Двумерное телеграфное уравнение и его применение к задачам радиофизики Кириллов Виталий Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Двумерное телеграфное уравнение 44

1.1. Поверхностная форма уравнения сохранения заряда 45

1.2. Связь между электромагнитным полем и поверхностными плотностями заряда и тока 48

1.3. Двумерное телеграфное уравнение 54

1.4. Индуктивная и емкостная высоты, определяемые по электромагнитному полю нулевой моды в изотропной плоскослоистой модели волновода 65

1.5. Оценка влияния сферичности волноводного канала на параметры hLn hc 76

1.6. Стороннее напряжение, соответствующее вертикальному электрическому диполю 83

1.7. Поле точечного источника в однородном изотропном волноводе 91

1.8. Стороннее удельное напряжение, соответствующее горизонтальному электрическому диполю 99

1.9. Поле стороннего удельного напряжения в однородном изотропном волноводе 119

1.10. Параметры двумерного телеграфного уравнения в случае изотропной непрерывной модели ионосферы 131

1.11. Неоднородный волновод в методе двумерного телеграфного уравнения 146

2. Обоснование применимости метода двумерного телеграфного уравнения 148

2.1. Распространение электромагнитных волн в плоском анизотропном одномодовом волноводе 150

2.2. Метод поперечной координаты для уравнений Максвелла 165

2.3. Влияние локальной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя 179

2.4. Поле смещенного источника в регулярном плоском изотропном волноводе 189

2.5. Влияние локальной произвольно расположенной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя 199

3. Параметры двумерного телеграфного уравнения в диапазоне частот 0,1-500 Гц 220

3.1. Определение поверхностной емкости С и локальной индуктивности L по ведущей моде 222

3.2. Емкостная высота 227

3.3. Приближенная модель локальной индуктивности 231

3.4. Приближенная модель L в СНЧ - диапазоне 241

3.5. Модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и СНЧ диапазонов 248

3.6. Определение матричной локальной индуктивности в диапазоне 0,1-50 Гц 259

4. Некоторые решения двумерного телеграфного уравнения 274

4.1 Точное решение двумерного телеграфного уравнения для случая неоднородности волновода типа день - ночь 275

4.2 Приближенный квазистатический метод расчета поля 286

4.3 Решение двумерного телеграфного уравнения с учетом анизотропии и неоднородности 297

Заключение 318

Список литературы 325

• Индуктивная и емкостная высоты, определяемые по электромагнитному полю нулевой моды в изотропной плоскослоистой модели волновода
• Влияние локальной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя
• Модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и СНЧ диапазонов
• Решение двумерного телеграфного уравнения с учетом анизотропии и неоднородности

Введение к работе

Тема исследования и обзор литературы

Диссертация посвящена теоретическим вопросам проблемы распространения электромагнитных волн в двухпроводных поверхностных волноводах. Под двухпроводными поверхностными волноводами мы понимаем волноводы, образованные двумя изолированными друг от друга проводниками в виде пластин. Распространение электромагнитных волн происходит в полости между пластинами. По отношению к классическим волноводам в виде трубы, где распространение волн одномерно вдоль трубы» а поперечное сечение двумерно, в двухпроводных поверхностных волноводах распространение двумерно, а поперечное сечение одномерно в виде линии. В случае, когда классический двухпроводный волновод тонкий, то есть расстояние между проводниками мало по сравнению с длиной волны, распространение волн в таком волноводе успешно описывается уравнением телеграфистов, что значительно проще описания в рамках системы уравнений Максвелла. Мы предлагаем для описания распространения электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах сформулированное нами в 1985 [189] году двумерное телеграфное уравнение. Описание электромагнитного поля в рамках двумерного телеграфного уравнения является новым методом решения задач электродинамики.

Метод применён к проблеме распространения радиоволн частот ниже 1 кГц в околоземном волноводном канале с учётом его анизотропии и горизонтальной неоднородности. Волновод Земля-ионосфера представляет собой двухпроводный поверхностный волновод. Одним его проводником является Земля, другим проводником ионосфера. Несмотря на то, что ионосфера плавно начинается от поверхности Земли, можно считать, что они изолированы друг от друга. На частотах ниже 1 кГц этот волновод тонкий. Источник (вертикальный, горизонтальный электрические диполи) равно как и приёмник предполагаются расположенными вблизи поверхности Земли. Магнитная проницаемость всех сред близка к магнитной проницаемости вакуума.

Нижней стенкой волноводного канала является шар с диэлектрической проницаемостью и проводимостью слоистыми по глубине и горизонтальной неоднородностью типа лоскутного одеяла. Верхней стенкой волновода является ионосфера, характеризуемая комплексным тензором диэлектрической проницаемости, который непрерывно зависит от высоты, начиная от земной поверхности, и зависит также от горизонтальных переменных. Ионосфера не имеет очерченной нижней границы. Однако её электрические свойства вблизи поверхности Земли к свойствам вакуума, что образует между Землёй и ионосферой полость порядка 40-70 км. Конкретные высоты полости зависят от частоты и вертикального профиля комплексной тензорной диэлектрической проницаемости над рассматриваемой точкой на земной поверхности. Распространение радиоволн как раз проходит в этой полости. Роль Земли и ионосферы сводится к образованию волновода.

Волновод Земля-ионосфера можно рассматривать также как волновод классического типа, так и как двухпроводный поверхностный волновод. В этом случае поперечным сечением будет, например, поверхность неограниченного конуса: 9 = константе, широтная координата сферической системы координат. Нормальные моды такого волновода характеризуются двумя индексами и зависят от положения точки на поверхности конуса. Электромагнитное поле в каждом сечении можно представить в виде ряда по этим нормальным волнам с коэффициентами, которые зависят от координаты 0, единственно вдоль которой распространяется нормальная волна. Нормальные волны характеризуют распределение электромагнитного поля по поперечному сечению волновода. Во случае, когда этот волновод рассматривается как поверхностный, вместо поперечного сечения будет поперечная, радиальная координата г сферической системы координат. Задавшись направлением распространения нормальной волны в горизонтальной сферической поверхности, получаем уравнения для нормальных волн такого волновода. Эти нормальные моды характеризуются одним индексом и зависят от положения точки на вертикали. Кроме того они зависят в общем случае анизотропного волновода от выбранного горизонтального направления распространения волны. В этом общем случае не существует теоремы разложения, позволяющей представить электромагнитное поле в каждой горизонтальной точке с координатами {9, ф} в виде ряда по этим нормальным волнам с коэффициентами, которые зависят от этих координат. Если нормальные волны не зависят от горизонтального направления распространения волны, то такие разложения возможны.

Электрические свойства стенок волновода Земля-ионосфера сравнению со свойствами стенок технических волноводов, неидеальные и анизотропные, что поднимает, при исследовании нормальных волн, такие проблемы, которые не встречаются в обычных волноводах, например, проблему вырождения нормальных волн, проблему учёта анизотропии волновода. Рассматриваемый в широком диапазоне частот ниже 300 кГц, волновод Земля-ионосфера от многомодового превращается в одномодовый на частотах ниже 1 кГц. Под термином одномодовый волновод понимается волновод, у которого одна распространяющаяся нормальная волна и остальные нормальные волны местные. Волновод такого типа является тонким волноводом, характеризуемым условием kh«l, где к - волновое число, ah- эффективная высота полости волновода.

В диссертационной работе и обзоре ограничимся случаем расположения передатчика и приёмника у поверхности Земли и удаления друг от друга на расстояние более 100 км, далее которого при таком расположении передатчика и приёмника следует учитывать ионосферу, и начинает проявляться волноводный механизм распространения. Теория распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера является ветвью теории распространения волн в слоистых средах [1, 2]. Слоистые среды в случае волновода по отношению к слоистым средам общего вида ограничены тем, что образуют волновод.

Теория распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера началась работой Ватсона 1911 [3], который рассмотрел задачу об электромагнитном поле вертикального электрического диполя в полости ограниченной однородной в электрическом отношении Землёй и однородной проводящей ионосферой, расположенной выше некоторой высоты h. Задача решалась путём построения рядов Дебая для вертикальной компоненты потенциала Герца, преобразованием их с помощью преобразования Ватсона 1911 [4] в интеграл и последующим вычислением интеграла по вычетам, что и даёт разложение электромагнитного поля нормальным волнам. В работе получен коэффициент затухания одной из них (квази ТЕМ моды), которой считалось достаточным для представления поля на больших расстояниях от источника. В модели однородных и проводящих Земли и ионосферы коэффициент затухания этой моды пропорционален квадратному корню из частоты. Сопоставлением вычисленного затухания с эмпирическим по Остину [5], которое также растёт как корень квадратный из частоты, оценена проводимость ионосферы в 10"4 См/м, т. е. уже в первой работе решена обратная задача. Однако полученное значение проводимости более чем на два порядка превышает проводимость ионосферы на высотах 60-80 км. При решении обратной задачи предполагалось, что частоты электромагнитных колебаний выше 30 кГц. В этом частотном диапазоне, как мы сейчас знаем, волновод Земля-ионосфера многомодовый и необходим учёт сферичности волноводного канала для характеристики нормальных волн. В этих условиях исследованная нормальная волна отсутствует. Она становится ведущей на частотах ниже 1 кГц.

Вычисление интеграла, полученного преобразованием Ватсона, по вычетам требует деформации исходного контура интегрирования. В случае, когда электрическая модель Земли характеризуется однородной или слоистой по глубине проводимостью, остаётся интегральная часть, которая интерпретируется как вклад от сплошного спектра поперечного оператора. При импедансной модели Земли, то есть когда считается, что поверхностный импеданс Земли не зависит от переменной интегрирования, сплошной спектр отсутствует. Оценка роли сплошного спектра проведена Ватсоном [4], Фоком [6], Бреммером [7] Берри [8]. Однако, как показали Макаров, Рыжков [9] и Макаров, Осипов [10], эти оценки сильно занижены. В случае неимпедансной модели земли имеется ещё серия "земных" полюсов. Вклад сплошной части спектра следует рассматривать вместе с вкладом от этих "земных" полюсов, что в совокупности интерпретируется как волна, просочившаяся через землю, имеющая малость порядка затухания в земле на хорде, соединяющей передатчик и приёмник.

Непосредственно без преобразования Ватсона интегральное представление для электромагнитного поля получено в [11] на основе теории операторов, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка [12].

