Содержание к диссертации
Введение
Глава первая
Пути усовершенствования методов обучения задачам характера в курсе математики 15
1. Обучение решению задач прикладного характера как средство активизации урока математики . 15
2. Практические задачи как важнейшее средство реализации политехнического образования
курса математики в средней школе 24
3. Изучение практических задач как важное средство развития экономического образования учащихся 45
Глава вторая
Обучение элементам математической игр и теории графов в курсе математики школы 62
4. Психолого-педагогическое обоснование введения элементов прикладной математики в школе 62
5. Применение элементов теории графов и граф-модели в курсе математики 4-5 классов
средней школы 68
6. Обучение элементам теории графов на внеклассных кружковых занятиях в школе 79
7. Обучение элементам математической теории игр на внеклассных кружковых занятиях в средней школе 105
8. Организация педагогических экспериментов , их содержание и дидактический разбор результатов 129
Заключение 142
Приложение 144
Библиография 155
- Обучение решению задач прикладного характера как средство активизации урока математики
- Изучение практических задач как важное средство развития экономического образования учащихся
- Психолого-педагогическое обоснование введения элементов прикладной математики в школе
- Обучение элементам математической теории игр на внеклассных кружковых занятиях в средней школе
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы тенденция применения математических методов, вычислительных машин, а также автоматизация производственных процессов в различных областях человеческой деятельности внесла качественные изменения в трудовую деятельность и психологию человека, что ставит определенные задачи перед общеобразовательной средней школой:
- существенное повышение качества обучения; усиление роли коммунистического воспитания учащихся; развитие их марксистско-ленинского мировоззрения и подготовка их к активному строительству коммунистического общества.
Генеральный секретарь ЦК КПСС тов. Ю.В.Андропов в речи, произнесенной на июньском пленуме 1983 г., обращаясь к вопросам повышения качества идеологических, воспитательных и пропагандистских работ народными массами в условиях развитого социализма, поставил определенные задачи перед работниками народного образования и просвещения. В частности, он отметил: "Необходим решительный поворот к реальным практическим задачам, которые ставит жизнь перед нашим обществом. Общественные науки в такой же мере, как и естественные, должны стать эффективным помощником партии и всего народа в решении этих задач (5,с.б]. Это показывает, что в наше время еще более повышается роль советского народного образования, в [_.. частности, роль общеобразовательной средней школы, в деле эффективного решения задач, поставленных партией и правительством.
Естественно, что решение поставленных задач, исходя из принципов дидактики советской педагогики, требует усовершенствования форм и методов обучения и воспитания с тем, чтобы учащиеся не
только получили глубокие теоретические знания, но и смогли бы эффективно применять полученные знания в процессе своей каждодневной практической деятельности.
Реализация этих требований в средней школе, в первую очередь, обусловлена уровнем практической и прикладной направленности дисциплин естественно-математического цикла, поскольку в условиях высокого уровня развития науки и техники применение математических методов не является привилегией только естественных наук; эти методы сегодня эффективно применяются почти во всех областях человеческой деятельности, включая и такие, как социология и политика. Следовательно, усиление изучения задач практического характера и элементов прикладной математики в курсе математики стзеднеи школы на настоящем этапе является одной из актуальных и важных проблем советской педагогики. Актуальность этой проблемы подтверждается также следующим фактом. В 1982 г, министр просвещения СССР М.Прокофьев в статье "Школа и ее проблемы" (96] , обращаясь, в частности, к вопросу о необходимости усовершенствования математического образования в средней школе, отметил: "Совершенствование школьного математического образования идет сейчас в направлениях повышения качества обучения, усиления прикладной и практической сторон обучения, устранения перегрузки учащихся".
Исследования, проведенные нами, показывают, что на пути решения поставленной проблемы существует ряд причин, которые мешают обеспечению высокого уровня качества обучения:
Применение неэффективных методов для обеспечения активизации учащихся в процессе обучения математике в средней школе.
Количественно и качественно неудовлетворительный уровень задач в действующих учебниках и учебных пособиях.
Абстрактный характер задач курса математики средней школы.
Отсутствие в курсе таких задач, которые давали бы возможность учащимся изучать все этапы математического моделирования.
Недостаток задач, развивающих экономическое образование, а также патриотическое воспитание учащихся.
Отсутствие как в теоретическом курсе, так и в системе задач элементов и простейших задач таких разделов прикладной математики, как теория графов и теория игр, которые являются лучшим средством развития практического и прикладного аспекта математического образования.
