Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазиправдоподобные оценки дальности и скорости 13
1.1 Характеристики надежных квазиправдоподобных оценок 13
1.2 Вероятность надежных квазиправдоподобных оценок 35
1.3 Потери в точности квазиправдоподобных оценок по сравнению с опенками максимального правдоподобия 53
1.4 Выводы 69
Глава 2. Предельная точность оценок дальности и скорости 71
2.1 Предельная точность лазерных импульсных методов измерения дальности 71
2.2 Предельная точность лазерных импульсных методов измерения скорости 94
2.3 Предельная точность лазерных импульсных методов измерения дальности и скорости 105
2.4 Результаты статистического моделирования опенок дальности и скорости 114
2.5 Выводы 126
Глава 3. Совместная оценка дальности. Скорости и ускорения 128
3.1 Совместно-эффективные оценки дальности, скорости и ускорения 128
3.2 Пороговые характеристики оценок дальности, скорости и ускорения 135
3.3 Характеристики оценок при зондировании последовательностью импульсов с одинаковой интенсивностью 144
3.4 Выводы 162
Заключение 164
Литература 168
Приложения 176
- Потери в точности квазиправдоподобных оценок по сравнению с опенками максимального правдоподобия
- Предельная точность лазерных импульсных методов измерения скорости
- Результаты статистического моделирования опенок дальности и скорости
- Характеристики оценок при зондировании последовательностью импульсов с одинаковой интенсивностью
Введение к работе
Переоценка отношения к системам дальнометрии различного назначения происходила несколько раз по мере развития науки и технологий, совершенствования элементной базы и оптимального комплексирования систем различного назначения.
До открытия источников когерентного оптического излучения, число средств дистанционного определения параметров движения, таких как дальность, скорость и ускорение, было ограничено радиолокаторами и визуально-оптическими дальномерами. Присущие им недостатки - малая точность измерения, громоздкость, невысокая мобильность или обязательное участие человека в процессе измерения, либо затрудняли широкое применение этих средств в различных сферах человеческой деятельности, либо вообще делали невозможным их использование.
Создание оптических квантовых генераторов стало новой вехой в решении данной проблемы, поскольку с их открытием появилась возможность создавать высокоточные, компактные, мобильные измерительные комплексы. Потребность в таких системах ощущалась всегда, но наиболее остро она стала проявляться в последнее время, в связи с бурным развитием средств автоматического управления разными объектами, автоматизированного решения навигационных задач различного типа и уровня сложности, что, в основном, обусловлено таким важным свойством лазерных локационных систем, как высокая точность, чувствительность и пространственно частотное разрешение, которое на несколько порядков превышает аналогичные характеристики традиционных радиолокационных систем.
Эти свойства не могли не сделать лазерную локацию предметом пристального интереса, прежде всего военных специалистов, для которых определение параметров движения целей и объектов - дальности, скорости, ускорения, является наиболее важным, особенно при построении высокоточного оружия или в системах наведения и управления обычным
оружия или в системах наведения и управления обычным оружием для повышения его поражающей способности и огневой мощи.
Непрерывное совершенствование авиационной и ракетной техники, интенсивное использование космического пространства также приводят к постоянно повышающимся требованиям к системам управления и навигации летательных аппаратов. При этом особое внимание уделяется системам, измеряющим ряд основных параметров движения центра масс летательного аппарата: высоту, вертикальную и путевую скорость полета, пройденное расстояние и др.
Постоянное развитие и совершенствование лазерных локационных систем обнаружения, слежения и сопровождения различных целей ведется не только в интересах военной области, но и в сугубо гражданских целях. Так, например, в настоящее время они используются в навигационных системах, в частности, для определения координат геостационарных спутников, в гли-садных системах для слежения за воздушными объектами, при проводке кораблей и других судов по сложному фарватеру, для измерения расстояний при проведении спортивных соревнований и т. д.
Столь широкое их применение во многом обусловлено тем, что узконаправленное, прямолинейно распространяющееся, монохроматическое лазерное излучение с потенциально большой мощностью и высокой спектральной яркостью дает оптическим системам ряд неоспоримых преимуществ по сравнению с традиционными акустическими и радиолокационными системами. Особенно эти преимущества проявляется в космосе, где нет поглощающего воздействия атмосферы, а также под водой, которая не прозрачна для радиосигналов, однако имеет ряд окон прозрачности для волн оптического диапазона, которых оказываются лишены даже акустические волны, если вода мутная или на ее поверхности наблюдается пена. Так появляется возможность строить системы, которые не зависимо от прозрачности вод позволяют быстро найти движущийся объект, даже когда площадь поиска - тысячи
квадратных километров, а сам объект поиска плывет не по поверхности, а спрятан в толще воды.
