Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 12
1.1 Распространение оптического излучения в биологических тканях 12
1.1.1 Поглощение света 12
1.1.2 Рассеяние света 21
1.1.3 Модели распространения оптического излучения в рассеивающих средах 26
1.2 Методы определения степени оксигенации крови человека 42
2 Итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах 46
2.1 Постановка задачи 47
2.2 Свойство взаимности функции Грина 48
2.3 Вывод итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения 55
3 Комбинированный метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса 59
3.1 Метод Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния (численная оценка многократных интегралов) 60
3.2 Диффузионная асимптотика функции Грина 66
3.3 Результаты вычислений коэффициента отражения комбинированным методом решения итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения 69
3.4 Оценка точности комбинированного метода решения и критическая кратность рассеяния 82
4 Перенормированная диффузионная асимптотика в практических задачах биомедицинской диагностики 88
4.1 Упрощенное моделирование пространственно распределенного эффективного источника 88
4.2 Возможность использования перенормированной диффузионной асимптотики для определения степени оксигенации крови 92
4.3 Немонотонный характер поведения коэффициента отражения на малых расстояниях 91
Заключение 101
- Методы определения степени оксигенации крови человека
- Диффузионная асимптотика функции Грина
- Оценка точности комбинированного метода решения и критическая кратность рассеяния
- Возможность использования перенормированной диффузионной асимптотики для определения степени оксигенации крови
Введение к работе
Актуальность работы
Методы зондирования сред путем диффузного отражения узкого лазерного пучка позволяют получать информацию о состоянии объекта в реальном времени. Широкое распространение оптические методы получили в медицине для диагностики и терапии [1-12]. Основное преимущество этих методов заключается в их неинвазивности, так как применение низкоинтенсивного лазерного излучения в ближнем ИК диапазоне не оказывает вредного воздействия на биологическую среду. Более того, помимо структурной информации есть возможность получать функциональную информацию о биологическом объекте, например, анализ гемодинамики и метаболических процессов (мозговое кровообращение, объем крови, оксигенация мышечной ткани), локализация неоднородностей (раковых опухолей, разрушения зубной эмали), диагностика заболеваний и т.д. [4-12].
Одной из актуальных задач оптической диагностики является разработка неинвазивных методов, позволяющих in vivo определять относительную концентрацию молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина в эритроцитах крови - степень оксигенации крови. В основе данных методов лежит рассмотрение распространения оптического излучения в исследуемой среде на основе теории переноса излучения. Уравнение переноса излучения является сложным для анализа распространения света в рассеивающих средах, поэтому при обработке результатов измерений в оптическом изображении биологических сред для каждой данной физической модели среды и поставленной проблемы рассматривается его адекватное приближенное решение. Так, например, в пульсовой оксиметрии, где речь идет о прохождении падающего пучка света через рассеивающую среду, для анализа результатов измерений используется закон Ламберта-Бера. Этот закон описывает
5 экспоненциальное ослабление падающего пучка света вследствие поглощения и рассеяния излучения. Однако в случае определения церебральной или тканевой оксигенации рассматривается диффузное отражение падающего пучка от рассеивающей среды. В этом случае применение одного закона Ламберта-Бера, конечно, недостаточно, хотя некоторыми авторами этот закон в модифицированном виде используется для определения церебральной оксигенации с использованием ряда подгоночных параметров [9,10]. Более адекватным подходом к обработке результатов измерений церебральной и тканевой оксигенации является диффузионное приближение, основанное на решении диффузионного уравнения для распространения света в среде с учетом граничных условий [11,12].
Тем не менее, диффузионное приближение не всегда обеспечивает достаточную точность и в ряде случаев нуждается в корректировке [13-20]. Такая потребность возникает в задаче об отражении узкого коллимированного пучка при достаточно малых расстояниях между точками падения пучка и наблюдения обратно рассеянной интенсивности вдоль поверхности среды.
Для решения прямых и обратных задач переноса излучения для сред с произвольной конфигурацией и заданными граничными условиями широко применяется метод Монте-Карло [21-24] в качестве численного решения уравнения переноса излучения. Разработанные алгоритмы позволяют учесть многослойную структуру среды, конечный размер падающего пучка, отражение света от границ раздела слоев. Но при универсальности и высокой точности метод Монте-Карло носит статистический характер и требует больших затрат машинного времени, что ограничивает его применимость в практических реализациях медицинских методик оптической диагностики.