V/Известно, что в процессе обучения каждой теме действующего курса математики средней школы предложена такая система задач, решение которых должно способствовать глубокому усвоению изучаемого теоретического материала. Эти задачи имеют, в основном, абстрактный характер и с легкостью решаются посредством применения данного теоретического материала. При этом эти задачи составлены, в основном, по следующим требованиям: решить следующие уравнения или неравенства, решить следующие системы уравнений или неравенств, упростить следующие выражения, построить графики следующих функций и т.д. ^
ч/ Итак, вышеотмеченные исторически сложившиеся методы обучения и структура задач абстрактного характера вводят в учебный процесс "искусственность", изолируя предметы друг от друга, что противоречит диалектике мышления и познания мира учащихся. Подобный подход тормозит развитие творческих способностей учащихся и понижает их активность. Ликвидация отмеченных недостатков, в первую очередь, обусловлена обеспечением присутствия ряда взаимосвязанных психологических факторов, реализующих проблему активизации уча-
щихся в процессе обучения. Такими факторами являются: возникновение "положительных эмоций" у учащихся, психологическая настроенность, развитие любознательности, обеспечение внимания и т.д.
В области активизации и оптимизации учебного процесса предметов естественно-математического цикла в СССР проделано много ценных исследовательских работ целым рядом известных психологов и педагогов (Аристов Л.П., Бабанский Ю.К., Давыдов В.В., Колягин Ю.М., Леонтьев А.Н., Монахов В.М., Пушкин В.Н., Терехов Л.Л., Шамова Т.И. и др.).
В отмеченных исследованиях подробно анализируются пути и средства активизации учащихся и даются их психолого-педагогические обоснования.
Развитию межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла, роли и значению изучения задач практического характера, развитию навыков и способностей в практической деятельности учащихся, а также вопросам анализа математического моделирования ситуаций посвящены интересные исследовательские работы Гнеденко Б.В., Геворкяна С.С, іусева В.А., Загрековой Л.В., Лимана М.М., Монахова В.М., Махмутова М.И., Пинского А.А,, Усовой А.В., Федоровой В.Н., Фирсова В.В., Хомутовского В.Д., Коля-гина Ю.М., Оганесяна В.А. и др.
В большей части этих исследований, в основном, анализируются вопросы развития межпредметных связей между физикой и математикой и даются ценные дидактические разработки в этом направлении.
Что касается внедрения элементов и простейших задач теории игр и теории графов, то нужно отметить, что в этой области проделано мало работ. Имеющиеся работы (Беляев Э.С., Березина Л.Ю., Барболин М.П., Волков Н.А., Гнеденко Б.В., Дышинский Е.А., Me-
новщикова И.П., Саркисян А.А. и др.) в основном касаются введения отдельных вопросов и задач этих теорий во время факультативных курсов и занятий внеклассных кружков.
Проделанный нами анализ литературы показывает, что для решения предложенных вопросов существует ряд важных нерешенных дидактических задач, связанных с выбором методов обучения, в частности, активизация учащихся, повышение математической культуры (теоретической и практической), развитие экономического образования, развитие способностей и навыков математического моделирования ситуаций практических задач, развитие учебно-познавательной деятельности учащихся, а также введение элементов отдельных разделов прикладной математики.
Методические исследования ограничиваются, как правило, изучением дидактических задач отдельных вопросов одной дисциплины естественно-математического цикла. Подобный односторонний локальный подход не может развить у учащихся таких знаний и умений, которые дали бы им возможность осознать фундаментальные связи между предметами.
Поскольку в ближайшее время предстоит реформа средней общеобразовательной школы, то естественным будет также совершенствование содержания предметов естественно-математического цикла. Учитывая фундаментальную роль математики в деле развития межпредметных связей, нужно определенным образом усилить аспект прикладной и практической направленности математического курса средней школы. Для реализации этого необходимо, чтобы разрабатывались и внедрялись в учебный процесс еще более эффективные методы и средства. Одним из путей совершенствования методики обучения является усиление внедрения в курс математики вопросов математического моделирования ситуаций задач прикладного и практического характера,
а также решение и анализ таких задач.
Проблема исследования состоит в следующем: поиск и обобщение методически эффективных путей развития прикладной и практической направленности математического образования средней школы на базе изучения практических задач и внедрения элементов отдельных разделов прикладной математики.
Под отдельными разделами прикладной математики мы имеем в. виду теорию графов и теорию игр.
Предмет исследования. Для исследования выбраны, в основном, разбор качественного и количественного содержания практических задач, соответствующих обязательному курсу математики ІУ-У классов, алгебры УІ-УШ классов и алгебры и начал анализа IX-XI классов средней школы, а также введение элементов теории игр и теории графов в занятия внеклассных кружков.
