Содержание к диссертации
Введение
I. Теоретические методы исследования распгостранения излучения в дисперсных средах 18
1.1. Теория многократного:: рассеяния волн 18
1.1.1. Рассеяние на отдельной частице 19
1.1.2. Основные; уравнения теории многократного) рассеяния волн 25
1.1.3. Приближение некоррелированных рассеивате-лей. Диаграммная техника 28
ГЛ.4. Приближение волновой зоны. функция когерентности. 33
I.I.5. Приближение, волновой зоны. Высшие: моменты 37
1.2. Приближение марковского случайного'процесса 40
1.3. Перенос энергии; излучения в малоугловом приближении: 45
Выводы 49
II. Применение теории многократного рассеяния волн в приближении волновой зоны 51
2.1. Второй момент поля излучения в случае узконаправленных пучков: 51
2.1.1. Функция когерентности: и: перенос, излучения 52
2.1.2. Оценки: малых диаграмм: . 56
2.1.3. Масштабы пространственной когерентности? 58
2.2. Перенос излучения в грубодисперсной среде:учетом геометрооптического: рассеяния 63
2.2.1. Приближение однократного рассеяния 63
2.2.2. Перенос излучения широкими: пучками: 67
2.2.3. Границы применимости дифракционного приближения 70
2.3. Флуктуации интенсивности излучения при больших оптических толщах 74
Выводы , 76
III. Применение теории многократного рассеяния волн в приближении геометрической оптики 77
3.1. Рассеяние излучения при фиксированных положениях рассеивателей 78
3.1.1. Рассеяние на отдельной частице 78
3.1.2. Многократное рассеяние в геометрооптическом приближении 87
3.2. Перенос энергии излучения . 91
3.2.1. Понятие лучевого поля. Среднее лучевое поле 91
3.2.2. Уравнение переноса излучения 95
3.3. Флуктуации наблюдаемого сигнала 104
3.3.1. Моменты детектируемой мощности излучения 104
3.3.2, Нормированная дисперсия детектируемой мощности 108
Выводы III
ІУ. Применение приближения марковского случайного процесса
4.1. Эквивалентность уравнений марковского приближе ния и теории многократного рассеяния волн 113
4.1.1. Функция когерентности 113
4.1.2. Высшие моменты поля излучения
4.2. Асимптотические решения марковских уравнений . 120
4.3. Перенос энергии пучками 124
4.3.1. Асимптотический анализ интенсивности 124
4.3.2. Режимы распространения пучков 129
4.4. Асимптотический анализ функции когерентности . 134
Выводы 136
Заключение 4 137
Литература
- Приближение некоррелированных рассеивате-лей. Диаграммная техника
- Масштабы пространственной когерентности?
- Многократное рассеяние в геометрооптическом приближении
- Асимптотические решения марковских уравнений
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому исследованию статистических характеристик поля лазерного излучения, распространяющегося в дисперсной среде. В рамках линейной оптики изучаются перенос энергии излучения, пространственная когерентность поля излучения и флуктуации интенсивности. Эти вопросы исследуются на основе теории многократного рассеяния волн и её малоуглового эквивалента - приближения марковского случайного процесса.
Уточним предмет исследования. Основные характеристики излучения в среде (пространственные и угловые масштабы лучевой интенсивности, масштабы функции когерентности, дисперсия интенсивности) зависят от параметров, характеризующих частицы среды, рассеивающий объём, падающий (начальный) пучок излучения, апертуру детектора излучения. При теоретическом рассмотрении обычно принимается ряд асимптотических условий, то есть предполагается, что некоторые из этих параметров или их комбинаций велики (малы). Примером может служить приближение "прямых путей", принимаемое в рамках приближения геометрической оптики, то есть первое приближение теории возмущений для эйконала [2]. В этом случае асимптотические условия таковы: а»д , Ке П- j«f >Ка2» L , Ct/(teti-l)»l. , где CL и ҐІ - размер и показатель преломления частиц, Л и К - длина волны и волновое число излучения, L - длина трассы. Последнее условие означает, что частицы фокусируют излучение за пределами трассы. В этом приближении поле излучения распространяется вдоль лучей падающего поля, то есть отражениями и преломлениями на частицах пренебрегают. При этом функция когерентности имеет единственный поперечный масштаб (радиус когерентности) порядка размеров частиц.. Однако, в приложениях чаще реализуются такие асимптотические условия, когда роль явлений преломления и отраже- ния на частицах существенна. При этом поле излучения в среде имеет двухмасштабный пространственный спектр, то есть лучевая интенсивность и функция когерентности имеют два резко отличающихся масштаба. Больший масштаб лучевой интенсивности (и,соответственно, меньший масштаб функции когерентности) обусловлен отражениями и преломлениями, то есть геометрооптическим рассеянием на частицах. Меньший масштаб обусловлен "тенеобразующей"компонентой рассеянного поля, которая учитывает наличие тени за частицей и дифракцию на контуре частицы. В диссертации рассмотрены именно такие асимптотические условия, приводящие к двухмасштабности спектра поля излучения.- Б частности, предполагается выполнение следующих необходимых (но не достаточных) условий двухмасштабности: I) частицы крупные ( CL »Л ), то есть среда грубодисперсна; 2) велик дополнительный набег фазы при распространении поля внутри частицы: Ka(fen-l) » 1'. Эти условия для краткости в дальнейшем именуются случаем преломляющих частиц.