В случае плоской геометрии волновода задача, по-видимому, впервые была рассмотрена Вейрихом [13]. В плоском волноводе, ограниченным двумя идеально проводящими плоскостями, электромагнитное поле от вертикального электрического диполя строилось через вертикальный вектор Герца, который, с учётом азимутальной симметрии поля, представляется интегралом в полубесконечных пределах, содержащим функцию Бесселя нулевого значка [15]. Преобразование интеграла к двояко бесконечным пределам интегрирования, где уже вместо функции Бесселя находится функция Ханкеля, первая или вторая в зависимости от принятой временной зависимости, открывает возможность вычисления интеграла по вычетам или другим способом, называемым ранее лучевым разложением, а теперь разложением по скачкам. В работе [13] даны разложения по вычетам (нормальным волнам} и по скачкам. Работы [16,17] обобщают рассмотрение на случай однородной ионосферы, а в [18] модель среды становится такой же как у Ватсона [3], только в плоской геометрии волновода.

Коэффициенты отражения при однородной модели ионосферы не соответствуют действительности. Например, экспериментальные значения шумановских частот и их добротностей [19, 20, 21] не удаётся получить одновременно теоретически при любом выборе параметров однородной модели [21], т. е., если получаются частоты, то не получаются добротности и наоборот. В работе [22] при некоторых высотных профилях электронной концентрации и частот соударений электронов получено хорошее совпадение рассчитанных значений собственных частот и их добротностей экспериментальными значениями для первых пяти частот. По-видимому, впервые, с целью получения коэффициентов отражения, ионосферу как неоднородную среду рассматривал Экерслей в 1932 [23], который методом фазовых интегралов получил коэффициенты отражения применительно к ДВ-диапазону. Такой способ рассмотрения отражения радиоволн ДВ-диапазона подтверждается современными исследованиями [24], где вертикальное распределение поля описано комплексными лучами, что практически эквивалентно методу фазовых интегралов. Непрерывная по высоте ионосфера предполагалась также в работе [25].

В СДВ-диапазоне и ниже по частоте меняется механизм отражения от ионосферы, который можно назвать градиентным, имея в виду, что отражение обусловлено изменением тензора комплексной диэлектрической проницаемости. Точки поворота, даже комплексные, теряют физический смысл, а вместе с ними становится не применим метод фазовых интегралов. Численный метод расчёта коэффициентов отражения оказывается единственно возможным. В этой связи становится важным установление области, существенной для отражения радиоволн.

Первой работой по определению положения области, существенной при отражении, можно считать работу Байта и Вальтеса [26], где на экспоненциальную модель проводимости накладывалось возмущение типа гауссоиды. Область, существенная для отражения, определялась по анализу зависимости коэффициента отражения от высотного положения возмущения. Однако систематические исследования положения области, существенной для отражения, на кафедре Радиофизики Физического факультета Ленгосуниверситета. В работе [27], следуя методике [26], для дневной модели ионосферы получено конкретное положение области отражения радиоволн СДВ-диапазона. В других работах [29-37, 24] определение положение области отражения базируется на другой методической основе. Считается, что область, существенную при отражении, можно определить только, задаваясь допустимой погрешностью в характеристиках отражения. С уменьшением допустимой погрешности область обязательно увеличивается. С увеличением погрешности область сокращается. Выше верхней границы существенной области электромагнитное поле распространяется в ионосферу без отражения и может быть описано и методом ВКБ. Оценка точности ВКБ-метода даёт положение верхней границы области отражения. Нижняя граница области получается из оценки допустимости замены ионосферы вакуумом ниже этой границы. Проведены исследования положения области, существенной при отражении, для дневной и ночной моделей ионосферы в широком частотном диапазоне от СВ до КНЧ. Показано, что размер области немонотонно зависит от частоты вследствие смены механизма отражения и значительно увеличивается в СНЧ и особенно сильно в КНЧ-диапазонах. Верхняя граница для волн СНЧ-диапазона приходится на высоты порядка 110-120 км и увеличивается до 2000 км с понижением частоты до 0,1 Гц. Нижняя граница опускается с понижением частоты от частот СДВ-диапазона, достигая высот в 30-40 км в диапазонах СНЧ и КНЧ.

По-видимому, впервые, рассмотрение нормальных волн с учётом анизотропии проведено Бадценом 1952 [38], где электромагнитное поле в ионосфере рассматривалось в квази-продольном приближении.

В случае плоского анизотропного волновода поле в ионосфере рассматривается на основе системы уравнений Клеммова-Хединга [39], являющейся системой четырёх дифференциальных уравнений первого порядка по вертикальной координате z относительно тангенциальных составляющих электромагнитного поля. Система координат {x,y,z} выбрана так, что электромагнитное поле в горизонтальной плоскости не зависит от у, а зависимость от х в виде exp(ikSx), где k-волновое число, а S-параметр, имеющий смысл синуса угла падения волны на ионосферу в её нижней части. Параметр S входит в матрицу правой части системы дифференциальных уравнений. Матрица правой части определяется тензором комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы. Зависимость поля от азимутального направления распространения волны в горизонтальной плоскости через зависимость матрицы правой части от компонент внешнего магнитного поля в выбранной декартовой системе координат, ориентированной в горизонтальной плоскости в соответствии с направлением распространения волны. В изотропном случае и в случае, когда наложенное магнитное поле направлено вертикально, симметрия тензора комплексной диэлектрической проницаемости такова, что

зависимость от азимута пропадает. Правая часть в этом случае зависит только от S2.

Система дифференциальных уравнений Клеммова-Хединга легко обобщается на случай сферичекого волновода, достаточно понимать под тангенциальными составляющими электромагнитного поля соответственно их 0 -вые и ф -вые составляющие, умноженные на г/а (г-радиальная сферическая координата, а-радиус Земли). Параметр S заменяется на Sa/r. Таким образом, считается, что в горизонтальном направлении поле зависит только от 9 и не зависит от ф.

В теории распространения радиоволн используется также цилиндрическая модель волновода [40,41], Земля считается неограниченный цилиндр радиуса а. Направление на ионосферу даётся координатой р. Поле и среда не зависят от z-направляющей цилиндра. Для такой цилиндрической системы координата р эквивалентна сферической координате г. Система уравнений Клеммова-Хединга в случае цилиндрической модели отличается от соответствующей системы сферического волновода, что не удивительно, так как в цилиндрической модели имеется только одна кривизна поверхности отражения в продольном направлении и отсутствует кривизна в поперечном направлении. В сферическом волноводе имеются одинаковые кривизны в обоих направлениях. Таким образом, цилиндрическая модель волновода не описывает корректно в общем случае вертикальное распределение поля.

Система уравнений Клеммова-Хединга интегрируется сверху вниз от верхней границы существенной области до нижней. На верхней границы существенной области для обыкновенной и необыкновенной волн задаются тангенциальные составляющие поля, рассчитываемые методом ВКБ. При этом в рассматриваемой задаче возникают погрешности, обусловленные тем, что затухание обыкновенной и необыкновенной волны при распространении в ионосферу сильно отличается друг от друга. Устойчивым при интегрировании является лишь то решение, которое быстрее убывает с ростом z. Решение для волны, сравнительно хорошо проникающей в ионосферу, неустойчиво из-за того, что, вследствие неточности задания начальных данных на верхней границе существенной области, в нём всегда присутствует первое решение, сравнительная роль которого увеличивается по мере интегрирования. Питтвеем [42] предложена коррекция, которая сводится к тому, что на каждом шаге интегрирования из полученной вектор-функции вычитается первая с коэффициентом, зависящим от шага интегрирования, то есть от координаты z. Вследствие этого полученное таким образом решение нельзя назвать некоторым частным решением исходной системы. Однако это обстоятельство не сказывается на отражательных характеристиках на нижней границы существенной области. Оно проявится только при восстановлении высотного поведения поля. Такой способ получения отражательных характеристик использован в [43,44,45].

Неприятности, появляющиеся при получении двух линейно-независимых решений системы уравнений Клеммова-Хединга, удаётся избежать сменой объекта интегрирования. Бадден 1955 [46] ввёл матричный коэффициент отражения как объект интегрирования, для которого из системы уравнений Клеммова-Хединга получается матричное нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. Это уравнение интегрируется один раз от верхней границы существенной области до нижней. Начальные данные на верхней границе задаются на основе решений для поля по методу ВКБ. Для четырёх элементов матричного коэффициента отражения при интегрировании этого уравнения сверху вниз не происходит потеря точности и можно доходить до уровня земной поверхности, что требуется для получения характеристического уравнения нормальных волн. Недостатком этого объекта является наличие его особенности на некотором уровне в ионосфере, которая может возникнуть из-за его математической конструкции типа отношений различных компонент поля. Кроме того, уравнение для матричного коэффициента отражения имеет особенность в окрестности скользящих углов падения волны, характерных для ведущих нормальных волн в диапазоне СДВ. В силу этого недостатка этот объект интегрирования не получил широкого распространения, однако этот объект использован в [46,47].

Аналогичными свойсвами обладают объекты интегрирования: адмитанс [48, 49, 50] и импеданс [51, 52]. Адмитанс — матрица, связывающая тангенциальные компоненты магнитного поля с тангенциальными компонентами электрического поля. Импеданс — обратная матрица. Для них также требуется одно интегрирование сверху вниз. Эти объекты пригодны для описания отражательных характеристик ионосферы в окрестности скользящих углов падения волны, но, также как для матричного коэффициента отражения, возможно наличие особенности на некотором уровне внутри существенной области. Адмитанс при углах падения, соответствующих ведущим нормальным волнам, близок к особенности на уровне земной поверхности, что дополнительно затрудняет его использование для нахождения характеристик распространения нормальных волн.

В [53] в качестве объекта интегрирования предложен бивектор [54], построенный на двух линейно независимых решениях системы уравнений Клеммова-Хединга, рассматриваемых как векторы четырёхмерного пространства. Бивектор удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению, не имеет особенности внутри области интегрирования, устойчив при интегрировании сверху вниз с начальными данными на верхней границе существенной области, соответствующими обыкновенной и необыкновенной волнам. В результате интегрирования до уровня земной поверхности полученное частное решение содержит все необходимые сведения о характеристиках отражения от анизотропной ионосферы.

