Содержание к диссертации
Введение
1. Актуальность проведенных в работе исследований. обзор литературных источников 14
1.1. Задача о взаимодействии конструкции и жидкости 14
1.2. Вопросы конечно- и гранично-элементной аппроксимации 26
1.3. Проблема задания геометрии 36
1.4. Деформирование криволинейных стержней 41
Выводы по разделу 1. Цель диссертационной работы 44
2. Способы представления геометрии кривой 46
2.1. Задание геометрии участка плоской кривой 46
2.2. Вариант описания кривой 51
2.3. Описание поворота тройки ортов 54
2.4. Метод аппроксимации пространственной кривой 61
2.5. Аппроксимация плоской кривой 67
Выводы по разделу 2 77
3. Пространственное деформирование стержней. конечноэлементные аппроксимации 78
3.1. Деформирование пространственной кривой 79
3.2. Деформирование стержней 86
3.2.1. Уравнения деформирования пространственного стержня при больших перемещениях и поворотах 86
3.2.2. Нелинейные уравнения деформирования плоского стержня 93
3.2.3. Линейные уравнения деформирования пространственного стержня 95
3.2.4. Линейные уравнения деформирования плоского стержня .97
3.3. Конечноэлементные аппроксимации 99
3.3.1. Пример нелинейного конечного элемента 99
3.3.2. Конечные элементы стержневого типа 103
3.3.2.1. Конечный элемент плоского криволинейного стержня... 103
3.3.2.2. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня 124
Выводы по разделу 3 134
4. Статика и динамика пространственных криволинейных стержней 136
4.1. Точные решения 136
4.2. Решения численным методом 141
4.2.1. Интегрирование нелинейных уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня методом пристрелки 143
4.2.2. Консольно закрепленный стержень 146
4.2.3 Составной криволинейный стержень с участками разной кривизны 148
4.2.4. Стержень переменной кривизны. Спираль Архимеда 149
4.2.5. Задача о деформировании лука 155
4.2.6. Закритическое деформирование продольно сжатого шарнирно опертого стержня 161
4.2.7. Расчет составного стержня с изломом оси 175
4.2.7.1. Нагружение в плоскости 175
4.2.7.2. Нагружение из плоскости 178
4.2.8. Примеры решений обратной задачи нелинейного деформирми-... рования стержней 181
4.2.9. Расчет деформирования пространственной спирали 188
4.3. Динамическая конечноэлементная модель планера самолета как системы пространственных перекрестных балок 192
Выводы по разделу 4 199
5. Конечноэлементные аппроксимации при осесим-метричном деформировании оболочек вращения. граничноэлементное описание гидродинамического воздействия жидкости 201
5.1. Кинематика деформирования оболочки вращения 201
5.2.Уравнения равновесия оболочки 208
5.3. Конечный элемент оболочки вращения при осесимметричном деформировании 217
5.3.1. Расчет колебаний круглой пластины 220
5.3.2. Расчет колебаний цилиндрической оболочки 1223
5.3.3. Расчет колебаний конической оболочки 224
5.3 АРасчет колебаний полусферической оболочки 226
5.4. Граничноэлементное представление воздействия жидкости на оболочку 229
5.4.1.Основные соотношения для осесимметричного течения жидкости 229
5.4.2. Тестирование граничноэлементной процедуры 238
Выводы по разделу 5 244
6. Метод конечных и граничных элементов в динамике тонкостенных топливных баков 246
6.1. Исходные соотношения и последовательность расчета 248
6.2. Тестовые расчеты 254
6.2.1. Бак сферической формы 254
6.2.2. Длинный бак 265
6.3. Расчет тороидального бака 267
6.4.Аналог бака с жидкостью 278
6.5.Установка дополнительных конструктивных элементов 282
6.6. Расчеты некоторых баков 293
Выводы по разделу 6 301
Заключение 303
Список использованных источников 305
Приложение
- Вопросы конечно- и гранично-элементной аппроксимации
- Метод аппроксимации пространственной кривой
- Уравнения деформирования пространственного стержня при больших перемещениях и поворотах
- Интегрирование нелинейных уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня методом пристрелки
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. При проектировании ракет-носителей (РН) космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями (ЖРД) и при подготовке новых пусков решается задача обеспечения продольной устойчивости (задача ПОГО). На активном участке полета РН с ЖРД и при разделении ступеней могут возникнуть продольные колебания РН с большими динамическими нагрузками на конструкцию. Опасны низкочастотные продольные колебания, связанные с продольными колебаниями тонкостенных топливных баков. Вопросы, рассмотренные в диссертационной работе, определились в процессе разработки метода уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков. Необходимость в таком методе возникла, поскольку существовавшим алгоритмам были свойственны отдельные недостатки. Например, возникали затруднения при анализе почти полных баков. Кроме того, появление новых компоновочных схем РН требует развития методик расчета агрегатов РН, включая и топливные баки.