С помощью расположенного на борту самолета лидарного комплекса можно с легкостью находить косяки рыбы и оценивать ее количество, искать на морской поверхности пятна нефти, контролировать природные и техногенные атмосферные аэрозоли, дымы, промышленные выбросы в атмосферу, следить за тем, как соблюдают технологическую дисциплину предприятия повышенной экологической опасности. Кроме того, в отличие от любых других локаторов, лидары способны "засечь" даже небольшой дымок и найти его источник, что дает возможность их использовать в автоматическом режиме для раннего обнаружения лесных пожаров на территориях в десятки тысяч гектаров. И уж, казалось бы, совсем не традиционное на сегодняшний день применение - представлен эксперимент английских ученых, вызвавший интерес в научных кругах, по созданию лидара для ветряных электростанций, который способен измерять скорость ветра на расстоянии до 20 км. (Lidar helps wind farms go offshore - Opto and Laser Europe, 2002, № 6, с 16.)
Поэтому неудивительно, что лазерная локация в настоящее время находится на этапе интенсивного развития, связанного как с уменьшением энергопотребления и массогабаритных показателей, к которым предъявляются исключительно жесткие требования при создании наземных портативных лазерных измерителей и аналогичной аппаратуры систем космического базирования, так и с необходимостью повышения точности проводимых измерений. Поиск путей одновременного удовлетворения этих требований в настоящее время ведется по следующим основным направлениям:
разработка новых методов и технологий локации за счет повышения оптимальности структурно-функционального деления и связей между элементами лазерных локационных систем;
оптимизация методов формирования и обработки пространственно-
'Лидар -это лазерный локатор, от Light Detection and Ranging.
энергетического распределения плотности мощности зондирующего излучения; - разработка новых методов обработки принимаемого сигнала с учетом их пространственно-временной структуры, а также оптимизация уже существующих методов их обработки. Из-за специфики оптических сигналов, в настоящее времени в лазерной локации нашли широкое применение только два метода измерений дальности:
фазовый - суть которого заключается в многочастотной модуляции зондирующего лазерного излучения с последующим выделением этих частотных составляющих из принимаемого сигнала (после его отражения от цели) и измерением фаз этих составляющих, по величине которых затем и происходит определение дальности до объекта;
импульсный - основанный на измерении времени задержки прихода отраженного от объекта зондирующего импульса.
Несмотря на достаточно высокую точность, которую обеспечивает фазовый метод измерений, для его реализации принципиально требуется монохроматический лазер непрерывного излучения, обладающий высокой пространственно-временной когерентностью и имеющий очень малую пространственную расходимость излучения. Такими свойствами обладают в основном газовые лазеры, достаточно громоздкие и энергоемкие, более подходящие для эксплуатации в стационарных условиях, нежели в малогабаритных мобильных измерительных комплексах. Кроме того, для проведения измерений требуется точная прецизионная аппаратура, что в совокупности делает практическую реализацию данного метода достаточно сложной и дорогой.
В этом смысле, импульсный метод выглядит более привлекательным. Не намного уступая по точности фазовому методу, он позволяет использовать импульсные твердотельные лазеры большой мощности, излучение которых можно регистрировать фотоприемными устройствами, работающими в режиме прямого фотодетектирования и не требующими такой точной юсти-
ровки.
Однако существующие образцы мощных твердотельных лазеров, применяемых в локации, не намного уступая газовым лазерам по энергопотреблению, имеют существенный недостаток - очень низкую частоту генерации зондирующих импульсов, что негативно сказывается на такой важной характеристике лазерного локатора, как его время обзора.
В связи с этим очень перспективным видится использование полупроводниковых лазеров, разработка и использование которых в последнее время приобрела наиболее интенсивный характер, что в немалой степени обусловлено целым рядом достоинств, присущих этим лазерам. Хотя они пока и уступают традиционно применяемым в такой аппаратуре газовым и твердотельным лазерам по мощности, низкая стоимость в сочетании с высокой надежностью, малым энергопотреблением и габаритами делает полупроводниковые лазеры весьма привлекательными для использования в системах оптической локации.
