Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы исследования статики, динамики и прочности трубопроводов
1.1. Обзор современного состояния исследований по динамике и устойчивости труб 14
1.2. Классификация трубопроводов с протекающей жидкостью .. 26
1 .3. Анализ расчетных моделей трубопроводов 30
Выводы по главе 1 38
Глава II. Теоретические основы расчета трубопроводов
2.1. Построение системы разрешающих уравнений 40
2.2. КЭ и аппроксимация 51
2.3. Основные соотношения для КЭ трубопровода с протекающей жидкостью 57
2.4. Расчет собственных форм и частот. Разложение движений по собственным формам 66
2.5. Расчет динамических параметров НДС и оценка прочности конструкции 72
Выводы по главе II 78
Глава III. Динамика тонкостенных криволинейных труб с начальными технологическими неправильностями
3.1. Постановка задачи 81
3.2. Вывод разрешающей системы уравнений 85
3.3. Применение разрешающих уравнений к решению частных задач 91
3.4. Построение областей динамической неустойчивости 93
3.5. Уравнение вынужденных параметрических колебаний относительно установившихся амплитуд 107
3.6. Влияние параметрических воздействий на расчетные значения амплитуд 112
3.7. Анализ связей и связанности обобщенных координат. Зависимость расчетных амплитуд от начальных неправильностей 1 20
Выводы по главе III 128
Глава IV. Анализ расчетной динамической модели тонкостенного пространственного трубопровода
4.1. Исследование точности оболочечной модели на примере задачи о пространственном изгибе криволинейных труб... 131
4.2. Оценка точности стержневых моделей МКЭ при расчете собственных частот 1 39
4.3. Экспериментальное исследование упругих и инерционных свойств образца тонкостенного трубопровода 145
4.4. Анализ манометрического эффекта образца трубопровода с начальными неправильностями 152
Выводы по главе IV 158
Глава V. Расчет трубопроводов при стационарных режимах нагружения
5.1. Численное исследование НДС, индуцированного невозмущенным внутренним потоком 160
5.2. Итерационный алгоритм расчета конструктивно-нелинейных систем 168
5.3. Расчет трубопроводов с односторонними связями, зазо
рами и трением в опорах скольжения 173
5.4. Расчетная оценка вибропрочности тонкостенной трубки самолетной гидросистемы изделия 8 УБ 178
5.5. Расчет на прочность напорного гидравлического трубопровода 185
Выводы по главе V 189
Глава VI. Расчет трубопроводов при нестационарных режимах нагружения
6.1. Задача о вибрациях, сопутствующих гидравлическим ударам 192
6.2. Алгоритм численного инегрирования дифференциальных уравнений движения 195
6.3. Расчет «короткого» трубопровода на гидравлический удар 198
6.4. Применение метода характеристик и двухслойной раз ностной схемы к расчету параметров ударных волн 208
6.5. Расчет «длинного» трубопровода на гидравлический удар 212
6.6. Исследование переходных режимов колебаний при си
ловом и кинематическом возбуждении 221
Выводы по главе VI 227
Заключение
- Классификация трубопроводов с протекающей жидкостью
- Основные соотношения для КЭ трубопровода с протекающей жидкостью
- Уравнение вынужденных параметрических колебаний относительно установившихся амплитуд
- Экспериментальное исследование упругих и инерционных свойств образца тонкостенного трубопровода
Введение к работе
Неотъемлемой частью конструкций современной техники являются трубопроводы. С одной стороны, это элементы транспортировки продукта и питания машин, технологических установок, с другой,— элементы гидроавтоматики и управления. Их надежность и безотказность в решающей степени определяют работоспособность конструкции в целом.
Особенно велика и ответственна их роль в авиации и ракетостроении.
Например, в конструкции современного самолета число трубопроводов составляет несколько тысяч, их суммарная длина — несколько километров [166].
Бытующее порой мнение о незначительном влиянии трубопроводов на надежность всей конструкции приводит к недооценке их роли в системе обеспечения безопасности полетов летательных аппаратов (ЛА).