Целью исследования является: показать, что обучение задачам практического характера и простейшим задачам теории графов и теории игр является эффективным средством повышения математической культуры, экономического образования, а также вооружения учащихся глубокими теоретическими и практическими знаниями по предметам естественно-математического цикла. Естественно, что реализация отмеченной цели будет способствовать усилению аспекта практической и прикладной направленности математического образования средней школы. Анализируя исследовательские работы, проведенные в этом направлении, а также проведенные нами экспериментальные работы, мы получили возможность выдвинуть следующие гипотезы:
I. Методически оправдана замена значительной части абстрактных задач курса математики средней школы задачами практического характера.
Без дополнительного времени можно ознакомить учащихся с простейшими задачами и элементами теории игр и теории графов,что будет способствовать повышению эффективного развития практических навыков учащихся.
Эффективный разбор математического моделирования задач практического характера даст возможность учащимся почувствовать мощь ж краооту математического аппарата и его необходимость при решении различных задач, возникающих в практической деятельности человека.
Конкретные задачи. Для решения предложенной проблемы необходимо предварительно решить следующие задачи:
Выявить, исходя из практики обучения массовой школы и совершенствования методов обучения, необходимый уровень навыков и способностей для применения теоретических знаний на практике.
Проанализировать качественное и количественное соответствие задач практического характера, а также задач, относящихся к теории игр и теории графов,в системе задач и упражнений курса математики средней школы.
Разработать единый подход при введении задач практического характера и элементов отдельных разделов прикладной математики как в обязательном курсе, так и в занятиях внеклассного кружка.
Создать методику решения задач практического характера и введения элементов теории графов и теории игр, которая способствовала бы повышению эффективности прикладного и практического аспектов математического курса средней школы, в частности:
а) методику моделирования и разработки ситуаций задач прак
тического характера;
б) составление системы задач практического характера как для
- II -
обязательного курса, так и для занятий внеклассного кружка;
в) составление системы задач по теории игр и теории графов;
г) подготовку методической рекомендации для учителей как
для обучения теоретическому материалу, так и для решения задач;
д) предложение методической рекомендации для введения эле
ментов теории игр и теории графов и решения соответствующих за
дач.
5. Проверить с педагого-методической точки зрения эффективность усвоения обучаемого материала и выяснить качественный уровень навыков применения теоретических знаний в практической деятельности учащихся.
Для решения поставленных задач мы руководствовались следующими методами:
Методы исследования.
а) ознакомление с теоретической, психолого-педагогической,
дидактической, философской, математико-методической литературой,
а также разбор научных публикаций, имеющих отношение к вопросам
введения элементов теории игр и теории графов в курс математики
средней школы;
б) изучение и обобщение передового опыта учителей как в
СССР, так и в Ираке, а также личные беседы с учителями и учащи
мися об отдельных вопросах поставленной проблемы;
в) проведение нами опытно-экспериментальных исследований в
отдельных школах СССР и города Багдада Иракской республики.
Научная новизна. В диссертации показано, что: а) изучение задач практического характера и введение элементов отдельных разделов прикладной математики являются эффективным средством развития межпредметных связей естественно-мате-
матического цикла;
б) для реализации прикладной и практической направленности
школьного курса математики эффективным средством является созна
тельное усвоение учащимися принципов математического моделирова
ния и знакомство с элементами теории игр и теории графов;
в) практические задачи и простейшие задачи отмеченных разде
лов прикладной математики являются очень хорошим средством для
развития экономического образования учащихся;
г) разработан единый подход к моделированию задач практиче
ского характера, к их решению и разбору;
д) разработана методика получения и составления эмпирических
формул для решения практических задач;
е) разработаны системы задач практического характера, а так
же относительно отмеченных разделов прикладной математики;
ж) разработана методика введения элементов теории игр и тео
рии графов как на уроках, так и на занятиях внеклассных кружков.
Практическое значение. Составлены системы задач практического характера и относительно элементов теории игр и теории графов, которыми могут пользоваться учителя как во время уроков, так и на занятиях внеклассного кружка. При этом, решение этих задач будет способствовать, с одной стороны, развитию межпредметных связей естественно-математического цикла, а с другой, - овладению учащимися такими знаниями и навыками, которые с легкостью будут использованы ими при решении различных задач в практической деятельности.
Апробация. Результаты проведенного исследования докладывались и обсуждались на различных этапах:
I. На научно-методическом семинаре кафедры методики препода-
- ІЗ -
вания математики Армпединститута им. Х.Абовяна (1980,1981,1982, 1983 гг.) (рук. семинара, доцент Оганесян В.А.).