Теория многократного рассеяния волн применяется в диссертации в приближении Фраунгофера (глава 2) и в приближении геометрической оптики (глава 3). Б первом случае условий (X »Я , Ka(ft-en-l)» 1 і оказывается достаточно для двухмасштабности поля. В приближении геометрической оптики, согласно параграфу 3.1, двух-масштабность обеспечивается дополнительным условием ci» d/ Qq , где Є, - характерный угол геометрического рассеяния, Л сред-нее расстояние между частицами. В главе 4 используется приближение марковского случайного процесса. Необходимым условием применимости этого приближения в случае преломляющих частиц также является двухмасштабность поля излучения.
Важность исследования случая двухмасштабного поля связана с тем, что на практике используются пучки ограниченного поперечного размера. В результате геометрооптическая компонента поля частично теряется пучком и происходит энергетическое ослабление пучка. Б диссертации ослабление интенсивности пучка и уменьшение второго момента поля изучается на основе представления о законе Бугера для рассеивающих (или поглощающих) сред [б, 22].
В случае больших оптических толщ нами используется понятие глубинного (стационарного) режима в формулировке Барабаненкова [l33j, то есть под глубинным режимом понимается отсутствие зависимости второго момента поля излучения от граничных условий в начале трассы.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Б геометрооптическом приближении для плоской падающей волны показано, что перенос энергии излучения описывается уравнением переноса излучения.
В геометрооптическом приближении показано, что сигнал, вырабатываемый детектором излучения, состоит из случаїшой компоненты, обусловленной затенениями точек наблюдения частицами среды, и не-флуктуирующей компоненты, определяемой уравнением переноса излучения.
В геометрооптическом приближении, а также в приближении Фраунгофера, для коллимированного пучка исследована зависимость относительной дисперсии сигнала от оптической толщи. При этом предполагается, что размер апертуры детектора много больше масштаба когерентности, определяемого геометрооптическим рассеянием. При перечисленных условиях показано, что, начиная с некоторого значения оптической толщи, относительная дисперсия сигнала стремится к нулю.
4. В случае крупных преломляющих частиц показана эффективность применения теории возмущений к анализу марковских уравнений для моментов поля излучения. Установлено, что при малых параметрах теории возмущений Т , КЯ-VZ (или L /ксь2- ) t где Т' - оптическая толща, К - волновое число излучения, & - размер частиц, L - длина трассы, асимптотические решения марковских уравнений имеют ясный физический смысл. А именно: а) при Т« 1 асимптотическое разложение решений даёт приближение однократного рассеяния и малые поправки к нему; б) при І/Кйг«і аналогично получено геометро-оптическое приближение и малые поправки к нему; в) при Kal/i « 1 главный член разложения четвертого момента поля равен четвёртому моменту гауссовского поля.
В марковском приближении введён параметр (j , позволяющий выделить условием Q«1 класс узких пучков, то есть пучков, для которых при малых толщах можно пренебречь некогерентной частью второго момента. Показано, что разложение интенсивности по этому параметру даёт закон Еіутера и поправки к нему.
В марковском приближении для узких пучков показано, что *нарушение закона Дугера с ростом оптической толщи означает переход к глубинному режиму. Получены оценки границ применимости закона Еіугера в случае как узких, так и широких ( ^ >> / ) пучков.
Актуальность темы. Важным для приложений теории видом грубо-дисперсных сред являются атмосферные осадки (дождь, снег) [і]и крупнокапельный туман, со средним радиусом капель порядка 10 мкм [б, I28J. Распространяющееся в таких атмосферных условиях излучение лазерных средств связи, дальнометрирования, навигации, сигнализации и локации претерпевает энергетическое ослабление, уменьшение пространственной когерентности и флуктуирует по интенсивности [б, I04J. Поэтому актуальным является теоретическое изучение перечисленных процессов в случае излучения, распространяющегося в грубодисперсных средах, состоящих из оптически жёстких частиц. Так как при практическом использовании лазерных систем в условиях атмосферных осадков и тумана часто реализуются условия, когда излучение претерпевает многократное рассеяние, то теоретические исследования должны основываться на теории многократного рассеяния волн [7, 29J.
К настоящему времени выполнено большое число экспериментальных работ по изучению статистических характеристик лазерного излучения, многократно рассеянного в осадках или модельных грубодис-персных средах [б, 104, 22-27, 30, 62, 63, II4J. Однако выбор условий наблюдения и интерпретация результатов в этих работах часто основывается лишь на общих качественных соображениях; теоретической основой обычно служат формулы приближения однократного рассеяния [б, 104, 9-П, 28, 47, 120, I2lJ. Теоретические исследования многократного рассеяния, дающие практически важные выводы, немногочисленны (назовём работы [43, 44, 92, 108, 118, 119 J ). Поэтому актуальным является исследование распространения излучения в гру-бодисперсных средах при различных асимптотических условиях на основе теории многократного рассеяния волн (ТМРВ).
В настоящее время большое. развитие получают также лазерные методы определения характеристик частиц в различных естественных и искусственных средах [14-16, 21, 39, 86, 120, I2IJ. Решение подобных обратных задач статистической оптики производится почти всегда в приближении однократного или двукратного рассеяния [8--I3J, неприменимом при оптических толщах больших единицы [l09j. Поэтому представляет интерес решение с учётом многократного рассеяния прямых задач, то есть определение зависимости моментов поля излучения от параметров эксперимента.
