Введение к работе
Актуальность темы. Математические модели подавляющего большинства процессов, происходящих в природе, являются нелинейными, и поэтому достаточно точные в количественном отношении характеристики изучаемых процессов можно получать лишь с помощью вычислительного эксперимента. Примерно такие же соображения справедливы для процессов, происходящих в различных технических устройствах. Добыча и транспорт природного газа представляют собой целый комплекс технологий, который реализуется за счет использования различных технических устройств.
Для количественного описания процессов добычи и транспортировки природного газа из земных недр необходимо знать законы его движения. Использование законов сохранения массы и энергии приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющейся математической моделью течения газа.
В наиболее общей постановке течение моделируется при помощи уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного. Известно достаточно небольшое количество решений аналитического характера для уравнений Навье-Стокса, а для уравнений Рейнольдса их практически нет. Поэтому для решения указанных выше уравнений в основном используются численные методы. Однако, непосредственное интегрирование уравнений движения для трубопроводных систем большой протяженности предъявляет высокие требования к ресурсам вычислительной техники, что, в некоторых случаях, делает решение задачи моделирования практически невозможным. В этих условиях весьма целесообразным является подход, использующий более простые модели движения жидкости и газа, и, в частности, моделирование в рамках одномерных нестационарных течений. Используя данную модель можно строить не только численные, но и аналитические решения, проводя параметрические исследования влияния различных режимов течения и параметров системы на характеристики трубопровода. Именно такая задача рассматривается в диссертационной работе и поэтому работа является актуальной.
Целью диссертационной работы является разработка модели течения одномерного нестационарного сжимаемого вязкого газа для различных режимов, построение алгоритмов интегрирования уравнений модели при изучении бегущих и автомодельных волн.
Задачи исследований
- разработка модели одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и сжимаемости газового потока; получение различных моделей течения вязкого газа в зависимости от числа Рейнольдса;
- проведение параметрических расчетов для различных режимов течения газа с учетом влияния вязкости, силы тяжести, числа Рейнольдса, характерного числа Маха (получение точных решений и построение приближенных решений на основе приближенного группового анализа);
- построение и проведение анализа особых решений, возникающих при интегрировании фактор - систем обыкновенных дифференциальных уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести;
- применение метода одноволнового приближения при упрощении уравнений Навье-Стокса для одномерного нестационарного течения вязкого сжимаемого газа; исследование полученной модели как численно, так и аналитически.
Научная новизна состоит в следующем:
- разработана модель одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и проницаемости трубопровода. В математическую модель включены параметры: характеристическое число Маха, коэффициент Буссинеска. Кроме того, математическая модель записана таким образом, что учет вязкости при турбулентном режиме течения осуществляется при помощи различных эмпирических зависимостей, учитывающих влияние числа Рейнольдса.
- доказана теорема, в рамках которой определяется характерная длина трубопровода, для которой изменение плотности газа становится существенным.
- предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики.
- предложен уточненный подход к редукции исходной системы уравнений Навье – Стокса для одномерного нестационарного течения на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса.
Метод исследования
В диссертации в качестве метода исследования математических моделей применяется метод непрерывных групп преобразований, приближенный групповой анализ, с помощью которых исходные системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для численного интегрирования дифференциальных уравнений использован математический пакет MAPLE.
В пятой главе используется иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: метод одноволнового приближения.
Обоснованность и достоверность результатов
Обеспечиваются строгостью постановок физических и математических моделей, строгостью выполнения математических выкладок и преобразований (символьные преобразования проводились с использованием вычислительной техники), проведением сравнения некоторых, сравнение результатов, полученных аналитически и с помощью численного интегрирования.
Научная и практическая значимость
Результаты параметрических расчетов распространения бегущих и автомодельных волн в трубопроводах могут быть использованы при проведении качественного и количественного анализа характеристик течения газа в магистральных трубопроводных системах.
Предложенный метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики может быть распространен на более общий класс задач.
Полученное в рамках одноволнового приближения уравнение распространения акустических возмущений, наряду с уравнением Бюргерса позволяет проводить качественное моделирование течений с распределением скорости разрывного характера.
Личный вклад автора в работу
Результаты работы, полученные лично автором, являются определяющими. Автором разработаны математические модели, получены аналитические решения, выполнено численное интегрирование уравнений и проведен анализ результатов.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий». 2005г. Казань; всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». 2005г. Самара; XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Казань 2005; второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2005г. Самара; Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения». Казань, 2005г; V Школе – семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань, Россия, 2006г; международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ – 2007», Санкт-Петербург, 2007; международной молодежной научной конференции, «ХV Туполевские чтения». Казань, 2007г.
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях, из них 2 в перечне журналов, утвержденных ВАК.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 101 наименования. Основной текст изложен на 136 страницах.
Автор выражает благодарность доктору технических наук, профессору Павлову Валентину Гавриловичу, который являлся научным руководителем при написании дипломной работы и неоднократно консультировал по вопросам диссертационной работы.
