Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояния в запрещенной зоне кристалла, локализованные в области неоднородности внешнего поля .. 14
1.1. Вывод уравнений двухзонной модели 15
1.2. Туннельные состояния 18
1.3. Состояния таммовского типа 22
1.4. Влияние на спектр кристалла примеси, обладающейїдаїольньш моментом 26
1.5. Обсуждение результатов 30
Глава 2. Влияние взаимодействия с заряженной дримесво на туннелирование 37
2.1. Пороговое поведение одноэлектронного туннельного тока 37
2.2. Учет взаимодействия туннелирующего электрона с заряженной примесью 39
2.3. Вычисление элементов S - матрицы 47
2.4. Квазиклассическое приближение в случае потенциала с аксиальной симметрией 54
2.5. Обсуждение результатов 61
Глава 3. Эффект од на основе резонансного туннелированйя 68
3.1. Введение 68
3.2. Резонансная ОДЦ в модели Фридкина-Ваннье. Одномерный случай 70
3.3. Результаты численного расчета ВАХ в трех мерном случае 73
3.4. Обсуждение результатов 76
Глава 4. Туннелирование в полупроводниках в магнитном поле 82
4.1. Полупроводник со сложной структурой валентной зоны в магнитном и электрическом полях 82
4.2. Обсуждение результатов 87
Заключение 90
Литература 92
- Влияние на спектр кристалла примеси, обладающейїдаїольньш моментом
- Учет взаимодействия туннелирующего электрона с заряженной примесью
- Квазиклассическое приближение в случае потенциала с аксиальной симметрией
- Резонансная ОДЦ в модели Фридкина-Ваннье. Одномерный случай
Введение к работе
Обзор. Туннелирование - одна из. наиболее ярких и неожиданных с классической точки зрения концепций квантовой физики. Ее пониманию и развитию способствовало успешное объяснение многочисленных экспериментальных Фактов, о которых кратко упомянуто ниже.
В 1928 г. Фаулер и Нордгейм [і] на основе электронного тунне-лирования объяснили основные черты явления холодной эмиссии из металлов под воздействием сильного внешнего электрического ПОЛЯ. Почти сразу эти идеи нашли дальнейшее применение при рассмотрении <* - распада как процесса туннелирования в работах Гамова [2] и іурни и Кондона [3] .
Особую роль концепция туннелирования играет в теории твердого тела, как при построении самой теории, так и при объяснении отдельных экспериментальных результатов. Туннельные явления в твердых телах можно разделить на две категории: I) туннелирование в системах проводник-изолятор-проводник (или полупроводник) и 2) межзонное туннелирование в одном и том же полупроводнике.
Рассматривая явления первого типа, Френкель [4] в 1930 г. предположил, что аномальную температурную зависимость сопротивления контакта двух металлов можно объяснить туннелированием через разделяющий их узкий зазор. Это объяснение подтвердилось измерениями Хольма и Мейсснера [б].
В 1934 г. Зинер [б] предложил идею межзонного туннелирования или внутренней электронной эмиссии для объяснения пробоя в диэлектриках. Он вычислил вероятность перехода из заполненной зоны в следующую, расположенную выше незаполненную зону под действием электрического поля. В сущности он показал,что запрещен-
_ 5 -
нуго зону можно рассматривать как потенциальный барьер. Это явление для своего наблюдения требует, однако, специальных типов переходов, чтобы раньше не развивались лавинные процессы (узкие р-п переходы). Успешным развитием этого направления явилось создание Эоаки в 1957 г. туннельного диода [т\.
В работах Живера и других |8,9] было показано, что электронное туннелирование является мощным инструментом исследования сверхпроводников. Здесь следует упомянуть как работы по прямому наблюдению щели в спектре элементарных возбуждений сверхпроводника [8,9], так и работы, приведшие к открытию эффекта Джозеф-сона [ю]..
