выражении для силы. В этом приближении получено уравнение движения электрона. Показано, что это уравнение можно свести к случаю движения частицы с трением, определяемым коэффициентом радиационного затухания. Было найдено явное выражение для коэффициента радиационного затухания. Отличительной чертой радиационной силы тре-
ния, определяемой найденным коэффициентом, является автоматический учёт принципа причинности и запаздывания взаимодействия электрона с собственным полем излучения, которое связано с конечностью скорости распространения света и некоммутативностыо гейзенберговских операторов координаты электрона, взятых в различные моменты времени. Принципиально нелинейная зависимость радиационной силы от операторов координаты определяется произведением экспоненциальных множителей. В квантовой электродинамике в отличие от классической имеется фундаментальный малый параметр - постоянная тонкой структуры. Благодаря этому, при вычислении коэффициента радиационного затухания достаточно воспользоваться приближением свободной эволюции для оператора координаты электрона. В результате мы получили, что дисперсия приращения координаты для электрона Дирака оказывается конечной в собственной системе координат благодаря наличию собственных (внутренних) степеней свободы, задаваемых матрицами Дирака. В этом случае произведение экспонент переписывается в более простом виде. В частности, замена функции Грина фотона Dji(k,т) —) Dji(k,T) = Dji(k,г) cosа\ск (а — параметр нелокальности) учитывает вклад области больших передаваемых импульсов фотонов собственного поля излучения электрона в силу реакции на релятивистский электрон. Таким образом, эффект квантовой пространственно-временной нелокальности обусловлен как конечностью значения дисперсии приращения координаты, так и фазовым множителем в показателе экспоненты, обусловленным некоммутативностью оператора координаты в различные моменты времени. Используя этот результат, была вычислена линейная восприимчивость электрона, в которую входит коэффициент радиационного затухания. В простейшем случае она принимает вид, из которого следует уравнение движения электрона во внешнем электрическом поле.
2 е2 1 h
Поскольку радиационная сила трения «включается» с опозданием на время to, приближенно можно считать, что в течение этого времени электрон двигается только под действием внешнего поля. Тогда для больших промежутков време-
ни мы получаем хорошо известное уравнение, применяемое для практических вычислений, но с некоторым принципиальным отличием: электрон взаимодействует с электрическим полем с опозданием на время прохождения светом комптоновской длины волны. Таком образом, показано, что конечное значение дисперсии приведет к запаздыванию взаимодействия между электроном и собственным полем излучения, что снимает известные парадоксы радиационного затухания и логарифмическую расходимость в квантовой электродинамике. Запаздывание определяется временем прохождения светом характерного размера электрона to. Следовательно, квантовая теория радиационного затухания - это принципиально немарковская теория, учитывающая запаздывание взаимодействия между электроном и полем излучения. Так как характерное время запаздывания взаимодействия определяется энергией покоя тс2, то квантовая теория оказывается принципиально релятивисткой теорией. Кроме этого, было показано, что коэффициент радиационного трения релятивистского электрона определяет лэмбовский сдвиг энергетических уровней и дополнительный вклад в электромагнитную массу электрона, а именно, лишь часть массы электрона определяется электромагнитным полем, в отличие от классической теории, где предполагается, что вся масса электрона имеет электромагнитный характер. В заключении сформулированы основные результаты третьей главы.