По данным статистики [166] до 65% всех отказов и неисправностей самолетов связаны с работой гидравлических, топливных и воздушных систем. Из них до 40% приходится на гидравлические системы. Наиболее слабыми элементами этих систем оказываются трубопроводы и их соединения.
Практика показывает, что основная причина неисправностей трубопроводов (до 90%) — это разгерметизация соединений и разрывы труб, обычно в местах гибов и креплений. Большинство разрушений
7 носит ярко выраженный характер многоцикловой усталости. Усталостная
прочность существенно зависит от ряда технологических факторов. Это,
прежде всего, монтажные напряжения и начальные геометрические
неправильности (овальность и разностенность) криволинейных участков
трубы.
Эксплуатацию трубопроводов ЛА отличает высокий уровень вибронапряженности. Наряду с характерными статическими и квазистатическими силовыми, монтажными, инерционными, температурными нагрузками действуют мощные кинематические воздействия и вибрации.
Кинематические воздействия связаны с колебательными движениями элементов корпуса ЛА, агрегатов, силовых установок. Для них характерен сравнительно низкий частотный спектр (до 80-100 Гц) и, как правило, высокий уровень амплитуд.
Источниками вибраций служат пульсирующий внутренний поток, механические и гидравлические удары. Характеристики пульсаций во многом зависят от конструкции и режима работы насоса, их отличает спектр более высоких частот (200-450 Гц) [92].
В реальных условиях действует комплекс статических и динамических нагрузок. Совокупность нагрузок характеризует заданный режим нагружения и определяет уровень вибраций и вибронапряженности. Критерием усталостной прочности трубопровода является величина вибронапряжений.
Совершенствование конструкций ЛА связано с интенсификацией рабочих процессов, с жесткими ограничениями на вес. Стремление к весовому совершенству обуславливает применение тонкостенных труб. Для изготовления трубопроводов ЛА широкое распространение получили бесшовные холоднотянутые и холоднокатаные трубы из высокопрочных сталей, меди, алюминиевых" и титановых сплавов с толщиной стенки от 0,5 до 1,5 мм, наружным диаметром d=6-40 мм (трубы d>40 мм, как правило, штампосварные) [166].
8 Плотная компоновка, свойственная современным конструкциям,
определяет сложную пространственную разводку. Трубопровод — обычно
сложная пространственно изогнутая оболочечно-стержневая конструкция,
криволинейные участки которой имеют разные радиусы и углы гиба.
Рекомендуется радиусы гибов R>3,5d; в отдельных случаях при d<20 мм
— R>2d, при d>20 мм — R>3d [166].
Перечисленные выше особенности, характерные для трубопроводов ЛА, определяют повышенные требования к обеспечению прочности и надежности конструкции.
Следует подчеркнуть, что проблема вибраций и вибропрочности трубопроводов актуальна не только для авиации и ракетостроения. Аналогичные проблемы имеют место в теплоэнергетике, нефтехимии и других областях техники. Так, с вибрационными и усталостными повреждениями связано более половины аварий трубопроводов энергетических установок [33, 164]. Аварии сопровождаются разгерметизацией проточных трактов и утечкой теплоносителя. Причиной большинства разрушений являются усталостные трещины в местах гибов и сварных соединений труб.
До настоящего времени проектирование трубопроводов выполняется, как правило, на базе расчетных статических моделей. Действующие нормативные документы ([142, 155, 179], СНиП 2.04.13-90, РТМ — 1120 и др.), по существу, не регламентируют вибронапряженность и вибропрочность конструкции.
В связи с отсутствием нормативных методов оценки прочности с учетом вибронапряжений обеспечение надежности трубопровода достигается на стадиях испытания и доводки, путем отстройки готового изделия от опасных режимов возбуждения. В качестве контрольных (нормируемых) показателей уровня вибраций используются кинематические параметры: амплитуды виброперемещений, виброскоростей и виброускорений, а также динамические нагрузки на опорную
9 конструкцию.
Обзор отечественных и зарубежных нормативных материалов [131] показывает, что предельные значения амплитуд устанавливаются от 0,04 до 62,5 мм, в зависимости от функционального назначения трубопровода и рабочего диапазона частот. Следует иметь в виду, что амплитуды вибраций зависят от формы колебаний трубопровода, свойственной заданному режиму работы. При изменении рабочего режима меняется и форма колебаний. Это обстоятельство вносит неопределенность в динамическую систему и требует тщательного выбора мест контроля вибраций.
