Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование обобщенного решения в задачах о кавитационном обтекании. Плоский и осесимметрический случаи 21
1. Краевая задача для кавитационного обтекания с учётом поверхностных сил 21
2. Вариационный принцип для осесимметрического кавитационного течения 24
3. G - симметризация и её свойства. Существование экстремальных элементов 26
4. Необходимое условие существования экстремума вариационной задачи 40
5. Априорная оценка производной 4/г решения вариационной задачи 50
6. Обобщённое краевое условие в задаче об осесимметрическом кавитационном обтекании 72
7. Плоское течение в невесомости 79
8. Плоское кавитационное течение в поле гравитационных сил с учётом поверхностных сил (существование обобщённого решения) 81
Глава 2. Аналитичность свободной границы 88
1. Априорная оценка градиента функции тока в осесимметрическом случае 88
2. Бесконечная дифференцируемость свободной границы 106
3. Плоские кавитационные течения. Аналитичность границ 109
4. Аналитичность границы.
Осесимметрический случай 127
Глава 3. Зависимость вариационного решения от данных задачи . 152
1. Поведение свободной границы в концевых точках 152
2. Единственность вариационного решения задачи о кавитационном обтекании с учётом сил поверхностного натяжения 158
3. Зависимость решения вариационной задачи от параметров течения 178
Глава 4. Кавитационное течение с учётом расклинивающих сил 183
1. Постановка задачи. Физическая и математическая модели 183
2. Вариационная задача. Построение функционала гауссовой кривизны 186
3. Минимизирующие последовательности вариационной задачи 192
4. Существование решения вариационной задачи 217
5. Необходимое условие существования решения вариационной задачи 222
6. Конформные отображения, граничные оценки для |VT| 227
7. Обобщённое краевое условие .227
8, Аналитичность свободной границы 236
9. Единственность решения вариационной задачи со свободной поверхностью с учётом расклинивающих сил. Зависимость решения от параметров задачи 242
10 Квазиконформные отображения и задачи механики жидкости и газа 256
Глава 5. Обобщённое условие Лапласа. 9 - минимальные поверхности. Вариационный принцип для 9 - минимальных поверхностей 264
1. Вариационные задачи и 9 -минимальные поверхности
2. Осесимметрические 8 - минимальные поверхности 288
Заключение 294
Список литературы 295
- Вариационный принцип для осесимметрического кавитационного течения
- Априорная оценка производной 4/г решения вариационной задачи
- Бесконечная дифференцируемость свободной границы
- Единственность вариационного решения задачи о кавитационном обтекании с учётом сил поверхностного натяжения
Введение к работе
Теория краевых задач со свободными границами возникла в связи с многочисленными применениями в технике: смазка подшипников, изучение режимов водного баланса в водохранилищах, проблемы снижения силы сопротивления при движении тел в сплошных средах, изучение кавитационных эффектов, возникающих при движении аппаратов на подводных крыльях. Список таких проблем можно было бы продолжать неограниченно. Имеется большое количество научных работ, посвященных исследованию такого рода задач. Некоторые из них указаны в списке литературы, приводимом в диссертации.
Данная диссертационная работа посвящена в основном исследованию кавитационных безвихревых течений идеальной несжимаемой жидкости с учётом поверхностных сил. При этом нами изучаются в основном осесимметрические течения, в которых учитываются силы, действующие либо на поверхности, разделяющей жидкую и газообразную фазы в том случае, когда толщина слоя промежуточной фазы не учитывается, либо в промежуточном слое при учёте толщины последнего. Кроме того, нами изучаются экстремальные проблемы, связанные с обобщением условия Лапласа, определяющего равновесные капиллярные поверхности.
Несмотря на то, что математические модели, соответствующие течениям жидкости с учётом поверхностных сил известны уже давно, изучались в основном плоские задачи с применением теории конформных отображений. Кажущееся естественным обобщение такого подхода на осесимметрические течения осложняется трудностями, связанными с необходимостью изучения общих квазиконформных отображений. Это объясняется тем, что система уравнений осесимметрического безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости является вырождающейся на оси симметрии, что приводит к тому, что инъективные решения такой системы не являются К-квазиконформными.