В четвертой главе излагается последовательная статистическая теория лэм-бовского сдвига уровней электрона, находящегося в кулоновском поле. Основная особенность и достоинство предлагаемой статистической теории лэмбов-ского сдвига уровней заключается в отсутствии расходимостей и, следовательно, необходимости процедуры перенормировок. Слагаемые, содержащие градиент в выражении для силы взаимодействия электрона с электромагнитным полем, отвечают за особенности радиационного затухания для связанных состояний и определяют также лэмбовский сдвиг уровней, обусловленный параметрическим воздействием на электрон флуктуации электромагнитного вакуума. Вследствие этого приводится часть силы, непосредственно определяющей лэмбовский сдвиг уровней. Благодаря введению оператора Лиувилля ^„(к, t — ti),
описывающего эволюцию во времени электрона в атоме водорода, удалось преобразовать коммутатор в выражении для силы Лоренца, благодаря чему оно значительно упростилось, и все особенности взаимодействия электрона и вакуумного электромагнитного поля свелись к одному единственному параметру нелокальности Ап. Показано, что воздействие на электрон флуктуации электромагнитного вакуума приводит к насыщению кулоновского взаимодействия на малых расстояниях, которое определяется эффективным потенциалом с размером области насыщения Лп:
Этот потенциал приводит к изменению энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме (лэмбовскому сдвигу уровней). Точность вычисления лэмбовского сдвига будет определяться точностью вычисления характерной длины Лп. Получена общая формула для лэмбовского сдвига уровней в атоме водорода с учётом только первых неисчезающих членов разложения по малому параметру Лп/(боровский радиус). Было проведено сопоставление значения лэмбовского сдвига, вычисленного с учетом эффекта квантовой нелокальности, с хорошо известным результатом, полученным на основе процедуры перенормировок. В частности из нашего выражения с учетом сдвига 2Р уровня следует значение частоты перехода 2S — 2Р, несколько превышающее экспериментальное значение. В то же время значение, полученное в тех же приближениях на основе процедуры перенормировок оказывается значительно меньше экспериментального. В заключении сформулированы основные результаты четвертой главы.
На защиту выносятся следующие положения:
Нелокальная нелинейная зависимость обобщенной радиационной силы трения от динамических переменных электрона учитывает как реакцию собственного поля излучения электрона, так и воздействие вакуумного электромагнитного поля.
Дисперсия приращения координаты за промежуток времени г = t — tY
для электрона Дирака конечна в собственной системе координат:
(r^-r^Of^sinW ,
где Лс = h/mc, oj0 — mc2/h.
Замена функции Грина фотона Dji(k, т) —> Dji(k,r) = Dji(k, т) cos аХск (а - параметр нелокальности) учитывает вклад области больших передаваемых импульсов фотонов собственного поля излучения электрона в силу реакции на релятивистский электрон.
Выражение для радиационной силы трения содержит запаздывание взаимодействия между электроном и собственным полем излучения на расстоянии порядка комптоновской длины волны, что исключает известные парадоксы классической теории Абрагама-Лоренца.
Коэффициент радиационного трения релятивистского электрона определяет лэмбовский сдвиг энергетических уровнеіі и дополнительный вклад в электромагнитную массу электрона.
6. Последовательная статистическая теория лэмбовского сдвига уровней
свободна от расходимостей и необходимости обращения к процедуре перенор
мировок и выходит за рамки стандартной теории возмущений по константе
взаимодействия. Найдена аналитическая зависимость смещения 2S-1S энерге
тических состояний электрона в водородоподобном атоме, учитывающая все
порядки теории возмущений по постоянной тонкой структуры.
Работа была выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского. Основные результаты диссертационной работы были представлены на Ежегодной конференции по радиофизике, Нижний Новгород, май 1999-2005 г., а также на семинарах кафедры квантовой радиофизики ННГУ и Института прикладной физики РАН.
По результатам, представленным в отдельных главах, опубликованы следующие работы: Глава 2 - работы [58-60,62]; Глава 3 - работы [58,61,65]; Глава 4 - работы [63,64].