Практически каждый трубопровод отличен по конфигурации от другого, поэтому составляет самостоятельный объект обследования вибрационного состояния и доводки. При большом числе трубопроводов эта работа весьма трудоемка и требует значительных затрат времени, сил и средств. Кроме того нужно иметь в виду, что кинематические параметры лишь косвенным образом связаны с вибронапряжениями и никоим образом не учитывают средние напряжения цикла. Поэтому, в принципе, они не способны дать объективное представление о действительной работоспособности конструкции и, тем более, раскрыть ее предельные резервы.
В этих условиях, отмечает академик Н.Д. Кузнецов в предисловии к книге [181], «необходима тщательная отстройка каждого трубопровода от опасных возбуждений приемами классической механики».
Разработке методов расчета трубопроводов на прочность уделяется большое внимание исследователей. В результате, вырабатываются современные расчетные модели и программные средства, которые концентрируют в себе последние достижения вычислительной математики и механики. На базе этих моделей решается ряд практически важных задач. Однако полученные решения носят частный характер и не учитывают многообразие реальных нагрузок, ряд конструктивных и
10 технологических факторов, оказывающих существенное влияние на
прочность конструкции. Поэтому нормативные методы оценки прочности
с учетом вибронапряжений разрабатываются лишь в единичных случаях
на отраслевом уровне [142]. При этом применяются упрощенные
расчетные модели, которые не учитывают инерционные свойства
протекающей жидкости, представляют конструкцию трубопровода в виде
стержневой системы.
Таким образом, трубопроводы являются распространенными и ответственными элементами разнообразных конструкций. Большинство разрушений трубопроводов носят ярко выраженный усталостный характер. Проектирование трубопроводов выполняется на базе расчетных статических моделей. Существующие динамические модели носят упрощенный характер и при расчете вибронапряжений не учитывают ряд специфических факторов, характерных для реальной конструкции. В этих условиях актуальным является построение расчетных моделей, адекватно отображающих реальную вибронапряженность и вибропрочность конструкции, и разработка на базе этих моделей эффективных программных средств.
С целью решения указанной проблемы в диссертации выполнено комплексное теоретическое и экспериментальное исследование, которое включает в себя:
теоретическое обобщение и развитие существующих методов расчета трубопроводов;
разработку системы расчета на прочность трубопроводов с учетом вибронапряжений, характерных конструктивных и технологических факторов, совокупности реальных нагрузок;
построение эффективных расчетных моделей, вычислительных алгоритмов и программных средств;
их экспериментальное и расчетное обоснование ;
анализ влияния отдельных конструктивных и технологических
11 факторов на вибрации и вибропрочность труб и трубопроводов.
Разработанные модели и алгоритмы расчета реализованы в виде программного комплекса ASCP (Automatic System for Calculation of Pipelines), внедренного в практику проектирования трубопроводов ряда ведущих организаций России.
Автоматизация расчетов открывает качественно новый уровень проектирования изделий. Реальностью становится многовариантная проработка проектов и выявление наиболее целесообразного из них. ЭВМ позволяют анализировать влияние отдельных факторов на расчетную надежность и долговечность конструкции, моделировать предельные и запредельные режимы нагружения. А это, в свою очередь, отвечает задаче ускорения разработки и освоения новой техники, способствует повышению качества проектно-конструкторских работ.
Диссертация предусматривалась планом работ кафедры сопротивления материалов и строительной механики; ее отдельные разделы являлись частью хоздоговорной тематики научно-исследовательских работ МарПИ им. A.M. Горького, выполненных под научным руководством и при участии автора в период с 1977 по 1989 годы по заказам предприятий Министерств энергетического комплекса и Минавиапрома СССР, включая важнейшую тематику. Подтвержденный актами экономический эффект от внедрения результатов работы составил 840 тыс. руб. (см. приложение 1).
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, четырех приложений и списка использованной литературы.
