Содержание к диссертации
Введение
1 Эксперимент с газом невзаимодействующих частиц 10
1.1 Газ невзаимодействующих частиц 10
1.2 Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц 13
2 Хольцмарковская статистика диполей. Формулы Лоренца и Ланжевена. 17
2.1 Классические задачи 17
2.2 Трехмерные диполи 18
2.3 Магнитные моменты, распределенные по плоскости 20
3 Субдиффузия в сложных гребешковых структурах и гирляндах 23
3.1 Субдиффузионный транспорт 23
3.2 Гребешковая структура 24
3.3 Сложная гребешковая структура 26
3.4 Типичные задачи 29
3.5 Гирлянды 32
4 Дипольное приближение в динамике трех вихрей 35
4.1 Общие вопросы вихревой динамики 35
4.2 Постановка задачи 37
4.3 Разложение по малому параметру 1/R 39
5 Квантовая динамика вихрей 46
5.1 Квантование вихревых нитей 46
5.2 Изотропные вихри 47
5.3 Анизотропные вихри 50
Заключение 52
- Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц
- Магнитные моменты, распределенные по плоскости
- Сложная гребешковая структура
- Разложение по малому параметру 1/R
Введение к работе
В данной работе представлены задачи по исследованию систем с большим количеством частиц; проведено сравнение модели случайно распределенных диполей для трех и двумерного случая с классическими задачами Лоренца и Ланжевена; дан точный вывод уравнений переноса в разветвленных гребеш-ковых структурах; решены задачи по классической и квантовой динамики точечных вихрей. Проведенные исследования являются актуальными и новыми во многих направлениях физики.
Исследование динамики и статистики различного рода частиц широко распространено в разных областях физики. В основу исследования таких систем часто закладывают базовые законы взаимодействия между частицами. Простейшие модели — это хорошо известные биллиардные системы, где взаимодействие происходит между шарами или дисками [1, 2, 3]. В более сложных случаях взаимодействие носит не локальный характер, например, является кулоновским. Для слабостолкновительной плазмы (астрофизической или лабораторной плазмы низкой плотности) необходимо знать, за какие времена ее компоненты релаксируют к равновесному состоянию [4]. Газ косвенно взаимодействующих частиц (см.ниже) может являться аналогом такой плазмы и использоваться для приближенного нахождения времен этой релаксации. Такая модель позволяет детально отслеживать динамику системы, что очень важно и для практических применений, и для понимания общих закономерностей. В работе также рассматривается система непосредственно взаимодействующих частиц (дисков). В этом случае соударения моделируются с помощью случайных матриц. Предлагается алгоритм для описания динамики в пространстве скоростей. Эта модель может быть применима уже для силыюстолкновителыюй плазмы.
Вопросами распределения полей от случайно расположенных источников интересуются давно, и данной тематике посвящено много работ, см.напр.,[5, б, 7, 8]. В плазме крайне важную роль играет распределение электрических и магнитных полей. Источниками таковых являются как обычные заряды, так и, например, вихревые структуры с дипольным распределением поля, поэтому рассматриваемая задача случайно распределенных диполей имеет непосредственное отношение к плазме. Метод, применяемый в работе, позволяет находить поле от произвольных точечных источников. В данной диссертации исследуются электрические Е и магнитные Н поля от случайно распределенных электрических диполей и магнитных моментов и проводится сравнение результатов с классическими формулами Лоренца и Ланжевена [9]. Для изучения статистических свойств задачи применяется метод Хольцмар-ка. В рамках модели диполей в трехмерном пространстве точно вычислена добавка к "действующему" полю. При выводе классической формулы Ланже-
вена для намагниченности рассматривается термодинамически равновесная система. В данной работе исследуется также представляющая практических интерес неравновесная конфигурация часто встречающаяся в реальных объектах. В модели, рассмотренной в диссертации, магнитные моменты (спины) случайном образом распределены по плоскости, каждый спин направлен по перпендикуляру к ней. Оказывается, намагниченность плоскости спинов во внешнем магнитном поле при определенных условиях не зависит от концентрации спинов, что качественно отличается от формулы Ланжевена.