Для анизотропного волновода определение горизонтально однородного или регулярного волновода требует специального обсуждения. В случае плоской геометрии горизонтально однородным будет очевидно такой волновод, тензор диэлектрической проницаемости которого инвариантен по отношению к трансляциям в горизонтальной плоскости. Такой тензор в любой декартовой системе координат имеет произвольную структуру с элементами, зависящими от вертикальной координаты z. В случае сферического волновода нет преобразования эквивалентного трансляциям в горизонтальной плоскости. Существует только более общее преобразование, которое можно связать с переходом от одной сферической системы координат к другой, что в сравнении с плоским случаем кроме трансляций имеет и вращение. Инвариантность тензора диэлектрической проницаемости по отношению к такому более общему преобразованию накладывает ограничения на его структуру. Тензор диэлектрической проницаемости должен удовлетворять условиям: є = є 0г= е гФ= є фГ = 0, Є еф—Є ре, Є б9= Є «рф. В случае, когда анизотропия вызвана в ионосферной плазме внешним постоянным магнитным полем, эти ограничения соответствуют вертикальному магнитному полю. Элементы тензора, по-прежнему, не должны зависеть от горизонтальных переменных. Если тензор диэлектрической проницаемости имеет произвольную структуру, а его элементы не зависят от 9 и р некоторой сферической системы координат, то такой волновод является нерегулярным. Допуская, что анизотропия в сферическом волноводе приводит к слабой неоднородности, такой волновод рассматривается как однородный.

Наиболее последовательное изложение задачи распространения радиоволн в регулярном сферическом анизотропном волноводе дано, на мой взгляд, в [55]. Электромагнитное поле в ионосфере рассматривается в рамках системы уравнений Клеммова-Хединга с учётом сферической слоистости ионосферы. Результатом этого рассмотрения является матричный адмитанс на нижней границе области, существенной при отражении. Этот матричный адмитанс зависит от параметра S, имеющего смысл синуса угла падения волны на ионосферу, то есть зависит от вида падающего поля. Между земной поверхности и ионосферой выделяется воздушная полость с диэлектрической и магнитной проницаемостями, соответствующими вакууму. На нижней и верхней границах полости ставятся импедансные граничные условия с точными импедансами, в которых сохраняется зависимость от вида поля, характеризуемого синусом угла падения на уровне земной поверхности и ориентации плоскости падения волны на ионосферу.

Задача о распространении радиоволн в волноводе Земля-ионосфера, возбуждаемых в сферической полости волновода вертикальным электрическим диполем, сформулирована в сферической системе координат {г,0,ф} с началом в центре Земли и осью: 0=0, проходящей через элементарный источник - радиальный электрический диполь, расположенный в полости волновода. Электромагнитное поле в сферической полости представляется через вертикальные электрический и магнитный векторы Герца. Считается, что в этой системе координат, связанной с источником, поле обладает азимутальной симметрией, то есть, не зависит от ф. Отмеченная симметрия поля позволяет сформулировать для векторов Герца граничные условия третьего рода на верхней и нижней стенках воздушной полости через земной поверхностный импеданс и ионосферный матричный адмитанс. На нижней стенке полости нормальные производные для электрического и магнитного векторов Герца связаны с самими векторами независимо друг от друга. На верхней стенке полости эта связь затрагивает оба вектора, что является следствием анизотропии ионосферы. Сформулированные граничные условия не являются в полном смысле этого слова граничными условиями третьего рода, так как ионосферный матричный адмитанс зависит от параметра S (синуса угла падения волны) и ориентации плоскости падения волны, совпадающей с меридиональной, которая, в свою очередь, связана с положением источника и точки наблюдения. Однако наличие этой зависимости позволяет учесть непрерывную сферическую слоистость ионосферы. Сохранение зависимости в граничных условиях от вида поля не делает их строгими в случае сферического волновода с произвольной анизотропией. При произвольной анизотропии переменные в уравнениях не делятся и используется при выводе уравнений для электромагнитного поля в ионосфере приближенное асимптотическое разделение переменных, которое не годится на горизонтальных расстояниях от источника и его антипода в несколько длин волн. Кроме того, предположение об азимутальной симметрии поля не верно в случае произвольной анизотропии. Наличие зависимости поля от ф влечёт за собой отклонение волнового вектора в горизонтальной плоскости от меридиональной плоскости [56], в то время как уравнения для поля в ионосфере связаны с вертикальной плоскостью, ориентированной волновым вектором. В работе [56] для электромагнитного поля вертикального электрического диполя дано представление по модам плоского горизонтально однородного волновода с произвольной анизотропией. Следует отметить, что электромагнитное поле в этом представлении даётся не в виде ряда по нормальным волнам, а в виде ряда, каждый член которого является интегралом от нормальной волны по азимутальной координате, отражающей ориентацию волнового вектора в горизонтальной плоскости. В случае, когда анизотропия такова, что поле обладает азимутальной симметрией, эти интегралы сводятся к соответсвующим функциям Ханкеля и это представление превращается в обычный ряд по нормальным волнам.

Для пары вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца строится ряд Дебая. Синус угла падения волны в ионосферу на уровне земной поверхности связан с индексом суммирования п соотношением S2= n(n+l)/(k2a2), где к - волновое число, а - радиус Земли.

Преобразованием Ватсона [4] получается для решения интегральное представление. Подынтегральная функция имеет особенности в некоторых точках комплексной плоскости переменной интегрирования. Вычисление интегралов по вычетам даёт разложение для потенциалов по нормальным волнам волновода Земля-ионосфера. В разложении по модам электрический и магнитный векторы Герца связаны между собой, что является следствием анизотропии верхней стенки волновода. В изотропном волноводе волны вертикальной и горизонтальной поляризаций существуют независимо и волны горизонтальной поляризаций не возбуждаются вертикальным электрическим диполем. В случае анизотропного волновода ТМ-поляризация становится квази-ТМ, что означает примесь ТЕ-поляризации в соответствующей нормальной волне. Аналогичное утверждение относится к нормальным волнам ТЕ-поляризации. Вертикальный электрический диполь возбуждает обе эти серии нормальных волн.

В представлении поля по модам фигурируют функции Лежандра и их производные, описывающие горизонтальную зависимость поля. Использование этих функций без обращения к асимптотическим выражениям необходимо, когда точка наблюдения не находится в волновой зоне, то есть на расстоянии от источника и его антипода, не превышающим несколько длин волн. В КНЧ и нижней части СНЧ-диапазонов волновая зона отсутствует на всей поверхности Земли, что делает непригодными такого типа разложения по нормальным волнам в этих диапазонах при произвольной анизотропии. С повышением частоты появляется волновая область, в которой функции Лежандра и их производные можно заменить асимптотическими разложениями. Асимптотические разложения для функций Лежандра содержат две экспоненты. Одна из них описывает распространение по волноводу нормальной волны от источника, другая описывает распространение от антипода к источнику. В каждой из этих экспонент фигурирует постоянная распространения нормальной волны. Это обстоятельство находится в случае общей анизотропии в противоречии с возможным проявлением невзаимности, когда обратные волны имеют характеристики распространения, отличные от характеристик распространения прямых волн. Обратные волны существенны на частотах, где ещё проявляется шумановский резонанс, то есть ниже 100-200 Гц. С повышением частоты увеличивается затухание нормальных волн, и обратные волны не проявляются. Для функций Лежандра можно использовать одно-экспоненциальные асимптотики и отмеченные противоречия не проявляются.

Таким образом, в случае общей анизотропии применяемое разложение по нормальным волнам регулярного сферического волновода пригодно на частотах выше 200 Гц и лишь для описания поля в волновой зоне. Для волн ИНЧ-диапазона (0,3-3 кГц) отмечена [57, 58] значительная азимутальная зависимость постоянных распространения, что указывает на необходимость привлечения трёхмерных волновых полей для описания распространения радиоволн в волноводе Земля-ионосфера.

П.Е. Краснушкин выдвинул [59] для описания поля в волноводе метод нормальных волн. Схема метода нормальных волн применительно к волноводу Земля-ионосфера реализована в [60]. Согласно схеме метода, для пары азимутально-симметричных вертикальных векторов Герца формулируется задача типа Штурма-Лиувилля в полу бесконечном промежутке (г а). Собственным числом в этой задаче является переменная пропорциональная квадрату косинуса угла падения волны на ионосферу у поверхности Земли. Собственной функцией является пара вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца. В сформулированной задаче собственные функции обладают полнотой и позволяют представить вертикальную зависимость векторов Герца и источников в виде ряда по нормальным волнам, что приводит к соответствующему представлению для электромагнитного поля непосредственно, минуя преобразование Ватсона. Анизотропия ионосферы, при этом, ограничена, случаем вертикального магнитного поля, то есть, как раз тем случаем, когда сферический волновод можно считать безоговорочно регулярным. К сожалению, эта схема метода нормальных волн не подлежит обобщению на случай анизотропии общего вида и на случай нерегулярного волновода.

В работе [61] П.Е. Краснушкиным приводится разновидность метода нормальных волн, предназначенная для рассмотрения распространения радиоволн в нерегулярном сферическом волноводе с анизотропией общего вида. Опираясь на идею трассы при распространении волн, азимутальная неоднородность учитывается тем, что тензор диэлектрической проницаемости берётся на меридиональной плоскости, соединяющей передатчик и приёмник. Относительно вертикальных однокомпонентных векторов Герца и их 9 - вых производных сформулирована система дифференциальных уравнений первого порядка по продольной координате 9 и второго порядка по поперечной координате г. Считается, что поле и среда не зависят от координаты ф. Утверждается, что приведённая система уравнений является точной в случае отсутствия зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9. Однако это утверждение не справедливо, так как даже при отсутствии зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9, в случае анизотропии общего вида невозможно получить подобную систему уравнений строго из-за отсутсвия разделения переменных в системе уравнений Максвелла в этом случае. Кроме того, выбор в качестве переменных вертикальных компонент векторов Герца для формулировки задачи распространения электромагнитных волн в нерегулярном волноводе не пригоден из-за невозможности ограничиться однокомпонентными векторами Герца в случае нерегулярного волновода. По отношению к спектральной задаче в [69], спектральная задача для системы уравнений [61] меняется качественно. Собственной вектор-функцией в [69] является пара вертикальных компонент векторов Герца. В системе уравнений [61], собственной вектор-функцией является четыре-вектор, состоящий из вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца и их продольных производных. Собственные числа системы [60] имеют смысл квадрата косинуса угла падения волны на ионосферу у земной поверхности. В системе [61] собственные числа интерпретируются как синус угла падения волны. В спектре встречаются числа с положительной и отрицательной реальными частями. Собственные числа с положительными реальными частями соответствуют волнам, распространяющимся от передатчика к приёмнику, собственные числа с отрицательными реальными частями соответствуют волнам, распространяющимся в обратном направлении. В случае анизотропии общего вида собственные числа с отрицательными реальными частями не равны с обратным знаком соответсвующим собственным числам с положительными реальными частями, что является свидетельством наличия эффекта невзаимности при распространении в волноводе с общей анизотропией.