В 60-х годах многочисленные результаты по туннелированию в узких р~п переходах привели к убеждению, что простые идеализированные теории могут быть далеки от реального положения дел в эксперименте. Большинство теорий туннелирования основывалось на следующих приближениях: приближение эффективной массы, приближение однородного поля, одноэлектронное приближение и др. Дальнейшее развитие теории туннелирования в полупроводниках велось по пути выхода за рамки этих приближений. Так, в работе 1] была предложена модель неоднородного поля (т.н. модель Фридкина-Ваннье). Вероятность туннелирования в этой теории вычисляется с помощью формализма теории рассеяния. Кейн [12] провел анализ избыточного тока, наблюдавшегося на вольтамперных характеристиках (ВАХ) туннельных диодов и не объяснимого с точки зрения одноэлектронной теории. Избыточный ток появляется при напряжениях смещения, приложенных к переходу, когда энергетические зоны уже не перекрываются и одночастичные процессы с сохранением энергии невозможны. Из анализа Кейна следует, что наиболее вероятным механизмом возникновения избыточного тока является
взаимодействие электрона с уровнями, появляющимися в запрещенной зоне благодаря примесям и дислокациям. Корреляции избыточного тока с концентрацией дислокаций наблюдались на опыте [l2] . Экспериментальные исследования переходов, проделанные на && , Si и inj& , подтвердили влияние примесного легирования на величину избыточного тока. Кроме того, на вид туннельной ВАХ влияет взаимодействие электрона с фотонами, фононами,плазмонами и другими квазичастицами и коллективными возбуждениями в твердо^ теле.
В 70-е годы в работах ряда авторов, и,прежде всего,Эсаки [14,15], идеи туннелирования получили дальнейшее развитие. Прежде всего было обращено внимание на тот (давно известный) факт, что резонансное туняелирование в системе двух или большего числа барьеров, когда энергия туннелирующего электрона равна (находится в резонансе) энергии связанного состояния между барьерами, приводит к увеличению вероятности прохождения, а,следовательно,и к увеличению туннельного тока. Кроме того, при выполнении некоторых условий этот эффект может привести к появлению участка с отрицательной дифференциальной проводимостью (ОДП) на ВАХ. Также было показано, что создание в кристалле периодической структуры (сверхрешетки) с периодом много больше периода основной кристаллической решетки приводит к расщеплению энергетической зоны основного кристалла на ряд минизон, что приводит к существенной нелинейности свойств кристалла (появление участка с ОДП на ВАХ и т.д.). Использование этих структур может привести к созданию твердотельных СВЧ - приборов с уникальными свойствами. Это лишний раз свидетельствует о плодотворности концепции туннелирования и обширности возможных приложений.
Следует отметить, что еще в 1963 г. была указана принципиаль-
ная возможность осуществления слоистых тонкопленочных электронных интерферометров и создания на их основе нового класса тонкопленочных электронных приборов: резонансных туннельных диодов, триодов и т.д. [іб] .
В последние годы интерес к туннельным явлениям не ослабел, о чем свидетельствует появление большого количества работ, посвященных различным аспектам туннелирования.
В работах [63,64] дано строгое рассмотрение вопроса о туннельной прозрачности неупорядоченных систем, к которым принадлежит примесный полупроводник, и показано, что прозрачность определяется специфическими траекториями, вдоль которых отсутствует затухание.
Вопросы применения метода туннельной спектроскопии для исследования энергетического спектра сложных полупроводниковых соединений в магнитном поле рассматривались в работах [б5,6б].
Описанию фотоэлектрических свойств туннельно-прозрачных структур и перспектив применения сверхрешеток для создания СВЧ-устройств посвящены работы [67,68,69].
Вопросы, связанные с поведением полупроводников в неоднородных внешних полях также представляют большой интерес для исследователей. В работе [70] дан обзор и развиты теоретические представления о движении и концентрации электронов и дырок в материалах, зонная структура которых зависит от координат-гетеропе-реходах, приборах с сильно легированными областями.
