Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Соотношения линейной теории многослойных оболочек со слоями переменной толщины 21
1.1. Основные гипотезы и допущения 22
1.2. О параметризации базовой поверхности многослойных оболочек сложной геометрии 24
1.3. Параметризация срединных.поверхностей слоев многослойных оболочек 29
1.4. Перемещения и деформаций слоев при слабом изгибе оболочки. 33
1.5. Уравнения равновесия и краевые условия. 40
1.6. Соотношения упругости 47
1.7. Линейная теория многослойных оболочек без учета поперечного обжатия слоев... 50
Глава 2. Решение осе симметричных задач статики и термоупругости многослойных оболочек вращения 59
2.1. Основные соотношения для осе симметричной задачи. 60
2.2. Численное решение краевой задачи методом конечных сумм 67
2.3. Расчет оболочек с особой точкой в полюсе 72
2.4. Численное исследование сходимости и точности используемого метода решения. 75
2.5. Исследование влияния способов закрепления торцов цилиндрической оболочки на ее напряженно-деформи рованное состояние 79
2.6. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойных элементов конструкций при осесимметретных деформациях 82
Глава 3. Интегрально-разностный метод решения двумерных краевых задач теории многослойных оболочек . 127
3.1. Соотношения линейной теории многослойных оболочек в матричном виде. .. 128
3.2. Построение разностной схемы ИРМ 135
3.3. Численное исследование практической сходимости ИРМ и анализ достовер ности результатов расчета 146
3.4. Влияние переменности толщины слоев на напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек
Глава 4. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойных элементов конструкционной оптики летательных аппаратов 160
4.1. Параметризация базовых поверхнос тей некоторых элементов фонарей самолетов, имеющих сложные очертания 161
4.2. Исследование напряженно-деформиро ванного состояния трехслойной откидной части фонаря самолета. 166
4.3. Исследование напряженно-деформиро ванного состояния пятислойного лобового стекла фонаря самолета 169
4.4. Исследование напряженно-деформированного состояния пятислойного элемента остекления, имеющего форму цилиндрической панели 171
Основные результаты и выводы 205
Список литературы. 208
- О параметризации базовой поверхности многослойных оболочек сложной геометрии
- Численное исследование сходимости и точности используемого метода решения.
- Влияние переменности толщины слоев на напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек
- Исследование напряженно-деформиро ванного состояния трехслойной откидной части фонаря самолета.
Введение к работе
При создании современных летательных аппаратов в их конструкциях все шире используются элементы типа многослойных оболочек и пластин, изготовленные из новых неметаллических материалов. Это связано с тем, что в настоящее время практически невозможно .удовлетворить всему комплексу требований, предъявляемых к летательному аппарату, применяя лишь традиционные конструктивные схемы и решения.
Слоистые элементы конструкций, составленные из слоев с различными физико-механическими, теплофизическими и другими характеристиками, мог.ут обладать .уникальным набором свойств, таких как высокая прочность и надежность, хорошие теплозв.уко-изоляционные и аэродинамические качества и т.д. при относительно малой массе. В изделиях авиационно-космической техники многослойные конструктивные элементы нашли применение в качестве несущих и .управляющих поверхностей, обтекателей, силовых и теплоизолирующих экранов, изделий конструкционной оптики,створок различного рода люков, силовых панелей, некоторых деталей авиационных двигателей и многих других (рис.0.1).
Перечисленные элементы конструкций подвергаются в процессе эксплуатации действию значительных внешних нагр.узок и тепловых полей и работают, как правило, в .условиях напряженно-деформированного состояния (НДС), близкого к предельному, что обуславливает повышенные требования к точности прочностных расчетов та-
ких конструкций и является причиной проведения интенсивных исследований как в области теории, так и методов их расчета. К основополагающим с точки зрения разработки теории многослойных пластин и оболочек, являющихся расчетной схемой многих из .указанных элементов авиационных конструкций можно отнести работы А.Я.Александрова, С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина, Э.И.Гркголюка, Я.М.Григоренко, Л.М.Куршина, Х.М.Муштари, Ю.Н.Новичкова, Б.Л. Пелеха, Г.Г.Чулкова и ряда других советских и зарубежных авторов.
В настоящее время исследованиям в области теории и методов расчета многослойных пластин и оболочек, выбору и обоснованию расчетных схем, а также решению конкретных задач посвящена обширная литератора (работы А.Я.Александрова [І], С.А.Амбє.раумяна [3,4], В.В.Болотина [II, 12], И.А.Еуякова [13], А.Т.Василенко [17,18,45,73], В.В.Васильева [17,18,84], Э.И.Григолюка [&6-4І, 153], Я.М.Григоренко [42-49], Ю.В.Немировского [8,75], Ю.Н.Новичкова [12,78-82], В.Н.Паймушина [26,143], Б.Л.Пелеха [Ю5], В.В.Пикуля [108], А.П.Прусакова [П4,П5], А. 0. Рас сказ он а [116, 117], А.Ф.Рябова [122-124], И.Х.Саитова [125,126], А.В.Саченко-ва [130], Л.Г.Хорошуна [138], В.Е.Чепиги [139,140], П.П.Чулко-ва [39-41,143,15 M.Epstein и Р.в.ЬЕоскпег [152], L.Набір [l55],L.Ll8rescu [70,160,161] и многих других авторов [5,9,10, 28,30,37,59,61,69,77,109,120,143-151,154,156-159,162-176 и др.]), обзоры которой можно найти в [1-4,12,24,36,58,73,112,155].