Однако одной из проблем, препятствующих в ряде случаев их применению, является невозможность обеспечения требуемой точности и надежности измерения при однократном (моноимпульсном) зондировании. Для этого приходится использовать повторяющиеся посылки в виде серии (пачки) импульсов, по результатам обработки которых в дальнейшем выносится совокупное решение.
Кроме того, как уже отмечалось, увеличить достоверность часто стремятся, идя по пути оптимизации процесса обработки получаемой информации. Но синтез оптимальных приемных устройств, предназначенных для оценки параметров сигнала в условиях почти всегда присутствующих на практике помех, требует довольно полного (в статистическом смысле) и достаточно точного знания априорных данных о характере полезного сигнала и помехи. Нередко информация такого рода или неизвестна, или в принципе не может быть получено в оптическом диапазоне из-за квантовых эффектов. Поэтому на практике часто пользуются различного рода квазиоптимальными
приемниками, оценки которых в общем случае могут существенно отличаться от оптимальных и сходится к ним только при выполнении определенных условий. В связи с этим проблема поиска условий, при выполнении которых использование неоптимальных методов оценивания не приводит к существенным потерям в точности, является весьма актуальной.
Целью данной диссертационной работы является синтез и анализ различных, в том числе, и не оптимальных алгоритмов дистанционного определения параметров движения объектов - дальности, скорости, ускорения, при зондировании последовательностью оптических импульсов, а также оптимизация параметров этих последовательностей в зависимости от имеющейся априорной информации.
Для достижения поставленной в диссертации цели потребовалось решить ряд научных задач, в частности:
провести анализ существующих способов измерения динамических характеристик подвижных объектов - дальности, скорости и ускорения, на основе методов лазерной локации, а также оценку перспективных направлений их развития;
исследовать раздельные и совместные оценки дальности и скорости с учетом аномальных ошибок, при оптимальном (байесовском и максимально правдоподобном), а также квазиоптимальном (квазиправдоподобном) построении оптического приемника;
определить предельную точность раздельных и совместных оценок дальности и скорости, которую обеспечивают байесовский и макисмально правдоподобный алгоритмы оценки;
исследовать совместные оценки дальности, скорости и ускорения с учетом аномальных ошибок при оптимальном (максимально правдоподобном) построении приемного устройства;
При решении этих задач были задействованы современные методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории статистических решений и статистической радиофизики. При прове-
дении численных расчетов активно использовались численные методы, а также методы статистического моделирования. Весь пакет прикладных программ полностью реализован в соответствии с концепцией объектно-ориентированного программирования.
В качестве основных результатов, полученных в диссертации, можно выделить следующие:
Найдены характеристики максимально правдоподобных и байесовских (при квадратичной функции потерь) оценок дальности и оценок скорости с учетом аномальных ошибок. Определена оптимальная длительность лазерного импульса, которая обеспечивает минимальные ошибки измерения дальности, и оптимальная скважность зондирующей последовательности, приводящая к минимальным ошибкам измерения скорости.
Найдены характеристики совместных оценок максимального правдоподобия дальности и скорости с учетом аномальных ошибок. Посчитаны оптимальные длительности и периоды повторения лазерных импульсов, при которых ошибки совместного измерения дальности и скорости минимальны.
Найдены характеристики совместно-эффективных оценок дальности, скорости и ускорения. Определена потенциальная точность этих оценок.
Найдены разрешающие способности по дальности, скорости и ускорению. Получены характеристики оценок максимального правдоподобия дальности, скорости и ускорения с учетом аномальных ошибок.
Достоверность полученных результатов подтверждается хорошим совпадением разработанной теории с результатами статистического моделирования ЭВМ. Кроме того, в ряде частных случаев, приводимые в диссертации выражения совпадают с аналогичными, уже известными ранее выражениями, полученными независимо, другими методами.
Результаты диссертации могут быть использованы при проектировании оптических устройств локации и навигации как военного, так и гражданского назначения.
Полученные в диссертации результаты внедрены в научно-исследовательских работах и в учебном процессе в Воронежском государственном университете, что подтверждается соответствующими публикациями.
Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и 4 приложений.
В первой главе рассматриваются совместные и раздельные оценки дальности и скорости при квазиправдоподобном построении приемного устройства. Находятся различные характеристики этих оценок - дисперсия, вероятность аномальных ошибок, рассеяние, на основании которых затем проводится анализ проигрыша квазиправдоподобных оценок по сравнению с оценками максимального правдоподобия. Исследуется влияние различных параметров зондирующей и принимаемой последовательности, в частности, максимальной интенсивности, длительности, формы интенсивности оптических импульсов на потери в точности оценок из-за не оптимальности построения приемного устройства.