Актуальность проблемы диктуется все возрастающими требованиями к параметрам и условиям работы СВЧ -устройств (повышение мощности и увеличение верхнего предела по частоте), задачами исследования полупроводниковых материалов методами туннельной спектроскопии, а также возможностью исполь-
зования туннельных устройств в качестве чувствительных датчиков внешних воздействий: электрического и магнитного полей, давления и др. Резонансный туннельный эффект реализован в сверхрешетках, представляющих собой искусственную структуру из чередующихся потенциальных барьеров и ям. В диссертации рассматривается возможность реализации резонансного туннельного эффекта на примесных состояниях в запрещенной зоне полупроводника, которая может обеспечить упрощение технологии изготовления туннельных резонансных устройств. Изучение состояний в запрещенной зоне полупроводника в неоднородном электрическом поле может быть важно для понимания особенностей работы твердотельных электронных приборов, подобно тому как изучение поверхностных состояний сыграло определенную роль в создании количественной теории полупроводниковых устройств ( ВДД - диодов, полевых транзисторов и др. ).
При рассмотрении туннельных явлений обычно считали массу тяжелых дырок бесконечно большой, отвлекаясь тем самым от сложной структуры валентной зоны реального полупроводника. Учет конечной величины массы тяжелой дырки при рассмотрении поведения полупроводника в электрическом и магнитном полях позволяет уточнить значения циклотронных частот, вероятности туннелиро-вания.
Целью диссертации является исследование особенностей межзонного туннелирования в полупроводниках с узкой запрещенной зоной и возможности создания на основе их использования СВЧ-устройств функциональной микроэлектроники.
Положения, выносимые на защиту:
І. В полупроводниках, помещенных во внешнее неоднородное электрическое поле, в запрещенной зоне возникают уровни, отве-
чающие состояниям, локализованным в области неоднородности поля.
Резонансное взаимодействие туннелирующего электрона с заряженной примесью приводит к появлению на вольягамперной характеристике (ВАХ) туннельного перехода характерной особенности в виде ступеньки» а на кривой проводимости - пика, положение и величина которых определяются положением примеси в туннельном переходе и энергией связи резонансного состояния.
Совместный учет эффекта резонансного туняелирования и неоднородного распределения резонансных центров (примесей) по туннельному переходу приводит к появлению на вольтамперной характеристике перехода участка с отрицательной дифференциальной проводимостью (ОДЦ).
В полупроводниках со сложной структурой валентной зоны, помещенных во внешнее электрическое и (или) магнитное поле наблюдаемые величины (циклотронная частота, вероятность туннели-рования и т.д.) зависят от массы тяжелой дырки М.
Научная новизна работы заключается в следующем:
I. Введены понятия туннельного состояния и состояния таммов-ского типа в полупроводнике, помещенном во внешнее неоднородное электрическое поле. Туннельное состояние возникает благодаря тому, что туннелирование в неоднородном поле является двухка-нальной реакцией и представляет собой аналог порогового состояния в ядерной физике. Состояние таммовского типа возникает из-за нарушения трансляционной инвариантности кристаллического потенциала внешним неоднородным полем и при определенных условиях переходит в известное таммовское поверхностное состояние. Показано, что туннельные состояния изменяют шготность состояний вблизи порога туннелирования.
Впервые получено ассимптотически точное решение уравнений двухзонной модели Кэйна во внешнем электрическом поле и поле притягивающего кулоновского центра и на основании этого результата вычислена поправка к туннельному току, обусловленная резонансным эффектом, находящаяся в количественном согласии с экспериментом,
Показано (в одномерном случае - аналитически и численно в трехмерном), что неоднородное распределение резонансных центров по туннельному переходу приводит к появлению на вольтамперной характеристике туннельного перехода участка с отрицательной дифференциальной проводимостью.
Впервые в рамках двухзонной модели Кэйна с учетом тяжелых дырок рассмотрен полупроводник со сложной структурой валентной зоны, помещенный во внешнее электрическое и (или) магнитное поле . В квазиклассическом приближении получены выражения для вероятности туннелирования, циклотронных частот и критических полей с учетом конечной массы тяжелой дырки.
Практическая ценность работы определяется исследованием новых возможностей создания СВЧ-устройств, использующих туннельный эффект, теоретическим объяснением известных экспериментальных фактов, не получивших ранее достаточного обоснования, предсказанием новых, ранее неизвестных явлений.