Одним из актуальных вопросов в физике является исследование переноса в сложных средах — кластерах и полимерах [10, 11, 12]. Плазма во внешнем магнитном поле устроена очень сложно. В такой плазме перенос зачастую становится аномальным, и его особенности не могут уже быть описаны в рамках обычной диффузионной модели даже с модифицированным коэффициентом диффузии. Для правильного теоретического анализа задачи необходим аппарат дробных производных. Примером работ, с успехом использующих язык дробных производных, служат статьи по транспорту в структурах с переплетенным магнитным полем [13], работа по астрофизической плазме [14]. В данной диссертации рассматриваются сложные гребешковые структуры (СГС), построенные из простой гребешковой структуры (ГС) [15, 16, 17] последовательной заменой отростков на структуры другого уровня. Эволюция суммарной концентрации переносимой субстанции вдоль хребта такой структуры носит субдиффузионный характер с дробной производной по времени [18, 19]. Также изучались модельные структуры, у которых на оси хребта находятся двумерные диски или трехмерные шары. Исследованные в работе модели СГС и гирлянд могут быть использованы для качественного анализа транспорта в плазме. Уравнения для транспорта частиц в таких структурах полностью покрывают возможный интервал существования субдиффузионного режима, что, несомненно, важно для нахождения скейлингов и решения конкретных задач.
Вихревые структуры являются неотъемлемой частью плазмы и плазмен-ноподобных сред во всех физически возможных диапазонах существования, начиная с плазмы твердого тела и заканчивая термоядерной и даже кварк-глюонной плазмой. Вихри в плазме определяют ее устойчивость, динамику, процессы транспорта и т.п. В диссертации решена задача о взаимной динамике дипольного вихря (близкая вихревая пара с противоположными интен-сивиостями) и точечного вихря для редуцированного гамильтониана. Найдены начальные параметры, для которых дипольныи вихрь не распадается на отдельные вихри, и выписанные уравнения, описывающие движения диполя, полностью проинтегрированы. Процесс распада дипольных пар важен для физики плазмы, так как вихри в плазме часто встречаются именно в
таком виде. Также возможным объектом приложения может служить кварк-глюонная плазма, в которой, при рассеянии кварков [20] в сильных внешних полях, их взаимная динамика идентична вихревой.
Развитые в физике плазмы методы анализа эволюции завихренности позволяют описывать вихревое движение в сверхпроводниках или просто в заряженной жидкости с вмороженным в течение ротором обобщенного импульса [21, 22]. Исходя из базовых уравнений, получают уравнение, описывающее динамику вихревых нитей и точечных вихрей в сверхпроводнике [23]. В данной работе исследуется переход от классической динамики двух вихрей к квантовой. Указывается, что оператор гамильтониана для двумерной системы двух вихрей есть функция тока, примененная к гамильтониану одномерного квантового осциллятора. Естественными собственными функциями в такой системе являются функции Эрмита. Когерентные состояния в ней отсутствуют для обычно используемых функций тока. При рассмотрении анизотропной функции тока, характерной для слоистых сверхпроводников [24] ответ записывается в виде рекуррентных соотношений. Задача решается для разных функций тока, в том числе и для функции Макдональда, описывающей электронные вихревые течения в плазме.
Кратко по главам.
Первая глава посвящена численному исследованию релаксации газа точечных частиц, взаимодействующих с диском.
В первом параграфе в область (квадрат L х L) помещается N невзаимодействующих частиц массы т. Частицы между собой никак не взаимодействуют, двигаются прямолинейно с постоянной скоростью, а при соударении со стенкой зеркально отражаются. Для релаксации к равновесному состоянию (равномерное распределение частиц по области с распределением Максвелла по скоростям) необходимо ввести диск массы М и радиуса R. Столкновение частицы и диска упругое. Система диск+частицы релаксирует к равновесному состоянию за характерное для данной системы время тщ. Время этой релаксации определяется геометрией области и диска: req = TpyfM/m, где тр ~ h2/(2R(u)) — время свободного пробега частицы, и — ее тепловая скорость. Оценки хорошо согласуются с экспериментами.
Во втором параграфе газ дисков описывается с помощью случайных матриц. Для ускорения численного расчета часто работают с упрощенной моделью, которая отражает необходимые параметры точной системы. Так для описании динамики газа двумерных дисков в данном параграфе применяются случайные матрицы. Динамика системы рассматривается только в пространстве скоростей. Соударение двух дисков можно записать в матричном виде V = AV, где V и V - вектора, отвечающие значениям скоростей до и после соударения, при этом матрица А зависит только от угла (р между
линией соединяющей центры дисков и осью х. Строится случайный процесс с дискретным временем tni в котором на каждом шаге диски случайным образом взаимодействуют друг с другом. В среднем требуется 5 — 10 столкновений каждому диску, чтобы система пришла к равновесному состоянию.
Во второй главе рассматривается газ случайно распределенных диполей в двух- и трехмерном пространстве.
В первом параграфе поясняется исходя из каких классических задач возникает интерес к исследованию системы случайно распределенных по пространству диполей или магнитных моментов. Первая — это модель Лоренца для диэлектрика, вторая имеет отношение к формуле Ланжевена для намагниченности газа спинов.