Состояние вопроса, цель и краткое соде-ржание работы. В статистической оптике дисперсных сред долгое время изучался, в основном, только процесс переноса энергии. Использование лазеров привело к маломасштабным (во времени и пространстве) флуктуациям излучения (назовём пионерские работы [24, 26, 30І ). Таким образом возникла задача теоретического изучения нарушения когерентности излучения и флуктуации его интенсивности. Единственным пос- ледовательным и строгим методом теоретического исследования переноса энергии и флуктуации излучения в средах, состоящих из большого числа дискретных рассеивателеи, является теория многократного рассеяния волн (ШРВ) [7, 29J. С помощью ТМРВ получены фундаментальные результаты по обоснованию и обобщению уравнения переноса излучения (УПИ) и исследованы статистические характеристики излучения в некоторых асимптотических случаях [7, 29, 118J. Моменты поля излучения в ТМРВ представляются в виде рядов, которые имеют ясный физический смысл и позволяют делать оценки применимости упрощающих предположений. Корректное введение асимптотических условий позволяет трактовать ряды ШРВ как ряды теории возмущений. Такой подход реализован, например, в работах [61, 71, 72, II8J, где для системы крупных частиц принято приближение Фраунгофера[7].
Таким образом, теоретические вопросы статистической оптики дисперсных сред должны решаться на основе ТМРВ или некоторых эквивалентных ей методов. В соответствии с этим главы 2, 3 диссертации основаны на использовании ТМРВ, в частности, глава 2 посвящена дальнейшему развитию подхода работы [lI8J, то есть приближению волновой зоны в ТМРВ. В связи с этим во вводной главе I приведены общие положения ТМРВ и результаты работы [II8j. Глава 4 основывается на уравнениях для моментов, полученных в [92jh эквивалентных ТМРВ в рамках приближения параболического уравнения.
В рамках весьма общих предположений обоснование УПИ с помощью ШРВ произведено в [75]. Однако величина, определяемая полученным в [75 J УШ, в общем случае не может интерпретироваться как лучевая интенсивность теории переноса излучения |_83, 84J. Так, в приближении параболического уравнения УПИ удовлетворяет "лучевая интенсивность", равная фурье-преобразованию функции когерентности. Согласно |_2J, эта "лучевая интенсивность" определяет интенсивность излучения в фокальной плоскости приемного объектива и, следователь- но, описывает перенос энергии излучения. Однако, приближение параболического уравнения не применимо для среды малой плотности, состоящей из частиц размером # ~ А . В случае же преломляющих частиц приближение параболического уравнения (ПУ) означает пренебрежение геометрооптической компонентой поля, обусловленной преломлениями и отражениями. В связи с этим в разделе 2.1,1 (глава 2, параграф I) диссертации исследуются вне рамок приближения ПУ функция когерентности и, связанная с ней, "лучевая интенсивность". При этом оцениваются масштабы функции когерентности и рассматривается возможность интерпретации "лучевой интенсивности" в терминах теории переноса.
В соответствии с рамками диссертации ограничим обзор случаем сред из определенных выше преломляющих частиц. Тогда для отдельной частицы рассеянное поле [58, 59J состоит из тенеобразующего поля [92] и геометрооптического (ГО) поля, испытавшего преломления и отражения. Аналогично может быть представлено поле в среде. Будем рассматривать асимптотические условия , при которых пространственный спектр поля двухмасштабен. В этом случае ГО компонента поля в среде много меньше тенеобразующего поля и обычно не учитывается при вычислении моментов поля [б, 18, 33, 47, 118, I20j. Фактически это означает замену частиц на абсолютно поглощающие той же формы. Следуя [l8j, будем называть этоприближение моделью черных частиц (МЧЧ ) . Очевидно, что актуальной является задача определения границ применимости МЧЧ и учет вклада ГО компоненты поля в перенос и флуктуации излучения. В связи с этим в главах 2, 3 изучается многократное рассеяние с учетом ГО компоненты рассеянного, поля. В главе 2 рассмотрение ограничивается приближением Фраунго-$ера [7]. В этом случае модель черных частиц может быть, названа дифракционным приближением. Показано (раздел 2,2.2 ) , что лучевая интенсивность состоит из компоненты Ы, являющейся решением УІШ в дифракционном приближении и компоненты II , учитывающей некогерентное ГО рассеяние. Для компоненты П получено интегральное УПИ, при этом начальной лучевой интенсивностью служит /^ . Эти результаты позволили сравнить вклады в среднюю интенсивность дифракционного и ГО рассеяния и дать оценку границы применимости модели чёрных частиц (раздел 2.2.3). Кроме того, получены оценки относительной дисперсии интенсивности, учитывающие вклад ГО рассеяния.
Практически все работы, в которых получены конкретные.численные или аналитические результаты, используют приближение Фраунго-фера. Однако при коротких трассах рассеяние на крупных частицах необходимо описывать с помощью лучевой [41 ./(геометрической, по терминологии [II2J ) оптики. Многократное рассеяние в ГО приближении изучалось в работах [48, 50, III, I0J. При этом в случае рассматриваемых асимптотических условий использовалась модель чёрных частиц ("чёрных экранов" в [48, 50]). Для объяснения экспериментальных результатов [27J по флуктуациям детектируемого сигнала в [illJбыла предложена модификация модели "чёрных экранов", феноменологически учитывающая ГО рассеяние. Таким образом, актуальным является изучение ГО приближения на основе ТМРВ с учётом преломления и отражения поля излучения на частицах. Этой задаче посвящена третья глава диссертации. В основу рассмотрения положено понятие лучевого поля (поля, приходящего в точку наблюдения по физически бесконечно малому телесному углу). Явная запись лучевого поля потребовала изучения рассеяния на отдельной частице и на системе частиц (параграф 3.1). Изучение второго момента лучевого поля (параграф 3.2) показало, что перенос энергии излучения описывается УПИ. Это позволило оценить вклад ГО рассеянного излучения в интенсивность ограниченного колли-мированного пучка. В параграфе 3.3. найдены высшие моменты лучевого поля, которые определяют моменты мощности, регистрируемой детектором излучения. На основе результатов параграфов 3.2, 3.3 в параграфе 3.4 рассмотрена относительная дисперсия сигнала, как функция оптической толщи. Показано, что эта функция сначала имеет максимум,, а затем убывает к нулю.
