Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Влияние граничных условий на устойчивость одной явной разностной схемы для системы урашений акустики 20
1. Предварительные сведения... 22
2. Спектральный анализ разностной задачи Коши 28
3. Спектральный анализ краевой разностной задачи 31
4. Анализ решение уравнения (1.3.12) 37
5. Дальнейшее уточнение значений ФА,2 ... 45
6. Исследование смешанной задачи (1-3)... 48
ГЛАВА II. Теорема существования классического решения смешанной задачи для акустической системы .. 55
1. Построение разностного аналога диесипативного интеграла энергии для системы акустического типа.. 57
2. Теорема существования гладкого решения. 73
3. Смешанная задача с переменными коэффициентами 90
4. Построение разностного аналога диссипативного интеграла энергии для смешанной задачи (1-3). Модифицированная разност ная схема Мае Co7.ma.ck'а 98
ГЛАВА III. Применение техники построения разностных аналогов диссипативных интегралов энергии для исследования устойчивости разностных схем 105
1. Об устойчивости модифицированной разностной схемы Мае Согтаск о. для симметрической гиперболической системы. 106
2. Устойчивость разностной схемы В.В.Руса нова 120
Приложение
- Спектральный анализ разностной задачи Коши
- Дальнейшее уточнение значений ФА,2
- Смешанная задача с переменными коэффициентами
- Устойчивость разностной схемы В.В.Руса нова
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию смешанной задачи для системы уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне.
В монографии [ I ] (см. также работы [2-53) эта задача в линейной и квазилинейной постановках изучалась с помощью техники диссипативных интегралов энергии. Был рассмотрен вопрос о корректности постановки этой смешанной задачи. Настоящая диссертация, по существу, является продолжением этой монографии. В ней проводится дальнейшее исследование вопроса о корректности постановки этой смешанной задачи с целью выяснения некоторых моментов, которые остались открытыми в [I] . В диссертации проводится доказательство теоремы существования гладкого решения исходной задачи с помощью техники построения разностного аналога диссипативного интеграла энергии, как в случае постоянных коэффициентов, так и в случае переменных коэффициентов.
Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Во введении приводится постановка смешанной задачи для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне, кратко изложено содержание диссертации по главам, приводятся некоторые общие факты из теории симметрических h -гиперболических систем (по Фридрихсу). Во введении сформулированы также основные результаты, которые выносятся на защиту.
Согласно монографии ГІ] , смешанная задача для системы уравнений акустики формулируется так. Рассматривается система уравнений акустики в области і > 0} Х>0, Ш1< & '
АЩ+BVx+cVj, = o}
(і)
A =
Mz0 о 0 о M20 0 0 0 10 0 0 0 1
B =
"M2 0 10 0 M2 о 0 10 10 0 0 11
с =
'0 0 0 0
О 0 0 0.
V-Aa^iP^Y)
с граничными условиями при ОС - О :
RVt + $Щ + 0\/ = О,
(2)
(? =
0 0 0 0 О 0-Х о
оооо
Q--
1 0 d 6 0 0 0 0 0 0 11
и с начальными данными при
і -О :
V(i>*>j/) is0=Vo(x>l/)
(3)
Система (I) получается после линеаризации уравнений газовой динамики относительно постоянного основного решения, а граничные условия (2) - после линеаризации условий Рэнки-на-1югонио на ударной волне.
некоторые постоянные; Vo [0C>U) - заданная вектор-функция.
В монографии [ I ] показано, что плоскость коэффициентов граничных условий ( d, Л ) можно разбить на следующие области.
1) Область І (Рис. I):
а) Л>0} J2d + ЯМ2<0, J^l-M2
б) Я>0} J2d + ZM2>0, d>-M'i
в) %<0 > d<-M'1
В области I смешанная задача (I - 3) имеет частное решение вида [I] :
V =ЇЇех/>(і,[и)(х-1) + kylj + (4)
где V ) [/" - постоянные векторы; UJ , к » ь - некоторые константы; і = Y-Ґ ; с 1м и) > Оj Хто > 0} ІЇЇ\ к - О Последнее означает, что в области I смешанная задача (I - 3) поставлена некорректно, т.е. можно построить пример некорректности типа примера Адамара Г 6] . В самом деле, последовательность функций
Цс ^ЇЇехр(-/ГкГ)-ехр(і[и)(ос-'1)+куі} + + V^expi-Vutfl-explil-iJUk + ky}} , \к\ = 1Л>...,
стремится к нулю при і = О и jkl —*> сю . В то же время для любого і > О компоненты вектора (по модулю) стремятся к 00 при Ш-* оо (см. [I] ). Таким образом, какую бы норму мы не выбрали для оценки величины начальных данных, мы не сможем утверждать, что из малости этой нормы вытекает малость нормы решения.