На юбилейной научной конференции профессорско-преподавательского состава Армпединститута им. Х.Абовяна, посвященной 60-детию установления Советокои власти и образования Коммунистической партии Армении (Ереван,1980г.).
На научно-теоретических сессиях профессорско-преподавательского состава Армпединститута им. Х.Абовяна, посвященных итогам годичных исследовательских работ (систематически в 1980-1983 гг.).
На Ш юбилейной сессии молодых ученых и специалистов Армпединститута им. Х.Абовяна, посвященной бО^летию образования СССР и основания института (Ереван,1982г.).
Внедрение и публикации. По теме диссертации автором опубликованы следующие работы:
I Изучение задач прикладного характера на внеклассных занятиях математического кружка. "Математикан ев физикан дпропум", JS 1,1981,Ереван,с.37-42 (на арм.яз., соавтор Саркисян А.А.).
Применение геометрических задач на построение при решении задач практического характера. "Математикан ев физикан дпропум", Л5,1981,с.42-46 (на арм.яз.).
Необходимость изучения задач практического характера в курсе математики средней школы. Доклады ХХХУШ годичной научной юбилейной сессии профессорско-преподавательского состава. Тезисы докладов,Ереван,1982г.,с.66-67 (на арм.яз., соавтор Саркисян А.А.).
Некоторые вопросы эстетического воспитания в процессе преподавания математики. Межвузовский тематический сборник науч-
ных трудов, Педагогика,15,Ереван,1982,с.46-53 (на арм.яз.).
Обучение элементам математической теории игр на внеклассных занятиях кружка. Тезисы юбилейной научной сессии молодых ученых и специалистов,Ереван,1982,с.30-31 (на арм.яз.}
Некоторые вопросы практической и прикладной направленности курса математики в средней школе. "Математикан ев физикан дпронум", $ 3,1983,0.47-50 (на арм.яз.).
На защиту выносятся: 1 Единый подход в изучении задач практического характера как в процессе уроков, так и на занятиях внекласоного кружка.
Методика изучения задач практического характера и простейших задач теории игр и теории графов на занятиях внеклассного кружка.
Системы задач, способствующих повышению эффективности прикладной и практической направленности курса математики, ж методика составления этих задач.
Методика усиления аспекта прикладной направленности занятий внеклассного кружка.
Структура диссертации. Теоретические, практические, а также экспериментальные исследования изложены соответственно принципам дидактики советской педагогики.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и библиографии.
Обучение решению задач прикладного характера как средство активизации урока математики
Известно, что процесс обучения является психолого-педагогической целенаправленной деятельностью между учителем и учеником, где изучаемый материал является предметом этой совместной деятельности.
В процессе этой деятельности возникают многочисленные и разнообразные психологические и педагогические проблемы и задачи,от эффективности решения которых зависит качество обучения. По нашему мнению, главной проблемой является проблема активизации учащихся, которая обусловлена рядом взаимосвязанных факторов. Такими факторами являются: уровень внимания учащихся, наличие "положительных эмоций", любознательность, заинтересованность (личная или коллективная) и т.д. Говоря об активизации процесса обучения, известный русский педагог Ушинский К.Д. особо отмечает важность обеспечения фактора внимания в процессе обучения. По этому поводу он пишет: "...внимание есть именно та дверь, через которую проходит все, что только входит в душу человека из внешнего мира"
Заметим, что все вышеуказанные факторы (активизации) взаимосвязаны и опираются на принципы дидактики советской педагогики, среди которых активизация - есть один из этих важных принципов.
Возникает вопрос, какими же средствами можно обеспечить активное обучение, какими формами и способами можно психологически наотроить учащихся на сознательное усвоение изучаемого материала?
Экспериментальные работы показывают, что эффективным методом активизации обучения математике являются обсуждение и решение задач прикладного характера и ознакомление учащихся с элементами прикладной математики. Исследования показывают также, что большинство учащихся оценивает предмет математики, в основном, полезностью и необходимостью применения математических методов в различных областях деятельности человека, что дает ему возможность с легкостью познавать окружающий мир. С другой стороны, поскольку вся деятельность человека происходит в реальном мире, и он своей работой пытается приспособить последний к интересам общества и к своим интересам, то для реализации этого должен решать многочисленные практические задачи. Отсюда следует, что практические задачи близки любому человеку, и для реализации учебного процесса будет естественно опираться на средства обсуждения и решения практических задач.
