Содержание к диссертации
Введение
1. Методы решения уравнениятермодиффузии и определения теплоты переноса (обзор) 9
1.1. Определение теплоты переноса по скорости движения атомов в области пика концентрации 11
1.2. Решение уравнения термодиффузии в приближении поля внешних сил и определение теплоты переноса по скорости движения пика концентрации 12
1.3. Скорости движения пика и центра масс профиля и определение теплоты переноса 14
1.4. Решение уравнения термодиффузии с учетом температурной зависимости коэффициента диффузии 17
Выводы 20
2. Математическое описание термодиффузии для двухкомпонентнои системы при постоянном градиенте температуры 22
2.1. Решение уравнения термодиффузии для постоянного источника и бесконечно тонкого слоя 25
2.1.1. Диффузия из постоянного источника 25
2.1.2. Диффузия из бесконечно тонкого слоя 27
2.1.3. Переход к безразмерным переменным и приведение решений к виду, удобному для анализа 31
2.1.4. Точные решения уравнения термодиффузии 32
2.2. Эволюция гауссового концентрационного профиля в температурном поле 40
2.2.1. Решение уравнения термодиффузии для гауссова источника в случае Е - Q* 42
2.2.2. Решение уравнения термодиффузии для гауссова источника в случае E-2Q* 50
2.3. Особенности поведения концентрационных профилей в 56
температурном поле с постоянным градиентом температуры
Выводы 69
3. Исследование решений уравнения термодиффузии и определение теплоты переноса
3.1. Решения, учитывающие в нулевом приближении температурную зависимость термодиффузионных коэффициентов
3.1.1. Учет температурной зависимости коэффициента диффузии 76
3.1.2. Учет температурной зависимости термодиффузионного фактора 78
3.1.3. Совместный учет температурной зависимости коэффициента диффузии и термодиффузионного 80 фактора
3.2. Влияние замены переменных -> х на вид решения, полученного в нулевом приближении 82
3.3. Влияние подстановки U = C(x,t)exp\- Q* ІкТ(х)\ и замены переменных -» х на вид концентрационного профиля в переменных -> х на вид концентрационного профиля в линейном приближении 84
3.4. Анализ решения, полученного в линейном приближении, и его аппроксимация для малых значений параметра Д. 86
3.5. Способы определения теплоты переноса, учитывающие температурную зависимость коэффициента диффузии и термодиффузионного фактора 89
3.5.1. Способы определения Q в нулевом приближении разложения функции 1/Т(х) в ряд Маклорена 89
3.5.2. Способы определения Q в линейном приближении разложения функции 1/Т(х) в ряд Маклорена 93
3.6. Теплота переноса как величина, влияющая на координатную зависимость энергетических характеристик процесса 94
термодиффузии
Выводы 97
4. Диффузия легирующих примесей в кремнии при быстром неизотермическом отжиге 99
4.1. Установка термоградиентной обработки пластин 101
4.2. Баланс тепла в облучаемой пластине 102
4.3. Диффузия бора, фосфора и мышьяка в кремнии при БТО 104
4.3.1. Методика проведения эксперимента 104
4.3.2. Диффузия бора при БТО в секундном диапазоне 105
4.3.3. Диффузия фосфора при отжиге в секундном диапазоне 116
4.3.4. Диффузия фосфора и мышьяка при неизотермическом 117
отжиге в минутном диапазоне
Литература
- Решение уравнения термодиффузии в приближении поля внешних сил и определение теплоты переноса по скорости движения пика концентрации
- Переход к безразмерным переменным и приведение решений к виду, удобному для анализа
- Учет температурной зависимости коэффициента диффузии
- Диффузия бора, фосфора и мышьяка в кремнии при БТО
Введение к работе
Актуальность темы. Характерным примером процесса переноса, в котором учитывается взаимное влияние двух потоков, диффундирующего вещества и тепла, служит неизотермическая диффузия (или термодиффузия). Движущими силами термодиффузии являются градиенты химического потенциала (концентрации) и температуры. Наличие градиента температуры позволяет получить новую, по сравнению с обычной изотермической диффузией, информацию об особенностях диффузионного процесса и его параметрах. Одним из таких параметров является теплота переноса, которая характеризует способность атома переносить тепло в процессе диффузии. При неизотермических условиях теплота переноса оказывает существенное влияние на вид концентрационных профилей, характеризующих пространственное распределение диффундирующих атомов. Это влияние зависит как от свойств самих диффундирующих атомов, так и от свойств среды, в которой происходит диффузия. Исследование связей теплоты переноса с характеристиками термодиффузионного процесса позволяет объяснить особенности неизотермических концентрационных профилей и предложить новые методы управления распределением примеси с помощью градиента температуры.