Избранный метод исследования является вариационным и в нём мы следуем по пути, намеченному в работах П. Гарабедяна, Г. Леви, Д. Спенсера и М. Шиффера (см. [16], [17]). В этом методе используется симметризация функций и поверхностей, восходящие к работам Г. Сегё, Г. Полна ( [71] ).Так как при исследовании новых краевых задач этим методом мы вводим новые функционалы, при этом не все из них являются выпуклыми, то возникает необходимость дальнейшего развития и симметризационных методов и самого вариационного метода.
Возможности предлагаемого нами метода исследования, являющегося развитием упомянутого метода, в наибольшей степени проявляются при исследовании осесиммметрических кавитационных течений, в которых учитывается толщина слоя, разделяющего жидкую и газообразную фазы. При этом принимаются во внимание силы, действующие на различных молекулярных уровнях, они получили в научной литературе название расклинивающих сил. Одним из ключевых моментов в изучении таких потоков вариационным методом является вывод общего вида функционала, чья вариация приводит к появлению гауссовой кривизны на неизвестной заранее поверхности, лредставляющей собой границу каверны в кавитационном течении. Анализ необходимого условия экстремальности допустимого элемента вариационной задачи, соответствующей модели, в которой не учитывается промежуточная фаза, приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, решение которого определяет вид упомянутого функционала. Насколько нам известно, исследования такого рода моделей были предприняты впервые. То же самое может быть сказано и об исследовании математической модели осесимметрического кавитационного течения с учётом лишь поверхностного натяжения, несмотря на то, что его физическая модель, как уже было сказано, является классической и хорошо известной.
Заметим, наконец, что возможности метода простираются за пределы проблем гидродинамики. Он позволяет проводить исследования обобщенных минимальных поверхностей, вообще говоря не осесимметрических. Эти поверхности определяются нами как поверхности, у которых линейная комбинация средней и гауссовой кривизны равна нулю (либо произвольной неотрицательной константе в более общем случае). Такого рода поверхности могут быть получены с помощью нормальных смещений минимальных поверхностей. Их иногда называют поверхностями Вейнгартена.
В общих чертах мы уже описали предмет наших исследований. Опишем его более подробно освещением содержащихся в работе результатов. Они изложены в пяти главах диссертации.
Первая глава, состоящая из восьми параграфов, посвящена доказательству теоремы существования обобщённых решений краевых задач для кавитационных осесимметрических течений с учётом сил поверхностного натяжения и без учёта толщины промежуточного слоя, разделяющего жидкую и газообразную фазы.
Пусть В0 - тело, полученное вращением области В, лежащей в полуплоскости Е ={(х,у)| у>0} плоскости (х,у), вокруг оси симметрии Ох. Будем предполагать границу области В составленной из отрезка {х : |х|<1} , оси симметрии у=0 , монотонной дуги S+, заданной уравнением у = у+(х), xe]k,l[, у+(1) = 0, y+(k) = h (0.1) для некоторого к, 0< к <1 , дуги S-- зеркального отображения S относительно оси ординат, и горизонтального отрезка {|х|^к} прямой {(х,у)| y=h = y+(k)j.
Рассматривается следующая математическая модель об осесимметрическом кавитационном течении около тела В0. Найти область В, ограниченную осью симметрии {у -О}, дугами S- и свободной границей, кривой , лежащей в полосе {(х,у)| -k
У2У2 J (x,y) = Л, (x,y) є E0 (0.2) (0.3) (0.4) E0=Z\ {(-k0,h)[J(k0,h)} .2 „.,.2 f . Л
2 (*<+/)'" U'+yj V(x,y) = ~ - , ,аУо^п + о
,(x,y)->co (0.5)
Здесь k — средняя кривизна поверхности S, образованной вращением Е вокруг оси Ох. Знаки главных кривизн плоских сечений определяются с помощью внутренней по отношению к области D нормали.
Пусть, например,к=к(х) кривизна Е в точке {х,у{х)). Тогда к(х)>0, если Е выпукла в сторону кавитационнои полости W=B\B (вогнута в сторону жидкости) и к(х)<0, если Е вогнута в сторону кавитационнои полости, выпукла в сторону жидкости. Такой выбор кривизны определяется условием равновесия на свободной поверхности, следующим из уравнений Бернулли.