В этой связи особую актуальность приобретают экономные гибридные модели, сочетающие точность метода Монте-Карло и
быстродействие диффузионных теорий или аппроксимирующих аналитических выражений [4,25]. Существующие гибридные подходы улучшают точность диффузионного приближения, но основаны в значительной степени на наглядных эвристических представлениях [25,26]. Поэтому является актуальным дать последовательное обоснование гибридным подходам с выяснением границ их применимости на основе теории переноса излучения. В диссертационной работе такое обоснование дается гибридному подходу, предложенному в работе [25] на основе эвристических представлений. Следует отметить, что и гибридные методы могут оказаться довольно сложными для обработки результатов измерений, например, при определении степени оксигенации крови в мышечной ткани [11], поэтому представляется актуальным найти способы аналитически простой перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для решения задачи о диффузном отражении узкого лазерного пучка рассеивающей средой, что опять-таки выполняется в диссертационной работе.
Подводя итог вышеизложенному, представляется актуальным выполнение следующих работ:
выбор адекватной физической модели для обработки результатов измерений в задаче определения степени оксигенации крови в мышечной ткани методом диффузного отражения лазерного пучка;
выбор гибридной модели описания распространения оптического излучения в среде и ее обоснование с точки зрения стационарной теории переноса для обработки результатов измерений степени оксигенации крови;
построение упрощенной перенормировки традиционной диффузионной асимптотики для практической реализации тканевого оксиметра.
7 Цель работы
Разработка метода усовершенствования диффузионного приближения в теории переноса излучения для аналитического описания диффузного отражения лазерного пучка от случайно-неоднородной среды в применении к медицинским методикам оптической диагностики биологических сред.
Задачи исследования
Провести анализ условий применимости традиционного диффузионного приближения для моделирования распространения оптического излучения в полуограниченных случайно-неоднородных средах путем сравнения диффузионной асимптотики с результатом численного моделирования методом Монте-Карло в зависимости от оптических параметров среды.
Разработать и реализовать аналитический гибридный метод в теории переноса излучения, повышающий точность диффузионного приближения путем учета рассеяния конечной кратности и пространственного распределения эффективного источника диффузного излучения, позволяющий получить равномерную асимптотику коэффициента диффузного отражения как на малых, так и на больших расстояниях от точки падения пучка.
Исследовать эффективность и получить оценку точности аналитического гибридного метода в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния. Получить аппроксимацию аналитического гибридного метода путем упрощенной перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред на заданных расстояниях, в частности для практического использования в задаче определения степени оксигенация крови.
8 Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:
С использованием свойства взаимности функции Грина получена итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.
Предложен метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионным приближением при вычислении функции Грина.
Исследована зависимость комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.
Построена упрощенная перенормировка диффузионной асимптотики для некоторых моделей биологических тканей на заданном интервале расстояний применительно к задаче определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение.
Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90 до 180.
Практическая ценность работы:
Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов при разработке приборов для определения параметров среды, в частности, в оптике биотканей
9 предложенный метод позволяет неинвазивным способом по рассеянному назад излучению определять степень оксигенации крови человека.
Насыщение крови кислородом является важным клиническим параметром, определяющим состояние пациента, что особенно важно в процессе проведения хирургических операций, поскольку позволяет указать на необходимость введения больному физиологических растворов или повышения содержания кислорода во вдыхаемом воздухе.
Существуют два способа определения содержания кислорода в крови неинвазивным путем - оптическим методом на просвет и оптическим методом на отражение. Недостатком первого метода является то, что устройства на основе данного метода позволяют провести диагностику оксигенации лишь артериальной крови, так как обработка сигналов производится по пульсовой волне, и только лишь в тех местах организма человека, которые можно просветить оптическим излучением красного и ближнего инфракрасного диапазонов спектра. В то же время для широкого ряда медицинских приложений необходимо знать и общую оксигенацию венозной и артериальной крови, например, для слежения за процессом потребления кислорода тканью. Также данный метод не позволяет диагностировать оксигенацию крови в отсутствие пульсовой волны, например, у людей находящихся в реанимации.
Известны также устройства для определения степени оксигенации крови оптическим методом на отражение, включающие облучение ткани оптическим излучением двух длин волн красного и инфракрасного диапазонов и регистрацию обратно рассеянного излучения на фиксированных расстояниях от точки ввода зондирующего излучения. Но наряду с определенными преимуществами этот метод имеет существенный недостаток, который заключается в том, что он не позволяет исключить нормировку регистрируемого сигнала на интенсивность падающего излучения, что приводит к дополнительным ошибкам при обработке результатов в определении степени оксигенации крови.
Предложенный в работе способ позволяет создать прибор для измерения общей оксигенации венозной и артериальной крови, усредненной по некоторой области ткани (рассматривая ткань как многокомпонентную рассеивающую среду), на основе метода отражения оптического излучения и измерения относительных значений интенсивности этого излучения в двух точках вне зависимости от падающего излучения.
Внедрение результатов работы: научные подходы и научные
результаты диссертации могут быть использованы в ведущих российских
научных организациях, занимающихся теоретическими и
экспериментальными работами в области оптики и биомедицинской физики, как ИРЭ РАН, ИОФАН, Международный учебно-научный лазерный центр МГУ им. М.В. Ломоносова, Международный институт оптики и биофотоники при СГУ им. Н.Г. Чернышевского.