Другая форма метода нормальных волн для задачи распространения электромагнитных волн в сферическом волноводе с общей анизотропией дана в [62, 55], где, как и в [61], предполагается азимутальная симметрия, а поле и в среде. Относительно тангенциальных по отношению к наравлению распространения в волноводе компонент электромагнитного поля сформулирована система дифференциальных уравнений первого порядка по продольной координате 0 и второго порядка по поперечной координате г. Таким образом, переменные этой системы уравнений не связаны с потенциалами, как в системе уравнений [61], они являются некоторыми компонентами электромагнитного поля, что обеспечивает корректность при выводе приведённой системы уравнений, которая является точной даже в случае наличия зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9. В системе уравнений [62, 55] собственной вектор-функцией является четыре-вектор, состоящий из этих тангенциальных компонент электромагнитного поля. Собственные числа системы [62, 55], также как собственные числа в системе уравнений [61], имеют смысл синуса угла падения волны на ионосферу у земной поверхности. Сопряженные собственные вектор-функции, участвующие при разложении по собственным функциям спектральной задачи, удовлетворяют другой системе уравнений, отличной от исходной. В случае анизотропии общего вида, даже при отсутствии зависимости тензора диэлектрической проницаемости от 9, система дифференциальных уравнений по координате 0 оказывается связанной, как это бывает в случае нерегулярного волновода, что подтверждает правильность квалификации сферического волновода с постоянным тензором диэлектрической проницаемости как нерегулярного в случае анизотропии общего вида. Эта разновидность метода нормальных волн является версией метода поперечных сечений [63]. Поперечным сечением здесь является поверхность конуса, проходящего через параллель сферической системы координат, связанной с источником. Отсутствие зависимости тензора диэлектрической проницаемости от ф и азимутальная симметрия в поле при возбуждении волновода вертикальным электрическим диполем избавляют от необходимости рассматривать мембранные функции, отличные от -независимых. Однако метод поперечных сечений изложен в [62, 55] в случае азимутальной симметрии задачи при анизотропии общего вида.

Имеется большое количество работ, посвященных исследованию характеристик распространения нормальных волн в зависимости от различных параметров волновода и частоты. Отметим только некоторые из них [64-80]. В работах [64, 65] рассматривается импедансная модель волновода и устанавливается связь между ионосферным импедансом и постоянными распространения нормальных волн. Однако практическая ценность этих соотношений сильно ограничена из-за неприменимости импедансной модели для описания отражений от диффузного ионосферного слоя, когда этот импеданс относится к нижней границе существенной области. В работах [74, 75, 79, 80] также рассматривается импедансный волновод, но в них импеданс относится не к нижней границе существенной области, а к эффективной высоте, которая появляется вследствие техники пересчёта импеданса [82, 29]. В этом случае импеданс слабо зависит от угла падения волны, что делает оправданной импедансную постановку задачи. При изучении свойств характеристик распространения нормальных волн открыто явление вырождения нормальных волн [82, 75, 79, 83-88], связанное со слиянием близких собственных значений.

Численное решение задачи разложения электромагнитного поля по нормальным волнам в регулярном анизотропном сферическом волноводе проведено в [50].

В [89-91] дано полуаналитическое решение этой задачи. Идея рассмотрения основана на пере формулировке на эффективной высоте верхней стенки волновода. Вместо матричного адмитанса граничные условия формулируются через другую матрицу а, которая связывает тангенциальные по отношению направлению распространения компоненты электромагнитного поля с продольными компонентами, то есть Е р = а ( Е„ \ -ZQHQ;

Z0 - импеданс вакуума. В случае многомодового волновода (kh » 1, h эффективная высота волновода), каким является волновод Земля-ионосфера в диапазоне СДВ и выше, матрицу а можно считать малой и строить выражения для собственных чисел задачи в виде рядов по земному поверхностному импедансу и элементам матрицы а. Коэффициенты в этих разложениях учитывают сферичность полости волновода, зависят от частоты и высоты волновода через приведённую высоту волновода. Эти коэффициенты получаются численно из функций Эйри [92, 93].

Альтернативный способ вычислению по вычетам интеграла для электромагнитного поля, полученного после преобразования Ватсона, является вычисление методом многократно отраженных волн (скачков) [7, 13,94-102].

Представление подынтегральной функции в виде ряда, интерпретируемого как ряд многократно отраженных волн, основано на разложении в ряд по элементам матрицы RjRg функции Det l-RiRg), которой она пропорциональна. Здесь Rg - диагональная матрица, составленная из коэффициентов отражения от земной поверхности волн вертикальной и горизонтальной поляризаций. Rj - матричный коэффициент отражения от ионосферы на уровне земной поверхности. Нулевой член ряда не зависит от ионосферы и соответствует задаче распространения радиоволн в отсутствии ионосферы. Первой член ряда содержит коэффициент отражения от ионосферы в первой степени и называется первым скачком. Степень ионосферной матрицы коэффициента отражения повышается с ростом номера разложения. Интегралы, соответствующие полю скачков обычно вычисляются по методу стационарной фазы, что допустимо при kh l (к -волновое число, h - эффективная высота волновода). Для частот СДВ-диапазона и выше это условие выполняется как для ночной, так и для дневной моделей ионосферы. Седловая точка обычно получается из геометрооптических соображений, имеющих место при падении и отражении волны от уровня, определяемого эффективной высотой ионосферы. При удалении точки наблюдения по земной поверхности от источника в сферическом волноводе скачки превращаются в дифракционные и их вычисление затруднено, что ограничивает по расстоянию применение метода скачков.

Вычисление электромагнитного поля в волноводе по ряду Дебая выполнено Джолером [103-105]. Непосредственное вычисление ряда Дебая в случае, когда передатчик и приёмник находятся на одной высоте, невозможно из-за его расходимости, которая обязана поведению электромагнитного поля в окрестности источника. В работах [103-105] использована техника улучшения сходимости ряда, основанная на вычитании статического поля. Этот метод вычисления поля привлекателен тем, что не требует определения спектра нормальных волн и допускает обобщение на случай неоднородного анизотропного волновода, но для получения компонент электромагнитного поля требуется учитывать большое число членов ряда. Заметим, что в [106] также проведено суммирование ряда Дебая в случае открытой сферы, где использована другая техника улучшения сходимости, которую можно назвать мультикативной.

Для полноты изложения следует упомянуть ещё об одном методе вычисления электромагнитного поля в регулярном сферическом волноводе. Метод основан на представлении поля по модам сферического резонатора. Однако этот метод реализован [21] только для волн КНЧ-СНЧ диапазонов в импедансной модели волновода, которая не применима в этом диапазоне частот.

Из рассмотрения задачи распространения радиоволн в регулярном волноводе Земля-ионосфера можно сделать следующие выводы относительно необходимой модели волновода. Ионосфера во всём диапазоне частот должна рассматриваться как непрерывная среда. Модели ионосферы с одним, двумя однородными слоями имеют только методическое значение и приводят к значительным погрешностям при расчётах электромагнитного поля в широком диапазоне частот. Роль анизотропии ионосферы значительна как для ночной, так и для дневной моделей ионосферы на частотах ниже СДВ-диапазона. В СДВ-диапазоне и выше него анизотропия не существенна для дневной модели ионосферы. Влияние на распространение радиоволн сферической слоистости ионосферы также значительно в частотном диапазоне СДВ и выше. Именно вследствие сферичности волновода наблюдается явление концентрации электромагнитного поля у его верхней стенки. В частотном диапазоне ниже СДВ ионосферу можно рассматривать как плоскослоистую среду. При описании горизонтального распределения поля наоборот роль сферичности не существенна в частотном диапазоне СДВ и выше. Для функций Лежандра, описывающих горизонтальную зависимость в поле, годятся одно-экспоненциальные асимптотики во всём диапазоне расстояний, на которые прогнозируется поле. Вторая экспонента отсутствует в асимптотическом разложении из-за значительного убывания поля на расстоянии до антипода источника и обратно. В ИНЧ-диапазоне (0,3-3 кГц) сокращаются расстояния, на которые электромагнитное поле распространяется заметно по волноводу из-за больших затуханий нормальных волн, что позволяет игнорировать сферичность, как при описании вертикальной, так и горизонтальной зависимости в поле. Однако в этом частотном диапазоне имеет место значительная азимутальная зависимость постоянных распространения нормальных волн, что приводит к необходимости введения в рассмотрение трёхмерного поля. В частотном диапазоне СНЧ и ниже ( 300 Гц) сферичность волноводного канала проявляется при описании горизонтальной зависимости в поле. На расстояниях, где годятся асимптотики для функций Лежандра (волновая зона от источника и антипода), проявляется вторая экспонента из-за малости затухания волны на расстоянии до антипода и обратно. На более близком расстоянии к источнику или антиподу, а также с понижением частоты волновая зона отсутствует вовсе. В этих случаях сферичность волноводного канала проявляется даже в окрестности источника. Эти свойства в поведении электромагнитного поля в горизонтальном направлении обеспечивают наличие шумановских резонансных частот. В частотном диапазоне СНЧ и ниже волновод Земля-ионосфера имеет одну распространяющуюся моду, что открывает новые возможности для описания электромагнитного поля в волноводе.

