Содержание к диссертации
Введение
Глава 1« Психолого-педагогические аспекты проблемы развития пространственного воображения у студентов в классическом университете 14
1.1. Структура мышления математика 14
1.2. Пространственное представление и пространственное воображение как психолого-педагогические понятия 34
1.3. Взаимосвязь пространственного воображения и мышления математика 40
1.4. Воображение и язык 49
Глава 2- Особенности геометрической подготовки будущих преподавателей математики в классическом университете 56
2.1. О преподавании стереометрии в школе (по «Анкете учителя») 56
2.2. Педагогические условия развития пространственного воображения у будущих преподавателей математики в классическом университете в рамках дополнительной профессионально педагогической программы 67
2.3. Видение чертежа как один из видов пространственного воображения. Критерии и уровни его развития 77
2.4. Реализация педагогических условий развития видения чертежа у студентов - будущих преподавателей математики в рамках дополнительной педагогической программы 103
Заключение 127
Список литературы 130
Приложения 146
- Структура мышления математика
- Пространственное представление и пространственное воображение как психолого-педагогические понятия
- О преподавании стереометрии в школе (по «Анкете учителя»)
Введение к работе
Актуальность исследования. Уровень геометрической подготовки студентов в классическом университете определяется базовыми дисциплинами образовательной программы подготовки специалиста, в которых геометрия представлена большей частью только через аналитические методы. В результате у выпускников отсутствует целостное представление о строении геометрии и ее различных методах.
Знакомство студентов - будущих преподавателей с научными основами
школьной геометрии, с синтетическими методами, составляющими основу
школьного геометрического образования, может быть реализовано только за
счет вариативного компонента профессионально-педагогической подготовки.
Заметим, что подготовка преподавателей в классическом университете
осуществляется в рамках так называемого дополнительного
профессионального образования в вузе, когда педагогическую программу
« осваивают только желающие, параллельно с обучением по основной
программе подготовки специалиста. Разработанные на сегодняшний день в различных классических университетах программы подготовки преподавателей математики показывают, что в некоторых из них существуют отдельные авторские геометрические курсы, связанные со школьной геометрией, но нет единой системы геометрических дисциплин, отражающих различные аспекты школьного геометрического образования. Таким образом, геометрическую подготовку будущих преподавателей в классическом университете нельзя признать удовлетворительной.
В то же время практика показывает,' что, во-первых, при решении геометрических задач испытывают затруднения не только школьники, но и учителя, во-вторых, современная система весьма дифференцированного
* среднего образования требует мобильных учителей, обладающих широким
спектром профессиональных качеств, позволяющих легко адаптироваться как к работе в профильном математическом, так и в гуманитарном классе, в-третьих, недостаточный уровень геометрического образования преподавателя - выпускника университета в течение нескольких лет (пока идет период адаптации к педагогической деятельности) накладывает соответствующий отпечаток на знания его учеников.
Обозначенные проблемы указывают на противоречие между требованиями практики к уровню геометрического образования будущих преподавателей и реально существующей подготовкой по геометрии в классическом университете.
Геометрическое образование необходимо включает образный компонент (А.Д. Александров, Г.Д. Глейзер). Под последним, в частности, понимается определенный уровень развития пространственного воображения. Проблема развития пространственного воображения, прежде всего, включает два аспекта: у кого развивать пространственное воображение и на основе какого вида наглядности это делать. Анализ изученной литературы по данной проблеме показывает, что в большинстве своем пространственное воображение и пространственные представления исследуются у школьников на основе геометрического материала, географии и черчения (И.Г. Вяльцева, А.Д. Герасимова, ГД Глейзер, Е.Н. Кабанова-Меллер, Е.Н. Корнеева, Б,Ф. Ломов, А. Пардала, И.С. Якиманская) и у студентов педагогических вузов на основе геометрического материала (Л.Ф. Культина, Г.Н. Никитина, А.Н. Пыжьянова). В то же время данная проблема становится актуальной и для классических университетов, занимающихся подготовкой педагогических кадров, поскольку способность к пространственному воображению - .профессиональное качество, необходимое каждому учителю математики. При этом нужно учитывать специфику педагогического образования в классическом университете, состоящую в преобладании дисциплин направления науки, в модульности и
кратковременности его реализации. Эти черты принципиально отличают классические университеты от педагогических вузов, где содержание обучения с младших курсов подчинено профессиональной подготовке.
Следовательно, возникает проблема: при каких педагогических условиях возможно развитие пространственного воображения у будущих преподавателей в классическом университете?
