Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Научно-педагогичесие основы использования задач как средства. обучения 11
1.1. Деятельностный подход к обучению II
1.1.1. Деятельность, ее психолого-педагогические особенности, структура и формирование 11
1.1.2. Учебная деятельность, ее структура 16
1.2. Задачи в обучении математике 24
1.2.1. Роль и место задач в обучении математике, общее понятие задачи 24
1.2.2. Функции задач в обучении 30
1.3. Основные понятия теории групп в курсе алгебры и теории чисел 36
1.4. Методика организации учебной деятельности при обучении теории групп 40
1.4.1. Формирование алгебраических понятий через систему задач 40
1.4.2. Организация усвоения утверздений в курсе алгебры 47
1.4.3. Система задач по организации усвоения приемов решения основных классов задач 51
ГЛАВА II. Изучение основных алгебраических теоретико-групповых понятий путем решения задач 54
2.1. Изучение понятия алгебраической операции 54
2.1.1. Алгебраическая операция в общей алгебре и в вузовском курсе алгебры 54
2.1.2. Алгебраические операции 55
2.1.3. Свойства операций 69
2.2. Первый этап изучения теории групп 77
2.2.1. Изучение понятия группы 79
2.2.2. Изучение понятия изоморфизма 82
2.2.3. Подгруппы 84
2.2.4. Дополнительные средства и аспекты изучения теории групп 88
а) межпредметные связи 88
б) конструкции 91
2.3. Второй этап изучения теории групп 96
2.3.1. Подгруппы 98
а) группы подстановок 98
б) группы матриц 101
в) группы симметрии 103
2.3.2. Система образующих,, циклические группы 105
2.3.3. Смежные классы, теорема Лагранжа 107
2.3.4. Нормальный делитель 109
2.3.5. Гомоморфизм и фактор-группы НО
2.4. Педагогический эксперимент 112
Заключение 123
Литература 124
- Деятельность, ее психолого-педагогические особенности, структура и формирование
- Основные понятия теории групп в курсе алгебры и теории чисел
- Алгебраические операции
- Подгруппы
Введение к работе
Претворяя в жизнь решения ХХУІ съезда КПСС и постановления партии и правительства о высшей школе, работники вузов страны добились значительных успехов в обеспечении народного хозяйства квалифицированными специалистами. Большой вклад в эту работу вносят педагогические институты - основной источник кадров народных учителей, которым общество "вверяет самое дорогое, самое ценное - детей, свою надежду, свое будущее" [95]. Партия отмечает, что "успешное решение сложных задач обучения и воспитания молодежи в решающей степени зависит от учителя, его идейной убежденности, профессионального мастерства, эрудиции и культуры" [95].
Роль и значение высокой идейно-политической, общекультурной и профессиональной подготовки учителя особо возрастают в период осуществления предложенной партией и одобренной всем народом реформы школы. Это требует существенного совершенствования всей системы подготовки учительских кадров, и, в частности, значительного улучшения процесса обучения и воспитания будущих учителей в педагогических институтах.
Одним из наиболее важных направлений совершенствования обучения и воспитания будущих учителей является усиление их профессиональной подготовки. Высокий уровень профессиональных знаний, полученных в пединституте, - не самоцель, а необходимая предпосылка обеспечения высокого научного и методического уровня преподавания предмета в школе. Это предполагает установление связи процесса обучения в вузе с процессом последующего преподавания в школе, определенное сближение этих процессов по содержанию, методам и формам.
Дидактическая система высшей школы в настоящее время в значительной степени ориентирована на обучение преимущественно информативного типа. Заметную роль в этой системе играют лекции -классическая форма высшего образования, позволяющая достичь большой полноты изложения информации, предназначенной для передачи студентам. В то же время лекция как форма обучения имеет существенные недостатки: она ограничивает возможности самостоятельной работы студентов, приучает их к пассивному, нетворческому восприятию учебного материала, мало связана с традиционными для школы -сферы последующей профессиональной деятельности студентов - формами классной и внеклассной работы. Поэтому в решении ряда актуальных задач обучения в вузах важная роль принадлежит практическим занятиям.