Говоря о роли, значении и важности изучения задач в процессе обучения, известный американский математик и педагог Дж.Пойя пишет: "Если мы хотим развить интеллект ученика, мы должны быть внимательны к тому, чтобы первые вещи дошли к нему первыми. Определенные виды деятельности усваиваются легче и естественнее, чем другие. Угадывать легче, чем доказать, решить конкретные задачи легче, чем конструировать структурные понятия" [91,0.89] . Это также указывает на необходимость изучения задач практического характера, что, с одной стороны, способствует хорошему освоению теоретического материала, а, с другой, - обогащает учащихся такими знаниями, которые они с легкостью смогут применить в процессе практической деятельности.
Возникает вопрос - должны ли все уроки проходить по данной схеме, и все ли новые материалы дадут возможность рассмотрения практических задач, решение которых опирается на предложенный новый материал? По нашему мнению, имеются отдельные уроки, к теоретическому материалу которых нецелесообразно относить рассмотрение практических задач. Например, если пункт "решение системы линейных неравенств с одной переменной" вводился учителем посредством обсуждения практических задач, то следующий пункт - "примеры решения сложных неравенств" - можно ввести так, как предложено в учебнике (обсуждением абстрактных упражнений) или же изучение пункта "неравенства, содержащие переменную под модулем".
Однако в системе упражнений относительно вышеуказанных двух пунктов должны быть рассмотрены и практические задачи. Поскольку основной целью изучения математики в школе в конечном счете является обеспечение развития абстрактного мышления, повышение математической культуры учащихся, следовательно, изучение практических задач, в первую очередь, должно повышать психологическую настроенность, активность учащихся в сознательном усвоении предлагаемого теоретического материала. Если такая психологическая настроенность присутствует, то обсуждение практических задач до изложения нового материала будет не к месту. В таком случае обсуждение решения практических задач можно и нужно проводить после изложения теоретического материала как объекта применения этого материала. Итак, обсуждение и решение практических задач должно способствовать повышению активности учащихся, подготовке их психологически, появлению положительных эмоций, сознательному усвоению нового материала, а также укреплению связи теоретического и практического.
Особое внимание надо уделить содержанию практических задач, чтобы они не были составлены искусственно, что не только не повышает активность учащихся, но и порождает "отрицательные эмоции" у учащихся и не способствует эффективности процесса обучения.
О роли и значении человеческих эмоций В.И.Ленин пишет: "...без "человеческих эмоций" никогда не бывало, нет и быть не может человеческого искания истины" [4,с, 112] , что показывает, что пренебрежение этим психологическим фактором в процессе обучения затормозит развитие активных творческих способностей учащихся.
Например, авторы задачника для седьмого класса предлагают следующую задачу [64,с.94J : 12 кг ириса смешали с 10 кг карамели. I кг ириса стоит I р. 60 коп., а стоимость I кг смеси больше I р.40 коп, но меньше I р. 80 коп. Сколько стоит I кг карамели? В ответе записано дороже I р. 16 коп., но дешевле 2 р. 04 коп. У учащихся могут возникнуть, прежде всего, следующие вопросы: о какой целью смешивали конфеты, происходит ли это в действительности в магазинах и т.д.? С другой стороны, может ли кто-либо (даже учитель) после решения сказать, сколько стоит I кг карамели конкретно, ведь решение сводится к неравенству 1,16 х 2,04, у которого бесчисленное множество решений.
Изучение практических задач как важное средство развития экономического образования учащихся
На данном этапе в советской политехнической средней общеобразовательной школе в системе поставленных задач важным требованием является задача экономического образования учащихся. Естественно, что решение этого вопроса в СССР, в первую очередь, должно быть соответствующим сути социалистической экономики.
Социалистическая экономика, в первую очередь, есть наука о том, как правильно, разумно, эффективно вести хозяйство в масштабе всей страны и в рамках каждого его звена для блага народа " [76,с.3] . Это определение показывает, что сознательное знание элементов социалистической экономики для работников любой области является первым необходимым условием. Следовательно, определенную роль в вопросе экономического образования учащихся должна выполнять средняя школа. Решение этого важного вопроса должно реализоваться, в основном, в курсах цикла естественно-математических предметов, и, в частности, в процессе обучения математике. Известно, что любая практическая задача отражает функциональную связь, имеющуюся между отдельными элементами какого-либо звена той или иной отрасли народного хозяйства. Следовательно, практические задачи являются одним из лучших средств в деле экономического образования учащихся. Известно также, что экономика любой страны есть сложный организм, любая "клетка" которого взаимно связана с "клетками" других отраслей. Следовательно, оптимальное решение любой практической задачи, даже из одной ветви хозяйства, даст большой экономический эффект. В основе оптимального решения практической задачи лежит экономико-математическая модель этой задачи.