Через Х-0» %>0 в условии (0.4) обозначены постоянные, характеризующие поверхностные силы и давление внутри каверны W.
Разложение (0.5), в котором а определяется решением Ч7, показывает, что поток на бесконечности имеет единичную скорость и является одномерным.
Аналогично предыдущему в первом параграфе формулируются задачи о кавитационном обтекании в плоском случае. При этом мы рассматриваем задачи как в невесомости так и в гравитационном поле.
В параграфе 2 определяются вариационные задачи, с помощью которых нами впоследствии будут найдены обобщённые решения краевых задач, соответствующих упомянутым кавитационным течениям. Здесь формулируется вариационная задача, соответствующая краевой задаче (0.2)-(0.5).
С этой целью вводится в рассмотрение функционал LC,I,)=Af+(l-2AyV+z-S (0.6) в котором 2тсМ и 2;rV присоединённая масса и объем тела, полученного вращением области BUW вокруг оси симметрии. При этом предполагается, что кривая Е является спрямляемой, в таком случае корректно определяется площадь поверхности вращения, разделяющей жидкую и газообразную фазы, характеризуемая функционалом S.
В том случае, когда спрямляемая кривая задана, значения функционала L однозначно определяются решением задачи Дирихле (0.2), (0.3), (0.5).
Областью определения функционала L=L(4/,S), будет считаться совокупность пар(*Р,Е), обладающих следующими свойствами: Е- спрямляемая жорданова кривая, расположенная в полосе {(х,у)\—кйхйк, y'Z.h}, концы которой находятся на ее границе, функция - функция тока в области >+, образованной меридиональным сечением В и кривой , удовлетворяющая условиям (0.3), (0.5), а также условию
У - ^— є Wl ( D + ) ;
Здесь W (G) - пространство функций, обладающих обобщенными производными первого порядка, интегрируемыми с квадратом по области G
Вариационная задача Vj: Найти infDi Ц,Е) нижнюю грань значений функционала Ьна множестве DL.
При решении вариационной задачи VjHaMH используется метод симметризации функций и областей. В параграфе 3 описана G-симметризация функций и областей и изучается поведение функционала S при G -симметризации. Обозначив через Е - G- симметризацию области CD, а через S - площадь поверхности, полученной вращением границы области Е*вокруг оси Ох, получаем, что5*<.
На основании этого результата и известных результатов о поведении виртуальной массы при G -симметризации доказывается теорема о существовании экстремального элемент (ТЭ,ЕЭ) eDL проблемы V, такого, что Z(4^E3)= inf (Т,Е)в котором Еэ является симметричной относительно оси у кривой, являющейся графиком функции у=у{х), \х\<к, убывающей при х > 0 . Для производных первого порядка функции Ч*э в области D здесь получаются чрезвычайно важные для дальнейшего неравенства
В параграфе 4 первой главы выводится необходимое условие экстремума в вариационной задаче К. Для точного вывода необходимого условия существования экстремума в вариационной задаче Vj мы используется метод внутренних вариаций, развитый в цитированных ранее работах [16], [17]. При этом в круговой окрестности К2=В(г0)Г2) граничной точки Zq свободная граница вариируется с помощью преобразования z =x+sF(z,z),e&C, | є\>0, Ime-F=0,zeC, в котором функция F=F(z,z), непрерывна в комплексной плоскости
С и обладает обобщенными производными первого порядка по z и z из пространства W ' (К-Л функций, имеющих обобщенные производные о первого порядка, принадлежащие L(K2). Ясно, что при достаточно малом ]е[ преобразование z*:C->C является топологическим. При этом необходимое условие существования экстремума имеет следующий вид fff*.^« ffs«?+" яогк DClK2 Df\K2 Wf\K2 Mf~i+irJ)^~* Я"Л=0 (0-7) їП*2 ^K2
В параграфе 5 мы получаем априорную оценку для функции 4PZ, заключающуюся в том, что квадрат этой функции имеет в определённом смысле граничные значения. Обозначая через D ecD область, ограниченную дугой окружности радиуса є с центром в граничной точке zQ и свободной границей мы доказываем, что существует функция ^(z), представляющая собой граничные значения по некасательным путям на д!)Е , и число є > 0 такие, что какой бы ни была функция FeC({|z-20|
В параграфе 6 с помощью априорной оценки из параграфа 5 кривой с помощью модификации метода внутренних вариаций Шиффера доказывается, что функция ЧРЭ удовлетворяет почти всюду на свободной границе краевому условию (0.4) в обобщённом смысле. Именно с помощью этой оценки, подбирая специальным образом функцию F, нам удаётся представить (0.7) как условие существования обобщённой производной у функции z = z(s), представляющей собой производную функции, определяющей параметризацию свободной границы. Этот результат приближает нас к получению нужной степени гладкости свободной границы. Основной результат в этом параграфе заключается в следующей теореме.