Поведение системы при наличии сторонних сил и полей. Теория S - матрицы
В параграфе первом данной Главы приведены некоторые результаты нестационарной теории возмущений и теории S - матрицы, а также теории линейного и нелинейного откликов, которые понадобятся нам в дальнейшем изложении. В параграфе втором приведено краткое описание статистических свойств макросистем. Основное внимание уделено определению и физическому смыслу временных и спектральных характеристик флуктуации физических величин. На простом физическом примере продемонстрирована единая статистическая природа флуктуации и диссипативных свойств системы. Предварительно рассмотрим задачу об эволюции системы при наличии произвольного, зависящего от времени возмущения (смотри, например, [36]). При этом будем интересоваться точным решением, не прибегая к каким-либо приближениям. Для простоты предположим, что состояние системы описывается волновой функцией. Тогда изменение состояния с течением времени будет определяться уравнением Шредингера где гамильтониан системы Н состоит из суммы гамильтониана HQ невозмущенной системы и оператора возмущения V(t): В частном случае, когда переменное во времени возмущение равно нулю, решение уравнения имеет вид Полное решение уравнения (4), как показано, например, в [36], будет иметь вид суммы слагаемых всех порядков по возмущению V: Здесь символом Т обозначен оператор упорядочения во времени, который действует по правилу k Vint(t2)Vint{t1),t1 t2. Так как символ T, примененный к каждому из слагаемых, располагает их в нужном порядке, то под знаком упорядочения во времени мы можем располагать оператор как угодно, иначе говоря, можно забыть на время, что мы имеем дело с некомму тирующими операторами. Тогда бесконечную сумму в фигурных скобках (5) можно записать в виде и представить решение (5) в очень компактной форме носит название S -матрицы. Соотношение (6) нужно понимать так, что сначала экспонента разлагается в ряд, а затем к каждому из слагаемых применяется оператор упорядочения во времени. Таким образом, эволюция состояния (в представлении взаимодействия), обусловленная возмущением V(t), определяется S - матрицей (6).
Это означает, что если известно состояние в начальный момент времени t — 0, то, чтобы получить состояние в последующим момент времени t О, необходимо подействовать оператором (6) на Ф(0). Здесь мы для простоты выбрали начальный момент времени t0 = 0. Отодвигая начальный момент tQ -» — со, по аналогии имеем В представлении взаимодействия операторы изменяются с течением времени также, как гейзенберговские операторы в отсутствии возмущения V(t): Для вычисления средних значений физических величин несущественно, каким представлением пользоваться. Однако, при исследовании временных характеристик флуктуации удобно перенести всю эволюцию во времени на операторы, т.е. перейти к гейзенберговскому представлению: Выражение (9) является точным. В нем содержится информация о "динамическом "поведении системы с течением времени. Очевидно также, что выражение для гейзенберговских операторов не зависит от того, описывается ли начальное состояние волновой функцией или матрицей плогности. Отметим некоторые свойства . -матрицы, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Поскольку б -матрица определяет эволюцию состояния с течением времени, то -матрица унитарна и при t ti удовлетворяет соотношению В частности, из (10) следует Данный раздел посвящен описанию основных явлений, возникающих в системе при наложении внешних сил (полей). Для простоты выделим в системе одну изменяющуюся во времени величину х, причем воздействие внешней силы f(t) на эту систему может быть описано введением добавочного члена в гамильтониан системы здесь х — оператор данной физической величины х. Полный гамильтониан системы окажется равным Поскольку мы рассматриваем устойчивые макроскопические системы, то в отсутствии каких-либо возмущений до "включения"сил система будет находиться в состоянии равновесия при некоторой температуре Т. Состояние термодинамического равновесия описывается распределением Гиббса р — матрицы плотности [45] где F — свободная энергия. Внешняя сила /() может быть включена в любой заданный момент времени. Для определенности будем считать, что момент включения силы t — —со. Тогда изменение силы во времени может быть произвольным за счет условия /(—со) = 0. Среднее значение физической величины х в момент времени t определяется как и не зависит от времени. Выберем оператор х таким образом, чтобы это среднее было равно нулю. В присутствии внешней силы fit) оператор величины х в момент времени t, согласно (9), будет равен б -матрица (13) отличается от (7) тем, что была введена единичная функция Хевисайда и тем самым формально продолжена область интегрирования по времени до -Ьоо. Поскольку эволюция во времени случайной величины известна и задано начальное статистическое распределение системы, то можно определить все статистические характеристики случайной величины х, точно также, как и в случае термодинамического равновесия.
