Содержание к диссертации
Введение
2. Исследование задач рационального проектирования агрегатов силовых конструкций летательных аппаратов 15
2.1 О задачах рационального проектирования агрегатов конструкций летательных аппаратов 15
2.2. Учет нелинейного поведения конструкций в авиастроении 16
2.3 Постановки задач рационального проектирования 19
2.4 Условия оптимальности для задачи минимизации массы конструкции при ограничении на податливость и конструктивных ограничениях 24
2.5 Условия оптимальности для задачи минимизации податливости конструкции при фиксированной массе силового материала и конструктивных ограничениях 27
2.6 Заключение по разделу 28
3. Алгоритмы рационального проектирования физически нелинейных конструкций 30
3.1 Алгоритм минимизации податливости 30
3.2 Эвристический алгоритм получения полностью напряженной конструкции 36
3.3 Заключение по разделу 41
4. Численные исследования модельных конструкций 42
4.1 22-стержневая ферма 42
4.2 Расчет рациональных параметров балочной конструкции 50
4.3 Трехстержневая ферма (аналитический расчет) 55
4.4 Заключение по разделу 68
5. Расчет рациональных параметров конструкции шпангоута 69
5.1 Получение и исследование вариантов полностью напряженной конструкции шпангоута 71
5.2 Минимизация податливости конструкции 83
5.3 Улучшение весового качества конструкции 87
5.4 Заключение по разделу 92
6. Выводы 94
7. Литература 96
- Условия оптимальности для задачи минимизации массы конструкции при ограничении на податливость и конструктивных ограничениях
- Эвристический алгоритм получения полностью напряженной конструкции
- Расчет рациональных параметров балочной конструкции
- Получение и исследование вариантов полностью напряженной конструкции шпангоута
Введение к работе
1.1 Литобзор
Интерес к задачам оптимизации конструкций существует очень давно. Задачи такого типа рассматривали такие известные ученые, как Галилей, Лагранж, Леви, Максвелл [2]. Ниже приводится не претендующий на полноту обзор работ по оптимизации и рациональному проектированию конструкций, в ходе которого отмечены моменты, представляющие интерес с точки зрения темы данной работы.
В течение нескольких последних десятилетий в значительной степени возросло количество работ, посвяшенных оптимизации конструкций, что было обусловлено развитием математических методов оптимизации и введением в практику проектирования расчетов на ЭВМ [2]. Исследования, проводившиеся ранее, в основном относятся к достаточно простым задачам [2]. Тем не менее, в то время были получены некоторые важные результаты.
Так, Леви, по-видимому, одним из первых рассмотрел при оптимизации конструкции работу ее внутренних сил или потенциальную энергию [87].
Максвелл [88] вывел формулу для объема материала равнопрочной статически неопределимой упругой фермы, впоследствии его результат стал известен как теорема Максвелла.
Мичеллом [89] была доказана теорема о форме легчайшей упругой фермы, передающей заданное усилие на заданную опорную поверхность, при заданном диапазоне напряжений в стержнях. В соответствии с этой теоремой ферма должна быть статически определимой и равнопрочной, а стержни должны располагаться вдоль линий главной деформации.
Следуя Леви, Уманский и Горбунов [60] использовали потенциальную энергию конструкции как средство для исследования ее массы, получив ряд интересных зависимостей. Но особо много внимания, начиная с 1939 г., уделил применению этой энергии к задачам оптимизации конструкций польский ученый З.Васютинский. В работах его школы (соответствующая библиография имеется, например, в [97]) задача о минимуме веса при заданной нагрузке заменяется в определенном смысле близкой к ней с точки зрения решения задачей о максимуме жесткости (минимуме работы внутренних сил) при заданном объеме материала. Наиболее полное, после указанной выше работы Леви, исследование статически
неопределимых упругих ферм минимального веса было выполнено в классической работе И.М.Рабиновича [40].
Дальнейшее развитие исследований по оптимизации конструкций до середины 60-х годов нашего столетия шло по двум направлениям [41]: в нашей стране изучались в основном упругие конструкции, а за рубежом — задачи минимизации веса жестко-пластических конструкций.
Важнейшими из зарубежных работ, посвященных задачам оптимизации жестко-пластических конструкций при статическом нагружении, явились работа [79] и работы Прагера (см., например, [39, 94]). В работе [79] был получен важнейший критерий оптимальности — так называемый принцип равной мощности диссипации для однократно нагруженной жестко-пластической конструкции минимального веса.
Из отечественных исследований оптимальных статически неопределимых упругих конструкций здесь можно отметить работы А.И. Виноградова [11], который предложил алгоритм оптимального исчерпания запасов, А.А.Комарова [31], разработавшего методы и алгоритмы проектирования конструкций максимальной жесткости. А.И.Лурье [36] рассмотрел приложение теории оптимального управления к проектированию одномерных конструкций. Для выбора наилегчайшей основной системы из заданной статически неопределимой фермы Ю.А. Радцигом [42] была разработана специальная теория поиска минимума линейных модулярных функций.