Цель исследования: выявить и обосновать комплекс педагогических условий, необходимых для развития пространственного воображения у студентов - будущих преподавателей в классическом университете.
Объект исследования: процесс обучения будущих преподавателей в классическом университете.
Предмет исследования: комплекс педагогических условий, необходимых для развития пространственного воображения у будущих преподавателей математики.
Анализ теоретических и практических аспектов рассматриваемой проблемы позволил сформулировать гипотезу исследования: развитие пространственного воображения у студентов при подготовке преподавателей математики в процессе обучения в классическом университете будет эффективно при выполнении следующих условий:
разработки и введения за счет вариативной составляющей дополнительной профессионально-педагогической программы специальных курсов синтетической геометрии, включающих в качестве одной из своих задач целенаправленное развитие пространственного воображения у студентов, проявляющееся в разработке средств его диагностики и формировании у студентов целевой установки, связанной с педагогической мотивацией, на его развитие;
готовности преподавателей университета использовать геометрические образы в процессе преподавания не только
профессионально-педагогических, но и базовых математических дисциплин, обуславливающейся важностью умения оперировать геометрическими образами для студентов как будущих математиков (а не только преподавателей), а также целесообразностью их использования с точки зрения методики преподавания математики в вузе. В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
Уточнить определение пространственного воображения как одного из видов воображения, выявить его взаимосвязь с мышлением математика.
Теоретически обосновать необходимость использования геометрических образов преподавателями университета на математических курсах основной образовательной программы подготовки специалиста.
Определить сущность понятия «видение чертежа» как одного из видов пространственного воображения, выявить критерии и уровни развития видения чертежа.
Выявить и практически реализовать условия развития видения чертежа у будущих преподавателей в период обучения их по дополнительной профессионально-педагогической программе.
Теоретико-методологической основой исследования явились:
диалектика как общий метод познания, заключающийся в целостном и
всестороннем рассмотрении явлений и процессов в их развитии,
взаимодействии и взаимообусловленности; современные концепции
подготовки преподавателя в рамках дополнительного образования в вузе
(Т.А. Воронова, Г.А. Засобина, О.А. Иванов, Л.С. Казарин,
В.А, Кузнецова, Н,И. Мерлина, А.С. Проворов, О.Г. Проворова,
Н.Р. Сеиаторова, 3,0. Шварцман); психологические исследования в области проблем мышления и воображения (Л-Б, Ительсонїг В.В. Петухов, С.Л. Рубинштейн); информационный подход в психологии к исследованию
психических процессов (Л,М. Веккер, В.Н. Пушкин, У. Рейтман);
идеи об особенностях мышления математика (Ж. Адамар, Г.Вейль,
Г.Д. Глейзер); современные представления о применении принципа
наглядности в обучении (В.Е. Евдокимов, З.И. Калмыкова,
А.Н. Леонтьев, Л.Н. Нуридинов, Е.И. Смирнов); современные
исследования в области визуализации знаний (О.О, Князева,
В. Паронджанов); исследования проблем развития пространственного
воображения и пространственных представлений (И.Г. Вяльцева,
А.Д. Герасимова, Г.Д. Глейзер, Е.Н. Кабанова-Меллер, Л.Ф, Культина,
В.Н, Литвиненко, Б.Ф. Ломов, Г.Н. Никитина, А.Н, Пыжьянова,
И.С. Якиманская); теоретические обоснования построения
геометрических чертежей (В.Т, Базылев, Г.А. Владимирский,
ДФ. Изаак, И.И. Котов, МП. Лащенов, Н,Ф. Четверухин).
Методы исследования. Для решения поставленных задач и обоснования гипотезы были использованы методы теоретического анализа проблемы и предмета исследования, эмпирические методы: наблюдение, беседа, анкетирование, анализ документации, методы статистической обработки данных, интроспективный метод.
Базой исследования явились; математический факультет Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова и математический
факультет Костромского государственного университета
им. Н.А. Некрасова. Кроме этого, к анкетированию привлекались учителя школ Фрунзенского и Кировского районов города Ярославля.
Теоретическая и опытно-экспериментальная работа проводилась в три этапа в течение пяти лет.
На первом этапе (1996 - J998 гг.) осуществлялись изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, формировались основные подходы к ее. решению, изучалось состояние исследуемой проблемы в университетской практике,
разрабатывался специальный геометрический курс «Методы изображений» и проводилась его первая апробация.