Отличие в данном случае состоит в том, что среднее значение величины х отлично от нуля и не зависит от изменения внешней силы f(t). Для описания многих физических явлений, возникающих при наложении внешних сил, достаточно знания среднего значения физической величины. Для нахождения среднего значения величины х при воздействии на нее силы f(t) проведем усреднение по распределению Гиббса Рассмотрим случай очень малой силы f(t) такой, что среднее значение (14) можно считать линейной функцией от f(t). Тогда, разлагая б -матрицу в ряд по степеням силы f(t) и оставляя в (14) члены до первого порядка по /(), получим называется линейной функцией реакции или функцией отклика. Формула (16) дает точное выражение для линейной функции реакции через определенные комбинации временных корреляций второго порядка в состоянии термодинамического равновесия. Таким образом, явления переноса, возникающие при наложении слабой внешней силы, будут определяться статистическими свойствами системы в состоянии термодинамического равновесия. В этом смысле задача теории явлений переноса аналогична традиционной задаче статистической механики — нахождение термодинамических свойств системы. Существенное отличие функции реакции, однако, состоит в том, что она зависит от временной эволюции случайных величин, а не только от статистических свойств в данный момент времени. Точные формулы (16) были установлены в работах Кирквуда, Грина, Кубо, Мори. Определение функции реакции согласно формуле (16) позволяет автоматически учесть принцип причинности. Принцип причинности требует, чтобы значение величины х в момент времени t определялось лишь значением силы в предыдущие моменты времени t t\. В определении (16) это учтено тем, что ip(t,tx) обращается в нуль, если t t\. Отметим свойства функции реакции. Так как внешняя сила и среднее значение физической величины (эрмитовского оператора) действительны, то и функция реакции действительна В силу однородности во времени невозмущенной системы функция реакции будет зависеть лишь от разности моментов времени где x - шредингеровский оператор.
Броуновское движение релятивистского электрона в фотонном термостате
Рассмотрим взаимодействие релятивистского электрона с квантовым полем излучения ц некоторым внешним потенциальным полем V(r,t). Для исследования радиационных эффектов целесообразно воспользоваться гейзенберговской картиной движения. Прежде всего, гейзенберговские уравнения движения для динамических переменных электрона в свободном пространстве допускают точное решение, впервые полученное в 1930 году Э. Шредингером [28]. Кроме этого имеют место точные стохастические уравнения для динамических переменных электрона, как показано в первом параграфе данной главы. В гейзенберговской картине движения все динамические переменные рассматриваемой системе явно зависят от времени и входят в уравнения движения равноправным образом. Поэтому исходный гамильтониан системы представим в виде: где F(t) — гамильтониан квантового поля излучения, Ao(r(t),t) и А(г(t),t) — потенциалы поля излучения, a(t) и J3(t) — матрицы Дирака, которые в один момент времени подчиняются известным [28] перестановочным соотношениям, например, Распорядимся калибровочной симметрией, выбирая поперечную калибровку для потенциалов поля В гейзенберговском представлении потенциалы поля являются функциями координаты электрона г(), поэтому их удобно представить в виде разложения Фурье: где компоненты Фурье Aj(k,t) явно не содержат переменных электрона. Канонически сопряженные с Aj(k,i) компоненты плотности тока находим из гамильтониана (63) согласно Запишем уравнения Гейзенберга для динамических переменных рассматриваемой системы. Для Фурье компонент Aj(k,t) потенциалов поля из гамильтониана (63) следуют уравнения представляющие собой уравнения Максвелла для поля излучения при взаимодействии с электроном. Запишем также уравнения Гейзенберга для динамических переменных электрона. Из гамильтониана системы (63) следует, в частности, квантовый аналог уравнения Лоренца есть кинетический импульс электрона, a Pj(t) —- канонический импульс электрона. Особенность квантового аналога силы Лоренца, действующей на электрон со стороны поля излучения в правой части (68) состоит в том, что она определяется полной производной от векторного потенциала, благодаря чему содержит более простое слагаемое, зависящее от оператора скорости fj(i) = caj(t).
