Содержание к диссертации
Введение
1 Схемы сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики 15
1.1 Основные уравнения динамики сжимаемого газа и некоторые их математические свойства 15
1.1.1 Гипотеза сплошной среды и законы сохранения . 15
1.1.2 Уравнения Эйлера 18
1.1.3 Уравнения Навье—Стокса 24
1.2 TVD схемы на структурированных и неструктурированных сетках 29
1.2.1 Общая характеристика TVD схем 29
1.2.2 Консервативная пространственная дискретизация и реконструкция переменных на структурированных сетках 35
1.2.3 Консервативная пространственная дискретизация и реконструкция переменных на неструктурированных сетках 40
1.2.4 Вычисление численных потоков 43
1.3 ENO и WENO схемы 47
1.3.1 Принципы построения ENO и WENO схем 47
1.3.2 Обобщение на более сложные уравнения и системы уравнений 56
1.4 Вычислительные программы для расчета плоских, осесим-метричных и трехмерных течений 59
1.4.1 Аппроксимация вязких членов уравнений Навье-Стокса 60
1.4.2 Численная реализация граничных условий 63
1.4.3 Интегрирование уравнений по времени 65
1.4.4 Стационарный маршевый код 67
1.4.5 Параллелизация расчетных программ 70
1.4.6 Способы визуализации расчетных данных 75
1.5 Верификация расчетных программ 78
2 Переход между регулярным и маховским отражениями сильных ударных волн 92
2.1 Предшествующие исследования 92
2.2 Постановка задачи и ее теоретический анализ 94
2.3 Гистерезис в течении между двумя клиньями 102
2.3.1 Существование двух стационарных решений при одинаковых параметрах потока 102
2.3.2 Гистерезис при изменении угла клина 104
2.3.3 Экспериментальное подтверждение существования гистерезиса 111
2.3.4 Влияние возмущений набегающего потока 116
2.3.5 Гистерезис при изменении числа Маха набегающего потока 123
2.3.6 Гистерезис при изменении расстояния между клиньями 127
2.3.7 Особенности несимметричного взаимодействия ударных волн 137
2.4 Гистерезис в других сверхзвуковых течениях 150
3 Трехмерные взаимодействия ударных волн 180
3.1 Трехмерные стационарные ударно-волновые конфигурации 180
3.1.1 Качественный анализ влияния трехмерных эффектов 180
3.1.2 Численное моделирование трехмерного регулярного и маховского отражения 185
3.1.3 Гистерезис в трехмерных течениях 190
3.1.4 Экспериментальные исследования трехмерных ударно-волновых конфигураций 191
3.1.5 Комбинированное отражение 193
2.4.1 Гистерезис при обтекании сверхзвуковым потоком системы цилиндров 150
2.4.2 Гистерезис при смене типа отражения в плоской перерасширенной струе 164
2.4.3 Взаимодействие косых гидравлических прыжков на мелкой воде 171
3.2 Попытки управления переходом между различными конфигурациям путем импульсного энергоподвода 197
3.3 Трехмерные взаимодействия ударных волн при обтекании двугранного угла 207
3.3.1 Метод численного моделирования 210
3.3.2 Переход от регулярного к нерегулярному отражению скачков, взаимодействующих в угловых течениях 213
3.3.3 Типы угловых течений с нерегулярными отражениями скачков 220
3.3.4 Типы сверхзвуковых течений, формирующиеся в угловых конфигурациях с различной V-образностью и стреловидностью 226
4 Взаимодействие ударных волн с пограничными слоями с учетом эффектов разреженности 233
4.1 Учет начальных эффектов разреженности с помощью граничных условий скольжения 234
4.2 Ламинарный отрыв гиперзвукового пограничного слоя . 236
4.2.1 Параметры течения 237
4.2.2 Численный метод 238
4.2.3 Результаты моделирования 239
4.3 Распространение ударной волны в микроканале 247
4.3.1 Постановка задачи и численный метод 249
4.3.2 Сравнение результатов континуальных и кинетических расчетов 250
4.3.3 Параметрическое исследование распространения ударной волны 256
4.3.4 Численное моделирование эксперимента Даффа . 260
5 Возникновение и развитие неустойчивости в свободных и при стенных сверхзвуковых течениях 264
5.1 Неустойчивость свободного слоя сдвига 267
5.1.1 Основные определения 268
5.1.2 Результаты линейного анализа устойчивости 269
5.1.3 Временное развитие слоя смешения 273
5.1.4 Пространственное развитие слоя смешения 275
5.2 Неустойчивость плоской струи, истекающей в спутный поток277
5.2.1 Линейный анализ устойчивости плоской струи . 277
5.2.2 Нелинейные стадии развития плоской струи . 279
5.3 Моделирование турбулентной недорасширенной струи . 283
5.4 Восприимчивость и развитие возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое 290
5.4.1 Постановка задачи и параметры течения 293
5.4.2 Результаты расчетов среднего течения 294
5.4.3 Развитие возмущений при возбуждении ударного слоя внешним акустическим полем 296
5.4.4 Возбуждение ударного слоя периодическим вду-вом и отсосом и управление развитием возмущений в ударном слое 300
Заключение 309
Литература
- Гипотеза сплошной среды и законы сохранения
- Гистерезис в течении между двумя клиньями
- Гистерезис в трехмерных течениях
- Распространение ударной волны в микроканале