Метод расчета топливных баков (с присоединенными элементами) построен на сочетании метода конечных элементов (МКЭ) для описания деформирования оболочек бака и метода граничных элементов (МГЭ) для представления жидкости. Поскольку МГЭ приводит к заполненным матрицам, которые могут быть обусловлены хуже матриц МКЭ, в целях сокращения конечномерной модели бака с топливом возникла необходимость в уточненном описании как геометрии бака, так и функций формы в МКЭ и МГЭ.
Разработанный автором метод аппроксимации плоской кривой (меридиана бака), основанный на использовании естественного параметра- длины кривой, получил развитие для случая пространственной кривой. В процессе дальнейшей работы появились обобщения, на основе которых были решены и
7 другие актуальные проблемы, связанные с описанием и расчетом стержневых и тонкостенных конструкций. Решение этих проблем также может найти применение в авиационно - космической отрасли.
Диссертация состоит из шести разделов и излагается в следующем порядке.
В первом разделе на основе литературных источников дан краткий анализ проблем, близких к рассмотренным в диссертационной работе:
описание динамического взаимодействия тонкостенных конструкций с находящейся в них жидкостью,
вопросы конечно- и граничноэлементной аппроксимации,
аппроксимация кривых и поверхностей,
расчет деформирования криволинейных стержней при больших перемещениях.
Ввиду того, что обозначенным проблемам посвящено большое количество публикаций, пришлось ограничиться ссылками лишь на некоторые работы, важные, по мнению автора, для определения места диссертационной работы. На основе проведенного анализа сделаны выводы об актуальности вопросов, решаемых в работе, и сформулированы цели работы.
Во втором разделе излагаются вопросы, связанные с представлением геометрии кривой в виде, удобном для применения ЭВМ. Рассмотрены различные варианты, в том числе, предложен метод аппроксимации участка пространственной кривой, использующий естественную параметризацию. Он основан на представлении поворота тройки ортов вектором конечного поворота (псевдовектором Аргириса). В частном случае плоской кривой метод применяется к описанию меридиана топливного бака.
В третьем разделе рассмотрено описание деформирования пространственной кривой с использованием описания поворота тройки ортов, изложенного в разделе 2. На основе этого составлена система уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня при больших
8 перемещениях и поворотах. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня. Изложен метод построения эффективных функций формы конечного элемента плоского и пространственного криволинейного стержня. Объяснена причина больших ошибок при вычислении силовых факторов внутри конечного элемента.
В четвертом разделе уравнения, полученные в разделе 3, используются для решения краевых задач нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня с применением алгоритма пристрелки. Показаны возможности численной методики применительно к расчетам больших перемещений и к задачам потери устойчивости стержней. Приведены примеры решения обратной задачи нелинейного деформирования криволинейного стержня. Рассмотрено практическое приложение конечного элемента пространственного криволинейного стержня к динамической модели планера самолета как системы пространственных перекрестных балок.
В пятом разделе рассмотрена кинематика деформирования оболочки. Для конечного элемента оболочки вращения в случае осесимметричного деформирования получены эффективные функции формы. Обоснован выбор прямого метода граничных элементов в качестве основного для представления динамики жидкости в задаче о собственных колебаниях тонкостенного топливного бака и получено граничноэлементное представление жидкости. Предложены пути улучшения аппроксимаций в методе граничных элементов.
В шестом разделе с использованием результатов, полученных во втором, третьем и пятом разделах, излагается разработанный метод расчета динамических характеристик продольных собственных колебаний тонкостенных осесимметричных топливных баков. Метод основан на конечноэлементном описании оболочек и граничноэлементном представлении жидкости. Приводятся результаты тестовых расчетов и результаты применения разработанного метода к реальным задачам.
