Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Расчёт компактного коллиматора и массива линз для формирования заданных распределений освещённости 15
1.1 Расчёт компактного коллиматора 15
1.1.1 Конструкция коллиматора 15
1.1.2 Аналитический расчёт 16
1.1.3 Численное моделирование работы коллиматора 19
1.2 Расчет массива оптических элементов для формирования заданного распределения освещённости 25
1.2.1 Описание принципа работы 25
1.2.2 Аналитическая часть 27
1.2.3 Численное моделирование работы коллиматора с массивом линз 30
1.3 Выводы 37
Глава 2 Расчёт оптических элементов для систем подсветки дисплеев 39
2.1 Оптический элемент на эффекте полного внутреннего отражения для светодиодных систем подсветки дисплеев 39
2.1.1 Описание принципа работы 39
2.1.2 Аналитическая часть 42
2.1.3 Результаты численного моделирования 45
2.2 Зеркальный оптический элемент для систем подсветки 51
2.2.1 Описание принципа работы 51
2.2.2 Аналитический расчёт 52
2.2.3 Численное моделирование 55
2.3 Выводы 60
Глава 3 Аналитический расчёт оптических элементов для фокусировки вдоль кривых и на поверхность вращения 62
3.1 Аналитический расчет преломляющих оптических элементов для фокусировки в кривую в плоскости, перпендикулярной оптической оси 63
3.1.1 Расчет преломляющей поверхности для фокусировки в кривую 63
3.1.2 Расчет поверхности оптического элемента в криволинейных координатах 66
3.1.3 Закон сохранения светового потока в приближении тонкого оптического элемента 69
3.1.4 Фокусировка в отрезок и в составную кривую из двух дуг окружности 71
3.1.5 Фокусировкав набор точек на кривой 74
3.2 Аналитический расчет преломляющих оптических элементов для
фокусировки в кривую в плоскости, содержащей оптическую ось 77
3.2.1 Расчет преломляющей поверхности для фокусировки в кривую 77
3.2.2 Расчет поверхности оптического элемента в криволинейных координатах 78
3.2.3 Закон сохранения светового потока в приближении тонкого оптического элемента 79
3.2.4 Фокусировкав отрезок и в составную фигуру в виде стрелки 82
3.3 Расчёт оптического элемента для формирования осесимметричного распределения освещённости на поверхности вращения 87
3.3.1 Описание работы оптического элемента 87
3.3.2 Аналитический расчёт 89
3.3.3 Численное моделирование 93
3.4 Выводы 97
Заключение 98
Список литературы 100
- Численное моделирование работы коллиматора
- Зеркальный оптический элемент для систем подсветки
- Расчет поверхности оптического элемента в криволинейных координатах
- Расчёт оптического элемента для формирования осесимметричного распределения освещённости на поверхности вращения
Численное моделирование работы коллиматора
Рассмотрим расчет преломляющих призм, осуществляющих коллимацию лучей. Будем считать, что размер призм достаточно мал, так что угол падения лучей на каждую призму можно считать постоянным. На рисунке 1.2 изображена одна призма и показано полное внутреннее отражение луча а0 = (sin(/?),cos(/? и в точке В. Чтобы луч после полного внутреннего отражения на второй грани призмы преобразовался в луч а} = (0,1), распространяющийся вдоль оптической оси, необходимо, чтобы единичный вектор нормали ко второй грани призмы имел вид: 71- ft нормали (4) и направлен вдоль грани призмы. Легко видеть, что угол, составленный данным вектором (и соответственно гранью призмы) с осью Ох есть в = —. Поскольку первая грань призмы должна быть перпендикулярна лучу, то угол между первой гранью и осью Ох равен р. Таким образом, углы призмы определены. Отметим, что при/? = 60 профиль призмы будет равнобедренным треугольником, поскольку в = р. При расчете рефлектора по формулам (1.1)-(1.3) внешняя поверхность коллиматора будет иметь постоянную освещенность. Во многих практических задачах требуется лишь коллимация пучка, без формирования постоянной освещенности. В этом случае достаточно положить P(CJ) = PQ. При этом рефлектор г( т) соответствует повернутой на угол Р0 параболе: г(а) = r0 cos"
При /?0 = 60 и г(0) = г0=2мм получается коллиматор с толщиной около 5 мм и диаметром 30 мм (рисунок 1.3). Отметим, что значение толщины коллиматора приведено с учетом толщины пластины и стенок рефлектора, которые в сумме составляют 3 мм. При/?0=60 призмы на нижней границе пластины соответствуют равносторонним треугольникам. Размер сторон призм на рисунке 1.2 составляет 0,5 мм.