Введение к работе
Актуальность темы. Сверхзвуковые течения с сильными ударными волнами встречаются во многих научных и технических задачах. Одним из основных инструментов исследования таких течений является численное моделирование. Однако, стандартные схемы сквозного счета, применяемые в большинстве научных и коммерческих программ и хорошо зарекомендовавшие себя при моделировании сверхзвуковых течений с небольшим числом изолированных газодинамических разрывов, недостаточны для задач, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, акустическими волнами и волнами гидродинамической неустойчивости. Дальнейшее продвижение в численном моделировании сложных сверхзвуковых течений требует внедрения в вычислительную практику схем, способных, наряду с надежным сквозным счетом сильных ударных волн, воспроизводить с высокой точностью, без внесения излишней численной диссипации, гладкую часть решения. Это особенно актуально в таких областях как прямое численное моделирование и моделирование методом крупных вихрей высокоскоростных переходных и турбулентных течений, вычислительная аэроакустика, моделирование отрывных и струйных течений, моделирование сверхзвукового горения и детонации и ряде других. В настоящей диссертации в качестве такого более точного вычислительного инструмента используются недавно предложенные TVD и WENO схемы высоких порядков. Их применение позволило изучить переход от регулярного к нерегулярному взаимодействию сильных ударных волн в двумерных и трехмерных течениях, выполнить расчеты взаимодействия ударных волн с пограничными слоями во внешних и внутренних течениях, включающих эффекты разреженности, провести прямое численное моделирование развития неустойчивости в высокоскоростных слоях смешения и струях, в гиперзвуковом вязком ударном слое. Исследованные задачи относятся к числу тех проблем сверхзвуковой аэродинамики, повышение уровня понимания которых важно для многих практических приложений, в частности для развития перспективных летательных аппаратов. Таким образом, актуальность темы диссертации определяется как существующей потребностью улучшения точности и эффективности вычислительных подходов, используемых при решении задач сверхзвуковой аэродинамики, так и научной и практической важностью конкретных решенных задач.
Цели работы:
– разработка, на основе современных алгоритмов сквозного счета, вычислительных расчетных программ, способных надежно проводить расчет сильных ударных волн и, одновременно, с высокой точностью моделировать гладкую часть сверхзвуковых течений, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, акустическими волнами и волнами гидродинамической неустойчивости;
– применение разработанных программ к численному решению ряда актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, в частности к исследованию ударно-волновых взаимодействий в двумерных и трехмерных течениях, расчету взаимодействия ударных волн с пограничными слоями во внешних и внутренних течениях, включающих эффекты разреженности, прямому численному моделированию развития неустойчивости в высокоскоростных слоях смешения и струях, восприимчивости гиперзвукового ударного слоя.
На защиту выносятся:
– методика применения современных схем сквозного счета высоких порядков для решения уравнений движения сжимаемого газа и обоснование их высокой точности и эффективности при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами;
– результаты численного исследования задачи об отражении сильных скачков уплотнения, в том числе обнаружение неединственности стационарного решения и гистерезиса при переходе от одной ударно-волновой конфигурации к другой в ряде физических систем с взаимодействующими разрывами;
– обнаружение зависимости существования гистерезиса от уровня возмущений в набегающем потоке и возможности инициировать с помощью возмущений ранний переход к маховскому отражению;
– результаты численного исследования пространственного взаимодействия скачков уплотнения, в том числе обнаружение новых типов и особенностей возникающих трехмерных ударно-волновых конфигураций;
– результаты численного моделирования отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой, данные о роли эффектов разреженности;
– результаты численного моделирования распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра, данные о влиянии вязкой диссипации и разреженности и поведении ударной волны на больших пройденных расстояниях;
– результаты численного моделирования развития возмущений в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях, в том числе данные о нелинейной стадии развития сверхзвуковых слоев смешения и струй, процессах восприимчивости в гиперзвуковом вязком ударном слое, обнаружение в последней задаче возможности управления развитием неустойчивости с помощью периодического вдува и отсоса.