Влияние градиента температуры необходимо учитывать и в диффузионных процессах полупроводниковой технологии. В последнее время, в связи с тенденцией уменьшения глубины залегания р-п перехода, широкое распространение получили технологии с применением «ударных» температурных методов воздействия на кристалл с использованием лазеров и мощных источников некогерентного излучения. При этом в приповерхностной области облучаемого образца в течение сравнительно небольшого промежутка времени поглощается значительное количество энергии. Подобные воздействия могут приводить как к появлению очень высоких значений градиента температуры, достигающих значений 106 - 108 К/м, так и аномально высоких эффективных коэффициентов диффузии, связанных с высокой концентрацией неравновесных дефектов. При таких условиях уже нельзя пренебрегать температурной составляющей диффузионного потока вещества. Кроме того, при решении диффузионных задач в этом случае необходимо учитывать сильную температурную зависимость коэффициента диффузии.
Таким образом, исследование особенностей концентрационных профилей в неоднородных температурных полях актуально в научном и практическом плане в связи с тем, что:
- не разработана математическая модель диффузии в сильных температурных полях, которая могла бы служить основой для описания распределения легирующей примеси при лазерной диффузии и лазерном отжиге;
не исследовано влияние градиента температуры на расплывание концентрационного профиля ионноимплантированных примесей в неравновесных условиях, характеризующихся высокой концентрацией точечных дефектов при быстрых термических процессах;
- существует необходимость создания новых методов управления распределением примеси, в качестве которого может выступать метод управления формой концентрационного профиля диффундирующих атомов с помощью градиента температуры.
Целью настоящей работы является: теоретическое и экспериментальное исследование влияния градиента температуры на эволюцию концентрационных профилей при диффузии легирующих примесей в полупроводниках.
Для достижения этих целей были поставлены следующие задачи:
Решить уравнение термодиффузии для бесконечно тонкого слоя, постоянного и гауссова источников с учетом температурной зависимости коэффициента диффузии.
Выявить основные факторы, влияющие на вид центрального и хвостового участков концентрационных профилей при диффузии в температурном поле.
3. Установить связь теплоты переноса с параметрами процесса
термо диффузии и предложить методы ее определения.
4. Исследовать влияние градиента температуры на концентрационные
профили бора, фосфора и мышьяка при быстром постимплантационном отжиге
кремниевых пластин.
Научная новизна
Впервые получены аналитические решения уравнения термодиффузии для диффузии из бесконечно тонкого слоя, постоянного и гауссова источника с учетом температурной зависимости коэффициента диффузии.
Впервые показано, что при больших градиентах температуры вид центральной части концентрационного профиля определяется величиной и знаком произведений градиента температуры, соответственно на теплоту переноса и на приведенную энергию активации, а хвостовой части -градиентом температуры.
Получены экспериментальные профили распределения бора, фосфора и мышьяка в кремнии при быстром неизотермическом отжиге и впервые дана теоретическая интерпретация их особенностей.
Практическая значимость
Полученные результаты могут быть использованы как для корректировки традиционных изотермических технологий, так и для создания новых методов управления распределением примеси с помощью градиента температуры.
Найденные в работе зависимости между характеристиками неизотермических концентрационных профилей и теплотой переноса позволили предложить новые экспериментальные методики определения теплоты переноса.
На защиту выносятся:
1 .Аналитические выражения, описывающие процесс неизотермической диффузии из бесконечно тонкого слоя, постоянного и гауссова источников.
Методики определения теплоты переноса по разности поверхностных концентраций и расстоянию между хвостами неизотермических профилей.
Особенности поведения примеси в приповерхностной области и на хвостах концентрационных профилей при диффузии в сильных температурных полях.
Феноменологическая трактовка теплоты переноса, как параметра, влияющего на координатную зависимость энергетических характеристик процесса диффузии - энергии активации и химического потенциала.
Экспериментальные результаты по быстрому неизотермическому отжигу кремниевых пластин, легированных ионами бора, фосфора и мышьяка и их физическая интерпретация.