Отметим, что боковую стенку коллиматора на рисунке 1.3 целесообразно сделать зеркальной. В этом случае отражённый от боковой стенки пучок будет также обрабатываться призмами пластины, как и прямой пучок, отраженный от рефлектора. Отметим также, что поскольку рефлектор на рисунке 1.3 соответствует параболе, повернутой на угол J30 = 60 , то центральная часть коллиматора с радиусом R = r0 g(j30) = 2у/3 «3,46 мм будет неосвещенной при использовании точечного источника. Это позволяет разместить в центральной части коллиматора чип светодиода с радиатором. Рабочие характеристики коллиматора на рисунке 1.3 с зеркальной боковой стенкой были исследованы в пакете прикладных программ Zemax [78]. Данная программа предназначена для моделирования работы светотехнических систем с использованием метода трассировки лучей. В качестве источника излучения использовалась площадка размерами 1x1мм , излучающая по закону Ламберта. Источник располагался на поверхности цилиндра с диаметром 6 мм и высотой 5 мм, который имитировал чип с радиатором. В качестве материалов рефлектора и преломляющей пластины использовались алюминий и полиметилметакрилат (показатель преломления п=\,49), соответственно.
Результаты моделирования распределения интенсивности, формируемого коллиматором, представлены на рисунке 1.4. Эффективность коллиматора составила 84% (прядка 8% составляют потери на френелевское отражение от поверхностей пластины, ещё 7% составляет поглощение на алюминиевом рефлекторе и порядка 1% потери, связанные с лучами, которые непосредственно падают на боковую поверхность и откланяются от требуемого направления). При этом полный угол расходимости составляет менее 4.
На нижней поверхности пластины коллиматора (рисунок 1.3) нанесена структура из призм, обеспечивающая коллимацию лучей. Для освещения областей с формой, удовлетворяющей условию периодического замощения5, на верхней поверхности пластины предлагается использовать массив линз [3 , 82 ].
Под условием периодического замощения плоскости понимается возможность покрытия плоскости областями некоторой формы без пропусков и наложений областей друг на друга с помощью операции параллельного переноса областей [31]. Условию периодического замощения удовлетворяет широкий круг областей, включающий квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, правильный шестиугольник. Будем считать, что освещаемая область G имеет такую форму, что с помощью операций параллельного переноса этой области вдоль некоторых векторов а1;а2 можно покрыть всю плоскость. В математике такая операция
называются замощением плоскости [40, 83, 3 ]. Условию замощения удовлетворяет широкий круг областей, включающий квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, правильный шестиугольник. Данному условию также удовлетворяют области, имеющие криволинейные «параллельные» границы, как показано на рисунке 1.8.
Рисунок 1.9 Схема работы одной ячейки из массива Для формирования постоянной освещенности в области указанной формы предлагается представить выходную апертуру коллиматора в виде объединения областей (ячеек) такой же формы.
Размер ячейки будем считать достаточно малым, чтобы распределение освещенности в пределах каждой ячейки можно было бы считать постоянным, а погрешностью аппроксимации границы апертуры можно было пренебречь. Будем также предполагать, что расстояние f до плоскости, в которой требуется сформировать постоянное распределение освещенности значительно больше размеров ячейки. При указанных условиях решение задачи формирования равномерного распределения освещенности может быть получено с использованием массива (растра) одинаковых оптических элементов, каждый из которых формирует заданную область G . В качестве примера на рисунке 1.9 представлена геометрия задачи расчета оптического элемента в случае области в виде флага.