Не останавливаясь подробно на анализе каждой из перечисленных работ, отметим, что к настоящему времени построены различные варианты теории многослойных оболочек, основанные на тех или иных допущениях и .учитывающие особенности строения многослойных конструкций и весьма разнообразные .условия их работы.
В обзоре Э.И.Григолюка и Ф.А.Когана [36] .указываются основные пути построения теорий многослойных оболочек разными авторами. Наиболее ранний и простейший из них заключается в сведении трехмерных задач теории .упругости к двумерным на основе гипотез Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев оболочки в целом. Он получил широкое распространение на практике и вполне оправдан для тонких оболочек, у которых жесткости слоев отличаются незначительно [5,42,45,48,49,59,63,71,159,163,175 и др.].
Однако, в ряде случаев теория многослойных оболочек,основанная на гипотезах прямой нормали, может привести к значительным погрешностям, поскольку не рассматривает поперечные составляющие деформации, для учета которых, как .указано в [36], получили широкое распространение два направления.
В соответствии с первым из них разрешающие .уравнения строятся на основе гипотез, привлекаемых для всего пакета слоев в целом, и их общий порядок не зависит от числа слоев. В рамках данного направления наибольшее распространение получили соотношения уточненной теории, основанной на привлечении к пакету слоев сдвиговой.модели С.П.Тимошенко [16,27,28,30,37,67,70,120, 133,144,150,166,167,172,173 и др.].
В литературе разработаны и другие варианты теории многослойных оболочек, основанные на использовании тех или иных допущений относительно характера изменения перемещений и поперечных касательных и нормальных напряжений по толщине пакета. Такие теории предложены и развиты в работах С.А.Амбарцумяна [3,4], В.В.Васильева [17,18], В.В.Пикуля [108], А.П.Прусакова [114,115],
А.О.Рассказова [іІ6,ІЇ7], А.Ф.Рябова [122-124]. К работам этого направления примыкают также исследования Л.П.Хорошуна [138], посвященные построению теории многослойных пластин и оболочек, исходя из представления об однородном напряженном состоянии
тонкостенного элемента произвольной по толщине структуры.
В рамках гипотез, применяемых для всего многослойного пакета, выполнен также ряд работ других авторов [8,10,14,15,43, 60,64,72,75,84,86,136,137,149,165,168,176], в которых рассмотрены как отдельные аспекты общей теории многослойных оболочек, так и некоторые вопросы решения конкретных задач.
Ко второму направлению относятся работы, в которых кинематические и статические гипотезы применяются для каждого слоя оболочки. При этом порядок разрешающих систем уравнений зависит от числа слоев, что делает задачу более сложной. Здеюь наибольшее распространение получили два варианта теории многослойных оболочек.
Первый из них был предложен и развит в работах В.В,Болотина, Ю.Н.Новичкова и их учеников [ІІ-І2,78-82,106]. В ню: для построения основных уравнений теории многослойных оболочек, у которых жесткие слои чередуются с заполнителями, к несущим слоям привлекаются классические гипотезы Кирхгофа-Лява, а в мягких слоях учитываются деформации поперечных сдвигов и обжатия.
Во втором варианте теории, предложенном Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым [39,40,153], к каждому слою многослойного пакета независимо от его физико-механических свойств применяется гипотеза прямой линии С.П.Тимошенко. Данный вариант теории многослойных оболочек можно рассматривать как применение дифференциальной формы метода конечных элементов [65] к решению пространственной задачи теории упругости, приводящей трехмерные соотношения к системе двумерных дифференциальных уравнений, определенных на некоторых узловых поверхностях.
Использованию послойных гипотез для построения теорий многослойных оболочек и решению на их основе некоторых конкретных задач посвящены также работы [9,13,50,61,106,126,146-148,151,
- II -
152,154,157,160-162,171,174].
Путь построения теории многослойных оболочек, основанный на использовании гипотез для каждого слоя, является более общим и позволяет .учесть многие особенности механики деформирования оболочек рассматриваемого класса. Однако, число задач, решенных в рамках этого подхода,невелико [146,147,151,157,162] и они относятся к разряду простейших.
Помимо .указанных, еущестауют и другие, более сложные пути построения теорий многослойных оболочек, описанные, например, в работах Б.Л.Пелеха и В.А.Лазько [105], А.В.Плеханова [109], А.В.Саченкова и Э.Г.Сайфуллина [130], В.Е.Чепиги [139,140] и ряда др.угих авторов. Они позволяют получать более точные решения, но при .этом приводят, как правило, к более сложным уравнениям, чем. можно объяснить ограниченное использование этих теорий для решения конкретных задач.
В литераторе известны также работы, посвященные решению некоторых задач механики многослойных оболочек и пластин на базе .уравнений трехмерной теории .упругости, анализ которых позволяет .установить пределы применимости прикладных двумерных теорий. К ним, в частности, относятся исследования Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко, Н.Д.Панкратовой [44], Н.К.Галимова и В.Н.Пайму-шина [26] и некоторых других авторов [57,145,169,170].