Теорема. Для любых наперёд заданных, X > 0 , % > 0 существует функция Ч* и спрямляемая кривая X, симметричная относительно оси Оу и являющаяся графиком функции ^=^(^),(^1^:, убывающей при х>0, такие, что функция 4х является решением уравнения (0.2) в области D, соответствующей кривой Е,
4і-—&W^{D) и удовлетворяет условиям (0.3), (0.5). Для всех точек і . dz zeZ0 функция z-—, соответствующая естественному параметрическому представлению z=z(s) кривой L, является локально абсолютно-непрерывной и почти всюду на 2 выполняется краевое условие (0.4).
В параграфе 7 аналогично сказанному исследуется плоское кавитационное течение и доказывается теорема существования обобщенного решения её, являющегося решением вариационной задачи. Заметим здесь, что в дальнейшем будет доказана, что это решение является классическим, при этом условия на гладкость обтекаемого тела являются минимальными.
В параграфе 8 исследуется плоское кавитационное течение с учётом гравитационных сил и также доказывается теорема существования обобщенного решения её, являющегося решением соответствующей вариационной задачи.
Вариационный принцип для осесимметрического кавитационного течения
Следуя [14], [16], [17] мы будем изучать краевую задачу (1.1.2) -(1.1.5), с помощью вариационных методов. При этом мы предполагаем, что кривая Е является спрямляемой и z=z(s)-x(s)Jriy(s) - её естественное параметрическое представление. Интеграл S в таком случае определён корректно, и представляет собой площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси симметрии жордановой спрямляемой кривой Е, лежащей в полосе {(x,y):\x\ k,y h}; В том случае, когда спрямляемая кривая задана, значения функционала L однозначно определяются решением задачи Дирихле (1.1.2),(1.1.3),(1.1.5). Значения виртуальной массы М из формулы (1.2.2) будем вычислять на функциях, обладающих обобщенными производными первого порядка. Пусть W (G) - пространства функций, обладающих обобщенными производными первого порядка, интегрируемыми с квадратом по области G . Областью определения функционала І=І( ,Е), будем считать совокупность пар( Р,Е), в которых функция Ч/ обладает свойством: ЧУ _ І1_ є w}{D+); и удовлетворяет условиям (1.1.2), (1.1.5), а кривая Е-спрямляемая жорданова кривая, расположенная в полосе {(х, у): - к х к, у ; h }, концы которой находятся на ее границе. Как будет ясно из дальнейшего, мы будем иметь возможность во многих случаях заменять произвольную допустимую функцию Ч? функцией тока в области D+, образованной меридиональным сечением В и кривой Е, и удовлетворяющей условиям (1.1.3),(1.1.5).
Вариационная задача Vj: Найти mfD ZCF,2) нижнюю грань значения функционала Ьна множестве DL. При доказательстве теорем существования и единственности решений, сформулированных ранее и других вариационных задач, нами будет активно использоваться метод симметризации функций и областей. Опишем сейчас симметризацию, которая нами будет применяться в дальнейшем. Заметим сразу, что название "G - симметризация" не является общепринятым. Этим названием мы хотим отразить ту роль, которую сыграли работы П.Р. Гарабедяна в исследовании поведения интегралов Дирихле с весом при применении симметризации.