Во второй главе ищется предельная точность раздельных и совместных оценок дальности и скорости, которая может быть достигнута лазерными импульсными методами. Здесь для раздельных оценок дальности и скорости рассматриваются два алгоритма оценивания - максимального правдоподобия и байесовский. Для каждого из алгоритмов находятся оптимальные значения длительности импульсов и скважности зондирующей последовательности, обеспечивающие наивысшую точность проводимым измерениям. Также рассматриваются вопросы, связанные с оптимизацией этих параметров для совместных оценок максимального правдоподобия дальности и скорости.
Третья глава посвящена совместным оценкам дальности, скорости и ускорения, получаемым методом максимального правдоподобия. Ищутся характеристики этих оценок - дисперсии, коэффициенты корреляции, вероятности аномальных ошибок и рассеяния оценок. Определяются разрешающие способности по оцениваемым параметрам. Подробно рассматривается случай прямоугольной зондирующей последовательности, состоящей из одинаковых
оптических импульсов. Проводится анализ проигрышей вероятностей аномальных ошибок совместных оценок дальности, скорости и ускорения по сравнению с аналогичными вероятностями при раздельном определении данных параметров.
В заключении подводится итог работы, кратко формулируются основные результаты и выводы работы.
В приложения вынесены некоторые встречающиеся в тексте однотипные доказательства, вспомогательная информация, касающаяся моделирования, и справочная информация.
По теме диссертации опубликованы печатные работы [79-87]. Основные положения диссертационной работы были представлены в виде докладов и обсуждались на VI, VII, VIII Международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2000, 2001, 2002 г., соответственно.
Потери в точности квазиправдоподобных оценок по сравнению с опенками максимального правдоподобия
При рассмотрении источников ошибок, неизбежно возникающих при оценке параметров сигнала на фоне помех, особенно при малых ОСШ, важными понятиями являются понятия надежности и аномальности получаемых оценок [29]. Сам факт надежности или аномальности оценки устанавливается по абсолютной величине отклонения этой оценки от истинного значения оцениваемого параметра. Если это отклонение больше некоторой, наперед заданной граничной величины, то считают, что при оценивании произошла серьезная ошибка, а полученную оценку относят к разряду аномальных. И, наоборот, если отклонение оценки от истинного значения не выходит за рамки определенного нами интервала, то ошибку считают нормальной, а оценивание надежным. Так как в процессе оценивания приходится иметь дело со случайными величинами, то процедура оценки носит вероятностный характер. Поэтому наиболее часто употребляемой характеристикой, выступающей в качестве конкретной числовой меры этих понятий, является вероятность надежной оценки, либо, когда это оказывается более удобным, однозначно связанная и поэтому полностью равноправная ей вероятность аномальных ошибок. Описанное разбиение оценок и возникающих при этом ошибок на нормальные и аномальные является, в известной мере, условным. Однако такой подход оказывается продуктивным при получении аналитических выражений для характеристик оценок, например, при рассчете смещения и/или дисперсии, из-за того, что аномальное и нормальное принятие решения об оценке - события несовместные. Поэтому искомые характеристики оценок в областях нормального и аномального принятия решений можно определять отдельно друг от друга, что часто оказывается сделать проще.
В силу условности разбиения всех ошибок оценивания на нормальные и аномальные, выбор упомянутой выше пороговой величины, которая разбивает область оценок на нормальную и аномальную подобласти, также, в определенной мере, неоднозначен [29]. Тем не менее, определение этой величины тем или иным образом связывают с длительностью ("шириной") полезного сигнала (сигнальной составляющей) на выходе приемника, которая, собственно, и определяет разрешающую способность системы по данному параметру. При этом, если система обладает достаточно высокой разрешающей способностью, т.е. на интервале возможных значений оцениваемого параметра умещается большое количество элементов разрешения или, что то же самое, длительность сигнальной составляющей много меньше длины интервала возможных значений оцениваемого параметра, то неоднозначность определения границы нормальных и аномальных оценок не играет существенной роли [29].