Результаты диссертации могут найти применение в СВЧ-элек-тронике, в туннельной спектроскопии.
Апробация работы и публикации. Материалы диссертации опубликованы в работах [24,34,58,59]. Результаты третьей главы докладывались на Л Всесоюзной межвузовской конференции по электронике GB4 (г.Киев, 1979 г.).
- II -
Кроме того, по результатам работы делались сообщения на семинарах теоретических отделов Института Физических Проблем АН СССР (1980 г.), ИРЭ АН СССР (1983,1984 гг.) и кафедры теоретической физики Саратовского государственного.университета.
Структура диссертации и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 70 наименований, в том числе 4 по работам автора, содержит 98 страниц машинописного текста, 10 иллюстраций.
В первой главе рассмотрено влияние на энергетический спектр кристалла неоднородного внешнего поля: электрического поля туннельного перехода и поля примеси, обладающей ди-польным моментом. И в том, и в другом случае влияние внешнего поля приводит к возникновению в запрещенной зоне кристалла дополнительного энергетического уровня. Показано также, что наличие порога в туннелировании в неоднородном поле приводит к образованию т.н. туннельных состояний, являющихся одномерным аналогом пороговых обстояний [22]. Показано, что поправка к плотности состояний в кристалле с нарушенной трансляционной инвариантностью решетки связана с появлением туннельных состояний.
Во второй главе в рамках двухзонной модели рассматривается взаимодействие электрона с заряженной примесью. Уравнения двухзонной модели Кэйна, в отличие от уравнения Шре-дингера для электрона в поле кулоновского центра и внешнем электрическом поле, не допускают разделение переменных. Разлагая решение в ряд по сферическим гармоникам, можно получить бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений, которые решаются обычно в усеченном виде, а затем исследуется сходимость последовательности усеченных решений. Такой подход оправдан в задачах ядерной
физики (и вообще в короткодействующих потенциалах), где вклад в полное сечение дает в основном только S - рассеяние и последовательность усеченных решений быстро сходится. В задачах атомной физики (к которым относится и настоящая задача) потенциал далънодействующий и изложенная процедура неэффективна. Вместо нее предложена процедура ассимптотического решения системы зацепляющихся уравнений, в результате которой последняя сводится к двум дифференциальным уравнениям в частных производных, одно из которых является уравнением непрерывности, а второе - уравнением Гамильтона-Якоби рассматриваемой задачи. Исследуется связь предложенного метода с квазиклассикой. В рамках предложенной модели исследуется влияние взаимодействия туннелирующего электрона с заряженной примесью на вольтамперную характеристику (ВАХ) туннельного перехода, вычислен вклад в туннельный ток от резонансного туннелирования, когда энергия электрона равна (находится в резонансе) энергии связанного состояния электрона на примеси.
В третьей главе представлены результаты аналитического и численного исследования совместного влияния на ВАХ туннельного перехода эффекта резонансного туннелирования и неоднородного распределения примесей по переходу и показывается, что учет этих двух факторов может приводить к появлению на ВАХ туннельного перехода участка с отрицательной дифференциальной проводимостью (ОДД). Отмеченное явление может быть положено в основу работы СВЧ-устройств, отличающихся от известных туннельных устройств (например, туннельного диода) большим уровнем тока и выходной мощности, обусловленными большей вероятностью резонансного туннелирования по сравнению с нерезонансным.
- ІЗ -
В четвертой главе диссертации рассмотрен полупроводник со сложной структурой валентной зоны, помещенный в скрещенные электрическое и магнитное поле. Рассмотрение ведется в рамках двухзонной модели Кэйна с учетом тяжелых дырок. Доказано, что учет связи легких и тяжелых дырок приводит к поправкам в выражениях для циклотронных частот электронов и легких дырок, в вероятности туннелирования и т.д. Эти поправки вычислены в первом приближении по М , где М - масса тяжелых дырок.