9 Основной целью работы является
разработка метода расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков РН с ЖРД на основе сочетания методов конечного и граничного элементов с возможностью расширения расчетной схемы при учете дополнительных конструктивных элементов;
разработка пакета прикладных программ;
решение практических задач динамики баков РН.
Для достижения основной цели работы предполагается решение следующих проблем
разработка метода аппроксимации пространственной кривой с использованием естественного параметра - длины кривой и описания конечного поворота тройки ортов, связанных с точкой кривой;
разработка метода построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и конечного элемента оболочки вращения с использованием описания поворота тройки ортов;
использование описания конечного поворота тройки ортов для записи уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня и построение численной процедуры интегрирования этих уравнений.
Научная новизна работы
Разработан новый метод расчета динамических характеристик продольных
колебаний тонкостенных баков с жидкостью при учете дополнительных
конструктивных элементов. В его основе лежит конечноэлементное
описание оболочек бака и граничноэлементное представление жидкости.
Метод реализован в программном комплексе. Проведенное тестирование
подтверждает хорошие описательные возможности метода. В частности,
проанализированы предельные случаи заливки бака «под крышку», которые
представляют определенные трудности для известных расчетных методов.
Предложен новый метод восстановления участка пространственной кривой с использованием естественной параметризации по информации в узловых точках. Метод удобен при описании осевой линии независимого стержня или стержня, как подкрепления тонкостенной конструкции. В случае плоской кривой метод применяется для описания геометрических характеристик бака.
На основе соотношений, описывающих деформирование криволинейных стержней, построен метод, в рамках которого получены новые эффективные конечноэлементные аппроксимации в стержнях и оболочках. Использование таких аппроксимаций позволяет существенно сократить количество неизвестных в конечноэлементной модели стержня и оболочки. Для стержневой модели самолета с естественной круткой стержней построена методика расчета форм и частот колебаний. Приведены результаты тестирования.
Примененное в аппроксимации кривой описание поворота ее бесконечно малого элемента и использование глобальных компонентов векторных функций позволило записать в алгоритмичной форме уравнения нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. Осевая линия стержня может иметь скачки кривизны и изломы. Для численного решения этих уравнений применен метод пристрелки. Получены решения ряда задач нелинейного деформирования стержней, иллюстрирующие достаточно широкие возможности используемой процедуры. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня.
Методы исследований основаны на
применении известных процедур конечно- и граничноэлементного редуци
рования,
реализации условий экстремума функционалов,
использовании интегральных тождеств,
применении известных схем численного интегрирования и процедур численного решения задачи Коши,
решении обобщенной проблемы собственных значений известными алгоритмами.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на
корректном использовании исходных соотношений механики деформируемого твердого тела, применении известных численных итерационных алгоритмов,
исследовании сходимости разработанных алгоритмов численного анализа,
сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными.
Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается во внедрении результатов исследований и пакетов прикладных программ в ГКНПЦ им.М.В. Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г. Москва), ГУДП КБ «Полет» (г. Омск).
Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки ».
На защиту выносятся
метод расчета уточненных динамических характеристик тонкостенных топливных баков (с дополнительными элементами) при продольных колебаниях, основанный на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости;
метод аппроксимации пространственной кривой с использованием естественной параметризации и вектора конечного поворота тройки ортов;
метод построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и осесимметричной оболочки произвольного меридиана применительно к задачам динамики конструкций летательных аппаратов;
методика расчета нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня, основанная на использовании метода пристрелки и уравнений относительно глобальных проекций векторных функций с описанием поворота на основе вектора конечного поворота.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на летней школе по механике жидкости (Киев, 1978, 1989гг.); на Всесоюзной школе-семинаре «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1983г.); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986г.); на Всесоюзной конференции, посвященной 30-летию факультета ДПА ЧПИ (Челябинск, 1987г); на семинарах по динамике упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью (Томск, 1983,1986гг.); на симпозиумах по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск, 1979, 1982, 1985, 1988, 1991, 1994гг.); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999г., Ульсан, Корея, 2000г.); на юбилейной конференции в ЦАГИ (1993г.); на 1-м Международном симпозиуме «Аэрокосмическая индустрия и экология, проблемы конверсии и безопасности» (Днепропетровск, 1995г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН ( Новосибирск, 1999, 2001г.); на III и IV школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000гг.), на 1-м Российско-Корейском Международном
13 симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им.С.А.Чаплыгина.
