Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Соотношения линейной теории тонких трехслойных оболочек сложной формы с момент-ными несущими слоями
1.1 Вводные замечания 20
1.2 Параметризация срединной поверхности заполнителя методом нормальной фиктивной деформации поверхности отсчета 22
1.3 Параметризация срединных поверхностей внешних слоев трехслойной оболочки 27
1.4 Перемещения и деформации трехслойной оболочки. 31
1.5 Уравнения равновесия и граничные условия линейной теории трехслойных оболочек 35
1.6 Соотношения упругости 39
1.7 Основные соотношения линейной теории трехслойных оболочек без учета поперечного обжатия 42
1.8 Об одном классе поверхностей сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета 44
Глава II. Расчет осесимметричного напряженного состояния составных трехслойных оболочек вращения
2.1 Вводные замечания 56
2.2 Постановка задачи, разрешающие уравнения и соотношения 60
2.3 Численное решение сформулированной задачи 69
2.4 Численное исследование достоверности и практической сходимости разработанного алгоритма 82
2.5 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойных составных оболочек вращения типа обтекателей и баков летательных аппаратов 100
2,6 Расчет трехслойных облегченных зеркал 110
Глава Ш. Построение численного решения двумерных краевых задач статики и термоупругости трехслойных оболочечных элементов сложной формы
3.1 Вводные замечания 128
3.2 Постановка задачи, сводка основных соотношений 132
3.3 Интегро-дифференциальные уравнения равновесия оболочки 138
3.4 Сведение двумерной краевой задачи к одномерной 148
3.5 Особенности построения алгоритма предлагаемого численного решения и реализующей его системы подпрограмм 157
3.6 Численное исследование практической сходимости разработанного варианта интегрально-разностного метода 159
Глава ІУ. Исследование напряженно-деформированного состояния однослойных и трехслойных конструкций летательных аппаратов
4.1 Вводные замечания 169
4.2 Расчет однослойных и трехслойных элементов остекления с прямой осью 170
4.3 Расчет однослойного элемента остекления с криволинейной осью 181
4.4 Влияние различных условий закрепления кромок трехслойного конического фонаря на его напряженно-деформированное состояние 190
4.5 Статический расчет оболочки из ориентированного композиционного материала 202
4.6 Расчет на прочность лопаток двигателя с внутренней полостью 211
Основные результаты и выводы 226
Приложение 229
Литература 237
- Параметризация срединных поверхностей внешних слоев трехслойной оболочки
- Постановка задачи, разрешающие уравнения и соотношения
- Интегро-дифференциальные уравнения равновесия оболочки
- Расчет однослойного элемента остекления с криволинейной осью
Параметризация срединных поверхностей внешних слоев трехслойной оболочки
Считая срединную поверхность заполнителя 6 параметризованной, перейдем к задаче параметризации срединных поверхностей внешних слоев трехслойной оболочки. Обозначим через 6к срединные поверхности верхнего ( К = I) и нижнего ( К = 2) слоев. Отобразим на @к срединную поверхность заполнителя Q с помощью векторных равенств: где гк - радиус-вектор произвольной точки МКЄ GK , являющейся образом А/в S , НИ (о(\о(г) - расстояние между Мк и М , измеренное по направлению нормали гп к Оя(рис. 1.2), ок-dt = -6Z .
Дифференцируя (I.I8) по сХг , воспользовавшись при этом формулами для производных от единичных векторов (1.2), найдем координатные вектори основного базиса линий J3% QK , очерчи то есть срединные поверхности QK внешних слоев имеют незначительное и плавное отклонение от формы срединной поверхности заполнителя & , получим, что единичные векторы координатных линий J3K Е6Д- И вектор нормали 7пк к Є и с точностью I + +6 1 будут равны
Кривизны и кручение координатных линий J3 вычисляются по формулам, аналогичным (I.I6). Накладывая ограничения на Уігі Є с учетом условий (1.30), (1.33), получим
Таким образом, для тонких трехслойных оболочек, удовлетворяющих условиям метрику срединных поверхностей внешних слоев можно отождествлять с метрикой срединной поверхности заполнителя. - Приведем основные кинематические соотношения линейной теории трехслойных оболочек рассматриваемого класса при малых деформациях. Считаем, что трансверсально-мягкий заполнитель работает в соответствии с кинематической гипотезой о линейном законе изменения компонентов вектора перемещений по толщине, а внешние слои удовлетворяют гипотезам Кирхгофа-Лява.