Именно на практических занятиях организуется самостоятельная учебная деятельность студентов, появляются возможности для активизации их познавательных и творческих способностей, формируются необходимые специальные и профессиональные умения и навыки, осуществляется непрерывный контроль усвоения изучаемого материала. Б ходе практических занятий создаются широкие возможности осуществления связи теории с практикой, обучения с жизнью.
В обучении математике любого специалиста и, в частности, будущего учителя, решающая роль принадлежит формированию специальных умений. Основным полем формирования умений является решение математических задач, которые тем самым в определенном смысле становятся целью и средством обучения. На задачи возлагается также традиционная функция закрепления теоретического материала. Помимо этого, заметная доля теории также переносится в содержание задач. Именно поэтому проблеме задачи посвящено значительное число исследований в педагогике и методике обучения математике.
В исследованиях Г.А.Балла, Ю.М.Колягина, Н.А.Копитова, Я.Я. Менциса, К.И.Нешкова, В.А.Оганесяна, Д.Пойя, А.М.Пышкало, А.Д.
Семушкина, А.А.Столяра, С.Б.Суворовой, П.М.Эрдниева и др. тщательно и всесторонне изучено понятие задачи, произведена классификация задач, выявлены методические основы использования задач в обучении и организации усвоения теоретического материала через задачи. В то же время указанные исследования построены на материале курса математики средней школы, тогда как вузовская система обучения имеет свою выраженную специфику. Различие между системами обучения в школе и вузе приводит к возникновению определенных психологических трудностей, существо и пути преодоления которых изучены в работах П.А.Просецкого, В.П.Кондратовой, Ю.А.Кустова, Г.Г.Романовича и др. Анализ немногочисленных диссертаций по методике преподавания математики в высшей школе (Н.Н.Мельников, Р.А. Лазовская, Е.В.Вандышева, Н.А.Шмаков, М.В.Потоцкий, Л.П.Стойлова, А.М.Радьков и др.) показывает, что проблема организации усвоения теоретического материала через задачи, да и в целом проблема задач в обучении математике в высшей школе, в них не ставилась.
Особую остроту эта проблема приобретает по отношению к теоретическому материалу высокой степени абстракции, связи которого с содержанием школьной математики опосредованны и неочевидны для студентов. Формальное изложение такого материала - определение понятий, доказательство теорем в традиционной для лекций сжатой и компактной форме - приводит к формализму в знаниях учащихся, мало способствует развитию необходимых умений, познавательной самостоятельности будущих учителей.
В курсе алгебры и теории чисел, читаемом в педагогическом институте, раздел посвященный элементам теории групп, отличается, пожалуй, наивысшей степенью абстракции. Важность теоретико-групповых понятий и конструкций, обуславливаемая положением теории групп как фундамента современной алгебры и многочисленными прик
ладными выходами этой теории в смежные математические дисциплины и другие науки, требует осознанного восприятия материала, установления широких связей изучаемого содержания с различными предметными областями применения понятия группы. Понятно, что важнейшая роль в установлении таких связей должна принадлежать решению задач на практических занятиях.
Все вышесказанное обуславливает актуальность и необходимость теоретического исследования вопросов использования задач как средства изучения основных понятий курса алгебры педагогического института. Выбор раздела, посвященного теории групп, в качестве объекта реализации общих теоретических положений вызван как важностью этого раздела для современной алгебры и ее приложений, так и тем обстоятельством, что здесь соответствующие методические проблемы возникают перед нами в наиболее концентрированном виде.