Реальный волновод Земля-ионосфера характеризуется заметными горизонтальными неоднородностями. Наиболее существенной среди них является неоднородность перехода от дневной ионосферы к ночной. В первых работах, связанных с неоднородным волноводом, переход моделировался идеально отражающей поверхностью, высота которой менялась по линейному закону вдоль одного направления [106, 107]. Рассматривалось двумерное поле вертикальной компоненты потенциала Герца. В дальнейших работах [108-111] переход от дневной ионосферы к ночной моделировался набором ступенек. В работе [111] переход описывался пределом бесконечного числа ступенек с бесконечно малыми высотами. Рассматривалось двумерное поле вертикальной компоненты потенциала Герца. В случае анизотропного волновода задача сформулирована относительно вертикальных компонент электрического и магнитного векторов Герца [112,113]. В предположении, что на границе сочленения волноводов поле потенциалов отсутствует на общей части сочленения, получены коэффициенты перевозбуждения нормальных волн волновода. Следует заметить, что при решении задач с такими моделями перехода, возникает целый ряд трудностей математического и физического плана. Например, при предположении об идеальной проводимости внешней стенки волновода задачу можно считать математически сформулированной. Но в этом случае при наличии угловых переходов разложение по модам волновода приводит к бесконечной нерегулярной системе уравнений, которая не поддаётся непосредственному численному рассмотрению [114]. При использовании импедансных граничных условий считать обоснованным отсутствие поля в переходной области высот между волноводом с малой высотой и волноводом с большей высотой. Кроме того, использование вертикальных векторов Герца в качестве зависимых переменных не оправдано в случае нерегулярного волновода, и затруднительна даже сама формулировка импедансных граничных условий.

В работах [21, 115-118] рассматривалось электромагнитное поле частот ниже 300 Гц в нерегулярной сферической полости. Нижняя стенка полости (земная поверхность) предполагалась идеально проводящей. Верхняя стенка волновода (нижняя кромка ионосферы) предполагалась с импедансными граничными условиями общего анизотропного типа. Задача рассмотрена для случаев различных и многих моделей горизонтальной неоднородности импеданса и эффективной высоты ионосферы применительно к нахождению шумановских частот и поля вертикального электрического диполя.

В работах [21, 115-118] задача решалась методом разложения электрического поля и магнитного поля по электрическим и магнитным полям объёмных нормальных волн сферической полости с идеально отражающими границами. Использование импедансных граничных условий на нижней кромке ионосферы формулировало бесконечную систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения электрического и магнитных полей по базису сферической полости с идеально отражающими стенками. Равенство определителя системы уравнений приводит к уравнению для шумановских частот. Возбуждение волновода вертикальным электрическим диполем описывается неоднородной системой уравнений. Кроме метода решения, основанного на разложении по электрическому и магнитному базису сферической полости, в работах [21, 115-118] использовался метод, основанный на интегральном векторном уравнении на области поверхности неоднородности верхней стенки волновода. Несмотря на обилие рассмотренных моделей неоднородности, полученные решения не имеют количественного соответствия для случаев реальной горизонтальной неоднородности волновода Земля-ионосфера из-за невозможности использования импедансных граничных условий в диапазоне СНЧиниже[33].

Импедансный волновод с различными локальными неоднородностями, помещёнными как в окрестности приёмника или передатчика, так и в произвольном месте между ними, рассмотрен в цикле работ [119-130] на основе скалярного или векторного интегрального уравнения на верхней стенке волновода. Однако результаты, полученные в этом цикле работ, годятся для описания полей в неоднородном волноводе Земля-ионосфера, так как предназначены для электромагнитных полей СДВ-диапазона, где могут быть использованы импедансные граничные условия при подходящей эффективной высоте. Оригинальный метод решения нерегулярных задач этого цикла с крупными локальными неоднородностями заключается в сведении двумерного интегрального уравнения к одномерному по трассе распространения и периметру локальной неоднородности. Метод имеет ограничение снизу по частоте.

Поле в нерегулярном волноводе с неоднородным заполнением рассмотрено в небольшом количестве работ [61, 62, 55, 131-133]. В работе [61] рассматривается двумерное поле вертикальных компонент векторов Герца и их продольных производных. Выбор этих переменных в случае нерегулярного волновода не оправдан, так как электромагнитное поле в нерегулярном волноводе не представляется как поле однокомпонентных векторов Герца. В результате полученная в [61] система уравнений приближенная с неконтролируемой точностью. В других работах по нерегулярному волноводу с заполнением задача сформулирована в соответствие с методом поперечных сечений [63] относительно тангенциальных по отношению к оси волновода компонент электромагнитного поля. При таком подходе нерегулярность волновода по его оси учитывается корректно. В работах [54, 61] анизотропные свойства сферического волновода и поле в нём предполагаются независящими от поперечной горизонтальной координаты. В работах [131-133] электромагнитное поле предполагается трёхмерным, а свойства волновода не зависят от поперечной горизонтальной координаты. В работе [131] рассмотрен изотропный вариант плоского волновода. В работах [132, 133] волновод предполагается плоским и анизотропным. Во всех работах по нерегулярному волноводу явно или неявно содержится идея трассы распространения радиоволн, что не приемлемо в случае частот СНЧ-диапазона и ниже.

Распространение радиоволн СНЧ-диапазона в нерегулярном волноводе Земля-ионосфера рассматривается также в рамках двумерных теорий. В работе [134] высказана идея рассмотрения распространения радиоволн в модели поверхностной сетки длинных линий. Однако идея не получила развитие до количественной теории. В работах [135-137] для изотропного волновода неоднородность волноводного канала рассматривается на основе уравнения типа волнового по горизонтальным переменным относительно вертикальной компоненты электрического поля. Двумерное уравнение носит эвристический характер. В свободный член этого уравнения входит постоянная распространения основной нормальной волны.

В работе [138] аналогичное уравнение сформулировано относительно вертикальной компоненты вектора Герца. Уравнение подобного вида не имеет математического оправдания. Кроме того, в случае анизотропного волновода, когда постоянная распространения зависит от направления распространения волны, остаётся не ясным, постоянную распространения какого направления следует подставлять в это уравнение. Таким образом, не говоря о точности описания поля в волноводе, принятая форма уравнения внутренне противоречива в случае анизотропного волновода. В работе [139] двумерное уравнение для импедансного изотропного волновода сформулировано относительно вертикальной компоненты электрического поля. Полученное уравнение можно рассматривать как следствие двумерного телеграфного уравнения [140] с дополнительным требованием достаточной малости ионосферного импеданса.

Сформулируем выводы, которые вытекают из обзора литературы.

Проблема теоретического исследования распространения электромагнитных волн диапазона 0,1-1000 Гц в анизотропном с трёхмерными неоднородностями волноводе Земля-ионосфера представляет несомненный теоретический интерес так и практический интерес с точки зрения приложений к широкому кругу радиофизических и геофизических проблем.

-В этом частотном диапазоне нет приемлемой теории распространения радиоволн в нерегулярном анизотропном волноводе Земля-ионосфера. Теория распространения радиоволн, основанная на разложении электромагнитного поля по нормальным волнам, имеет в своей основе направление распространения и идею трассы распространения, что не пригодно в этом диапазоне частот.

-Однако в этом диапазоне частот эффективно распространяющейся является только одна квази-ТЕМ мода, что открывает дополнительные возможности для более простого, чем система уравнений Максвелла описания электромагнитного поля в волноводе. Имеющиеся двумерные теории распространения [134-139] используют в той или иной степени на эвристическом уровне эти особенности распространения радиоволн низких частот в волноводе без обоснования достаточной точности описания. Кроме того, приведённые двумерные уравнения имеют внутреннее противоречие, которое не позволяет даже последовательно сформулировать их в случае анизотропного волновода, которым и является волновод Земля-ионосфера.

Основываясь на только что приведённых положениях, сформулируем Цель данной диссертационной работы создание теории распространения низкочастотных электромагнитных волн в тонких двухпроводных поверхностных волноводах и применение этой теории к проблемам распространения низкочастотных электромагнитных волн в трёхмерно неоднородном анизотропном волноводе Земля-ионосфера на основе:

1) сформулированного в этой связи двумерной теории распространения волн в волноводе;

2) использования того, что электромагнитные волны частот ниже 1 кГц распространяются в волноводе Земля-ионосфера на дальнее расстояние исключительно одной нормальной волной;

3) разработки модели параметров нового уравнения, приемлемых для описания распространения волн в реальном волноводе Земля-ионосфера;

4) построения решений этого уравнения при двумерно неоднородных и анизотропных моделей параметров уравнения.

Публикация материалов диссертации и её краткое содержание

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и оригинальными. В совместных работах автору принадлежит постановка задачи и алгоритм её решения. Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [11, 28, 29, 33-37, 56, 77, 81, 89 - 91,106, 140, 144, 145, 148, 149, 151, 152, 167 - 169, 171, 174, 178 - 181]. Две из них [151, 152] приняты в печать. Содержание диссертации отражено также в докладах на научных семинарах, конференциях, симпозиумах и коллоквиуме. [32, 53, 146 - 147,150,170,175-177,182-207]

Вошедшие в диссертационную работу материалы представлялись на: -X Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Иркутск, 1972, [32,182];

-XIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Горький, 1981, [183];

-XV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Алма-Ата, 1987, [184];

-XVI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Харьков, 1990, [177];

-XVII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Ульяновск, 1993, [185];

-XVIII Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, С.Петербург, 1996, [175]; -XIX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Казань, 1999, [176];

-XX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, Нижний Новгород, 2002, [170];

-Всесоюзной конференции "Приём сверхнизкочастотных колебаний и устройства для их обработки", Воронеж, 1983, [186];

-Всесоюзной конференции "Приём сверх низкочастотных колебаний и устройства для их обработки", Воронеж, 1987, [187,188]; -Региональной научно-технической конференции. Секция «Ионосфера и распространение радиоволн», научно-техническое общество радиотехники, электроники и связи имени А.С. Попова, Новосибирск, 1985, [189]; -Межведомственных семинарах по распространению километровых и более длинных радиоволн: Красноярск, 1986; Харьков, 1987; Горький, 1989; Омск, 1990; Томск, 1991 [53,147,190-198];

-Региональных конференциях по распространению радиоволн: Санкт-Петербург, 1997, [199, 200]; Санкт- Петербург, 1998, [201]; Санкт-Петербург, 2000, [202]; Санкт-Петербург, 2001, [203]; Санкт-Петербург, 2002, [150]; Санкт- Петербург, 2003, [204];

-VI Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Цахкадзор, 1973, [205,206];

-IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн, Телави, 1985, [207];

-IX Международном коллоквиуме по электромагнитной совместимости, Брест, Франция, 1998, [146].