Во втором параграфе дан точный вывод т.н. "действующего поля" в рамках модели равномерно распределенных в трехмерном пространстве диполей. В кубе с ребром L случайным образом расставляются N диполей, так что концентрация п = N/L3 (интересует предел N —> со, п = const). Все диполи ориентированы в одном направлении z и имеют одинаковый дипольный момент d. Для нахождения распределения суммарного поля был применен метод, который использовал Хольцмарк в своей работе [25]. Среднее значение (Ez) есть добавка к внешнему полю Eq и дается величиной 0,16 47гР/3, то есть составляет шестую часть добавки в формуле Лоренца.
В третьем параграфе по плоскости (ж, у) равномерно распределены магнитные моменты (спины) ц. Каждый спин направлен перпендикулярно плоскости. За п+, п_ обозначается концентрация спинов направленных вверх, вниз, а,п — П++П-. Применяя метод Хольцмарка, для нахождения распределения электрического поля, получается энергия плоскости спинов во внешнем магнитном поле Н = Hez:
и?
Е ~ (п+ - п_)2— - (п+ - п-)цН,
где а — это минимальное расстояние, на котором могут находиться спины, например, межатомное расстояние. Исходя из минимума энергии, намагниченность М = ц{п+ — п-)Н есть М ~ аН для Н < /т/а не зависит от концентрации. Для Я > /т/а минимум энергии не достигается и намагниченность М = п/іН/Я. Это соответствует случаю Ланжевена для полей /іЯ>Г.
В третьей главе диссертации исследуется эволюция концентрации частиц в сложных гребешковых структурах.
В первом параграфе дается общее представление о субдиффузии и микроскопической модели, отвечающей субдиффузионному поведению.
Во втором параграфе дается точный вывод асимптотического уравнения для переноса суммарной концентрации частиц в гребешковой структуре.
Под гребешковой структурой [15, 16] понимается хребет бесконечной длины к которому через равные расстояния I пристыкованы отростки бесконечной длины. По отросткам и хребту частицы диффундируют с коэффициентом диффузии D. В задаче о гребешковой структуре интересен вид уравнения, описывающего перенос суммарной плотности числа частиц вдоль оси структуры. Известно, что такой перенос субдиффузионный и описывается уравнением с дробной производной по времени с показателем 1/2. При этом полученное уравнение корректно учитывает начальные данные.
В третьем параграфе рассмотрены гребешковые структуры (ГС), в которых учитываются дополнительные разветвления отростков. Производится последовательный вывод уравнения переноса суммарной концентрации вдоль хребта структуры.
В четвертом параграфе с помощью СГС решается несколько задач, которые являются аналогами классических задач на начальные и краевые условия. Вычислена асимптотика суммарной концентрации в двух состыкованных структурах с показателями а и /3, так что а > (3. Более разветвленная структура {(3) впитывает в себя все частицы по степенному закону l/ta~^. При пропускании потока через структуру а конечной длины в пристыкованную структуру /3 бесконечной длины выясняется, что для а > (3/2 поток сравнивается с входящим по степенному закону, в обратном случае поток не проходит сквозь структуру.
В пятом параграфе приведены структуры, у которых через равные расстояния на хребте расставлены диски или шары. В дисках и шарах частицы также диффундируют с коэффициентом диффузии D. Эта структура названа гирляндой. Уравнения эволюции, описывающие динамику в гирляндах медленнее, чем для сложных гребешковых структур.
В четвертой главе поставлена и решена задача о взаимной динамике дипольного и монопольного вихрей.
В первом параграфе рассматриваются общие вопросы динамики точечных вихрей. Исходя из базового уравнения вмороженности выписана система гамильтоновых уравнений, описывающую такую динамику. Выписываются три дополнительных (помимо энергии) интеграла для данной системы [26] — это момент и две компоненты импульса.
Во втором параграфе формулируется задача трех вихрей. При этом два вихря обладают одинаковыми, но противоположными по знаку зарядами — это дипольный вихрь.
В третьем параграфе, используя диполыюсть двух вихрей, точный гамильтониан частично линеаризуется по малому параметру 1/R — отношение расстояния между диполями к расстоянию до центрального вихря. Для полученного гамильтониана выписывается система четырех уравнений, которая
решается в явном виде. Уравнения редуцированной системы для обычно используемых функций тока имеют седловую особую точку. Для функций тока вида ф(г) = гп особая точка — центр.