Деятельность, ее психолого-педагогические особенности, структура и формирование
Деятельность является своеобразным способом отношения человека к внешнему миру, сущность которой заключается в изменении явлений, предметов, внешнего мира в служении человеческим целям. В отличии от животных, которые приспосабливаются к явлениям и условиям природы, поведение которых обусловлено их наследственными предпосылками, человек своей деятельностью активно перестраивает явления природы. Деятельность человека обусловлена характером проявлений законов, действующих в объектах внешнего мира. Путем деятельности человек вступает во взаимоотношения с явлениями и объектами природы и социальной жизни, накапливает ценности. Человеческие ценности, богатства вне деятельности существуют лишь в потенциальной форме. По мнению профессора А.Н.Леонтьева, деятельность - "это единица жизни, опосредованной психическим отражением, реальная функция которого состоит в том, что оно ориентирует субъекта в предметном мире" [70, с.82].
В каких бы условиях и формах не протекала деятельность, она имеет место в системе общественных отношений. Поэтому ее существование и претворение обусловлены и определяются теми разновидными формами и средствами общения в материальной и духовной жизни, которые являются порождением развития производства и единственная форма осуществления которых - человеческая деятельность[3]. Следовательно, деятельность каждого человека обусловлена занимаемым им положением в общественных отношениях, проявлениями его неповторимой индивидуальной жизни. Однако это вовсе не означает, что общество является той внешней средой, в которой индивид вынужден приспосабливаться, адаптироваться и сохранять свое существование, подобно животным, приспосабливающимся к внешним условиям.
Ошибка подобных позитивистских концепций заключается в том, что деятельность человека рассматривается как пассивный продукт общественной жизни, между тем как общественные условия порождают собой человеческую аналогичную деятельность, наделенную определенными целями, мотивами, способами и средствами. Короче говоря, общество производит для своих индивидов соответствующую деятельность, которая своей созидательной силой направлена на перестройку обуславливающего ее материального мира.
К.Маркс понятию деятельности придал материалистический смысл: "... Для К.Маркса деятельность в ее исходной и основной форме -это чувственная практическая деятельность..."[70 с.20].
Таким образом, признак, определяющий деятельность, - ее предметность. Непредметной человеческой деятельности не существует; в ней, как бы в виде предпосылок, действуют ее предметные свойства. Даже в основе кажущейся непредметной деятельности лежит ее предметность. Предмет деятельности выступает своим двойственным характером - своим независимым существованием, как перестраивающий субъекта, и как образ предмета, как продукт психологического отражения его свойства. Оба они проявляются и осуществляются вследствие деятельности субъекта и иначе осуществляться не могут.
Итак, предистория человеческой деятельности начинается с предметности жизненных процессов, последние, благодаря деятельности, постепенно приобретают предметный характер. А объективизация деятельности приводит к проявлениям элементов психологического отражения - возбудимость переходит в чувственность или "в способность чувствовать". Развитие объективизации содержания деятельности находит свое выражение в последующих, идущих за ним процессах психического отражения, которое регулирует деятельность человека в предметной среде.
Человек своей деятельностью вступает в практические взаимоотношения с окружающими его предметами и явлениями, которые в какой-то мере приспосабливаются, отклоняются, изменяются и обогащают содержание и направленность деятельности. Иначе говоря, имеет место внешняя деятельность, в которой происходят внутренние психические процессы, выявляются их границы и сферы распространения деятельности в объективном предметном мире. Таким образом, деятельность проникает в предмет исследования психологии не какой-то своей особой "частью", только внешней стороной, а своей специфической функцией. Эта функция - ни что иное, как предположение субъекта о субъективной перестройке процесса предметной деятельности. Цель деятельности - перестройка предметов, вещей, явлений по преднамеренному планированию человека - индивида и со своеобразным приложением его духовных и физических сил. В этом процессе велика роль форм взаимосвязи и взаимодействия человеческой деятельности. Это - формы внешней и внутренней деятельности, из которых внешняя - первична:; на ее основе выступает также внутренняя деятельность. Интересные исследования в этом направлении провели Л.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, П.Я.Гальперин. Так, например, Л.С.Выготский ввел в психологию понятие интериоризанди: "Интерио-ризацией называют ... переход, в результате которого внешние по своей форме процессы с внешними же вещественными предметами преобразуются в процессы, протекающие в умственном плане сознания; при этом они подвергаются специфической трансформации - обобщаются, вербализуются, сокращаются и, главное, становятся способными к дальнейшему развитию, которое переходит границы возможностей внешней деятельности" [70, с.95].