Результаты работы использовались при выполнении бюджетных работ отдела радиофизики НИИ Физики и института Радиофизики Санкт-Петербургского государственного университета: "Татьяна-РВО", "Трамшшн-I-PBO", "Распространение радиоволн в околоземном пространстве", а также в ряде хоздоговорных работ таких как "Танкер-РВО", "Теорема-1-РВО", 1980-1985; "Трамплин-МВО", 1989; "Талнах-ОКТБ", 1985-1990; "Ливадия-2-РФ", 2005-2004; "Поле", 2003; "Поле-2", 2004. Часть исследований была поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Диссертационная работа состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, 32 рисунков, 9 таблиц и Списка литературы, насчитывающего 207 наименований. Общий объём работы 300 страниц.

В первой главе на основе поверхностной формы уравнения сохранения заряда в одном из поверхностных проводников выводится двумерное телеграфное уравнение как точное соотношение, выражающее поверхностную форму сохранения заряда. Вводятся новые физические понятия: поверхностная плотность ёмкости С и локальная индуктивность L, которые формируют коэффициенты двумерного телеграфного уравнения, являясь его параметрами. Находятся компоненты электромагнитного поля на поверхности проводника по известному поверхностному полю плотностей заряда и тока. В случае изотропной плоскослоистой модели волновода по электромагнитному полю нулевой моды определяются индуктивная высота hL, ёмкостная высота hc. Несмотря на то, что такая модель не имеет практического значения для описания распространения радиоволн в волноводе Земля - ионосфера, полученные при этом параметры имеют большое методическое значение для электродинамических моделей из-за их простоты и наглядности. В целях оценки влияния сферичности волноводного канала на параметры двумерного телеграфного уравнения рассмотрена эта задача по полю нулевой моды в сферической полости между идеально отражающими сферами (г = а, поверхность одного проводника) и (r = a + h, нижняя поверхность другого проводника). Сферичность волноводного канала оказывает некоторое влияние на ёмкостную высоту hc и практически не проявляется в индуктивной высоте hL. Электромагнитное поле вертикального электрического диполя в плоском волноводе с импедансными стенками строится в виде разложение по нормальным волнам, находятся соответствующие этому полю параметры двумерного телеграфного уравнения, которые отличаются от параметров, полученных по электромагнитному полю нулевой моды. Результатом обсуждения различия между ними являются границы применимости двумерного телеграфного уравнения. Ещё одним результатом решения этой задачи является эффективный источник в двумерном телеграфном уравнении в виде стороннего точечного удельного напряжения, который в рамках этого уравнения даёт поле, совпадающее с полем нулевой моды вертикального электрического диполя в волноводе. Рассматривается решение двумерного телеграфного уравнения при его точечном источнике, соответствующему вертикальному электрическому диполю в случае сферического либо плоского однородного изотропного волновода. Аналогичная задача рассматривается об электромагнитном поле горизонтального электрического диполя в плоском волноводе с импедансными стенками и находится эффективный источник в двумерном телеграфном уравнении, соответствующий горизонтальному электрическому диполю, в виде точечного векторного удельного напряжения. Параметры двумерного телеграфного уравнения, соответствующие реальной ионосфере, получаются как результат решения задачи отражения электромагнитных волн от непрерывной ионосферы. В заключении главы даётся формулировка метода двумерного телеграфного уравнения на случай неоднородного волновода.

.Во второй главе, на основе системы уравнений Максвелла, приводятся решения некоторых задач о распространении электромагнитных волн в анизотропном и изотропном, однородном и неоднородном плоском волноводе с целью сопоставления этих решений с решениями двумерного телеграфного уравнения и выводе отсюда представления о границах применимости этого уравнения. В параграфе 2.1.дано точное решение задачи о распространении электромагнитных волн в плоском анизотропном одномодовом волноводе. Показано, что решение по методу двумерного телеграфного уравнения совпадает точно в одномодовом волноводе с этим решением. Получена конкретная аналитическая зависимость компонент электромагнитного поля вертикального и горизонтального электрических диполей от горизонтальных координат. В параграфе 2.2 рассматривается распространение электромагнитных волн в плавно неоднородном волноводе с азимутально-симметричной анизотропией. Новым методом поперечной координаты построено разложение по модам электромагнитного поля в волноводе, характеризующимся плавной трехмерной неоднородностью. Выводится двумерное телеграфное уравнение как следствие диагонального приближения полученной системы уравнений. В параграфе 2.3 рассматривается на основе уравнений Максвелла задача о поле вертикального электрического диполя в изотропном неоднородном волноводе с цилиндрическим возмущением, симметричным относительно источника. При решении задачи используется модифицированный метод сшивания [147] для поля в нерегулярном волноводе в случае скачкообразного изменения его свойств. Показывается, что, при малом или сравнимом с высотой волновода радиусом возмущения, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в однородном волноводе со свойствами внешней части неоднородного волновода. Неоднородность волновода проявляется в эффективности возбуждающего источника, которая тем больше, чем больше радиус возмущения. При радиусе возмущения, гораздо большем высоты волновода, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в неоднородном волноводе со скачкообразном изменении его параметров. В параграфе 2.4 развивается техника парных разложений, связанных с задачами Штурма-Лиувилля с целью представления по модам шести компонентного электромагнитного поля. Такое представление необходимо в случае, когда поле зависит от трёх координат. В параграфе 2.4, также как в параграфе 2.3, рассматривается на основе уравнений Максвелла задача о поле вертикального электрического диполя в неоднородном волноводе с цилиндрическим возмущением. Однако возмущение предполагается произвольно расположенным относительно источника. В этом случае электромагнитное поле вертикального электрического диполя зависит от трёх пространственных координат и решение строится на основе представления по нормальным волнам, данным в параграфе 2.4. При решении задачи здесь также используется модифицированный метод сшивания [147] для поля в нерегулярном волноводе в случае скачкообразного изменения его свойств. Выводы о границах применимости двумерного телеграфного уравнения, сделанные в параграфе 2.3, уточняются при произвольном расположении источника относительно центра неоднородности. При положении источника на расстоянии порядка высоты волновода дальнее поле, полученное как решение двумерного телеграфного уравнения, отличается раза в два от точного решения.

Третья глава посвящена построению моделей параметров двумерного телеграфного уравнения: поверхностной плотности ёмкости и матричной локальной индуктивности, приемлемых в условиях реальной земной ионосферы на частотах 0,1-500 Гц. В параграфе 3.1. даётся в общем виде схема получения параметров двумерного телеграфного уравнения: на основе электромагнитного поля ведущей нормальной волны, соответствующей анизотропной ионосфере. Для определения локальной индуктивности наряду с полем самой нормальной волны привлекается поле нормальной волны, распространяющейся с близким азимутом. В параграфе 3.2. рассматривается модель поверхностной плотности емкости С на основе электромагнитного поля ведущей нормальной волны. Подтверждается выражение для неё в виде интеграла по высоте от обратной величины элемента тензора комплексной диэлектрической проницаемости ионосферы, полученного в первой главе как параметра, описывающего поведение ионосферного импеданса на земной поверхности как функцию спектрального параметра S. В параграфе 3.3 формулируется практически важная приближенная модель локальной индуктивности, сводящая её к матричному импедансу ионосферы на земной поверхности при нормальном падении плоской волны снизу на плоскую горизонтально однородную анизотропную ионосферу. В параграфе 3.4, развивая возможность получения матричной индуктивности ионосферы по матричному импедансу ионосферы на уровне земной поверхности при нормальном падении плоской волны снизу, показывается, что в диапазоне СНЧ горизонтальные компоненты земного магнитного поля практически не оказывают влияние на этот параметр. Локальная матричная индуктивность зависит только от вертикальной составляющей земного магнитного поля на вертикали, проходящей через точку на земной поверхности, к которой относится эта матричная индуктивность. Даже на магнитном экваторе, где нет вертикальной компоненты земного магнитного поля и имеются лишь горизонтальные компоненты, локальная индуктивность может быть получена по изотропной модели ионосферы. В предположении, что электронная концентрация зависит от высоты экспоненциально, получается аналитическую модель локальной индуктивности как функции частоты. В параграфе 3.5 приводится модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и СНЧ диапазонов. В этом частотном диапазоне область ионосферы, формирующая локальную индуктивность простирается от 70 до 2000 км., а ионосферную плазму следует рассматривать как плазму с замагниченными ионами. В этом параграфе построено четыре модели профиля электронной концентрации, профиля частоты соударений электронов с нейтралами и ионами, профиля частоты соударений ионов с нейтралами, профиля средней массы иона. Модели различаются для ночи и дня, а также сильной и слабой солнечной активностью. В параграфе 3.6, используя модель ионосферы, полученной в параграфе 3.5, получается модель локальной индуктивности, пригодная в диапазоне частот 0,1-50 Гц. Описывается численная процедура её получения и приводятся частотные графики её элементов для различных моделей ионосферы.

В четвёртой главе собраны решения двумерного телеграфного уравнения, относящиеся к описанию распространения радиоволн в сферическом анизотропном неоднородном волноводе Земля-ионосфера. В параграфе 4.1 рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в неоднородном волноводе в рамках двумерного телеграфного уравнения. Волновод предполагается сферическим и кусочно однородным. На одной почти полусфере его параметры (локальная индуктивность и поверхностная плотность ёмкости) соответствуют параметрам ночной ионосферы в изотропном приближении; на другой чуть более полусфере его параметры соответствуют параметрам дневной ионосферы в изотропном приближении. Рассматриваются случаи возбуждения волновода вертикальным электрическим диполем, что соответствует стороннему точечному напряжению, и горизонтальным электрическим диполем, что соответствует точечному векторному удельному напряжению, направленному по диполю. Даётся точное решение задачи в виде разложений по сферическим функциям и их производным. В параграфе 4.2, также как и в параграфе 4.1, рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в кусочно-однородном волноводе при дополнительном частотном ограничении ниже 5 Гц, т. е. ниже частоты первого шумановского резонанса. Рассматриваются случаи возбуждения волновода вертикальным электрическим диполем, что соответствует стороннему точечному напряжению, и горизонтальным электрическим диполем, что соответствует точечному векторному удельному напряжению, направленному по диполю. Источники возбуждения произвольно расположены на дневной или ночной частях волновода. Принятые ограничения по частоте означает, что на любом удалении от источника на земной поверхности поле находится в квазистатической зоне расстояний. Это позволяет просуммировать ряды по присоединённым функциям Лежандра, фигурирующим в разложении для напряжения. В параграфе 4.3 получено как решение двумерного телеграфного уравнения электромагнитное поле от вертикального и горизонтального источников в диапазоне частот 0,1 - 30 Гц с учетом анизотропии, вертикальной и горизонтальной неоднородностей ионосферы, сферичности Земли и ее конечной проводимости. В частотном диапазоне 0,1-5 Гц выражения для поля имеют глобальный характер, то есть, применимы на любом расстоянии от источника. На частотах выше 5 Гц применимость формул ограничена волновой зоной, то есть они не годятся при слишком большом удалении от источника.