2) Область П (Рис. I):
Л<0, У+ЛМ2^0.
В области П смешанная задача (I - 3) имеет частное решение вида (4) с ІЩ и) < О, Iml >0} Imk = О . Говорят, что в области П выполнено условие Лопатинского (т.е. выполнено необходимое условие корректности смешанной задачи (I -3)). Это означает, что смешанная задача (I - 3) не допускает построения примеров некорректности типа примера Адамара. Более того, в области П выполнено равномерное условие Лопатинского, т.е. условие Лопатинского выполнено как для данной задачи (1-3), так и для всех задач с достаточно близкими коэффициентами граничных условий. Кроме того, показано, что смешанная задача (I - 3) поставлена корректно в пространстве уу% . т.е. при каждом Vl-ijOCty) Є ]/\І2 , если начальные данные V0iX)y)eW2
3) Область Ш (Рис. I);
а) Я<0} d>-M~i) J2d + ЛМ2^0}
б) X>o)d^-M~i) JJQd + ХМ2 > 0.
В области Ш смешанная задача (I - 3) имеет частное решение вида (4) с Іти) - Іт і ~ Ігп к~ О . Область Ш в работе [ 2 ] получила название области спонтанного излучения звука разрывом. Можно показать, что в области Ш нарушается равномерное условие Лопатинского.
Отметим, что параметры U , X , вычисленные для идеального газа, удовлетворяют неравенствам Л < О , J$2Ci' + Я№ > О , т.е. точка (Я} d) в этом случае принадлежит области П (см. [I] ).
В главе I проводится дальнейшее изучение свойств сме-
шанной задачи (I - 3) в области Ш. С этой целью применяется метод конечных разностей (т.е. исследование, аналогичное исследованию в[1] , проводится на разностном уровне), точнее спектральный метод Годунова и Рябенького [7J и теория
G-K1? ( f?.&uHatoo«,/*-0. &еш and А.
uLLWUSiVOW} ) [8-101 . Это исследование обусловлено тем, что смешанная задача (I - 3) в области Ш изучена пока недостаточно хорошо. Для решения смешанной задачи (I - 3) применяется явная разностная схема из монографии Г6 ] , которая была использована там для доказательства теоремы существования смешанной задачи для симметрической системы с диссипативными граничными условиями. В главе I исследование проводится на примере более общей смешанной задачи, которая, по существу, является обобщением смешанной задачи (I - 3) в сторону большего числа пространственных переменных [II] . Основные результаты главы I заключаются в следующем:
В области I (см. Рис. I), в которой не выполняется условие Лопатинского, .для разностной краевой задачи можно построить разностный аналог примера Адамара.
В области Ш (см. Рис. І), в которой не выполняется равномерное условие Лопатинского, получены либо существенные ограничения на число Куранта Ъ - й/ п> , где А ,
гЪ - шаги разностной сетки, по сравнению с разностной задачей Коши, либо удается построить разностный аналог примера Адамара.
3. В области П (см. Рис. І), в которой выполнено равно
мерное условие Лопатинского, не получено новых ограничений
на число Куранта Z по сравнению с разностной задачей
Коши.
Таким образом, в главе I четко прослеживается соотноше-
9 ниє между корректностью дифференциальной постановки задачи (1-3) и устойчивостью ее разностного аналога.
В главе П предлагается разностная схема, с помощью которой может быть доказана, например, теорема существования смешанной задачи (I - 3).
