Содержание к диссертации
Введение
1 Математическая модель движения и методы её решения 12
1.1 Формализм Гамильтона 12
1.2 Общий вид канонических уравнений 16
1.3 Канонические уравнения в переменных Андуайе-Депри 24
1.4 Уравнения движения
1.4.1 Линейное изменение моментов инерции 30
1.4.2 Полиномиальное изменение моментов инерции 32
1.4.3 Изменение моментов инерции по гармоническому закону
1.5 Метод Мельникова 37
1.6 Метод Пуанкаре построения фазовых сечений 42
1.7 Выводы по главе 1 43
2 Анализ регулярной динамики 45
2.1 Постановка задачи и математическая модель 45
2.2 Космический аппарат с ракетным двигателем твёрдого топлива
2.2.1 Заряд цилиндрической формы 49
2.2.2 Заряды конической и сферической формы 56
2.3 Космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем 60
2.3.1 Системы координат и моменты инерции 61
2.3.2 Способ вытеснения «наружу» 64
2.3.3 Способ вытеснения «вниз» 2.4 Методика анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава 74
2.5 Выводы по главе 2 75
3 Анализ хаотической динамики 77
3.1 Система уравнений возмущённого движения 77
3.1.1 Изменение одного момента инерции 77
3.1.2 Синхронное изменение трёх моментов инерции
3.2 Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата постоянной массы с упругими свойствами конструкции 82
3.2.1 Построение и анализ функции Мельникова 82
3.2.2 Построение и анализ сечений Пуанкаре
3.3 Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата переменной массы с упругими свойствами конструкции 96
3.4 Методика анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава 100
3.5 Выводы по главе 3 101
Заключение 103
Список сокращений и условных обозначений 106
Список использованных источников
- Канонические уравнения в переменных Андуайе-Депри
- Изменение моментов инерции по гармоническому закону
- Заряды конической и сферической формы
- Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата постоянной массы с упругими свойствами конструкции
Канонические уравнения в переменных Андуайе-Депри
Фазовый портрет системы (2.8) в плоскости углов Крылова {у, і//) можно интерпретировать как годограф вектора тяги ракетного двигателя. Следовательно, для повышения точности ориентации вектора тяги при имеющихся начальных отклонениях углов Крылова необходимо добиваться, чтобы продольная ось КА монотонно приближалась к оси прецессии и годограф апекса продольной оси (и вектора тяги) КА переменного состава, как фазовой траектории в плоскости [у,і//), представлял собой скручивающуюся спираль. Для обеспечения этого необходимо монотонное увеличение квадрата (модуля) кривизны фазовой траектории (годографа).
Космический аппарат с ракетным двигателем твёрдого топлива В данном параграфе будет рассмотрено движение космического аппарата как тела переменного состава при работающем ракетном двигателе твёрдого топлива.
В современных РДТТ организация процессов горения, как отмечается, например, в [6], [24], [27], может быть весьма сложной. В связи с этим расчётное определение моментов инерции КА с РДТТ и их изменение представляет собой самостоятельную задачу. Поэтому для подтверждения возможности предсказания поведения вектора тяги РДТТ с помощью условия (2.14) ограничимся модельными примерами для зарядов простых форм: цилиндр, конус, сфера.
Примем следующее допущение: центр масс корпуса КА в начальный момент времени совпадает с центром масс твердотопливного заряда. 2.2.1 Заряд цилиндрической формы
Применим построенную модель для анализа движения КА переменного состава при горении заряда цилиндрической формы. Моменты инерции относительно точки, в которой находился центр масс в начальный момент времени, записываются следующим образом: где Лц, С0 - моменты инерции корпуса КА; m = 7rR2Hp - масса заряда в текущий момент времени; R - радиус заряда; Н - высота заряда в текущий момент времени; р - плотность материла, из которого изготовлен заряд.
В силу изменения геометрии заряда центр масс будет перемещаться вдоль оси Oz связанной системы координат: 1) моменты инерции корпуса пренебрежимо малы по сравнению с моментами инерции заряда (случай, когда рассматривается только горение заряда); 2) моменты инерции заряда пренебрежимо малы по сравнению с моментами инерции корпуса КА (случай КА постоянного состава). Данный случай рассматривается с целью верификации модели, так как движение КА постоянного состава хорошо изучено.