На втором этапе (1998 - 2000 гг.) выявлялась сущность понятия «видение чертежа», был определен комплекс педагогических условий» обеспечивающих развитие видения чертежа у будущих преподавателей» продолжалась опытная апробация, были внесены коррективы в подходы к чтению геометрического чертежа.
На третьем этапе (2001 г.) проводились анализ и обобщение эмпирических данных, велось литературное оформление диссертации,
Достоверность и обоснованность результатов исследования ш обеспечиваются исходными теоретико-методологическими положениями, применением комплекса методов, адекватных поставленным целям, статистическими методами обработки результатов. Научная новизна исследования:
на основании имеющегося опыта реализации дополнительной
профессионально-педагогической программы в различных
классических университетах выявлены особенности
геометрической подготовки студентов в классическом университете, получающих дополнительную квалификацию «Преподаватель»;
определена сущность понятия «видение чертежа» как одного из видов пространственного воображения, выявлены критерии и уровни его развития;
разработан комплекс педагогических условий развития пространственного воображения у студентов при подготовке преподавателей математики в классическом университете, Теоретическая значимость исследования:
на основании теоретического анализа психолого-педагогической литературы уточнена трактовка понятия «пространственное
воображение», выявлена взаимосвязь пространственного воображения с мышлением математика;
теоретически и практически обоснована возможность непрерывного и целенаправленного развития пространственного воображения у будущих преподавателей в классическом университете, при этом способность к пространственному воображению выступает не только как качество, необходимое каждому учителю математики, но и как средство повышения уровня общей культуры студентов;
в результате анализа различных подходов к обоснованию и методике построения и восприятия проекционного геометрического чертежа сформирован теоретически обоснованный подход, позволяющий на основе чертежа создавать пространственный образ, адекватный изображенной фигуре. Практическая значимость исследования:
выявленные педагогические условия развития пространственного воображения у будущих преподавателей математики могут быть реализованы в классическом университете;
предложенный диссертантом подход к проекционному чертежу может быть реализован не только в вузе на специальных курсах синтетической геометрии, но и в школе;
разработанный автором диссертации специальный курс «Методы
изображений» может быть использован как в классических
университетах, так и в педагогических вузах при подготовке
учителей математики.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились путем
выступлений соискателя на научно-методическом семинаре под
руководством А,В. Ястребова в ЯШУ им, К,Д. Ушинского, участия в работе
6-й конференции молодых ученых в г. Ярославле (1998), научно-
методической конференции «Проблемы фундамента л изации высшего образования» в г, Иваново (1999), международной научной конференции «Проблемы повышения качества подготовки учителя» в г. Шуя (1999), 18-го Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов в г. Брянске (1999), Всероссийской конференции «Проблемы педагогического образования в классическом университете» в г, Ярославле (2000), 2-го Всероссийского геометрического семинара «Проблемы геометрического образования на современном этапе» в г, Пскове (2001), VI областной научно-методической конференции «Актуальные проблемы совершенствования подготовки специалистов в вузе» в г. Ярославле (2001), 2-м межвузовском научно-методическом семинаре «Математическое образование и наука в экономических и технических вузах» в г. Ярославле (2001). Разработанные теоретические и практические положения были использованы при чтении специального курса "Методы изображений" в ЯрГУ им. П,Г,Демидова и Костромском государственном университете им. Н.А. Некрасова (1996-2000). На защиту выносятся следующие положения;
1. Пространственное воображение входит в структуру мышления
математика как одна из форм проявления его наглядно-образного
мышления, потенциал которого он использует в качестве возможного
средства открытия нового знания.
2. Одной из составляющих развития пространственного воображения
является видение чертежа, понимаемое как процесс создания
пространственного (трехмерного) образа фигуры по ее плоскому
изображению и результат этого процесса.
3. Показателями развития видения чертежа служат: способность
создавать на основе чертежа пространственное представление,
адекватное изображенной фигуре; умение применять видение
чертежа при решении различных геометрических задач, При этом для
определения адекватности пространственного представления используются: описание расположения изображенных объектов в геометрических терминах, с помощью естественного языка и модель фигуры. 4. Педагогическими условиями развития пространственного воображения у студентов при подготовке преподавателей математики в классическом университете являются:
разработка и введение за счет вариативной составляющей дополнительной профессионально-педагогической программы специальных курсов синтетической геометрии, одной из задач которых является целенаправленное развитие пространственного воображения у студентов, предполагающее его диагностику на начальном этапе (перед чтением курса) и конечном (после чтения курса), а также формирование у студентов установки, связанной с педагогической мотивацией, на его развитие;
готовность преподавателей университета использовать геометрические образы в процессе преподавания не только профессионально-педагогических, но и базовых математических дисциплин, обуславливающаяся важностью умения оперировать геометрическими образами для студентов как будущих математиков (а не только преподавателей), а также целесообразностью их использования с точки зрения методики преподавания математики в вузе. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены цель, объект, предмет, гипотеза, задачи исследования; указаны использованные методы, раскрыты научная новизна, теоретическая и
практическая значимость работы; приведены сведения об апробации и внедрении результатов исследования, а также положения, выносимые на защиту.