Из всего сказанного можно заключить, что исследованиям в области механики многослойных оболочек .уделяется в литературе значительное внимание и к настоящему времени решены многие важные проблемы как в области теории,так и разработки методов расчета многослойных оболочек. Однако, эти исследования^ основном, были проведены в области механики слоистых оболочек со слоями постоянной толщины, а решения практических задач получены лишь для оболочек простых очертаний (цилиндрических, сферических,
имеющих прямоугольную или кр.угл.ую форму в плане и некоторых других). Такие многослойные оболочки и пластины не мог.ут случить расчетной схемой многих оболочечных элементов конструкций авиационно-космической техники, отличительной особенностью которых является переменность толщины слоев и сложность форм как опорного конт.ура, так и базовой поверхности.
Детальные исследования в области механики слоистых оболочек с переменными геометрическими и жесткостными параметрами проведены Я.М.Григоренко и его .учениками в рамках классической теории Кирхгофа-Лява [42,45-49, 73], где наряду с вопрос шли теории и методов расчета многослойных оболочек решен ряд конкретных задач. Переменность толщины слоев принималась вс внимание и при использовании .уточненных теорий, .учитывающих деформации поперечного сдвига как для всего многослойного пакета [16, 30], так и для каждого слоя в отдельности [17,43]. В работах [17,43] требование неразрывности касательных напряжений на границах слоев приводит к том.у, что порядок системы разрешающих .уравнений также не зависит от числа слоев оболочки.
М.С.Ганеева использ.ует модель С.П.Тимошенко для всего пакета слоев многослойных нетонких ортотропных оболочек [27]. Ею подробно рассматриваются нелинейные задачи расчета оболочек вращения.
В работах 3.N.R eddy [166-167] строятся решения негшей-ных задач колебаний и .устойчивости слоистых оболочек переменной толщины методом конечных элементов. Для всего пакета слоев
использ.уется гипотеза прямой линии.
Построению нелинейной теории многослойных оболочек со слоями переменной толщины с привлечением к каждому из сдоев сдвиговой модели С.П.Тимошенко посвящена статья И.А.Еуяг.ова [13]. Однако, в работе не .учитывается взаимный наклон слоев-
- ІЗ -
существенный фактор, связанный с переменностью толщины слоев оболочки.
Проблема построения теории многослойных оболочек в рамках гипотез, привлекаемых к каждому слою, в перв.ую очередь связана с решением геометрических вопросов, связанных с параметризацией неэквидистантных срединных поверхностей слоев. Вперьые этот вопрос был рассмотрен А.М.Гольденштейном и Х.М.Муштари [32,33] для трехслойных оболочек. Задача параметризации срединных поверхностей слоев сводилась ими к решению системы трех дифференциальных .уравнений в частных производных [32], которая лишь в случае пологой оболочки с тонкими слоями могла бь:ть сведена к системе трех линейных алгебраических .уравнений [33].
Наиболее простой подход, позволяющий при выводе основных соотношений теории трехслойных пластин и оболочек со слоями переменной толщины .учитывать различия в полонений базисных векторов на срединных поверхностях слоев, был предложен В.Н.їїаймуши-ным и Н.К.Галимовым в работах [95,96]. Он основан на построении параметризации срединных поверхностей внешних слоев (,6' ) щ-тем отображения на них срединной поверхности заполнителя Q6*) методом нормальной фиктивной деформации [87,88,91], что позволяет .установить взаимно-однозначное соответствие срединных поверхностей б' и 6»к Этот метод .успешно применяется и развивается в работах В.Н.Дайму шина и его .учеников (6,85,94,101, 126 и др.].
В авиационных конструкциях достаточно широко распространены многослойные оболочечные элементы, относящиеся к классу оболочек сложной геометрии, к которому в соответствии с [90,92"] принадлежат оболочки со сложной формой базовой поверхности, а также пластины и оболочки с неканоническими очертаниями опорного конт.ура. В литературе, посвященной теории и методам расчета
многослойных оболочек практически отсутствуют работы,в которых рассматриваются оболочки сложной геометрии. Автор.у известна лишь работа [71], в которой с помощью аппарата R -функций В.Л.Рвачева [118,119] исследуются слоистые оболочки в рамках классической теории, конт.ур которых имеет.угловые точки..
В то же время в области механики однослойных оболочек сложной геометрии выполнены обширные исследования, обстоятельные обзоры которых содержатся в [91,107]. Для решения задач этого класса применяются различные методы, в частности, метод R -функций В.Л.Рвачева [118,119], метод возмущений [76,105^, теоретико-экспериментальный метод, предложенный А.В.Саченковым [129] и некоторые другие.
Широкими возможностями для решения задач механики оболочек и пластин обладают численные методы. Так, например, рядом авторов под руководством Я.М.Григоренко детально исследованы слоистые оболочки вращения со сложной формой меридиана [18,30,42-49,73] на базе численных методов дискретной ортогонализшии С.К.Годунова [29], метода интегральных соотношений, метода конечных элементов.