Таким образом, внутренняя деятельность как следствие внешней имеет место и проявляется через интериоризацию, вследствие чего внешние процессы преобразуются во внутреннюю умственную деятельность.
На основе изучения исследовании вышеупомянутых и других авторов можно заключить, что человеческая внутренняя психическая деятельность возникает из его общественной практической деятельности. В процессе этого происходит изменение в формах психического отражения реальной жизни человека, продуктом отражения объективной действительности субъекта выступает сознание. Сознание -результат развития общественной жизни, оно формируется, развивается в процессе деятельности человека (общества).
Основные понятия теории групп в курсе алгебры и теории чисел
Первоосновы понятия группы были заложены в разных областях математики в конце ХУШ и в начале XIX веков. В алгебре они были связаны с задачей решения уравнения в радикалах, тесная связь которых с группами подстановок была показана Н.Абелем и Э.Галуа в начале XIX века. Обобщив свои исследования, связанные с применением понятия группы в геометрии, Ф.Клейн в 1872 г. в своей знаменитой "Эрлангенскои программе" показал принципиальную, в какой-то смысле даже исходную роль понятия группы (преобразований) во всей геометрии. Понятие группы нашло свое развитие и в теории чисел -в трудах Л.Эйлера и К.Гауса.
За сравнительно короткий срок теория групп подстановок и преобразований, развиваясь, превратилась в теорию абстрактных групп. Последняя бурно развивалась уже в начале нашего века, став одним из важнейших и ведущих разделов алгебры. Она имела весьма широкое применение как в математике, так и в смежных науках - физике, химии, кристаллографии и т.д. И сегодня трудно представить указанные области науки без широкого применения теории групп.
Эта важная роль теории групп нашла свое отражение также в вопросах преподавания математики, и в настоящее время в программах почти всех естественных и математических факультетов как отечественных, так и зарубежных вузов отводится определенное место вопросам теории групп.
Отметим некоторые особенности, обеспечивающие роль теории групп в отмеченных областях.
Во-первых, теория групп, являясь одной из старейших и в то же время самых развитых теорий современной алгебры, имеет руководящее значение для остальных ее областей.
Во-вторых, понятие группы лежит в основе определения ряда математических структур. Велика его роль и при изучении каждой математической структуры, как и велико значение симметрии (автоморфизмов) данной структуры в ее исследовании.
Важность роли теории групп подчеркивается в новой программе по "Алгебре и теории чисел" для педагогических вузов, составленной профессорами Л.Я.Куликовым и В.Г.Лемлейном. В этой программе изучение элементов теории групп предусмотрено проводить последовательно, прежде всего путем непосредственного введения элементов теории, а затем - применения этих элементов в вышеуказанном смысле.
Непосредственное введение элементов теории групп, в свою очередь, проводится в два этапа. На первом этапе предусматривается введение понятий алгебраической операции, группы, изоморфизма и гомоморфизма групп. На этом этапе обучения предусмотренная для изучения тема "Гомоморфизм групп" не соотносится с другими понятиями, вводимыми на данном этапе. Она не может истолковываться также лучшим способом по причине ограниченности объектов иллюстрации. И поскольку до второго этапа введения элементов теории групп понятие гомоморфизма не используется при прохождении ни одного программного материала, то мы находим целесообразным вводить это понятие на втором этапе (начало второго полугодия). На этом этапе программой предусмотренно обучение темам "Нормальный делитель", "Фактор-группа", "Теорема о гомоморфизмах", поэтому здесь уже налицо необходимая почва для введения и этого понятия, и других понятий, гармонирующих с общей темой.