В настоящее время для расчета газодинамических течений с ударными волнами широко используются всевозможные разностные схемы: схема С.К.Годунова (см. ГІ2] ), схема Мас-Cozwack!Ci (см. ["13] ) и т.д. При использовании разностных схем для нахождения численного решения смешанных задач возникает вопрос об устойчивости применяемых разностных схем (по этому поводу см., например, [7] , [14] ). Однако исследование устойчивости разностных схем с учетом граничных условий является не простым делом. В настоящее время существуют различные приемы исследования устойчивости краевых разностных задач: спектральный анализ, метод Q-KiS1 и т.д. Однако их применение к краевым разностным задачам (особенно к многомерным задачам с переменными коэффициентами) чрезвычайно затруднительно, поскольку в ряде случаев аналитическое исследование области устойчивости становится невозможным из-за громоздкости соответствующих операторов перехода (так, на практике вычислители обычно ограничиваются спектральным анализом разностной задачи Копій, перенося получаемые при этом ограничения на шаги разностной сетки и на случай краевой разностной задачи).
Для решения этого вопроса мы предлагаем следующий прием. В основу конструирования и исследования разностных схем, мы положим адекватность разностной задачи исходной дифференциальной задаче. Под адекватностью мы понимаем тот факт, что с помощью рассматриваемой разностной схемы мож-
но доказать теорему существования решения исходной дифференциальной задачи. Это очень важно, поскольку при численных расчетах мы должны знать, что приближенное решение действительно стремится в пределе к решению исходной дифференциальной задачи. Этот прием реализуется с помощью двух этапов:
Корректность исходной смешанной задачи в линейной постановке изучается с помощью техники диссипативных интегралов энергии.
Конструируется разностная схема для численного решения смешанной задачи так, чтобы разностная модель допускала построение разностного аналога диссипативного интеграла энергии. Наличие такого аналога дает нам возможность получить энергетическую оценку, из которой будет следовать устойчивость предлагаемой разностной схемы. Полученная энергетическая оценка берется за основу при доказательстве теоремы существования решения исходной .дифференциальной задачи.
Первый этап для смешанной задачи (1-3) реализован в работе [ I ] . Второй этап этого приема осуществлен в какой-то мере автором диссертации совместно со своим научным руководителем.
Аналогичный прием подробно описан в книге [6 7 для доказательства существования гладкого решения смешанной задачи для симметрической системы с диссипативными граничными условиями (см. 17-20 в [ 6 ] ). Однако, следует особо отметить, что для смешанной задачи (1-3) соответствующие граничные условия (2) не являются диссипативными.
В 3 главы П описан перенос полученных результатов на случай переменных коэффициентов.
Применению разностной схемы МасСогтаск а [13] для системы уравнений газовой динамики с граничными условиями, заданными на фронте ударной волны, в последние годы было посвящено значительное число работ. В 4 доказана устойчивость некоторой модификации разностной схемы Мае -Соъмаск'й с учетом граничных условий для смешанной задачи (1-3). А именно построен разностный аналог диссипа-тивного интеграла энергии.
В главе Ш техника разностных аналогов диссипативных интегралов энергии используется для изучения устойчивости конкретных разностных схем, которые широко применяются на практике для численного решения смешанных задач газовой динамики. В качестве примера берется некоторая модификация известной разностной схемы Мас ІО^Упаск О. и разностная схема В.В.Русанова [15] . В I доказана устойчивость модифицированной разностной схемы Мас Соїтаск а для симметрической т -гиперболической системы с диссипативными граничными условиями. 2 посвящен исследованию устойчивости разностной схемы В.В.Русанова для этой же смешанной задачи.
Приложение посвящено некоторым предварительным численным расчетам. Рассматривается так называемая нестационарная модель обтекания бесконечного кругового конуса сверхзвуковым потоком газа [ 11 . Для решения этой задачи применяется неявная разностная схема, предложенная в главе П и разностная схема Мас Соїтаск'а . Проводится сравнение результатов расчета по этим двум схемам, которое показало эффективность применения предложенной неявной разностной схемы.
Прежде чем переходить к систематическому изложению материала диссертации, напомним несколько важных фактов из
теории симметрических ъ -гиперболических систем Г61 , которыми мы будем пользоваться в данной работе.
Рассматривается смешанная задача для симметрической і гиперболической системы с вещественными коэффициентами в области
AV+ +BVX +CVy + QV=f;
с граничными условиями при 0С= О :
І ГІ1ГІГ
Vі'=№
(5)
(6)
(7)
при ОС = с :
(8)
и с начальными данными при ь = 0 : Здесь
/\ * В ' С ~ квадратные матрицы порядка N , симметрические: причем матрица А положительно определенная, а матрица И имеет следующий канонический вид Г6]:
В =
; /V(? + /Vi-t- /l/2 = /У.