Научная новизна работы:
– автором диссертационной работы была разработана методика применения современных алгоритмов сквозного счета (TVD и WENO схем высоких порядков) для численного решения задач сверхзвуковой аэродинамики и создан программный комплекс, позволяющий проводить расчеты двумерных, осесимметричных и трехмерных сверхзвуковых течений, включая задачи со сложной геометрией;
– разработанные программы использованы для решения ряда актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, включающих сильные ударные волны. Продемонстрирована высокая точность и эффективность указанных алгоритмов при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений;
– подробно исследовано явление гистерезиса при взаимодействии сильных скачков уплотнения. Впервые показано, что неединственность стационарного решения и гистерезис при переходе от одного решения к другому являются общим свойством многих физических систем с взаимодействующими разрывами. Установлено, что размер кольца гистерезиса может зависеть от уровня пульсаций в набегающем потоке. Получено экспериментальное подтверждение существования гистерезиса и его зависимости от уровня пульсаций в экспериментальной установке;
– изучены трехмерные конфигурации ударных волн, возникающие при обтекании симметричных клиньев конечного размаха. Обнаружены новые типы и неизвестные ранее особенности таких конфигураций. Исследована возможность управления переходом между различными конфигурациями с помощью локализованного подвода энергии. Установлено, что трехмерное взаимодействие скачков уплотнения над двугранным углом характеризуется большим разнообразием возможных типов нерегулярного отражения;
– исследована роль эффектов разреженности при взаимодействии ударных волн с пограничным слоем. При моделировании отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой показано, что расчет на основе уравнений Навь-Стокса предсказывает несколько больший размер отрывной зоны, чем наблюдается в эксперименте. Моделирование распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра показало, что взаимодействие с пограничным слоем приводит к быстрому уменьшению скорости волны. Установлено, что на больших расстояниях от диафрагмы ударная волна и контактная поверхность распространяются с одинаковой скоростью;
– выполнено численное моделирование начальных стадий развития неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях. Исследованы процессы восприимчивости и развития возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое на плоской пластине при числе Маха M = 21. Установлено, что при таких числах Маха в ударном слое формируются главным вихревые возмущения. Показано, что возмущения, возбуждаемые внешним акустическим полем, могут быть эффективно подавлены с помощью интерференции с возмущениями, искусственно вводимыми путем периодического вду-ва и отсоса. Показано, что в слоях смешения и плоских струях характер неустойчивости существенно меняется с изменением конвективного числа Маха Mc — на смену неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при сверхзвуковых Mc приходит т. н. сверхзвуковая неустойчивость.
Научная и практическая значимость результатов исследований связана с более глубоким пониманием процессов и явлений, наблюдающихся в сверхзвуковых течениях с сильными ударными волнами, с возможностью использования полученных знаний в технических приложениях, особенно
при разработке перспективных летательных аппаратов, в создании новых эффективных подходов к численному моделированию сложных сверхзвуковых течений.
Достоверность полученных результатов основывается на тщательной верификации используемых численных методов, многочисленных сравнениях с данными экспериментальных измерений, включая случаи, когда, предсказания, сделанные на основе проведенных расчетов, были затем подтверждены в специально поставленных экспериментах.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН, объединенном семинаре ИТ-ПМ СО РАН и ЦАГИ, семинарах в ИММ РАН, ИМ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Сибирском суперкомпьютерном центре, в целом ряде зарубежных научных организаций и университетов — Лаборатории ударных волн (Ахен, Германия), Лаборатории численной механики жидкостей (Руан, Франция), Лаборатории механики жидкостей и акустики (Лион, Франция), Институте горения и аэротермодинамики (Орлеан, Франция), Институте промышленной математики (Кайзерслаутерн, Германия), Академии аэрокосмической аэродинамики (Пекин, КНР), Институте гидромеханики НАНУ (Киев, Украина), Институте индустриальных тепловых систем (Марсель, Франция), университетах Хартфордшира (Англия), Эври–Валь д’Эссон (Эври, Франция), Конкук (Сеул, Юж. Корея), Техническом университете Кайзерслаутерна (Германия), Варшавском политехническом университете (Польша). Они также были представлены на многих ведущих российских и международных научных конференциях, в частности X Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2001), XXI Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Польша, 2004), Европейских конгрессах по вычислительным методам в прикладных науках и технике (Франция, 1996, Испания, 2000, Финляндия, 2004), Международных симпозиумах по ударным волнам (Англия, 1999, США, 2001, Китай, 2004, Германия, 2007, Россия 2009), Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (Франция, 1998, Россия, 2006), Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (Россия, 1996–2010), Международных конференциях «Запад-Восток» по высокоскоростным течениям (Франция, 2003, Россия, 2007), Международной конференции по вычислительной гидродинамике (Бельгия, 2006), Международной конференции по вычислительной физике (Россия, 2013) и ряде других. За исследования отражения ударных волн, составляющие часть настоящей диссертации, А.Н. Куд-
рявцеву, вместе с двумя другими сотрудниками ИТПМ СО РАН, в 2007 г. была присуждена премия им. А.Н. Крылова Российской Академии наук. По теме диссертации опубликовано 149 работ, из них 40 статей в реферируемых журналах из списка ВАК.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, содержащих 176 рисунков, заключения и списка литературы, состоящего из 275 наименований. Полный объем — 336 страниц.