Публикации. По теме диссертации опубликована 31 печатная работа. Результаты исследований автора, выполненных по заказам КБ, отражены в научно-технических отчетах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка использованных источников из 315 наименований. Объем диссертации 341с, включая 158 рисунков и 39 таблиц.
Автор глубоко признателен Ю.К.Здановичу и О.И.Охотникову за полезные советы при обсуждении практических задач, а также коллективу кафедры «Прочность летательных аппаратов» за постоянное внимание к работе.
Вопросы конечно- и гранично-элементной аппроксимации
При решении практических задач, как правило, приходится искать упрощенные модели для получения удобных разрешающих соотношений. Большинство моделей в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела основаны на упрощениях соотношений трехмерной теории упругости. При выявлении индивидуальных свойств в геометрии конструкции и ее деформировании формулируются определенные упрощения. Так строятся, например, двумерные модели теории оболочек.
Существует ограниченное число задач, решение которых можно получить в замкнутом виде. Реальные задачи даже после упрощений, как правило, требуют своих подходов к решению. Одним из них является аппроксимация набора искомых функций рядами по некоторой полной системе функций. Неизвестные коэффициенты в рядах получаются после решения соответствующих систем уравнений. В зависимости от того, какие функции берутся в качестве «координатных», получаются различные методики решения прикладных задач. Эти методики разветвляются и по выбору способа получения разрешающих систем уравнений.
Эффективность приближенного решения (сходимость вычислительной процедуры) определяется выбором аппроксимаций, а также способом получения разрешающих соотношений. Такой подход к решению задач, .первоначально записанных в виде соотношений для континуума, стал возможным только с появлением ЭВМ и развивается вместе с ростом их возможностей.
Некоторые основополагающие идеи механики тонкостенных оболочек и стержневых конструкций, а также основные методы их расчета заложены в работах А.Л.Гольденвейзера, Л.И.Балабуха, В.Л.Бидермана, В.З.Власова, В.В.Новожилова, Е.П.Попова, И.М.Рабиновича В.А.Светлицкого, А.Лява [18, .41, 49, 150, 171, 191, 204]. Реальную конструкцию, как правило, приходится анализировать численными методами. Основные методы численного анализа рассматриваемых конструкций изложены в работах [64, 86, 89,98,164].
Остановимся более подробно на конечноэлементной процедуре решения прикладных задач. Дискретизация по МКЭ давно используется в инженерной практике как удобная и алгоритмичная процедура решения задач механики деформируемого тела. Идея метода достаточно проста, но конкретные реализации имеют много особенностей, что и является основной причиной множества публикаций на эту тему.
В развитие МКЭ применительно к задачам деформирования тонкостенных и стержневых конструкций большой вклад внесли Ю.И.Бадрухин, З.И.Бурман, К.П.Горбачев, Я.М.Григоренко, Л.П.Железнов, В.И.Ивантеев, В.В.Кабанов, В.В.Киричевский, В.Н.Кислоокий, С.Н.Коробейников, В.В.Кузнецов, Б.А.Куранов, И.Ф.Образцов, В.А.Постнов, Л.А.Розин, Л.М.Савельев, А.С.Сахаров, Т.В.Снисаренко, А.Т.Турбаивский, Х.С.Хазанов, ИЛ.Хархурим, В.Д.Чубань, J.H.Argyris, O.C.Zienkiewicz и др. авторы.
Основные положения МКЭ изложены в монографиях [43, 46, 52, 79, 173, 203, 207]. Вопросы применения МКЭ к задачам статики и динамики оболочек отражены в работах [66, 67, 169, 267].
Основными понятиями в МКЭ являются узлы, границы между элементами и сами конечные элементы (КЭ). Наиболее распространенным является вариант метода конечных элементов, основанный на аппроксимации перемещений конструкции. По существу, в этом виде МКЭ эквивалентен минимизации полной энергии конструкции, выраженной через перемещения [79]. Популярность такого варианта МКЭ объясняется его наглядностью: определению подлежат неизвестные перемещения узлов. Координатные функции в методе конечных элементов определены не во всей области, в которой ищется решение задачи, как, например, в методе Ритца, а в ее подобластях. Для упрощения интерпретации можно считать, что область разбита на конечные элементы и в пределах каждого элемента описаны свои координатные функции. На границах между элементами должны выполняться определенные условия непрерывности функций формы. В узлах эти свойства удовлетворяются автоматически. Согласование функций формы по границе всегда представляло проблему, которая решается каждый раз определенным образом. Так, при составлении соотношений МКЭ с применением вариационного принципа, на границах допускаются конечные разрывы в функциях.