Мы изучим поведение функционала L при симметризации функций и областей относительно координатных линий. Перейдем теперь к изучению поведения функционала S при G-симметризации. Обозначим через SD площадь поверхности, определяемой вращением кривой д D вокруг оси Ох. с Лемма 1.3.1. Пусть Е - G-симметризация области CD,13 площадь поверхности, полученной вращением границы области Е вокруг оси Ох. Тогда S SD (1.3.3) Доказательство. Разобьем проекцию CD, дополнения к области D на ось х на конечное число отрезков таким образом, чтобы число "листов" границы д D над каждым из них было постоянным.
В предыдущих обозначениях значения функционала L на паре ( ,2), где Е - кусочно-аналитическая кривая не возрастают при G-симметризации функции Ч и области CD, определяемой кривой Доказательство. Так как виртуальная масса М и объём V ведут себя монотонным образом при симметризации Штейнера относительно оси у (см. [17]), то нам остается рассмотреть поведение S при таком , преобразовании. Монотонность изменения S при симметризации Штейнера области CD устанавливается аналогично тому, как это было сделано в лемме 1.3.1.При этом доказательство упрощается, так как в рассматриваемом теперь случае оценка подынтегральных выражений, определяющих S производится при фиксированных значениях у.
Априорная оценка производной 4/г решения вариационной задачи
Как было отмечено в предыдущем параграфе, мы надеемся на то,, что в необходимом условии экстремальности пары (4 ,1 ) содержится информация относительно гладкости свободной границы 2. Ясно, что в том случае, когда эта граница гладкая, то и функция F обладает определенной регулярностью. Так как свободная граница является линией тока функции , то естественно ожидать, что хорошие априорные оценки для функции W позволят получить дополнительную информацию относительно гладкости свободной границы.
При осуществлении предельного перехода мы воспользовались тем обстоятельством, что в силу выбора т интегралы по дуге Т, f) К 2 в выражении (1.5.3 ) составляют стационарную последовательность.
Теперь мы видим, что если возможно применение формулы Грина к интегралу Я Ю у .vj, TV i{z) z 2 у1 Df\K2 то мы без труда можем получить (1.5.3) Для обоснования применения формулы Грина мы нуждаемся в априорных оценках для производных первого порядка функции Ч .Докажем сначала следующее утверждение. Утверждение 1.5.1. Пусть (.,)- элемент из леммы (1.4.2), {Ln } последовательность дуг линий уровня функции ,стремящихся к кривой ЕПК,, так , что их концы ап ,ЬП стремятся к концам I Г)Ко по некасательным путям.
Лемма доказана. Приступим теперь к получению более сильной априорной оценки для градиента функции F Пусть {ln} последовательность дуг линий уровня функции Y = Т(х,у ] , стремящихся к j a Zj. Пусть z" ,z концы дуг !nHzr ,z -концы дуги EJ, соответственно. Мы будем предполагать,что z",z" стремятся к zr,zf , соответственно, по некасательным путям. Мы будем считать дуги ln , 1 ориентированными так, что при продвижении точки (х,у) по ним в противоположном направлении при возрастании ординаты абсцисса убывает. Заметим теперь, что для любого фиксированного zs22 мы можем выделить однозначную ветвь аналитической функции Ln(t)=ln(z—г)в области, представляющую собой комплексную плоскость, разрезанную вдоль кривой, соединяющей точки z и оои лежащей в её подмножестве C\D в качестве таковой ветви мы можем избрать ветвь, определяющую главные значения логарифмической функции. Привалова-Голубева (см. [73]) для доказательства существования пределов (1.5.9 ) .
