Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дифракционное многоволновое рассеяние быстрых электронов и его теоретико-групповой анализ 8
1.1. Матричная формулировка динамической теории дифракции 8
1.2. Некоторые подходы к описанию прохождения быстрых электронов через кристаллы 16
1.3. Симметрия динамической матрицы и ее блочная диаго-нализация 24
1.4. Собственные функции динамической матрицы 33
1.5. Разрешимые системы ;; 36
Глава П.. Теория возмущений 41
1. Выбор основного приближения 43
2. Правила отбора 45
3. Построение блоховских функций 47
4. Теория возмущений в случае произвольной ориентации кристалла по отношению к падающему пучку . 53
Глава III. Нормальное падение электронного пучка на кристалл . 60
1. Дисперсионное уравнение 60
2. Решения основного приближения 64
З. Когерентное поле с учетом неупругих процессов . 73
Глава ІV. Падение электронного пучка под малым згглом относительно симметричного направления 80
ІУ.І. Учет отклонения пучка по теории возмущений 80
ІУ.2. Правила отбора для возбуждения блоховских волн . 84
ІУ.З. Критический угол падения 93
Глава V. Расчеты дифракционных картин 103
1. Электронные состояния и формирование точечных электронограмм 103
2. Определение структурных амплитуд 127
3. Приближение под- и околобарьерных блоховских волн и формирование электронномикроскопических изображений кристаллических решеток с атомным разрешением 132
Заключение 142
Литература
- Некоторые подходы к описанию прохождения быстрых электронов через кристаллы
- Построение блоховских функций
- Решения основного приближения
- Правила отбора для возбуждения блоховских волн .
Введение к работе
Дифракция быстрых электронов в кристаллах (энергия электронов Е=10 1000 кэВ) является одним из эффективнейших методов исследования вещества. В особенности это относится к исследованию тонких кристаллических пленок (толщина " -6 1000 А), находящих широкое применение в современной микроэлектронике, вычислительной технике, оптике и т.д. Действительно, малая масса электрона и наличие у него заряда обуславливают большую силу его взаимодействия с веществом [135,154], вследствие чего экспериментальные данные обладают очень большой информативностью; таким образом, благодаря своей высокой чувствительности метод электронной дифракции оказывается для широкого класса задач предпочтительным по сравнению с другими методами [119,151,185,186].
Среди многочисленных приложений электронной дифракции в первую очередь следует отметить электронографический структурный анализ [35,I49,I56,I65j , обязанный своему становлению и распространению работам З.Г.Пинскера [V] и Б.К.Вайнштейна [4"], а также электронную микроскопию [26,37,167,175], позволяющую эффективно исследовать разного рода нарушения кристаллической решетки; при этом повышение разрешающей силы микроскопа до величин А сделало возможным прямое наблюдение отдельных атомов решетки, точечных дефектов и их комплексов [135,166,I79J. Дифракция электронов эффективно используется также для спектроскопического исследования поверхности кристалла [l64j и его химического состава [l89J, изучения распределений электронной плотности и типов химической связи \J23j и т.д.
Теория электронной дифракции берет свое начало с работы 1928 г. Г.Бете \_ї], использовавшего созданный к тому времени аппарат квантовой механики для записи бесконечного числа уравнений относительно амплитуд дифрагированных волн и предложившего приближение двух сильных волн, описываемых соответственно двумя уравнениями из указанной системы. Однако на практике рассеяние быстрых электронов в кристалле носит ввиду уже упоминавшегося сильного взаимодействия с атомами решетки существенно многоволновой характер, что подтверждается как расчетными, так и экспериментальными данными (см., например, [39,43,68]). Это означает, что для определения образующих когерентное волновое поле в кристалле блоховских электронных волн необходимо решать дисперсионное уравнение очень высокой степени (проблема многоволновости электронной дифракции).