Апробация работы. По результатам исследований были сделаны доклады на X Международного симпозиума «Тонкие пленки в электронике» в 1999 году в Ярославле, на международной рабочей группе по физике поверхности и наноструктур в 2001 году в Ярославле, на Всероссийской научно-технической, конференции «Микро- и наноэлектроника» в 2001 году в Звенигороде, на международных конференциях «Микро- и наноэлектроника» (ICMNE-2003 -ICMNE-2003) в 2003 и 2005 годах в Звенигороде, на VII Росийско-Китайском симпозиуме «Новые материалы и технологии» (VII Russian-Chinese Symposium "New Materials and Technologies") в 2003 году в Москве, на IX международной конференции «Electronic Devices and Systems» (EDS'2004) в 2004 году в Брно.
Публикации
По теме диссертации опубликованы 17 печатных работ, в том числе 6 работ в отечественных и зарубежных журналах и 11 работ в трудах конференций.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 141 страницу машинописного текста, включая 22 рисунка и списка литературы из 73 наименований.
Решение уравнения термодиффузии в приближении поля внешних сил и определение теплоты переноса по скорости движения пика концентрации
Термодиффузия в твердых телах является одним из процессов переноса, имеющих важное практическое значение [1 - 2]. Большинство исследований, связанных с наличием в системе градиентов концентрации и температуры, выполнены на металлах и сплавах. Первый критический обзор этих данных был опубликован в работе [3]. С развитием ядерной энергетики возник интерес к термодиффузии в окислах металлов, которые в связи с технологическими условиями часто нагреваются в неоднородном температурном поле [4]. Дальнейшее расширение исследований в этой области связано с появлением полупроводниковых приборов и развитием микроэлектроники [5]. Наличие температурного градиента в полупроводниковых материалах является внутренне присущим свойством некоторых технологических процессов при изготовлении интегральных схем [1], [2], [5]. В частности, при высокотемпературном отжиге (свыше 450 С [6]) аморфизованного при ионной имплантации кремния кристаллизация нарушенного слоя происходит преимущественно с помощью твердофазной эпитаксии. Выделяющаяся на фронте кристаллизации теплота приводит к возникновению температурного градиента, величина которого может достигать очень высоких значений. Исходя из вычислений, представленных в работах [7], [8] по распределению температуры на границе расплав-кристалл и данных по теплоте кристаллизации аморфного кремния и скорости движения фазовой границы (см. напр. [6]) можно ожидать значений градиента температуры 105 - 106К/м. При лазерном отжиге градиент температуры по толщине отжигаемого слоя может достигать значений вплоть до 10 К/м [9]. Существенное влияние может оказывать градиент температуры на перераспределение примеси в процессе стимулированной диффузии, характеризующейся высоким значением эффективного диффузионного коэффициента, при быстром термическом отжиге ионно-имплантированных полупроводников. Имеющиеся экспериментальные данные показывают сильную зависимость положения хвостов неизотермических концентрационных профилей от знака градиента температуры [10]. Известно, что при быстром термическом отжиге ионно-имплантированных структур высокие значения коэффициентов стимулированной диффузии связаны с высокой концентрацией собственных неравновесных дефектов материала подложки [11-12]. Теория влияния температурного градиента на диффузию примеси в этих условиях не разработана. Вместе с тем, решение этой проблемы может иметь важное прикладное значение, т.к. градиент температуры можно рассматривать в качестве дополнительного управляющего параметра, влияющего на распределение примеси. Можно надеяться, что при правильном выборе параметров процесса неизотермического отжига удастся осуществить сдвиг хвостов концентрационных профилей в нужном направлении и тем самым добиться уменьшения глубины залегания р-п переходов.
Поведение примеси в условиях неоднородного распределения концентрации и температуры определяется рядом параметров, ключевыми из которых являются градиент температуры VT и теплота переноса Q, характеризующая величину и направление потока вещества, обусловленного температурным градиентом. Зная Q и V7", можно, в принципе, определить концентрацию примеси C(x,t) в момент времени / в точке х, используя методы машинного моделирования или аналитическое выражение для C(x,t). К сожалению, до настоящего времени точного решения уравнение термодиффузии получить не удалось, а известные - выполнены с той или иной степенью приближения.
