Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Электродинамическая теория плоского полоскового вибратора в свободном пространстве 19
1.1 Постановка задачи. Физическая модель 19
1.2 Векторное двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределении тока по полосковому вибратору 20
1.3 Векторные одномерные СИУ первого рода 23
1.4 Узкий полосковой вибратор. Одномерное скалярное СИУ относительно продольной составляющей поверхностного тока 26
1.5 Метод частичного обращения интегрального оператора для решения СИУ. Численные результаты 27
1.6 Выводы 35
Глава 2. Электродинамическая теория рамочной (полосковой) антенны 55
2.1 Постановка задачи. Физическая модель 55
2.2 Интегральные уравнения в теории возбуждения тел вращения. Функция Грина 55
2.3 Двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределения тока по полосковому кольцевому проводнику 57
2.4 Одномерные СИУ первого рода относительно Фурье гармоник поверхностного тока по полосковому проводнику 59
2.5 Сведение СИУ к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода 61
2.6 Численные результаты по расчёту распределения тока на полосковом кольцевом проводнике 64
2.7 Выводы 76
Глава 3. Электродинамическая теория электрического полого вибратора круговой формы с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока по проводнику 77
3.1 Постановка задачи. Физическая модель 77
3.2 Векторное двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределений составляющих поверхностного тока по вибратору 78
3.3 Векторные одномерные СИУ первого рода относительно азимутальных гармоник поверхностного тока 79
3.4 Дифракция плоской электромагнитной волны на полом идеально проводящем цилиндре конечной длины с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока на вибраторе. Численные результаты 84
3.5 Собственные колебания полого идеально проводящего вибратора с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока. Численные результаты 86
3.6 Влияние азимутальной составляющей поверхностного тока на характеристики электрического вибратора 118
3.7 Выводы 126
Заключение 127
Список использованных источников 128
- Векторное двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределении тока по полосковому вибратору
- Метод частичного обращения интегрального оператора для решения СИУ. Численные результаты
- Двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределения тока по полосковому кольцевому проводнику
- Векторные одномерные СИУ первого рода относительно азимутальных гармоник поверхностного тока
Введение к работе
Актуальность проблемы. При анализе действующих ангенн, а особенно при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: входного сопротивления, сопротивления излучения, распределения тока по антенне, диаграммы направленности (ДН) и др. Кроме того, часто необходимо знание и структуры поля в ближней зоне антенны. Определение достоверных (самосогласованных) значений напряженности электрического и магнитного полей особенно актуально при решении проблем электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии.
Существующие в настоящее время программы (в основном зарубежного производства) расчёта антенн на ПЭВМ (см. например, [Л 1 ]), основанные на общих численных методах и уравнениях Максвелла, подаются как готовый «закрытый» продукт, внутреннее содержание которого, как правило, не раскрываются. Поэтому оценка погрешности расчётов с помощью таких программ, требующих громадные затраты вычислительных ресурсов, практически не возможна. Более того, общие алгоритмы, построенные на основе общих вычислительных подходов, зачастую могут быть неустойчивыми.
Задачу расчёта параметров любой антенны обычно решают в два этапа [Л2]. На первом этапе (внутренняя задача анализа антенны) определяют поверхностные электрические или магнитные токи некоторой виртуальной поверхности, которую в дальнейшем будем называть поверхностью излучения. На втором этапе (внешняя задача анализа антенны) по заданным токам на поверхности излучения определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. К настоящему моменту решение внешней задачи по известному распределению токов для большинства известных излучателей особой проблемы не представляет. Почти все проблемы, связанные с построением адекватных моделей излучающих систем, относятся к внутренним задачам. В работе рассматриваются внутренние задачи анализа для рамочной (полосковой) антенны, полоскового вибратора и электрического вибратора цилиндрической формы. Геометрии антенн приведены на рис. 1.