Во все последующие годы не прекращались попытки аналитического построения волновой функции дифракционного рассеяния; за более чем пятидесятилетнюю историю вопроса [l20,I52J число различных подходов превысило уже два десятка (подробнее см. главу I). Однако из-за проблемы многоволновости, которая по сути "кочует" из метода в метод, имеющиеся формулировки либо носят формально-математический характер и требуют использования ЭЕМ уже на ранней стадии исследования (особенно характерно это для теории Каули-Муди [5,135]), либо используют приближения, область применимости которых недостаточно ясна. По этой причине состояние многоволновой теории динамической дифракции, как справедливо отмечалось в недавнем обзоре Муди [155], не может считаться вполне удовлетворительным, что в значительной мере снижает эффективность методов электронной дифракции. Так, например, несмотря на достигнутый прогресс в прецизионном измерении интенсивности рефлексов электронограмм [60,134], регулярным методом их использования для целей структурного анализа является только кинематическая теория, основанная на первом борновском приближении. Поскольку же ее область применимости ограничена толщиной монокристалла, не превышающей несколько десятков ангстрем, точечные электронограммы от реальных монокристаллических пленок практически используются лишь на качественном уровне (определение ориентировки кристалла, его группы симметрии) [123,154]. Более того, в электронной микроскопии атомного разрешения, где также достигнута высокая точность регистрации интенсивности дифракционных картин [і45,І9(3], отсутствие аналитических решений в теории электронной дифракции затрудняет не только количественный, но даже качественный анализ экспериментально наблюдаемых электронномикроско-пических изображений [_I5l.
Целью настоящей работы является теоретическое исследование многоволнового динамического рассеяния быстрых электронов в идеальных кристаллах и развитие методов решения электрошо-диФракци-онных задач.
На защиту выносятся:
1. Результаты теоретико-группового анализа задачи многоволновой симметричной дифракции: методы Факторизации общего дисперсионного уравнения и определение ее эффективности, правила отбора, для возбуждения и взаимодействия блоховских волн, дисперсионное уравнение для вычисления возбуждаемых в кристалле при падении пучка вдоль оси в симметричном случае Лауэ блоховских волн единичного неприводимого представления группы симметрии дифракционной картины.
2. Метод аналитического построения (теория возмущений) блоховских электронных функций в кристалле, который, в частности, позволил связать точность вычисления волновой функции задачи с числом учитываемых в ней пучков, а также определить область применимости кинематической теории дифракции.
3. Решение задачи многоволновой дифракции при малых отклонениях пучка от симметричного направления, правила отбора для взаимодействия и возбуждения блоховских волн, исследование проникающей способности различных электронных состояний.
4. Аналитическая аппроксимация волновой функции быстрого электрона в кристалле небольшим числом под- и околобарьерных бло-ховских волн, которая является, в частности, основным приближением для описания электронномикроскопических изображений кристаллических решеток с атомным разрешением в случае тонких пленок.
5. Результаты исследования вклада электронных состояний в образование рефлексов точечных электронограмм, позволившие: а) дать качественное и количественное описание зависимости интенсивности дифрагированных пучков от толщины кристалла; б) предложить метод вычисления структурных амплитуд кристалла из точечных электронограмм с учетом многоволновых динамических эффектов.
Более подробно основные результаты работы изложены в Заключении, а также в выводах к каждой главе диссертации.
Некоторые подходы к описанию прохождения быстрых электронов через кристаллы
За время, прошедшее с появления работы Бете [ij, появилось большое число работ, в которых исследуется задача построения волновой функции дифракции быстрых электронов в кристаллах. Здесь будут рассмотрены некоторые подходы, причем основное внимание будет уделено трудностям, возникающим при построении аналитических решений. (Вопросы, связанные с описанием прохождения релятивистских (Е=1 МэВ I ГэВ) через кристаллы, здесь рассматриваться не будут, хотя в последнее время им уделяется большое внимание [88»142,143, 148,178,184], в основном благодаря сопровождающим такое прохождение радиационным процессам [l59,I60j.
Уравнения Бете і] в различных формулировках - матричной, операторной - рассматривались в ряде работ немецких авторов (см. pi, I2J и приведенные там ссылки); однако эти работы, как и некоторые другие j_I4,I8,22j , не предлагали каких-либо решений в явном виде и сводились в основном к различной форме представления этих уравнений.
Существенным шагом вперед было появление работ фуджимото [8, ІЗ], в которых уравнениям Бете был придан удобный, в частности, для численных расчетов, вид матричного уравнения на СФ и СЗ динамической матрицы М . Однако ввиду высокого ранга матрицы М вычисление ее СЗ доступно в общем случае лишь на ЭВМ, и в [вдз] бы -S ла предложена запись решения с помощью матрицы рассеяния S =0/Хр{іМ%/2Кг J ; аналитические решения предлагалось искать разложением матрицы о по толщине кристалла Z . Такой подход, будучи оправдан для малых Z , с увеличением 2 становится неэффективным, так как каждый последующий член ряда может превысить предыдущий; при этом определение области применимости такого подхода представляет самостоятельную задачу из-за сложной структуры многомерной матрицы Г/ . Характерно, что значительные трудности, возникающие при аналитическом решении конкретных электроно-дифракционных задач в рамках такой формулировки, позже были отмечены самим автором JJ.53J. Подход, по результатам аналогичный рассмотренному (и сохраняющий те же трудности) был независимо развит Старки [20].