''V
1/=1/^^^) =
u.
U/v_
i/ =
'Ui
Mm>^
ЯГ
1/ =
1/ш=
^//0+/14 + 4
U/i/
/? - квадратная матрица порядка А/ ; -$(-)) l/j - вектор столбец, компоненты которого
заданные непрерывные функции от і , X , и с компактным носителем в
/7;
іУ - прямоугольная вещественная матрица размерности /V0x/Vi j
R - прямоугольная вещественная матрица размерности
/Vi х Mo ; AtCQtAnAxiAj/iCiiCxyCy 6
т.е. элементы перечисленных матриц, как функции от -h , ОС , U принадлежат пространству $ (П), где 1(П) -
пространство непрерывных ограниченных функций в области П ; g,R Є Л (По) , т.е. элементы перечисленных
матриц, как функции от -і , у принадлежат пространству J3(Po) , где область flo = ((t>l/): 0 {*Т) Ij/j^OO].
Пусть граничные условия (6),(7) являются строго дисси-пативными f6 J , т.е.
-(е^ія|а=0 = {-пліл-(іл^
Х=о
(V^LU-Pm*)* kolV^VV,
wMb-.t-uvW-lv'.v'HUu*
= (Vі, [ їмо -mV1) * til Vі, Vі) ,
где Iy0 , J/1/4 - единичные матрицы порядка Mo , Мі ,
соответственно; ^-0 ) Kg > О - некоторые константы, причем неравенства
(Iy0-R*R) >teI/V0 выполняются для всех і , U из области По . Замечание I. Сделаем следующую замену зависимых переменных
V =
Vі Vе
J.
= d-V,
Од/о
^No+i
0 =
> ^f
Л*>
%;
J^A/o+fa
-л
v--
J4I > -> J^/Vo+A/d > - гладкие
V,
функции от ОС .
В результате этой замены система (5) перепишется так:
а граничные условия (6),(7) примут следующий вид:
(6 о
(70
Vі'= IVе, Vй Л- Vі,
здесь: %-ыъ~\ г-т<, й=доґ + + d-b(di*> =01^--0^-0^ Сдг= о;,
Отсюда видно, что выбирая специальным образом гладкие функции JMd (х) ) > JM/\/0+//d (ОС) , мы можем добить-ся того, что матрицы S (при Х= О ) и R* R (при ЗС = с ) будут достаточно.малы (по норме). В таком случае граничные условия (6 ),(7 ) будут строго диссипативны-ми, т.е.
-(BV,V)lx-_0 >І(УЖ,УЖ),
с константами к0 » / > 0 . близкими к единице. Следуя [ 6], мы можем записать на гладких решениях системы (5) тождество интеграла энергии
ШГА + $B + 4ClV,V)ds =
= tti[W,V) + 2(lV)}
где Э-/1 - кусочно-гладкая поверхность, ограничиващая область Л. - область существования гладкого решения смешанной задачи (5 - 8) в пространстве К(i )0С) Lj ] ; ( , ; , "2 )- единичная внешняя нормаль к поверхности дЛ; D = ht+Cy - (Q+ Q*) . Предположим, что поверхность д-П. состоит из следующих кусков:
U) (О ) - кусок плоскости 1-0 ,
U) (Т) - кусок плоскости г - Т ,
So () - кусок плоскости ОС = О ,
$p(t) - кусок плоскости СС-= і ,
S'Jok ~ боковая поверхность, которая выбирается
так, чтобы всюду на iddok квадратичная форма [[%/\ + %В + + /)?С ] W, V) была неотрицательно определенная (о построении поверхности tffyx подробно говорится в [&] ). В таком случае из (9) получаем неравенство:
Л (AV,V)dxdy- Я (BU,V)dldy +
+ tt№V)dUu И (AU,u,uxuu +
+ //JJ І\ШМ + 2l(lV)ndxdu]ds
где UJ (і) -сечение области Ті плоскостью i-COhSz , О ^ і - V7 Наконец, учитывая строгую диссипативность граничных условий, мы окончательно получаем следующее энергетическое неравенство [61 :
jMj. л гМь j
^/3(^ ±/Шег+ /V^^f1 > ОіНТ, (ю)
cod) *
М > 0 - постоянная, которая оценивает коэффициенты системы и их производные; /V > О - постоянная, которая оценивает правую часть і . Подробный вывод таких неравенств приведен в Г6 J и мы ограничились здесь только некоторыми важными замечаниями.