Сделаем обзор основных методов решения уравнения термодиффузии и определения теплоты переноса. Отметим их достоинства и недостатки и обоснуем необходимость поиска простых решений, удобных для практического анализа процесса и, в то же время, учитывающих температурную зависимость ЩТ(х)] и Q /[kT(x)\
Переход к безразмерным переменным и приведение решений к виду, удобному для анализа
Точные решения уравнения термодиффузии Анализируя уравнение (2.11), заметим, что приведенный коэффициент диффузии D =D0Qxp{-(E-2Q )/kT) принимает постоянное значение не только при Т = const, но и в частном случае E = 2Q . Тогда уравнение (2.11) принимает вид 8 = D0d-X. (2.58) dt д{ Его решения для постоянного источника и бесконечно тонкого слоя общеизвестны (см. например [35]). Для постоянного источника / = tf0erfc-jL=; (2.59) 2pJ для бесконечно тонкого слоя (2.60) N и= :ЄХр фгі\і 4DQt где N - количество вещества в слое, толщина которого выражена в приведенных координатах Приведем эти решения к стандартному виду, выразив их через концентрацию С и коэффициент диффузии (0) = Ц,ехр(-Е/кТ0). Учитывая (2.5) и тот факт, что exp( E/kT0) = exp(-2Q /кТ0) для постоянного источника сразу же получим ехр - У Q i 1 о У (2.61) ж erfc С = С0 ехр № т0 о У ZjD(0)t
Чтобы записать решение для бесконечно тонкого слоя необходимо найти значение постоянной N . Снова повторяя выкладки (2.36)-(2.38) приходим к выводу, что N = N. Тогда С = N л/я-ДОу ехр & ( Щ) т0) ехр ( ехр .Q Ж 4D(0)t \\ /У (2.62) В безразмерных переменных, соответственно, имеем: ( (2.63) erfc -і 240 (Гехр(-д))2 Я W) Cr = ехр (2.64) ехр -1 Ж) c iXieh С другой стороны, полагая в формулах (2.32), (2.33), (2.50), (2.51), (2.54) Оо = 0 и переходя к пределу при (XQ - 0 в формуле (2.55), снова получим для постоянного источника и бесконечно тонкого слоя те же соотношения (2.61) и (2.62). Этот, тривиальный, на первый взгляд, факт имеет весьма нетривиальные последствия. Он позволяет асимптотические решения (2.53) и, соответственно, 1,0
Концентрационный профиль распределения примеси СГ(Х, 0) для диффузии из постоянного источника в обычных (слева) и полулогарифмических (справа) координатах (е = 16, 0= 1, G принимает значения: -0.05, 0, 0.05). a) q = 6; б) q = - 6. 3 4
Координата (отн. ед.) 1.Е+01 G = - 0,05 G = 0 1.Е+00 . Г! — П ПЧ і I 1.Е-01 \ - о.\-I шІ о \ \ 4 1.Е-02 \ 1.Е-03 0 12 3 4 Координата (отн. ед.) уже давно стало классическим. Здесь J = -DVC (2.67) поток растворенного вещества, D - коэффициент диффузии; ARP - рассеяние распределения или стандартное отклонение (страглинг) проецированного пробега Rp (в дальнейшем, для простоты будем полагать Rp = 0); х - текущая координата в случае одномерной диффузии; N - доза имплантации в точке х = 0;t- время.
Для диффузии в полуограниченную среду с отражающими границами оно получается из общего решения подстановкой вместо C(E, ,0) распределения (2.66). Решение, как известно, описывается формулой [28]: ( Если ввести характеристическое время гс помощью соотношения 2DT = Мгр , то выражение (2.69) примет вид решения для диффузии из бесконечно тонкого слоя в неограниченную среду со смещенным на величину г началом отсчета времени.
Этот результат представляется вполне естественным, т.к. диффузия из бесконечно тонкого источника описывается той же функцией, что и начальное распределение примеси (2.66). Если бы в процессе диффузии расплывание профиля происходило по другому закону, то мы не смогли бы получить исходный гауссов профиль простым смещением начала отсчета времени. Именно такая ситуация реализуется при описании диффузии из бесконечно тонкого слоя в температурном поле с постоянным градиентом температуры.
В работе [32] получено решение уравнения термодиффузии для этого случая с учетом температурной зависимости коэффициента диффузии в линейном приближении разложения функции 1/Т(х) в ряд Маклорена. Анализ этого решения показывает, что диффузионный профиль не обладает осевой симметрией относительно оси, проходящей через его максимум. Следовательно, в процессе эволюции такой профиль не может обладать симметрией гауссова профиля и такое начальное распределение для него является неестественным. А это, в свою очередь, исключает возможность использования решения для бесконечно тонкого слоя, полученного в работе [32] для решения уравнения термодиффузии из гауссова источника простым смещением начала отсчета времени. Найдем решения уравнения диффузии в поле постоянного градиента температуры для гауссова источника в двух важных частных случаях: Е = Q и Е = 2Q . Первое решение, как будет показано ниже, соответствует диффузии по междоузлиям, а второе, полученное при более сильных предположениях, соответствует точным решениям уравнения термодиффузии для постоянного источника и бесконечно тонкого слоя.