В Заключении перечисляются основные результаты работы.

В диссертации исследуются гармонические во времени поля. Зависимость от времени принята в виде ехр(- icoi) и используется система единиц СИ.

Индуктивная и емкостная высоты, определяемые по электромагнитному полю нулевой моды в изотропной плоскослоистой модели волновода

Свойства волновода отражаются в этом уравнении через параметры \і (х,у) и Ъ. (х,у) или hc(0,(p) и hL(0, p). Ёмкостная высота находится в свободном члене этого уравнения, а индуктивная высота находится в промежутке между производными. В случае однородного волновода h 1 можно вынести из-под дифференцирования и тогда все свойства волновода отразятся лишь в свободном члене, который окажется пропорциональным отношению hL/hc . В однородном волноводе этому же уравнению удовлетворяет вертикальная компонента электрического поля, так как она лишь постоянным множителем отличается от напряжения. Если находить hLn hcno электромагнитному полю квази-ТЕМ моды, то в случае плоского волновода где S постоянная распространения этой моды. В случае сферического волновода hc к -постоянная распространения этой моды для сферического волновода. При таком определении параметров hLH hc, двумерное телеграфное уравнение совпадает с соответствующим уравнением поверхностной теории распространения радиоволн из [135-137], в котором нерегулярность волноводного канала учитывается единственно через вариацию постоянной распространения v по поверхности проводника. Постоянная распространения не является параметром двумерного телеграфного уравнения и определяется по параметрам уравнения hLn hc. В нерегулярном случае индуктивная высота hL находится внутри операции поверхностного дифференцирования, что приводит к качественному отличию при рассмотрении неоднородности в этих поверхностных теориях распространения волн в волноводе. Эти поверхностные теории совпадают только в случае однородного изотропного волновода, когда их использование лишено практического основания. Поверхностная теория, в которую постоянная распространения включена в качестве параметра, невозможна даже для однородного волновода, если последний является анизотропным. Постоянная распространения в анизотропном волноводе зависит от направления распространения волны, которое не может быть указано до решения задачи.

Двумерное телеграфное уравнение принципиально не сводимо к обычному телеграфному уравнению из-за различия переменных и параметров. Переменными двумерного телеграфного уравнения являются напряжение, поверхностные плотности заряда и тока. Параметры этого уравнения - поверхностная плотность ёмкости и локальная индуктивность. Переменными обычного телеграфного уравнения являются напряжение, удельный заряд и ток. К параметрам этого уравнения относятся погонные ёмкость и индуктивность. Однако в случае одномерных полей при плоской модели волновода, двумерное телеграфное уравнение (1.3.16) имеет вид что по структуре совпадает с уравнением неоднородной длинной линии. Это совпадение уравнений является следствием одномерности поля в обоих этих случаях. При независимости поля от у ток в двумерном телеграфном уравнении бесконечен. В телеграфном уравнении ток всегда конечен.

Все соотношения, касающиеся двумерного телеграфного уравнения, в этом параграфе являются строгими и точными, но практически бесполезными до тех пор, пока не даны модели параметров уравнения, не зависящие от рассматриваемого поля. Предположение о значительном превышении в нижнем проводнике токов проводимости над токами смещения потребовалось для связи в простейшем виде между переменными двумерного телеграфного уравнения и электромагнитным полем на верхней поверхности нижнего проводника. Это предположение не использовалось при выводе двумерного телеграфного уравнения. В следующем параграфе мы дадим простейшую модель параметров hLH hc по электромагнитному полю нулевой моды в изотропной плоскослоистой модели волновода.

Параметр hc для данной точки на верхней поверхности нижнего проводника получается по формуле (1.3.6), характеризующей hc отношением интеграла по высоте от вертикальной компоненты любого электрического поля на эту компоненту электрического поля на этой поверхности в рассматриваемой точке. Параметр hL для данной точки на верхней поверхности нижнего проводника в изотропной модели волновода полностью определяется по (1.3.8) отношением интеграла по высоте от горизонтальной компоненты любого магнитного поля, ортогональной градиенту напряжения, на эту компоненту на этой поверхности проводника. Тонкий волновод (kh«\, где h- эффективная ширина вакуумной полости между поверхностными проводниками) является одномодовым волноводом, то есть таким волноводом, в котором имеется одна распространяющая мода, а все остальные моды местные, затухающие на горизонтальном расстоянии, равном эффективной высоте волновода. В силу этого обстоятельства предпочтительным полем для определения параметров двумерного телеграфного уравнения является поле нулевой (ведущей) моды. Мы сначала рассмотрим эти параметры в простейшей изотропной плоскослоистой модели двухпроводного поверхностного волновода: нижний, однородный проводник с комплексной диэлектрической проницаемостью є а находится при z 0, верхний однородный проводник с комплексной диэлектрической проницаемостью є\ находится при z h. Таким образом, рассматриваемая модель волновода предполагает не эффективную, а реальную вакуумную полость высотой h между двумя проводниками волновода. Каждый из проводников характеризуется комплексной относительной диэлектрической проницаемостью, много большей единицы по модулю.

Влияние локальной неоднородности на электромагнитное поле вертикального электрического диполя

Выражение (1.7.12) для вертикальной компоненты электрического поля и выражение (1.7.13) для горизонтальной компоненты магнитного поля в точности соответствуют полю нулевой моды [55], получаемому от вертикального электрического диполя в сферическом изотропном волноводе на основе системы уравнений Максвелла. Это совпадение полей подтверждает, что эффективный точечный источник в двумерном телеграфном уравнении в виде стороннего напряжения для вертикального электрического диполя, полученный в модели плоского волновода, пригоден также и для сферического волновода. В квазистатической области расстояний функцию Лежандра и её производную можно заменить выражением (1.7.9) для функции Лежандра и выражением (1.7.10) для её производной, что даёт представление для поля в этой области расстояний в виде элементарных функций

В выражении для магнитного поля в этой зоне свойства волновода входят только через ёмкостную высоту hc, которой магнитное поле обратно пропорционально. Зависимость от расстояния выражается функцией ctg(0/2), что даёт ноль в антиподе источника. Следует заметить, что на частотах ниже 5 Гц формулы (1.7.14) (1.7.15) для поля пригодны вплоть до антипода источника, так как квазистатическая область расстояний охватывает всю земную поверхность. При условии 9«\ выражение для магнитного поля в сферическом волноводе (1.7.15) совпадает с выражением (1.7.6) для магнитного поля в плоском волноводе.

Вертикальная компонента электрического поля зависит от расстояния через функцию ln(sin#/2), которая равна нулю в антиподе источника, и вертикальная компонента электрического поля равна некоторой константе. Зависимость вертикальной компоненты электрического поля от свойств волновода представлено более полно, чем в магнитном поле. Она, также как и магнитное поле, обратно пропорциональна ёмкостной высоте hc. Кроме того, она зависит от индуктивной высоты через постоянную распространения

Для предельного перехода выражения для электрического поля в сферическом волноводе в выражение в плоском волноводе недостаточно условия в«\, как это имеет место для магнитного поля. Требуется ещё условие Imv »1. Применительно к волноводу Земля-ионосфера это условие выполняется на частотах выше 100 Гц. При этом условии ctgv;r«-/, а логарифмическую производную Гамма-функции можно заменить её асимптотическим выражением [14], что даёт y/(v + \)&\n\k2a2S2), обеспечивая предельный переход в формулу плоского волновода. Таким образом, даже на малых расстояниях от вертикального электрического диполя вертикальная компонента электрического поля в сферической полости отличается от соответствующей компоненты в плоском волноводе на частотах ниже 100 Гц. Это, на первый взгляд, парадоксальное обстоятельство объясняется тем, что плоский волновод неограничен и электромагнитное поле в нём удовлетворяет предельному условию при бесконечном удалении от источника. Сферическая полость замкнута, и волны в ней могут распространяться кругосветно, что выражается в замене принципа излучения плоского волновода на условие конечности поля в антиподе источника.

В волновой зоне функцию Лежандра можно заменить её асимптотическим выражением Для горизонтальной компоненты магнитного поля вместо (1.7.13) получим Применительно к волноводу Земля-ионосфера на частотах ниже 100 Гц мнимая часть постоянной распространения нулевой нормальной волны S не настолько велика, чтобы для тригонометрических функций, входящих в выражения (1.7.16) и (1.7.17) для электромагнитного поля, можно было использовать их одно-экспоненциальные выражения, что указывает на режим стоячих волн в сферическом волноводе на этих частотах. Таким образом, и в волновой зоне на частотах ниже 100 Гц сферический волновод качественно отличается от плоского волновода. На частотах выше 100 Гц мнимая часть постоянной распространения нулевой нормальной волны S уже велика, что позволяет для тригонометрических функций, входящих в выражения (1.7.16) и (1.7.17), использовать их одно-экспоненциальные выражения. При такой замене формулы для электромагнитного поля в волновой зоне сферического волновода превратятся в формулы (1.7.5) плоского волновода с заменой фактора рас ходимости цилиндрической волны \j-\p на \/ asm0.