Гипотеза сплошной среды и законы сохранения
В общем случае вязкого теплопроводного газа материальные соотношения становятся более сложными. При учете трения слоев газа друг о друга в тензор внутренних напряжений вводится дополнительное слагаемое — так называемый тензор вязких напряжений Т:
Опыт показывает, что для газов в весьма широком диапазоне изменения параметров выполняется закон Ньютона, утверждающий, что тензор вязких напряжений параметров линейно зависит от производных скорости по координатам. Соображения, принимающие во внимание изотропность сплошной среды и отсутствие внутреннего трения при при ее равномер-ном вращении как целого, позволяют заключить [67] что эта зависимость может быть выражена в следующем виде: тензор скоростей деформаций; члены в правой части (1.44) сгруппированы так, чтобы след тензора, стоящего в квадратных скобках, равнялся нулю. Параметры /і 0 и Я 0 суть скалярные коэффициенты, именуемые соответственно сдвиговой и объемной вязкостью. Объемная вязкость Я характеризует трение, возникающее при равномерном изотропном расширении сплошнойсреды, и связана с возбужде-нием внутренних степеней свободы молекул. Для одноатомных газов она равна нулю. Следуя гипотезе Стокса, часто принимают (как будем делать ниже и мы), что Я = 0 и в общем случае.
Что касается сдвиговой вязкости, то для не очень плотных газов можно считать, что она зависит только от температуры: /і = /і(Г). В достаточно широком диапазоне температур эта зависимость хорошо описывается формулой Сазерленда
Для воздуха, если принять Го = 273,15 К, то значения других входящих в (1.45) констант будут равны jUo = 1,711 Ю-5 Пас, Т$ = 110,4 К. Наряду с (1.45), часто используется также степенная зависимость, JU/JUO = (Т/T . ) (для воздуха (О = 0,76), и даже линейная аппроксимация /і//іо = Относительно вектора потока тепла предполагается, что он пропорционален градиенту температуры (закон Фурье): Коэффициент теплопроводности к обычно выражают через коэффициент вязкости в виде к = fiCp/Pr, где число Прандтля Рг лишь слабо зависит от температуры. Значение Рг = 0,72 достаточно хорошо описывает свойства воздуха при не очень высоких температурах.
Подстановка соотношений (1.44), (1.46) в (1.6) приводит к системе уравнений, известной как уравнения Навье—Стокса. Это основные уравнения аэродинамики, описывающие движение сжимаемого газа в континуальном режиме и обладающие весьма широкой областью применимости.
При решении конкретных задач уравнения Навье-Стокса должны быть дополнены начальными и граничными условиями. В частности, если некоторая часть Г границы области, в которой ищется решение совпадает с поверхностью покоящегося твердого тела, то на такой твердой границей обычно требуют выполнения условия прилипания: иг = 0. (1.47)
Кроме того, требуется задать граничное условие для температуры, которое обычно имеет один из двух видов: либо температура газа на поверхности тела равна температуре тела Tw (в общем случае функции точки поверхности) Т\г = TWj (1.48) либо равен нулю тепловой поток через поверхность тела (теплоизолированная стенка); в соответствии с законом Фурье (1.46) это означает равенство нулю производной температуры по нормали к поверхности:
При молекулярно-кинетическом рассмотрении уравнения Навье— Стокса могут быть выведены из уравнения переноса Больцмана в пер вом порядке разложения по степеням малого параметра Кп С 1. В этом порядке к локально-максвелловской функции распределения добавляется поправка, пропорциональная Кп. Следует отметить, что кинетический подход позволяет не только вывести уравнения Навье—Стокса, но и дает выражения для вычисления коэффициентов вязкости и теплопроводности.
С точки зрения статистической механики уравнения Навье—Стокса описывают эволюцию системы при малых отклонениях от равновесия. Наличие в подобной ситуации термодинамических сил (таких как градиенты скорости и температуры) приводит к необратимым диссипативным процессам, характеризующимися возникновением потоков импульса и энергии. При этом связь между потоками и термодинамическими силами можно считать линейной.