Применительно к рассматриваемым в пункте 1.1 оценкам дальности при выполнении (1.1.14) разрешающую способность по оцениваемому параметру приближенно можно определить как полуширину параболической аппроксимации сигнальной функции (1.1.29), отсчитываемую на половинном уровне от максимума [66]. Так как сигнальная функция (1.1.29) для всей последовательности (1.1.2) достигает максимума при R = R, то разрешающая способность по дальности AR может быть найдена из уравнения: a WRN - дополнение WRS до WR (1.1.27), так что WR =WRS uWRN. При выполнении (1.2.5) случайные величины Hs и HN приближенно статистически независимы [66] и (1.2.6) принимает вид: Здесь FN{H) - функция распределения случайной величины HN, a FS(H) -функция распределения случайной величины Hs. Согласно (1.2.7), при достаточно большом ОСШ zN (1.1.37), можно приближенно положить Hs ж L(R). Следовательно, при выполнении (1.2.4) и zN »1, случайная величина Hs имеет приближенно гауссовское распределение с математическим ожиданием ms = S(R) (1.1.29) и дисперсией oj = KS(R,R) (1.1.33). Будем аппроксимировать распределение случайной величины Hs (1.2.7) выражением - интеграл вероятности. Когда R єWRN, то S{R) « 0, а корреляционная функция шумовой функции N{R) дается выражением (1.1.32). Соответственно, случайную величину HN (1.2.7) при этом можно представить как Согласно (1.1.32), при выполнении (1.2.4), N(R) в (1.2.11) представляет собой приближенно гауссовский стационарный случайный процесс. Следовательно, FN(H) является функцией распределения величины наибольшего максимума гауссовского случайного процесса в области WRN. Поскольку длительность каждого импульса зондирующей последовательности ограничена, то корреляционная функция (1.1.32) KN(RUR2) — 0 при \R{ - R2 — о. Поэтому можно считать, что с увеличением Н распределение числа выбросов реализации процесса N(R) в области WRN сходится к закону Пуассона [39]. Следовательно, для больших, но конечных Н можно записать [39,66]: FN (Н) « ехр[- П(Я)]. Здесь П(Я) - среднее число выбросов реализации га уссовского случайного процесса с корреляционной функцией (1.1.32) за уровень Н в области WRN . Если же выполняется (1.2.5), то приближенно Н(Н) -среднее число выбросов во всей априорной области (1.1.27) возможных значений дальности.
Предельная точность лазерных импульсных методов измерения скорости
Рассмотренные в первой главе методы могут быть с успехом применены для определения характеристик оценок дальности, которые могут вырабатывать лазерные импульсные дальномеры (ЛИД). Как известно [17,20] и др., лазерные импульсные измерительные системы, и ЛИДы, в частности, содержат лазерный излучатель, передающую коллимирующую или деколлими-рующую, а также приемную оптическую систему, фотоприемное устройство (ФП) и аппаратуру обработки сигнала на выходе ФП, которая реализует некоторый алгоритм оценки дальности. Мощные полупроводниковые лазеры, часто используемые в таких дальномерах в качестве источника зондирующего сигнала, по причине их малых габаритов и энергопотребления, как известно, имеют один существенный недостаток - они могут работать только в режиме ограничения средней мощности [6,14], характеризующемся тем, что где Рюл - излучаемая средняя мощность, а - максимальная амплитуда импульса, т - его длительность, / = і/в - линейная частота следования импульсов. Использование в ЛИДах коротких (не более 100 не) и сверхкоротких (менее 10 не) сильноточных (десятки и более ампер) импульсов, обусловленное необходимостью с высокой точностью и достоверностью проводить измерения, с неизбежностью приводит к очень малым частотам следования импульсов излучаемой последовательности. Типичное значение / для мощных
(5 Вт и более) лазеров в номинальном режиме составляют порядка 1,5 кГц. Получающиеся при этом гигантские величины скважности Q = 1/т0/ порядка десяток тысяч и более, позволяют говорить о моноимпульсном режиме работы ЛИДов, тем более, что для однозначного определения дальности, в принципе, достаточно и одного импульса. Кроме того, на практике всегда имеют место те или иные ограничения на энергетику системы, которые не позволяют увеличивать точность и достоверность измерений дальности путем только одного простого увеличения мощности зондирующего сигнала. В связи с этим особую роль начинает играть аппаратура, обрабатывающая сигнал на выходе ФП и реализующая заложенный в нее алгоритм оценки.