В первой главе - «Психолого-педагогические аспекты развития пространственного воображения у студентов в классическом университете» -определены исходные понятия исследования и теоретически обоснована возможность развития пространственного воображения у студентов -будущих преподавателей в период обучения их по основной образовательной программе подготовки математика.
Во второй главе - «Особенности геометрической подготовки преподавателей математики в классическом университете» рассматриваются педагогические условия развития пространственного воображения у будущих преподавателей, которые могут быть реализованы в рамках дополнительной профессионально-педагоги чес кой программы.
В заключении подведены итоги исследования.
В приложения включены диагностирующие задачи и чертежи различных случаев расположения в пространстве точек, прямых и плоскостей.
Структура мышления математика
Психолого-педагогический вопрос структуры мышления математика, тесно связанный с проблемой развития пространственного воображения у студентов-математиков при подготовке к педагогической деятельности, требует уточнения трактовки понятий: «образ» и «мышление».
Понятие «образ» является понятием многозначным и используется в различных контекстах (художественный образ, чувственный образ, понятийный образ, образ как математическое понятие). Мы будем рассматривать его с психологической точки зрения, как чувственную характеристику предмета. Кроме этого, мы ограничимся рассмотрением только геометрических образов, которые используются в математике.
Математические образы можно разделить на предметные, знаковые и внутренние визуальные. Предметные образы (или образы-изображения а терминологии Л.Б. Ительсона [61]) являются отражелием реально существующих объектов. Таковыми образами из всех разделов математики в большей степени оперирует геометрия: образ куба, образ шара и т.п. Хотя эти объекты и являются идеальными, как обобщение сходных свойств различных предметов, тем не менее, их можно склеить, например, из бумаги и получить реально существующий объект.
Знаковые образы (образы-обозначения [61]; рациональные образы в терминологии Л.Н. Нуридинова _139]) используются в математике для обозначения нечувственных объектов, общих свойств и отношений реальности, они объективно автономны, по отношению к рассматриваемым объектам, но, как правило, отражают наиболее общие, существенные связи объективного мира, недоступные непосредственному чувственному восприятию. В качестве примера знакового образа можно привести прямую как образ пропорциональной зависимости. Заметим, что один и тот же гк своему чувственному содержанию объект может являться и предметным, и знаковым образом: прямая может быть образом прямой линии, а может, как уже было сказано выше, олицетворять прямую пропорциональность,
Другим примером применения знаковых образов в математике является использование кругов в качестве изображения множеств и отношений между ними (диаграммы Эйлера).
Это число, если не является простым, должно иметь простой делитель, который и является искомым. Я вижу некоторое место, расположенное между неопределенной массой и первой точкой».
Другим примером визуального образа может служить овал, изображающий в многомерной геометрии n-мерную плоскость.
Внутренние визуальные образы объективно никак не связаны с реальными объектами и не отражают, в отличие от рациональных, отношения между ними. Тем не менее, они помогают «единым взглядом охватить все элементы рассуждения» [1].
Именно о знаковых и визуальных образах говорит физик Л.Пономарев в [61]: «При углублении и уточнении системы научных знаний мы вынуждены все дальше и дальше отходить от непосредственных чувственных восприятий и от понятий, которые возникли на их основе, Такой процесс абстракции необходим, но не следует огорчаться по этому поводу, коль скоро наш разум способен понять даже то, чего мы не в состоянии представить.
Но даже эту «абстрактную реальность» человек всегда пытается представить наглядно, т.е. свести ее к небольшому числу проверенных образов. Такое стремление заложено в человеке очень глубоко, и поэтому у физиков развилась своя, причудливая система образов, которая почти наверняка ничему реальному в природе не соответствует, о которой нельзя рассказать словами, но которая, тем не менее, помогает им отыскивать связи между явлениями в моменты наивысшего напряжения мысли».