В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Влияние на спектр кристалла примеси, обладающейїдаїольньш моментом
Строго говоря, сказанное выше справедливо для постоянного параметра о( , но, поскольку факт пересеченш кривых определяется их локальными свойствами, можно распространить рассуждения и на случай d зависящего от 0( , как это имеет место в нашем случае. В первой запрещенной зоне решений (1.36) нет. Для каждой запрешенной; зоны с номером 1(1 -2) существует значение Vw;„ (k l) такое, что для V v появляется таммовский уровень. В 1-й запрещенной зоне может быть 1-і различных таммовских уровня, каждый из которых характеризуется своими порогами возникновения и исчезновения. На рис.2 представлены результаты численного решения уравнения (1.36) на ЭВМ для первых трех запрещенных зон в модели КП при Р -т . Цифровые индексы в обозначении 8 ік относятся к номе рам запрещенных зон, при перекрытии которых возник данный уровень. Численные результаты подтверждают сделанные выше качественные утверждения. Для уровней, представленных на рис.2, характерно, что tiK соответствует волновому вектору % , лежащему на границе одной из перекрывающихся запрещенных зон. б ік соответствует тому значению Vo , при котором пересечение кривых FC0 и d\(d%) в уравнении (1.36) переходит в касание и при дальнейшем изменении V0 исчезает. Рассмотрим влияние на спектр кристалла точечной примеси, обладающей отличным от нуля дипольным моментом. Метод, используемый в настоящем разделе, аналогичен методу, предложенному в работе [13] при рассмотрении подобного вопроса для обычной заряженной примеси. Ограничимся рассмотрением стационарных решений соответствующего уравнения Шредингера.
Последнее в представлении квазиимпульса, как известно [бо], имеет вид: Здесь Е„(к) - спектр и -й энергетической полосы невозмущен-ного кристалла, Ф (к) - волновая функция в представлении квазиимпульса, Vnwl(k)k y - матричный элемент возмущения, который для точечной дипольной примеси, расположенной в начале координат, имеет вид: L0- объем элементарной ячейки кристалла. После подстановки (1.38) в (1.37) последнее принимает вид: где интегрирование по к ведется по всей зоне Бриллюэна и по ее поверхности. Система (1.39) имеет нетривиальное решение только в том случае, если ее определитель равен нулю. Этот определитель имеет специальную форму: у него отличны от нуля только элементы, стоящие на главной диагонали и ближайшие к ним. Его можно представить (считая формально, что число зон в кристалле бесконечно) в виде сходящегося ряда Сходимость выражения (I.4I) по горизонтали обеспечивается зависимостью Хк, от энергии E i()t а по вертикали - малостью параметра X - \Л -гт=г. I , имеющего смысл отношения потенциальной энергии электрона в поле примеси к средней энергии электрона ви -й зоне. Фактически же число слагаемых в (І.4І) как по горизонтали, так и по вертикали ограничено, так как, начиная с некоторого и энергия электрона в кристалле попадает в непрерывный спектр, соответствующий свободному движению электрона.
В соответствии со сказанным,удержим в (І.4І) слагаемые порядка не выше А , т.е. пренебрежем слагаемыми, содержащими произведения Х„ , а в оставшемся выражении,ввиду сходимости последнего,будем удерживать конечное число членов. Тогда решения (І.4І) можно классифицировать на двухзонные, трехзонные и т.д. I. Двухзонное решение: І-г Є, 6І -0 . Расписав подробно и переходя, как и в [із], от интегрирования по к к суммированию по дискреаным уровням, получим: U - число дискретных уровней в зонах I и 2. Легко заметить, что уравнение (1.42) в запрещенной области энергий между зонами I и 2 решений не имеет, в разрешенных же областях влияние примеси, 2. Трехзонное решение: І-х бГ бі U, і І - 0 . Подставляя как и в [I4J, сводится к смещению уровней
Учет взаимодействия туннелирующего электрона с заряженной примесью
Рассмотрим теперь решение системы (1.8) для потенциала вида Vfc)=- -Fx , где 2?& - эффективный заряд примесного центра, F/je =Е - напряженность электрического поля, направленного вдоль оси X выбранной системы координат ( Є - заряд электрона). Перейдем от системы (1.8) к одному уравнению второго порядка.