Численные расчеты показывают качественное совпадение в динамике редуцированной и точной моделях. Редуцированная модель описывает область параметров М, Я для которых диполь не распадается на отдельные вихри, что относится и к точной модели. При переходе через седловую точку в редуцированной модели диполь распадается (/ ~ R) на отдельные вихри. В точной системе диполь распадается на некоторое время, а потом опять собирается, уходя на бесконечность или вращается вокруг центрального вихря попеременно распадаясь и собираясь вновь.
В пятой главе диссертации сделан переход от классической динамики уже двух вихрей к квантовой.
В первом параграфе описаны стандартные приемы квантования. Хорошо известны понятия квантования интенсивностей вихрей [22, 27], связанного с правилом Бора-Зоммерфельда и встречаемым во многих классических работах. В диссертации основной упор делается на вопрос о квантовом описании динамики двух точечных вихрей. Так же как задача двух тел система приводится к динамическим уравнениям на две координаты с гамильтонианом, совпадающим с функцией тока ф{г).
Во втором параграфе рассмотрены изотропные вихри: функция тока зависит лишь от модуля расстояния. Обозначая одну координату за импульс, а вторую за координату и сделав переход к операторам, задача сводится к квантовой с оператором Гамильтона Н = Гф (y/—h2d2/dq2 + q2). Собственные функции оператора г2 = —h2d2/dq2 4- q2 — это функции Эрмита [28]. Функции от оператора г2 отвечает тот же набор собственных функций Эрмита, а собственные значения Н есть Го^ (\/2F+T). Аналогичные результаты дает подход Гейзенберга, основанный на матричном представлении.
У квантового осциллятора существуют так называемые когерентные состояния [28], которые во время эволюции сохраняют свою форму. Волновая функция осциллятора, модуль которой совпадает с функцией Гаусса, есть когерентное состояние. Для вихревого гамильтониана гауссово состояние распадается. Связано это с тем что угловая скорость в классике меняется в зависимости от радиуса, our = дф/дг . В квантовом случае спектр энергии не рациональный. Но для функции тока ф(г) — г2п спектр рациональный, поэтому начальное состояние периодически восстанавливается.
В третьем параграфе исследуется вопрос о квантовой динамике для случая анизотропной функции тока, характерной для слоистых сверхпроводников типа ВТСП керамик [24]. Вихрь наклонен под углом к плоскостям и создает на далеких по сравнению с лондоновской длиной поле скоростей с
функцией тока вида: ф = А(х2 — у2)/ (х2 + у2) . Вводя операторы координаты и импульса, получается симметризованный оператор гамильтона. Ответ выписан в виде рекуррентных соотношений на коэффициенты разложения по функциям Эрмита. Для нулевого значения энергии, что отвечает движению по сепаратрисе, собственная функция выражается через функцию Бесселя.
В Заключении перечислены основные результаты работы.
Итак, автор выносит на защиту:
Численное и аналитическое исследование динамики системы невзаимодействующих частиц и диска. Реализацию модели случайных матриц для моделирования процесса релаксации в пространстве скоростей газа дисков.
Нахождение полей, создаваемых случайно распределенными диполями в двух- и трехмерном пространстве и их сравнение с классическими формулами Лоренца и Ланжевена.
Исследование транспорта в сложных гребешковых структурах и гирляндах.
Решение задачи динамики трех вихрей в диполыгом приближении.
Описание квантовой динамики двух вихрей.
Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц
Для исследования систем большого количества твердых дисков или шаров решают точные уравнения Ньютона методами молекулярной динамики [1, 2, 3]. В данном разделе показано как можно описывать релаксацию системы в пространстве скоростей на основе модели случайных матриц [30]. Как окажется, плотности распределения скоростей будут совпадать с результатами расчетов, где динамика описывается уравнениями Ньютона. Интерес данного метода заключается в том, что статистику скоростей частиц можно набирать значительно быстрее, нежели исследуя динамику газа в конфигурационном пространстве. Тематике данного раздела можно также найти продолжение в книге [31] в связи с обсуждением М-уравнения. Скорости после соударения дисков с одинаковыми массами описываются формулами (1.1). Запишем соударение дисков в матричном представлении:
Где I — единичная матрица. Детерминант А равен —1, поэтому преобразование (1.10) сохраняет длину вектора V (энергия сохраняется). Матрица А совершает отражение относительно оси (vi — V2). Заменой гпх и гпу на cosy и sin у матрица А приводится к виду:
Рассмотрим для начала две частицы. Построим случайный процесс с дискретным временем tj = 0,1,..., j,... В начальный момент времени to задан произвольный вектор Vo, отвечающий двум частицам. На первом шаге строится вектор V\ — A(yi) Vo при условии, что (V2 — Vi) rn 0, a yi является равномерно распределенной величиной на отрезке [0,2тг]. Если условие (v2 — vi) -rn 0 не выполняется, то вектор V не меняется. Далее каждая компонента вектора V\ умножается с вероятностью р = на 1 или — 1. Данный шаг моделирует соударения двух дисков с равновероятными направлениями и последующее столкновение со стенкой. На следующем шаге повторяется в точности аналогичное действие. В результате возникает реализация:
Теперь обобщим на случай N дисков. Пусть диски пронумерованы от 1 до N. Их можно расположить 7V! способами, тогда на каждом шаге с вероятностью 1/ЛП выбирается одна из комбинаций дисков. В этой комбинации номера дисков будут расставлены уже не упорядочеино. После чего диски последовательно сталкиваются между собой, так что диск с номером места в выбранной комбинации 2г взаимодействует с 2г + 1 диском, по описанному выше правилу. Набрав достаточную статистику, убеждаемся, что плотности распределения скорости диска задаются [32]:
Плотность распределения на траектории диска вычисляется по следующему правилу. Через определенные интервалы времени измеряется скорость диска. Набрав достаточное количество значений для статистики, строится эмпирическая плотность распределения. Эмпирическая плотность распределения хорошо описывается формулой (1.12), которая в пределе N — оо сходится к распределению Максвелла. Для примера, рассмотрим конфигурацию из восьми дисков (см.рис. 1.5). Как видно из рис. 1.5 эмпирические плотности распределения на траекториях дисков описываются плотностями (1.12).
Интересен также вопрос о скорости сходимости к равновесной плотности распределения скоростей всех частиц. Оказывается, что примерно за 10 шагов распределение скоростей принимает равновесный вид. Это согласуется с экспериментами по релаксации системы газа дисков из начального однородного распределения. Можно говорить о том, что матричная модель моделирует поведение системы с начальным равномерным распределением частиц по ящику и с начальным однородным распределением энергии.
Магнитные моменты, распределенные по плоскости
Пусть в квадрате L х L равномерно распределены N магнитных моментов (спинов) с концентрацией п = N/S,S = L2 (см.рис.2.1) Каждый спин на- правлен перпендикулярно плоскости. Обозначим за п+ концентрацию спинов направленных вдоль z, а за п_ в противоположную сторону, при этом n = n+ + n_. Плотность распределения энергии взаимодействия определенного спина со всеми спинами дается формулой: где /І — магнитный момент, а суммирование проводится по двум сортам частиц, направленным вверх и вниз. После не сложных выкладок аналогичных (2.7) получим: Функции вида (2.12) относятся к устойчивым законам распределения [34]. Их частным случаем являются, например гауссово распределение или распределение Копій (2.8). Асимптотику плотности (2.12) для больших энергий можно найти из таких соображений [6]: большие энергии соответствуют малым расстояниям между спинами, поэтому количество частиц в энергетическом пространстве будет определяться их ближайшими соседями в конфигурационном пространстве, а именно: Среднее значение энергии для плотности (2.12) бесконечно, поэтому следует произвести обрезание интеграла. Из физических соображение понятно, что спины на пленке не могут находиться ближе друг к другу некоторого расстояния а (например, постоянной решетки). Энергия взаимодействие спинов на этом расстоянии есть Єо — Ц2/а?- Поместим пленку во внешнее магнитное поле Я, направленное вдоль оси z. Посчитаем общую энергию, равную сумме энергии взаимодействия спинов между собой и энергии взаимодействия с внешнем магнитным полем. Минимум энергии (2.13) достигается при условии п+ — ті- = а Я/2/І, определяющим баланс между поляризующим действием внешнего поля и деполяризующим влиянием соседей. Тогда намагниченность для данного значения разностей концентрации дается величиной: Намагниченность (2.14) не зависит от концентраций магнитных моментов, что сильно отличается от формулы Ланжевена (2.2), в которой намагниченность пропорциональна концентрации. Минимум энергии (2.13) достигается при условии, что внешнее поле меньше характерных полей между спинами в пленке: если же это условие не выполняется, то все спины выстраиваются в одну сторону, и В данном разделе были решены две модельные задачи. В задаче случайно распределенных диполей по трехмерному пространству была точно вычислена добавка к действующему электрическому полю.