Точность описания, основанного на уравнениях Навье—Стокса, теряется с увеличением числа Кнудсена Кп. Обычно считают, что уравнения Навье—Стокса применимы при выполнении условия Кп 0,01. В интервале 0,01 Кп 0,01 можно продолжать пользоваться уравнениями Навье-Стокса, если в граничные условия на твердой поверхности ввести поправки на скольжение и скачок температуры. Соответствующие грнич-ные условия рассмотрены в главе 4.
Казалось бы, можно ожидать, что при больших значениях числа Кнудсена следует учесть следующие члены разложения Чепмэна—Энскога. В частности при сохранении членов до второго порядка малости возникают т.н. уравнения Барнетта, приводящие к нелинейной связи между потоками и термодинамическими силами. Однако, применение этих уравнений в аэродинамике остается вплоть до настоящего времени крайне ограниченным. Это связано с серьезными проблемами, присущими уравнениям Барнетта. В частности, их решения оказываются неустойчивыми к возмущениям с достаточно малой длиной волны. Было также показано, что они могут приводить к нарушению второго начала термодинамики. В последние годы были сделаны попытки решить эти проблемы вводя в уравнения Барнетта дополнительные члены, взятые из следующего (супербарнеттов-ского) приближения.
Гистерезис в течении между двумя клиньями
Стандартные TVD схемы, имеющие второй порядок точности вдали от разрывов и экстремумов решения, хорошо подходят для расчета сверхзвуковых течений с небольшим числом изолированных ударных волн. Однако, достигнутый к настоящему времени уровень развития вычислительной техники позволяет рассчитывать на решение гораздо более сложных задач сверхзвуковой аэродинамики. Среди наиболее актуальных направлений перечислим прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation, DNS) и моделирование методом крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) высокоскоростных переходных и турбулентных течений, моделирование отрывных и струйных течений, задачи вычислительной аэроакустики, течения со сверхзвуковым горением и детонацией. Для решения такого рода задач, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с вязкими слоями, вихрями, акустическими волнами, волнами гидродинамической неустойчивости и турбулентностью, необходимы вычислительные инструменты, позволяющие не только надежно рассчитывать газодинамических разрывы, но и способные с высокой точностью моделировать гладкую часть решения. TVD схемы для этой цели не очень подходят, поскольку их порядок аппроксимации уменьшается до первого на любом гладком экстремуме решения. В результате структуры, подобные распространяющимся волнам или вихрям, быстро затухают под действием численной вязкости.
В последние годы поиски более точных и эффективных численных алгоритмов для решения задач сверхзвуковой аэродинамики, ведутся достаточно активно. Одним из наиболее перспективных кандидатов на роль базового инструмента в вычислительных программах нового поколения являются современные ENO (essentially non-oscillatory) и WENO (weighted ENO) схемы [19]—[22].
Среди различных ENO и WENO схем, предложенных в литературе можно выделить 1. конечнообъемные ENO схемы [19], использующие локальный адап тивный шаблон для реконструкции переменных на границах яче ек UjL+,R1/2 из средних по ячейкам U j и приближенное реше ние задачи Римана, чтобы вычислить численные потоки Fj+1/2 = F(UL ,UR ). j+1/2 j+1/2 2. конечноразностные ENO схемы [20], использующие расщепление потоков в центрах ячеек, чтобы выделить их «положительную» и «отрицательную» части и локальный адаптивный шаблон для реконструкции численных потоков Fj+1/2 из «расщепленных» потоков в центрах ячеек.
3. конечнообъемные WENO схемы [21], использующие выпуклую линейную комбинацию шаблонов с адаптивными коэффициентами для реконструкции ULj+,R1/2 и приближенное решение задачи Римана подобно конечнообъемным ENO схемам.
4. конечноразностные WENO схемы [22], использующие расщепление потоков подобно конечноразностным ENO схемам и выпуклую линейную комбинацию шаблонов с адаптивными коэффициентами для реконструкции Fi+1/2.