Для этого исключим из (1.8) функцию v-Oi) и получим уравнение 2-го порядка для Фс(ъ) Второе слагаемое в фигурных скобках можно опустить, руководству-ясь теми же соображениями, что и в предыдущем разделе; » 1 . Третье слагаемое содержит у V $(ъ) и отлично от нуля только в одной точке Ч,- 0 . Поскольку мы интересуемся слабосвязанными состояниями, возникающими в результате периферических столкновений электрона с примесью, этим слагаемым также можно пренебречь. Таким образом,задача свелась к решению уравнения которое по структуре совпадает с квадрированным уравнением Дирака, применявшимся для исследования процессов в кристалле, помещенном во внешнем поле [l9j . Следуя работе [34J, будем решать (П.І2) следующим образом. Ищем решение (П. 12) в виде где S& + ось) = Sfr,)- классическое действие в переменных х- и t . Ниже в этом разделе будет показано, что такое разделение переменных в данном случае действительно возможно. В разделе 4 рассмотрена более подробно связь предлагаемого метода с обычным квазиклассическим подходом. Считая t,W » 1 получаем из Первое из уравнений (П.І7) - уравнение Гамильтона-Якоби; второе -уравнение непрерывности, которое после интегрирования дает АЫ= А/Ур } » гДе р6 )= - радиальный импульс, а постоянная А определяется нормировкой. Если в первом уравне-нии в (П .17) пренебречь центробежной энергией L /V2 , то переменные разделяются. При этом на больших расстояниях такая операция законна при любом Ь , а на малых она законна лишь _2 Т. ДЛЯ L "тр= = Lmax , ГДЄ 8с& - ЭНерГИЯ СВЯЗИ электрона с примесью (легко заметить, что выражение ДЛЯ L vna совпадает с выражением для главного квантового числа Y\ В слу чае полной сферической симметрии).
Смысл этого условия в том, что при U L vna исчезает кулоновская яма и эффективный потенциал становится всюду отталкивающим. Однако L Lvn в нашей задаче несущественны, поскольку нас интересуют решения ввда 2Г [ ОО-Я е 3 Мл М .да Хе to - решение той же задачи о туннелировании, но без учета кулонов-ского взаимодействия, которое может быть строго получено другим методом (см. раздел I). Это приводит к обрезанию суммы (или интеграла по L ) при U Lyn Поскольку мы рассматриваем НеГЛубОКИе ПрИМеСНЫе УРОВНИ (Т.Є. 5с& l A XLvnei » і и вышеизложенная процедура применима для I L $ L ы a . В область Li 4 делается обычная экстраполяция, свойственная квазиклассическому методу [Зб]. Пренебрегая в (П.І7) центробежной энергией, разделяем переменные (X/ - константа разделения. Поскольку при г- с ; оо F то о = ± I . Эта неоднозначность возникает из-за того, что тун-нелирование, строго говоря, представляет собой реакцию с двумя каналами. В нашем рассмотрении входным каналом является тот, в котором есть сходящаяся электронная волна в от— зоне - 7 Обычное туннелирование представляет собой неупругий канал этой реакции (упругость и неупругость понимается в смысле сохранения или несохранения номера зоны). В упругом канале общее решение имеет вид $г -S I , а в неупругом Sw Кс , где Xj -расходящиеся волны в от и с-- зонах соответственно; SWHS C элементы S - матрицы, причем S -v-1 +SUC - . Вычисление vv и S c проведено в разделе 3. Приведем здесь их окончательные выражения где В, = cxpjipldx-, 92=хрjlpldx ; 3= \pd%- ( о смысле с a, t обозначений см. рис.3). Квазистационарным связанным состояниям электрон + примесь отвечают значения Э= 2пл (п - целое). Волновые функции (П.