Добавка составляет примерно шестую часть добавки в формуле Лоренца. Значение действующего поля соответствует энергетически более выгодной конфигурации диполей, когда они все ориентированы в одном направлении. Данная модель может быть применена к описанию полярных диэлектриков, для которых отклонения от (2.1) весьма велики. Во второй части рассматривалась двумерная задача равномерно распределенных по плоскости спинов во внешнем магнитном поле. Для поля, меньшего характерных полей взаимодействия спинов, намагниченность пленки не зависит от концентрации спинов. 22 В данном разделе исследуется диффузия частиц в сложных разветвленных структурах, таких как гребешковые структуры (ГС) и их аналоги. Тематика стохастического переноса является одной из современных областей в физике. Привычным уравнением в стохастическом транспорте было уравнение диффузии, описывающее множество физических задач [36, 12, 37, 38]. Для диффузии характерно, что частицы (если есть возможность микроскопического описания) за шаг времени передвигаются на малые расстояния так, что существует среднее от квадрата смещения частицы. Для облака диффундирующих частиц выполняется условие которое обычно проверяют экспериментально. Однако для широкого круга явлений выясняется, что соотношение (3.1) необходимо заменить на где показатель а отвечает за режим переноса. Так а = 1 соответствует случаю диффузии, а 1 — субдиффузионному переносу, а 1 — режим ускоренной диффузии — супердиффузия. В данной диссертации речь идет о а 1. Напомним, что диффузионный режим переноса характеризует локальность переноса, как по пространству так и во времени. Локальность означает, что существуют соответствующие моменты функций распределений как для пространственных скачков так и временных. Для недиффузионного транспорта характерно наличие бесконечных моментов у этих функций или, как принято говорить, наличие "тяжелых хвостов". Примером субдиффузии служит модель ловушек. В ней частица диффузионным образом перескакивает с места на место. Перед тем как перескочить в следующую точку, частица ждет время т. Время ожидание выбирается случайным образом при помощи плотности распределения /(т), так что вероятность частице перескочить в следующую точку в интервале времени (т, т + dr) есть ]{т)&т. Если среднее время ожидания для плотности /(т) равно бесконечности, тогда перенос частиц для такой структуры носит субдиффузионный характер, а показатель а определяется параметрами "хвоста" /().
Сложная гребешковая структура
Заменим каждый свободный отросток (см.рис.3.1) на ГС, с получившейся структурой проделаем аналогичную операцию и.т.д. до получения СГС порядка К (см.рис.3.2). Следует рассмотреть поведение суммарной плотности частиц N вдоль оси разветвленной структуры. Каждому уровню ГС на рис.3.2 соответствует концентрация щ на соответствующем хребте и суммарная концентрация Ni частиц, спроектированных на него с отростков более высокого уровня i + l,...,K. Уровень К соответствует внешним свободным отросткам, а нулевой уровень — это хребет структуры. На отростках К — 1 уровня суммарная концентрация N -i задается формулой (3.9), где начальная концентрация во всех отростках полагается равной нулю: далее Щк-і)р следует спроектировать на К—2 уровень. Для этого необходимо решить уравнение : дополнительный множитель при п к-2)р появляется, из-за того что структура пристыкована хребтом, поэтому в месте присоединения следует приравнивать концентрации на хребте. Суммарная концентрация на К — 2 уровне, по аналогии с ГС первого порядка (3.8), есть: Получив концентрацию Щк-г)р из уравнений (3.14), (3.15) подставим её в выражение (3.16). В итоге получим суммарную концентрацию N -2)P на К — 2 уровне: Обозначим за аг(р) коэффициент при щ в формулах для Nt. Из вида (3.13) и (3.17) не трудно получить рекуррентное соотношение: коэффициент а(р), связывающий суммарную концентрацию Np на всей структуре с концентрацией на хребте пр, задается формулой: Уравнение на полную концентрацию TV есть (см. 3.10):
Связь полной концентрации с концентрацией только на хребте выражается формулой: В пределе К — сю показатель дробной производной ск# стремится к 0, то есть переноса вдоль хребта такой структуры нет, а все частицы уходят в отростки. Данный факт следует как из асимптотического уравнения (3.22), так и из точного выражения (3.21). Коэффициент а(р) для К = сю вычисляется точно: Предельная структура топологически эквивалентна ветвящемуся дереву с постоянным шагом / (см.рис.3.3). Дерево впитывает в себя частицы эффективно с постоянной скоростью, хотя каждый отросток в этом дереве диффузионный. Эволюцию частиц на дереве можно описать так. Из симметрии точек ветвления естественно предположить, что частица проходя эту точку, с равной вероятностью (1/3) выбирает одно из 3 направлений. Из рис.3.3 видно, что количество путей перейти вверх по дереву к количеству путей вниз соотносится как 2 к 1, или вероятность шагнуть вверх 2/3, а вниз по дереву 1/3. Так как есть выделенное направление, то в таком описании появляется характерная скорость всасывания, по порядку величины оцениваемая как Дерево для К = со, похоже на фрактал с той разницей, что здесь шаг / постоянен.