С помощью теорем линейной алгебры (Кэли-Гамильтона, Сильвестра) в [40j была найдена оригинальная форма записи решения уравнений Бете; эта форма, однако, предполагает СЗ матрицы М известными и путем несложных преобразований может быть сведена к виду (I. 21). Сравнительный анализ некоторых алгебраических подходов для решения проблемы многоволновости был проведен в [l26J; в частности, было показано, что строгое решение N-волновой задачи электронной дифракции адекватно параметризации группы унитарной симметрии S0(A/Jm Таким образом, если взять за исходные уравнения N-волновой теории уравнения Бете, то задача построения волновой функции сводится к решению алгебраического уравнения N-ой степени; некоторые способы приближенного решения этого уравнения изложены в главе II. Рассмотрим теперь другие формулировки многоволновой теории.
Подход Хови-Уэлана [l7], рассматривающий изменение амплитуды дифрагированного пучка при прохождении кристаллического слоя толщины Ъ и нашедщий выражение в дифференциальном уравнении получил широкое распространение (см.[37]) в основном благодаря возможности рассматривать дифракцию в нарушенном кристалле; последнее отражается в появившейся в матрице М зависимости от толщины кристалла Z . Приводя к хорошим результатам при описании рассеяния на дефектах в рамках двухволнового приближения, этот подход, однако, не решает проблему многоволновости, т.е. не дает способа учета взаимодействия многих дифрагированных пучков; по сути такой подход адекватен методу матрицы рассеяния [78J.
Широкую известность (в основном в задачах электронной микроскопии высокого разрешения) приобрел метод "физической оптики", развитый Каули и Муди [5,7]. Суть его заключается в том, что прохождение электронов через кристалл рассматривается как прохождение через ряд двумерных фазовых и амплитудных объектов, разделенных расстоянием Д2 ; при этом предполагается, что полное изменение фазы и амплитуды электронной волны в слое 42 происходит в одной плоскости. Математическая сторона вопроса подробно излагается в [J35} ; ясно, однако, что на таком пути крайне трудно получить решения, пригодные для аналитического исследования. Фактически такой подход представляет собой алгоритм построения программы для ЭВМ-моделирования; при этом следует подчеркнуть существенную зависимость точности метода от величины ДИ : повышение точности требует уменьшения Д? и при достаточно больших толщинах 2 образца машинное время резко возрастает. В пределе Д2- -0 такая форма описания электронной дифракции адекватна (см., например, [Ю9]) более строгому квантовомеханичес-кому подходу.
Построение блоховских функций
Характерной чертой рассматриваемой теории возмущений является то, что симметрия возмущения U совпадает с симметрией гамильтониана нулевого приближения о М , так что для искомых решений сохраняется та же теоретико-групповая классификация, что и для решений нулевого приближения. Таким образом, искомая СФ т р -го неприводимого представления разлагается, как нетрудно показать (см. [І9і]), по ОФ нулевого приближения того же неприводимого представления (правило отбора для переходов между блоховокими состояниями под действием возмущения U ): N(p,m) у 1 - »-!! С(](к,Р),ітр))0с(т р[ (П.І0) т І-1 где N(p,M) - L(p)/2(p,//l)y L(p) размерность неприводимого представления Ю , ъП(р,т)- кратность вхождения Ю в описывающее ЇЇІ -уго систему точек приводимое представление. Следует отметить, что если известно, по каким строкам неприводимых представлений преобразуется СФ нулевого приближения, то правило отбора становится еще более жестким: в разложении участвуют функции, принадлежащие, как нетрудно показать, одной и той же строке.
Кроме того, из теоретико-групповых соображений также следует, что коэффициенты С(і(К,р)9у(Клр)) для случая двукратно вырожденного (для рассматриваемых групп вырождение только дву X «г-, S» (К,Р ) /V І (к Р) кратное) СЗ о —о следует положить равными ну лю. Дело заключается в том, что, поскольку в рассматриваемой задаче симметрия U совпадает с симметрией в // , то обусловленная неабелевостью ее группы двукратная вырожденность для СЗ
X t " сохраняется. Именно это обстоятельство допускает известную неопределенность в выборе коэффициентов С(}(К9р),у(К,р))-я эта неопределенность по сути означает, что вместо одного ортонор-мированного набора СФ 0 lp t(K P) а (fSJ (К Р) может быть выбран другой. Подчиняя же СФ нулевого приближения требованию, чтобы их изменение под действием возмущения было малым, полагаем С(Цк,р),у (к,р))-0 прИ х ( р), хУ(к р). (П.Ш Соотношение (П. II) означает, что ОФ 0 У , 0У исходного набора под действием возмущения не перемешиваются.