Пространственное представление и пространственное воображение как психолого-педагогические понятия
Существуют несколько принципиально различных подходов к определению понятия «представление».
1) Представление рассматривается как результат наглядно чувственного опыта: "представление - наглядный образ предмета или явления, возникающий на основе прошлого опыта (данных ощущений и восприятий путем его воспроизведения в памяти или в воображении" [120],
2) Представление рассматривается не только как следствие прошлого наглядно-чувственного опыта, но и интеллектуального: "представление - форма отражения в виде наглядно-образного знания, одно из проявлений памяти, следовой образ ранее бывшего ощущения или восприятия. В структуру представления входят помимо внешних признаков, и такие, которые открываются не непосредственно, а только при детальном умственном и физическом анализе предметов в их отношении друг к другу и к человеку" [125].
3) Представление - это конкретное знание о предмете, не обязательно чувственное, наглядное [63],
4) Представление в обыденном смысле понимается как не достаточно ясное знание о предмете.
Отметим отличие определения 2 от определения 3: в первом говорится о том, что представление обязательно носит чувственно-наглядную окраску, но при этом и не только ее, во втором - о том, что представление может вообще не быть чувственно-наглядным,
В качестве определения понятия «представление» мы возьмем определение 2 и будем считать представление наглядно-образным знанием о непосредственного восприятия закономерные связи и отношения. Под "знанием" в данном случае понимается информация, усвоенная человеком, поэтому представления могут быть как верными, так и неверными. Таким образом, представление включает в себя наглядно-образную и логическую компоненты. Выбор нами именно этого подхода обусловлен следующими причинами.
Уже в наглядном образе восприятия присутствует логическая компонента, под которой мы понимаем осознание того, что это за предмет, как он соотносится с имеющимся у человека опытом. П. Жане говорил: «Воспринимать кресло - это значит видеть предмет, в который можно сесть» [139]. Таким образом, логическая компонента присутствует и в представлении, полученном на основе восприятия, причем она постепенно развивается с течением познавательной деятельности человека,
В научной деятельности математика и в учебной деятельности студента математического факультета тем более используемые представления нельзя рассматривать в отрыве от мыслительной деятельности. При этом логическая компонента соответствующих представлений носит наиболее абстрактный характер, и хотя ее нельзя получить с помощью наглядно-чувственного познания, а только с помощью интеллектуального, тем не менее, иметь наглядное представление о математическом объекте без осознания логической компоненты невозможно, поэтому мы не будем рассматривать представление в ее отрыве. Поясним сказанное на примере. Представление об эллипсоиде у ребенка может включать следующую логическую компоненту: этот предмет похож на яйцо (по аналогии с креслом у П.Жане). При обучении на математическом факультете у того же ребенка,, ставшего взрослым, представление об эллипсоиде может включать уже следующую логическую компоненту: это поверхность второго порядка.
Последний случай, по сути, ни чем не отличается от первого (яйцо от поверхности второго порядка), он просто отражает тот уровень знаний о предмете, который имеет человек, но ни тот ни другой не отделимы от наглядного образа предмета.
Представление может пройти длительный путь в процессе своего формирования: от первоначального представления о конкретном объекте определенного класса сходных объектов путем обобщения и выделения в образе характерных признаков данного класса к представлению - «носителю» понятия. «Под «носителем» понятия подразумевается образ в котором отражены существенные признаки предмета, сформулированные в определении соответствующего общего понятия»[63].
Под пространственными и пространственно-временными свойствами и отношениями объектов мы будем понимать; величину, форму, относительное расположение объектов, поступательное, вращательное движение и изменение объектов при различных геометрических и топологических преобразованиях. Тогда пространственные представления - представления о пространственных и пространственно-временных свойствах и отношениях объектов.
О преподавании стереометрии в школе (по «Анкете учителя»)
На предмет решения школьниками, студентами и учителями школьных геометрических задач нами проанализирован следующий опыт: тестирование учителей города Пензы [164], тестирование учителей, студентов и учащихся Чувашии [1 15], опыт участия автора в приеме вступительных экзаменов по математике в ЯрГУ централизованное государственное тестирование абитуриентов города Ярославля [92], опыт работы автора со студентами 5-го курса ЯрГУ, будущими преподавателями, В качестве примера приведем результаты тестирования, проведенного в Чувашии, и результаты централизованного государственного тестирования абитуриентов города Ярославля.
Результаты тестирования, проведенного Чувашским государственным университетом совместно с Институтом усовершенствования учителей: со стереометрическими задачами справились: школьники (абитуриенты) -21%; студенты (4 курс) - 25%; учителя (9-11 классы)- 31%.