Учет температурной зависимости коэффициента диффузии
. Решения описывают диффузию из постоянного источника и бесконечно тонкого слоя и представлены в виде асимптотических рядов, полученных в предположении малых времен диффузии. В случае E = 2Q (Е - энергия активации) получены точные нетривиальные решения уравнения термодиффузии для диффузии из постоянного источника и бесконечно тонкого слоя. Установлено, что при стремлении параметра Г = (е - 2#)GV0 к нулю асимптотические решения сходятся к точным. Этот факт позволяет рассматривать асимптотические решения, полученные в предположении малых времен диффузии, как «возмущения» точных решений по малому параметру Г = (е - 2q)G4, имеющему смысл характерной диффузионной длины. Такой подход позволил расширить область применения асимптотических решений и выделить из них линейные по малому параметру Г приближения, удобные для сравнения с экспериментальными данными.
Также получены решения уравнения термодиффузии для гауссова источника в двух важных частных случаях: E = Q , соответствующего диффузии в слабых температурных полях при больших значениях дрейфовой составляющей термодиффузионного потока, и E = 2Q , соответствующего диффузии в сильных температурных полях. Они имеют одинаковый вид Cr=K CiS0[hWx, но различаются структурой входящих в него функций. Оба решения с хорошей точностью описывают распределение примеси в центральной части концентрационного профиля. В хвостовой части профиля поведение примеси для случая E = 2Q находится в полном соответствии с поведением примеси при диффузии из постоянного источника и бесконечно тонкого слоя. В случае же E = Q" такого соответствия не наблюдается в силу более слабых приближений, используемых при решении уравнения термодиффузии.
Проведен анализ особенностей неизотермических концентрационных профилей, построенных в соответствии с полученными решениями. Показано, что эти особенности связаны с величиной и знаком градиента концентрации примеси в приповерхностной области, а также с взаимным расположением неизотермических кривых, соответствующих разным знакам градиента температуры, в приповерхностной области и на хвостах концентрационных профилей. В приповерхностной области градиент концентрации примеси для диффузии из бесконечно тонкого слоя и гауссова источника определяется знаком произведения теплоты переноса на градиент температуры. Для постоянного источника это произведение оказывает влияние на градиент концентрации примеси в приповерхностной области, но не является определяющим вследствие бесконечно большого начального градиента концентрации.
Установлено, что температурная зависимость коэффициента диффузии оказывает влияние на вид неизотермических профилей при значениях безразмерного градиента температуры G 0,005. Взаимное расположение неизотермических концентрационных кривых определяется значениями произведений градиента температуры, соответственно на теплоту переноса и на приведенную энергию активации на всех участках концентрационных профилей в слабых температурных полях (G 0,005), и в приповерхностной области - в сильных температурных полях (G 0,005). При больших градиентах температуры (G 0,005) его влияние становится подавляющим на хвостах неизотермических концентрационных профилей и определяет их взаимное расположение для всех рассмотренных источников диффузии примеси.
Для объяснения наблюдаемых особенностей на хвостах неизотермических концентрационных профилей при диффузии из постоянного источника и бесконечно тонкого слоя поток диффундирующего вещества Jr представлен в виде суммы концентрационной Jrc и температурной составляющей Jrf. Отношение этих составляющих потока при больших значениях безразмерной координаты X: JrT/JrC =-2qGQ/[X(\ + GX)2\. Это соотношение позволяет, оставляя только слагаемые линейные по малому параметру G, имеющему смысл безразмерного градиента температуры, перейти от термодиффузионного потока вещества к потоку вещества, описывающему изотермическую диффузию Jr = De//M,VCr с эффективным коэффициентом диффузии Deff = \ + eGX-2qGQ/[x(l + GX)2\. Введение эффективного времени диффузии 0eff=Defft/(AL2) (ЛІ - характерная длина) позволяет поставить в соответствие неизотермическим решениям с временем 0 изотермические решения со временем 0ф Тогда взаимное расположение неизотермических и изотермических профилей будет определяться соотношением между 0 и 0ф На основе анализа соотношения между 0 и 0е// сделан вывод, что при больших градиентах температуры распределение примеси в центральной части концентрационного профиля определяется силовым полем, пропорциональным произведению qG, а на хвостах профиля -только градиентом температуры. При больших q и малых G положение неизотермических профилей относительно изотермического определяется только силовым полем пропорциональным qG.