Будем считать, что взаимодействие источника поля, электрона, с полем излучения включается адиабатически медленно в бесконечно удаленный момент времени t = —со. До включения взаимодействия имеем систему невзаимодействующих частиц: электрон в некотором состоянии ф Є Г и поле излучения в основном состоянии (все числа фотонов n s С учетом адиабатического включения взаимодействия решение уравнения (67) имеет вид: Здесь Л(к,і) есть невозмущенное поле электромагнитного вакуума. Второе слагаемое, определяемое функцией Грина фотона Dji(k, t — ti), есть собственное поле излучения электрона. В принятой калибровке (64) функции Грина имеют вид [36] где единичная функция Хевисайда учитывает запаздывание взаимодействия электрона с полем излучения. Другие компоненты функции Грина Dj0(k.,r)u -Doo(k, т)в кулоновской калибровке соответственно равны: Учитывая приведенное выражение для DQ0(k,г), легко показать, что скалярный потенциал A0(r,t) не будет давать вклад в уравнение (68) и в последующем рассмотрении будет опущен. Подставим точное решение (69) в выражение для векторного потенциала (66), определяющее квантовую силу Лоренца в уравнении (68). После симметризации произведения коммутирующих между собой операторов AjQi,t) и ехр(гкг()) получим Второе слагаемое силы Лоренца (68) после подстановки решения (69) может быть записано в такой форме: Первое слагаемое в (71) определяет параметрическое воздействие флуктуации вакуумного поля на электрон, что дает определенный вклад в динамику наряду со вторым слагаемым в (71) и одновременно включает в себя флуктуацион-ный источник вакуумного поля. Для того чтобы выделить вклад в динамику флуктуации электромагнитного вакуума, необходимо исключить из уравнения движения электрона вакуумные потенциалы поля. Подобная процедура исключения фононных переменных при выводе обобщенного кинетического уравнения для электронов проводимости была рассмотрена в работе [42]. В соответствии с методами, предложенными в [41], имеем: Единичная функция Хевисайда r)(t — ti) в (73) учитывает принцип причинности при параметрическом воздействии на электрон поля электромагнитного вакуума. Функция корреляции Mji{k,t — ii) определяется соотношением В соответствии с флуктуационно-диссипационной теоремой (ФДТ) Каллена-Велтона мнимая часть функции Грина фотона определяет спектральную плотность флуктуации потенциалов поля причем T = 0 автоматически соответствует электромагнитному вакууму. В соответствии с общей теорией [41], флуктуационные источники j(i) строго определены с указанием рецепта вычисления функции корреляции любого порядка.
В итоге получим уравнение, описывающее броуновское движение релятивистского электрона Дирака в поле электромагнитного вакуума где j(t) есть строго определенный флуктуационный источник с равным нулю средним значением по вакуумному состоянию поля. Обобщенная радиационная сила трения Fj(t) учитывает как реакцию собственного поля излучения на электрон, так и воздействие флуктуации вакуумного поля. Выражение радиационной силы Fj(t) в (76) с учетом (72) имеет вид Заметим, что при записи второго слагаемого силы Лоренца в форме (72) необходимо дополнительно учесть спаривание Л(к,і) с оператором VJ; действующим на него слева, которое будет приведено в четвертой главе. Наличие Vj в выражении для радиационной силы F, (t) позволяет непосредственно определить перенормировку потенциальной энергии V(r) за счет флуктуации электромагнитного вакуума и на основе этого вычислить смещение Лэмба. Радиационная сила в форме (77) оказывается более предпочтительной для всестороннего исследования квантовомеханпческих эффектов радиационного трения. Точное выражение радиационной силы (77) включает оба тесно взаимо связанных между собой механизма радиационного трения, учитывающих как воздействие на электрон флуктуации электромагнитного вакуума, так и соб ственного поля излучения. Совместный учет указанных физических механиз мов имеет принципиальное значение для исследования на основе (76) и (77) \ различных электродинамических эффектов. Кроме этого, из строгого выражения (77) следует равенство нулю среднего значения радиационной силы в состоянии термодинамического равновесия электрона с полем излучения. Чтобы доказать это свойство, следует записать среднее значение (77) в спектральной форме и воспользоваться флуктуационно-диссипационной теоремой Калена-Вельтона. 2.3 Расходимости и перенормировки в классической и квантовой электродинамике Появление расходимостей в задачах электродинамики указывает на неудовлетворительность физической теории. Возникает проблема принципиального значения, заключающаяся в устранении расходимостей и доказательстве перенормируемости уравнений движения в физической теории. Расходимости присущи как классической, так и квантовой электродинамике. В классической электродинамике расходимости, обусловленные особенностями функций Грина электромагнитного поля на малых расстояниях приводят к бесконечному значению электромагнитной массы электрона. Фактически это означает, что электродинамика неприменима, по крайней мере, на расстояниях, меньших классического радиуса электрона. Ниже мы проанализируем проблемы расходимостей при переходе от классического описания релятивистского электрона к квантовомеханическому на основе уравнения Дирака для электрона, взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем.