В работах В.И.Гуляева и его .учеников [34,51] рассмотрен ряд линейных и нелинейных задач механики оболочек сложной геометрии с помощью метода конечных разностей.
На базе метода конечных элементов Р.Б.Рикардсом [120,12 А.С.Сахаровым [128] и рядом других авторов [ГП,142 и др.] разработаны методики расчета и под их руководством созданы вычислительные комплексы, с помощью которых .успешно решаются многие сложные задачи теории оболочек.
. Хорошо зарекомендовал себя на практике при решении различных краевых задач теории оболочек и пластин численный интегрально-разностный метод (ИРМ), являющийся комбинацией методов
конечных разностей и конечных сумм [19]. Этот метод впервые был применен к решению даумерных задач механики деформирования пластин и оболочек в работах М.Б.Вахитова, Ю.Г.Гранкина и М.С.Сафариева [20,21], Б.Я.Кантора [62], В.Н.Паймушина [102] и получил дальнейшее развитие в Казанском авиационном институте в работах [6,7,23,66,89,93,94,100,103,135 и др.].
Для решения задач механики пластин и оболочек со сложной формой . базовой поверхности ' и неканоническим контуром эффективным является метод, развитый в работах В.Н.Паймушина и его .учеников [6,66,87,88,90-92,94,103]. В соответствии с этим методом отыскание решения краевых задач механики оболочек рассматриваемого класса происходит в два этапа. На первом этапе строится специальная параметризация области Q. , занимаемой оболочкой на базовой поверхности б* , которая заключаемся в фиктивном деформировании некоторой поверхности отсчета Є0 и выбираемой на ней канонической области bd ф . Процесс фиктивного деформирования осуществляется таким образом, чтобы семейство координатных линий, построенных на б" , на границе области 2 совпадало с конт.урными линиями оболочки. На втором этапе в метрике (X1к , построенной на б* , формулируются основные .уравнения, описывающие механику деформирования исследуемых оболочек.
Использование этого подхода позволило в сочетании с численными методами рассмотреть ряд задач статики и термо.упру гости однослойных и трехслойных пластин и оболочек сложной геометрии, которые являются расчетными схемами реальных конструкций. Так работы [66,103,104] посвящены исследованию напряженно-деформированного состояния однослойных лопастей гребных винтов и элементов остеклений летательных аппаратов, в статьях
[6,7,93,94] рассмотрены незамкнутая коническая оболочка со сложным контуром, моделирующая панель шумоглушителя, трехслойная откидная часть фонаря самолета и некоторые другие конструкции,
В заключении обзора, не претендующего на исчерпывавшую полноту, можно сделать вывод, что теория и методы расчета многослойных оболочечных элементов конструкций со слоями переменной толщины и сложной геометрии разработаны недостаточно полно, за исключением некоторых классов трехслойных оболочек, а число решенных практических задач невелико. В связи с этим разработка вопросов общей теории и методов расчета оболочек указанного класса является актуальной задачей.
Целью настоящей работы является:
построение нового варианта основных соотношений теории многослойных оболочек со слоями плавно изменяющейся толщины в произвольных криволинейных координатах;
разработка на основе полученных соотношений численных методов и алгоритмов решения осесимметричных задач статики и термоупругости для замкнутых оболочек вращения и двумерных задач для незамкнутых оболочек произвольного вида;
применение разработанных методик к исследованию напряженно-деформированного состояния реальных многослойных оболочечных элементов конструкций летательных аппаратов.
Практическая ценность диссертации заключается в разработке на основе предложенных соотношений эффективных численных методов и алгоритмов для расчета многослойных оболочечных элементов конструкций летательных аппаратов, имеющих сложные геометрические очертания и реализация их в виде вычислительны}: комплексов для ЕС ЭВМ. С помощью этих комплексов проведены численные исследования НДС ряда реальных оболочечных конструкций летательных аппаратов.
Методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, а также реализующие их вычислительные комплексы внедрены в дв.ух заинтересованных организациях.
Диссертация является обобщением работ автора [52-56,97,98] и состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе диссертации, которая является теоретической, получены в произвольных криволинейных координатах основные соотношения линейной теории многослойных оболочек со слоями переменной толщины. Каждый слой оболочки деформируется в соответствии со сдвиговой моделью С.П.Тимошенко с .учетом поперечного обжатия. В качестве неизвестных функций задачи приняты компоненты вектора перемещений на лицевых поверхностях оболочки и поверхностях контакта слоев, что облегчает численное интегрирование полученных .уравнений, поскольку их матрица дифференциальных операторов имеет трехдиагональную структуру. Данные соотношения являются новым вариантом известной теории многослойных оболочек Григолюка-Чулкова, обобщенной в диссертации на случай недологих оболочек. Они позволяют по единому алгоритму исследовать механику деформирования как многослойных, так и однослойных пластин и оболочек в постановке близкой к трехмерной.
В этой же главе полученные соотношения упрощены для случая, когда поперечным обжатием слоев оболочки можно пренебречь, на базе которых далее разрабатываются численные методы и алгоритмы расчета многослойных оболочечных элементов конструкций летательных аппаратов.