Научные положения, выносимые на защиту:
Полученная с использованием свойства взаимности функции Грина итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.
Метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния с диффузионной асимптотикой функции Грина. Оценка точности комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса при конечном числе итераций в зависимости от вытянутости индикатрисы и альбедо элементарного акта рассеяния.
Связь немонотонного характера поведения коэффициента отражения на малых расстояниях с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 180 до 90.
Аппроксимация комбинированного метода решения итерированного уравнения переноса путем перенормировки диффузионной асимптотики для некоторых моделей случайно-неоднородных сред, в частности для задачи определения степени оксигенации крови.
Апробация диссертации.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на:
Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений» РОАИ-7, 2004, г. Санкт-Петербург;
XLVII конференции МФТИ, 2004, г. Долгопрудный;
II Евразийском конгрессе по Медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2005», 2005, МГУ, г. Москва;
Международном конгрессе SPIE International Congress on Optics and Optoelectronics (SPIE COO-2005), 2005, г. Варшава, Республика Польша;
IX Международной школе молодых ученых и студентов «Saratov Fall Meeting - SFM'05», 2005, г. Саратов;
XII Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-12), 2005, г. Москва.
Публикации
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 печатных работах, приведенных в списке литературы.
Структура и объем работы:
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы (107 наименований) и приложения. Работа изложена на 114 страницах, содержит 40 рисунков и 5 таблиц.
Методы определения степени оксигенации крови человека
Насыщение крови кислородом (оксигенация) является важным клиническим параметром, определяющим состояние пациента, что особенно важно в процессе проведения хирургических операций, поскольку позволяет указать на необходимость введения больному физиологических растворов или повышения содержания кислорода во вдыхаемом воздухе. На данный момент существуют два способа определения содержания кислорода в крови неинвазивным (бесконтактным) путем -оптическим методом на просвет и оптическим методом на отражение. В первом случае используют источники оптического излучения на двух длинах волн, которые расположены вне ткани и обеспечивают проникновение излучения в ткань. Ослабленное вследствие поглощения и рассеяния излучение регистрируется с помощью приемника излучения, при этом исследуемая ткань находится между излучающей площадкой источников и приемной площадкой детектора (рис. 10). Принцип действия данного типа устройства состоит в том, что оптическое излучение, проходя через ткань с кровеносными сосудами, испытывает поглощение, величина которого зависит от длины волны излучения Я, объемной концентрации Н клеток крови (эритроцитов) и степени насыщения крови кислородом -относительной концентрации молекул оксигемоглобина (НЪ02) и восстановленного (деокси) гемоглобина (НЪ). Облучение проводят на двух длинах волн (Я-660нм и Я = 805 нм), где коэффициенты поглощения оксигемоглобина (НЬ02) и деоксигемоглобина (НЬ) максимально различаются при Я = 660 нм и совпадают при Я - 805 нм (рис. 11). Однако устройства такого типа (пульсовые оксиметры) позволяют провести диагностику оксигенации лишь артериальной крови, так как обработка сигналов производится по пульсовой волне (рис. 10), и только лишь в тех местах организма человека, которые можно просветить оптическим излучением указанных диапазонов. Известны оптические способы определения оксигенации крови, включающие облучение ткани оптическим излучением двух длин волн ближнего ИК диапазона и регистрацию диффузно рассеянного излучения на фиксированных расстояниях от точки ввода зондирующего излучения. На рис. 12 приводится схема измерения степени насыщения крови кислородом в коре головного мозга (церебральная оксигенация) с регистрацией диффузно отраженного излучения [10]. Источник Рисунок 12.