Функции формы должны удовлетворять свойствам полноты [79, 203]. Обычно эти свойства формулируются в таком виде при перемещении узлов элемента как точек твердого тела энергия деформаций элемента, вычисленная по функциям формы, должна обращаться в нуль; внутри элемента с помощью функций формы должно быть воспроизведено состояние постоянной деформации; функции формы должны давать конечные деформации на границах между элементами.
Известно [79, 203], что удачное построение функций формы определяет скорость сходимости конечноэлементной процедуры к точному решению. Построение функций формы для криволинейных конечных элементов стержней и оболочек всегда представляло определенную трудность [221, 43, 271]. В работах [75, 115, 153, 226, 272] предприняты попытки явного выделения жесткого смещения в функциях формы конечных элементов частного вида, что привело к улучшению сходимости численного решения. В работе [91] предложена процедура построения функций формы КЭ с выделением в деформациях разложений, отвечающих за поворот бесконечно малого элемента, что также улучшает качество элемента.
Таким образом, задание функций формы является ответственной процедурой в МКЭ, особенно в случае криволинейных конечных элементов.
При выборе функций формы возможны альтернативные подходы: брать простые функции и увеличивать количество конечных элементов, или строить уточненные аппроксимации. Во втором случае результаты одной и той же точности могут быть получены при меньшем количестве конечных элементов. Задача уточнения функций формы близка по смыслу к задаче восстановления геометрии объекта по узловой информации. Если геометрия объекта допускает кусочное представление простыми фрагментами, имеющими аналитическое описание, то генерирование сетки при увеличении числа конечных элементов упрощается. Для сложного объекта такой путь неприемлем и остается лишь обычный прием - вводить информацию поточечно.
Метод аппроксимации пространственной кривой
При построении естественной параметризации кривой будем использовать описанное в подразделе 2.3 представление поворота. Если в соотношении известны компоненты матрицы X(s)k, то известен связанный с кривой трехгранник. По формуле (2.7) можно восстановить и саму кривую линию.
Соотношение (2.28) задает ориентацию тройки ортов, связанной с кривой. С пространственной кривой можно связать разные трехгранники: естественный трехгранник, трехгранник, связанный с осями инерции поперечного сечения стержня при решении задач изгиба пространственного криволинейного стержня, трехгранник, у которого одним из ортов является нормаль к поверхности, в которой лежит рассматриваемая кривая. Последний случай встречается при описании подкрепления оболочки .
Предлагается следующий метод аппроксимации пространственной кривой по координатам двух ее узлов и ориентациям трехгранников, связанных с кривой в этих узлах.
Ориентацию трехгранника в начальной (0) и конечной (1) точках запишем в виде где Р \Р - матрицы направляющих косинусов. Элементы этих матриц могут быть заданы отдельно или определены по векторам ef\e jp.
Перейдем в систему координат с началом в точке (0) описываемой пространственной кривой. За орты этой системы примем векторы е 0). Выразим заданные орты в точке (1) через орты в точке (0) где ІЇЦ = PJ Pj - матрица направляющих косинусов. По матрице ІЇЦ с помощью соотношений (2.19) восстановим проекции вектора поворота OJ Q .Q на орты ef. Очевидно, что QJ0)=0, Q 0)=0, lf =0. Алгоритм определения проекций оттестирован на различных предельных случаях и работает надежно, если угол поворота со не превосходит п. Это ограничение практически всегда выполняется, если не пытаться аппроксимировать кривую с сильно различающейся ориентацией трехгранников ef и ё .
Аппроксимируем закон изменения вектора поворота тройки ортов вдоль восстанавливаемой кривой следующим выражением где s - длина вдоль кривой, - пока неизвестная длина кривой.
Первое слагаемое в (2.31) позволяет выполнить краевое условие по ориентации ортов во второй точке кривой, вторые два слагаемых описывают неравномерность закона изменения вектора поворота со( ) вдоль восстанавливаемой кривой. Способ выбора последних двух слагаемых может быть и иным.