Подставляя выражение (П.10) в уравнение (1.9) и домножая затем последнее слева на 0 у Cfl P) , получим с учетом (II.7)-(П.9) и ортонормированности 01» нулевого приближения, равенство
Си(к.Р), (п.р))(х 1К Р -.Х(л / ) = 11 СЦ(КР),с ".Р))и,(я 1(я-РУ т. І = / где U е Р т-Р = вЦМ1»+ U в tf/i(».P) , в дальней. шем, имея в виду, что теория возмущений развивается в рамках одного неприводимого представления, для простоты опускаем символ этого представления. Коэффициенты С (/(Ю (М)) и СЗ J ищутся в виде рядов (П.ІЗ) С (}(Ю, (т)) = Sic/я fj і + C(J(K), i-( r») +..., 0 1 " у (П. 14) где величины - С (j(К ), L(ffi)), р- принимаются имеющими тот же порядок малости, что и (U) . Поправки соответствующего порядка вычисляются приравниванием в (П.12) после подстановки в него (П.13), (П.14) членов одного порядка малости. Здесь мы ограничимся рассмотрением теории возмущений до второго порядка включительно . Построение блоховских функций С сохранением членов первого порядка малости уравнение (П.12) имеет вид
Из структуры матрицы U (П.9) и явного вида СФ нулевого приближения (П.6) ясно, что правая часть равенства (П.15) будет отлична от нуля лишь в том случае, если функции о г и 0 V отвечают различным системам U J (і О як) . Отсюда следует: а) обращение в ноль поправок первого порядка ко всем CS (вырожденным и невырожденным)
Решения основного приближения
Число несовместимых систем на реальных электронограммах, как правило, также достаточно велико, так что и в рассматриваемом случае для построения аналитических решений задачи многоволновой дифракции необходимо использовать теорию возмущений, аналогичную рассмотренной в главе П. Отличие состоит лишь в том, что роль отдельных точек обратной решетки играют теперь_отдельные несовместимые системы. Поскольку диагональные члены Л)аск) блока /V для каждой К -ой несовместимой системы, вообще говоря, различны, гамильтониан нулевого приближения задачи (Ш.ІІ) имеет вид где Мj описывает несовместимых систем, суммарная интенсивность рефлексов которых Jj должна удовлетворять неравенству (П.5). (Здесь, как и далее арабские цифры нумеруют различные несовместимые системы, а римские — системы, возникшие в процессе выделения в задаче гамильтониана нулевого приближения (П.9)
Рассмотрим вопрос о выборе 1-ой системы, исходя из порядка входящих в П величин. Введем параметр который с физической точки зрения определяет величину взаимодействия между нулевым (проходящим) пучком и пучками К -ой несовместимой системы, и будем располагать в М несовместимые системы в порядке убывания этого параметра. Здесь мы для простоты ограничились случаем "разрешенных" рефлексов У0(4)0-Ск) 0 ; если же рефлексы К -ой несовместимой системы "запрещены", т.е. OiDfrCK) т0 Роль паРаметРа Ш.ІЗ) играет величина определяющая "опосредствованное", т.е. через пучки ffl -ых систем, взаимодействие прошедшего пучка с пучками К -ой системы. Если А.4кЪ- Яш К=1,2,..., (Ш.І5) то СЗ матрицы 0 М (Ш.8) /-го ранга существенно зависят от ее недиагональных элементов и поэтому должны быть найдены из алгебраического уравнения /-ой степени. Физическая сторона вопроса такова, что С несовместимых систем дифрагированных пучков являются сильновзаимодействующими между собой и, следовательно, должны быть учтены одновременно. Если число С невелико, то \Х {Мосооацъ соответствующие "поперечные" электронные состояния относятся, очевидно, к связанным и валентным. Таким образом, под -66 и околобарьерные блоховские волны являются сильновзаимодействую-щими между собой. Для остальных систем J.iK«j для К ч, +-2,... , (Ш.І7) МС0)
и отвечающие таким системам СЗ матрицы / _ определяются по порядку величины ее диагональными элементами JJ д(к) " Q (к) , так что соответствующие электронные состояния
Для рассматриваемых в настоящей работе быстрых, но не релятивистских электронов с энергией 10 кэВ Е I МэВ число связанных и валентных состояний, как правило, невелико (см., например, численные расчеты в JJT07,II4,I70J), что позволяет, найдя их сначала в аналитическом виде в нулевом приближении, вычислить их затем, наряду со свободными, с известной точностью с помощью развитой теории возмущений.