В стандартном фрактале, называемом деревом Кели, / все время уменьшается в постоянное число раз при переходе с уровня на уровень. Для фрактала также выполняется соотношение вероятностей, но средняя скорость сноса будет зависеть от уровня в дереве, на котором находятся частицы. 3.4 Типичные задачи Исследовав СГС, возьмем их в качестве основы для исследования модельных задач о переносе частиц. Далее будут рассмотрены три такие задачи, которые явно учитывают начальные и граничные условия, а также учитывают разную степень разветвлешюсти структур. Рассматриваемые задачи являются аналогами классических задач на начальные и граничные условия. С их помощью можно изучать важную для практики проблему о влиянии на глобальный транспорт внутренних участков с аномальными транспортными свойствами. Существенная разница заключается в том, что здесь граничные условия не являются локальными по времени, что связано со спецификой субдиффузионного уравнения (3.22) и связи суммарной концентрации и концентрации на хребте (3.23). Две разветвленные структуры. Рассматривается задача о поведении плотности числа частиц в системе двух состыкованных СГС с показателями дробной производной по времени а и (3. В случае их не совпадения (а ф (3) скорости поглощения в разных структурах будут различны. Необходимо найти асимптотику поведения полной плотности числа частиц на хребте структуры. Пусть в области х Є [-L-, 0] находится СГС с показателем а, а в области х є [О, L+] СГС с показателем (3. В начальный момент времени на хребте задана постоянная концентрация NQ. Ниже выписаны уравнения субдиффузии, которые описывают поведения концентрации в каждой из структур. Для х 0 уравнение для полной концентрации (3.21) с граничным условием выглядит так где все длины в случае СГС нормированы на растояние между отростками /. Структуры между собой состыкованы хребтами, поэтому в месте соединения х = 0 равны концентрации хребта (3.23) и потоки на хребте —
Разложение по малому параметру 1/R
Произведем частичную линеаризацию гамильтониана (4.16) по малому параметру 1/R. Редукция приводит к гамильтоновой системе, которая описывает динамику диполя, при условии, что параметр диполя / остается малым по сравнению сДв течении всего времени динамики системы. Пусть в начальный момент времени вихрь с зарядом Q находится в начале системы координат Гз(0) = 0. Выразим из (4.18) гз и подставим в интеграл для момента (4.17), записанного в новых переменных R, 1: Гамильтониан (4.16) в новых переменных: где 1о — начальное расстояние между вихрями в диполе. После линеаризации первых двух слагаемых (4.20), гамильтониан (4.16) записывается в виде: где добавка 0(12) не учитывается. В выражении для гамильтониана (4.21) никак не учтена динамика центрального вихря Q. Связано это с тем, что при редукции точного гамильтониана (4.20), добавка от учета динамики вихря (т.е. г3 Ф 0) также квадратична по I, поэтому в приближенный гамильтониан (4.21) это Гз никак не входит. Тем не менее, динамику центрального вихря Q можно найти из закона сохранения импульса (4.12): Гамильтониан (4.21) включает в себя интеграл момента (4.19), поэтому удобно обозначить (R, 1) за М. В результате для переменных R и 1 получается гамильтонова система в стандартной форме: Система уравнений (4.23) описывает динамику центра масс диполя R и изменение дипольного момента 1. Домножив первое уравнение на Rx, а второе на Ry сложим их. Для 1Х,1У делаются аналогичные операции. Получим систему уравнений: где в уравнениях для R, I естественным образом появилась новая переменная Т = Rxly — Rylx, характеризующая взаимную ориентацию R и 1. Вместо четырех уравнений (4.23) получается три на переменные R, I, Т. Гамильтониан (4.21) связывает переменные RHI, поэтому выразив R через I можно сократить количество переменных до двух и в итоге проинтегрировать систему. В общем виде выразить R из (4.21) через I не удастся, но для ряда конкретных функций тока ф это сделать можно. Убывающая степенная функция тока. Выберем функцию тока в виде: Гамильтониан (4.21) для неё есть: Связь R(l) для гамильтониана (4.26) есть: где на интегралы МиЯ выписаны условия а и 6, при которых возможно получить R(l), имеющую физический смысл. Уравнения (4.24) после подстановки (4.27) сводятся к двум уравнениям на переменные I и Г: где использовано условие (4.27) для нахождения особой точки R .