В [17,20] и др. рассматривались два алгоритма оценки дальности: оценка максимального правдоподобия (ОМП) и байесовская оценка (БО) при квадратичной функции потерь. Точность обеих оценок фактически характеризовалась дисперсией эффективной оценки. Естественно, возникает вопрос, насколько близка полученная таким образом дисперсия оценки к истинному значению в зависимости от интенсивности лазерного импульса и фона, формы интенсивности импульса и длины априорного интервала возможных значений дальности. Практическая ценность любого алгоритма измерения существенно снижается при малых интенсивностях импульса и больших априорных интервалах возможных значений дальности, вследствие появления аномальных ошибок и возникновения пороговых эффектов [55,64, 66]. Кроме того, использование дисперсии эффективной оценки для описания точности измерения дальности может привести даже к качественно неверным выводам. Действительно, дисперсия эффективной оценки стремится к нулю по мере уменьшения длительности зондирующего лазерного импульса ЛИД. Тем не менее, чрезмерное уменьшение длительности импульса при его ограниченной энергии или интенсивности может привести к снижению точности ЛИД, вследствие появления пороговых эффектов [59,66].
В связи с этим рассмотрим характеристики ОМП и БО дальности с учетом аномальных ошибок и проведем исследование зависимости точности измерения дальности от параметров лазерного импульса. За основу возьмем полученные в главе 1 соотношения, характеризующие поведение КПО дальности с учетом аномальных ошибок, из которых легко можно вывести аналогичные выражения для рассматриваемых далее ОМП дальности по одному импульсу, если положить в них N = 1 и взять все параметры зондирующего и принимаемого сигнала совпадающими. Поэтому, считая данную процедуру очевидной, не будем каждый раз при ссылке на соответствующие выражения для КПО это особо оговаривать.
Положим, аналогично [17,20], что в результате рассеяния лазерного импульса объектом, дальность R0, которого надо измерить, на выходе ФП будет наблюдаться реализация n{t) пуассоновского потока однофотонных импульсов с интенсивностью получающейся из (1.1.2) при N = 1 и априори известной скорости. Для получения ОМП или БО необходимо, чтобы измеритель вырабатывал логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) L(R) для всех возможных значений дальности R из априорного интервала WR (1.1.27). Полагая, что интервал наблюдения [0, Т] достаточно велик, так что и пренебрегая несущественным постоянным слагаемым, из (1.1.25) можем записать где q0 - отношение максимальной интенсивностей сигнала к интенсивности фона, определяемое (1.1.10). Согласно определению [66], ОМП неизвестной дальности представляет собой положение наибольшего максимума логарифма ФОП (2.1.3) где WR дается выражением (1.1.27). Используя выражения (2.1.3), (2.1.4), максимально правдоподобный измеритель дальности можно представить в виде, показанном на рис.2.1, где он выделен штриховой линией. Здесь обозначено: 1 - линейный фильтр, согласованный с сигналом ln[l + Уо/о(ї/т0)], 2 - устройство поиска положения t наибольшего максимума выходного сигнала фильтра в интервале времени [2 1п /с; 2Rmax /с]. Очевидно, ОМП дальности R = ct 12. Аналогично [17,20], предполагается, что на вход измерителя рис.2.1 поступает производная пуассоновского процесса тг (0 представляющая собой поток однофотонных импульсов с выхода ФП.