С учетом принятых гипотез о линейном распределении нормальных и тангенциальных перемещений по высоте заполнителя, соответствующих уточненной кинематической модели Тимошенко [124], компоненты вектора перемещений V г в проекциях на Є І , Тп можно представить в виде ЪХ - прогиб 6 в направлении нормали Тп ; УІ - углы поворота нормали /7? заполнителя в процессе деформации; У - функция поперечного обжатия заполнителя.
Согласно (1.37) и (1.38) вектор перемещений заполнителя записывается следующим образом В соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява о прямой и нерастяжимой нормали вектор перемещений к -го слоя имеет вид [38]: где LI} , Ъ) - соответственно тангенциальные и нормальные компоненты вектора перемещений точек 6 к ; СОІ - компоненты век - тора поворотов нормали тн поверхности в/г по гипотезе Кирхгофа-Лява.
Выразим функции заполнителя U{ , W , У и У І через компоненты перемещений внешних слоев Ut и to , выбирая последние в качестве искомых. Для этого запишем условия сопряжения внешних слоев с заполнителем по перемещениям
Дифференцируя (1.44), (1.45) по Ы1 , 2 и воспользовавшись при этом формулами (I.I7), (1.36), получим выражения для координатных векторов заполнителя и внешних слоев до и после деформации: выражение для деформации поперечного сдвига заполнителя можно представить в виде а выражение для деформации поперечного обжатия - в виде
Компоненты тензора деформаций внешних слоев определяются формулами [38], которые при малых перемещениях в вилу выполнения условий и принятых допущений приводятся к виду
С учетом полученных соотношений (1.43), (1.50) + (1.53), определим деформации поперечных сдвигов (1.54) и обжатия заполнителя (1.55). После ряда преобразований и упрощений с принятой степенью точности получим
Таким образом, все компоненты деформации слоев можно выразить через шесть компонентов перемещений внешних слоев U-г , W согласно формулам
Приведем уравнения равновесия, соответствующие полученным компонентам деформации (1.60)-(1.62). Уравнения равновесия получаются из вариационного принципа Лагранжа и при этом в качестве естественных граничных условий - статические граничные условия для трехслойных оболочек рассматриваемого класса.
Пусть нормальная проекция контурных линий Г» срединной поверхности заполнителя на поверхность отсчета Є о совпадает с ее координатными линиями (Xі =const - XtS (s = 0,1) . Исходя из построенной в п.1.1 параметризации для элементов площадей оредин-ных поверхностей слоев и элементов объемов, выделяемых из слоев оболочки будем иметь приближенные выражения:
Постановка задачи, разрешающие уравнения и соотношения
Рассмотрим сложную оболочечную конструкцию,составленную из соединенных непосредственно одно- и трехслойных оболочек вращения с общей для всех оболочек прямой осью. Если действующая на нее внешняя силовая и тепловая нагрузки, а также параметры геометрии и физико-механических характеристик материала конструкции являются постоянными вдоль окружной координаты, то, очевидно, ее напряженно-деформированное состояние можно считать осесиммет-ричным. Абстрагируя вид такой осесимметричной конструкции (структуры), представим ее как произвольную композицию из узлов, соединенных между собой связями (подструктурами) ( рис.2.1 ). Под связями будем подразумевать одно- и трехслойные оболочки вращения, под узлами - свободные края, параллели, по которым терпят разрыв функции геометрических и механических характеристик оболочек, компонентов нагрузки или наложены кинематические ограничения на соответствующие степени свободы. В общем случае положим, чтосовокупность подструктур может образовывать как од-носвязную, так и многосвязную оболочечную систему.