Когда при проектировании начала использоваться мощная вычислительная техника, стало возможным производить расчет сложных конструкций произвольного вида, а также учитывать нелинейное поведение конструкций. При этом наряду с традиционными методами расчета, основанными на инженерных теориях (тонкостенных стержней, балок, пластин) [1, 8,21], в настоящее время активно применяются численные методы, в особенности метод конечных элементов (см. например, [20, 22, 24, 69, 85]) как обладающий наибольшей универсальностью. Одним из достоинств метода конечных элементов по сравнению с другими численными методами является возможность естественным образом описывать расчетные схемы, имеющие границы раздела между областями из разных материалов. Проектированию конструкций, в которых используется несколько материалов, посвящены, например, работы [ 12, 67, 80]. В работе [80] выводится условие оптимальности для задач минимизации массы линейно-упругих конструкций с ограничениями, наложенными на заданные линейные комбинации узловых перемещений (таким образом можно вводить ограничения на обобщенные перемещения в конструкции либо на напряжения в
линейно-упругой конструкции), состоящее в том, что линейная комбинация отношений плотностей виртуальной энергии деформации (то есть энергии деформации, соответствующей перемещениям в конструкции, задаваемым коэффициентами податливости) к плотностям материала равняется единице во всех активных элементах. Данное условие для статически неопределимых конструкций в общем случае отличается от часто применяемых в инженерной практике понятий равнопрочности и полной напряженности. Таким образом, во многих случаях может быть получена конструкция, обладающая массой, меньшей, чем масса равнопрочной конструкции (см. например, [43]).
Учет нелинейностей, возникающих при нагружении конструкций, особенно важен в авиастроении, где проектирование ведется по разрушающим нагрузкам [1]. Нелинейные эффекты, имеющие место в поведении нагруженных конструкций, принято разделять на три вида, называемые физической, геометрической и конструкционной нелинейностями [20]. Под физической нелинейностью понимается нелинейность связи «напряжение-деформация» (в рамках теории бесконечно малых деформаций). Геометрической нелинейностью называют нелинейность связи «деформация-перемещение», имеющую место при учете конечности перемещений. Проектированию с учетом геометрической нелинейности посвящены, например, работы [68, 71, 73, 83, 86, 90, 96]. Конструкционная нелинейность обусловлена изменением характера работы или взаимодействия конструктивных элементов в процессе деформирования, этот тип нелинейности проявляется в сложных конструкциях при изменениях поверхностей контакта (контактные задачи, см., например, [7]) и характеристик соединений элементов, при потере устойчивости элементов под действием больших сжимающих и сдвигающих напряжений (см. например, [15, 16, 19, 57]), при разрушении элементов и соединений [20].
Исходя из тематики настоящей работы, следует более подробно коснуться исследований, посвященных физической нелинейности. У традиционных материалов, используемых в авиационных конструкциях и имеющих на диаграмме напряжение-деформация область линейной упругости, при выходе за границы этой области следует учитывать отклонение как от линейно-упругой, так и от жестко-пластической моделей. Используемое в данной работе понятие физической нелинейности не включает в себя жестко-пластическую модель. Из работ, посвященных оптимизации жестко-пластических конструкций, помимо [79] можно отметить работы В. Прагера (например, [39, 94]), в которых был разработан общий метод оптимизации конструкций, базирующийся на использовании
соответствующих вариационных принципов, а также получены условия оптимальности для рамных конструкций минимального веса.
При проектировании авиационных конструкций всегда принималось во внимание отклонение от линейной модели поведения материала. Еще в тридцатых годах был разработан метод редукционных коэффициентов, позволяющие учитывать как пластичность материала, так и падение жесткости сжатых элементов после потери устойчивости [1, 8, 19]. Конструкция при этом представляется в виде балочной расчетной схемы, что позволяет использовать при расчетах простые соотношения сопротивления материалов. Благодаря своей эффективности данный метод активно используется и в настоящее время. Так, в работе [21] с помощью метода редукционных коэффициентов проведен анализ несущей способности ряда конструкций и выполнено сравнение полученных результатов с результатами, полученными при использовании линейно-упругой модели. Отмечено, что использование линейно-упругой модели, как правило, позволяет проектировать конструкцию «в запас».
Для учета нелинейности материала при анализе конечно-элементных расчетных схем на ЭВМ обычно используются такие методы, как метод переменных параметров упругости (другое его название — метод переменной жесткости, [24]), метод упругих решений (метод начальных напряжений, метод начальных деформаций, [24]), а также способ, использующий пошаговое приращение нагрузки от нуля до действующего значения (аналогично тому, как это делается для решения нестационарных задач) с применением на каждом шаге одного из указанных методов (переменных параметров упругости либо упругих решений) для итерационного уточнения [24, 85]. Последний способ позволяет производить вычисления для материалов, описываемых нелинейной теорией упругости, имеющей соотношения только для приращений напряжений и деформаций, а не для их полных значений.
Физическую нелинейность следует также учитывать при выборе материалов, используемых в проектируемой конструкции. Так, в работе [67] разработана методика выбора материалов и оптимальных параметров конструкций, обеспечивающих теоретически минимальную массу. Показано, что когда сравниваемые материалы при одной и той же нагрузке находятся в разных зонах (например, один в зоне упругости, а другой уже в зоне пластичности), то оценка их весового качества традиционным способом (при помощи коэффициентов весового качества: удельной прочности, удельной жесткости и т.п.) может приводить к грубым ошибкам и, как следствие, к перетяжелению конструкции. Предлагаемая методика заключается в преобразовании формул или графиков расчета допускаемых
напряжений в зависимость «нагрузка - масса», построении графиков в этих координатах и выявлении на них огибающей минимальных значений массы.