Во второй главе на базе выведенных двумерных соотношений построена разрешающая система уравнений для многослойных оболочек вращения при осесимметричных деформациях. Разработан численный метод решения этой системы уравнений, который оснэван на использовании метода конечных сумм в варианте интегрирующих
матриц М.Б.Вахитова [19]. Рассматриваются оболочки с дроизволь--ной формой меридиана и постоянной толщиной слоев. Конструкция может находиться под действием поверхностных и массовых нагрузок, произвольным образом изменяющихся вдоль меридиана, а также объемного температурного поля. По толщине каждого слоя принят линейный закон изменения температуры. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса программ для ЕС ЭВМ. С его помощью получено численное решение ряда модельных задач с целью проверки работоспособности комплекса и достоверности полученных результатов. Показана хорошая сходимость используемого численного метода и близкое совпадение результатов расчетов с данными других авторов. На примере круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерного давление, исследовано влияние характера закрепления краев по толщине на ее напряженно-деформированное состояние. В этой же главе приведены результаты выполненных исследований НДС различных многослойных и однослойных элементов конструкций.
Третья глава диссертации посвящена разработке численного метода решения двумерных краевых задач статики и термоупругости многослойных оболочек сложной геометрии, который базируется на использовании интегрально-разностного метода. Применяется матричный вариант этого метода, в связи с чем основные соотношения теории многослойных оболочек, полученные в первой главе, формулируются в матричном виде. Удобство такой записи заключается в том, что отпадает необходимость формулировки исходных уравнений равновесия в перемещениях,благодаря чему значительно упрощается построение численного алгоритма их решения.
Созданный на основе разработанного алгоритма вычислительный комплекс обладает широкими возможностями и позволяет рассчитывать многослойные оболочки и пластины различных геометри-
ческих очертаний. В заключении главы получены решения ряда модельных задач с целью исследования точности и практической сходимости численного метода. Дано сравнение полученных результатов с известными в литераторе аналитическими и численными решениями. Исследовано также влияние переменности толщины слоев на НДС трехслойной цилиндрической оболочки.
В четвертой главе приведены результаты исследования напряженно-деформированного состояния многослойных элементов остеклений летательных аппаратов при воздействии на них тепловых полей, имеющих сложный закон изменения по толщине пакета слоев. Для ряда элементов, имеющих сложные очертания, получены выражения для определения параметров их геометрии с помощью построения описанной выше специальной параметризации. Здесь же даны результаты расчета однослойной оболочки сложной геометрки типа фонаря самолета и проведено их сравнение с результатами, полученными при расчете той же оболочки с использованием дифференциальной формы метода конечных элементов. Проведено также исследование НДС трехслойной откидной части фонаря самолета, представляющей собой фрагмент оболочки вращения со сложным контуром, плоского пятислойного лобового стекла фонаря, имеющего криволинейные кромки и пятислойного элемента остекления,,имеющего форму цилиндрической панели.
В конце диссертации сформулированы основные выводы по работе и приведен список литературы.
/
Ш
Рже.0.1.
О параметризации базовой поверхности многослойных оболочек сложной геометрии
Наиболее .употребительной в теории однослойных оболочек является криволинейная система координат, нормально связанная со срединной поверхностью. При сведении трехмерных .уравнений теории .упр.угости к двумерным .уравнениям теории оболочек к этой поверхности приводятся как внешние, так и внутренние .уси- лия, то есть срединная поверхность в этом случае является поверхностью приведения. В многослойных оболочках при сведении трехмерных .уравнений теории .упругости к двумерным .уравнениям прежде всего все слои требуется привести к единой пространственной криволинейной системе координат, то есть требуется осуществить общую параметризацию пространства, занимаемого слоями оболочки. Для осуществления такой параметризации выберем, как и в [153], криволинейную систему координат, связанную с нижней лицевой поверхностью оболочки, обозначенной на рис.1.1 через 6 , которую назовем базовой поверхностью. Если форма этой поверхности является сложной и не описывается простыми аналитическими выражениями или область Q , ограничивающая поверхность Є является областью неканонического очертания,, то оболочку в соответствии с [87,88,90,92] отнесем к классу оболочек сложной геометрии. Задачи механики деформирования .таких оболочек в соответствии с подходом [90,92] могут быть приведены к классическому виду, если: I) для поверхности б" с областью Q 6 построена специальная параметризация, в которой конт.урные линии областа Q совладают с отрезками координатных линий; 2) основные .уравнения механики деформирования оболочки с(орму-лированы в метрике aLK , построенной на 6 .
Приведем здесь некоторые сведения, касающиеся построения специальной параметризации базовой повехности 6 , которые понадобятся в дальнейшем.