Рассмотрим кратко процедуру построения ENO и WENo схем. Начнем, как и в случае TVD схем с нелинейного скалярного закона сохранения dtu-\-dxf(u) = 0, a = df/ди 0. (1.89)
Введем равномерную вычислительную сетку, разбив область изменения переменной х на ячейки [хг--і/2? м-і/2] размера Ах с центрами в точках М = (хг--і/2 +хг-+1/2)/2 . При численном решении 1.89 последовательно находят значения uf в дискретные моменты времени tn , начиная с ґ = 0. Величины и" могут иметь различный смысл: в конечноразностных методах это значения в центрах ячеек uf = u(xi,tn), в методах конечных объемов — средние по ячейкам
Как легко показать, средние по ячейкам и значения в их центрах совпадают с точностью 0(Ах2), поэтому при построении схем высоких порядков их нужно строго различать. Полудискретная консервативная конечно-разностная аппроксимация (1.89) может быть записана в виде
Здесь г, s — неотрицательные целые числа, определяющие размер используемого шаблона, функция F должна удовлетворять условию согласованности F(u,...,u) = f(u). В методе конечных объемов значение переменных на гранях между ячейками
Пользуясь этой таблицей, легко построить формулы нужного порядка для реконструкции величин на гранях из средних по ячейкам. Так, например, для реконструкции второго порядка имеем
В конечноразностном методе сначала вычисляются потоки в центрах ячеек fi = f(u(xi)), затем потоки на гранях реконструируются таким образом, чтобы При этом сами fi+1/2 , естественно, не могут аппроксимировать истинные потоки с высоким порядком точности, в действительности fi+1/2 = f(u{xi+\/2)) + 0(Ах2). Легко показать, что решение задачи реконструкции дается формулой с теми же значениями коэффициентов, что были получены ранее для ко-нечнообъемной схемы. Действительно, если мы сможем найти функцию h(x), такую, что и достаточно взять в качестве fi+1/2 аппроксимацию h(xi+1/2) с точностью O(xq). Поскольку f(x) получается из h(x) осреднением по ячейкам, то ясно, что можно ввести первообразную и использовать далее уже описанную выше процедуру. Построенная таким образом схема высокого порядка будет, разумеется, приводить к численным осцилляциям в тех случаях, когда используемый шаблон пересекает газодинамический разрыв, поскольку полиномиальная аппроксимация при этом теряет точность. Чтобы избежать осцил-ляций, в TVD схемах вблизи разрывов и экстремумов решения производится автоматический переход на схему первого порядка точности, для чего используется зависящие от решения нелинейные функции – ограничители. Они определяется так, чтобы полная вариация решения не возрастала; выполнение этого свойства гарантирует сохранение монотонности: если решение было монотонным на старом временном слое, оно останется таковым и в новый момент времени. Применение ограничителей вносит, однако, значительную численную вязкость, В результате решение задач, включающих, например, распространяющиеся волны с множеством минимумов и максимумов, может потребовать применения очень подробной сетки. В отличие от этого ENO (essentially non-oscillatory) схемы сохраняют порядок точности на гладких экстремумах решения. Основная идея, лежащая в их основе, достаточно проста. Чтобы избежать интерполяции через разрывы, из возможных шаблонов выбирается тот, на котором решение наиболее гладкое. В качестве индикатора гладкости используется величины разделенных разностей соответствующего порядка. Условие невозрастания полной вариации при этом ослабляется, так что для ENO схемы q-го порядка
Гистерезис в трехмерных течениях
Как видно из таблиц, разность углов перехода в экспериментах с достаточно большим отношением b/w не превышала 0,20,3, что, вероятно, было в пределах точности измерений. По крайней мере, если гистерезис и был, то размер кольца гистерезиса был очень мал. Скорее результаты экспериментов следовало рассматривать как подтверждение результатов, полученных в [124].
Дальнейшие эксперименты были проведены в аэродинамической трубе T-326 ИТПМ СО РАН [135]. Эта труба существенно отличается от Т-313. Она того же типа, что и французская установка SH2, в которой был впервые обнаружен гистерезис [127]. Это труба со свободной струей, которая из круглого сопла с диаметром выходного сечения 200 мм вытекает в большую камеру (камеру Эйфеля). Эксперименты проводились при числе Маха M = 6. Отношение b/w менялось от 1 до 2,5. В ряде экспериментов угол клина менялся путем вращения вокруг не задней, а передней кромки, так что постоянным оставалось расстояние h от кромки до линии симметрии.
Очевидно, что в Т-326 наблюдается гистерезис, но так же, как и во французских экспериментах [126, 127], угол перехода к маховскому отражению не соответствует теоретическим критериям и результатам численных расчетов.
Наблюдаемое несоответствие углов перехода в расчетах и экспериментах трудно объяснить трехмерными эффектами, поскольку измеренные в экспериментах углы перехода практически не зависели от отношения b/w, за исключением разве что совсем малых значений этого параметра (b/w = 0,66), когда волны разрежения, идущие от боковых кромок клина, смыкаются прежде, чем ударная волна достигнет плоскости отражения (горизонтальной плоскости симметрии). Другой возможной причиной того, описанных выше экспериментах переход к маховскому отражению наблюдается существенно ниже d может явиться влияние присущих установке возмущений потока. На это указывает резкое отличие результатов, получаемых в аэродинамических трубах различных типов (с закрытой рабочей частью и со свободной струей).