ІЗ) должны быть нормированы на с - функцию от энергии, т.е. должно выполняться соотношение Подставляя в (П .21) явные выражения для функций (П.ІЗ), получаем При выводе (П.22) использовано условие ортонормированности сферических гармоник Таким образом,необходимая нормировка будет достигнута, если нор мировать функции /І (&) на S - функцию от энергии. При этом нормировочная постоянная А Это приводит к тому, что во всех последующих выражениях исчезает зависимость от L . Займемся теперь вычислением плотности туннельного тока в модели Фридкина-Ваннье [її] для электрического поля (см. главу I). Плотность электронного тока дается выражением Ёдесь к =Скц кх) - квазиимпульс электрона в зоне проводимости, к и и kj_ - составляющие вдоль внешнего поля и перпендику-лярно к нему; р(б)= (2JTU ) - плотность состояний (пороговыми и кулоновскими эффектами пренебрегаем),
Квазиклассическое приближение в случае потенциала с аксиальной симметрией
В настоящем разделе будет показано, что метод решения уравнения (П.12) совпадает по существу с квазиклассическим. Квазиклассическое приближенное решение уравнения Шредингера (или в более общем случае - приближение коротких волн) представляет собой нулевой член асимптотического разложения точного решения, по некоторому малому параметру. В качестве такого малого пара- метра берется , где к - волновой вектор, (X/ - расстояние, на котором потенциал заметно меняется, или (tO) « I » где . і - орбитальное квантовое число, 0 -угол рассеяния частицы. В квазиклассическом приближении решение уравнения Шредингера представляется в виде /-Э5 Г /1 где S - аооичеоков действие, a A ( J .Условиями применимости квазиклассического приближения являются, во-первых, требование S »Ъ , которое позволяет записать решение в виде (П.47) без интегрирования по классическим траекториям, и, во-вто рых, медленность изменения S , что позволяет разложить дейст вие в ряд и воспользоваться только первыми членами разложения (что и сделано уже в (П.47)). Это требование и приводит к нера венству ко/ Н или 10 »1 (Цл-0)»і) . Ниже будет показано, как используются эти условия на практике.
Пусть мы имеем У.Ш. с потенциалом, обладающим аксиальной симметрией Положим ради удобства 2кп= 1 . Представим решение (П.48) в виде где Ycm ($/ v - нормированная сферическая гармоника. Для К получим систему зацепляющихся уравнений Первое из уравнений (П.53) - уравнение непрерывности, которое не посредственно интегрируется и дает п(г) = (TTW . Второе - аналог уравнения Гамильтона-Якоби в смешанном ъ1 - представлении. Займемся его исследованием. Введем новую величину размерности действия и покажем, что с квазиклассическои точностью Юу - Для этого воспользуемся явным видом А . Выполняя несложные операции, убеждаемся, что такая замена возможна, если (5 ) » \ или S » \ , что является одним из условий квазиклассического ниєм квазиклассической точности и, в данном случае, с квазиклассической точностью рассмотрение не отличается от только что про- [ V\AV-деланного для т-0 .Однако, учет членов (TQJ допустим для vnv і ..