Результаты централизованного государственного тестирования абитуриентов города Ярославля: «Особо низкие показатели правильного выполнения тестовых заданий за оба года (1998 и 1999) соответствуют таким темам, как: арифметические преобразования, решение тригонометрических уравнений, исследование функций при помощи аппарата производной, стереометрические задачи» [92].. Стереометрические задачи тестирования выполнили:
- 35.6% абитуриентов ЯрГУ,
- 19.2% абитуриентов ЯГТУ. Планиметрические задачи выполнили (для сравнения):
- 71Л % абитуриентов ЯрГУ,
- 57.0% абитуриентов ЯГТУ.
Результаты исследований и анализ имеющегося опыта позволяют сделать вывод, что учащиеся школ, студенты и даже учителя испытывают значительные трудности при решении стереометрических задач. Для того чтобы выяснить, в чем состоят эти трудности и в чем их причины, мы предложили 32 учителям математики 10-11 классов Фрунзенского и Кировского районов города ответить на вопросы «Анкеты учителя». Среди отвечавших на вопросы учителей были:
2 человека (6.3%) - стаж до 5 лет включительно;
6 человек (18.8%)- стаж от 5 лет до 10 лет включительно;
5 человек (15.6%) — стаж от 10 лет до 15 лет включительно;
5 человек (15.6%)-стаж от 15 лет до 20 лет включительно;
6 человек (18.8%)-стаж от 20 лет до 25 лет включительно; 6 человек (18.8%) - стаж от 25 лет до 30 лет
включительно; 2 человека (6.3%) - стаж, превышающий 30 лет. Таким образом, в выборку были включены учителя с различным опытом работы.
При этом подавляющее большинство из них - 26 человек (81.3%) -закончили Ярославский государственный педагогический университет им. ЇС.Д. Ушинского, 4 человека (12.5%) - Ярославский государственный университет им. ПГ. Демидова, 2 человека (6.3%) - иногородние педагогические вузы. На вопрос: «Как бы Вы оценили по трехбалльной шкале степень трудности преподавания для учителя стереометрии в школе в сравнении с другими разделами школьной математики?» - ответы распределились следующим образом:
17 человек (53.1%) считают, что преподавание стереометрии по степени трудности не отличается от преподавания других разделов математики;
15 человек (46.9%) считают, что стереометрия - один из самых трудных для преподавания разделов математики; никто из отвечающих (0%) не считает стереометрию легкой для преподавания. Проследим, есть ли зависимость ответа на данный вопрос от стажа учителя. В первом случае средний стаж отвечающих учителей - 20 лет, во втором случае - 16 лет. Для выявления разброса частных данных стажа от средней величины в каждом из случаев мы вычислили среднее квадратическое отклонение:
где D - дисперсия, В первом случае а = 8,5, во втором случае а =9. Таким образом, отклонение в обоих случаях от средней величины достаточно велико, чтобы сказать о явной зависимости ответа на поставленный вопрос от стажа учителя. Тем не менее, шесть из восьми молодых учителей входят во вторую группу» ответив, что стереометрия - один из трудных для преподавания разделов. Об учителях, чей стаж превышает 10 лет ничего конкретного сказать нельзя, поскольку они входят и в первую и во вторую группу.
Следующий вопрос «Анкеты учителя» об усвоении стереометрии
школьниками: «Как бы Вы оценили по трехбалльной шкале в сравнении с другими разделами математики усвоение стереометрии учащимися?». Ответы распределились следующим образом: 17 человек (53,1%) считают стереометрию одним из самых трудных разделов математики для усвоения,
15 человек (46.9%) считают, что учащиеся средне усваивают стереометрию по сравнению с другими разделами, никто (0%) не отнес стереометрию к разделам, легко усваивающимся. Заметим, что в основе те учителя, которые в предыдущем случае отвечали «трудно», и в этом случае ответили также, а те, которые в предыдущем отвечали «средне», и в этом ответили аналогично.
На наш взгляд, процент учителей (46.9%), считающих, что стереометрию школьники усваивают средне, слишком высок, поскольку, различные исследования, о которых мы говорили выше, показывают, что со стереометрическими заданиями учащиеся справляются очень плохо. (Особенно показательны в этом смысле результаты тестирования, проведенного в Чувашии, и исследование Н.Л. Майоровой, демонстрирующие степень усвоения школьниками различных разделов математики).