Примем, что для межузловой оболочки - подструктуры справедливы допущения: внешние ортотропные слои работают в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Дява; компоненты вектора перемещений заполнителя по толщине удовлетворяют линейному закону распределения; нормальные напряжения заполнителя в - (ij l 2) полагаются малыми и их вкладом в потенциальную энергию деформации заполнителя пренебрегаем. Влияние подкрепляющих ребер при необходимости может быть учтено в рамках принятых предположений методом "размазывания" ( приведением подкрепленных слоев к эквивалентным конструктивно-ортотропным).
Исследование напряженно-деформированного состояния элемента оболочечной системы, удовлетворяющего указанным условиям, возможно на основе соотношений линейной теории трехслойных оболочек, полученных в I главе. Уравнения для однослойных оболочеч-ных подструктур следуют из этих же соотношений как частный случай, когда механические характеристики заполнителя полагаются равными нулю, а внешние слои сводятся к двум независимым оболочкам.
Построим уравнения равновесия подструктур, граничные условия для свободных кромок и условия сопряжения подструктур на линиях стыковки оболочечной системы, исходя из вариационного принципа Лагранжа, записанного для конструкции в целом. Кинематические соотношения, соотношения упругости и ряд других формул примем в виде, приведенном в главе I и упрощенном на случай осесим-метричных деформаций.
Предварительно примем следующие топологические правила нумерации узлов и подструктур ( рис.2.1, 2.2 ). Каждая межузловая подструктура имеет свой порядковый номер /77 ( т=1,М , М -общее количество подструктур в системе), задаваемый произвольно. Узлам присваивается индексация вида п[тI(K,S)} » где п. - порядковый номер узла (/?=/,А/ , N - общее „количество узлов в системе) , задаваемый произвольно ; /77 - номер і -й подструктуры, стыкующейся с л-м узлом ( г=1,Мп , Мп - число подструктур, соединяющихся с /7 -м узлом ); к - номер слоя /?7 -й подструктуры, который сопрягается с /?-м узлом ( к =1,2 ) ; S -номер торца к -го слоя ті -й подструктуры, который сопрягается с п -м узлом ( =0 ,о(4=0(10- начало интервала о( 1є[оС о("] , определяющего подструктуру ; & = 1 , ое =сХ" - конец интервала). (б (2,0)} и т.д. . Обозначим черезе ё"-единичный орт касательной к срединной поверхности к -го слоя т. -й подструктуры, указывающий положительное направление координаты оСе[о(4о(11] для этой подструктуры ( рис.2.2 ). Тогда за положительное направление нормали т к Ок примем такое, из которого т совмещается с є поворотом на 90 по часовой стрелке. Первый слой в трехслойной оболочке ( К = I ) всегда внешний по отношению к положительному направлению нормали.
Пусть оболочечная система состоит из М подструктур и имеет п узлов, для каждого из которых возможны два варианта описания механики деформирования : если к узлу сходится только торец одного несущего слоя, то для него задаются граничные условия, в противном случае - условия сопряжения торцов слоев различных оболочек при возможных кинематических ограничениях на соответствующие степени свободы узла. Так, например, в узле I на рис. 2.1 сходятся торцы 1-го слоя подструктуры I (трехслойная оболочка) и подструктуры 5 (однослойная оболочка), что требует составления условий их сопряжения с учетом ликвидации одной степени свободы узла в направлении нормали к слою подструктуры І . В узле 2 сходится только один слой (2-й) той же подструктуры I , поэтому здесь, согласно определению и рисунку,записываются граничные условия защемления. Вариационное уравнение принципа возможных перемещений системы при принятых допущениях будет иметь вид
Интегро-дифференциальные уравнения равновесия оболочки