В работе [12] рассмотрена задача оптимального размещения нескольких материалов по сечению скручиваемого призматического стержня. Материалы предполагаются нелинейно-упругими или упругопластическими, количество каждого материала задано. Цель проектирования — максимизация или минимизация запасаемой упругой энергии при фиксированном угле закручивания единицы длины стержня. Показано, что эта проблема сводится к решению задачи кручения для некоторого нелинейного материала, закон состояния которого определяется данными оптимизационной задачи. Проект характеризуется наличием зон пространственных скользящих режимов управления, которые в данном случае представляют собой области, занятые бесконечно часто чередующимися слоями из исходных материалов, расположенных либо вдоль линий уровня функции Прандтля (задача максимизации момента), либо поперек их (задача минимизации веса проекта). Приводятся примеры проектов стержней круглого и квадратного поперечного сечения, изготовленных из двух упругопластических материалов.
Отдельные вопросы для задач оптимизации однократно статически нагруженных ферм на основе использования степенной и билинейной зависимостей напряжение-деформация были рассмотрены в монографии [14]. Исследован класс равнонапряженных конструкций, получены условия, выделяющие из этого класса конструкцию с минимальным объемом материала.
Помимо явлений пластичности и нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями физическая нелинейность может иметь и иные проявления. Например, поведение конструкции является существенно нелинейным при действии динамических или ударных нагрузок (см., например, [5, 29, 35]). Нелинейности в поведении конструкции возникают также при работе в условиях повышенных температур. Они проявляются в ползучести, изменении характеристик материалов, релаксации и т.д. (см., например, [19, 25, 26, 33, 78]). Оптимизации в условиях стационарной ползучести посвящены работы [34, 94]. В работе [22] рассматривается применение метода конечных элементов для решения задач ползучести. Нелинейным образом ведут себя и конструкции, в которых использованы композиционные материалы [19, 23].
С точки зрения алгоритмического подхода работы по оптимизации и рациональному проектированию конструкций можно разделить на две группы [3]. Большее количество исследований проводится на основе анализа чувствительности (см., например, [68, 71, 72, 73, 82,
83, 90, 96]), требующего вычисления соответствующих производных целевой функции, ограничений задачи и уравнений состояния. Этот подход позволяет строить алгоритмы оптимизации для произвольной критериальной функции и произвольной системы ограничений. Так, в работах школы проф. Ароры (например, [68, 71, 73, 96]) рассматриваются задачи одновременно и физически, и геометрически нелинейных конструкций. При этом используются соответствующие вариационные принципы, в которых учитывается влияние температурных условий.
В работе [72], авторы которой являются представителями школы проф. Майера, рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной изгибаемой упругопластической конструкции при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Используется теория пластичности Майера и метод конечных элементов. Представлены примеры расчетов оптимальных конструкций.
В работе [70] на основе использования теории пластичности Майера проведен анализ чувствительности в задачах оптимизации ферм. Приведен пример численного определения фермы максимальной жесткости при ограничениях на объем и конструктивных ограничениях.
В работе [82] рассмотрена задача оптимального выбора расположения точек опирання изгибаемых балочных конструкций из материала со степенной зависимостью «напряжение-деформация». Точки опирання и начальные перемещения в них могут выбираться из соображений максимизации жесткости конструкции. Приведен пример, иллюстрирующий разработанный подход.
Помимо работ, базирующихся на анализе чувствительности, существует ряд работ, использующих так называемый метод критериев оптимальности [3]. Он характерен тем, что вначале при помощи математических преобразований либо интуитивных соображений выводится условие оптимальности, после чего разрабатывается алгоритм, целенаправленно изменяющий текущий проект для удовлетворения полученному условию. К этому типу работ можно отнести, например, работы [6, 45 - 49, 64, 65, 74, 75, 77, 84, 91 - 93, 95].
В работе [6] классические алгоритмы типа отношения напряжений, широко используемые для линейно-упругих задач, перенесены (без строгого обоснования) на задачи минимизации массы упру-гопластических упрочняющихся статически нагруженных оболочек, деформирование которых описывается ассоциированным законом течения.
Задача оптимизации упругопластических ферменных и балочных конструкций при одном статическом нагружении в условиях линейного изотропного упрочнения была рассмотрена в работах А.П. Чижаса [64, 65, 76], где на основе использования вариационных принципов данная задача сведена к двум парам двойственных задач оптимизации, одна из которых относится к переменным проектирования (параметрам конструкции), а вторая — к переменным состояния.
В работе [74] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера по методу конечных элементов. Отыскивается минимум некоторой конечномерной функции стоимости, линейной по параметрам проектирования — геометрическим размерам сечения, при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче (условия Куна - Таккера). На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Представлены примеры расчетов некоторых балочных конструкций.