Случай 1. Рассмотрим сначала функцию P(t) без учёта моментов инерции корпуса КА. С учётом (2.21) выражение (2.20) примет следующий вид: Так как P(t) 0 на промежутке горения заряда, то из (2.22) следует, что при линейном сгорании твердотопливного заряда цилиндрической формы его параметры не могут повлиять на эволюцию годографа вектора тяги, который будет представлять из себя скручивающуюся спираль.
В качестве примера на рисунке 2.2 представлены графики зависимостей моментов инерции от времени для значений: R = 0,3M; /70=0,5 М;
Так как функция P(t) в рассматриваемом случае является положительной на всём рассматриваемом интервале времени от 0 до 20 с (рис. 2.3), то можно предположить, следуя (2.14), что годограф вектора тяги будет представлять скручивающуюся спираль.
Для рассматриваемого случая на рисунке 2.4 представлен годограф вектора тяги, полученный путём численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8) с моментами инерции A([t} и С(ґ), приведёнными на рисунке 2.2. ф9рад
Годограф вектора тяги КА с зарядом цилиндрической формы в плоскости углов Крылова у -ц/ ,у0 = 0,05 рад, у/0 = О,05 рад (случай 1) Из рисунка 2.4 видно, что предсказанное поведение вектора тяги подтверждается. Оно является желательным с точки зрения точности ориентации вектора тяги, так как отклонение от требуемого направления с течением времени уменьшается.
Случай 2. В этом случае P(t) = 0 и следует предположить, что годограф фиктивного вектора тяги будет представлять собой окружность. Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8), приведённые на рисунке 2.5, подтверждают сделанное предположение.
Вывод: в отсутствии горения заряда эволюции движения К А происходить не может, что совпадет с известной динамикой движения тела постоянного состава. Рассмотрим два примера, когда в одном случае характер движения может измениться, а в другом случае остаётся постоянным.
Функция Pit) для заряда цилиндрической формы (пример 1) Так как функция P(t) в рассматриваемом примере является положительной на всём рассматриваемом интервале времени от 0 до 20 с (рис. 2.7), то и в этом случае можно предположить, следуя (2.14), что годограф вектора тяги будет представлять скручивающуюся спираль.
Для рассматриваемого примера на рисунке 2.8 представлен годограф вектора тяги, полученный путём численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8) с моментами инерции A(t} и С(ґ), приведёнными на рисунке 2.6.
Изменение моментов инерции по гармоническому закону
Функции .Р(7) (рис. 2.31), построенной для математической модели (2.8), соответствует построенная для математической модели (1.91) функция L/G (рис. 2.33), которая является положительной, убывающей на промежутках времени, для которых функция .Р(7) положительна, и возрастающей на промежутке времени, для которого функция P(t} отрицательна. Функция L/G имеет точки локального экстремума в моменты времени, соответствующие смене характера спирали со скручивающейся на раскручивающуюся и наоборот.
Таким образом, при способе вытеснения топлива «наружу» с элементами топливных баков сферической и цилиндрической формы регулярная динамика КА является желательной с точки зрения точности ориентации вектора тяги, а при способе вытеснения топлива «вниз» желательная динамика возникает только для сферических баков. Из этого можно сделать вывод, что при построении КА, схема которого изображена на рисунке 2.17, для достижения желаемой динамики необходимо либо использовать сферические баки при любом способе вытеснения топлива, либо способ вытеснения «наружу» при любой форме баков.