Неизвестными в описании компонентов вектора поворота (2.31) являются три величины: - длина кривой и коэффициенты Ъ{ ,b2.
Для их определения можно записать систему трех нелинейных уравнений где хт{)- координаты точки (1) в системе координат, связанной с точкой (0) пространственной кривой.
Как только выбран вид двух последних слагаемых в (2.31), параметризация пространственной кривой осуществляется единственным образом, причем параметром является длина этой кривой.
Решение системы (2.32) можно получить любым численным методом, например, методом Ньютона. В качестве начального приближения для искомой длины кривой можно взять длину отрезка, соединяющего заданные точки, а 6, и Ъ2 положить равными нулю.
Для генерирования исходных данных при тестовых расчетах используем пространственную кривую- винтовую линию где s - параметр - длина вдоль винтовой линии, у-угол подъема, R -радиус (рис.2.4.).
Орт e3(s) направим по касательной к линии в сторону роста s, а орт e2(s) в радиальном направлении Орт e{(s) определится из условия ортогональности к ортам e2{s) и ez(s) в правой тройке векторов е, (s), ё2 (s), еъ (s).
Приведенные соотношения используются при получении исходной поузловой информации для описания кривой.
Если вектор e3(s) оставить прежним, а векторы e{(s) и e2{s) заменить другими по формулам
Уравнения деформирования пространственного стержня при больших перемещениях и поворотах
В задаче о деформировании стержня в качестве векторов ех, е2 берутся главноцентральные оси поперечного сечения [204]. Их ориентация описывается соотношением (3.2). На практике достаточно задать закон изменения вдоль осевой линии одного из векторов ех или е2. Другой вектор определяется из условия ортогональности в правой тройке векторов ек, к = 1,2,3. При записи системы полных уравнений деформирования криволинейного стержня кроме уравнений равновесия потребуются уравнения связи перемещений и поворотов (3.13), а также соотношения упругости, связывающие приращения кривизн с внутренними моментами.
Векторные уравнения равновесия криволинейного стержня, записанные для деформированного состояния, имеют вид [204] где Q = Qjij вектор внутренних сил, M = Mjij- вектор внутренних моментов, q = qjij- вектор распределенной внешней нагрузки, т = т - вектор распределенного внешнего момента, ds =(\ + s)ds - соответствие дифференциалов длины оси деформированного и недеформированного стержня.
Вектор момента можно записать в виде разложений в разных координатных системах Соотношения упругости - связь моментов с приращениями кривизн -выглядят следующим образом где Ml9 Ak2 - изменения кривизн осевой линии, обусловленное изгибом относительно осей е\, е2, Д&з-изменение кручения кривой;E/j, EJ2, GJk жесткости стержня на изгиб и кручение. Используя (3.25) и (3.27) перепишем (3.28)
Обозначим параметры, которые определяют поворот каждой точки стержня, через &j(s), j = 1,2,3.
Объединяя соотношения (3.13), (3.29) и проектируя систему уравнений равновесия (3.26) на глобальные оси, получим следующую полную систему уравнений, описывающих поведение пространственного криволинейного стержня при больших перемещениях и поворотах где EF - жесткость стержня на растяжение. Деформация растяжения оси криволинейного стержня определяется поворотами трехгранника, связанного с осью, внутренними силами и жесткостью стержня на растяжение.
Для замыкания системы уравнений (3.30) нужно выбрать закон, по которому вычисляются компоненты матрицы поворота XtJ(со,,со2,со3)
Если в качестве coy(.s), у = 1,2,3 взять проекции вектора конечного дХ, поворота (раздел 2), то формулы для производных —- примут вид
Уравнения (3.35) можно трактовать как уравнения обратной задачи нелинейного деформирования [221], когда известна конфигурация деформированного стержня, известно распределение внутренних сил и моментов для этой деформированной конфигурации, а требуется найти первоначальную форму ненагруженного стержня.
Заметим, что при поиске конфигурации деформированного стержня для уравнений (3.30) ставится краевая задача, а для нахождения формы ненагруженного стержня для уравнений (3.35) - задача Коши. В разделе 4 приведены методические примеры решения таких задач.