Чтобы установить, какое влияние на переход оказывают присутствующие в экспериментальных установках возмущения, было решено провести эксперименты по переходу на трубе, где уровень возмущений заведомо низкий. Для этой цели была выбрана малотурбулентная аэродинамическая труба Т-325 ИТПМ СО РАН. В этой трубе, широко используемой для исследований ламинарно-турбулентного перехода, интегральный уровень пульсаций массового расхода не превышает 0,2%. Труба имеет закрытую рабочую часть сечением 200200 мм. Эксперименты были выполнены при M = 4, с моделью длиной w = 30 мм, при b/w = 3,37 и g/w = 0,43.
На некотором расстоянии вниз по потоку от точки отражения скачков, в месте, где течение сверхзвуковое даже при маховском отражении, был установлен приемник полного давления (трубка Пито). Сигналы от датчика давления и механизма, вращавшего клинья, вводились в АЦП и записывались в цифровом виде. Таким образом, момент перехода и соответствующий угол атаки клина (а, следовательно, и угол падающего скачка ) могли быть определены по изменению полного давления, независимо от измерений по фотографиям.
Результатом экспериментов было наблюдение гистерезиса перехода, весьма близкого к тому, что был обнаружен в численных расчетах. При увеличении регулярное отражение сохранялось в большей части области двойного решения. В момент перехода сразу, скачком, возникало ма-ховское отражение с большим маховским скачком (Рис. 2.11). Трубка Пито в этот момент фиксировала скачкообразное падение полного давления. Угол перехода по измерениям полного давления равнялся 37,8, измерения по фотографиям дали 38,2. Причиной этого различия может быть как невысокая точность измерений фотографиям, так и влияние нараста ющего на клине пограничного слоя. При уменьшении угла размер махов-ской ножки плавно уменьшался до нуля, также плавно возрастало и полное давление, и обратный переход к регулярному отражению наблюдался при = 33,6 в соответствии с измерениями полного давления, фотографические измерения давали 34,0.
Таким образом, кольцо гистерезиса покрывало большую часть теоретической области двойного решения, прямой переход происходил на 1,0– 1,4 ниже d, обратный — на 0,2–0,6 выше N.
Измеренная зависимость размера маховского скачка s (расстояния от тройной точки до плоскости симметрии) от показана на Рис 2.12. Светлые маркеры соответствуют прямому ходу (увеличению угла), темные — обратному. Зависимость имеет типичный гистерезисный вид.
Таким образом, в экспериментах в малотурбулентной аэродинамической трубе наблюдается гистерезис перехода, очень близкий к тому, что был ранее обнаружен в численных расчетах. Это позволяет заключить, что наблюдавшееся ранее несоответствие численных и экспериментальных углов перехода к маховскому отражению связано с влиянием присутствующих в аэродинамических трубах возмущений набегающего потока.
Подводя итоги, можно сделать следующие выводы. В идеальных условиях отсутствия возмущений (возможно, в полете при очень низком уровне турбулентности набегающего потока) переход должен происходить так, как это было предположено Хорнунгом [123]. Маховское отра-1 жение будет возникать при = d и исчезать при = N. Эти идеальные условия достаточно хорошо воспроизводятся в численных расчетах. Что касается экспериментов в аэродинамических трубах, то наблюдаемая там картина зависит существенно от уровня присутствующих в трубе возмущений. Относительно близкая к идеальной картина наблюдается в малотурбулентной трубе с очень чистым потоком. В других трубах переход к маховскому отражению может происходить значительно раньше, так что гистерезис может даже полностью исчезнуть. Это, видимо, свидетельствует о том, что регулярное отражение, устойчивое внутри области двойного решения к бесконечно малым возмущениям, неустойчиво к возмущениям конечной амплитуды. Говоря языком теории автоколебаний, наблюдается жесткий режим возникновения маховского отражения.
Распространение ударной волны в микроканале
Взаимодействие скачков, возникающих при обтекании клиньев или других тел, помещенных в сверхзвуковой поток — далеко не единственный случай, когда наблюдается переход от регулярной к маховской ударно-волновой конфигурации. Подобный переход может, в частности также происходить в сверхзвуковых нерасчетных струях. Если струя перерасширенная, т. е. давление газа на срезе сопла pj меньше, чем давление pa в затопленном пространстве, куда истекает струя, то на кромке сопла образуется скачок уплотнения, который ниже по потока отражается от линии или оси симметрии. В недорасширенных струях, при pj pa, то же происходит с висячим скачком, который образуется за некотором расстоянии от кромки сопла за счет фокусировки волн сжатия, идущих от криволинейной границы струи. Естественно встает вопрос, применимы ли к струям, полученные результаты, касающиеся неединственности стационарных ударно-волновых конфигураций и гистерезиса при смене типа отражения?