Используя отмеченные связи между функциями .Р(7) и L/G, можно предположить, что на промежутках времени, для которых функция P(t} положительна, функция L/G убывает, а на промежутках времени, для которых функция .Р(7) отрицательна, функция L/G возрастает. Замеченные закономерности не являются математически обоснованными, однако для предсказания характера годографа вектора тяги ЖРД с точки зрения точности его ориентации можно использовать как функцию P(t), так и функцию L/G. 2.4 Методика анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава На основании вышеприведённых результатов можно предложить следующую методику анализа регулярной динамики динамически симметричного космического аппарата с РДТТ или ЖРД: 1. Записать в явном виде функции изменения моментов инерции A[tJ и CytJ. 2. Записать в явном виде функцию Р(ґ) в соответствии с выражением (2.14). 3. Определить временные промежутки знакоопределённости функции .Р(7). 4. На промежутках времени, для которых функция P(t} является положительной, годограф вектора тяги в углах Крылова будет иметь вид скручивающейся спирали. Это свидетельствует о желательной регулярной динамике КА, приводящей к повышению точности ориентации вектора тяги при наличии малых начальных отклонений. 5. На промежутках времени, для которых функция P(t} является отрицательной, годограф вектора тяги в углах Крылова будет иметь вид раскручивающейся спирали. Это свидетельствует о нежелательной регулярной динамике КА, приводящей к ухудшению точности ориентации вектора тяги при наличии малых начальных отклонений.
Для построения годографов вектора тяги ЖРД можно использовать программы, код которых приведён в приложениях А-Г. 2.5 Выводы по главе 2
1. На основе построенной с использованием углов Крылова модели прецессионного движения динамически симметричного космического аппарата получено аналитическое условие (2.14), определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя.
2. Использование полученного условия позволяет предсказать эволюцию годографа вектора тяги ракетного двигателя твёрдого топлива и жидкостного ракетного двигателя и сделать вывод о желательности или нежелательности поведения вектора тяги с точки зрения точности его ориентации.
3. Предложенная методика анализа регулярной динамики, основанная на использовании условия, определяющего поведение годографа вектора тяги, может быть применена для динамически симметричных космических аппаратов с твердотопливными и жидкостными ракетными двигателями.
4. Для построения годографов вектора тяги твердотопливных и жидкостных ракетных двигателей с рассмотренными в диссертации модельными примерами форм зарядов и элементов блока топливных баков сферической и цилиндрической формы и способами вытеснения топлива «наружу» и «вниз» можно использовать программное обеспечение, приведённое в приложениях А-Г.
В главе рассматривается хаотическая динамика космического аппарата как тела переменного состава.
Получена система уравнений возмущённого движения КА, необходимая для построения функции Мельникова и дальнейшего анализа с целью обнаружения возможных хаотических режимов движения.
Затем с использованием полученных уравнений и метода Пуанкаре-Мельникова исследовано движение КА постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции.
Рассмотрено применение формализма метода Пуанкаре-Мельникова при исследовании КА переменной массы с упругими свойствами конструкции и работающим ЖРД с учётом малой динамической асимметрии. При этом возможно использование некоторых результатов, полученных для КА постоянной массы.
Приводится описание методики анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава.
Получим уравнения возмущённого движения космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции, которые моделируются изменением моментов инерции по гармоническому закону.
Заряды конической и сферической формы
Фазовый портрет системы (2.8) в плоскости углов Крылова {у, і//) можно интерпретировать как годограф вектора тяги ракетного двигателя. Следовательно, для повышения точности ориентации вектора тяги при имеющихся начальных отклонениях углов Крылова необходимо добиваться, чтобы продольная ось КА монотонно приближалась к оси прецессии и годограф апекса продольной оси (и вектора тяги) КА переменного состава, как фазовой траектории в плоскости [у,і//), представлял собой скручивающуюся спираль. Для обеспечения этого необходимо монотонное увеличение квадрата (модуля) кривизны фазовой траектории (годографа).
Из этого можно сделать следующий важный вывод: годограф вектора тяги может изменить свой вид со скручивающейся спирали на раскручивающуюся достигает экстремального значения.
Космический аппарат с ракетным двигателем твёрдого топлива В данном параграфе будет рассмотрено движение космического аппарата как тела переменного состава при работающем ракетном двигателе твёрдого топлива.
В современных РДТТ организация процессов горения, как отмечается, например, в [6], [24], [27], может быть весьма сложной. В связи с этим расчётное определение моментов инерции КА с РДТТ и их изменение представляет собой самостоятельную задачу. Поэтому для подтверждения возможности предсказания поведения вектора тяги РДТТ с помощью условия (2.14) ограничимся модельными примерами для зарядов простых форм: цилиндр, конус, сфера.