Покажем теперь, что W(s) =W(s) почти всюду на [0,S]. Заметим здесь, что мы не знаем, является ли функция W ограниченной почти всюду или нет. Пусть S0={se[0,S]:W(s)[ oo], множество, на котором функция W ограничена, а М - множество сходимости последовательности {Wn(s)}. Очевидно, что S0cM с точностью до множества нулевой меры. При этом на множестве S0Mbi, очевидно, получаем W(s)=limWn(s). Пусть теперь s0eM, Тогда {Wn(s0)} ограниченная последовательность комплексных чисел. Поэтому для достаточно больших п мы имеем Wn(s0)=W(s0), т.е. s0 eS0 , откуда следует равенство S0 =М , Итак, W ( s ) почти всюду совпадает с интегрируемой функцией W ( s ). Используя снова теорему Федерера, приходим к равенству Ы(в) ав = f w{s{&)) — do = І v{$)d6 Утверждение доказано. Для получения окончательного результата перейдём теперь к рассмотрению интеграла J и2 (z(s)) F(z(s))— ds ds (1.5.26) где z = z(s) - естественное параметрическое представление сЮ и S -длина спрямляемой кривой дТ \, при этом функция s = s(9), определяющая граничное соответствие при отображении ф, является абсолютно непрерывной функцией (см. [22]). Нами было доказано, что функция \ (ф(ю))ехр{-2а(ф(ю))} имеет почти всюду на границе единичного круга граничные значения по некасательным путям. Из утверждения 1.5.2 следует, что функция и1 (z) = Ч ( р ( »)).ехр{-2а ( р (со))}, представляющая собой граничные значения функции (ф(а ))ехр{-2а( р((о))} н& 3D по некасательным путям, интегрируема на 3D \. Это даёт нам возможность в соответствии с утверждением 1.5.2 совершить замену переменной в (1.5.26) под знаком интеграла Лебега.(см.[41], [85], [89]). В результате мы получим J »2 (z(s) )-F(z(s)) ds=j u2(z(s(e)))-F(z{s(0))) dz ds ds = ds d$ 2к їж о 0 (1.5.27) Из (1.5.26) - (1.5.27) мы теперь имеем s lim Г u2-F{z(s)) dz = lu2-F(z{s)}—ds (1.5.28) L о Так как функция ехр{-2а(ф((0))} является непрерывной в единичном круге, a F является произвольной непрерывной в нём функцией, то из (1.5.28 )мы получаем (1.5.13).
В этом параграфе нами будет показано, что функция Ч из экстремальной пары ((4 ,2 э) удовлетворяет обобщённому краевому условию (1.1.4) в том смысле, что на свободной границе Еэ, обладающей почти всюду кривизной, существуют граничные значения градиента Ч?3, удовлетворяющие почти всюду на Еэусловию (1.1.4). Получим здесь прежде всего один технический результат.
Бесконечная дифференцируемость свободной границы
Прежде всего покажем здесь, что свободная граница 2 0 является локально кривой Ляпунова. Этот результат следует из приводимой ниже леммы. Лемма 2.2.1Лусть (У,Ґ) решение вариационной задачи V В таком случае кривая Е0 является кривой класса С , 0 а 1. Доказательство. Нами уже было показано, что кривая 20 является гладкой кривой. Пусть а0с2й- произвольная дуга на кривой Х0.Из условия (1.6.9), эквивалентного условию (1.6.12), мы получаем 2-i-X Z Х2 X 4-і 41 X -xz + 1-у y3i/y (2.2.1) 107 Функция z является абсолютно непрерывной функцией на дуге с0 .Поэтому, интегрируя обе части условия (2.2.1), получаем ik)-i(ja) йІ— ds + І -J- ds + f(t + l]( і X і У -X І \Ь ) х І s2 -Si \7 (2.2.2) ds і -V її .!2 В последнем неравенстве число р -произвольное число, принадлежащее полубесконечному интервалу ]l,-Ko[, число р определяется из условия -+—=1. р р Лемма доказана Напоминаем здесь, что при получении априорных оценок для градиента функции Т мы использовали интегрируемость с квадратом производной конформного отображения области D на полуплоскость. Так как свободная кривая оказалась кривой Ляпунова, то теперь мы можем уточнить априорные оценки для производных функции, , что в свою очередь приведёт к уточнению степени гладкости кривой . В результате мы приходим к следующей теореме. Теорема 2.2.1.Пусть ( ,2)- решение вариационной задачи Vj. Тогда кривая Е0 является бесконечно дифференцируемой. Доказательство. Через Doc будем обозначать область, гладким образом, примыкающую к гладкой дуге ст0сЕ0, так что степень гладкости 5D0равна степени гладкости дуги ст0 . Так как последняя принадлежит классу С1+а, 0 а 1, то в соответствии с теоремой Келлога (см.