Расчет оптического элемента сводится к расчету преломляющей поверхности в области G ячейки, осуществляющей операцию масштабирования и сдвига. Без ограничения общности будем считать, что выходная плоскость коллиматора совпадает с плоскостью z=0. В этом случае преобразование масштабирования имеет вид: T(x,y,0) = (x0+ax,y0 + ay,f), (1.7) где Т - оператор сдвига и масштабирования, (х,у, 0) — декартовы координаты точки в выходной плоскости коллиматора, а — коэффициент масштаба, равный отношению размеров освещаемой области и ячейки.
Рассмотрим расчёт преломляющей поверхности z = S(x,y), (x,y)eG, для выполнения операции сдвига и масштабирования. Поскольку на поверхность z = S(x,y) падает пучок с плоским волновым фронтом, то эйконал на поверхности будет xi,(x,y) = nS(x,y), где п - показатель преломления материала элемента
Зеркальный оптический элемент для систем подсветки
В настоящее время жидкокристаллические дисплеи широко используются в мобильных устройствах, мониторах компьютеров и телевизоров. На рисунке 2.1а представлена конструкция системы подсветки на основе люминесцентных ламп с холодным катодом (в англоязычной литературе — CCFL), которая включает источники света, диффузный рефлектор и диффузор. Такие системы способны обеспечить высокую однородность освещенности, но имеют ряд недостатков. На сегодняшний день предпочтительными являются светодиодные системы подсветки. Последние потребляют меньше энергии по сравнению с люминесцентными, имеют больший срок службы, устойчивы к вибрациям и ударам. В простейшем случае люминесцентные лампы заменяются линейными массивами светодиодов.
Ниже представлено описание светодиодной системы со специальным рефракционным оптическим элементом (рисунок 2.16), которая предлагается в качестве альтернативы системе с люминесцентными лампами. Оптический элемент имитирует люминесцентную лампу и равномерно освещает два отрезка на диффузном рефлекторе [6 , 81 ]. Освещенные отрезки выступают в роли вторичных источников.
Необходимо отметить, что диффузный рефлектор может быть изготовлен из материалов с высоким коэффициентом отражения (95-99%) и рассеивать излучение практически по закону Ламберта. Один из доступных материалов такого типа называется спектралон и производится компанией Labsphere [68].
Для достижения высокой световой эффективности предлагается использовать оптический элемент, работающий на эффекте полного внутреннего отражения. Отметим, что оптический элемент является осесимметричным (ось симметрии совпадает с освещаемым отрезком). Это обеспечивает простоту производства элемента.
Конструкция системы подсветки на основе люминесцентных ламп (а) и конструкция модуля светодиодной системы подсветки дисплея (б)
Согласно представленным далее результатам моделирования, предложенный подход обеспечивает формирование равномерной освещенности в области с большим угловым размером (более 150 в направлении вдоль отрезков) при высокой световой эффективности более 83%.
Отметим, что расчет преломляющего оптического элемента светодиода, фокусирующего в отрезок в геометрии, показанной на рисунке 2.1, впервые приведен в настоящей работе. Ранее, элементы такого типа рассчитывались только с использованием приближения тонкого оптического элемента [22, 66].
Рассмотрим расчет преломляющего оптического элемента для фокусировки в отрезок оси Ох при точечном (компактном) источнике излучения (рисунок2.1). В силу симметрии будем рассматривать только правую часть элемента при х 0 (рисунок2.2).
Оптический элемент имеет ось вращения (ось Ох). Профиль оптического элемента состоит из части а, работающей на эффекте полного внутреннего отражения, и плоской выходной поверхности (часть Ь), которая преломляет лучи, после отражения от поверхности а. Мы пренебрегаем лучами, которые сразу падают на поверхность Ъ.