Результаты статистического моделирования опенок дальности и скорости
Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос об оптимальной (с точки зрения минимума рассеяния) длительности зондирующего лазерного импульса. Качественно ясно [29], что при каждом фиксированном zR (2.1.68) уменьшение (р(т0) сначала приводит к уменьшению рассеяния ОМП дальности (в области надежной оценки), а затем вызывает увеличение рассеяния (в области аномальных ошибок). Следовательно, при каждом zR должно существовать некоторое значение popt, которое обеспечивает минимальное рассеяние оценки 6min (R) при заданных zR и (i?max - Rm[n). Этот вывод подтверждается рис.2.3, на котором сплошными кривыми приведены зависимости нормированного рассеяния Ь(д?) ОМП дальности от нормированной длительности р лазерного зондирующего импульса при различных ОСШ. Кривая 1 рассчитана для zR=30, 2 - 50, 3 - 90. Кривые рис.2.3 наглядно показывают, что с увеличением ОСШ zR значение фор{, обеспечивающее минимум рассеяния, убывает и, соответственно, убывает минимальное значение рассеяния ОМП дальности bmin(R). Определить аналитически ф t и bmin(R) на основе анализа формулы (2.1.10) в общем случае не представляется возможным, вследствие относительно сложной зависимости P0R (2.1.67) от р. На рис.2.4 сплошной линией представлена зависимость фор{(гк), а на рис.2.2 штрих-пунктирной линией представлена зависимость bmin(z\OMI7) от z\OMn (2.1.69). Эти зависимости получены из (2.1.64) численными методами. Согласно рис.2.2 bmin(R) представляет собой нижнюю границу для рассеяния ОМП дальности и описывает предельную точность измерения дальности лазерными импульсными методами, если для оценки используется алгоритм максимального правдоподобия. Определим теперь предельные характеристики БО дальности. В случае, если выполняется (2.1.63), но ОСШ (2.1.15) не слишком мало, выражение (2.1.60) для рассеяния БО можно переписать в виде: На рис.2.5 сплошными линиями в нормировке рассеяния ОМП (2.1.65) приведены зависимости b(zlOMn)/2 = 6B(RE)/(Rmax-Rmin)2 - рассеяния БО дальности при различных значениях нормированной длительности зондирующего лазерного импульса, рассчитанные по формуле (2.1.70). Там же штриховыми линиями нанесены зависимости d{z\OMn) нормированной дисперсии эффективной оценки (2.1.66). Кривые рис.2.5 рассчитаны при тех же условиях, что кривые рис.2.2. Как следует из сопоставления рис.2.2 и рис.2.5, характер зависимости рассеяний ОМП и БО дальности от ОСШ z\OMn одинаков. Однако применение байесовского алгоритма несколько снижает роль пороговых эффектов по сравнению с алгоритмом максимального правдопо добия. Действительно, например, при 9 = 10 , как следует из рис.2.2, аномальными ошибками ОМП можно пренебречь лишь при z\OMn 9. В то же время, согласно рис.2.5, аномальными ошибками БО можно пренебречь уже при z\OMn 7. Следовательно, использование БО вместо ОМП может привести к заметному уменьшению рассеяния оценки дальности в пороговой области. Это объясняется интегрированием по R в (2.1.5), в результате чего ложные (не связанные с рассеянным лазерным импульсом) выбросы логарифма ФОП, которые приводят к большим ошибкам метода максимального правдоподобия, играют значительно меньшую роль при использовании БО.
На рис.2.3 штриховыми линиями приведены зависимости рассеяния Ь{(р)/2 БО дальности от нормированной длительности ср лазерного зондирующего импульса. Из рис.2.3 следует, что значения нормированной длительности popt, обеспечивающие минимум рассеяния БО, несколько меньше, чем фор(. Соответственно, значение bmin(R)/2 оказывается несколько меньше, чем bmin(R). На рис.2.4 штриховой линией представлена зависимость popt(zR), а на рис.2.5 штрих-пунктирной линией представлена зависимость bm[n(zlOMn)/2 от z\OMP (2.1.69). Эти зависимости получены из выражения (2.1.70) численными методами. Согласно рис.2.5, рассеяние bm[n(R) представляет собой нижнюю границу для рассеяния БО дальности и описывает предельную точность измерения дальности лазерными импульсными методами при использовании для оценки байесовского алгоритма.
На рис.2.6 представлена зависимость отношения gmin = bm[n(R)/2bmm(R) минимальных рассеяний БО и ОМП дальности от ОСШ z\OMn из (2.1.69). Согласно рис.2.6, применение БО с оптимальной длительностью зондирующего лазерного импульса приводит к существенному выигрышу в точности измерения дальности по сравнению с ОМП. Однако при одинаковой для БО и ОМП длительности лазерного зондирующего импульса и достаточно больших ОСШ, БО и ОМП обеспечивают одинаковую точность измерения дальности.
Характеристики оценок при зондировании последовательностью импульсов с одинаковой интенсивностью
Там же, для сравнения, пунктиром приведена, изображенная на рис.2.6, аналогичная зависимость, только для случая ограниченной интенсивности зондирующего импульса. Согласно рис.2.8, эти кривые очень незначительно отличаются друг от друга, что свидетельствует о том, что ограничение на энергию или на интенсивность практически не влияет на выигрыш от использования БО вместо ОМП, т.е. остается в силе сделанное ранее заключение о том, что применение БО с оптимальной длительностью зондирующего лазерного импульса и в случае ограниченной энергии также приводит к существенному выигрышу в точности измерения дальности по сравнению с ОМП, а при одинаковой для БО и ОМП длительности лазерного зондирующего импульса и достаточно больших ОСШ, БО и ОМП обеспечивают приблизительно равную точность измерения дальности.