Автором оптимальной экономико-математической модели является академик Л.В.Канторович, в 1960-1965 гг. методами линейного программирования разработавший ряд моделей, за которые в 1975 г. получил Нобелевскую премию.
После начала применения математических методов в экономике эта наука поднялась на более высокий, качественно новый уровень. Здесь уместно вспомнить слова Карла Маркса, который писал: "Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой" [59,с.6б] .
Возникает вопрос - с какого именно класса целесообразно начинать знакомство учащихся с элементами экономики и давать им экономическое образование? По нашему мнению, изучение этого вопроса надо начинать с начальных классов. В этих классах учащимся должны предлагаться простые задачи из области торговли, транспорта, промышленности и сельского хозяйства, которые, имея практический характер, являлись бы пропедевтикой для решения несравненно более сложных экономических задач в старших классах. Например, в начальных классах в тех или иных темах предложено сравнение абстрактных чисел типа С1 + -V и С + & или а- -ті и С d . Безусловно, выполнение подобных упражнений необходимо, но, по нашему мнению, будет правильнее, чтобы часть абстрактных упражнений такого типа заменялась простыми задачами практического характера. Например.
Расстояния между деревнями на чертеже даны числами Q, , Ъ , С , U, . Какая из дорог короче Ясно, что при решении этой задачи опять же нужно сравнить суммы а + Ф и С + d , но в процессе решения такой задачи решается также другой вопрос: простейшая экономическая задача, где дети находят крат чайший путь из они оценивают данную практиче скую ситуацию. Ученики, по существу, интуитивно приходят к поня тию нахождения оптимального решения или оптимального плана. Перечислим несколько простейших экономических понятий, которые необходимо изучить в начальных и средних классах. Таковыми являются: а) режим экономии; б) экономия времени (цена минуты); в) продовольственная программа и дополнительные резервы; г) богатства недр и их ограниченность; д) экономия горючего и водных ресурсов; е) вопросы охраны природы и окружающей среды; ж) производительность труда и вопросы его повышения; з) оптимальный путь и разработка оптимального плана и т.д. Нужно отметить, что в текстовых задачах учебников по математике эти вопросы частично представлены, но выбранные задачи таковы, что для учащихся они являются не целью, а промежуточным звеном или словом для составления данной задачи. При решении задач в курсе математики определенное место должно отводиться таким практическим задачам, которые, имея образовательную цель, должны также иметь целью повышение экономического образования учащихся и воспитательное значение. Учащимся уже с младших классов должно быть хорошо известно, что полезные ископаемые страны - железо, никель, уголь, золото и т.д. - не безграничны, не бесконечны также леса и водные ресурсы, как и воздух, следовательно, их использование должно вестись целесообразно, экономно и эффективно. Ясно,что бесед подобного содержания учащиеся слышат достаточно много по радио и телевидению, знают из печати, но они не могут представить самостоятельно всю суть этих вопросов. Чтобы для учащихся стало убеждением сознательное усвоение смысла необходимости экономических терминов, необходимо решать конкретные практические задачи из реального окружения; при их решении учащиеся в определенной степени почувствуют важность данного вопроса, а также получат определенные навыки. Например, каждый день по разным поводам объективно говорится о бережном использовании хлеба, но в учебниках не встретишь задачи, решая которую учащиеся почувствовали бы важность этого вопроса. То же можно сказать об экономии электроэнергии, охране окружающей среды и т.д.
Психолого-педагогическое обоснование введения элементов прикладной математики в школе
Современная направленность научно-технической революции, высокий уровень развития, а также большая сфера охвата, в первую очередь, обусловлены широким применением методов математики. Почти во всех областях деятельности человека, особенно в последние десятилетия, появились новые разделы математической науки со своими методами, на основе которых получила бурное развитие вычислительная техника, были созданы мощные ЭВМ, которые эффективно применяются во всех областях народного хозяйства. Математика является одной из древнейших наук, в основном выступавшая для удовлетворения практических нужд человека. В дальнейшем математика развивалась на базе "логической системы", на основе которой появились новые математические теории, которые дали эффективные методы для решения многочисленных сложных задач, появляющихся в практической деятельности человека.
Естественно, что отдельные разделы математики получили несравненно большее развитие и применение в практической деятельности человека, чем другие. В связи с этим постепенно появились названия "прикладной математики" или чистой математики и прикладной математики. В отдельных случаях прикладной математикой считаются те разделы математики, которые непосредственно применяются в процессе решения конкретных задач.