Эффект пространственно-временной квантовой нелокальности
Проблема радиационного трения и электромагнитной массы электрона возникла до создания квантовой теории в начале двадцатого века. Основополагающий вклад в классическую теорию радиационного трения внесли Абра-гам, Лоренц [1] и Дирак [10]. Основные результаты, изложенные в учебниках [25, 26] и монографиях [24], активно дискутируются в литературе на протяжении многих десятилетий (обширная библиография по этому вопросу содержится в [24]). Классическая формула радиационной силы трения Абрагама-Лоренца [1] приводит к хорошо известному парадоксу самоускорения [25, 26]. Именно, при наличии силы (104) состояние электрона с определенной скоростью оказывается неустойчивым, и электрон за очень короткий промежуток времени г0= 10_23сек. приобретает ультрарелятивистскую скорость. Кроме этого, радиационная сила (104) противоречит принципу причинности [2, 8]. Физическая причина парадоксов и расходимостей классической электродинамики обусловлена идеализацией точечности заряженной частицы - электрона. Так как классический электрон не имеет внутренней структуры и является точечным, то запаздывание взаимодействия между электроном и его собственным полем излучения отсутствует, вследствие чего и возникают известные парадоксы радиационного трения. Отсутствие запаздывания взаимодействия между электроном и полем излучения приводит также к расходимостям. В классической электродинамике масса электрона оказывается бесконечной. В последнее время вновь возрос интерес к проблеме радиационного трения. Это относится как к классической, так и к квантовой теории. В классической теории основной интерес представляет радиационное трение в релятивистских задачах [9, 32]. В работе [9] была предложена процедура устранения расхо-димостей в классической электродинамике и дано точное решение задачи о реакции собственного поля излучения релятивистского точечного электрона. В работе [32], также как и в [9], рассмотрена реакция излучения при учете перенормировки в классической теории поля с сингулярными источниками.
В ряде работ рассматривается реакция излучения в различных моделях классической теории поля (см. например [17]). Критический анализ существующей классической теории и предложения её различных модификаций приведены, например, в [18]. Попытка устранения парадоксов радиационного трения в рамках классической электродинамики предпринята в [19]. Однако, несмотря на значительные усилия при последовательном классическом способе описания реакции излучения нельзя избежать парадоксов в теории радиационного трения. Появление квантовой теории не привело к автоматическому устранению парадоксов радиационного трения. Проблема квантовой теории радиационного трения существует на протяжении многих десятилетий и для её решения предложены разнообразные подходы и приближения [2-8,13-16,20,22]. Один из возможных путей решения проблемы радиационного трения с выходом за рамки теории возмущений основан на методах флуктуационно-диссипационной теории нелинейных открытых квантовых систем [39-41]. Эта теория не опирается на предположение марковости и малости взаимодействия. Постановка задачи и исходные уравнения сформулированы в ряде работ как для полевой релятивистской теории [37,38], так и одночастичной модели статистической квантовой электродинамики [8]. Как известно, релятивистский электрон имеет внутренние степени свободы, определяемые матрицами Дирака. Наличие внутренней структуры (степеней свободы) у электрона Дирака приводит к установленному в [58] эффекту квантовой нелокальности, явно учитывающему запаздывание взаимодействия между электроном и собственным полем излучения. Вследствие этого устраняются парадоксы классической теории радиационного трения. Таким образом, в [58] показано, каким образом в локальной квантовой теории возникает запаздывание взаимодействия между источником поля (зарядом) и его полем излучения. В [58] рассмотрен лишь один из механизмов радиационного трения, обусловленный реакцией собственного поля излучения. В настоящей работе исследован чрезвычайно важный релятивистский эффект запаздывания взаимодействия как с собственным полем излучения, так и флуктуационным полем электромагнитного вакуума. Вследствие этого рассматриваемые эффекты приобретают особый квантовостатистический характер. Дополнительный учет флуктуационного поля электромагнитного вакуума в запаздывании взаимодействия принципиально важен для исследования радиационных эффектов, имеющих существенно статистическую природ} , таких как смещение Лэмба и аномальный магнитный момент электрона, так как запаздывание взаимодействия приводит к исключению расходимостей при вычислении указанных эффектов. Взаимодействие электрона Дирака с полем электромагнитного вакуума и собственным полем излучения служит одновременно фундаментальным механизмом релаксации и флуктуации.