Вывод же о том, что оказывает большее влияние на точность ОМП и БО - ограничение на интенсивность или на энергию, можно сделать по рис.2.9, на котором показаны отношения минимальных рассеяний оценок при ограниченной интенсивности к минимальным рассеяниям при ограниченной энерги - g = bmin/bEmin и & = min Е min в зависимости от ОСШ, рассчитан ные для лоренцевской формы интенсивности. Сплошной линией здесь показано отношение для ОМП, пунктиром - для БО. Из рисунка видно, что более предпочтительным является случай ограниченной энергии, чем случай ограниченной интенсивности, т.к. в этом случае при больших ОСШ можно получить довольно существенный выигрыш в точности оценок дальности. Например, при z\OMn =12 в случае, когда ограниченной является энергия импульса, точности ОМП будет в 7 раз выше, чем в случае, когда ограниченной является его интенсивность; для БО выигрыш будет еще больше - в 9 раз, т.е. более точный байесовский алгоритм, и в случае ограниченной энергии имеет преимущества над методом максимального правдоподобия. Из рисунка видно, что кривая для БО идет выше и круче, чем аналогичная кривя для ОМП.
Рассмотрим теперь потенциальные возможности лазерных импульсных систем измерения скорости. Поскольку информация о доплеровском сдвиге частоты отраженного лазерного импульса теряется при фотодетектировании, для оценки скорости по изменению расстояния до объекта, в отличие от оценки дальности, необходим зондирующий сигнал, содержащий не менее двух лазерных импульсов [17,20].
В [17,20] и др. рассматривались два алгоритма оценки скорости: оценка максимального правдоподобия и байесовская оценка при квадратичной функции потерь. Точность обеих оценок фактически характеризовалась дисперсией эффективной оценки.
Естественно, возникает вопрос, насколько близка полученная таким образом дисперсия оценки к ее истинному значению в зависимости от интенсивности лазерных импульсов и фона, формы интенсивности импульса и длинны априорного интервала возможных значений скорости. Практическая ценность любого алгоритма измерения существенно снижается при малых интенсивностях импульсов и больших априорных интервалах возможных значений скорости, вследствие появления аномальных ошибок и возникновения пороговых эффектов [29,55,66]. Кроме того, использование дисперсии эффективной оценки для описания точности оценки скорости может привести даже к качественно неверным результатам. Действительно, дисперсия эффективной оценки скорости стремится к нулю по мере увеличения скважности зондирующей последовательности лазерных импульсов [54]. Тем не менее, чрезмерное увеличение скважности последовательности импульсов при их ограниченной энергии или интенсивности может привести к снижению точности оценки, вследствие пороговых эффектов [29,55,66].
В связи с этим рассмотрим характеристики ОМП и БО скорости с уче-том аномальных ошибок и исследуем зависимость точности измерения скорости от параметров последовательности лазерных импульсов. За основу возьмем полученные в главе 1 соотношения, характеризующие поведение КПО скорости с учетом аномальных ошибок, из которых легко можно получить аналогичные выражения для ОМП, положив все параметры зондирующего и принимаемого сигнала совпадающими. Подразумевая данный факт очевидным, при ссылке на выражения для КПО скорости не будем каждый раз особо его оговаривать.
Положим, аналогично [17,20], что в результате рассеяния последовательности из N лазерных импульсов объектом, скорость V0 которого надо измерить, на выходе ФД наблюдается реализация n{t) пуассоновского потока однофотонных импульсов с интенсивностью получающейся из (1.1.2) когда форма и максимальные интенсивности всех импульсов одинаковые, а дальность априори .известна. В (2.2.1) V0 - неизвестная скорость из интервала Wv (1.1.53), подлежащая оценке, v- постоянная интенсивность оптического фона.
Для получения ОМП или БО необходимо, чтобы измеритель скорости вырабатывал логарифм ФОП L(V) [66] для всех возможных значений скорости V из априорного интервала (1.1.53). Полагая, что интервал наблюдения [0, Т] достаточно велик, так что а скважность Q = 9/т0 последовательности лазерных импульсов не слишком мала (Q 2...3), так что отдельные импульсы не перекрываются, и, пренебрегая несущественным постоянным слагаемым, из (1.1.51) можем записать [17, 20,55]