Определение церебральной оксигенации методом светорассеяния. Согласно работе [9] для этого применяется закон Ламберта-Бера в модифицированном виде с использованием ряда подгоночных параметров, который, конечно, не всегда адекватно описывает диффузно отраженное от среды излучение. Существует способ определения общей оксигенации венозной и артериальной крови, усредненной по некоторой области ткани на основе метода диффузного отражения оптического излучения [11]. Данный метод позволяет диагностировать оксигенацию крови в отсутствие пульсовой волны, например, у людей, находящихся в реанимации. В данном способе определения оксигенации крови используется диффузионное приближение, основанное на решении диффузионного уравнения для распространения света в среде с учетом граничных условий [11]. Следует отметить, что диффузионное приближение в ряде случаев нуждается в корректировке, например, в задаче о диффузном отражении узкого лазерного пучка при достаточно малых расстояниях между точками падения пучка и наблюдения обратно рассеянной интенсивности вдоль поверхности среды. 1.3 Выводы к первой главе. 1. Анализ литературы показал, что в задаче о диффузном отражении узкого лазерного пучка адекватной моделью для обработки результатов измерений является диффузионное приближение. 2. Традиционное диффузионное приближение не всегда обеспечивает приемлемую точность и в ряде случаев нуждается в корректировке. 3. Существующие гибридные модели, сочетающие точность метода Монте-Карло и быстроту получения решения в диффузионном приближении, улучшают точность диффузионного приближения, но основаны на эвристических представлениях и нуждаются в аналитическом обосновании с точки зрения стационарной теории переноса. Результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [89-96]. В предыдущей главе были рассмотрены основные приближенные методы решения стационарного уравнения переноса излучения, в том числе и гибридные модели. Как уже было отмечено, в основе известных гибридных моделей лежит техника построения пространственно распределенного эффективного источника, что позволяет получить равномерную асимптотику коэффициента отражения на всех расстояниях от точки падения пучка для исследуемых сред. Иначе говоря, эти гибридные модели осуществляют сшивку двух асимптотик коэффициента отражения на малых расстояниях от точки падения пучка, где преобладает рассеяние с конечными кратностями, и на больших, где применимо диффузионное приближение вследствие изотропизации излучения. Существующие на данный момент гибридные модели или аппроксимирующие выражения основаны на эвристических представлениях. В данной главе рассматривается аналитический гибридный метод описания распространения оптического излучения в среде, в основе которого лежит полученная в настоящей главе итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах. При этом упомянутые выше эвристические представления становятся ясными для понимания с точки зрения свойства взаимности функции Грина.
В этой главе на основании свойства взаимности для функции Грина выводится итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах. Эта форма состоит из двух слагаемых - аналитического выражения для вклада рассеяния с конечными кратностями в диффузную интенсивность выходящего излучения и аналитического выражения для пространственно распределенного эффективного источника. Полученное уравнение составляет основу аналитического гибридного метода решения стационарного уравнения переноса излучения в задаче об отражении узкого лазерного пучка полуограниченным или ограниченным слоем рассеивающей среды. Излучение распространяется в объеме рассеивающей среды и после диффузного отражения регистрируется на некотором расстоянии от точки падения пучка вдоль поверхности среды. Согласно экспериментальным работам [97] достигающее детектора излучение («фотоны») распространяется в однородной рассеивающей среде по направлению к детектору по траекториям, сосредоточенным в области в виде «банана» с концами около точек падения лазерного пучка и выхода излучения. На рис. 13 схематически показаны области распространения излучения от источника к двум детекторам в исследуемой среде при неинвазивным определении степени оксигенации крови оптическим методом на отражение [11]. Распределение диффузно отраженного излучения пучка вдоль поверхности и распределение интенсивности излучения в области распространения внутри среды от источника к детектору могут быть рассчитаны с помощью традиционного диффузионного приближения или его модификаций в рамках теории переноса излучения [1]. В предыдущей обзорной главе были приведены решения уравнения диффузии для полуограниченного слоя рассеивающей среды. В работе [12] в рамках диффузионного приближения получено аналитическое выражение для распределения интенсивности излучения в указанной области распространения при наличии помещенных в среду плоских предметов (шайб) и объяснены результаты экспериментальных работ [97]. Для различных приложений решение уравнения переноса излучения с произвольными источниками и граничными условиями удобно представить в виде суперпозиции решений «фундаментальных» задач, то есть с помощью функций Грина [51-52], и это представляется возможным в силу линейности уравнения переноса излучения. В частности, для произвольной области V можно выразить решение уравнение переноса с произвольным источником и любым распределением падающей лучевой интенсивности через две основные функции Грина: «объемную» функцию Грина и «поверхностную» функцию Грина.