Обозначим р(а) длину радиус-вектора точки профиля, где «є[0,«тах] — угловая координата падающего луча (рисунок2.2). В работе [96] для/?( 2) получено следующее дифференциальное уравнение: dp(a) , ч (ЛІ2-СС- В(а) 2 где функция (5{a) задаёт направление луча после полного внутреннего отражения (рисунок2.2). Из геометрии рисунок2.2, несложно получить координату пересечения выходящего из оптического элемента луча с осью Ох в следующем виде [6 ,81 ]: элемента. Определим функцию х(а) в правой части (2.2) из закона сохранения светового потока. Введем сферические координаты (а, р), где р — полярный угол в плоскости YOZ, перпендикулярной плоскости рисунка2.2. Поскольку оптический элемент расположен при z 0, то (р є [О,я-]. В указанных координатах элемент телесного угла, соответствующий отрезку р є [О,я-], имеет вид: dQ.(a) = лът л;/2-a) da.
Для записи закона сохранения светового потока необходимо приравнять световой поток, падающий на элемент dx освещаемого отрезка, к световому потоку световому потоку от источника, излученному в элемент телесного угла dfl(a). Таким образом, можно записать следующее равенство: где E{x), Х Е\ХЪХ \ - заданная освещённость на отрезке, 1{а,(р) — интенсивность источника излучения. Отметим, что корректное задание освещенности Е х) требует выполнения условия нормировки: max
Производная p (a), входящая в правые части в (2.8), (2.9), определена в уравнении (2.1). Производная х (а) в правой части в (2.8), (2.9), может быть получена из уравнений (2.5) или (2.7). После подстановки указанных выражений для производных р {а) и х (а) в (2.8), правая часть (2.8) будет зависеть только от переменной а и функций /?(а), р{а). Таким образом, расчет оптического элемента для формирования отрезка с заданной освещенностью сведен к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1), (2.8), разрешенных относительно производных. Указанная система может быть проинтегрирована с использованием стандартных численных методов (например, метода Рунге-Кутты).
В рамках рассматриваемого подхода предполагается, что оптический элемент формирует освещенный отрезок на диффузном отражателе. При этом освещаемый отрезок будет вторичным источником излучения.
Расчет поверхности оптического элемента в криволинейных координатах
Расчетные распределения освещенности, формируемые элементами с (рисунок 3.3), приведены на (рисунок 3.4). Распределения освещенности (рисунок 3.4) были рассчитаны с использованием коммерческой программы по светотехнике ТгасеРго при коллимированном падающем пучке с постоянной освещенностью. Результаты моделирования показывают высокое качество фокусировки в заданные кривые.
Несмотря на то, что использованное при расчете уравнение (3.17) является приближенным, рассчитанные распределения освещенности вдоль линий близки к равномерным распределениям (среднеквадратические отклонения полученных распределений от равномерного составляют менее 5%). Отметим, что при указанных параметрах углы преломленных лучей с осью Oz достигают 28, то есть рассматриваемые оптические элементы работают в существенно непараксиальном режиме.
В работах [25, 61] рассмотрены итерационные методы для решения обратной задачи фокусировки в набор точек. Предложенный в данной работе метод позволяет получить аналитическое решение задачи расчета преломляющей поверхности для фокусировки в набор точек, лежащих на кривой (3.1). В этом случае поверхность представляет собой набор сегментов линз, каждый из которых фокусирует падающий на него световой пучок в соответствующую точку.
Набор точек на кривой (3.1)определим в виде: центральная точка полуинтервала [ , +1), =—(/; -1) , N - количество точек, в которые производится фокусировка. Функция эйконала на кривой Wр\ъ) ПРИ фокусировке в набор точек (3.21) является кусочно постоянной функцией. Она постоянна на интервалах [ , +1) и равна значению
Преломляющие оптические элементы для фокусировки в набор точек на отрезке (а) и на кривой из двух дуг окружности (б)
Таким образом, расчет поверхности оптического элемента для фокусировки в дискретный набор точек (3.22) состоит в вычислении функции а{) из дифференциального уравнения (3.17), расчета Vр{) по выражениям (3.18), (3.22) и восстановлению преломляющей поверхности по формулам (3.5), (3.6), (3.7). При этом в выражении (3.7) вместо непрерывной функции Ц/{) используется кусочно-непрерывная)// ( f).