Характерными отличиями уравнений (3.30) от уравнений, записанных в локальных осях, является отсутствие в (3.30) кривизн, что позволяет описывать стержни со скачками в кривизнах и изломами осевой линии (геометрия задается по участкам).
При использовании для описания поворота вектора конечного поворота система уравнений (3.30) описывает любую конфигурацию деформированного пространственного криволинейного стержня, поскольку ограничений на вектор поворота Й = (ujij нет.
Если не поставлено краевых условий на перемещения, деформирование стержня полностью определяется вектором поворота тройки ортов, связанных с каждой его точкой. Если найден этот вектор-функция длины, перемещения восстанавливаются простым интегрированием.
Интегрирование нелинейных уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня методом пристрелки
При реализации алгоритма расчета удобно различать «мертвые» и «локальные» распределенные нагрузки. Первые не меняют своей ориентации относительно глобальных осей при деформировании стержня, вторые -относительно локальных осей, связанных со стержнем Для интегрирования уравнений (3.30) можно воспользоваться методом пристрелки, сводящем решение краевой задачи к решению серии задач Коши [165, 221]. Рассмотрим основные положения этого метода применительно к задаче о деформировании пространственного стержня. Введем в рассмотрение вектор разрешающих функций Если известен вектор {Y0}, то задача об определении вектора {Y(t)} вдоль стержня может быть решена как задача Коши. Обычно одна часть условий задается при t = t0, а другая - при t = tn. Пусть число неизвестных в точке t = t0 равно m0, а известных 12-т0; число известных в точке t = tn равно тп, а неизвестных 12-тп. Поскольку суммарное число известных условий должно быть равно 12, то отсюда следует, что т0 =тп=т. Число неизвестных на левом торце стержня равно числу известных на правом торце. Суть метода пристрелки состоит в подборе таких неизвестных на левом торце t = /0 стержня, чтобы выполнились заданные условия на правом торце t = tn.
Задача решается методом последовательных приближений. Сначала задается нулевое приближение неизвестных при t = t0: С,(0\.. , С/0) ,..С 0) и численным методом, например, методом Рунге-Кутта, решается задача Коши. После решения получаем вектор значений на правом торце стержня УИ(0)}. Выберем из вектора 7Л(0) j значения, соответствующие заданным краевым значениям, и обозначим их Zf\ i = \,2,...,m. Значения ,, и Zj0) і = 1,2,...,7 в общем случае отличаются друг от друга. С целью корректировки нулевого приближения С}0),.. , С.0) ,..С„0) решается серия задач Коши для вычисления матрицы производных где 8- шаг численного дифференцирования. Следующее приближение для искомых неизвестных определяется по формуле где В = Л-1- обратная к А матрица, Zk- заданные значения функций на правом торце. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия где є -назначаемая точность остановки итерационной процедуры, j- номер приближения. Как только определены искомые значения С,-, то распределение {Y(t)} может быть найдено после решения задачи Коши. В уравнения (3.30) и краевые условия входят параметры, определяющие нагружение стержня. Обычно нелинейная задача решается для дискретного значения определенного параметра. Интервал от нуля до заданного значения параметра проходится дискретно. Шаг по параметру подбирается расчетным путем из анализа истории деформирования [38, 105]. При рассматриваемом подходе к решению задачи можно заменить варьируемый параметр в краевом условии и успешно обходить такие участки диаграммы «нагрузка-кинематический параметр», которые без смены параметра неоднозначны. Хранить при таком подходе к решению нелинейной задачи можно только краевые значения вектора решения в точке t = tQ. Последовательности дискретных точек на диаграмме «нагрузка - кинематический параметр», Рассматривался гибкий стержень постоянной изгибной жесткости EJ, составленный из полуокружности радиуса R и четверти окружности радиуса 0.6R. Уравнение осевой линии задавалось в виде показаны конфигурации деформированного стержня при некоторых значениях внешней силы Р = PR EJ , я,-=х(/Я, / = 1,2. Нелинейное деформирование такого стержня анализировалось методом конечных элементов в [112]. Результаты численного решения краевой задачи методом пристрелки совпадают с решением, приведенным в [112]. В рассматриваемом примере параметром является не длина стержня, а угол полярной системы координат. Спираль опишем параметрическими уравнениями Константу а0 выберем так, чтобы при фА =7л/2 длина спирали была равна единице. Такая спираль анализировалась в [206].