Рассмотрим процедуру применения ИРМ для решения двумерных краевых задач с учетом особенностей, указанных в п.3.1 . Для этого необходимо привести уравнения (3.1)-(3.4) к интегро-диф-ференциальному типу. При этом удобно представить их в матричном операторном виде. Примем, что в направлении координаты о 1 будем использовать ЖС, а в направлении о г - МКР. Тогда (3.1)-(3.4) запишутся где Lm (m =1,2) - матрицы коэффициентов порядка пу пт , не содержащие дифференциальных операторов 2х , Пу- 6 - количество уравнений равновесия ; /?т = 28 - число элементов в векторе Т внутренних усилий, моментов в оболочке и производных от них по координате схг T ft-}=fTК Тк Тк Т Т к И к М И (ятя) - ) - матрица коэффициентов при параметрах внешней нагрузки порядка Пу Пр , не содержащие дифференциальных операторов -5—, ; Пр = 12 - число элементов в заданном векторе Р поверхностных усилий, моментов и производных ОТ НИХ ПО ОС2
Введем в рассмотрение вектор V где % - вектор порядка Пу искомых разрешающих функций к І=1.Пу, Пу=в), - вектор порядка Ґіу функций перемещений и производной от прогиба 1J по о 1 , относительно вариаций которых сформулированы граничные условия (3.5),(3.6)
Для принятых обозначений (3.13), (3.14), (3.17) граничные условия (3.5) на кромках (Х сх оґ можно переписать в виде где - единичная диагональная матрица порядка пу Пу ; Г - диагональная матрица порядка Пу пу с элементами і/и J (is1,/?y). При Ifa - 0 из (3.18) следуют геометрические, а при К,- = I - статические граничные условия на кромках, соот Компоненты вектора Т связаны с компонентами вектора V соотношениями упругости (3.7), которые в матричном виде можно записать как матричная форма кинематических соотношений (3.8). Отметим, что в вектор Т входят составляющие в виде производных по o(z от усилий и моментов. Их связь с деформационными параметрами можно установить, выполняя дифференцирование соотношений (3.7) по сх2 соответствующее число раз. В результате получим
Принимая во внимание появление за счет дифференцирования дополнительных слагаемых в приведенных соотношениях упругости (3.22), вектор s порядка Лг - 32 получается составленным из компонент тензора деформаций и их частных производных по о 2 , а также усилия ZL i выбранного в качестве искомого Входящие в (3.20) и (3.21) составляющие представляют собой: т - вектор порядка Пт= 20 заданных тепловых дефеорма-ций и их производных по сХ2 + 2Is- /I / /- /J ) U - вектор порядка nv = 60 , составленный из компонент вектора У и их производных по о(г из соотношений (3.25) .
В соотношениях (3.8) и (3.25) входят следующие комбинации перемещений и их производных : функции (3.26) можно сгруппировать в вектор U порядка /?„, выделив величины V, И V"z где Еі (і =1,4 ) - диагональные матрицы порядка 2пу с единицами и нулями на главной диагонали, причем согласно (3.27) равными нулю оказываются элементы Ef j , Е2(е) » ЕЗ(І){ і =1,6 ), Ез(іі)% Et(i)(i fjf) .
Указанные матрицы введены с целью явной записи полного вектора U через установленные ранее векторы и г искомых разрешающих функций. Это необходимо для единобразия при выполнении дальнейших преобразований. Окончательно (3.27) можно пред
Расчет однослойного элемента остекления с криволинейной осью
В данном пункте проводятся исследования НДС однослойного остекления, представляющего собой часть оболочки вращения с непрямолинейной осью и произвольной формой образующей при действии внутреннего избыточного давления р0 и нескольких вариантов температурной нагрузки.
В качестве расчетной схемы такой конструкции может быть принята оболочка сложной формы рассматриваемого в работе класса ( см. рис. 4.7, 4.8 ).
На основе подхода, описанного в главе I диссертации, вводится поверхность отсчета &0 в виде части тора с осью 0 01 t совпадающей с непрямолинейной осью вращения рассматриваемой оболочки. Предполагая срединную поверхность 6 заданной оболочки пологой относительно поверхности отсчета Q0 , можно построить решение задачи параметризации поверхности с помощью приема, описанного ранее. Полагая образующую $(& ) рассматриваемой поверхности оболочки малым видоизменением образующей S0 поверхности тора ( рис. 4.7 ), путем интерполяции найдем зна =чения H(o(4J превышения 6 над Є0 и ее производных до третьей включительно соответственно по формулам главы І (І.І02) , (І.І03). Используя формулы таблицы І.І (п. 5 ) для тороидальной поверхности отсчета, можно вычислить все параметры, характеризующие геометрию поверхности в по формулам (I.15), (І.І9).