Пусть оболочка на .указанной базовой поверхности б" занимает некоторую односвязную область Q fc б и ее конт.ур Г состоит из четырех гладких кусков Г\: QL і = 4,2.) (рис. 1.2), В соответствии с [87,88,90,92], для параметризации области Q в трехмерном пространстве вводится в рассмотрение некоторая каноническая поверхность С0 (цилиндр, сфера, конус и т.д.), называемая поверхностью отсчета. При этом предполагается, что прямая линия, проведенная по нормали гпо к б"0 , для каждой точки М0 6"0 должна пересекать поверхность 6 не более од- ного раза. В этом случае на 60 выделяется односвязная область Q0 , являющаяся нормальной проекцией области Qt & на
Отнесем поверхность отсчета 60 к произвольным криволи-нейным ортогональным координатам ос вое и предположим, что область Q0 , в общем случае, является неканонической,то есть ее конт.урные линии Гп не совпадают с координатными линиями oi = const &0 . Поэтому наряду с областью Q0 на Є0 вводится в рассмотрение некоторая каноническая область Q ф , кон-турные линии которой I.: совмещены с координатными о. = ос ,« Решение задачи параметризации базовой поверхности б оболочек описанного класса находится в два этапа путем построения суперпозиции двух последовательных отображений области Q d на Q060 и Q0 60 на Q 5 .
На первом этапе каноническая область ? 60 отображает -ся на область Qo 60 . Для этого, определяя положение неко і 2. торой точки Мо б 0 теми же гауссовыми координатшли с . и о . , зададим ее радиус-вектор .уравнением
Здесь Г и Г9 - радиус-векторы точек Mo(:Qo и М fcQ , соответственно; е - /7 //Ь - единичные векторы координатных линий ocl=const Q в точке М С Г = drep/dctL -базисные векторы координатных линий ос = const ,A.S\IQU параметры Ляме); № =[? F J/N/C?_ - единичный вектор нормали в точке М 6 Q , направленный в сторону внесшей нормали к 6о , 2 р=( 1А )г; Н ,Н2 Н3 - некоторые непрерывные функции, определяемые из .условия взаимно-однозначного отображения точек MoiQ0 и MJQ и координатных линий VLi -и /.. , соответственно.
Численное исследование сходимости и точности используемого метода решения.
Алгоритм численного решения осесимметричных задач статики и термо.7пругости, изложенный в 2.2, реализован в виде пакета прикладных программ на языке Фортран-1У для ЕС ЭШ, который обладает достаточно широкими возможностями при расчете многослойных конструкций .указанного класса. В частности, пакет программ позволяет решать краевые задачи осесимметричного деформирования оболочек вращения с числом слоев от одного до пяти при различных типах нагружения, включая поверхностное,, контурное, температурное, а также нагружение массовыми силами. Физико-механические и теплофизические характеристики материала слоев и нагрузка могут иметь произвольный закон изменения в направлении координаты ос , включая и скачкообразный. Благодаря наличию специального модуля вычисления геометрических характеристик рассматриваемой конструкции, включающего в себя все основные системы координат, можно рассчитывать оболочки вращения с произвольной формой образующей.
Подробная характеристика пакета программ и инструкция по его эксплуатации содержатся в [55], а здесь приведем лишь его основные параметры: объем занимаемой памяти - 300 Кбт основной и 453 Кбт знешней (пакет магнитных дисков); максимальное число расчетных сечений - 30; максимальное число слоев исследуемой конструкции - 5; время счета максимального варианта задачи (30 сечений, 5 ело ев) - 7,5 мин на ЭВМ EC-I033.
Поскольку теоретическая сходимость численного метода конечных сумм [19] не доказана, то оценка точности и сходимости получаемых решений для рассматриваемого класса задач проводилась с помощью индуктивных приемов, то есть путем сравнения с известными точными или приближенными решениями некоторых частных задач путем оценки точности по убыванию разности решений в двух последовательных приближениях (принцип Р.унге).
Ниже приводятся результаты расчетов ряда модельных задач, на которых исследуется точность и практическая сходимость используемого численного метода, а также достоверность работы пакета прикладных программ.
Задача I. С помощью разработанного пакета программ были выполнены расчеты напряженно-деформированного состояния круглой пластины с центральным отверстием, жестко защемленной по внешнему контуру и подверженной действию нормальной равномерно распределенной поверхностной нагрузки \ (рис.2.3). Расчеты проводились при следующих численных значениях параметров: R= 150мм г= 50мм,8М0мм Е = 0,7Ю5МПа = 0,3 а = ОДМПа . В таблице 2.1 приведены величины прогибов и физические компоненты тензора напряжений на нижней лицевой поверхности пластины при различных числах расчетных сечений, равномерно распределенных на интервале [r,R] . Полученные результаты сравнивались с максимальными прогибом и радиальным напряжением,найденными из аналитических зависимостей в рамках классической теории Кирхгофа-Лява [134]. Можно видеть,что при числе расчетных сечений т=7 и т = 29 результаты отличаются друг от друга лишь в третьем знаке, а решение при m = 9 можно .уже считать точным. Незначительное различие в величинах прогибов между численным и аналитическим решениями можно объяснить, влиянием деформаций поперечного сдвига, которые не .учитывает классическая теория [134].