Основополагающими работами, посвященными расчёту распределения тока по электрическому вибратору цилиндрической формы, можно считать труды X. Поклингтона [ЛЗ], М.А. Леонтовича и М.Л. Левина. В них рассмотрен тонкий электрический вибратор в свободном пространстве. Дальнейшее развитие теории тонкого электрического вибратора получила в работах Р. Кинга, И.Г. Кляцкина, М.С. Неймана и Н.О. Смирнова. Задачи о тонких проволочных (вибраторных) антеннах, как правило, сводят к решению интегро-дифференциальных уравнений Полингтона и Харрингтона, а также интегрального уравнения Халлена. Самым распространенным является метод моментов и его модификации, которые определяются выбором базисных функций. Основным недостатком этого подхода следует считать то, что в основе математической модели том.л м jjiliu ілпеїікашаВибратора лежат
'"'і
интегральные уравнения Фредгольма первого рода, нахождение решений которых является некорректно поставленной задачей по Адамару [Л4]. При этом, естественно, открытым остается вопрос об истинности решения и установления его адекватности рассматриваемой физической задаче.
В [Л5,Л6] получены приближенные соотношения для входного сопротивления и распределения тока электрических колебаний вдоль тонкого полого идеально проводящего цилиндра. Однако, как утверждается в [Л7], решение полученное в [Л5] являются некорректным. В [Л8] для решения задачи дифракции плоской электромагнитной волны на системе тонких электрических вибраторов использовался численный устойчивый алгоритм саморегуляризации решения интегральных уравнений первого рода, разработанный в [Л7].
В [Л9,Л 10] Негановым В.А. и Матвеевым И.В. развит метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ), с помощью которого в строгой самосогласованной постановке была решена задача о распределении тока по трубчатому электрическому вибратору цилиндрической формы. Ранее этот подход применялся В.А. Негановым и Е.И. Нефедовым для построения математических моделей полоского-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх и крайне высоких частот [ЛИ]. Однако в [Л9,Л10] авторы ограничивались учетом только продольной (относительно оси вибратора) составляющей поверхностного тока на проводнике. Это ограничение относится, по видимому, ко всем работам посвященным решению внутренних задач анализа вибраторных антенн. Что касается рамочных антенн, то в большинстве работ такая антенна рассматривалась в приближении заданного тока, т.е. решалась несамосогласованная задача. В самосогласованной постановке в [Л 12] рассмотрена рамочная антенна, представляющая собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту свернутую в кольцо. В этой работе получена система интегральных уравнений относительно азимутальной составляющей поверхностной плотности тока по проводнику. В приближении отсутствия «поперечного» резонанса электрических волн во внутренней области кольцевой антенны (радиус рамки гораздо больше поперечного размера ленты) интегральные уравнения преобразованы к приближенным СИУ с логарифмическими и сингулярными ядрами. Получены приближенные выражения для распределения тока и импеданса антенны, имеющие узкую область применимости:
Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка в самосогласованной постановке на основе теории СИУ математических моделей следующих излучающих систем:
рамочной антенны в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты свернутой в кольцо;
полоскового вибратора;
трубчатого электрического вибратора.
'*<*
Методы исследования. Основы работы составляют меюды математического моделирования, математический аппарат прикладной электродинамики, математический аппарат теории СИУ, метол частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в среде Borland C++ Builder.
Научная новизна работы. Научная новизна диссертации связана с:
применением математического аппарата СИУ к двумерным задачам, к которым были сведены внутренние задачи анализа рассмотренных антенн;
математической корректностью (самосогласованностью) постановки внутренних задач анализа рассмотренных антенн;
применением метода частичного обращения оператора к решению СИУ;
достоверностью полученных численных результатов диссертации, что следует из математически корректных постановок задач и подробного исследования внутренней сходимости разработанных численных алгоритмов;
учетом азимутальной составляющей поверхностного тока для трубчатого электрического вибратора;
исследованием распределений тока и входных сопротивлений рассматриваемых антенн.