Распределения освещенности, формируемые рассчитанными оптическими элементами для фокусировки в набор точек на отрезке (а) и на кривой из двух дуг окружности (б) Рисунок 3.5 показывает рассчитанные указанным выше способом оптические элементы для фокусировки в набор точек на отрезке и в набор точек на кривой из двух дуг окружности. Результаты моделирования распределений освещенности, формируемых рассчитанными оптическими элементами, получены с использованием программы ТгасеРго (рисунок 3.6). Они показывают высокое качество фокусировки в заданный набор точек.
Аналитический расчет преломляющих оптических элементов для фокусировки в кривую в плоскости, содержащей оптическую ось
Рассмотрим задачу расчета преломляющего оптического элемента (показатель преломления материала элемента — п) для фокусировки пучка с плоским волновым фронтом в линию в плоскости оптической оси.
Параллельный пучок лучей распространяется в материале с показателем преломления п в направлении оси Oz. Поверхность свободной формы является границей раздела материала и воздуха и описывается функцией z = h(\), где х = (х,у}єО — декартовы координаты в плоскости z = О, D — апертура элемента. Необходимо найти функцию h(\), обеспечивающую фокусировку падающего пучка в кривую, расположенную в плоскости xOz и заданную в параметрическом виде: где e[0,d] - натуральный параметр. При этом вдоль кривой должно быть сформировано заданное распределение энергии, описываемое функцией /(), = [о,4 Расчёт поверхности для фокусировки в кривую (3.23)сводится к построению огибающей семейства гиперболоидов вращения по параметру (см. раздел 3.1). Причём, огибающая поверхность определяется уравнением (3.2) и его производной по параметру (3.3).
Поверхность оптического элемента для фокусировки в кривую может быть записана в простом аналитическом виде при использовании специальных криволинейных координат, связанных с лучами (рисунок 3.1).Введем для линии (3.23) вектора касательной, нормали и бинормали:
Поверхность оптического элемента определяется в аналитическом виде уравнениями (3.6), (3.7)и зависит от функции эйконала у/( !;), которая определяет распределение энергии вдоль кривой фокусировки (3.23). Для расчёта функции ц/{) используется закон сохранения светового потока. Причём, световой поток, заключенный между кривыми Г±() и Г1( + А ), записывается в виде(3.9). При этом, проекции Г__() кривых Г(), согласно (3.26), (3.6) и (3.7), имеют вид: Согласно построению оптического элемента (рисунок 3.1) световой поток АФ, заключенный между кривыми Г±( ), Г1( + А ), переходит в сегмент кривой длиной А, ограниченной точками X( f) и Х( + А). Поэтому световой поток на единицу длины кривой фокусировки можно записать в виде (3.12). При заданной линейной плотности /( ) уравнение (3.12)становится нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции Ц/{). Таким образом, расчет оптического элемента для фокусировки в кривую сводится к решению уравнения (3.12)относительно функции у/{%) и последующему расчёту поверхности по аналитическим выражениям (3.6), (3.7).
Расчёт оптического элемента для формирования осесимметричного распределения освещённости на поверхности вращения
Рассчитанные профили элементов представлены на рисунке 3.12. Для проверки правильности расчетов было проведено моделирование работы рассчитанных оптических элементов в программе для светотехнических расчетов Zemax с использованием метода трассировки лучей. Распределения освещённости, рассчитанные для 1000000 лучей, - рисунок 3.13 и рисунок 3.14.
Расчетные распределения освещенности (рисунок 3.13) показывают высокую равномерность распределения освещенности на полусфере. Некоторые осцилляции освещенности вдоль образующей полусферы (рисунок 3.13а), объясняются погрешностью метода трассировки лучей. Среднеквадратичное отклонение освещенности от среднего значения на поверхности полусферы составляет 6,5%. При этом энергетическая эффективность элемента (доля излученного светового потока, попавшая на поверхность полусферы) превышает 89%.