Постановка задачи, следующее из неё уравнение движение и выражение для радиационной силы, действующей на электрон Дирака, приведены в Главе 2. Здесь мы исследуем особенности эффекта радиационного трения, обусловленные запаздыванием взаимодействия как с собственным полем излучения, так и флуктуационным полем электромагнитного вакуума, в релятивистском случае. Пусть на электрон, эволюция во времени которого определяется (76), действует однородное электрическое поле напряженностью E(t), энергия взаимодействия с которым есть Усредним уравнение (76) по начальному состоянию системы и, принимая во внимание равенство нулю среднего значения флуктуационного источника, по- Будем считать, что до включения взаимодействия (105) система находилась в равновесии, и, следовательно, как было отмечено выше, среднее значение радиационной силы в равновесии равно нулю. С учетом вышесказанного для среднего значения радиационной силы можно записать: Из выражения для радиационной силы (77) имеем: Так как нелинейность системы, связанная с радиационной силой, мала, можно пренебречь флуктуациями отклика в соответствии с нелинейными ФДТ [39]. Поэтому в (107) можно заменить отклик его статистическим средним значением: Основной вклад в радиационное трение дает первое слагаемое в (77), которое будем рассматривать в данной главе. Приведем явное выражение для радиационной силы (77), опуская второе слагаемое. С этой целью подставим в него выражение для функции Грина фотона (70) и запаздывающую функцию корреляции для которой можно записать следующее соотношение: После подстановки (70) и (110) в (77) получим: где определяемый согласно (111) коэффициент трения есть (112) Здесь скобки ( )0 означают среднее по невозмущенному состоянию полной системы. Линейный характер уравнения (111) оправдан тем, что физически нелинейность исходного уравнения (76) обусловлена нелинейностью радиационной силы, пропорциональной постоянной тонкой структуры а = е2/he. В то же время коэффициент радиационного затухания (112) имеет существенно нелинейную зависимость от переменных электрона r(t) и r(ti). Заметим, что в этом же приближении следует вычислять функции корреляции флуктуаци-онных источников, строгое выражение для которых следует из общей теории [40, 41]. В силу изотропии начального состояния системы средние значения коммутатора и антикоммутатора экспоненциальных множителей в (112) не зависят от направления волнового вектора к. Следовательно, 3i{t — t{) — Sji t — ti), где коэффициент трения принимает вид что согласуется с классической формулой (104). Отметим, что коэффициент радиационного трения (113) имеет существенно нелинейную зависимость от переменных электрона, взятых в различные моменты времени r(t) и r(ti).
Исходные уравнения и постановка задачи
Значительный интерес к фундаментальным эффектам квантовой электродинамики обусловлен тем, что они играют особо важную роль в современной квантовой теории и их предсказания должны быть экспериментально проверены с максимально достижимой степенью точности. В квантовой электродинамике имеются две тесно взаимосвязанные между собой проблемы. Одна из них касается устранения парадоксов, присущих классической теории радиационного трения. Вторая проблема связана с наличием расходимостей, имеющих место в известных асимптотических методах теории возмущений [27, 30]. Как уже указывалось выше, физическая причина парадоксов и расходимостей классической электродинамики обусловлена идеализацией точечности заряженной частицы — электрона. Так как классический электрон не имеет внутренней структуры и является точечным, то отсутствует запаздывание взаимодействия между электроном и собственным полем излучения, вследствие чего и возникают известные парадоксы радиационного трения. Отсутствие запаздывания взаимодействия между электроном п полем излучения приводит также к расходимостям. В классической электродинамике электромагнитная масса электрона оказывается бесконечной. В квантовой теории релятивистский электрон имеет внутренние степени свободы, определяемые матрицами Дирака, вследствие чего дисперсия приращения координаты электрона Дирака оказывается конечной в собственной системе координат. Наличие внутренней структуры (степеней свободы) у электрона Дирака приводит к эффекту квантовой нелокальности, явно учитывающему запаздывание взаимодействия между электроном и собственным полем излучения. Наряду с реакцией собственного поля излучения в квантовой элек- тродинамике имеет место взаимодействие электрона с полем электромагнитного вакуума. Воздействие на. электрон флуктуации электромагнитного вакуума дает дополнительный вклад в радиационное трение, явно определяет лэмбов-ский сдвиг уровней и аномальный магнитный момент электрона. Перечисленные выше эффекты квантовой электродинамики касаются взаимодействия с полем излучения отдельной заряженной частицы, поэтому их исследование оказывается возможным в рамках одночастичной квантовой электродинамики.