Обоснованность и достоверность результатов работы. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчета интегральных уравнений Фредгольма второго рода корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: путем исследования внутренней сходимости решений; сравнением полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов и полученных на основе других методов; анализом физического смысла решений. Кроме того, полученная в диссертации система СИУ относительно азимутальных гармоник составляющих двумерной векторной поверхностной плотности тока на трубчатом электрическом вибраторе в предельном случае отсутствия азимутальной зависимости переходит в известное скалярное одномерное СИУ для тонкого электрического вибратора [Л 10].
На защиту выносятся следующие положения:
-
Векторные двумерные интегральные уравнения первого рода в задачах об определении распределения составляющих поверхностного тока для полоскового вибратора, рамочной антенны и полого электрического вибратора цилиндрической формы.
-
Системы СИУ первого рода как результаты аналитических решений внутренних задач анализа антенн:
система векторных одномерных СИУ для нахождения составляющих поверхностного тока для плоского полоскового вибратора;
скалярное одномерное СИУ относительно продольной составляющей поверхностного тока для узкого полоскового вибратора;
система скалярных одномерных СИУ относительно азимутальных гармоник поверхностного тока для рамочной антенны;
система векторных одномерных СИУ относительно азимутальных гармоник поверхностного тока для полого электрического вибратора цилиндрической формы.
-
Численно - аналитический алгоритм решения СИУ, основанный на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с последующим решением его методом моментов, и результаты исследования внутренней сходимости этого алгоритма.
-
Численные результаты анализа рамочной антенны, полоскового вибратора и полого электрического вибратора круговой формы: комплексные распределения тока; зависимости входных сопротивлений антенн от их геометрических размеров; влияние азимутальной составляющей поверхностного тока на распределении тока и входное сопротивление для полого электрического вибратора цилиндрической формы.
-
Численные результаты анализа задачи дифракции плоской электромагнитной волны на полом идеально проводящем цилиндре конечной длины с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока на проводнике.
-
Новые физическая и математическая самосогласованные модели проволочного вибратора: полый идеально проводящей цилиндр круговой формы, возбуждаемый в области разрыва генератором СВЧ, с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока и результаты её влияния на характеристики антенны.
Праістичесісая ценность работы. В работе рассмотрены ключевые задачи по распределению тока в рамочной антенне, полосковом вибраторе и трубчатом электрическом вибраторе. Результаты, полученные в диссертации, имеют важное значение применительно ко всем вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для возбуждения и приема электромагнитных излучений. В частности, разработанный в диссертации метод сведения двумерных задач' расчета антенн к системам СИУ может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: связанных электрических вибраторов; электрических вибраторов с различной ориентацией в пространстве; антенн, расположенных над границей двух сред, фазированных антенных решеток и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели антенн могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Программы расчета антенн могут быть использованы в качестве программ расчета базовых элементов в систе-
мах автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.
Апробация работы. Диссертационная работа выполнена в рамках гранта ТОО -2.4-2171 Минобразования РФ «Разработка методов решения внутренних и внешних задач электродинамики на основе сингулярных интегральных уравнений для проектирования волноведущих и излучающих по-лосково-щелевых структур». Основные результаты диссертации докладывались на VII международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, апрель 2001г.); I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001г.); IX международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2003г); II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2003 г.), а также на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики (г. Самара, 2001-2003 гг.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 6 статей и 13 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 115 наименования, и содержит 138 страниц текста, в том числе 66 рисунков и 3 таблицы.