С другой стороны, на первом этапе введения элементов теории групп программой не предусмотрено понятие подгруппы. Однако до второго этапа введения, т.е. до того периода, когда предстоит ввести понятие подгруппы, студенты уже знакомы с некоторыми подсистемами (числовое поле, подпространство). Далее, в курсе геометрии введение групп симметрии пространственных тел проводится за-, долго до указанного второго этапа. Следовательно, введение темы "Подгруппы" также следует проводить до этого периода. На наш взгляд, целесообразно сделать это на первом этапе введения элементов теории групп.
Первый этап начинается в середине первого полугодия первого учебного года. Второй этап обучения начинается в середине второго полугодия.
Использование здесь групп геометрических преобразований, симметрии, подстановок и матриц предоставляет возможность значительно повысить эффективность обучения предусмотренному материалу. Программой предусмотрено прохождение тем: "Подгруппа", "Циклические группы", "Смежные классы", "Нормальный делитель", "Фактор-группа", "Гомоморфизм групп".
В разделе "Циклические группы" дается описание конечных и бесконечных циклических групп. При прохождении темы "Смежные классы" необходимо изучить теорему Лагранжа, подробно останавливаясь на ее применениях. В последующих темах иллюстрируется связь нормального делителя с ядром гомоморфизма. Раздел завершается теоремой о гомоморфизмах, где и показывается, что каждый сюръективныи гомоморфизм с точностью изоморфизма представляет собой естественный гомоморфизм между группой и ее фактор-группой.
Как уже было отмечено, перед практическими занятиями по теории групп ставится ряд задач, для решения которых первостепенное значение имеет выбор той системы объектов, на которой будут истолковываться довольно абстрактные понятия теории групп и происходящие между ними взаимоотношения. С этой точки зрения, особенно большое внимание следует уделять первому этапу обучения элементам теории групп. Поскольку в этот период у студентов багаж знаний по математике пока не велик, то особую значимость приобретает методика изложения данного материала. Необходимо на малочисленных примерах математических объектов разъяснить понятие переменной операции, изучить несколько важных свойств этой операции и обстоятельно остановиться на понятии групповой операции.
Алгебраические операции
Понятие переменной операции предполагает довольно высокую ступень абстракции и в математике ПОЯВРІЛОСЬ довольно поздно - в конце прошлого и в начале нашего века. Однако его введение существенно изменило облик алгебры - науки, переживавшей спад, связанный с наличием "неалгебраических" доказательств так называемой "основной теоремы алгебры". Чтобы ясно представить себе роль и значение алгебраической операции в современной математической науке, приведем слова известного советского математика А.Г.Куроша: "В основе всех понятий, изучаемых в различных разделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции" [б7J.
Для ясности скажем, что, например, теория групп является наукой об ассоциативной и обратимой двухместной алгебраической операции, теория колец - наука о двух двухместных алгебраических операциях, обладающих определенными свойствами и т.д.
Понятно, что основные факты излагаемого в вузе курса математики относятся к тому периоду развития математики, когда еще не было введено общее понятие алгебраической операции. Тем не менее вышеуказанную важную роль понятия алгебраической операции нельзя игнорировать и в вузовской математике.