Обратимся к приближению МЧЧ, которое эквивалентно приближению ПУ [92J и является разновидностью малоуглового приближения [2J. В этом случае вместо громоздких рядов ШРВ были предложены другие, более компактные методы. Так, в [l7, I8j Калашниковым и Рязановым была предложена компактная запись поля в среде, позволяющая найти второй момент в малоугловом приближении (малоугловое УПИ было ранее решено Долиным в работе [43 J ). Дія решения малоугловой задачи были использованы также методы, применявшиеся поначалу в случае плавно-неоднородных сред [_2, 80, 94J : приближение марковского случайного процесса (МОП), метод плавных возмущений (МПВ), метод Гюйгенса-Кирхгофа (МГК) [20, II7J. Однако применение МПВ в случае оптически жёстких частиц в [28 ] не обосновано (подобно случаю плавно неоднородной среды МШ может применяться в случае мягких частиц [90, 91J ). Вариант МГК, примененный в [l9, 32, 33 J для дисперсной среды, с теорией многократного рассеяния волн не сопоставлялся.
Обратимся к приближению МОП. В общем виде, без конкретизации коэффициентов, уравнения для моментов в приближении МОП могут быть записаны для произвольной оптически мягкой среды [77, 78J. В работе Борового [92 J в качестве компактного эквивалента ТМРВ получены в явном виде марковские уравнения в общем случае крупных частиц, находящихся в плавно-неоднородной среде. При этом в случае МП уравнениям дано убедительное качественное обоснование. Более детальное доказательство эквивалентности марковских уравнений и ШРВ в рамках МП проведено в параграфе 4.1. Хорошо известен успех приближения МОП в случае плавно-неоднородных сред: второй момент (функция когерентности) находится в квадратурах [2J, для четвёртого момента получены асимптотические выражения в облас- -14-ти сильных флуктуации (36^38, 123J. Применению приближения МОП к дисперсным средам посвящена четвёртая глава диссертации. Так как частицы предполагаются преломляющими, то предметом исследования являются уравнения Борового для моментов в случае МЧЧ. Асимптотический анализ уравнений для моментов произвольного порядка проводится в параграфе 4.2 с помощью теории возмущений. Важной задачей является анализ второго момента, который записывается в квадратурах аналогично [2J в случае произвольных узконаправленных пучков. Ранее лучевая и средняя интенсивности исследовались в [43, 44J, при этом оценивались границы облаете^ однократного некогерентного рассеяния, закона Цугера и глубинного режима. Однако, в работах [43, 44J фактически использовалось приближение Фраунгофера и рассматривались только коллимированные пучки в ГО зоне передающей апертуры. Марковское выражение для второго момента позволяет анализировать режимы распространения пучков вне рамок приближения Фраунгофера. Такой анализ производится в параграфах 4.3, 4.4 для гауссовых, возможно сфокусированных, падающих пучков при произвольной длине трассы. Б выражении для второго момента выделен параметр 0 , малость которого необходима для выполнения закона Бугера для рассеивающих сред. При <у>Н, то есть для "широкого" пучка, подобного плоской волне, также происходит экспоненциальное убывание интенсивности пучка. Здесь же выяснен физический смысл условий ^«^ , Q » і . Асимптотический анализ интенсивности по параметрам <^ , Q , f (параграф 4.3) позволил получить интенсивность пучка при различных режимах распространения и оценить границы областей этих режимов. Кроме того, в разделах 4.3, 4.4 даны оценки масштабов второго момента по разностному аргументу и по расстоянию от оси пучка.
Первая глава - вводная, при этом параграф I.I предваряет главы 2, 3, а параграфы 1.2, 1.3 предваряют главу 4. Нумерация формул в пределах глав сквозная; при ссылке на формулу из другой главы к номеру формулы приписывается номер главы.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. На основе теории многократного рассеяния волн в геомет- рооптическом приближении получено уравнение переноса излучения, которое в явном виде учитывает преломления и отражения излуче ния на частицах среды. На основе теории многократного рассеяния волн в приближении Фраунгофера уравнение переноса излучения сведено к системе двух более простых уравнений.
Исходя из полученных уравнений переноса в обоих указанных приближениях найдены количественные оценки оптических толщ, начиная с которых начинает преобладать вклад в перенос энергии геометрооптически рассеянного излучения.
Оценена относительная дисперсия сигнала, вырабатываемого квадратичным детектором излучения в случае больших оптических толщ (в геометрооптическом приближении и в приближении Фраунгофера) .
На основе теории многократного рассеяния волн в приближении геометрической оптики получено общее выражение для произвольного статистического момента сигнала, вырабатываемого детектором излучения.
С помощью теории возмущений произведено асимптотическое исследование уравнений марковского приближения для моментов поля излучения. При этом рассматривается случай дисперсной среды, состоящей из оптически жёстких частиц. Выяснен физический смысл асимптотических форм марковских уравнений. Получены поправки к известным асимптотическим решениям.
5. В приближении марковского случайного процесса количест венно обоснована обычно использующаяся классификация режимов распространения пучков в грубодисперсных средах. При этом по лучены оценки границ областей существования таких режимов, как однократное некогерентное рассеяние, закон Буг ера, глубинный режим.