Среди известных эффектов квантовой электродинамики лэмбовский сдвиг уровней, установленный экспериментально, занимает особое место [29, 30]. Теоретический расчет эффекта Лэмба впервые был проведен Бете [47] на основе идеи перенормировок. Элементарная статистическая теория эффекта Лэмба была предложена Велтоном [48], основы которой были изложены в предыдущей главе. С точки зрения статистической теории смещение Лэмба имеет ясный физический смысл. Именно, действие на связанный электрон в атоме флуктуации электромагнитного вакуума приводит к эффективному изменению кулоновского потенциала. Основным недостатком этой теории является наличие расходимостей как при больших, так и при малых передаваемых импульсах фотонов. Общепринятая процедура вычисления лэмбовского сдвига [27], основанная на теории возмущений, также вынуждена использовать формальное правило перенормировок для устранения расходимостей в теоретических расчетах эффекта. Несмотря на успехи этих расчетов, они значительно усложняются при учете членов более высоких порядков малости [27]. Совершенствование техники измерений и, в частности, развитие сверхточной лазерной спектроскопии, привело к тому, что точность измерений эффекта Лэмба значительно превосходит известные к настоящему времени теоретические расчеты [53]. В связи с этим особый интерес представляет свободная от расходимостей и необходимости обращения к процедуре перенормировок статистическая теория лэмбовского сдвига уровней с выходом за рамки стандартной теории возмущений по константе взаимодействия. Выход за рамки стандартной теории возмущения по константе взаимодей- ствия особенно важен для водородоподобных атомов, так как с увеличением зарядового номера Z резко снижается точность вычислений смещения Лэмба на основе теории возмущений.
В настоящее время общепринятой является точка зрения, согласно которой основная неточность определения смещения Лэмба обусловлена проблемой учета конечного размера ядра [50]. Рассмотренное ниже эффективное кулоновское взаимодействие Ve {r) за счет флуктуации электромагнитного вакуума оказывается справедливым при любом формфакторе ядер. Благодаря этому установлена взаимосвязь и разделены вклады в смещения уровней, обусловленные, соответственно, флуктуациями электромагнитного вакуума и учетом конечности размера ядра. Строгое разделение двух механизмов смещения уровней позволяет определить зарядовые радиусы ядер из сопоставления теории и эксперимента. При построении последовательной статистической теории лэмбовского сдвига уровней воспользуемся методом стохастических уравнений, рассмотренным в предыдущих главах. В качестве уравнений движения мы будем использовать результаты Главы 2, а именно (76). Как и раньше, после подстановки решения (71) в уравнение Лоренца (76) необходимо выделить динамические части из содержащих A(k,i) параметрических членов и определить флуктуацион-ный источник. Обратим внимание на особенность этой процедуры в последнем слагаемом в правой части (72) при спаривании А(к,) с оператором Vj, следующей из квантовомеханического обобщения формулы Фуруцу-Новикова [41]. С учетом порядка следования операторов Vj и elkr fa(t) получим: где Mav(k, t — ti) = ( И(к,t), Ay(—k, i)]+) - спмметризованная функция корреляции амплитуд вакуумного поля, - флуктуационный источник с равным нулю средним значениям по вакуумным флуктуациям электромагнитного поля. Заметим, что спаривание A(k, t) с оператором Vj ранее было опущено. Принимая во внимание определения I?av(k, т) и Мш,(к, т), запишем несиммет-ризованную функцию корреляции в виде С учетом указанных особенностей получим стохастическое уравнение для динамических переменных электрона.