В программе алгебры и теории чисел математических факультетов педагогических институтов изучение алгебраической операции проводится в трех направлениях: а) изучение общего понятия операции и некоторых ее простейших свойств; б) изучение некоторых операций (полугрупповых, групповых, кольцевых и т.д.), наделенных конкретными свойствами; в) изучение операций, заданных на некоторых конкретных множествах. Предусмотренную программой тему "Алгебраические операции" целесообразно делить на две подтемы: "Операции" и "Свойства операции". Б раздел "Операции" вводится понятие П-местной алгебраической операции, и оно разъясняется на разных темах программного материала. В разделе "Свойства операций" - в основном изучаются важнейшие свойства групповых операций. 2.1.2. Алгебраические операции Изучение этого понятия и соответствующие истолкования ведутся на базе такиж объектов, обучение которым проводилось в школьном курсе математики или в течение первых двух месяцев вузовского обучения. Исходя из этого и из соответствующих методических требований, отмеченных в п.1.2.2, в качестве объектов истолкования целесообразно рассматривать следующие области: операции над высказываниями, операции, заданные над булеаном множества, операции над фигурами плоскости, операции над отношениями, операции над сложением функций и частичных функций, натуральные числа, операции над числовыми множествами, операции по натуральному модулю,таблицы Кэли. а) Операции над высказываниями Первым из объектов истолкования понятия алгебраической операции должна быть алгебра высказываний. Она отличается своей простотой, составляет первую тему курса "Алгебра и теория чисел" и предоставляет широкие возможности для подобного истолкования. Основой для этого служат уже известные студентам операции над высказываниями: дизъюнкции, конъюнкции, импликации и т.д. Исходя из этого, система задач должна содержать упражнения по указанным, а также по другим операциям над высказываниями. Здесь типичными могут быть такие задачи: Здесь имеется большая возможность привести задачи,выявляющие место и роль операций над высказываниями в системе понятий курса математики, некоторые связи этих операций с другими понятиями. В таких целях можно рассматривать некоторые операции над множеством { И»Л) и обсуждать их связь с операциями над высказываниями. Здесь полезно привести следующее упражнение:
Задача. Показать, что два высказывания изображают одну и ту же операцию над множеством {И Л} , если они зависят от пропозициональных букв того же количества и логически эквивалентны.
Исходя из методических требований постепенного усложнения и использования задач, на следующем этапе полезно привести также такие упражнения, в которых косвенно обращается внимание на некоторые свойства операций. Например:
Задача. Допустим, { и ч являются двухместными алгебраическими операциями над множеством { И, ЛІ и определяются следующими равенствами:
Решение подобных задач направлено не только на формирование алгебраических понятий, но и способствует пониманию необходимости введения этих понятий. Здесь много возможностей для осуществления таких функций задач, как самостоятельная работа учащихся, творческий момент, воспитательная функция, что, на наш взгляд, очень важно. Приведем только два примера:
Задача. Показать, что для каждой а- местной операции над множеством (VI,Л) существует содержащее A,v, l связи и зависящее от и-пропозициональных букв высказывание, которое как п-местная операция совпадает с данной операцией.
Задача. Некая страна населена жителями, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет и при этом отвечает на вопросы только посредством "да" или "нет". К развилке дорог, из которых одна ведет в столицу, а другая туда не приводит, приходит турист. Никаких знаков, указывающих, какую дорогу следует выбрать, при развилке нет. Зато здесь стоит местный житель, некто господин Р. Какой вопрос, требующий ответа "да" или "нет", должен задать ему турист, чтобы выбрать нужную ему дорогу?
Подгруппы
Решение подобных задач без овладения соответствующей техникой - "черный" и тяжкий труд, способствующий, с одной стороны, прочному усвоению выступающих здесь понятий, с другой стороны, повышающий ценность и значимость введения тех технических фактов и средств, которое осуществляется впоследствии и использование которых бесспорно облегчает решение подобной задачи, исключая такую "черную" работу. И нужно обращать внимание студентов на подобные вопросы на всем протяжении учебы.