Практическая ценность. При практическом использовании лазерных систем измеряемой величиной ( регистрируемым сигналом) обычно является мощность излучения, прошедшего случайную, например, дисперсную среду. Наличие случайной среды обуславливает пространственные и временные флуктуации регистрируемого сигнала, а также его энергетическое ослабление. Кроме того, приемник излучения помимо проходящего пучка всегда регистрирует некогерентно рассеянное излучение, которое составляет фоновую помеху [б] . Для сравнения величины перечисленных искажений сигнала (помех) с полезным сигналом необходимо изучать моменты поля излучения, связанные с точками наблюдения, расположенными в пределах начального (проходящего) пучка. Такая постановка задачи принята в настоящей работе.
Полученные в диссертации оценки условий, при которых дисперсная среда порождает флуктуации регистрируемого сигнала, и оценки условий существования основных режимов распространения пучков могут быть использованы для оптимального проектирования лазерных систем, работающих в условиях атмосферных осадков и тумана. Эти же оценки могут применяться при разработке оптических схем и интерпретации результатов экспериментов по изучению распространения лазерного излучения в грубодисперсных средах.
Предложенные в работе методы вычисления асимптотических выражений для моментов поля излучения в случае плоской волны, а также для второго момента в случае гауссова пучка, применимы в широком диапазоне длин трасс и оптических толщ для естественных и модельных дисперсных сред.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссер- тации, опубликованы в работах [бб, 88, 115, 116, 131, 132] и докладывались на У иУІ Всесоюзных симпозиумах по распространению лазерного излучения в атмосфере [95-97J, на Первом и Втором совещаниях по атмосферной оптике [98, II0J .
Автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-мате матических наук, ст.н.с. А.Г. Боровому за научное руководство и помощь в работе.
Приближение некоррелированных рассеивате-лей. Диаграммная техника
При большом числе рассеивателей (ИЛ ) представляют интерес только средние по состояниям среды характеристики поля: моменты поля и интенсивности, лучевая интенсивность, закон распределения. Поэтому под ТМРВ в статистической оптике и радиофизике понимают нахождение моментов поля излучения усреднением выражений, полученных из формул (33), (34) ТМРВ Ватсона [7, 29]. Будем обозначать операцию усреднения скобками ,, ш у . Для получения моментов поля . У записывают с помощью (33) или (34) произведения WCftf) ( )... .Получившиеся ряды усредняют, обычно, следуя Фолди [126], по статистическому ансамблю частиц, случайно расположенных в пространстве. Для упрощения формул будем считать частицы сферическими и одинаковыми. Тогда среднее любой величины FL1") , где ы=--Llir„Т)находится усреднением по всем возможным конфигурациям где Wit") - плотность вероятности конфигураций, учитывающая корреляцию положений различных частиц. Запишем среднее поле У() » усредняя ряд (34). Тогда, как нетрудно видеть, определится родовыми функциями распределения і Функции /ft могут быть записаны через корреляционные функции, характеризующие корреля цию положений рассеивателей [68]. Таким образом, моменты поля представляются в виде рядов, члены которых определяются произведениями корреляционных функций, то есть представляются в виде групповых разложений [69]. Оставляя в рядах для только так называемые неприводимые члены, получают Гб9]уравнения Дайсона и Бете-Солпитера:
Здесь функция Грина уравнения (31). Массовый оператор М и оператор интенсивности К определяются описанными выше рядами. Дальнейшие приближения состоят в переходе к модели некоррелированных [126, 118, 70 - 72J или парно-коррелированных [73J рассеивателей. Другое упрощение основано на обрывании ряда по кратностям рассеяния (34).
Уравнение (37) позволяет получить уравнение переноса излучения (УПИ) [69, 70, 74 - 76 J , а также обосновать такие понятия теории переноса как эффективная неоднородность [75J и лучевая интенсивность. В частности, в [74]рассматривалась задача о падении плоской волны eXp(i-KZ)на слой L Z O . Для некоррелированных рассеивателей основное принятое в [74J условие имеет вид где масштаб. Было показано, что УПИ получается путем перехода в (37) к величине, определяемой равенством где R-(OfO,Z) . To есть величина J(ZL,MZ) может интерпретироваться как лучевая интенсивность "на глубине Z " и в направлении =(ггх,а ,пг)
Эффективным упрощением задачи является предположение о статистической независимости (некоррелированности) положений рассеивателей, использованное в f126, 70-72, 118, 125]. В этом и следующих разделах I.I.4, I.I.5 будет изложен метод и результаты работ f71, 72, 118J, где приближение некоррелированности (и приближение волновой зоны) позволило выйти за рамки изучения второго момента.
Предположение о некоррелированности, очевидно, выполняется в случае сред малой плотности, для которых собственный объем частиц /\/&3 много меньше объема V- Lсистемы частиц, то есть[бі] CL«d (40) где d-LN - среднее расстояние между частицами. Условие (40) выполняется, в частности, для крупных частиц, рассеивающих в среднем в свою зону Фраунгофера, то есть при условии
Другим условием некоррелированности является отсутствие далъно-действующего, с радиусом действия взаимодействия. Для некоррелированных рассеивателей плотность вероятности конфигурации равна плотность вероятности для -ой частицы. В случае одинаковых частиц имеем Если при этом все положения 1 каждой частицы равновероятны, то Тогда формула усреднения (35) принимает вид при этом V связано с концентрацией частиц с соотношением
В общем случае под объемом V надо понимать ограниченный эффективный рассеивающий объем. Тогда число частиц находящихся в V будет случайным и характеризуется распределением Пуассона: где N - среднее число частиц в V . Таким образом, после усереднення (43) необходимо усреднять по N с помощью (45), а затем переходить к Н- [з]при N/V C COrist. Плотность вероятностей P(M)V соответствует пуассоновскому случайному процессу [77]. Б рассматриваемых ниже оценках оказывается достаточным устремить А/- « » после усреднения по (43), так как учет (45) не меняет результата.