В заключение сформулируем основные результаты, которые выносятся на защиту:
I. Продолжено изучение смешанной задачи (I - 3) в области Ш на разностном уровне. Известно, что в этой области не выполнено равномерное условие Лопатинекого. Показано, что в этой области получаются либо существенные ограничения на число Куранта Z по сравнению с разностной задачей Коши, либо разностная схема неустойчива.
В области I (см. Рис. І), в которой не выполняется условие Лопатинского, для разностной краевой задачи можно построить разностный аналог примера Адамара. (Глава I).
П. Доказана теорема существования гладкого решения смешанной задачи (I - 3) методом конечных разностей. При этом для доказательства теоремы существования предлагается неявная разностная схема. (Глава П).
Ш. С помощью техники разностных диссипативных интегралов энергии доказана устойчивость модифицированной разностной схемы Mac toimack'a для смешанной задачи (I - 3) (см. 4, Глава П) и для смешанной задачи (5 - 8) (см. I, Глава Ш). Установлена также устойчивость разностной схемы В.В.Русанова для смешанной задачи (5-8) (см. 2,Глава Ш).
Результаты диссертации в полном объеме докладывались: на Всесоюзном семинаре-совещании "Теория кубатурных формул и смежные вопросы анализа" (Бухара - 1983); на Ш Всесибир-ской школе "Методы вычислительной математики" (Новосибирск-1983); на Пятой Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики и теория приближений" (Казань - 1984).
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Елохину Александру Михайловичу за постановку задачи и постоянное внимательное руководство.
d
d=-M
Рис. І
Спектральный анализ разностной задачи Коши
Характеристическое уравнение в случав разностной задачи Коши (т.е. при 11\ = 0, d)2,.. ) записывается так: Необходимое условие устойчивости разностной схемы (I.I.8) заключается в том, что при любых !Р - (Уі -/ Уп) выполнялось неравенство т.е. спектр разностной задачи Коши лежал внутри единичного круга T7J. Проверим необходимое условие устойчивости, при А = if , і - d, Y\ . Из характеристического уравнения следует, что либо либо равняется нулю выражение в фигурных скобках, которое так Рассмотрим случай, когда - = 0 Неравенство Щ і выполняется при любом \р , если неравенство перепишется так: Уравнение (1.2.2) исследуем на "длинных волнах",т.е. частных решениях разностной схемы (I.I.8), длина волны которых много больше шага сетки VI . Это означает, что $ = 0(1) . При Ф=0 из (1.2.2) следует, что %/3= . Л Л Положим У = Р , fy-4 = » - малый параметр. С точностью до членов первого порядка малости по ; F - і ІЇ Тогда из (1.2.2) мы получим следующее уравнение для возму-щения t; : Невозмущенное уравнение (т.е. при -0) имеет корни Как следует из теоремы Руше, уравнение для ; также имеет корни в окрестности , 2, при достаточно малых Корни % ± Q являются чисто мнимыми. Последнее означает, что требуется дальнейшее уточнение корней уравнения (1.2.2). С этой целью представим корни возмущенного уравнения в виде: В таком случае из (1.2.2) получим Здесь вместо стоит один из i ) і = і, 0., З . Снова применив теорему Руше, получаем следующие корни возмущенного уравнения: Условие $4,2, 1 і приводит нас к следующим соотношениям К.соотношениям (1.2.3) и (1.2.4) ещё надо добавить условие Куранта, Фридрихса, Леви [191: В результате мы получаем следующее необходимое условие дяя устойчивости разностной задачи Коши Z тіп і V4 )2 $+J-}j Д]- (1.2.5) 3. Спектральный анализ краевой разностной задачи Система уравнений относительно постоянного вектора л У (см. 1) в обозначениях : (здесь ZtZjt tJ/, - векторы размерности #-4 ; S - вектор размерности ґП-П-d ; V= УсЧ С ) 1 = 2, П ) перепишется так: Здесь, через (ОС, б) - обозначено обычное скалярное произ ведение векторов Сі и і ; Y = ( f?0 }-Q0 , L0, 0) . Исклю — чив из этой системы вектор L0 , получим ; л л Заметим, что если найдены 1?0 , Q0 , Q , то L0 находится из третьего уравнения системы (1.3.2). Из последней системы следует, что возможны два типа решений (I.I.IO ): где = - , 4- 2 - V2Zz/Qz . Для наших целей ограничимся случаем - Тогда определитель последней системы отличен от нуля и, следователь (1.3.27) / s уґ где vi-Cli-Vi/Zi ) б2=й2-Т2%1?2 ) і)? - US Z3/?C IQ ) ,2,3 - %i 2,3 ІЙ-) У) - корни уравнения: / о с tf /=2 (1.3.3) которое получено из условия того, что определитель послед ней системы должен равняться нулю. Будем предполагать,что корни %{)%2)%з простые и \%i\ ci , \%i\ .l и \%?1 d В таком случае решение системы (I.I.8) ищем в виде: і п т. Через 9y\+4. и Qm-n-i - обозначены нулевые векторы размерности (и+ 4) и (Уґі-jfl-i) соответственно.