На конкретном примере, скажем, для нахождения всех подгрупп группы (2д,+ц)» рассматриваются все подмножества множества (0,1,2,3} как "кандидаты" в группы, между тем, как на втором этапе обучения, после прохождения теоремы Лагранжа, студенты узнают, что порядок подгрупп есть делитель порядка группы. Понятно, насколько облегчает решение данной задачи использование этого факта. Об этом факте мы ставим в известность студентов после решения задачи, тем самым вызывая интерес к преподаваемому в дальнейшем теоретическому материалу. Можно, однако, этот факт выдвинуть в качестве гипотезы, так как все группы Щп при составных П. могут служить основой для такой гипотезы.
На данном этапе целесообразно также изучение некоторых подгрупп групп, заданных по таблицам Кэли. Здесь, фактически, можно давать описание подгрупп групп Sj і A3» Амкватернионов и некоторых других групп.
В заключение необходимо остановиться на использовании одного наглядного приема, который, как свидетельствует опыт преподавания, способствует хорошему усвоению обучаемого материала. Речь идет об изображении структуры подгрупп некоторых групп, не очень "богатых" подгруппами, в виде графов. Например, при описании всех подгрупп групп ( S$, о ), (Жь, +6 ) составляются или предлагается составить студентам следующие графы, соответствующие структурам подгрупп этих групп:
Теория групп, являясь наукой о двухместных алгебраических операциях, наделенных определенными свойствами, носит довольно абстрактный характер, что создает определенные трудности при обучении этой теории. С другой стороны, и естественный процесс развития теории групп, и разнообразность сфер ее применения диктуют необходимость использования межпредметных связей и средств при обучении ее элементам в вузах.
Использование примеров, взятых из разных дисциплин при изложении абстрактного материала, создает некоторую естественную благоприятную почву и делает интересным его преподавание.
На первом этапе обучения в основном нужно останавливаться на геометрических истолкованиях понятия группы, акцентируя внимание на группах движении, симметрии, подобия и афинных преобразований произвольных фигур и некоторых их подгруппах.
Заметим, что несмотря на довольно большой отрезок времени, отводимого разделу "преобразования плоскости", в действующих задачниках по курсу геометрии ([ІІ],[І4 ]) основное внимание сосредоточено на изучении свойств конкретных преобразований. А изучение преобразований в конкретных групповых совокупностях остается на заднем плане: в упомянутых задачниках соответствующих задач очень мало. Поэтому предлагаемый наїж материал по данному разделу, кроме выполнения своей "алгебраической" роли, существенно восполняет этот пробел.
При изучении подгрупп движения особое внимание нужно уделять группе движений первого рода, группе поворотов вокруг какой-либо точки и группе параллельных перемещений, приводя также ряд подгрупп движения, сравнивая по мере возможностей (с точки зрения изоморфизма) эти группы с уже известными студентам группами.
В данном разделе группы симметрии геометрических фигур предоставляют большие возможности для изучения. Причем, в целях получения наибольшего разнообразия задач, можно рассмотреть группы симметрии произвольной фигуры плоскости по отношению к различным подгруппам группы движения. Приведем несколько примеров.
символами 1,2,3. После напоминания студентам известного из геометрии факта о задании движения (каждое движение описывается образами трех точек, не находящихся на одной прямой, где заданные три точки и их образы составляют равновеликие треугольники), большинство из них догадывается, что для того, чтобы дать какое-либо самосовмещение треугольника, достаточно дать какую-либо подстановку множества его вершин. Таким образом, получается биективное соответствие между группой самосовмещений заданного треугольника и S3. Эта биекция будет изоморфизмом, поскольку произведение и подстановок, и движений является частным случаем операций суперпозиции функции.
В системе задач по подгруппам группы подобия целесообразно уделить большое внимание группам подобия первого рода, всех гомотетий и некоторых других групп и вопросам их сравнения с группами, уже известными студентам.
Исходя из принципов систематичности и постепенного усложнения, в конце этого раздела целесообразно остановиться на подгруппах группы афинных преобразований плоскости (уншлодулярная подгруппа, подгруппа афинных преобразований с положительным определителем и т.д.).