Усреднение (43) в общем случае должно быть дополнено усреднением по параметрам частиц учитывающим их форму, размеры и ориентацию. Такое усреднение с помощью плотности вероятностей Р- П PC j) всегда может быть произведено в окончательных формулах.
Масштабы пространственной когерентности?
Качественно проанализируем выражение (II), определяющее функцию когерентности, считая частицы крупными, преломляющими. Оценим масштабы Г(&і,Яг) по поперечной разностной переменной Согласно (II) масштабы Г(Яи&г) определяются масштабами функции 1(7, п) по 1± . в связи с этим оценим среднюю кратность некогерентного рассеяния 1 . Определим п. как порядок лестничных диаграмм, дающих основной вклад в интенсивность Запишем JCR) с помощью (13) и подставим Т fd +fa согласно (16.1). Среди лестничных диаграмм выделим содержащие хотя бы одну амплитуду /у - ГО диаграммы. Вклад остальных (дифракционных) диаграмм равен интенсивности в дифракционном приближении J (R) . Таким образом, некогерентная компонента интенсивности Js разобьется на дифракционную и "широкоугольную" компоненты:
Дифракционные диаграммы порядка n Y при малой кратности рассеяния оценивались в 2.1.2, они дают основной вклад в 3g при
Пусть тогда следует провести более точные оценки, которые продемонстрируем на примере диаграммы А Ш (рис. I). Её вклад равен сечение пучка »L/KQ- . Аналогично, для диаграммы п -го порядка имеем. Используя формулу Стирлинга п J tt exp (r HSri » находим, что С /г/ при Г"-/г Следовательно, средняя кратность рассеяния имеет порядок оптической толщи ;
Оценка П- позволяет сделать, в частности, качественный анализ зависимости сечения пучка в среде от толщи Г , то есть оценить масштабы J (R) . Очевидно, что J(R)=JC(R) + j (R)+-+ Jg(R) имеет no Ri lR±l три масштаба:
Масштаб когерентной части интенсивности Jc , совпадаю щий с масштабом р интенсивности падающего пучка У Согласно (17) некогерентное дифракционное рассеяние при водит к образованию компоненты Jd с масштабом
Аналогично, некогерентное ГО рассеяние дает составляющую пучка сечением Согласно (17.1) масштабы р , р резко отличаются: А Р/ Для первого и третьего слагаемых F в (23) достаточность приближения Френеля очевидна. Нетрудно также убедиться, что учет следующих членов в разложениях К Rz , К Rj не меняет оценку масштаба, обусловленного la Lltrt) . Отсюда следует важный для приложений вывод. Известно, что интенсивность в фокальной плоскости приемного объектива Jcp равна Фурье - преобразованию функции Г( р, р+, L) по р . Тогда, согласно (23), Jcp будет иметь те же масштабы, которые имеют слагаемые 1(1,11) в (21) по аргументу 1± . Если масштабы (18-20) резко отличаются, то по наблюдениям 7Ф можно не только определять размеры частиц и толщу Т [32, 867, но и судить о показателе преломления частиц.
Итак, согласно (23), (22), функция когерентности. Г- Гс+Г5 имеет по Р три, в общем случае различных, масштаба. Первое слагаемое в (22), (21) даёт "функцию когерентности" падающего поля Г (Я,,/?г). Её масштаб для коллимированного пучка при размере передающей апертуры А равен pl А при к А . і и р± І Сїк при к A Z« L Дифракция на частицах обуславливает масштаб рА а/К (24) а ГО рассеяние обуславливает масштаб при этом для преломляющих частиц
Физически очевидно, что при больших кратностях рассеяния первоначальная структура падающего поля должна теряться, то есть в УШ (60.1) ив Г- Гс + Г$ можно пренебречь когерентной частью. Такой режим распространения излучения будем называть глубинным, ниже он изучается в разделах 2.2.3, 4.3. В глубинном режиме ІСЧ,п) и r(R ifR.z) имеют по два масштаба: геометрооптический и дифракционный. Отметим связь с задачей переноса изображения: при наступлении глубинного режима согласно [6, 22/ невозможен перенос полезного сигнала когерентной частью излучения. Принятое нами определение глубинного режима отличается от введенного в [108 J и обычно используемого при интерпретации экспериментов. В [108] под глубинным режимом понимается появление при больших 2 = L определенного, не зависящего от Z , распре деления лучевой интенсивности по направлению п. . При этом падающее поле берется в виде плоской волны, то есть зависимость от начальных условий по 2х, іне рассматривается.
В этом и следующем параграфах частицы предполагаются преломляющимиК a и прозрачными. Качественный анализ показал (раздел 2.1.3), что в этом случае лучевая интенсивность состоит из дифракционной компоненты Id Iс + Id. и компоненты 1д связанной с ГО рассеянием. В этом параграфе 1л будет исследовано подробно в случае падающего поля имеющего лучевое описание (условие (І)). В 2.3. будут приняты те же предположения. Учет поглощения может быть сделан в любой формуле 2.2, 2.3 простым переопределением амплитуд рассеяния
Рассмотрим перенос энергии в приближении однократного (в смысле ТМРВ - см. раздел I.I.3) рассеяния. Результаты данного раздела помогут также выяснить физический смысл оценок, проводимых на основе ТМРВ в следующем разделе. Согласно принятым предположениям выполняется условие (2) приближения Фраунгофера, которое в приближении однократного рассеяния имеет вид К Л 4 L, .