В работе [75] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Распределение конструктивных параметров предполагается гладким. Минимизируется некоторый линейный функционал параметров проектирования при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Методами вариационного исчисления получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче. Проведен качественный анализ нескольких примеров, допускающих аналитическое решение. Затем рассмотрено, как полученные континуальные условия оптимальности трансформируются при описании поведения конструкции по методу конечных элементов. Построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Приведены примеры расчетов конструкций.
В работе [77] получено условие постоянства потенциальной энергии деформации на поверхности оптимального трехмерного физически нелинейно-упругого тела со степенной зависимостью напряжение-деформация, нагруженного одной системой статических нагрузок. В качестве минимизируемой целевой функции рассматривалась податливость конструкции в виде общей дополнительной энергии,
объем силового материала считался заданным. Разработаны алгоритмы оптимизации и приведены иллюстративные примеры расчетов.
В работе [81] для сжатых колонн в отсутствие ограничений по потере устойчивости было получено условие постоянства напряжений в качестве условия оптимальности для задачи минимизации объема материала при заданной обобщенной податливости.
В работе [84] рассмотрены задачи оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических ферм, поведение которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Отыскивается минимум некоторой линейной функции параметров проектирования при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура поиска оптимального решения, приведены примеры расчетов.
В работе [91] исследовалась конструкция, составленная из линейно-упругих колонн и физически нелинейно-упругих двутавровых балок, нагруженная одной системой статических нагрузок. Было установлено, что условием минимума объема такой конструкции является условие равенства средних потенциальных энергий деформации для балок.
В работе [92] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на напряжения и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура для нахождения оптимальной конструкции, базирующаяся на линейной аппроксимации указанных условий. Приведен пример оптимизации конструкции 16-элементной фермы.
В работе [93] рассмотрена задача минимизации податливости однократно статически нагруженной конструкции заданной геометрии из физически нелинейного анизотропного материала со степенной зависимостью напряжение-деформация. Учитываются ограничения на объем материала, на напряжения, и конструктивные ограничения. Получен критерий оптимальности в виде условия постоянства потенциальной энергии деформации. Представлены результаты численных расчетов с использованием рекурсивной процедуры оптимизации, разработанной на основе полученного условия оптимальности.
В работе [95] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Зависимость напряжение-деформация предполагается несимметричной (вследствие возможной потери устойчивости при сжатии) и заданной. Получены необходимые условия оптимальности первого
порядка. На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции. Приведены примеры расчетов.
В работах СВ. Селюгина [45, 46, 47] рассмотрены задачи минимизации объема материала континуальных и дискретно описанных конструкций при ограничениях на податливость либо на допускаемые напряжения и конструктивных ограничениях, а такж минимизации податливости при фиксированном объеме материала и конструктивных ограничениях. Материал конструкций описывается гиперупругой моделью. В работе [45] рассмотрены балочные и рамные конструкции, в [46] исследованы конструкции, работающие в условиях плоского напряженного состояния (мембранные), в [47] — ферменные конструкции. Получены условия оптимальности для рассматриваемых задач. При одном случае нагружения для стержневых и мембранных конструкций указанные условия означают постоянство удельной потенциальной энергии деформации в тех местах оптимальной конструкции, где пассивно конструктивное ограничение, и фактически являются условиями постоянства уровня напряжений. Для балочных конструкций условия оптимальности соответствуют постоянству уровня напряжений на крайнем волокне балки. На основании полученных условий оптимума построены итерационные алгоритмы оптимизации дискретно описанных конструкций. Проведены тестовые расчеты.
Следует отметить, что почти все указанные выше работы, посвященные проектированию на основе как анализа чувствительности, так и метода критериев оптимальности, относятся к нелинейным конструкциям, выполненным из одного материала. Конструкции, проектируемые с использованием нескольких материалов, исследованы только в линейно-упругом случае.
Данная работа является развитием работ [45, 46, 47], на случай использования в конструкции нескольких физически нелинейных материалов, а также применения расчетных схем, включающих несколько типов конечных элементов. При этом исследуется различие в свойствах проектируемой конструкции, обусловленное использованием для ее материалов линейно-упругой и физически нелинейной моделей. Кроме того в работе рассмотрено проектирование агрегатов авиационных конструкций с учетом расчетных и эксплуатационных нагрузок.
Основные результаты работы докладывались на 38-й научной конференции МФТИ (1-4 декабря 1995г.), 3-й Крымской Международной Математической школе (г. Алушта, 16-23 сентября 1996г.) [52], Юбилейной научной конференции «Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики», посвященной 50-летию МФТИ, (29-30 ноября 1996г.), 2-й научно-технической
конференции молодых ученых ЦАГИ «Современные проблемы аэрокосмической науки» (10-11 апреля 1997г.) [54], Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» (г. Жуковский, 27-29 мая 1998г.) [63], и опубликованы в сборниках МФТИ [62] и Трудов ЦАГИ [56], а также выпущены в виде ряда научно-технических отчетов [50, 51, 53, 55].
Автор выражает благодарность Г.Н. Замуле, К.М. Иерусалимскому, М.П. Тепеницыну, В.В. Чедрику.
1.2 Краткая характеристика данной работы
В разделе 2 производится исследование задач рационального проектирования и получение для них условий оптимальности.