Диффузия бора, фосфора и мышьяка в кремнии при БТО
Обобщив результаты, полученные в предыдущих разделах, о влиянии подстановок типа C(x,t)exp[P/ кТ(х)] (Р = const) и замены переменной - х на структуру решения уравнения диффузии в температурном поле, можно сделать следующие выводы. Влияние температуры на термодиффузионные коэффициенты - D[T(x)] и Q /кТ(х) - может быть учтено на каждом этапе получения решения в линейном приближении независимо друг от друга (формула (2.53)). Появление экспоненциального множителя K(Q в этом решении в первую очередь связано с подстановкой U(x,t) = C(x,t)exp[-Q /kT(x)J. Второе слагаемое в фигурных скобках решения (2.53) появляется при учете линейного члена в разложении функции 1/Т{) в ряд Маклорена. При у = а0 D 0t - 0 это слагаемое также стремится к нулю и структура решения, полученного в нулевом приближении совпадает со структурой решения, полученного в линейном приближении.
Таким образом, отбрасывая в формуле (2.53) второй член в фигурных скобках, мы все же сохраняем информацию о температурной зависимости термодиффузионных коэффициентов - коэффициента диффузии и термодиффузионного фактора - но сильно упрощаем вид конечного решения. Полагая в формулах (2.53) - (2.55) JDj и у « 1, получим Решение (3.67) обладает той же структурой, что и все решения, полученные в нулевом приближении. Оценим ошибку, которую мы совершаем, отбрасывая слагаемое с функцией etfcW( !;,t) при малых значениях / и D Qt. Т.к. при этих условиях Л(,/)»1, то вначале сравним с единицей величину Полагая Q Е Е - 2Q 1 эВ, Т 103 К, V71 105 КУм, ДО) 10"14 м2/с (самодиффузия золота [15]), / — 10 с, найдем, что величина выражения (5.61) 5x10"3. Следовательно, при / - 0 в области пика концентрации C( ,t) влиянием этого слагаемого можно пренебречь. При малых значениях а функция W{%,i) слабо отличается от функции x/\lsjD(0)tJ и относительная скорость убывания экспоненциальной функции и дополнительной функции ошибок в фигурных скобках выражения (2.53) (exP[-rfe0l) W{ t) (erfc foO) иФ) растет с увеличением х. Т.е. второе слагаемое с функцией erfc Ж(,0 при малых значениях у сказывается только на "хвостах" профиля.
Таким образом, при малых значениях параметров у и /3 выражения (3.66 - 3.67) с хорошей точностью описывают процесс диффузии в температурном поле в области характерных особенностей концентрационного профиля вблизи пика концентрации.
Как видно из выражения (3.67) при малых значениях параметра (5 профиль симметричен. Асимметрия профиля проявляется с увеличением значения Р и может быть описана более общим выражением (х),,] = - ехр[-Г(0], (3.71) где K( ) и JV(,i) определяется формулами (3.63) и (3.64). Учет в уравнении термодиффузии температурной зависимости экспоненциального множителя типа ехр(- Р/кТ(х)) приводит к появлению в его решениях множителя exp{(P/&)[(l/r(je))-(l/r0)]}, который оказывает существенное влияние на зависимость C(x,t), что выражается в асимметрии профиля. Для малых значений параметра /3 = xVT/T и показатель экспоненты становится линейной функцией по JC. Хотя в этом случае профиль остается симметричным, но скорость движения максимума и его величина сильно отличаются от соответствующих зависимостей, выведенных без учета этого множителя.
Различный вид решений C(x,t) при учете температурной зависимости сомножителя ехр(- Р/кТ(х))в зависимости от значения Р и способа решения уравнения термодиффузии показывают, что даже при малых /3 нулевого приближения ехр(- Р/кТ(х)) для адекватного описания процесса недостаточно. Чтобы оценить теплоту переноса следует пользоваться линейным приближением (2.53), полученном в работе [34]. Для малых значений j3 выражение (2.53) можно привести к виду (3.66), простота которого позволяет предложить ряд удобных способов для определения теплоты переноса.