Векторное двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределении тока по полосковому вибратору
Диссертационная работа выполнена в рамках гранта Т00-2.4-2171 Минобразования РФ «Разработка методов решения внутренних и внешних задач электродинамики на основе сингулярных интегральных уравнений для проектирования волноведущих и излучающих полосково-щелевых структур». Основные результаты диссертации докладывались на VII международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, апрель 2001г.); I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001г.); IX международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2003г); II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2003 г.), а также на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики (г. Самара, 2001-2003гг.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 6 статей и 13 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях. Содержание работы. Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации. В первой главе «Электродинамическая теория плоского полоскового вибратора в свободном пространстве» внутренняя задача анализа для полоскового вибратора сведена к системе векторных одномерных СИУ для нахождения поверхностной плотности тока по поперечной координате. В диссертации показано, что для определения тока в центре узкого полоскового вибратора достаточно из полученной системы СИУ использовать одно уравнение. В главе разработан алгоритм решения СИУ для узкого полоскового вибратора, основанный на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, записанного относительно производной тока по продольной координате, с помощью формул обращения интеграла типа Коши. Далее процедура нахождения производной тока сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Чебышева первого рода. Проведено исследование численного алгоритма, исследована его внутренняя сходимость и получены рекомендации для достижения заданной точности расчетов. В главе приведены комплексные распределения тока для узких полосковых симметричных и несимметричных вибраторов при различных геометрических размерах.
Во второй главе «Электродинамическая теория рамочной (полосковой) антенны» рассмотрена рамочная антенна в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо и возбуждаемая сторонним электрическим полем в области зазора. В главе получено СИУ относительно коэффициентов азимутальных гармоник плотности поверхностного азимутального тока.
Далее СИУ было сведено с помощью формул обращения интеграла типа Коши к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось методом моментов с использованием разложения неизвестных азимутальных гармоник по полиномам Чебышева первого рода. В главе представлены результаты исследования внутренней сходимости алгоритма решения. Приведены рекомендации по ограничению числа слагаемых в разложении плотности поверхностного азимутального тока по азимутальным гармоникам. Получены комплексные распределения поверхностного тока по рамочным антеннам различных радиусов (длин проводников).
В третьей главе «Электродинамическая теория электрического полого вибратора цилиндрической формы с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока по проводнику» предложена новая физическая самосогласованная модель проволочного вибратора: полый идеально проводящий круглый цилиндр возбуждаемый сторонним электрическим полем с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока. Для этой модели для каждой азимутальной гармоники поверхностного тока на проводящем цилиндре получено векторное одномерное СИУ относительно неизвестных функций выражающихся через составляющие вектора плотности поверхностного тока.
Векторные СИУ относительно азимутальных гармоник составляющих поверхностного тока решались методом частичного обращения интегрального оператора. В результате для каждой азимутальной гармоники получалось векторное одномерное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, нахождение решений которого представляет собой корректно поставленную задачу. В диссертации приведены результаты исследования внутренней сходимости представленного метода. Предложенным методом были рассчитаны распределения составляющих вектора плотности поверхностного тока на проводящем полом цилиндре, возбуждаемом плоской электромагнитной волной с параллельной поляризацией, распространяющейся перпендикулярно к оси цилиндра. В работе приведены графики распределения составляющих плотности поверхностного тока на цилиндрах при различных геометрических размеров. В данной главе исследовались также и собственные колебания электрического цилиндрического вибратора под действием внешней ЭДС генератора, действующей в области разрыва между «питающими» клеммами. . В работе приведены зависимости комплексного входного сопротивления с учетом азимутальной составляющей тока для цилиндров различных геометрических размеров. В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы. Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, интеллектуальную поддержку и постоянную помощь в проведении научных исследований.