В первой главе дан систематический обзор матодов расчета трубопроводов на прочность. Рассмотрены задачи динамики и устойчивости прямой и кривой труб с невозмущенным и пульсационным потоками жидкости. Показано, что существующие решения ориентированы, главным образом, на академические задачи. Вместе с тем, эти решения выявили характерные особенности системы «трубопровод
12 — протекающая жидкость», наиболее важной из которых является опорная
конструкция. В зависимости от устройства опорной конструкции
предложена классификация трубопроводов. Проведен анализ расчетных
моделей. На основе анализа установлено, что, несмотря на глубокую
проработку отдельных вопросов, ни одна из существующих разработок
не содержит достаточно эффективного метода расчета трубопроводов
на прочность с учетом вибронапряжений. Как обобщение и развитие
существующих методов расчета следует рассматривать наши работы.
Вторая глава посвящена теоретической разработке проблемы расчета трубопроводов на прочность с учетом вибронапряжений при многокомпонентном статическом и динамическом нагружении. Учитываются нестационарные гидродинамические нагрузки, сопутствующие внутреннему течению жидкости, и кинематическое возбуждение. Температурные, силовые и монтажные нагрузки считаются квазистатическими. На базе МКЭ строится связанная оболочечно-стержневая расчетная модель.
В третьей главе разрабатываются методы расчета параметров вибраций и НДС тонкостенных криволинейных труб с нестационарным потоком жидкости в зависимости от начальных технологических неправильностей. С учетом начальных овальностей и разностенности выполнен анализ установившихся амплитуд. Впервые ставится и решается симметричная задача виброустойчивости идеальной трубы с криволинейной осью, находящейся под действием гармонического внутреннего давления: в области низших собственных частот устанавливаются границы главных простых и комбинационных ре-зонансов.
В четвертой главе дана оценка точности разработанных моделей и методов расчета трубопроводов. На основании численных экспериментов исследована сходимость приближенных решений. Результаты решений сопоставлены с известными решениями и эспе-
13 риментами, а также с данными прямого физического эксперимента,
поставленного на моделях.
В пятой главе приводятся результаты расчетов параметров НДС и АЧХ. С учетом вибронапряжений дана оценка прочности трубопроводов реальных конструкций ЛА при стационарных режимах нагружения. Выполнен анализ влияния конструктивных и технологических факторов на НДС и вибропрочность. Разрабатывается алгоритм решения связанных задач с односторонними внешними и (или) внутренними связями и трением в опорах скольжения. Дается обоснование постановки связанной задачи и эффективности вычислительного алгоритма.
Шестая глава посвящена численному исследованию нестационарных режимов нагружения трубопроводов. Рассматриваются переходные вибрации, сопутствующие гидравлическим и механическим ударам. Демонстрируются динамические реакции базовых конструкций в зависимости от скорости удара, демпфирования, конструктивных и технологических факторов.
В заключении содержатся выводы по результатам работы.
В приложениях сообщаются основные результаты внедрения; приводится краткая характеристика программного комплекса ASCP; даются распечатки текстов программ расчета на виброустойчивость тонкостенных труб PRESON и амплитуд колебаний труб с начальными технологическими неправильностями ASTATE.
Классификация трубопроводов с протекающей жидкостью
Трубопроводы можно разделить на классы (категории) в зависимости от конфигурации, функционального назначения, характерного режима нагружения, физико-химических свойств материала и перекачиваемой среды [2, 132, 166]. В зависимости от класса (категории) устанавли ваются определенные требования к методам их расчета и проектирования.
Выполним классификацию трубопроводов в зависимости от устройства опорной конструкции. Рассмотрим невозмущенный внутренний поток. Обозначим: pm, vm и тж —давление, скорость и погонную массу жидкости; А() — площадь отверстия трубы; v — коэффициент Пуассона. На основе представленного выше анализа исследований выделяем следующие три класса трубопроводов.
А. На поперечные смещения концевых сечений трубы наложены абсолютно жесткие связи (рис. 1.1). В этом случае при отсутствии демпфирования «трубопровод — протекающая жидкость» представляют собой консервативную гироскопическую систему. При критических параметрах потока такая система теряет устойчивость по типу дивергенция. При этом смежные формы равновесия образуются при одном условии, если опоры, удерживающие трубу, при изгибе последней могут свободно сближаться. В зависимости от размещения и устройства опор реализуются различные формы потери устойчивости.