Резонансная ОДЦ в модели Фридкина-Ваннье. Одномерный случай
Учитывая, что по порядку величины -бу Нсг ОІ/ и WpC -i) Wp( J , видим, что условию (Ш.6) легко удовлетворить для достаточно больших смещений V і определяемых положением границы между резонансной и нерезонансной областями и в довольно широком интервале SV V-2.A . Одномерное рассмотрение помогает прояснить физику явления. ОДЦ возникает благодаря совместному действию резонансного туннелирования и неоднородного распределения резонансных центров по туннельному переходу. Условия приме- нимости критерия (Ш.6) ограничены тем,что при его выводе ширина пограничной области мевду областями нерезонансного и резонансного туннелирования считалась исчезающе малой. Непосредственно перенести результаты предыдущего раздела на трехмерный случай нельзя, так как нельзя быть заранее уверенным в том, что интегрирование по к± не приведет к исчезновению эффекта ОДЦ. Поэтому был проведен численный расчет ВАХ на ЭВМ БЭШ-6 с использованием стандартных процедур интегрирования Гбэ] Плотность туннельного тока j(v) вычислялась по формуле где кг = y2m(V-2A - - j-k _ импульс электрона в зоне проводимости; Р - коэффициент прохождения туннельного барьера в соответствующей одно электронной задаче (I.I6); - = 0 , где 9 7 2. 7_ u---A-( +feJ c = A-v+(b+- ) ) vn)YY\1 -продоль- ная и поперечная эффективные массы. Интегрирование ведется в плоскости k., k± по области, ограниченной кривой Щ- + у1- -V-2& И прямыми к, =0 и кх Р Вероятность резонансного туннелирования Wp получалась суммированием вероятностей туннелирования через отдельные резо- Величина f = -1 есть параметр перекрытия отдельных резонансных пиков в вероятности туннелирования. П - ширина резонансного уровня, обусловленная возможностью ухода электрона с данного резонансного центра как в зону проводимости , так и на соседние центры, тогда как Г - ширина, обусловленная возможностью ухода только в зону проводимости. Очевидно П " Г . Можно дать более точную оценку, воспользовавшись асимптотикой I и Г, , Известно, что П Wfv &) Я1 f» s » где -Уз Zcp-V) - среднее расстояние между центрами, 0/ постоянная основной решетки. С этой же точностью Г е р( - - -) , где в показателе опущена постоянная I. Отсюда имеем Очевидно, что концентрация ц0 определяется именно величиной Г, то же относится и к размерам границы между резонансной и нерезонансной областями. Результаты расчета представлены графически на рис.8,9 и 10 в зависимости безразмерной плотности тока /)0 от безразмерного смещения Уд для Є - = , = 400, m-W_L = 0.01юв, А и і эВ ( 6o,Wo - заряд и масса свободного электрона).
Остальные неварьируеглые параметры расчета были следующими (все энерге-тические величины нормируются на А ): ширина Г = 10 (это соответствует данным работы [44 ширина П = 10 , безразмерная толщина туннельного перехода D- r- d = 15, что со- 3 ответствует реальной толщине 0,4 10 А. На рис.9 ( jo = 0,81-Ю" 1 %% св = 0,1) представлены две серии кривых. Сплошные кривые проведены через расчетные точки, полученные при вариации отношения п/и0 , пунктирные - при вариации d /d = V,/V . На рис.9 ( j0 = 0.81 A/Ms св= 0,2) представлены результаты расчета БАХ для разных величин Г\ . На рис.10 ( J0 = 0.81 «Ю2 Д/м1, св = 0,5) представлены результаты расчета ВАХ для разных отношений rt/y . Результаты расчетов туннельной ВАХ, представленные на рис.8, 9,10, позволяют заключить, что и в трехмерном случае на ВАХ возможно появление участка с ОДІ, Кроме того, удается проследить некоторые специфические черты данной модели. Из рис.9 видно, что уменьшение отношения концентраций резонансных центров (РЦ) n,/v]0 приводит к тому, что участок с ОДІ на ВАХ становится менее выраженным и для /к)0 Ю""4 то _о исчезает совсем. Расчеты проводились для значения v\0 І0іОсм . Ширина туннельного перехода в пересчете на размерные величины составляла 410 А. Из того же рис.8 видно, что смещение границы между областями с большой и малой концентрациями РЦ вправо (т.е. уменьшение размеров области большой концентрацией РЦ) приводит к смещению начала участка с ОДІ в область меньших напряжений. При этом уменьшение плотности тока в максимуме ВАХ можно компенсировать увеличением энергии связи квазистационарного уровня, что видно из увеличения Jo с ростом все . Расчет позволяет сделать заключение о слабом влиянии ширины резонансного уровня I л , на поведение ВАХ в интервале от 5 КГ до 1«10 . Дальнейшее увеличение Г; приводит к тому, что участок с ОДІ становится менее выраженным (рис.9). Оценки показывают, что напряженность поля в переходе при выбранных параметрах расчета оказываласьЕ - 2 10 В/см. Это значение по величине близко к значению поля в реальных туннельных переходах [49]. Для размеров граничной области между областями с высокой и низкой концентрацией РЦ оценки дают величину -3.I0"8 см.