Условия оптимальности для задачи минимизации массы конструкции при ограничении на податливость и конструктивных ограничениях
Следует иметь в виду, что конструкция, рационально спроектированная для случая действия какой-то одной системы нагрузок (расчетных либо эксплуатационных), вообще говоря, может не являться допустимой при нагружении вторыми (соответственно, эксплуатационными либо расчетными) нагрузками. Только в достаточно простых случаях проектирование конструкции по расчетным нагрузкам может гарантировать работу конструкции в зоне линейно-упругих деформаций при действии эксплуатационных нагрузок (например, при достаточно больших коэффициентах безопасности, либо при расчете по разрушающим нагрузкам, основанном на прямолинейной зависимости между напряжением и деформацией, к тому же при условии, что критические напряжения всех сжатых элементов не меньше их предела текучести на сжатие [1]). Однако реальные авиационные конструкции ведут себя сложным образом, поэтому при их проектировании следует принимать во внимание обе указанные системы нагрузок.
Таким образом, спроектировав конструкцию под расчетные нагрузки с учетом физической нелинейности, следует удостовериться в отсутствии остаточных деформаций при эксплуатационных нагрузках. И наоборот: у конструкции, спроектированной под эксплуатационные нагрузки, следует проконтролировать прочность при действии расчетных нагрузок. Наиболее разумным (и более сложным) представляется проектирование с одновременным учетом рассматриваемых случаев нагружения: каждого со своим максимально допускаемым уровнем напряжений. При этом можно использовать процедуру, соответствующую проектированию с учетом нескольких случаев нагружения.
Кроме обеспечения прочности, при проектировании конструкций ЛА следует учитывать требования жесткости. Конструкция должна обладать достаточной жесткостью, чтобы под воздействием внешних нагрузок не искажались внешние формы самолета, а характеристики устойчивости и управляемости изменялись в допустимых пределах, и, кроме того, были удовлетворены требования аэроупругости [27]. Большое значение требования жесткости имеют при нагрузках, близких к разрушающим, так как при этом у реальных материалов жесткость значительно снижается, приводя к большим величинам деформаций [28].
Формализация процесса проектирования, описанного выше, приводит к довольно сложным задачам оптимизации конструкций. Поэтому представляется возможным рассмотреть ряд более простых постановок, с тем, чтобы впоследствии использовать результаты их исследования для построения алгоритмов, решающих частные задачи по рациональному проектированию агрегатов конструкций ЛА с учетом физической нелинейности. Предполагается, что расчет напряженно-деформированного состояния исследуемых конструкций осуществляется на базе МКЭ. При рассмотрении задач используется аппарат теории оптимального проектирования и вариационного исчисления.
Рассмотрим задачу минимизации массы силового материала конструкции при ограничении сверху на ее податливость (или снизу на жесткость) и конструктивных ограничениях.
Рассматриваемая конструкция определяется как конструкция, имеющая заданную конструктивно-силовую схему (форму) произвольного вида, в которой могут использоваться несколько материалов.
Конструкция представляется в виде дискретизированной расчетной схемы, в которой возможно одновременное использование конечных элементов различных типов. При этом каждый КЭ должен быть из одного материала и иметь один проектный параметр. Количество элементов и их типы задаются произвольно, исходя из требований адекватного описания напряженно-деформированного состояния конструкции при заданных нагрузках.
Под конструктивными ограничениями здесь понимаются обусловленные технологическими и эксплуатационными соображениями ограничения снизу на величины проектных параметров.
Нагружение конструкции производится одной системой статических консервативных нагрузок. Считается, что деформирование конструкции происходит в отсутствие потери устойчивости.
Для того, чтобы описать нелинейное поведение материалов конструкции при нагружении, здесь используется так называемая гиперупругая модель физически нелинейного материала. Она характеризуется однозначной зависимостью между тензорами напряжений и деформаций, описываемой посредством соответствующих потенциалов напряжений и деформаций. При этом любая компонента тензора напряжения (деформации) является частной производной от соответствующего потенциала по соответствующей компоненте тензора деформации (напряжения). По существу, данная теория является теорией физически нелинейно-упругого тела в предположении малости деформаций. При активном нагружении, имеющем место когда рассматривается действие расчетных нагрузок, посредством данной теории может быть описано также и пластическое деформирование материала. В частности, в теории малых упруго-пластических деформаций (деформационной теории пластичности) при активном нагружении в роли потенциалов напряжений и деформаций выступают соответственно удельная потенциальная энергия деформации и удельная дополнительная энергия. Еще одной областью применения гиперупругой модели материалов является теория стационарной ползучести. Это обусловлено известной аналогией между уравнениями равновесия для указанной модели и уравнениями стационарной ползучести [28]. В соответствии с этой аналогией вторые уравнения переходят в первые, если заменить поля скоростей и скоростей деформации соответственно на поля перемещений и деформаций. Существенным для указанной аналогии является экспериментальный факт о вогнутости зависимости напряжения от скорости деформации.