Расчетные распределения освещенности (рисунок 3.14) показывают формирование области равномерной освещенности вдоль отрезка оптической оси. Отметим, что координата z (рисунок 3.10) отсчитывается от выходной плоскости оптического элемента, поэтому отрезок располагается npnze[25, 75]мм. Среднеквадратичное отклонение освещенности от среднего значения в области отрезка составляет 8,3%. Световая эффективность оптического элемента (доля излученного светового потока, попавшая на плоскость регистрации) также превышает 89% (рисунок 3.146).
При расчётах мы предполагали, что источник является точечным, но в реальных условиях размеры излучающей области светодиодов начинаются от десятых долей миллиметра. Отметим, что предлагаемые элементы чувствительны к размеру источника, особенно это касается линз, которые формируют равномерное освещение отрезка. Так при использовании источника с прямоугольной областью излучения размерами 0,1 мм на 0,1 мм среднеквадратическое отклонение возрастало с 8,3% до 15%.
1. Предложенные рефракционные оптические элементы позволяют сфокусировать световой пучок с плоским волновым фронтом в кривую, расположенную в плоскости, перпендикулярной оптической оси в плоскости, содержащей оптическую ось. При этом первая поверхность оптического элемента является плоской, а вторая (рабочая) поверхность соответствует огибающей семейства гиперболоидов вращения, каждый из которых фокусирует излучение в точку на кривой. Расчет рабочей поверхности оптического элемента сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, и его последующему интегрированию.
2. Метод разбиения апертуры оптического элемента на зоны позволяет равномерно освещать фигуры, состоящие из набора кривых. В частности, представлены результаты расчёты оптического элемента для равномерного освещения фигуры в виде стрелки, состоящей из трёх отдельных отрезков. При этом апертура оптического элемента была разбита на три зоны: кольцевую зону и две зоны в форме полукруга.
3. Рассмотренный в пункте 3.3 оптический элемент позволяет сформировать требуемое распределение освещенности на поверхности вращения. При этом оптический элемент содержит две рефракционные поверхности и одну поверхность, работающую на эффекте полного внутреннего отражения. Расчет профилей рабочих поверхностей оптического элемента сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений. Результаты численного моделирования для точечного источника показывают высокую равномерность освещения полусферы. При этом среднеквадратичное отклонение распределения освещенности от постоянного значения составило 6,5% при световой эффективности в 89%.
В работе получены следующие основные результаты.
1. Разработан коллиматор, который при толщине в 5 мм формирует пучок с расходимостью по полуспаду интенсивности менее 4 при эффективности 84% для ламбертовского источника с размерами 1x1 мм . Указанные рабочие характеристики достигаются при использовании оптической системы, состоящей из параболического рефлектора и преломляющей пластины с массивом призм, работающих по принципу полного внутреннего отражения.
2. Получено аналитическое решение задачи расчета рефракционной поверхности в виде массива оптических элементов для формирования постоянного распределения освещённости в двумерной области с формой, удовлетворяющей условию периодического замощения плоскости, при освещающем пучке с плоским волновым фронтом. Результаты численного моделирования работы оптических элементов, формирующих постоянное распределение освещённости в областях в форме прямоугольника, флага, креста, линии, подтверждают работоспособность полученного решения.
3. Получена система дифференциальных уравнений первого порядка для расчёта поверхности преломляющего (отражающего) оптического элемента, имитирующего линейный источник света и формирующего два отрезка или один отрезок с постоянной освещённостью в плоскости расположения оптического элемента. Для равномерного освещения двух отрезков с длиной 100мм рассчитан преломляющий оптический элемент с габаритными размерами 35,2x9,4x14,7 мм . Результаты численного моделирования работы рассчитанного оптического элемента для светодиода EZ290 фирмы Сгее показали, что световая эффективность оптического элемента превышает 83,5%. При этом массив из 10 элементов обеспечивает равномерное освещение прямоугольной области с размером 250x400 мм , расположенной на расстоянии 35 мм от плоскости расположения светодиодов. Рассчитан рефлектор с размерами 20x12x6 мм ,