[22]) мы получаем, что производная zw конформного отображения z: w l}- D0 ограничена в замкнутом круге w l}, а производная wz обратного отображения-в D0 . Кроме того, производная zwпринадлежит классу Ca,Va ,0 а 1.Это означает, что J eL2(w l),B соответствии с теоремой Зигмунда-Кальдерона мы теперь получаем, что T(0;{jw l},z)eW(w lj). Это означает, что интеграл Р(т(ф;.)) Пуассона для функции т(ф;.) из (2.1.8) принадлежит пространству W2(w l})(cM.[49]). ИЗ теоремы вложения С.Л. Соболева мы получаем, что m T(6;.)+p(T(6;.))eW;flw iuVyeJ,-Ko[
Пусть Gw cw l} область, граница которой dGw является бесконечно дифференцируемой кривой, содержащей дугу w(a0)c {jw = 1/. Тогда в соответствии с (2.1.8) мы получим, что 4 eW (Gw),Ye]l,+co[,GwCjw l},5Gwnw = l}=ao,a0c:w(a0) Переходя от области GWK кругу w l} с помощью конформного преобразования, мы получаем, что Ф єLy(jW 1),VY Є ]l,+oo[.Используя ( полученные свойства функции, мы получаем улучшенную априорную оценку Т(ф;.)+Р(т(ф;.)є WT2(j w l})) Vy є J ,-но[ Поэтому F eC1+a(Gw) a, 0 a l .Возвращаясь к области D0 и учитывая сказанное относительно производных zw,wz конформных преобразований z(w), w(z) соответственно, приходим к выводу о том, что функция Р имеет ту же степень гладкости, что и функция Ф, т.е. xFGC1+api)vaf0 a 1.3flecbD 0=z-1(Gw) Из условия (2.2.1) теперь Г 2 следует, что а0 є С . Итак, при 1=1 мы показали, что Ч єС1+а(В0),ст0 є C1+1+a .Докажем теперь, что это условие выполняется при любом 1 є N .Этот результат в силу принципа математической индукции последует из приводимого ниже утверждения. Предложение 2.2.1.Пусть leN произвольное натуральное число. Если D0eCw+a,eC1+a(p ),To a0e=C(1+1+ra}fl, YeCI+a+1(D ). Доказательство предложения. Так как YeC Doj, то жл eCw+a(w lj). Это означает, что т(ф;.) принадлежит пространству Cl+l+a(jw l}) (см.[12]). Используя оценки Шаудера (см.[49]), мы приходим к выводу о том, что р(т(ф;.)) принадлежит пространству С1+/4Л({н і}). Из (2.1.8) теперь видно, что ФєС1+І+а(сї7). Возвращаясь к (2.2.1), мы получаем, что а0 єс(1+1+а)+1 Предложение доказано. Как уже было отмечено, отсюда следует локальная бесконечная дифференцируемость свободной границы; в процессе доказательства ц мы, основываясь на гладкости границы области, получили информацию 109 о гладкости дуги, лежащей на ней. Поэтому при применении принципа математической индукции мы должны следить за тем, чтобы не исчерпать эту дугу при переходя от шага к шагу. В действительности исчерпание не имеет место, так как мы можем считать, что разница между длинами дуг а0 и выбираемой на следующем шаге с номером к дугой &0 не превосходит е/2к(для нас важно лишь то, что а0находится строго внутри сг0, с0са0сст0). Отсюда, конечно же, последует наличие бесконечно дифференцируемой дуги на ст0, длина которой отличается от длины последней на произвольно малую величину є 0. Именно эта произвольность и гарантирует бесконечную дифференцируемость исходной дуги. Теорема доказана. Итак, вторая часть нашей программы реализована в осесимметрическом случае. Аналогично рассмотренному доказательству протекает доказательство и в плоском случае. При этом доказательство, как и следовало ожидать, оказывается попроще в связи с тем, что в этом случае функция тока оказывается гармонической функцией. Таким образом мы приходим к следующей теореме. Теорема 2.2.2. Пусть ( ,2) решение вариационной задачи V2. Тогда кривая Е0является бесконечно дифференцируемой кривой. В следующих параграфах мы займёмся доказательством аналитичности свободной кривой. Для лучшего понимания природы интегральных уравнений, которые возникают в связи с исследованием аналитичности свободной границы, возникающей при осесимметрическом кавитационном течении идеальной жидкости, мы рассмотрим сначала более простой случай плоского течения.