Жесткость и податливость конструкции могут быть представлены в виде функционалов локального либо интегрального типа [3]. Первые зависят от значения перемещений в некоторых точках конструкции. Примером этого может служить максимальное значение перемещения точек конструкции, значение перемещения в характерных точках конструкции или ее частей, максимальное значение интенсивности напряжений в конструкции. В данной работе используется описание жесткости и податливости при помощи интегральных функционалов, то есть в виде некоторых интегралов от перемещений всех точек конструкции. Применение их более удобно с той точки зрения, что для решения задач с интегральными функционалами существуют известные методы классического вариационного исчисления [3]. Отметим, что в численных исследованиях, описываемых в данной работе, рассмотрено сопоставление интегральной и локальной характеристик податливости.
Эвристический алгоритм получения полностью напряженной конструкции
Используемые в данной работе алгоритмы являются обобщением алгоритмов, полученных в работах [45, 46, 49] для конструкций, в которых используется один физически нелинейный материал. В указанных работах проводятся численные исследования модельных задач с применением рассматриваемых алгоритмов. Таким образом при использовании в конструкциях одного материала достоверность результатов рационального проектирования физически нелинейных конструкций на основе применяемых здесь алгоритмов подтверждена указанными работами.
Использование в конструкциях нескольких конструкционных материалов усложняет закономерности рационального распределения проектных параметров. Настоящий раздел посвящен расчетам по рациональному проектированию конструкций из двух материалов, проведенным на основе алгоритмов предыдущего раздела.
В работе [80] иллюстрируется влияние перехода от использования в конструкции одного материала к использованию нескольких материалов на свойства полностью напряженной линейно-упругой конструкции. Для анализа достоверности рассмотренных в предыдущем разделе алгоритмов представляется целесообразным повторить приведенные в [80] результаты для линейно-упругой конструкции и также провести расчеты с учетом физической нелинейности.
Для расчетов используется конструкция [80], представляющая собой соединение двух десятистержневых ферм, и показанная на Рис. 4-1. В качестве модуля упругости для всех элементов использовалась величина 108 (заметим, что результаты линейно-упругого расчета ГОЖ при одном материале не зависят от значения модуля упругости элементов). В работе [80] рассмотрено 3 случая расчета рациональных параметров ГОЖ. Для стержней № 21 и 22, соединяющих две 10-стержневые фермы с нагрузкой, во всех расчетах заданы значения плотности материала 0,1 и предельно допускаемого напряжения 500000. В первом случае (называемом далее случаем «1») элементы обоих ферм имеют одинаковые плотность (0,1) и предельно допускаемое напряжение (25000). Во втором случае (случай «2») у элементов левой фермы (стержни № 1-10) для предельно допускаемого напряжения задана величина 50000, а остальные параметры соответствуют первому случаю. Третий случай («3») отличается от второго большей величиной массовой плотности, которую имеют элементы левой фермы (равной 0,4). Следует заметить, что для получения результатов, соответствующих второму и третьему случаям, достаточно произвести расчеты только последнего из них, так как понятие ПНК не зависит от плотностей материалов, и распределение проектных параметров будет одним и тем же в обоих рассматриваемых случаях. Следовательно, и объем конструкции для них также будет одинаков, поэтому для получения значения массы, соответствующего случаю «2», величину объема следует просто умножить на плотность материала «2» (равную в данном случае 0,1). При проведении расчетов с учетом физической нелинейности использована деформационная теория пластичности с диаграммами «напряжение-деформация», показанными на Рис. 4-2 (каждой из использованных в расчетах величин предельно допускаемых напряжений 25000 и 50000 соответствует своя диаграмма «а - є»), а стержни № 21 и 22, соединяющие фермы с нагрузкой, во всех расчетах полагаются линейно-упругими. Для построения ПНК использован алгоритм (3.2-1). Проектными параметрами являются площади поперечного сечения стержней. Начальные значения проектных параметров для всех КЭ приняты равными 1, а их минимально допускаемые значения в конструктивных ограничениях равны 0,001.
Изменение массы конструкции в ходе применения алгоритма, соответствующее случаю «1», показано на Рис. 4-3, а параметры полученных проектов приведены в Табл. 4-1. Применение алгоритма привело к полностью напряженным (если принять во внимание конечную точность вычислений) проектам как при линейно-упругом, так и при упругопластическом расчетах: в обоих случаях напряжения ниже предельно допускаемых оказались только в элементах с активными конструктивными ограничениями. Из Табл. 4-1 видно, что результаты линейно-упругого расчета ПНК практически идентичны результатам, приведенным в [80]. Учет физической нелинейности, как можно видеть из Рис. 4-3, замедлил сходимость алгоритма в сравнении с аналогичным линейно-упругим расчетом: для обеспечения одной и той же точности в первом случае потребовалось в 4 раза больше итераций, чем во втором. В обоих случаях по ходу применения алгоритма имело место монотонное убывание массы конструкции. При линейно-упругом расчете масса наиболее интенсивно убывала на первых 25-30 итерациях. При упругопластическом расчете убывание массы более равномерное; основное ее уменьшение произошло на первых 80-100 итерациях алгоритма. Распределения материала в конструкции оказались качественно схожими для обоих расчетов, а значения массы — одинаковыми, о чем можно судить по Табл. 4-1. Однако можно заметить, что в то время как в линейно-упругой ПНК
Изменение массы фермы в ходе применения алгоритма (3.2-1) в случае «1». конструктивные ограничения являются активными почти в половине элементов, в этих же элементах из упругопластической ПНК напряжения уже близки к своим предельно допускаемым значениям (см. Табл. 4-1), а конструктивные ограничения активны всего у двух КЭ(№ 6и№ 16). Таким образом, при использовании в обоих фермах одного материала учет упругопластического деформирования привел к более равномерному распределению внутренних усилий в конструкции, чем это было в линейно-упругом расчете.