Уравнение (1.3.3) исследуем на "длинных волнах". При [р -0 ъ % -{ , X d является трехкратным корнем уравнения (1.3.3). Пусть У = (Р , (f - скаляр, С точностью до членов 2-го порядка малости по будем иметь Подставляя эти разложения в уравнение (1.3.3) получим следующее уравнение относительно искомых параметров } Ъ Подставляя решение (1.3.4) в граничные условия (I.I.9) получим: Для получения так называемого дисперсионного соотношения, надо составить систему из первых И уравнений системы (1.3.6), добавив к ним систему уравнений (І.3.21) Исключая из системы уравнений (1.3.7) векторы /, ,L2 мы получим следующую систему алгебраических уравнений от -Гг / л л А л носительно вектора V - ( R } ?2; Qi j ( ) : где Следует напомнить, что векторы L и А2 находятся с помощью системы (1.3.7). Далее воспользуемся следующими обозначениями: здесь Х19ІЧ, }Я)Я) І}МІІК2ІСІІЯ - новые па S S r раметры. В дальнейшем волны у параметров -5С, 2, jP. _/2 М Рассмотрим первый случай. Из (1.3.5) и (1.3.9) получим (Е = 0) : и , х-. А Пусть Х- 0 . Тогда из (1.3.II) следует, что Из (1.3.5), (І.ЗЛІ) в таком случае получаем Таким образом, имеем ( 0) причем /#/ { , если 1 T T » т«е» п0 сравнению с разностной задачей Коши новых ограничений на отношение шагов Z не получили. Справедливости ради надо отметить, что в этом случае требуется дальнейшее уточнение значений Приравняем теперь нулю выражение в фигурных скобках в (1.3.II), которое можно привести к следующему виду: Прежде чем перейти к анализу решений уравнения (1.3.12), следует сказать, что, рассматривая случай б), мы, по сравнению с разностной задачей Коши, либо не получаем вовых ограничений на Ї , либо приходим вновь к случаю а). 4. Анализ решений уравнения (1.3.12) Уравнение (1.3.12) легко сводится к биквадратному уравнению Этот параграф посвящен исследованию корней (1.4.2) биквадратного уравнения (1.4.I). Следует заметить, что не все корни (1.4.2) удовлетворяют уравнению (1.3.12). Поэтому выясним, какие из корней уравнения (І.4.І) являются решением уравнения (1.3.12) Пусть А± 0 . Тогда из (1.4.1) следует, что Подставляя это выражение в (1.3.12), получаем
Дальнейшее уточнение значений ФА,2
При этом должно также выполняться неравенство \%2l d . Для анализа формул (1.5,3), (1.5.3 ), (1.5.3") при конкретных значениях параметров й) Ь , М была составлена программа на ЭВМ. Численный расчет проводился при следующих значениях параметров Из численных расчетов можно сделать следующие выводы. Пусть. ]) - О При U-О , S O начиная с некоторого ъ - v0(M) можно построить РАПА (разностная схема неустойчива). При ц, (М) v 0 не получается существенного ограничения на Ї по сравнению с разностной задачей Коши. При S - і , а-0.5 (4 О) ; на линии -0 на 1 не получено ограничений (по сравнению с разностной задачей Коши) и РАПА не построено. При и--0,9 ( .0/ начиная с некоторого v v-lMl (при Ьс 6- (М) ) получается существенное ограничение на 1 по сравнению с разностной задачей Коши (Рис. 4). При і„(у() можно построить РАПА. Пусть \) і . При (Я = 4 , на линии Кч-0 не получено ограничений на 1 (по сравнению с разностной задачей Коши) и не построен РАПА. При й = 0 , v O начиная с некоторого ъ=щЩ Що можно построить РАПА. При v20(Mk6 Vj0(M) получается существенное ограничение на по сравнению с разностной задачей Коши (Рис.5). При 4 vi0(M) не получено ограничений на 1 и не построен РАПА. При й = 0.5 гь с О получено ограничение на Ї , если Ьд2(МІг у щ(М) (Рис.