Диффузионная асимптотика функции Грина
В предыдущем разделе мы подробно описали технику построения пространственно распределенного эффективного источника и метод учета вклада 7 N рассеяния с конечными кратностями. Диффузное излучение этого пространственно распределенного эффективного источника можно определить путем его свертки с функцией Грина, которую удобно заменить ее диффузионной асимптотикой. Выходящее из полуограниченного слоя среды диффузное излучение в точке с координатами (r,0,z = O), формируемое изотропным источником, расположенным внутри среды в точке с координатами (г ,в ,г), в рамках диффузионной теории определяется в зависимости от граничных условий соотношениями (1.30) и (1.31), приведенными в обзорной главе 1. С учетом цилиндрической системы координат это выражение примет вид: Для удовлетворения граничных условий отсутствия входящего в среду потока энергии рассеянного излучения в диффузионной теории предполагают равным нулю средней диффузной интенсивности либо на физической границе раздела сред, либо на воображаемой границе вне среды на расстоянии zb - 2AD от физической границы раздела сред. Используют мнимый источник [57,58], который получается из реального источника путем его зеркального отражения относительно плоскости z -zb. Коэффициент А связан с внутренним отражением: в случае если относительный показатель преломления исследуемой среды пгс1 =\, то коэффициент А -1; в противном случае его можно оценить по формуле [25]: где величина г. = \, 440 nfd + 0,710 п 1{ + 0,668 + 0,0636 nrel. Константа = і/3[//а + //,,(1- )]} при умножении на скорость света дает коэффициент диффузии излучения в рассеивающей среде. В выражении (3.4) jueff =3/ [//а +/ (1- )]} обозначает эффективный коэффициент ослабления излучения в диффузионном приближении. Расстояние dx между точкой наблюдения с координатами (r,0,z = O) и точечным источником, расположенным в точке с координатами {r\& ,z ) находится по формуле dx=\r1+r 2-2rr cos(9-9,} + z 1 , а расстояние d2 между точкой наблюдения с координатами (г,в,г = 0) и мнимым точечным источником в точке {r\6\-z-2zb) вне среды определяется формулой Чтобы вычислить вклад Rdiff[r пространственно распределенного эффективного источника Q + (z,г), описываемого вторым слагаемым уравнения (2.27) и построенного с использованием метода Монте-Карло, в коэффициент диффузного отражения R(г), мы заменяем точную функцию Грина G во втором члене правой части уравнения (2.27) на ее диффузионную асимптотику (3.4).
В результате вклад пространственно распределенного эффективного источника представляется выражением: В формуле (3.6) диффузное излучение эффективного источника не зависит от азимутального угла в вследствие цилиндрической симметрии, поэтому точку наблюдения удобно выбрать в точке 0 = 0. Тогда, полный коэффициент отражения R(f) определяется как сумма вкладов рассеяния с конечными кратностями RQ Л-( ) и излучения эффективного источника С учетом равномерного разбиения среды на элементарные ячейки формула (3.6) для излучения эффективного источника переходит в следующую: Как видно из формулы (3.8) в суммировании не используются последние элементарные ячейки как вдоль оси г, так и вдоль оси z с номерами {Nr. \) и (Nz,-1) соответственно. Это связано с тем, что длина свободного пробега в методе Монте-Карло моделируется по логарифмическому закону (см п.З раздела 3.1) и может быть бесконечно длинной. Поэтому крайние ячейки используются для учета фотонов, которые могут достичь находящихся за пределами сетки точек среды. Такие фотоны вносят некоторую ошибку в коэффициент диффузного отражения (в том числе и в распределенный эффективный источник). Эта ошибка пренебрежимо мала в том случае, если общая длина ячеек вдоль осей намного превышает длину свободного пробега фотонов. Численное интегрирование диффузионной асимптотики функции Грина Gdi„ в формуле (3.8) производилось методом Гауссовых квадратур [98]. 3.3 Результаты вычислений коэффициента отражения комбинированным методом решения итерационной формы интегрального уравнения переноса излучения Имея в виду дальнейшее использование аналитического гибридного метода в практических задачах биомедицинской диагностики, были рассмотрены модельные среды, близкие по оптическим свойствам к компонентам биологических тканей. Для удобства во всех расчетах относительный показатель преломления модельных сред принимали пге1 = 1.
Разработанный алгоритм для численного моделирования методом Монте-Карло был протестирован на большом числе конкретных случаев, рассмотренных другими авторами. В частности, для тестирования приведенного в разделе 3.1 алгоритма расчета коэффициента диффузного отражения R(r) аналитическим гибридным методом с учетом кратностей рассеяния до заданного значения N, первоначально была рассмотрена полуограниченная модельная среда (I) с оптическими параметрами из работы [25]. Оптические параметры среды (1) составили: коэффициент рассеяния jus = 100 см , коэффициент поглощения jua = 1 см , средний косинус угла рассеяния (фактор анизотропии) # = 0,9. В силу того, что данная среда была выбрана исключительно в целях тестирования разработанных алгоритмов, она не представляет интереса с точки зрения эксперимента, поэтому длина волны лазерного излучения не указывается. Случай 7V = 0 в аналитическом гибридном методе (2.27)-(3.7) соответствует диффузионному приближению, a N — оо методы Монте-Карло. Действительно, при N = 0 итерационная форма интегрального уравнения (2.27) представляет собой не что иное, как свертку функции Грина с эффективным источником ? (z,r = 0), который в основном сосредоточен на отрезке 0 z 1///, вдоль оси z, совпадающей с осью падающего пучка. В этом случае коэффициент отражения R(r) описывается только вторым слагаемым гибридного метода (3.8) и конечные кратности рассеяния, доминирующие на малых расстояниях от точки падения пучка и в окрестности этой точки около поверхности, не учитываются первым слагаемым гибридного метода (2.27)-(3.7). Под малыми расстояниями имеется в виду расстояния между источником и приемником излучения до одной транспортной длины пробега О г У/І№ l/jus. Для модельной среды (I) эта величина составляет 1//л1г 0,1 см. На рис. 16 приводятся кривые коэффициента отражения R (г) в зависимости от расстояния г между источником и детектором вдоль поверхности среды, полученные в диффузионном приближении Rjijr(r) (N = 0) и численным моделированием методом Монте-Карло мс(г) в задаче диффузного отражения лазерного пучка полуограниченным слоем рассеивающей среды (I). При расчетах размеры
Оценка точности комбинированного метода решения и критическая кратность рассеяния
В предыдущем разделе были приведены результаты расчетов коэффициента отражения для нескольких моделей рассеивающих сред (I-III), в том числе моделей биотканей, с различными значениями среднего косинуса угла рассеяния - фактора анизотропии g. В табл. 2 приведены оптические параметры этих сред. Чтобы достичь приемлемой относительной погрешности коэффициента отражения по сравнению с методом Монте-Карло, например, в пределах 6%, в каждом рассмотренном случае учитывался вклад рассеяния с кратностями до N. А в формировании пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии участвовали рассеяния с кратностью N +1. При этом количество итераций N гибридного метода (2.27)-(3.7) зависит от альбедо a = (iJjAt (или отношения jujjua) и фактора анизотропии g элементарного акта рассеяния (см. табл. 2 и рис. 16-28). Диффузионное приближение описывает излучение изотропного источника в рассеивающей среде. При вычислении коэффициента отражения лазерного пучка полуограниченным слоем рассеивающей среды аналитическим гибридным методом точная функция Грина заменяется на ее диффузионную асимптотику. При этом подразумевается, что после N кратностей рассеяния наступает изотропизация излучения и тем самым эффективный источник становится изотропным. В этом случае излучение этого изотропного эффективного источника можно описывать в рамках диффузионной теории, т.е. замена точной функции Грина на диффузионную асимптотику вполне адекватно. Тогда можно определить критическое значение кратности рассеяния Ncr, при достижении которого наступает изотропизация излучения и излучение эффективного источника можно описывать в рамках диффузионной теории.
В свою очередь это означает асимптотическое сближение кривых (рис. 29) коэффициента отражения, вычисленных с помощью аналитического гибридного метода и численным моделированием методом Монте-Карло, начиная с критической кратности рассеяния Ncr. Характерной длиной, необходимой для изотропизации излучения, первоначально имевшего определенную направленность, в результате рассеяния, является транспортная длина пробега ltr ={jila +/А (l-&)) [100,101]. Исходя из этих соображений, критическую кратность рассеяния при средней длине пробега /, = (//s + jua) легко оценить по формуле Но в силу того, что изотропизация излучения может наступить на нескольких транспортных длинах пробега, истинное значение критической кратности рассеяния Ncr может быть выше оценочного (3.9). Это значение Ncr, начиная с которого происходит асимптотическое сближение кривых (рис. 29, 30) коэффициента отражения на рассматриваемом интервале расстояний между точками источника и приемника, можно оценить в зависимости от альбедо и фактора анизотропии элементарного акта рассеяния, например, по графикам относительной погрешности и Таким образом, учитывая конечные кратности рассеяния до Ncr и, построив пространственно распределенный эффективный источник GjjffQ {z,r), аналитический гибридный метод дает равномерную асимптотику коэффициента отражения на всех расстояниях от точки падения пучка. 1. Получен метод решения итерационной формы интегрального уравнения переноса оптического излучения, составляющей основу аналитического гибридного метода, путем комбинирования метода Монте-Карло для учета конечных кратностей рассеяния и диффузионной асимптотики для функции Грина. 2. Рассчитаны кривые коэффициента диффузного отражения лазерного пучка полуограниченным слоем рассеивающей среды в зависимости от расстояния между источником и приемником излучения вдоль поверхности для модельных сред, близких по оптическим свойствам к биологическим тканям, с помощью аналитического гибридного метода. 3. Рассчитана функция эффективного источника и построены линии одинаковой объемной плотности источника, демонстрирующие глубины проникновения излучения в исследуемую среду и пространственное распределение эффективного источника. 4. Показано, что усовершенствование диффузионного приближения на малых расстояниях происходит за счет учета вклада конечных кратностей рассеяния, а на больших — за счет построения пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии. 5. Получена оценка точности комбинированного метода решения итерационной формы интегрального уравнения переноса в зависимости от альбедо элементарного акта рассеяния и фактора анизотропии.