Метод частичного обращения интегрального оператора для решения СИУ. Численные результаты
Рассмотрим коэффициенты ak n, определяемые формулами (1.44). При (k + ri) — чётном, подынтегральная функция в (1.43) тоже является чётной, поэтому интегрирование можно проводить от 0 до оо, с одновременным умножением интеграла на 2. При (к + гг) - нечётном, подынтегральная функция является нечётной и интеграл равен 0. Тем самым количество вычисляемых коэффициентов (интегралов) уменьшается примерно в четыре раза (afr„ = а„к) и, как следствие, значительно сокращается время вычислений. Обратимся к другому способу решения уравнения (1.42) - с помощью квадратурных формул для вычисления интегралов /96/: где t,k = cos((2k-\)nj2N) - нули полинома Чебышева TN(x), ц1 = cos(ln/N) нули полинома Чебышева UN_i (х), (к = \,N, I = \,N -1). Заменяя интегралы в (1.42) квадратурными суммами (1.52), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции ф(ґ) в нулях полинома Чебышева Kitp=GA Hik) Pp=Pp\ Ф =ф( )-Разлагая неизвестную функцию ф(х) в ряд по полиномам Чебышева (Гд, ( ) = 0, поэтому верхний предел iV-1): и подставляя известные значения ц к в точках из системы (1.53) в (1.54), получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов Ак. Данная система является переопределенной, т.к. число уравнений на одно больше числа неизвестных, поэтому положим формально нижний предел суммирования в (1.54) равным нулю. При этом коэффициент А0 должен равняться нулю, что подтверждается при дальнейших численных расчетах и является вспомогательным критерием правильности численных расчетов. Результаты численного моделирования симметричного полоскового вибратора при /0=1В (z0=0 на рис. 1) представлены на рисунках 1.2-1.9. Пунктирной линией приведены зависимости мнимых частей функции Im(/Z), где Iz(t) = 4ar\z(t), сплошной линией действительные части - Re(/r). Расчёты проведены для вибратора, расположенного в воздухе (є = 1,Д. = 1), при различных геометрических размерах. Для несимметричного электрического вибратора (z0 0) профиль напряжения в зазоре выбирается в виде -((tl-z bf, \t-z0/l\ b/L Вычисление P(t) проводится аналогично случаю симметричного вибратора, но при этом используется замена переменной интегрирования z = (tl- z0 )/b. На рисунках 1.10-1.18 представлены комплексные распределения токз по вибратору и зависимости входного сопротивления от нормированной длинны вибратора при различных геометрических размерах вибратора. Описанный метод расчёта узкого полоскового электрического вибратора обладает высокой внутренней сходимостью. В качестве примера, в таблице 1.1 приведены результаты исследований внутренней сходимости метода. В ней приведены комплексные значения тока в четырёх точках вибратора (х = 0, z,-=///, г = 1,4) при различных значениях числа N (число неизвестных коэффициентов Ап в (1.46)). Данный подход является строгим, поэтому, практически любой численный результат, приведенный в этом разделе, является новым и может быть использован при проектировании несимметричных электрических вибраторов. 1. Разработан прямой метод сведения внешней краевой задачи для плоского полоскового вибратора, исходя из двумерного уравнения Гельмгольца относительно векторного потенциала, к системе одномерных векторных сингулярных интефальных уравнений относительно Фурье гармоник составляющих поверхностного тока по поперечной координате. 2. Разработана процедура перехода от полученной системы СНУ для двумерного вектора поверхностного тока к СИУ относительно одномерного продольного электрического тока для случая узкого полоскового вибратора. 3. Описан метод решения сингулярных интегральных уравнений для узкого полоскового вибратора, основанный на его сведении к интефальному уравнению Фредгольма второго рода с помощью формул обращения интефала типа Коши. Далее процедура нахождения распределения поверхностного тока сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Чебышева первого рода (для тока - по полиномам Чебышева второго рода). 4. В качестве второго способа решения уравнений Фредгольма второго рода предложено к использование квадратурных формул для сингулярных интегралов с последующим сведением к СЛАУ относительно неизвестных значений функции тока в некоторых точках вибратора. 5. Проведено исследование численного алгоритма. Получены рекомендации для достижения заданной точности расчетов. 6. Получены комплексные распределения тока по симметричному и несимметричному узким полосковым вибраторам при различных значениях длины и ширины проводников вибраторов.
Двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределения тока по полосковому кольцевому проводнику
В рамках известной физической модели на основе теории СИУ разрабо тана новая самосогласованная математическая модель рамочной антенны, вклю чающая в себя: - векторное двумерное интегральное уравнение первого рода относительно поверхностного тока на проводнике; -скалярные одномерные СИУ относительно азимутальных гармоник продольного поверхностного тока; - численно-аналитический алгоритм решения СИУ, основанный на его све дении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с последующим ре шением его методом моментов. Математическая модель обладает малой расчетной погрешностью с точки зрения внутренней сходимости. 2. Проведены численные исследования комплексных распределений тока и зависимости входных сопротивлений рамочной антенны от геометрических размеров антенны, позволяющие дать рекомендации по её настройке. 3. Разработанный в диссертации математический формализм для рамочной антенны позволяет с большой точностью определять электромагнитное поле вблизи (в ближней зоне) излучателя. Точность расчета определяется погрешностью физической модели и погрешностью математической модели рамочной антенны, определяемой на основе её внутренней сходимости. Круглый идеально проводящий полый цилиндр радиуса а и длинной 2/, имеющий в точке z = О область разрыва шириной 2b (Ь «/), расположен в однородной среде с параметрами га = єє0,ца = ЦІ0 и ориентирован вдоль оси z (рис. 3.1). Под действием внешнего поля Eext на поверхности проводника цилиндра возникает поверхностный электрический ток fj с продольной г\2 и азимутальной г)ф составляющими: Л = {гф,гг}. При решении задачи возбуждения электромагнитных волн, прежде всего, следует установить закон распределения тока fj(9,z) на поверхности проводников. С точки зрения терминологии теории антенн, это так называемая внутренняя задача анализа. Зная распределение поверхностного тока на цилиндре, не составит особого труда определить электромагнитное поле, диаграмму направленности поля и т.д. 3.2. Векторное двумерное интегральное уравнение в задаче об определении распределений составляющих поверхностного тока по вибратору В рамках принятой физической модели составляющая ext выражается через касательную составляющую к поверхности проводника векторного электродинамического потенциала \ ={А(?,А2} следующим образом: где к = (Ил]ва\іа - волновое число среды, окружающей цилиндр. Тангенциальная составляющая векторного электродинамического потенциала Ах связана с продольной поверхностной плотностью электрического тока У) на поверхности цилиндра соотношением /3/: где функция Грина G(cp,z;(p ,z ) представляется известным выражением: \ = -i\h2 -к2 , Н%\х) - функции Ханкеля второго рода порядка т; Jn(x) функции Бесселя первого рода порядка т. Будем искать векторную поверхностную плотность тока в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам: Подстановка (3.4) и (3.2) в (3.1) приводит к бесконечной системе одномерных векторных интегральных уравнений первого рода (т = 0,± 1,±2...):
Векторные одномерные СИУ первого рода относительно азимутальных гармоник поверхностного тока
Предложенным методом были рассчитаны распределения составляющих плотности тока jz=2izar\2, j(f = 2Tzar\(f на проводящем полом цилиндре, конечной длины, возбуждаемого плоской волной, распространяющейся по нормали к оси цилиндра (вдоль оси х) рис. 3.1. Расчёты были проведены для случая параллельной поляризации падающей волны: электрическое поле волны выбиралось параллельным оси цилиндра:
На рис. 3.2-3.13 приведены распределения составляющих тока на цилиндре при различных его геометрических размерах при, х1=1В/м. Расчеты проведены для полуволнового цилиндра: //А, = 1/4. Анализ распределения составляющих тока по вибратору позволяет сделать следующие основные выводы: 1. Продольная составляющая тока jz на концах вибратора обращается в нули: Уг=0 при ґ = ±1. Азимутальная составляющая тока у" на концах вибратора обращается в бесконечности уф (1 -1) при t = ±1. 2. При увеличении радиуса вибратора а при сохранении его длины увеличивается азимутальная составляющая тока, j при этом распределение продольной составляющей jz остается практически неизменным. Например; при изменении нормированного радиуса аIX от 1/400 до 1/4 максимальное значение Уф по модулю примерно изменяется от 1 до 3.5. 3. Для тонких вибраторов (а/Л, 0.01) максимальное значение продольной составляющей тока по модулю jz превышает максимальное значение азимутальной составляющей тока по модулю Уф : max jz max уф . Начиная со значения радиуса а 0.02 X для полуволнового вибратора шаху2 тахуф. 4. Для тонких вибраторов аIX 0.01 зависимостью составляющих тока от азимутальной координаты ф можно пренебречь. Начиная со значений радиуса а 0.02 X для полуволнового вибратора зависимость составляющих тока от координаты ф приобретает явный характер. Причем, она в большой мере проявляется для составляющей уф (см. рис 3.13). Описанный метод расчёта дифракции электромагнитной волны на цилиндре обладает высокой внутренней сходимостью. В качестве примера, в таблице 3.1 приведены результаты исследований внутренней сходимости метода. В ней приведены комплексные значения тока jz в четырёх точках цилиндра (ф = 0, z,=ltit 1 = 1,4) при различных значениях числа М, представляющего число Фурье гармоник в разложении (3.4) для плотности поверхностного тока r\(q ,z). Из таблицы 3.1 видно, что при увеличении М с 10 до 15, значения тока в фиксированной точке изменяется не более чем на 0.1%. Для достижения относительной погрешности, приемлемой для инженерных расчётов достаточно ограничиться М = 5. При этом число слагаемых в разложениях (3.33) ограничивалось N = 15. 3.5. Собственные колебания полого идеально проводящего вибратора с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока. Численные результаты Разработанный метод применялся также для анализа расчёта распределения составляющих тока jz = 2nar\z; j = 27ШГф на поверхности цилиндра, возбуждаемого сторонним электрическим полем xt((p,z), приложенным между двумя клеммами диаметра d (в точках (z = ±b,q = 0)). Расчёты были проведены для следующей аппроксимации стороннего электрического поля xt(cp,z): #() - функция Хевисайда, U - напряжение между «питающими» клеммами ЭДС генератора. На рис. 3.14-3.25 приведены распределения составляющих тока на вибраторе при различных его геометрических размерах при U -1В. На рис. 3.26-3.30 приведены зависимости входных сопротивлений электрического вибратора с учётом азимутальной составляющей тока от нормированной длины вибратора. Анализ распределений составляющих тока по вибратору позволяет сделать следующие основные выводы, связанные с наличием зазора: 1. Зазор в электрическом вибраторе, к которому подключается СВЧ-генератор для полуволнового вибратора, практически не влияет на распределение действительной части продольной составляющей тока (Re{yz}). 2. Зазор в электрическом вибраторе, к которому подключается СВЧ-генератор, существенно влияет на картину распределения мнимой части продольной составляющей тока (Im{yz}). Влияние зазора на распределение lm{jz} увеличивается с увеличением радиуса вибратора (сравните рис. 3.14 и рис. 3.17). 3. Для полуволнового вибратора с увеличением радиуса вибратора а примерно до значения 0.01 X уменьшается значение lm{jz} в области зазора при этом не изменяется знак Im{y z}. Начиная примерно с а « 0.015 X в области зазора изменяется знак lm{jz} с отрицательных значений на положительные (см. рис. 3.17). При достаточно больших значениях радиуса вибратора а {а 0.05 X) значения Im{yz} в области зазора превышают значение Re{yz}, при этом их знаки совпадают (см. рис. 3.20). 4. Зависимость излучения полого электрического вибратора от азимутальной координаты ф начинает проявлять себя примерно с а 0.02Х (см. рис. 3.19). Остальные основные закономерности в распределении тока по вибратору выявлены при анализе задачи дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем полом цилиндре конечной длины.