Вначале рассмотрим баланс энергии при рассеянии на отдельной частице. Уравнению Гельмгольца (5.1) соответствует закон сохранения энергии [2] dlwj -o или где S - любая замкнутая поверхность; dns = ns oLS , tls единичная нормаль к S . При этом плотность потока мощности Т равна где d -С(8$Ґ , если под т понимать напряженность электрического поля. Для акустических волн, когда т - потенциал скорости, имеем о( = 0Cdz/2V , где О - плотность среды, V" - скорость звука, СО - частота. Положим k-i , это не .изменит дальнейших оценок, основанных на (27). В силу (14.1) интегрируя \%д\ , 2 Re У5с/ Ц & можно ограничиться областью Т. . Согласно (29.1) интенсивность IH sdCk)} та же, что за отверстием, совпадающим с геометрическим течением частицы и расположенным в плоскости, проходящей через 1 . Рассматривая поток мощности через такое отверстие, получаем
Многократное рассеяние в геометрооптическом приближении
Согласно теории многократного рассеяния Ватсона решение задачи рассеяния в случае системы частиц имеет вид ряда (34.1); по кратностям рассеяния. Будем предполагать, что поле и поля Р Уо , У , образовавшиеся при однократном рассеянии на каждой частице имеют лучевое описание, то есть выполняются условия К (pi) » L и где L - размер рассеивающего объема. Из (31) следует, что Kdz»\ i Ч-Л то есть лучевое описание будут иметь поля, образовавшиеся при произвольном числе перерассеяний. Примем также условие где d, - среднее расстояние между частицами, - масштаб амплитуды /z (см. (I5.I)). При этом условии поля %- , образовавшиеся при перерассеяниях примут простейший вид, аналогичный (4), (19), (22). Отметим, что условие (32) противоположно условию CL«CL/OQ. , фактически принятому в приближении "прямых путей" в [48J. Действительно, при d«a/ft,, согласно (13 -15), (22), (23), радиусы кривизны волнового фронта поля пр на расстоянии от частиц порядка d имеют порядок Rnp d/9o» d и расходимостью лучей перерассеянных полей можно пренебречь.
Подставим в ряд (34.1) оператор рассеяния на L -ой части в виде определен ним в операторам Тп = TQ Р приписан индекс частицы.
В полученном ряде действие операторов г? зависит от положений частиц. Оператор = Р+-Х дает однократно рассеянное поле. Покажем, что при условиях (8) (где надо положить R L ), (31), (32) оператор t- Р+ 7 правильно описывает перерассеяние поля, то есть (33) - решение задачи многократного рассеяния. Продемонстрируем это на примере системы из двух абсолютно отражающих частиц, когда L=J,Z ; % 4 .
Во-первых покажем, что произведение операторов Qiz QH определено. Согласно (13-15), (10), (II), (I), (18) поле Q Ц 0 на расстоянии d от первой частицы имеет радиус кривизны порядка d . Тогда, согласно (32), будет выполнено условие (18) для поля Зн % . , как для падающего на вторую частицу. Поэтому поле Q12.QH % имеет тот же вид (19), (20), что и QH % . Это и означает, что произведение Qa Q н определено. При этом d» Zc CL , где 1С - расстояние от первой частицы до каустик поля Q. н % » то есть на расстоянии d лучи поля QH % расходятся. Оператор 0. % "переводит" эти лучи снова в семейство расходящихся лучей. В результате, при рассеянии любой кратности одна и та же частица не может одновременно и затенять точку R. и отражать в неё, то есть
В пределах применимости лучевой оптики в ТШгВ естественным образом возникает такая основная величина как мощность J-(R Q), приходящая в точку наблюдения R внутри малого телесного угла величиной (Ги) в направлении ъС . при этом -(RfQ.) является случайной величиной, зависящей от конфигурации системы частиц. Далее будет показано, что при физически бесконечно малом О со средняя мощность имеет вид У (Я П) - 1{ЯрО.) 5"(А) , где плотность средней мощности l(R,Q) определяется УПИ и имеет смысл лучевой интенсивности.
Отметим, что условие (32) обеспечивает выполнение условия (40.1) статистической независимости положений частиц, поэтому усреднение будет производиться по форме (43.1). Падающее поле далее считается плоской волной. Частицы для определенности будем считать прозрачными. Учет поглощения изменит величину, но не масштабы амплитуд _ (раздел 3.I.I) и, как следствие, не изменит основных результатов параграфов 2-4.