Примем следующее допущение: центр масс корпуса КА в начальный момент времени совпадает с центром масс твердотопливного заряда. 2.2.1 Заряд цилиндрической формы
Применим построенную модель для анализа движения КА переменного состава при горении заряда цилиндрической формы. Моменты инерции относительно точки, в которой находился центр масс в начальный момент времени, записываются следующим образом: где Лц, С0 - моменты инерции корпуса КА; m = 7rR2Hp - масса заряда в текущий момент времени; R - радиус заряда; Н - высота заряда в текущий момент времени; р - плотность материла, из которого изготовлен заряд.
В силу изменения геометрии заряда центр масс будет перемещаться вдоль оси Oz связанной системы координат:
Рассмотрим два предельных случая: 1) моменты инерции корпуса пренебрежимо малы по сравнению с моментами инерции заряда (случай, когда рассматривается только горение заряда); 2) моменты инерции заряда пренебрежимо малы по сравнению с моментами инерции корпуса КА (случай КА постоянного состава). Данный случай рассматривается с целью верификации модели, так как движение КА постоянного состава хорошо изучено.
Рассмотрим сначала функцию P(t) без учёта моментов инерции корпуса КА. С учётом (2.21) выражение (2.20) примет следующий вид: Так как P(t) 0 на промежутке горения заряда, то из (2.22) следует, что при линейном сгорании твердотопливного заряда цилиндрической формы его параметры не могут повлиять на эволюцию годографа вектора тяги, который будет представлять из себя скручивающуюся спираль.
В качестве примера на рисунке 2.2 представлены графики зависимостей моментов инерции от времени для значений: R = 0,3M; /70=0,5 М;
Так как функция P(t) в рассматриваемом случае является положительной на всём рассматриваемом интервале времени от 0 до 20 с (рис. 2.3), то можно предположить, следуя (2.14), что годограф вектора тяги будет представлять скручивающуюся спираль.
Для рассматриваемого случая на рисунке 2.4 представлен годограф вектора тяги, полученный путём численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8) с моментами инерции A([t} и С(ґ), приведёнными на рисунке 2.2. ф9рад
Из рисунка 2.4 видно, что предсказанное поведение вектора тяги подтверждается. Оно является желательным с точки зрения точности ориентации вектора тяги, так как отклонение от требуемого направления с течением времени уменьшается.
В этом случае P(t) = 0 и следует предположить, что годограф фиктивного вектора тяги будет представлять собой окружность. Результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8), приведённые на рисунке 2.5, подтверждают сделанное предположение.
Вывод: в отсутствии горения заряда эволюции движения К А происходить не может, что совпадет с известной динамикой движения тела постоянного состава. Рассмотрим два примера, когда в одном случае характер движения может измениться, а в другом случае остаётся постоянным.
Функция Pit) для заряда цилиндрической формы (пример 1) Так как функция P(t) в рассматриваемом примере является положительной на всём рассматриваемом интервале времени от 0 до 20 с (рис. 2.7), то и в этом случае можно предположить, следуя (2.14), что годограф вектора тяги будет представлять скручивающуюся спираль.
Для рассматриваемого примера на рисунке 2.8 представлен годограф вектора тяги, полученный путём численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8) с моментами инерции A(t} и С(ґ), приведёнными на рисунке 2.6.
Годограф вектора тяги КА с зарядом цилиндрической формы в плоскости углов Крылова у -у/ , У0 =0,05 рад, \//0 = 0,05 рад (пример 1)
Из рисунка 2.8 видно, что предсказанное поведение вектора тяги подтверждается. Оно является желательным с точки зрения точности ориентации вектора тяги, так как отклонение от требуемого направления с течением времени уменьшается.
Функция Р (t) для заряда цилиндрической формы (пример 2) Так как функция P(t) в рассматриваемом примере пересекает ось абсцисс при t = 17,5 с и становится отрицательной, то можно предположить, следуя (2.14), что до 17,5с годограф вектора тяги будет представлять скручивающуюся спираль, а после 17,5 с — раскручивающуюся. Для рассматриваемого примера на рисунке 2.11 представлен годограф вектора тяги, полученный путём численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.8) с моментами инерции A(t} и С(ґ), приведёнными на рисунке 2.9.
Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата постоянной массы с упругими свойствами конструкции
Как видно из полученных изображений, в рассматриваемом случае происходит расщепление сепаратрисы. При увеличении малого параметра є ширина зоны, в которой наблюдается хаотическое поведение фазовой траектории, увеличивается. Физически это означает рост зоны появления такого режима, при котором характер движения КА с трёхосным эллипсоидом инерции будет непредсказуемо меняться с вращательного на колебательный и наоборот.
Таким образом, для КА постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции метод Пуанкаре-Мельникова позволяет, во-первых, построить функцию Мельникова, во-вторых, по этой функции обнаружить возможные хаотические режимы движения и, в-третьих, с помощью построения сечений Пуанкаре продемонстрировать характер хаотических режимов движения в зависимости от степени упругости конструкции аппарата. 3.3 Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата переменной массы с упругими свойствами конструкции
Для КА переменной массы с упругими свойствами конструкции запишем выражения для моментов инерции в виде: Знак «минус» во втором уравнении необходим для того, чтобы обеспечить убывание одного момента инерции при увеличении другого. Все три момента инерции одновременно увеличиваться не могут.
Далее, следуя формализму метода Пуанкаре-Мельникова, для моментов инерции (3.39) необходимо записать функцию Мельникова, затем по этой функции обнаружить возможные хаотические режимы движения и построением сечений Пуанкаре при различных значениях параметра є показать характер хаотических режимов движения.
Однако существует одно обстоятельство, которое не позволяет непосредственно применить данный формализм к рассматриваемому КА с переменными моментами инерции. Обсудим его.
Если подставить имеющиеся соотношения для зависящих от времени моментов инерции КА(3.39) в уравнения движения (1.81), то в результате получим неавтономную систему. Применимость же метода Мельникова строго доказана в его работе [22] только для автономных систем.
Предлагается обойти это несоответствие, «заморозив» моменты инерции КА, и считать их постоянными и имеющими значения, определённые для некоторых выбранных моментов времени. Тогда для этих постоянных моментов инерции можно построить функцию Мельникова в соответствии с (3.37) и проанализировать её, а затем построить и проанализировать сечения Пуанкаре.
Предложенный подход позволит использовать формализм Пуанкаре-Мельникова и для КА переменной массы с упругими свойствами конструкции. В качестве примера приведём анализ движения ранее рассмотренного в главе 2 ( 2.3) КА, переменность массы которого определяется работой ЖРД. Пусть элементы БТБ имеют сферическую форму, и используется способ вытеснения топлива «вниз» (п. 2.3.3).
Примем, что КА имеет малую динамическую асимметрию, характеризуемую малым параметром ju. Пусть моменты инерции КА вычисляются, как и ранее в главе 2 согласно (2.29), и дополнительно к ним имеются соотношения, определяющие отличие момента инерции 5 (/) от момента инерции Аш (7): BKA(t) = BK+BT(t)-Mzl BT(t) = AT(t), ВК=(\-М)АК. (3.40) Без ущерба для общности анализа выберем такой момент времени работы ЖРД, при котором можно пренебречь массой израсходованного топлива. Не будем проводить построение функции Мельникова, поскольку оно ничем не отличается от построения, проведённого в п. 3.2.1 и подтверждённого там же результатами численного интегрирования функции.
Увеличение динамической несимметричности КА и малого параметра є, характеризующего упругие свойства конструкции, приводит к усложнению структуры фазового пространства.
Из рисунка 3.20 следует, что на сечении Пуанкаре по сравнению с рисунками 3.17-3.19 ярко выражена зона хаотического движения, также как и на рисунках 3.5-3.9, 3.12-3.16, и кроме того появляются новые зоны колебательного движения (например, 1, 2, 3, 4).
Таким образом, для КА переменной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции метод Пуанкаре-Мельникова можно использовать только для фиксированных моментов инерции.
Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата переменного состава с переменной массой [т = var), трёхосным эллипсоидом инерции м(7) B(t) С(0)и УПРУГИМИ свойствами конструкции аппарата (f O) позволяет построить функцию Мельникова и обнаружить возможные хаотические режимы движения и с помощью сечений Пуанкаре наглядно представить характер движения только при фиксировании моментов инерции.
Предложенная методика анализа хаотической динамики, основанная на методе Пуанкаре-Мельникова, может быть применена для космических аппаратов постоянной и переменной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции.