Б. Одно из концевых сечений трубы жестко закреплено, другое — свободно от закреплений. В этом случае «трубопровод — протекающая жидкость» представляют собой неконсервативную систему. При критических параметрах потока для них характерна потеря устойчивости по типу флаттера. Развитие флаттера обусловлено действием сил, связанных с истечением потока. Действие этих сил проявляется при условии попарного взаимодействия обобщенных координат, соответствующих поперечным и угловым смещениям свободного концевого сечения [26]. В этих условиях происходит передача энергии потока упругой системе, поэтому флаттеру отвечают вибрации с нарастающей амплитудой.
Отметим, что общим для трубопроводов класса А и Б (рис. 1.1 за исключением схемы Б-4) является отсутствие продольных сил в поперечных сечениях трубы.
В. Концевые сечения трубы жестко закреплены. Такое устройство опорной конструкции имеет широкое распространение на практике и используется для соединения труб с корпусом гидроагрегата (емкостью), образующих замкнутую герметичную систему. В этом случае сжимающему усилию в канале Pm = РтА0 + mxvm соответствует натяжение трубы силой N . Величина продольной растягивающей силы Nm зависит от конфигурации трубы и жесткости опорных связей. Натяжение прямой трубы определяется эффектом Пуассона: при продольных связях большой жесткости N 2vP . Натяжение кривой (гнутой) трубы, наряду с эффектом Пуассона, определяется действием сил гидродинамического давления, возникающих в местах неоднородностей, включая повороты потока. При этом N — Р
Таким образом, если внешние связи препятствуют сближению концов трубы, то в поперечных сечениях появляются продольные растягивающие силы. В результате система сохраняет устойчивость равновесия практически при любых значениях параметров потока [168, 171].
Предложенная классификация помогает понять различие в подходах к задаче динамики трубопроводов, взаимодействующих с пульсирующим потоком. Дело в том, что в одних работах [79, 80, 138, 262] эта задача трактуется как задача о параметрических колебаниях, в других [22, 94, 111] — как задача о вынужденных колебаниях, в третьих [174, 175] — как задача о вынужденных параметрических колебаниях. Механизмы силового и параметрического возбуждения объясняются в работе [86]: силовое возбуждение связывается с воздействиями нестационарного потока на криволинейные участки трубы, параметрическое — с периодическими изменениями коэффициентов жесткости.
Решение задачи о параметрических колебаниях сводится к построению областей динамической неустойчивости. Согласно формулировке В.В. Болотина [24]: «потеря динамической устойчивости под действием переменной нагрузки возможна там, где под действием статической нагрузки возможна потеря статической устойчивости».
Поэтому естественно, для трубопроводов класса А и Б (рис. 1.1) параметрические воздействия, связанные с пульсациями потока, оказывают доминирующее влияние на процесс гидродинамического возбуждения. Для трубопроводов класса В параметрические воздействия оказываются менее существенными благодаря обратному действию продольных сил: в каждый момент времени сжимающему усилию в канале отвечает растягивающее усилие в трубе. В этом случае доминирующее влияние на процесс возбуждения оказывают вынуждающие силы.
Подтверждением сказанного могут служить опыт изучения вибраций технологических трубопроводов мощной теплоэнергетической установки [33], а также результаты испытаний крупномасштабных моделей первого контура АЭС [129] и лабораторные испытания [62]. Полученные амплитудные и частотные характеристики вибраций, возбуждаемых пульсирующим потоком, свидетельствуют, что основная энергия процессов сосредотачивается в диапазонах низких частот. Максимумы вибраций наблюдаются на собственных частотах колебаний трубопроводов и соответствуют классическим резонансам.