Задача 2. С целью проверки работы пакета программ при расчете многослойных конструкций была рассчитана круглая трехслойная пластина несимметричного строения, шарнирно опертая по конт.ур.у и нагруженная на верхней лицевой поверхности равномерным давлением (рис.2.4). Задача решалась при следующих значениях исходных данных: R = 800 мм & = 10 мм, 5 = 80мм,5Q= 25 мм,
Полученные результаты сравнивались с аналитическим реше-нием для трехслойных пластин, полученным Н.К.Галимовым [25] в предположении, что внешние слои работают в соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява, а заполнитель - легкий трансве]зсаль-но изотропный (модель ломаной линии Э.И.Григолюка). Кроме того, проводилось сравнение с численным решением методом конечных сумм И.Х.Саитова [127], полученным при тех же гипотезах, что и [25], но с .учетом поперечного обжатия заполнителя. В таблице 2.2 приведены значения прогибов и физических каипонент тензоров напряжений на нижних (-) и верхних (+) поверхностях несущих слоев при числах расчетных сечений в основной зоне,равных 5,9,13,21,25, расположенных с равным шагом. Кроме этого еще четыре расчетных сечения с шагом h= 0,00 іR были взяты в окрестности центра пластины в соответствии с методикой 2.3.
Из анализа полученных результатов можно сделать вывод,что решение при ms i + 9 можно считать точным, поскольку максимальная погрешность по сравнению с решением при m = А- - 25 не превышает 1,5$. Расхождение между результатами, полученными по предлагаемой методике и решениями [25], [127], которое, для функции прогиба составляет 3,8$, связано с различием принятых расчетных схем.
Влияние переменности толщины слоев на напряженно-деформированное состояние многослойных оболочек
Перечисленные блоки являются стандартными программами единицами комплекса, то есть все они участ&уют в решении любой задачи. Нестандартными блоками комплекса являются программы построения специальной параметризации для различных классов оболочек сложной геометрии, которые входят в библиотеку таких программ. В зависимости от класса рассматриваемых оболочечных элементов конструкций для определения параметров геометрии базовой поверхности к вычислительному комплексу подключается одна из программ библиотеки. Укрупненная блок-схема комплекса показана на рис. ЗД. Приведем основные характеристики вычислительного комплекса: - объем требуемой памяти - 700 Кбт основной и 33 Мбт внешней (пакеты магнитных дисков); - максимальное число слоев расчитываемой конструкции =5 ; максимальное число расчетных сечений m=2i ; - максимальное число расчетных линий s = 32 . Для анализа достоверности и сходимости результатов расчета в зависимости от параметров расчетной сетки обратимся, ка и в случае осесимметричной задачи, к индуктивным методам оценки, поскольку в литературе отсутствуют данные о теоретической схо димости интегрально-разностного метода.
Для исследования практической сходимости и точности применяемого метода рассмотрим некоторые модельные задачи. Задача I. С помощью разработанного вычислительного комплекса были выполнены расчеты НДС квадратной пластины постоянной толщины при действии на нее равномерно распределенной нормальной нагрузки \ (рис.3.2). Кромки iiU=i 2) предполагались свободно опертыми, а на кромках Г2= были сформулированы .условия жесткого защемления. Геометрические и физико-механические характеристики рассматриваемой конструкции имели следующие значения: Q= 120мм, Ь" = Юмм ,Е= 0,7 10 МПа,»а0,3, ОДМПа В таблице 3.1 представлены значения прогибов в центре пластины и физических составляющих тензора напряжений на верхней лицевой поверхности z=i в точках I и 2 (см.рис.3.2). Ре&ультаты решения данной задачи при различных параметрах расчетной сетки m S ( m - число расчетных сечений, s -число расчетных линий) сравниваются с точным решением, полученным в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, приведенным в [134]. Из анализа полученных результатов можно сделать вывод, что расчет при сетке 11x23 приводит к решению, точность которого достаточна с точки зрения практики поскольку в этом случае относительная погрешность по сравнению с решением при сетке 21x29, которое можно считать точным, не превышает 5% по любому из составляющих напряженно-деформированного состояния. Разница в результатах при сетке 21x29 и аналитическим решением [134] , которая составляет 2 % для прогибов и 5-10$ для напряжений, может быть объяснена влиянием поперечных сдвигов на НДС пластины. Задача 2.
Рассматривалась задача о поперечном изгибе квадратной трехслойной пластины симметричного строения с жестким заполнителем (рис.3.3). Условия закрепления краев пластины были приняты такими же, как и в задаче I, а именно: кромки Гц (ріД) свободно оперты, кромки Г ; - жестко защемлены. Исходные данные задачи имели следующие численные значения : а - 120 ми, 6uf Б„,- 5„м , 51ЭД- 18мм , Еи; Е„- 0,7 ю" МПа , Е„- 0,7-10" МПа ,МиГ V 0,3, \г 0,к , Ч - 0,1 МПа . В таблице 3.2 приведены результаты расчетов при различных параметрах расчетной сетки, а также результаты, найденные по приближенным формулам, имеющимся в справочнике [ИЗ]. Знаками "-" и "+" отмечены значения напряжений на нижней и верхней поверхностях соответствующего слоя пластины. В результате проведенного исследования можно установить, что решение для рассматриваемой конструкции сходится примерно при тех же значениях параметров расчетной сетки, что и для однослойной пластины и при т= 13 , S-- 2Ъ отличается не более чем на Ъ% от решения при т 21,8= 29 . Отличие результатов расчета от решения [ИЗ] составляющее 6-14$ можно объяснить тем, что коэффициенты, входящие в расчетные формулы [ПЗ], необходимо определять из графиков, что вносит в вычисления существенную погрешность. В заключении параграфа можно сделать вывод, что, кав следует из приведенных результатов расчетов, решение по предлагаемой методике достаточно быстро сходится и хорошо согласуется с имеющимися в литературе теоретическими результатами. Следует отметить,что поскольку в направлении оС4 используется метод конечных сумм с более высоким порядком аппроксимации, чем:-в на- правлении . , то и для получения одинаковой точности результатов в обоих направлениях можно ограничиваться меньшим оделом расчетных сечений пп по сравнению с числом расчетных линий s .