Предложенная техника построения пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии позволила улучшить точность диффузионного приближения в задаче о диффузном отражении узкого лазерного пучка полу ограниченным слоем случайно-неоднородной среды на больших расстояниях от точки падения пучка вдоль поверхности. Тем не менее, важен вопрос практического использования разработанного в рамках данной диссертационной работы аналитического гибридного метода в медицинских методиках диагностики биологических тканей. Для этих целей желательно использовать упрощенную аппроксимацию аналитического гибридного метода. Особый интерес представляет поведение коэффициента при малых расстояниях между источником и приемником излучения, поскольку на этих расстояниях интенсивность обратно рассеянного излучения можно измерить с малой погрешностью. В данной главе рассмотрены вопросы упрощенного моделирования пространственно распределенного эффективного источника для практических применений. Также исследовано поведение коэффициента отражения на малых расстояниях от точки падения пучка. 4.1 Упрощенное моделирование пространственно распределенного эффективного источника В приборах медицинской диагностики желательно использовать простую аппроксимацию коэффициента отражения. Простая аппроксимация позволяет восстановить параметры среды по профилю обратно рассеянного излучения (коэффициента отражения), затратив минимальное время на обработку результатов измерений. В задаче об отражении лазерного пучка адекватным подходом к обработке результатов измерений является диффузионное приближение [100]. В предыдущей главе мы смогли улучшить точность диффузионного приближения на больших расстояниях, построив пространственно распределенный эффективный источник для уравнения диффузии. Фактически с помощью пространственного распределения эффективного источника нам удалось изменить наклон кривой коэффициента отражения Rdlff{r) диффузионной асимптотики и сократить разрыв между кривыми коэффициента отражения диффузионного приближения Rdiff{r) и численного моделирования методом Монте-Карло RMC(r) (рис. 16). Рассмотрим вопрос о возможности простого моделирования эффекта распределенного источника, позволяющего улучшить точность диффузионного приближения. Для этого вернемся к рис. 22, на котором приводятся кривые коэффициента отражения в зависимости от расстояния между источником и приемником излучения вдоль поверхности среды (II) в виде интралипидной эмульсии (2%). Эти кривые получены в диффузионном приближении GdiffQw(z,r = 0) и численным моделированием методом Монте-Карло RMC(r). Оптические параметры данной среды приведены в главе 3 настоящей диссертации. Заметим, что, начиная с расстояний p S-ltr (8-ми транспортных длин пробега) кривые традиционного диффузионного приближения и метода Монте-Карло находятся на равноудаленном расстоянии друг от друга.
Возможность использования перенормированной диффузионной асимптотики для определения степени оксигенации крови
Рассмотрим двухкомпонентную среду в виде суспензии эритроцитов, содержащих молекулы как оке иге мо глобина, так и деоксигемоглобина. Относительная концентрация молекул оксигемоглобина (относительно общего количества) определяет степень OS оксигенации крови (см. главу 1). Обозначим коэффициенты рассеяния и поглощения для среды в виде суспензии эритроцитов, содержащих только из молекул деоксигемоглобина через fi"b и ц"ь соответственно, что соответствует степени оксигенации OS = 0%. Коэффициенты рассеяния и поглощения для среды в виде суспензии эритроцитов со степенью оксигенации 05 = 100%, содержащих исключительно молекулы оксигемоглобина через ц"ЬОг и ЬОг. Тогда коэффициенты рассеяния и поглощения для среды в виде суспензии эритроцитов с произвольной степенью оксигенации OS будут определяться следующим образом: В табл. 3 приводятся вычисленные по формуле (4.1) оптические параметры такой среды (Н=0,41) для различных значений степени оксигенации OS, причем коэффициенты ц" , ju , ju1/ 2 и ц ь2 были выбраны из [1]. Длина волны лазерного излучения составила Л = 665нм, так как согласно спектрам удельного поглощения (рис. 2) коэффициенты поглощения молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина на данной длине волны максимально различаются. Следует уточнить, что фактор анизотропии g зависит от длины волны излучения и не зависит от степени оксигенации OS. На рис. 36 приводятся кривые коэффициента диффузного отражения для сред (I-V) с оптическими параметрами из табл. 3, полученные с помощью перенормированной диффузионной асимптотики с коэффициентом перенормировки р 3. Из этого рисунка видно, что кривые коэффициента отражения различаются в зависимости от значения степени оксигенации крови OS, что в принципе позволяет восстановить степень оксигенации по измеренным относительным значениям R(r) в двух точках гх и г2 вдоль поверхности среды, не используя абсолютное значение коэффициента перенормировки р. Для наглядного пояснения этого факта рассмотрим относительные значения коэффициента в зависимости от степени оксигенации OS при По профилям обратно рассеянного излучения молено также восстановить оптические параметры среды численными методами [102]. В случае, когда необходимо определить одновременно несколько параметров среды, измерения значений коэффициента отражения в зависимости от расстояний нужно провести уже на других длинах волн. В табл. 5 приводятся оптические параметры для среды в виде суспензии эритроцитов в зависимости от степени оксигенации OS, соответствующие длине волны излучения к — 960 им. В этом случае удельный коэффициент поглощения молекулы оксигемоглобина НЬ02 больше по абсолютному значению, чем удельный коэффициент поглощения молекулы деоксигемоглобина НЬ, что влияет на относительное расположение кривых коэффициента отражения (см. рис. 38). В предыдущей главе рассматривалось поведение коэффициента отражения на больших расстояниях от точки падения пучка.