Основные соотношения для КЭ трубопровода с протекающей жидкостью
Средний диаметр труб (2г) — считаем одинаковым, а толщины стенок hk и h.r — разными. Индекс «к» относится к кривой трубе, индекс «т» — к прямой. Трубы имеют идеально круглое поперечное сечение и постоянную толщину стенки. Учитываем изгибающие моменты М (t) и M2(t) и внутреннее давление p,.(t) = pa + p;(t). Здесь Ра = Pm + Qmvm и p a{t) p {t) + 2Q,v (t) - стационарная и нестационарная составляющие гидродинамического давления; Qm = pa.vm — секундный расход массы жидкости, протекающей через единицу площади отверстия трубы, рж — плотность жидкости.
В пределах кривой трубы оболочечные формы представляются в виде двойного тригонометрического ряда; разложение в ряд по координате ф ограничивается первой гармоникой. Для примыкаюа.их прямых труб используется точное аналитическое решение [28]. В результате функции радиальных перемещений получают следующий вид: wk( i ,e,t) = У У (wlmn cos п0 + w2imn sin ПЄ) COS . wT{s,9,t) = Уе J Alln cos— + A]2n sin - cos 110 + , л P s A ps + A,, cos110-+ A,, sin1-3 2,1Л -p 2,2n -p sin 110 (2.35) а П hT n2-l При этом Pn = yJ-7 J Здесь N — число гармоник по окружной координате 0; s — осевая координата (рис. 2.3); wjinn = w.mn(t) и A.-jn = AiJn(t) (i,j=l, 2 и m=0,l) — обобщенные координаты, соответствующие симметричным (i=l) и кососимметричным (i=2) оболочечным формам. Симметричные формы описывают чистый изгиб в плоскости кривизны, кососимметричные — в перпендикулярной плоскости.
Обобщенные координаты A (ij=l, 2) определяются через wjmn (i=l, 2 и m=0,l). Для этого используются условия сопряжения труб при ф = ±ф0 /2 и s=0: W.E = wk и Tlk = Тт, где Т, — осевое усилие. Таким образом учитываются краевые особенности, связанные с упругим подкреплением концевых сечений.
При низкочастотных вибрациях трубопроводов размеры волн в осевом направлении значительно больше, чем в окружном. В результате чего вдоль оси трубы вибронапряжения и вибродеформации изменяются более плавно и медленно, чем «поперек». Это обстоятельство позволяет использовать соотношения полубезмоментной теории тонких оболочек.
В соответствии с полубезмоментной теорией В.З. Власова функции осевых (uk) и окружных (vk) перемещений выражаются через радиальные перемещения (wk) [183].
Следует иметь в виду, что для расчета и проектирования трубопроводов разработаны различные варианты расчетных моделей: стержневые [20-22, 150, 171-176, 204]; оболочечные [38, 73] и комбинированные, основанные на независимом описании стержневых (балочных) и оболочечных форм [144, 145]. В отличие от известных моделей, аппроксимации (2.30), (2.33) и (2.35) предполагают связанную оболочечно-стержневую модель, которая учитывает влияние сплющивания поперечного сечения криволинейных участков (оболочечных форм) на перемещения точек осевой линии (на стержневые формы).
Основные соотношения для КЭ трубопровода с протекающей жидкостью Для получения расчетных соотношений введем вектор обобщенных виброперемещений {8,п,(о} = {б;п,(о 5 (1)}1. Компонентами вектора являются линейные (uk,k= 1,2,3) и угловые (фк, к = 1,2,3) виброперемещения узлов і nj (рис. 2.2). При s = +L / 2: и, = и , u2 = v , u, = w, ф, = ф,, ф2 = -w , ф3 = v ; для криволинейного КЭ ф, = -w -u/R. Положительный знак угла фк (к=1,2,3) соответствует вращению против часовой стрелки. Знак ( ) определяет производную функции по координате S. Таким образом {5 (1)) = (11,, u2i 1Ц. фи ф2, ф„ , {б /"(0= {u,, u2j иУ] Фи ф2і Фзі} . Зависимость между обобщенными координатами (q " (t)} и виброперемещениями узлов (8" (t)j имеет следующий вид {8,nl(t)} = [Z,n,]{q,n,(t)} (2.36) или {q,n,(t)}, где Z"1 — матрица линейных преобразований. Подматрицы \Z\" } и \Х" ) размера (6x12) получаются путем подстановки координат узлов і и j: для прямолинейного КЭ в табл. 2.1 (s = +L/2), для криволинейного КЭ в табл. 2.2 (ф = +ф( / 2). С учетом (2.36) аппроксимация (2.2) примет вид {f",l(s,t)} = (s)][Z,n,]"{8,n,(t)} (2.37) Согласно (2.37) обобщенные виброперемещения узлов і и j в каждый момент времени однозначно определяют пространственное положение КЭ.