Особая точка для системы (4.24) является седловой и существует при условии М 0, Я 0. Проинтегрировав систему уравнений (4.28) получим что: На графиках рис.4.2 представлены зависимости Т(1) для разных начальных условий (см. (4.27)). В результате поставленная задача полностью решена. Покажем что система (4.28) гамильтонова. Это не вполне очевидно, поскольку динамика на гиперповерхности постоянных интегралов (в данном случае плоскости (Т, I)) не обязана быть таковой. Чтобы показать это, сделаем замену Нетрудно убедиться, что система (4.28) в переменных (Т, у) действительно примет стандартный вид с гамильтонианом: Логарифмическая функция тока Рассмотрение функции тока вида ф(г) = - In г проводится аналогично представленным выше выкладкам. Гамильтониан (4.21) для логарифмической функции тока есть: Особая точка в такой системе седло и поведение сходно со случаем функции тока 1/гп. Решение в переменных 1,Т есть: Функция тока вида ф(г) — гп. Гамильтониан (4.21) записывается так: Для п = 2 динамика диполя тривиальна, что следует из уравнений (4.23) и (4.24). Гамильтонова система, отвечающая функции тока ф{г) = г2 легко интегрируется: при этом решается как редуцированная (4.21) модель так и точная (4.16), что связано с таким выбором функции тока.
Случай п — 1 возможно интересен в связи с вопросами кварк-глюоиной плазмы (КГП): в теории сильного взаимодействия [20] потенциал р(г) взаимодействия между кварками пропорционален г. При сверхэнергичном столкновении ядер вещества в ускорителях, предполагается что образуется КГП. При не центральном столкновении может образоваться такая ситуация, что КГП будет вращаться и возникнут сверх сильные магнитные поля. Под действием сил Лоренца и Кориолиса кварки будут двигаться с дрейфовой скоростью: u = AezxVip, (4.36) где А — константа. Сравнивая скорость кварка в потенциале (р(г) с формулой для скорости вихря (4.3), убеждаемся что они совпадают. Функция тока "дрейфового" течения ф(т) в формуле (4.3) — это потенциал взаимодействия (f{r) г. Особая точка системы (4.34) определяется выражением (4.29) для п — —п. Из вида гамильтониана (4.34) можно ожидать, что для п 2 особая точка будет центром (например случай п — 4, М 0), а поэтому все величины будут осциллировать вблизи положения равновесия. Решение задачи о ди- намике диполя в поле вихря Q для гамильтониана (4.34) в переменных 1,Т записывается так: На рис.4.3 представлены графики для случая, когда особая точка существует. Комбинация функций тока. Рассмотрим комбинированный вариант функций тока 1/гп и rm. Диполь будет характеризоваться функцией тока ф(1) = 1/Р, а центральный вихрь Q функцией тока ф{Щ = Rm. Гамильтониан для этих функций тока: Система с гамильтонианом (4.38) имеет два типа особых точек, в зависимости от параметров п, т. М, Н. Рассмотрим случай М 0, т 2, тогда из (4.39) получаем что (п - т + 2) Я 0. Если п — m + 2 0 — особая точка седло, п — m + 2 0 — особая точка центр. Мы не будем подробно останавливаться на классификации поведения такой системы поскольку она во многом схоже с ранее рассмотренными случаями. Отметим, что система (4.38) включает как частные в себя случаи функций тока 1/гп, гп. Сравнение с точным гамильтонианом. При численных расчетах было выяснено, что точная (4.16) и редуцированная (4.21) система ведут себя похожим образом в области параметров, где диполь устойчив к распаду — см.рис.4.4(а,Ь). Теперь перейдем через особую точку рис.4.2с в область Редуцированная модель Точная модель Рис. 4.4: Динамика диполя в поле вихря для функции тока ф(г) = 1/г. В центре расположен вихрь с Q = 10. (а,Ь) устойчивость диполя для редуцированного и точного гамильтониана, (с) распад диполя для редуцированного гамильтониана, (d) распад и повторное образование диполя для точного гамильтониана. неустойчивого поведения диполя, увеличив начальное расстояние / между вихрями в диполе. В редуцированной модели на рис.4.4с происходит распад вихревой пары на пару вихрей, которые по спирали раскручиваются. Для случая точной динамики картина иная — см.рис.4.4с1. Сначала вихревая пара распадается (/ яз R), вихрь ближайший к центральному вихрю Q, делает оборот вокруг него, после чего опять образуется вихревая пара, которая уходит на бесконечность (возможен вариант колебаний, когда дипольный вихрь периодически то распадается то образуется в близи центрального вихря).
Похожие диссертации на Изучение динамики и кинетики классических и "вихревых" частиц