Однако большое значение имеет зависимость коэффициента отражения от малых расстояний между точками наблюдения и падения лазерного пучка, так как в этом месте можно измерить коэффициент диффузного отражения с минимальной погрешностью [103-107]. На малых расстояниях, где преобладают малые кратности рассеяния, уже нецелесообразно использовать функцию Хеньи-Гринштейна для аппроксимации фазовой функции [107]. В этом случае следует выбирать фазовую функцию с более точным учетом ее возможной анизотропии для больших углов рассеяния в пределах от 180 до 90, так как эти большие углы рассеяния могут быть ответственны с физической точки зрения за немонотонный характер поведения коэффициента отражения в зависимости от малых расстояний между точками наблюдения и падения пучка [69]. Как отмечалось ранее, малые расстояния имеют порядок транспортной длины свободного пробега 1//4,, где /4,-(1- )// . Кроме того, необходимо учитывать конечную ширину диаграммы направленности как падающего пучка, так и приемного устройства. Рассматривается фазовая функция элементарного акта рассеяния согласно работе [69], которая представляется выражением: где весовой коэффициент а є [0, і] обеспечивает нормировку фазовой функции. Параметр М - 0,1,2,3.... Весовой коэффициент а и параметр Ы определяют, в частности, положение локального минимума фазовой функции для больших углов рассеяния в пределах от 90 до 180. На рис. 37 демонстрируется зависимость коэффициента отражения от малых расстояний, отложенных по оси абсцисс в длинах пробега.
Данная зависимость получена при значениях М-21 и а 0.9867 в формуле (4.2) с использованием только первого слагаемого уравнения (2.27) с числом итераций N -60, На этом же рисунке приведены результаты вычисления стандартным методом МК для указанной фазовой функции, полученные в работе [69] и иллюстрирующие немонотонный характер поведения коэффициента отражения на малых расстояниях (//,г 3). Как видно из рис. 37, первое слагаемое аналитического гибридного метода описывает коэффициент отражения на малых расстояниях, где преобладают конечные кратности рассеяния и возможен немонотонный характер поведения коэффициента отражения. Для физической интерпретации немонотонного поведения коэффициента отражения на рис. 38 приведен вид использованной фазовой функции (4.2) с резко выраженным минимумом для углов рассеяния вблизи в - 90. Показано, что локальный немонотонный характер поведения коэффициента отражения в окрестности расстояний /itr = 3 непосредственно связан именно с указанным минимумом фазовой функции (4,2), что подтверждается оценкой в приближении однократного рассеяния на вставке к рис. 38. На этом рисунке в0 = 21,7 - полуширина диаграммы направленности падающего пучка в нашем расчете и в работе [69], /0 = I///, - длина свободного пробега излучения до первого акта рассеяния, р - расстояние между точкой падения пучка и точкой выхода однократно рассеянного излучения. 4.4 Выводы к четвертой главе 1. Получен способ упрощенного моделирования пространственно распределенного эффективного источника для уравнения диффузии путем перенормировки традиционно . диффузионной асимптотики. 2. Перенормированную традиционную диффузионную асимптотику можно использовать в практических реализациях приборов медицинской диагностики, основанных на измерениях относительных значений коэффициента диффузного отражения на двух расстояниях от точки падения пучка, исключая нормировку на интенсивность падающего излучения. 3. Показана возможность восстановления степени оксигенации крови по относительным значениям коэффициента отражения на примере двухкомпонентной среды в виде суспензии эритроцитов (Н=0,41) с различной относительной концентрацией молекул оксигемоглобина и деоксигемоглобина. 4. Исследована и установлена связь возможного немонотонного характера поведения коэффициента отражения лазерного пучка на малых расстояниях между точками источника и приемника с особенностями анизотропии фазовой функции элементарного акта рассеяния на большие углы, в интервале от 90 до 180. Основные результаты и выводы работы состоят в следующем: 1. В задаче об отражении лазерного пучка случайно-неоднородной средой возможен аналитический подход к проблеме повышения точности традиционного диффузионного приближения путем учета вклада конечных кратностей рассеяния как в интенсивность отраженного от среды излучения, так и в формирование эффективного источника. 2. На основе свойства взаимности функции Грина получена точная итерационная форма интегрального уравнения переноса оптического излучения в случайно-неоднородных средах, учитывающая вклад конечных кратностей рассеяния в лучевую интенсивность вблизи точки падения пучка и в пространственное распределение эффективного источника диффузного излучения, выходящего из глубоких слоев среды на поверхность.