По этому поводу польский математик и популяризатор науки Гуго Штейнгауз пишет: "Прикладной математики в виде готовой теории не существует. Она возникает, когда математическая мысль прикасается к окружающему миру, но лишь при условии, если математический дух и природная материя не закоснели" [I32,c.400] .
А в толковом словаре математических терминов отмечено: "Прикладная математика - этим термином пользуются, когда говорят о применении математики в других областях науки и техники - в физике, химии, астрономии, экономике, геодезии, в военном и инженерном деле и т.д." [68,c.355J .
Если рассмотривать этот вопрос с точек зрения этих формулировок, то можно сказать что вся математика является прикладной математикой, поскольку почти все ее разделы применяются в различных областях науки и техники. И если даже какой-либо раздел математики на сегодня не применяется непосредственно при решении практических задач или применяется мало, то это отнюдь не значит, что в будущем этот раздел не получит большего применения, чем другие разделы, использующиеся сейчас шире. Следовательно, рассматривая вопрос с этой точки зрения, трудно четко разделить прикладную математику от неприкладной. Но поскольку термин "прикладная математика" получил гражданские права, то мы будем включать в него в основном те разделы математики, которые полностью или в большом объеме применяются при решении практических задач, а также те разделы, которые появились при решении отдельных классов практических задач.
О полном признании термина "прикладная математика" говорит также тот факт, что в большинстве вузов, как в СССР, так и за рубежом, имеются факультеты именно прикладной математики.
Все эти объективные явления не могли не найти своего отражения в курсе школьной математики, в частности, в аспекте прикладной направленности этого курса. Уже почти два десятилетия, как произошла перестройка курса математики в школе, вследствие чего в курс школьной математики были введены такие вопросы и задачи отдельных разделов математики, которые имели определенную практическую прикладную направленность. В частности, в курс школьной математики ввели отдельные вопросы дифференциального и интегрального исчисления, векторного исчисления, линейного программирования, приближенные вычисления подвергалась дидактической обработке, и были даны предварительные сведения об ЭВМ. С другой стороны, как в СССР, так и за рубежом, проводятся опыты и экспериментальные работы по введению в курс школьной математики элементов теории графов и теории математических игр. Ознакомление с элементами этих теории существенно поможет эффективной реализации прикладной направленности курса школьной математики, и, с другой стороны, повысит математическую культуру учащихся. Естественно возникают следующие вопросы - в каком классе и после какой темы, в каком объеме и каїшми методами должны быть введены элементы вышеуказанных разделов? После проделанной нами экспериментальной работы мы пришли к двум направлениям решения этой проблемы:
А) Посредством введения отдельных простых понятий этих теорий при решении практических задач, при математическом моделировании и анализе этих задач, начиная уже с начальных классов, а также посредством введения отдельных задач и вопросов во время занятий внеклассного кружка.
Б) Путем построения отдельного факультативного курса теории графов и математической теории игр.
Мы в основном проделали опыты по решению вопроса, идя по первому пути, что, по нашему мнению, может послужить хорошей основой для решения вопроса по второму направлению, что является темой отдельного изучения. Прежде всего, нужно выяснить педагогический и психологический аспект введения элементов этих теорий, уясняя, в первую очередь, такие вопросы: доступны ли учащимся те или иные понятия задачи и закономерности этих теорий; вызовут ли они по своему существу интерес у учащихся; почувствуют ли учащиеся необходимость изучения элементов этих теорий, появится ли у учащихся индивидуальный или коллективный интерес и т.д.
Предварительно отметим, что ознакомление с элементами этих теорий естественно в том смысле, что как в традиционных, так и в новых учебниках и учебных пособиях предложены отдельные задачи и вопросы относительно этих теорий. Эти предложенные задачи в основном решались посредством опытов, а чаще приведением готовых решений без знакомства с методами этих решений. Например, в четвертом классе предложен ряд задач по теории графов и математической теории игр, относительно методов решения которых в учебнике нет никаких понятий и указаний.
Рассмотрим для простоты задачу из учебника 4-го класса & 1418 [ЗО.с.280] . Задача. Объем 1-го сосуда равен 8 литрам, 2-го - 5-литрам, а 3-го - 3-литрам. Первый сосуд полностью наполнен водой, а два других пустые. Как этими сосудами измерить I литр воды, 4 литра воды?