Исследование напряженно-деформиро ванного состояния трехслойной откидной части фонаря самолета.
Откидная часть фонаря.самолета представляет собой фрагмент трехслойной оболочки вращения (рис.4.4) и относится к классу оболочек сложной геометрии. Для определения компонент метрических тензоров и символов Кристоффеля на ее базовой поверхности, в качестве которой принята нижняя (вяутренняя) лицевая поверхность оболочки, составлена подпрограшла построения специальной параметризации согласно соотношениям первого раздела 4Д. Эта подпрограмма подключена к разработанному вычислительному комплексу. Для ее апробирования рассмотрена однослойная оболочка сложной геометрии, защемленная по конт.уру, находящаяся под действием равномерного внутреннего давления интенсивностью = 0.,1 И Па и имеющая параболический закон изменения радиуса кривизны R базовой поверхности в направлении координаты Xі (рис.4.1)
При проведении расчетов геометрические и жесткостные параметры оболочки имели следующие численные значения (рис.4.1) L=1000MM , RH= 550мм, RC=1I50MM, RK= 300ММ, R/ЦООММ,
а значения параметров расчетной, сетки составляли: число расчетных сечений m={5 , число расчетных линий s=20 , Шаг сетки на цилиндрической поверхности отсчета 6 0 был принят постоянным как в осевом, так и в окружном направлениях. Полученные результаты сравнивались с численным решением этой же задачи, полученным на основе дифференциальной формы метода конечных элементов (ДФМКЭ) [104]. На рис.4.3 приведены эпюры прогибов оболочки при ос = ос =0,5 . Пунктиром показаны результаты, полученные по предлагаемой методике, а сплошной линией - по ДФМКЭ. Числовые значения, соответствующие решения по ДФМКЭ подчеркнуты. Сравнение результатов расчетов, получэнных по двум сравниваемым методам, показало, что различие в взличинах прогибов не превышает 3% для всей области Q . 6" , что подтверждает правильность работы вычислительного комплекса в целом и подпрограммы специальной параметри заїди и для данного класса оболочек сложной геометрии, в частности.
Схема исследуемой трехслойной откидной части фонаря самолета приведена на рис.4.4. Конструкция имеет сшшетричное строение в поперечном направлении z относительно срединной поверхности заполнителя. Наружные слои изготовлены из органического стекла, а промежуточный слой (заполнитель) - из низкомодульной полимерном плешей. Толщина слоев оболочки в направле І 2.
нии координат ot и ос постоянна. Образующая базовой поверхности оболочки аппроксимируется выражением вида (2.1). При этом максимальное отклонение кривой (2.1) от теоретического контура конструкции составляло 2 мм, В силу симметрии откидной части фонаря относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось вращения, в расчетах рассматривалась лишь ее полови на (рис.4.4). На кромках оболочки приняты следующие граничные
Рассматриваемая конструкция находится под действием внутреннего равномерного давления интенсивностью (\ и теплового поля, постоянного в направлении координат oCL , а в направлении z имеющего сложный закон изменения температ.уры. Расчеты проводились для двух вариантов изменения температ.уры по толщине конструкции (рис,4.5 - первый вариант, рис,4.6 - второй вариант} при этом принято во внимание, что физико-механические и епло-физические характеристики материалов слоев являются функцией температуры.
Исходные геометрические и жесткостные параметры задачи определены заинтересованной организацией.
Результаты расчетов представлены в виде изолиний интенсивности напряжений на лицевых поверхностях оболочки для каждого варианта нагр.ужения (рис.4.7-4.10). Знаком "-" отмечены напряжения на внутренней, а "+" - на внешней лицевых поверхностях. Наиболее нагруженной конструкция оказывается при действиїз на нее первого варианта теплового нагружения и давления \ (рис. 4.7-4.8), Напряженное состояние быстро изменяется вблизи опорного контура, а в средней части конструкции эта изменяемость незначительна. Максимальных значений напряжения достигают в угловых точках = 0, г=1 и ос =1,5» =1 (oLL = ocL/o6 ). На рис.4.11-4.12 приведены эпюры изменения физических компонент нормальных напряжений 6"tu) и 6" по толщине конструкции для обоих вариантов нагружения на ее оси симметрии L = О при некоторых фиксированных значениях координаты о!1 . Напряжения в промежуточном слое, ввиду его малой жесткости, на несколько порядков ниже, чем в несущих слоях, поэтому не могут быть изображены в принятом масштабе. Из графиков на рис.4.II -4.12 видно, что несмотря на то, что оболочка является тонкой, напряженное состояние несущих слоев является существенно момент-ныгл.