Приступая к исследованию этого вопроса, следует, однако, сразу отметить, что отражение от оси осесимметричных скачков уплотнения может происходить только нерегулярным образом. Невозможность регулярного отражения осесимметричных скачков была отмечена еще в книге [128]. Строгое доказательство дано в [159]. Тем не менее, что-то весьма напоминающее регулярное отражение, отчетливо видно на многих экспериментальных фотографиях сверхзвуковых струй, истекающих из осе-симметричных сопел. По всей видимости, в этих случаях на самом деле наблюдается маховское отражение с очень маленьким, неразличимым на фотографии, маховским диском. Такие течения моделировались численно на основе осесимметричных уравнений Эйлера в [160], и при применении сильного локального измельчения расчетной сетки вблизи точки отражения действительно получались нерегулярные ударно-волновые конфигурации. Остается, правда, вопрос, как изменится данный результат при учете вязкости.
Что касается плоской геометрии, то недавно были получены экспе риментальные [161, 162] и численные [163] свидетельства существования гистерезиса при переходе между регулярным и маховским отражением скачков уплотнения в плоских недорасширенных струях. Не совсем ясно, относятся ли они к тому же типу гистерезиса, что рассматривается в настоящей главе. Заметим, висячий скачок в недорасширенных струях искривлен, что затрудняет сравнение наблюдаемых углов перехода с теоретическими критериями. Наиболее прямое сравнение может быть выполнено для плоской перерасширенной струи, когда к кромке сопла присоединен прямолинейный скачок, отражающийся затем от линии симметрии. Именно этот случай и изучается ниже (см. также [39]).
Постановка задачи и метод решения. Схема моделируемого течения показана на Рис. 2.43. Равномерный сверхзвуковой поток вытекает из сопла в затопленное пространство. Ударно-волновая система состоит из падающего косого скачка IS, отраженного скачка RS и (в случае показанного на рисунке маховского отражения) маховского скачка MS. Угол наклона падающего скачка определяется отношением давления на срезе сопла pj и давления в окружающем пространстве pa. Скачок RS отражается от границы струи JB в виде веера волн разрежения EF. Веер, взаимодействуя с исходящей из тройной точки контактной поверхностью SS, проводит к формированию «виртуального сопла», в котором поток, прошедший через маховский скачок, вновь ускоряется до сверхзвуковой скорости. Видно, что схема течения практически совпадает с течением в канале, в котором роль твердых стенок играет граница струи.
При численном моделировании уравнения Эйлера решались с помощью конечноразностной WENO схемы 5-ого порядка с глобальным расщеплением потоков по Лаксу-Фридрихсу (Глава 1). Интегрирование по времени выполнялось TVD схемой Рунге—Кутты 3-го порядка, число Куранта равнялось 0,8.
Схема расчетной области показана на Рис. 2.44. Нижняя граница области совпадала с линией симметрии. Входная граница совпадала с плоскостью выходного сечения сопла, и на ее части, сооответствующей срезу сопла, задавался равномерный сверхзвуковой поток, на остальной части — граничные условия на твердой стенке. На верхней удаленной границе использовались неотражающие граничные условия с заданным внешним давлением [164]. Наконец, на правой границе все переменные экстраполировались изнутри расчетной области, а если во время счета на каком-том ее участке газ начинал втекать в расчетную область, тогда - ничные условия. ренной струи. на этом участке накладывались условия, соответствующие значениям во внешнем пространстве. Размер расчетной области равнялся Ьх = 4кв продольном направлении и Ly = 2h — в поперечном, где h — полуширина сопла. Моделирование было выполнено на равномерной расчетной сетке сAx = Ay = 0,0lh.
Результаты невязких расчетов. Вычисления проведены для струи с числом Маха Mj = 5. Первый расчет был выполнен для отношения давлений Pj/ра, соответствующего углу наклона падающего скачка а = 41. Это значительно выше, чем угол 0 = 39,3, соответствующий критерию максимального поворота потока, так что в этом случае возможно только маховское отражение. В начальный момент времени вся область была заполнена покоящимся газом с давлением ра. Эволюция течения начинается как развитие импульной струи и после сложного переходного процесса решение сходится к стационарному состоянию, показанному на Рис. 2.45а Во всех последующих вычислениях, сошедшиеся поля газодинамических переменных из предыдущего расчета использовались как начальные данные, тогда как давление газа на выходе из сопла слегка изменялось (а именно так, что это соответствовало изменению угла наклона падающего скачка на 2).