б) Если 0.=-0.5 , 6 0 , то получено ограничение на 2 при 42?№Vheu(M) (Рис.7). При І Ш)(і(М)4пЩ можно построить РАПА. При остальных значениях . 4) не получено на 1 не получено ограничений (по сравнению с разностной задачей Коши) и РАПА не построено. При и--0,9 ( .0/ начиная с некоторого v v-lMl (при Ьс 6- (М) ) получается существенное ограничение на 1 по сравнению с разностной задачей Коши (Рис. 4). При і„(у() можно построить РАПА. Пусть \) і . При (Я = 4 , на линии Кч-0 не получено ограничений на 1 (по сравнению с разностной задачей Коши) и не построен РАПА. При й = 0 , v O начиная с некоторого ъ=щЩ Що можно построить РАПА. При v20(Mk6 Vj0(M) получается существенное ограничение на по сравнению с разностной задачей Коши (Рис.5). При 4 vi0(M) не получено ограничений на 1 и не построен РАПА. При й = 0.5 гь с О получено ограничение на Ї , если Ьд2(МІг у щ(М) (Рис.б) Если 0.=-0.5 , 6 0 , то получено ограничение на 2 при 42?№Vheu(M) (Рис.7). При І Ш)(і(М)4пЩ можно построить РАПА. При остальных значениях . 4) не получено ограничение на число Куранта Ч и не построен РАПА. 6. Исследование смешанной задачи (1-3) Покажем, теперь, как применять результаты 1—5 для смешанной задачи (1.3). Легко проверить, что система (I) удовлетворяет всем условиям Определения І. В самом деле, положим: я „ Мы не будем повторять дословно все что было сказано в 1-4, а приведем сразу основные результаты. Разностная задача Коши устойчива при условии На Рис.8 изображен график функции . Исследование разностной краевой задачи дает следующие результаты:
При параметрах и}Я соответствующих идеальному газу ограничение на число Куранта Ч, не получено (по сравнению с разностной задачей Коши) и РАПА не построено. Область параметров и, Я (см.Рис.1), для которых не выполняется условие Лопатинского и для которых можно построить ограничение на число Куранта Ч и не построен РАПА. 6. Исследование смешанной задачи (1-3) Покажем, теперь, как применять результаты 1—5 для смешанной задачи (1.3). Легко проверить, что система (I) удовлетворяет всем условиям Определения І. В самом деле, положим: я „ Мы не будем повторять дословно все что было сказано в 1-4, а приведем сразу основные результаты. Разностная задача Коши устойчива при условии На Рис.8 изображен график функции . Исследование разностной краевой задачи дает следующие результаты: При параметрах и}Я соответствующих идеальному газу ограничение на число Куранта Ч, не получено (по сравнению с разностной задачей Коши) и РАПА не построено. Область параметров и, Я (см.Рис.1), для которых не выполняется условие Лопатинского и для которых можно построить РАПА, практически совпадают. В области параметров и, 2 , для которых не выполнено равномерное условие Лопатинского (область Ш, на Рис.1) получены либо существенные ограничения на число Куранта V по сравнению с разностной задачей Коши, либо удается построить РАПА. В области П (см.Рис.І), в которой выполнено равномерное условие Лопатинского, не получено новых ограничений на число Куранта по сравнению с разностной задачей Коши. УУ У - область в которой можно построить РАПА; ЕЕЕ - область в которой требуется дальнейшее уточнение; - область, в которой не построен РАПА.