В свою очередь, выражения для матрицы масс (2.8), центробежных и кориолисовых сил инерции (2.9) и (2.10), жесткости (2.16), геометрической жесткости (2.17), записанные относительно обобщенных виброперемещений (8" (t)j, соответственно получат следующий вид:
Уравнение вынужденных параметрических колебаний относительно установившихся амплитуд
В технических приложениях при аппроксимации начальных неправильностей формы, как правило, ограничиваются низшей гармоникой (п = 2). В этом случае разложение (3.1), описывающее отклонение средней линии от правильной окружности, принимает следующий вид: A(s,6) = A, cos26-cos-j (3.29) Здесь A = (d — d2) / 4 — амплитуда второй гармоники; d, и d, — диаметральные размеры в центральном сечении трубы, замеренные в плоскости кривизны и в перпендикулярной плоскости.
С учетом (3.29) при аппроксимации возмущенного движения также ограничиваемся второй гармоникой (п = 2). В результате уравнения колебательного движения (3.14) приводятся к связанной системе с двумя степенями свободы:
Таким образом, интенсивность силового возбуждения, определяемая правой частью (3.30), оказывается пропорциональна параметру разностенности е и амплитуде начальных неправильностей Д() = Д2 + er2 / 2TTR . (3.33) При Д =— er2/27iR амплитуда Д() = 0. Следовательно, слагаемое ЄҐ /2TTR МОЖНО трактовать как «эквивалентную амплитуду».
Если е=0, то тогда вынуждающая сила совершает работу на обобщенном перемещении w,(t). Возбуждение w((t) передается при помощи инерционных и диссипативных связей.
Рассмотрим установившиеся колебания под действием моногармонического давления p(t) = pm(l + ycosdt), где у = ро / р — параметр пульсации. Возбуждение ограничиваем областью докритических режимов, для которых \х2 и. , где п. - 2є, / f22 — критический коэффициент возбуждения для второго параметрического резонанса.
В случае гармонических колебаний решение уравнения (3.30) ищем в виде: cos Q t (3.34) W«(t)LW-l + WulsinQt + JWl w2(t)J [w2m] [w2,J [w22 Здесь w nW (i,j = 1,2) — соотвественно равновесные амплитуды и i.m l-J амплитуды колебаний для первой и второй обобщенных координат. Решение (3.34) подставляем в дифференциальное уравнение (3.30). Далее, используя метод гармонического баланса, приходим к системе линейных алгебраических уравнений вида ММ=-Щ, (3.35) где D матрица динамической жесткости. Уравнения (3.35) определяют установившиеся амплитуды {w } в зависимости от амплитуд обобщенных сил \Р0\- Элементы матрицы D и компоненты вектора {Р} представлены в табл. 3.4. При этом использованы следующие обозначения: к, =П/а ,, к2 =П/(ои, (З.зб)
Структура матрицы D] свидетельствует, что при вынужденных параметрических колебаниях равновесная амплитуда оказывается зависимой от амплитуды колебаний. Эта зависимость характеризуется коэффициентом параметрического возбуждения п_2.
Для оценки влияния связанности обощенных координат введем альтернативную систему. Допустим, что взаимные инерционные, диссипативные и упругие связи между w,(t) и W2(t) отсутствуют. Тогда уравнения колебательного движения (3.30) распадаются и при моногармоническом возбуждении принимают следующий вид: w, +2ew, +o);wl = -(Jle(piu +p0cosQt), (3.37) w, + 2ew2 + oo2(l - 2ц, cosQt)w2 =-р\Д0(рш + po cosQt), где oo, = 00, и со = 00,, — собственные частоты.
Первое уравнение (3.37) описывает вынужденные гармонические колебания стержня с жестким контуром поперечного сечения. При постоянной толщине стенки h(9) = h перемещение W,(t) = 0.