Следовательно сигнал вырабатываемый детектором равен где суммирование 21 п0 (оОО 12) ограничено угловой апертурой детектора U) ) ҐІ. - нормаль ко входному люку $п детектора. Таким образом, мощность, приходящая в R внутри малого телесного угла (3 COjQ), равна
Согласно (43) моменты сигнала Jn определяются моментами
Моменты - , а также среднее лучевое поле f (R9SI) , будем вычислять согласно общей схеме ТМРВ, списанной в разделе I.I.3. А именно: запишем с помощью (41) ряд, определяющий произведение 2-(їГ,,&і) J- (#г, S2Z)... . Ряды У"2— i.WLR,32) будем интерпретировать как ряды теории возмущений. Так при вычислении момента JYR SI) = 14у (R,Sl)l д.-го порядка существенными будут диаграммы (члены рядов) порядка Гт[S oo) Пренебрежимо малые члены будут отличаться от существенных параметрами
Найдем среднее лучевое поле . Так как где фигурные скобки в Величина равна W(R) % (R) , где W(R.) - вероятность не затенения точки R в модели черных частиц (черных экранов), определяемая (76.1) при R.L-R. .В результате, получаем то есть существенные диаграммы имеют порядок Перейдем к усреднению членов (41), содержащих операторы При этом можно выполнить интегрирование по координатам затеняющих частиц. Например, сгруппировав члены с одним оператором , получим выражение
Усредним по всем частицам кроме"/ -ой, то есть при фиксированной точке выхода 1$. луча . Средние от дадут вероятности незатенения точек R и 1%., в результате Таким образом, учет операторов с сводится к выписыванию множителей вида екр C-C4lJF-?il) , expC-cJ/fy- f) . Покажем, что завершение процедуры усреднения членов (41) с Q i приводит к малым параметрам.
Асимптотические решения марковских уравнений
При коротких трассах, когда выполняется условие применимости приближения ГО (31), возникают флуктуации интенсивности вслед-ствии случайной экранировки (затенения) частицами точки наблюдения. Этот эффект исследовался экспериментально в [114, 27, 30]. Для объяснения результатов [27] потребовалось учесть вклад в сигнал Jn ГО-рассеянного излучения. В было выдвинуто предположение, что сигнал Jn (43) состоит из случайной компоненты обусловленной экранировкой, и из постоянной компоненты JJL , учитывающей перенос энергии при ГО рассеянии:
При этом и предлагалось определять по измерениям средней интенсивности J(R) . Предположение (54) не является очевидным и недостаточно для решения вопроса о моментах Un . Необходима также теоретическая оценка зависимости и, от толщи Т . В этом параграфе будет найдена статистика величины -(И Л) , определяющей моменты Уп . Это позволит, в частности, обосновать выражение (54)
Соответствующий радиус корреляции имеет порядок Переидем к диаграммам, содержащим операторы Очевид но, что малыми будут диаграммы тех типов, которые указывались при вычислении у . При этом, к числу диаграмм, содержащих под интегралами быстро осциллирующие множители, добавятся диаг раммы видачі//) со связями "перемешивающими" верхнюю и нижнюю пары линий и вта(Ш) со связями между операторами Q , лежа щими на несопряженных линиях. После отбрасывания указанных диаграмм остаются диаграммы вида (\\) (W) (V) (УН) , содержащие однократное спаривание Q% с одинаковыми индексами, а также однократное спаривание 9 . Рассмотрим диаграммы вида (IV) со связями между операторами Р , стоящими на линиях верхней и нижней пар. Оценим эту диаграмму. Если Л = SI , то при фиксированных положениях область интегрирования по 13 -конус с углом раствора 9 -CL/L . Согласно (39) в угол раствора, соответствующий о со . Поэтому диаграммой (IV) можно пренебречь по сравнению с 00 . При At Л. , вслед-ствии (39) диаграмма (W) равна нулю.
1. В ГО приближении возможно введение таких основных понятий как "лучевое поле" и мощность J- , приходящая в точку наблюдения по физически бесконечно малому телесному углу. Моменты этих величин могут быть записаны и исследованы с помощью теории многократного рассеяния волн. Тем самым исследуются моменты сигнала, вырабатываемого детектором излучения, которые выражаются через моменты мощности
2. Средний сигнал определяется средней мощностью и, в конечном счете, лучевой интенсивностью. То есть перенос энергии в ГО приближении описывается обычным уравнением переноса.
3. Явный вид УЖ, полученный на основе ШЕВ, позволяет, в частности, оценить компоненту средней интенсивности коллимиро-ванного пучка, обусловленную ГО рассеянием. Эта компонента убывает с ростом толщи медленнее, чем экспоненциально убывающая компонента, обусловленная экранировкой частицами точки наблюдения. В результате, начиная с определенных значений толщи,ГО компонента интенсивности преобладает.
4. Высшие моменты сигнала выражаются через моменты J- , которые имеют два резко отличающихся масштаба по разностной пространственной переменной. Больший масштаб тот же, что в модели черных частиц; меньший обусловлен ГО рассеянием и порядка зоны Френеля.
5. При апертуре детектора много большей зоны Френеля достаточно ограничиться крупномасштабной частью корреляционной функции мощности У . В результате как J- , так и сигнал равны сумме флуктуирующей и постоянной компонент. Первая компонента совпадает с J" (или, соответственно, с сигналом) в модели черных частиц. Вторая компонента учитывает ГО рассеяние и определяется лучевой интенсивностью, (решением УЇЇИ).
6. Если флуктуации сигнала определяются только статистической экранировкой детектора, то в случае коллимированного падающего пучка и больших оптических толщ Т , нормированная дисперсия & как функция f имеет максимум. При этом J3 сначала экспоненциально растет, а затем экспоненциально убывает.
7. Отметим центральную роль принятого в главе 3 условия при малых кратностях рассеяния). Благодаря этому условию: а) становится возможной простейшая запись ГО рассеянных полей и факторизация перерассеянных полей; б) У "Функции когерентности" Y Ky )V (Иь Я-)У и моментов появляются два резко отличающихся масштаба, упомянутых в пунр:те 4; в) выполняется условие статистической независимости положений частиц. Отметим также, что условие d»Q./0a выполняется в области применимости модели черных частиц.