Единственность вариационного решения задачи о кавитационном обтекании с учётом сил поверхностного натяжения
В доказательстве теоремы единственности, приводимом ниже , используются идеи А. Фридмана, К. Фридрихса, П. Гарабедяна, М. А. Лаврентьева (см. [14], [15], [46], [87], [88]). Оно в основном базируются на доказательстве выпуклости функционала L при гомотопических преобразованиях кривых. Основной результат содержится в следующей теореме.
Доказательство. Допустим, что D D2 - две различные области, соответствующие решениям (ч/ Е,), (ЧР2,Е2) задачи Vj . Мы можем считать в соответствии с симметризационным принципом, что Е(, Е2 монотонные дуги при х 0 и при х 0. Пусть у. — у. (х) , і = 1,2 функции, монотонные при х 0 и при х 0, графики которых определяют дуги Х01, Е02, полученные из ,, Е2, выбрасыванием их концов.
При определении функций v(, v2 мы продолжаем функции Ч/j, F2 нулями в каверны Wt, W2 соответственно. Обозначим через W, , W2 каверны образованные кривыми о1} ст2. Ясно, что v{ положительна во внешности области B(jw/, a V2 - во внешности B JW и V; обращается в нуль на 5(B(J Wj, І = 1,2, соответственно. Для доказательства прежде всего нужно показать, что функции \х, v2 обладают обобщенными производными. Определим с этой целью функции u(x), v(x) следующим образом. Положим по определению ER = {zeE+zj R}n определим функции u = u(x),v = v(x) в области GR = Е \ В J W/ J в соответствии со следующим правилом Покажем, что в действительности мы имеем равенство в этом отноше нии. Обозначим теперь через у; = у; (х) функции графики которых пред ставляют каверны Wj, i = l,2. Пусть yj(x)=(\-e)yl(x)+0ylt О 0 1, гомотопическое преобразование Уі(х) в У2ІХ) -Ясно, что у,(х) у0(х) у2(х) -к х, 0 9 1. Пусть \УЭ - каверна, граница кото рой состоит из отрезка {y = h} и кривой 2е, являющейся графиком (Ш, функции у ув{х). Пусть 4 9- функция тока, соответствующая каверне We. Будем считать, что функция 4 9 -продолжена нулем в область W6 \ Wj , через 4 2 обозначим продолжение 4 2 нулем в область W2\W,. Докажем теперь, что функция L-L(0) обладает свойством выпуклости.
В связи с этим прежде всего отметим, что величина 2тс- S(E) равна площади поверхности, соответствующей свободной кривой S. Поэтому для доказательства выпуклости функционала -к воспользуемся выпуклостью функционала площади поверхности и его монотонным поведением при симметризации Шварца относительно оси Ох. Пусть Sj ,S2 две осесимметричные поверхности, полученные вращением кривых у = Уі(х)Д = ї,2 относительно оси Ох.. При этом мы получаем единственность для произвольных значений констант Л,%, из тех, разумеется , значений , для которых возможно появление вертикальных участков. Теорема доказана. Рассмотрим теперь проблему единственности решения задачи о кавита-ционном течении в плоском случае.
Доказательство. Аналогично предыдущему устанавливается, что при наличии двух каверн WlyW2, соответствующих двум различным решениям ( ,21),( 2 2) задачи V2 одна из них вложена в другую, поэтому в случае общего вертикального участка вопрос о единственности решается немедленно с помощью леммы М. А. Лаврентьева. Как покажут дальнейшие рассуждения в плоском случае нет смысла отдельно выделять эту ситуацию.
Итак, пусть у, = у х) ,у2 = у2(х)- уравнения каверн W Wi которые мы будем считать в силу симметризационных результатов симмет-ризованными вместе с функциями Ч ,2, так что кривые ух,у2 являются монотонными в каждом из квадрантов. Обозначим, как и прежде, через Уі=Уі(х,с) у2=у2(х,с)і с 0, линии уровня функций 4 ,4 , У;{х,с) - {xeR 4?{{х,у{х,с))\ = с}, і — 1,2.