С другой стороны, если число под- и околобарьерных волн невелико, то параметр (III. 17) равен по порядку величины параметру малости теории возмущений С (jC1), ь(Ю),КФ1, (см. главу П), который, в свою очередь (см. (П.21)), определяет величину амплитуд возбуждения надбарьерных волн. Отсюда сразу следует важный вывод, что при дифракционном рассеянии быстрых электронов в кристалле сильновозбужденными является лишь небольшое число под- и околобарьерных блоховских волн і8І,І93/; этот результат находится в соответствии с ЭВМ-данными по исследованию заселенности уровней различных электронных состояний, например, в 1II - W при 10 кэВ Е 5 МэВ [Ю8] и ІІ0 - ?Є при Е=Ю0 кэВ [l70].
Кроме того, параметр J.4K к і,КФ 1 , согласно (П.23), определяет и порядок величины амплитуд дифрагированных пучков К -ой несовместимой системы. Таким образом, условия (Ш.І5), (Ш.І7), определяющие выбор 1-ой системы, адекватны критерию (П.5), согласно которому основная интенсивность падающего пучка должна быть сосредоточена в рефлексах 1-ой системы.
Правила отбора для возбуждения блоховских волн .
1. Доказана теорема, согласно которой при нормальном падении электронного пучка на кристалл в симметричном случае Лауэ в кристалле возбуждаются блоховские волны только единичного неприводимого представления группы симметрии динамической матрицы, и показано, что число этих волн равно числу учитываемых в задаче несовместимых систем точек обратной решетки.
2. Получен явный вид блока единичного представления приведенной динамической матрицы. С использованием порядка величин образующих его элементов введен параметр задачи UIK позволяющий разделить "поперечные" электронные состояния на под-(около-) и надбарьерные. Показано, что основной вклад в волновую функцию электронной дифракции вносит небольшое число под- и околобарьерных блоховских волн. Установлено согласие по числу связанных электронных состояний, определяемому в динамической теории с помощью параметра е/цс и по методу фазовых интегралов в теории ка-налирования.
3. Показано, что при построении многоволновых электронных блоховских функций по теории возмущений роль возмущения играет взаимодействие группы под- и околобарьерных блоховских волн с надбарьерными, а также надбарьерных между собой. При этом параметры малости теории возмущений в рассматриваемом случае малого числа связанных и валентных состояний определяются по порядку величины амплитудами перехода из основного в свободные состояния 1К у( і а также амплитудами перехода между свободными состояниями. С использованием параметра /JK определена также область применимости приближения нулевой Лауэ-зоны.
4. Получены точные решения задачи многоволновой дифракции для разрешимых систем рефлексов вплоть до третьего порядка включительно. Исследован эффект аномального поглощения блоховских волн; показано, что с возрастанием номера блоховского состояния его проникающая способность увеличивается.
Рассмотрение многоволновой дифракции быстрых электронов в кристаллах, проведенное в предыдущих главах, относилось в основном к случаю специальных ориентировок кристалла по отношению к падающему пучку, когда динамическая матрица \Л (1.10) обладает симметрией одной из дифракционных групп. На практике, однако, падающий пучок обычно отклонен (в частности, из-за приборных погрешностей) на малый угол В«і от направления, дающего идеальный случай симметричной дифракции. Б этой связи естественно возникает вопрос о степени изменения волнового поля в кристалле при таком отклонении, в частности, об области применимости - по углу отклонения 9кр и толщине кристалла %кр - решений задачи многоволновой дифракции в симметричном случае; рассмотрение этого вопроса в рамках динамической теории дифракции и составляет содержание настоящей главы.
Поправки второго порядка могут быть записаны в следующей форме
Известно, что для абелевых групп С$ , С/г, , Czz- симметрии динамической матрицы неприводимые представления одномерны и, следовательно, блоховские волны невырождены. Поэтому для дифракционных задач с указанной симметрией приведенные выше формулы полностью решают вопрос о построении блоховских электронных фунщий в кристалле при малом отклонении пучка от симметричного направления.
Задача несколько усложняется в случае неабелевых групп Сщ. /2.=3,4,6 дифракционной симметрии, которые, помимо одномерных, содержат и двумерные неприводимые представления. Последнее обстоятельство означает, что блоховские волны, отвечающие этим двумер j J1 ным представлениям, двукратно вырождены, 0 ОС = 0 Х , т.е. О (ІУ.І5) (ІУ.І6) о о W определяются неоднозначно. Эта неоднозначность, однако, пропадает, если мы подчиним так называемые правильные СФ нулевого приближения