Рассматриваемая конструкция имеет следующие геометрические и механические параметры : Меридиональные кромки предполагаются защемленными,радиальные - свободными. Ввиду симметрии конструкции расчет производится для половины конструкции, расчетная сетка которой представлена на рис. 4.8 .
На рис. 4.9 - 4.II показаны некоторые результаты расчетов при действии на конструкцию только избыточного давления р0 Приведены, соответственно, графики изменения прогибов If , перемещений Ui , Uz , напряжений 61f и б г при Z = 0 по координате оС при фиксированной XZ . В качестве аргументов перечисленных функций введены безразмерные параметрі
Для сравнения на тех же рисунках штриховыми линиями приводятся результаты расчетов ра сматриваемой конструкции с упрощенной геометрией в виде оболочки вращения с прямолинейной осью , пологой относительно цилиндрической поверхности отсчета ( т.е. искривленная ось вращения заменена прямой ). Как видно из приведенных результатов, упрощение, связанное с заменой искривленной оси вращения прямой, вносит существенную погрешность в результаты решения.
На рис. 4.13 - 4.15 приводятся результаты расчетов рассматриваемой конструкции для нагрузки, состоящей из внутреннего давления р0 и варианта температурного поля, переменного по координате оС .
Интегральные характеристики теплового удлинения и изгиба оболочки при интерполяции закона изменения температуры по толщине оболочки квадратичной параболой представлены на рис. 4.12 . Как показывает проведенный расчет, меридиональные напряжения достигают наибольших значений на наружной поверхности оболочки в районе радиальных кромок ( рис. 4.14 ). Наибольшие окружные усилия имеют место на внутренней поверхности оболочки, изолинии распределения которых приведены на рис.4.15 . На примере расчета трехслойной конической оболочки ( рис. 4.16, 4.17) при различных условиях закрепления кромок изучено влияние различных вариантов граничных условий на контуре оболочки на распределение и величину перемещений и напряжений от воздействия внутреннего избыточного давления ро . Исходные данные задачи приняты следующие :
Решения получены для следующих комбинаций условий на контуре : а) полное защемление по всему контуру ( рис, 4.16 ) ; б) кромки радиальные защемлены, окружные - свободные рис.
Ниже приводятся некоторые результаты проведенных расчетов. В варианте закрепления кромок (а) максимальный прогиб U находится в области ос4 = 0.35 - 0.4 , с = 0.8 ( рис.4.18) . В варианте граничных условий (б) ( см. рис. 4.19 ) имеет место смена знака прогибов с плюса на минус и их максимальные значения в пять раз превышают максимальные значения прогибов в случае (а). Зона максимальных прогибов расположена на линии симметрии в области задней кромки. В случае закрепления (в) ( рис.4.20) значения прогибов на два порядка выше, чем в двух предыдущих случаях, зона максимальных прогибов находится в районе середины радиальных кромок.
Функции тангенциальных перемещений Ui и иг имеют одинаковые порядки для каждого из случаев граничных условий (а) и (б) . Функция Ut для граничных условий (а) имеет сложный закон распределения и принимает максимальные значения в зоне на линии симметрии. Для граничных условий варианта (б) характер изменения этой функции значительно упрощается и носит линейный характер вдоль координаты o(z (рис. 4.21 ). Максимальные перемещения имеют место на линии симметрии вблизи задней кромки и на два порядка лревышают величину максимальных перемещений в варианте (а). Для случая граничных условий (в) тангенциальные перемещения в направлении ОС1 ( рис. 4.17 ) на порядок больше, чем в другом направлении и принимают максимальные значения на середине