В случаях «2» и «3» параметры линейно-упругой и упругопластической ПНК уже более заметно различаются, что видно из Табл. 4-2. В линейно-упругом случае применение алгоритма привело к сосредоточению силового материала конструкции в ферме с меньшим предельно допускаемым напряжением (что для случая «2», очевидно, не является рациональным). В упругопластическом случае этот эффект выражен еще более ярко: по значениям напряжений в стержнях, соединяющих фермы с нагрузкой, можно судить, что нагрузка воспринимается, по существу, лишь половиной конструкции — той, которая имеет меньшее предельно допускаемое напряжение. У второй же ее половины почти во всех элементах являются активными конструктивные ограничения. Таким образом при двух материалах учет физической нелинейности может уже не приводить к более
Расчет рациональных параметров балочной конструкции
Ближе к концевому сечению стержни истинных поясов начинают вырождаться, и более заметную роль в конструкции начинают играть «пояса», сформированные из материала стенки. Для упругопластической ПНК указанный эффект выражен слабее и пояса в конструкции более равномерно загружены, что приводит в итоге к более легкой конструкции. Конструкция минимальной податливости, показанная на Рис. 4-8 внизу, имеет максимальное перемещение на 13% меньшее, чем максимальное перемещение в упругопластической ПНК (при той же самой массе силового материала). Более того, напряжения в поясах при этом ниже (170,4 кг/мм2 вместо 175 кг/мм2). Эффект же вырождения поясов и формирования «поясов» из материала стенки имеет место лишь в концевых сечениях. В целом этот проект выглядит самым привлекательным. Важным представляется следующий из приведенных результатов вывод о том, что полностью напряженная конструкция в случае использования в ней нескольких материалов не всегда является наиболее рациональной с точки зрения массы и деформативных свойств.
Рассмотрим результат получения ПНК с использованием набора материалов Мат2. Рис. 4-10 демонстрирует практически полное вырождение стальных поясов и формирование «поясов» из элементов стенки. В случае упругопластической конструкции этот эффект выражен более ярко, что и объясняет большую ее массу. Сравнение результатов Рис. 4-8 и Рис. 4-10 позволяет сделать вывод о необходимости правильного подбора материалов при разработке конструкции. Так, например, нетрудно убедиться, что набор материалов Маті при задаваемых напряжениях аь оказывается ближе к выполнению условия оптимальности (2.4-7) (значения П/р равны при этом для материалов соответственно стенки и поясов 399,7 м-кГ/кг и 304,4 м-кГ/кг), чем набор Мат2 (для которого значения П/р равны соответственно 399,7 м-кГ/кг и 129,6 м-кГ/кг), поэтому ПНК из набора Маті оказывается ближе к минимуму податливости (в соответствии с задачей (2.3-8)), а также к минимуму массы при такой же или меньшей податливости (в соответствии с задачей (2.3-7)), чем ПНК из Мат2.
Проанализируем более подробно один из результатов произведенных выше численных исследований, полученный при расчете параметров ПНК балочной конструкции. При использовании в конструкции набора материалов Мат2 ПНК, построенная с учетом упругопластического деформирования (см. Рис. 4-Ю внизу), имеет менее рациональное распределение силового материала и большую массу, чем аналогичная линейно-упругая ПНК из тех же материалов (см. Рис. 4-Ю вверху). Полученный результат не вполне соответствует общепринятым представлениям о том, что влияние физической нелинейности при проектировании конструкций невелико и идет в основном «в запас» [21]. Известны аналитические результаты, подтверждающие улучшение несущей способности либо экономию материала конструкций при учете пластичности. Эти результаты получаются обычно на простейших примерах типа задач чистого изгиба или кручения бруса (см, например, [59]), нагружения трехстержневой фермы (Рис. 4-11) [61] и т.д. Заметим, что во всех этих примерах, в том числе и в расчетах, приводимых в работе [21], использован один конструкционный материал. Для обоснования возможности большей массы у рациональной физически нелинейной конструкции по сравнению с аналогичной линейно-упругой конструкцией рассмотрим упомянутую задачу по нагружению трехстержневой фермы, в которой используется два материала.
Рассматриваемая ферма (Рис. 4-11) является примером простейшей статически неопределимой конструкции. Задача является симметричной относительно вертикальной оси: боковые стержни имеют одинаковые свойства и материал, поэтому оба обозначены на рисунке номером 1, так как можно рассматривать любой из них. Центральный стержень (обозначенный номером 2) выполнен, вообще говоря, из другого материала. Далее нижним индексом 1 будут обозначаться величины, соответствующие одному из стержней № 1 (любому), а нижним индексом 2 — величины, относящиеся к стержню № 2. Длины стержней равны соответственно 1 и 1 .