Модель ионосферы для электромагнитного поля КНЧ и СНЧ диапазонов

Двумерное телеграфное уравнение сформулировано в параграфе 1.3 как точное соотношение, выраженное в терминах напряжения и его поверхностного градиента. Поверхностная плотность ёмкости и матричная локальная индуктивность являются его параметрами. Однако двумерное телеграфное уравнение будет точным соотношением только в том случае, если его параметры будут соответствовать тому полю, которое ему удовлетворяет. В параграфе 1.4 на примере задачи о поле вертикального электрического диполя это положение было проиллюстрировано. Для того чтобы соотношение сохранилось как точное при определении параметров уравнения, должны быть учтены все моды, включая местные, по которым раскладывается поле диполя. При таком определении параметров уравнения они, даже в случае однородного волновода, являются функцией точки на земной поверхности. Горизонтальный масштаб неоднородности параметров уравнения в случае однородного волновода его эффективная высота, На расстояниях от источника, превышающих эффективную высоту волновода, параметры уравнения определяются одной ведущей модой волновода и перестают практически зависеть от положения точки на земной поверхности. Тем самым, если параметры уравнения определять не по полному полю, а по полю нулевой моды, то для однородного волновода они также окажутся однородными. Следует отметить также, что двумерное телеграфное уравнение теряет прогностическую ценность, если его параметры определять по тому полю, которые мы собираемся находить. В силу этого обстоятельства метод двумерного телеграфного уравнения предполагает, что параметры уравнения определяются только по полю ведущей моды.

В предыдущем параграфе получена по полю нулевой моды модель ёмкостной высоты, определяющей поверхностную плотность ёмкости, в виде интеграла по высоте от обратной величины дважды радиального элемента тензора относительной диэлектрической проницаемости ионосферы. Сферичность волновода оказывает некоторое слабое влияние на этот параметр. Она учитывается добавлением в интеграл множителя (а/г) . Индуктивная высота, которая определяет локальную индуктивность, определяется по импедансу ионосферы на земной поверхности при нормальном падении волны. Сферичность волновода практически не влияет на этот параметр. В случае однородного волновода так определённые параметры однородны.

. В случае неоднородного волновода для каждой точки на земной поверхности параметры уравнения понимаются по ионосферному профилю комплексной диэлектрической проницаемости над этой точкой и земным импедансом в этой точке поверхности. Например, при определении индуктивной высоты, для которой требуется найти ионосферный импеданс на земной поверхности при нормальном падении волны, ионосфера считается однородной с профилем комплексной диэлектрической проницаемости над рассматриваемой точкой на земной поверхности. При таком понимании параметров для неоднородного волновода они окажутся неоднородными вследствие изменения высотного профиля комплексной диэлектрической проницаемости и земного поверхностного импеданса.

В следующей главе на примере ряда задач, решение которых выходит за рамки двумерного телеграфного уравнения, мы рассмотрим вопросы обоснования применимости двумерного телеграфного уравнения.

В настоящей главе приводятся решения на основе системы уравнений Максвелла некоторых задач о распространении электромагнитных волн в анизотропном и изотропном, однородном и неоднородном плоском волноводе с целью сопоставления этих решений с решениями двумерного телеграфного уравнения и вывода отсюда представления о границах применимости этого уравнения.

В параграфе 2.1.дано точное решение задачи о распространении электромагнитных волн в плоском анизотропном одномодовом волноводе. Показано, что решение по методу двумерного телеграфного уравнения совпадает точно в одномодовом волноводе с этим решением. Получена конкретная аналитическая зависимость компонент электромагнитного поля вертикального и горизонтального электрических диполей от горизонтальных координат.

В параграфе 2.2 рассматривается распространение электромагнитных волн в плавно неоднородном волноводе с азимутально-симметричной анизотропией. Новым методом поперечной координаты построено разложение по модам электромагнитного поля в волноводе, характеризующимся плавной трехмерной неоднородностью. Выводится двумерное телеграфное уравнение как следствие диагонального приближения полученной системы уравнений.

В параграфе 2.3 рассматривается на основе уравнений Максвелла задача о поле вертикального электрического диполя в изотропном неоднородном волноводе с цилиндрическим возмущением, симметричным относительно источника. При решении задачи используется модифицированный метод сшивания [147] для поля в нерегулярном волноводе в случае скачкообразного изменения его свойств. Показывается, что, при малом или сравнимом с высотой волновода радиусом возмущения, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в однородном волноводе со свойствами внешней части неоднородного волновода. Неоднородность волновода проявляется в эффективности возбуждающего источника, которая тем больше, чем больше радиус возмущения. При радиусе возмущения, гораздо большем высоты волновода, дальнее поле от вертикального диполя получается точно методом двумерного телеграфного уравнения, рассматриваемого в неоднородном волноводе со скачкообразном изменении его параметров.

В параграфе 2.4 развивается техника парных разложений, связанных с задачами Штурма-Лиувилля с целью представления по модам шести компонентного электромагнитного поля. Такое представление необходимо в случае, когда поле зависит от трёх координат.

Решение двумерного телеграфного уравнения с учетом анизотропии и неоднородности

Построено новым методом поперечной координаты, не сводящимся к методу поперечных сечений, разложение по модам электромагнитного поля в волноводе, характеризующимся плавной трехмерной неоднородностью. Показано, что методом поперечной координаты, который построен на модах типа "вертикальная мода, горизонтальные лучи" возможен только в азимутально-симметричной модели волновода. Выводится двумерное телеграфное уравнение как следствие диагонального приближения полученной системы уравнений.

Известен [63] метод поперечных сечений для нерегулярных волноводов типа трубы, когда имеется двумерное поперечное сечение и одномерное распространение по оси волновода. Распространение радиоволн в околоземном пространстве происходит в волноводе Земля-ионосфера, который является волноводом другого типа двух направленных плоскостей или сферических поверхностей, между которыми распространяются электромагнитные волны. В таком волноводе одна поперечная координата и двумерное распространение. Метод нормальных волн [55,59,60,62,64], предназначенный для описания электромагнитных полей в волноводах типа двух плоскостей предполагает двумерное электромагнитное поле, зависящее от одной поперечной и одной продольной координаты, что смыкает его с методом поперечных сечений. Метода поперечной координаты для полей, зависящих от трех координат в нерегулярных волноводах, насколько нам известно, не имеется.

Считаем, что волновод образован двумя плоскими стенками. Нижняя стенка волновода (Земля, z 0) - слоистый по глубине горизонтально кусочно-однородный проводник. Верхняя стенка волновода (ионосфера, z 0), характеризуется тензором комплексной относительной диэлектрической проницаемостью вида

Такой тензор соответствует анизотропии плазмы когда внешнее магнитное поле направлено вертикально. Ионосфера не имеет очерченной нижней границы. Зависимость тензора диэлектрической проницаемости ионосферы от высоты и проводимость Земли таковы, что образуются нормальные волны дискретного спектра. Тензор диэлектрической проницаемости ионосферы непрерывно зависит также от горизонтальных координат х и у.

Симметрия тензора єік в виде (2.2.1) обеспечивает азимутальную независимость нормальной волны. Это условие является необходимым для метода поперечной координаты, так как в случае произвольной анизотропии в плоском горизонтально однородном волноводе электромагнитное поле представляется [8] в виде ряда по нормальным модам, каждый член которого является интегралом по азимутальному углу от компонент нормальной волны. В методе нормальных волн и поперечных сечений электромагнитное поле представляется в виде ряда нормальных волн.

Задача на собственные числа и собственные вектора-функции получается из уравнений Максвелла следующим образом. Предположим волновод горизонтально однородным, электромагнитное поле независимым от координаты у, а зависимость от времени и координаты х в виде ехр(-icot + ikSx), k - волновое число, S - спектральный параметр. При этих предположениях для компонент электромагнитного поля, ортогональных поперечной координате z, получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений соответственно электрическая и магнитная проницаемости вакуума. При принятой (2.2.1) симметрии тензора комплексной относительной диэлектрической проницаемости в систему дифференциальных уравнений (2.2.2) входит только квадрат спектрального параметра S. Требование достаточного убывания вектор-функций при z - ± о для того, чтобы существовали интегралы с квадратами её компонент, формулирует вместе с системой уравнений (2.2.2) задачу на собственные числа и собственные вектор-функции дискретного спектра.

Мы здесь не обсуждали конкретный способ решения [50-53. 55, 56, 60] этой задачи, предположим, что её решение найдено и сосредоточим внимание на векторных разложениях, связанных с ней. В методе нормальных волн в форме П.Е. Краснушкина раскладываются только компоненты электромагнитного поля Еу , ZoHy, направленные вдоль координаты у, от которой электромагнитное поле не зависит. В методе поперечных сечений [63,62,55] раскладываются четыре компоненты электромагнитного поля, тангенциальные к единственной координате распространения волны, т.е. Ех, Ez, ZoHy, ZQHZ, ПО соответствующим компонентам собственной вектор 168 функции. Следует заметить, что спектральным числом здесь является S, а не S , что и обеспечивает возможность разложения четырехкомпонентного вектора вместо двухкомпонентного, как это имеет место в методе П.Е. Краснушкина. Разложение такого типа также не достаточно при двумерном распространении нормальной волны.

Рассмотрим, как можно провести разложение 6-ти компонентного электромагнитного поля с произвольной зависимостью от поперечной координаты на основе собственной вектор-функции системы дифференциальных уравнений (2.2.2). Умножим первое уравнение системы (2.2.2) на Z0Hyp

Похожие диссертации на Двумерное телеграфное уравнение и его применение к задачам радиофизики

Двумерноетелеграфное уравнение и его применение к задачам радиофизикиКириллов, Виталий Васильевич

Применение сингулярных интегральных уравнений для решения внутренних задач анализа рамочной и вибраторных антенн Корнев Михаил Геннадьевич

Численные методы решения уравнений комплексной геометрической оптики и их применение к радиофизическим задачамЕгорченков Роман Андреевич

Дискриминантные процедуры в статистических и динамических задачах радиофизикиАносов, Олег Львович

Амплитудно-фазовые соотношения в радиофизике и краевые задачи аналитических функцийГунько, Ольга Владимировна

Применение метода интегральных уравнений частичных пересекающихся областей для расчета волноводных фар Морозов Валентин Михайлович

Применение сингулярных интегральных уравнений к электродинамическому анализу трубчатых электрических вибраторовМатвеев Игорь Васильевич

Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа кольцевой рамочной антенны и малоотражающего конформного покрытия объектовВороной Андрей Андреевич

Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа поля в ближней зоне электрических вибраторных антенн и решетокЛемжин Михаил Игоревич

Применение теории сингулярных интегральных уравнений к электродинамическому анализу кольцевых и спиральных структурТабаков Дмитрий Петрович