Второе уравнение описывает вынужденные параметрические колебания оболочки. Обращает на себя внимание математическая аналогия: уравнение (3.37) для координаты w2(t) совпадает с дифференциальным уравнением поперечных колебаний слабо изогнутого стержня под действием периодических продольных сил [23, 24]. Аналогом разно-стенности трубы служит эксцентриситет приложения нагрузки, аналогом овальности — начальная кривизна осевой линии стержня.
Экспериментальное исследование упругих и инерционных свойств образца тонкостенного трубопровода
Амплитуда А7 варьировалась в пределах от -16 до + 16 мм (это соответствует овальности а= 15%), параметр разностенности е — от -0,2 до +0,2 (что составляет 20% от номинальной толщины стенки). Сплошные линии построены на основании точного решения (3.35), штриховые линии — приближенного решения (3.47).
Сравнительный анализ результатов позволяет сформулировать следующие выводы.
Первое, равновесные амплитуды Аф(1т и амплитуды Аф00 являются линейными функциями А При А2 0 функции монотонно возрастают. Угловые коэффициенты и начальные ординаты прямых зависят от параметра разностенности е. С увеличением е уклоны прямых возрастают; отрезки, отсекаемые прямыми на осях Аф0п, и Аф0, увеличиваются. Причем, чем короче труба, тем сильнее влияние разностенности на расчетные значения амплитуд. Второе, из соотношений (3.47) и (3.52) с учетом (3.7) и (3.33) устанавливаем, что Аф0т = Аф00 = 0 при Л2 = А 2 = -er2(l + f /9)/2nR. (3.53) При этом слагаемым р/р по сравнению с единицей пренебрегаем. т 2
Зависимость (3.53) определяет соотношение между характеристиками начальных неправильностей е и А , при котором отсутствует манометрический эффект. В этом случае овальность и разностенность как бы компенсируют друг друга, поэтому пульсирующее давление не оказывает влияния на взаимный угол поворота концевых сечений трубы.
На графиках Д 2 определяет длину отрезков, которые отсекают прямые Аф()т и Аф00 на оси А . Констатируем, что отрезки, отсекаемые сплошными и пунктирными линиями, оказываются практически одинаковыми. Следовательно, зависимость (3.53) распространяется и на системы с сильным взаимодействием обобщенных координат и
Расчетные значения установившихся амплитуд на частоте возбуждения v = 200 Гц: связанная оболочечно-стержневая система, независимая система (квазистатическое приближение (3.47)) применима к длинным трубам. С увеличением длины трубы величина Д уменьшается: д 2(ф0= 45) = -4,59 мм, д 2(ф0 = 90) = -2,09 мм, д 2(ф0 = 180Р) = -1,88 мм.
Третье, независимо от длины трубы, штриховые и сплошные линии Аф(1п1 на рис. 3.13 практически совпадают друг с другом. Следовательно, для режимов, далеких от резонансов, для расчета равновесных амплитуд ДфПп1 с высокой степенью точности могут быть использованы приближенные формулы (3.47)
Расхождение между штриховыми и сплошными линиями А \ 1)(] на рис. 3.13 определяется в зависимости от длины трубы. Из графиков следует, что приближенные формулы (3.47) можно применять лишь для коротких труб ( 1 / 5). При расчете длинных труб нужно использовать точное решение (3.35).
Полученные результаты могут найти свое приложение к расчету прямолинейных и криволинейных участков трубопроводов с начальными неправильностями. В частности, отдельные результаты использовались при оценке виброустойчивости стенки тонкостенной кривой трубы системы кондиционирования воздуха самолета ТУ-154М [113] .
Выводы по главе III.
1. Решены задачи о вибрациях тонкостенной криволинейной трубы, индуцированных нестационарным внутренним потоком, и в зависимости от начальных технологических неправильностей построена расчетная модель НДС. Задача динамики сформулирована как задача о вынужденных параметрических колебаниях предварительно напряженной оболочечно-стержневой конструкции. На основании полубезмоментной теории оболочек и уравнений Лагранжа второго рода получена разрешающая система связанных дифференциальных уравнений с изменяющимися во времени коэффициентами жесткости.