Запишем основные соотношения данной задачи для являющегося более общим физически нелинейного случая (из рассмотрения исключена возможность использования идеально пластической модели материалов). Данные соотношения будут справедливы и в частном случае линейной упругости.
Проектными параметрами являются площади поперечного сечения стержней F, и F2. Масса конструкции выражается через проектные параметры, очевидно, следующим образом:
Получение и исследование вариантов полностью напряженной конструкции шпангоута
При этом масса упругопластической ПНК оказалась на «8% больше, чем масса линейно-упругой ПНК. Причину этого можно установить при сравнении Рис. 5-7 и Рис. 5-3: в физически нелинейном проекте материал распределен менее рационально, чем в линейно-упругом. В обоих случаях заметная часть стальных поясов практически не несет нагрузки. Нагрузку воспринимают находящиеся поблизости от поясов элементы стенки, то есть в данном случае имеет место то же вырождение истинных поясов конструкции с образованием рядом новых «поясов» из элементов стенки, что и у тестовой задачи изгиба балки, рассмотренной выше в разделе численных исследований. Причем, как и у проектов балки, показанных на Рис. 4-10, эффект вырождения поясов здесь более ярко выражен в упругопластической ПНК, чем в линейно-упругой. Об этом же говорит и монотонное уменьшение средней плотности материала конструкции (то есть приближение ее сверху к плотности В-95), показанное на Рис. 5-9, означающее, что силовой материал по ходу алгоритма «перетекает» из стальных элементов в элементы из В-95. Этим и объясняется большее значение массы физически нелинейного проекта: вырождение поясов является менее рациональным для данного расчетного случая, так как наибольшие перемещения в конструкции вызывает поперечный изгиб (см. Рис. 5-1), воспринимать который выгоднее посредством (3.2-1) при действии расчетных нагрузок. стальных поясов, а не утолщенной стенкой. Здесь можно отметить, что с точки зрения рациональности ПНК выбор комбинации материалов для данной конструкции не вполне удачен. Его можно было бы улучшить, если вместо В-95ПЧ-Т1 использовать другую разновидность В-95, имеющую большее значение деформации, соответствующей аь.
Поскольку при проектировании авиационных конструкций следует учитывать не только расчетные, но и эксплуатационные нагрузки [1], у проекта, являющегося ПНК при расчетных нагрузках (см. Рис. 5-7), был произведен анализ напряженного состояния при действии эксплуатационных нагрузок. Сравнение уровней напряжений в элементах с соответствующими значениями а02 показано на Рис. 5-10. Хотя у используемых материалов a02 f -ab, вследствие чего снижение уровня нагрузок в f раз привело к меньшим, чем а0 2, уровням напряжений в большинстве КЭ, тем не менее в конструкции (ввиду ее сложности) обнаружилось несколько элементов, в которых уровень a0 2 оказался превышен. Так как значения а02 являются предельно допустимыми при действии эксплуатационных нагрузок, то данный проект является неприемлемым, и при проектировании данной конструкции должны быть учтены эксплуатационные нагрузки.
Было произведено построение варианта конструкции, являющегося ПНК при действии эксплуатационных нагрузках и допускаемых напряжениях aQr Конструкция при этом полагалась линейно-упругой, так как в пределах а02 практически отсутствуют пластические деформации, и учет физической нелинейности делает процесс решения менее эффективным. В качестве начального приближения использовался вариант с распределением материала, показанным на Рис. 5-3. В результате был получен проект, распределение проектных параметров в котором изображено на Рис. 5-11, а изменение массы по итерациям алгоритма (3.2-1) показано для него на Рис. 5-6 линией № 3. Можно видеть, что проект оказался существенно легче (на «25%), чем проект, являющийся ПНК при расчетных нагрузках и допускаемых напряжениях аь. Оценка уровней напряжений в полученном проекте, показанная на Рис. 5-12, позволяет считать его с точностью около 0,7% полностью напряженным при действии эксплуатационных нагрузок и предельно допускаемых напряжениях а02. Однако вычисление напряженного состояния данного варианта конструкции при действии расчетных нагрузок (произведенное с учетом физической нелинейности) показало, что предельно допустимый для этого случая уровень напряжений аь превышен почти во всех элементах конструкции. Результат произведенного расчета показан на Рис. 5-13.
Данный результат следовало ожидать, так как применяемое значение для коэффициента безопасности равно 1,5, а у используемых материалов аь 1,5 а02. Об этом свидетельствует и существенно меньший (на «33%) объем силового материала данного проекта по сравнению с объемом проекта, полностью напряженного при расчетных нагрузках и допускаемых напряжениях аь, что при действии одних и тех же внешних нагрузок должно привести к повышению общего уровня напряжений.
Таким образом, выше было произведено построение проектов конструкции, являющихся полностью напряженными при действии: I) расчетных нагрузок, когда максимально допускаемыми напряжениями в элементах являются величины аь материалов; II) эксплуатационных нагрузок, при которых величины действующих напряжений ограничиваются значениями а02. Однако проект, являющийся рациональным для случая I не является допустимым для случая нагружения II, а проект, рациональный для случая II, оказывается в свою очередь неприемлемым в соответствии с I. Очевидно, что для данной конструкции построение ПНК должно вестись с одновременным учетом обоих указанных случаев нагружения.