Обучение элементам математической теории игр на внеклассных кружковых занятиях в средней школе
Уже из курсов предыдущих классов учащиеся знакомы с отдельными математическими играми, решение которых задавалось или в виде готового алгоритма, или с помощью граф-модели ситуации задачи. С другой стороны, при решении этих задач (игр) учащиеся интуитивно использовали ряд терминов из теории игр.
Рассмотренные в курсе математики ІУ-УІ классов игры-задачи дают полное основание рассматривать по существу смысл кавдого термина игры, давая научное определение того или иного понятия. С этой целью целесообразно предварительно рассмотреть с активным участием учащихся несколько ситуаций игр как спортивного, так и математического характера. Например, шахматы, шашки, футбол-как спортивные игры, а рассмотренные в ІУ-УІ классах игры-задачи -как игры математические. После такого рассмотрения нркно потребовать от учеников, чтобы они пересчитали все общие требования, которые приведены в ситуациях рассмотренных задач и которые являются основными характеристиками для понятия игры.
Учащиеся без труда замечают, что почти все игры имеют общую структуру, а именно: а) существование определенного набора правил для реализации игры; б) определенное число игроков, реализующих игру или применяющих отмеченные правила; в) набор дополнительных правил и условий с согласия играющих.
Теперь коротко опишем отмеченные требования на примере футбольной игры. Всем известно, что эта игра проходит по общим правилам, число которых довольно велико и которые знакомы учащимся (случаи введения мяча в игру, положение вне игры, права игроков, число игроков и т.д.). Однако, кроме всех этих признанных правил, во время неофициальных игр с обоюдного согласия могут быть введены дополнительные условия либо уменьшено число основных правил. Например, дети очень часто играют не по II игроков в команде, а большим или меньшим числом игроков, не по 2 тайма, а больше или меньше и т.д. Рассмотрим теперь одну игру математического характера. Пусть Д и 8 играют в следующую игру. Положим игру начинает А , второй шаг делает Ь , третий - Д , и игра заканчивается. Шаги производятся по следующему правилу: каждый из игроков на каждом шагу выбирает из множества п- 2} какое-либо число и сообщает сопернику о том, какое выбрал число (может и не сообщить). Когда А делает свой второй шаг, игра заканчивается, и второй игрок В платит игроку А определенную сумму, которая дается следующим образом:
Требуется определить оптимальные стратегии для игроков Д и D . Заметим, что и здесь отмечены определенное количество игроков и определенные правила, которые должны выполняться во время игры. Здесь также игроки могут дополнять или убавлять количество правил, особенно, в таблице значений функций 14 (X, ., 2) Рассмотренные примеры дают основание определить понятие игры следующим образом. Игра - это некоторый выбор правил и соглашений, составляющих данный вид игры.
Фактически получается, что если группа людей соглашается выполнять некоторые правила индивидуально или совокупно, то их совместная деятельность приводит к ситуации, которая называется игрой, а исполняющие эти правила называются игроками. Заметим,что для каждой игры характерна конфликтная ситуация между игроками, возникающая от противоположных стремлений игроков, т.к. каждый игрок, исходя из правил, стремится выиграть игру, победить соперника. Б каждой игре при возможном согласии игроков происходит платеж. Это может выражатся различным образом, напршлер, денежным платежом, или занесением очков, или моральной и психологической оценкой и т.д., которые являются лучшим стимулом для игроков. Этот платеж в математических играх дается в виде таблицы (матрицы) , которая называется платежной матрицей.
Поясним еще одно понятие, которое характерно для любой игры. Известно, что в каждой игре каждый игрок, исходя из правил, договоренностей, выбирает из множества действий, имеющихся в его распоряжении, одно и выполняет его в конкретный момент игры. Это действие называется шагом. Напршлер, в футболе передача мяча кому-либо или удар по воротам, или вообще удар по мячу можно считать шагом. В шахматах передвижение шахматной фигуры по правилам называется шагом. Итак, шаг в игре может быть определен следующим образом: шаг или ход - это момент игры, в котором один из игроков выбирает одну альтернативу из некоторого набора альтернатив. Заметим, что во время любой игры каждый игрок с целью выигрыша составляет план игры, состоящий из множества шагов, причем, этот план для данного игрока может быть и хорошим, и плохим.
План этот в теории игр носит название стратегии. Иными словами, стратегия игрока определяется следующим образом: - это совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в зависшлости от ситуации, которая сложилась в ходе игры.
Очень часто игры классифицируются, исходя из количества стратегий игроков. Например, если в какой-то игре Д имеет Itl стратегий, а 8-М стратегий, то говорится, что имеется игра с ftlXH стратегиями. Рассмотрим следующую игровую ситуацию.