Смешанная задача с переменными коэффициентами
Начальные данные і/о (ос) предполагаются достаточно гладкими равными нулю при I Xg I j X.g и во всех точках ОС таких, что либо 0 4 #/ Х.± , либо Х ХІ для некоторого Ъ-i 0 . 3. При предположениях 1,2 существует решение поставленной задачи. Это решение будет отлично от нуля лишь в ограниченной части описанной в предположении I области , и принадлежит в этой части пространству С . Замечание 2. При наличии оценки диссипативного интеграла энергии смешанной задачи (І.І.І-ІЛ.З) и теоремы существования достаточно гладкого решения смешанной задачи (1,1.1-І.1.2) мы получаем, что решение этой задачи принадлежит пространству И (т.е. тому пространству, которое диктуется построенным интегралом энергии). Рассмотрим случай, когда коэффициенты смешанной задачи (I.I.I - І.І.З) переменные: где X = (%2 з - хп) } X=(CCitX). Вернемся к разностной краевой задаче (2.1.1-2.1.3), полагая коэффициенты переменными (значения коэффициентов будем брать в точке (A-KjCnxj )J2 X2 J "v /ft/b J ) ах известно, одно из преимуществ метода энергетических неравенств заключается в том, что он применим и в случае переменных коэффициентов с небольшими изменениями, если предположить, что коэффициенты исходной дифференциальной задачи достаточно гладкие. Аналогично, как и в случае с постоянными коэффициентами, можно получить следующую расширенную систему где Рр - некоторая вектор функция, линейная относительно Ур (мы здесь не будем приводить конкретный ВИД рр ). Для расширенной системы (2.3.1), можно получить соответствующие диссипативные граничные условия, аналогичные (2.1.15 - 2.1.17). Умножим систему (2.3.1) на вектор 1 Vp :
Отсюда ясно, какую гладкость надо требовать от коэффициентов матриц Ар ) Вр j [= 1,..., її . Получение энергетической оценки из разностной формы диссипативного интеграла энергии аналогично тому, как это было сделано в 1. Отметим, что мы получим оценку вида (2Л.23) с другой константой, но при тех же ограничениях на отношение шагов Ух? » 1=1,...,И (см.(2ЛЛ9)) (равномерных относительно і Хє { 0+ I % xd ZO, №еЫ = Qjii ). Итак, можно получить оценку V V зависит от К (она за предполагаются достаточно гладкими равными нулю при I Xg I j X.g и во всех точках ОС таких, что либо 0 4 #/ Х.± , либо Х ХІ для некоторого Ъ-i 0 . 3. При предположениях 1,2 существует решение поставленной задачи. Это решение будет отлично от нуля лишь в ограниченной части описанной в предположении I области , и принадлежит в этой части пространству С . Замечание 2. При наличии оценки диссипативного интеграла энергии смешанной задачи (І.І.І-ІЛ.З) и теоремы существования достаточно гладкого решения смешанной задачи (1,1.1-І.1.2) мы получаем, что решение этой задачи принадлежит пространству И (т.е. тому пространству, которое диктуется построенным интегралом энергии). Рассмотрим случай, когда коэффициенты смешанной задачи (I.I.I - І.І.З) переменные: где X = (%2 з - хп) } X=(CCitX). Вернемся к разностной краевой задаче (2.1.1-2.1.3), полагая коэффициенты переменными (значения коэффициентов будем брать в точке (A-KjCnxj )J2 X2 J "v /ft/b J ) ах известно, одно из преимуществ метода энергетических неравенств заключается в том, что он применим и в случае переменных коэффициентов с небольшими изменениями, если предположить, что коэффициенты исходной дифференциальной задачи достаточно гладкие. Аналогично, как и в случае с постоянными коэффициентами, можно получить следующую расширенную систему где Рр - некоторая вектор функция, линейная относительно Ур (мы здесь не будем приводить конкретный ВИД рр ). Для расширенной системы (2.3.1), можно получить соответствующие диссипативные граничные условия, аналогичные (2.1.15 - 2.1.17). Умножим систему (2.3.1) на вектор 1 Vp : Отсюда ясно, какую гладкость надо требовать от коэффициентов матриц Ар ) Вр j [= 1,..., її . Получение энергетической оценки из разностной формы диссипативного интеграла энергии аналогично тому, как это было сделано в 1. Отметим, что мы получим оценку вида (2Л.23) с другой константой, но при тех же ограничениях на отношение шагов Ух? » 1=1,...,И (см.(2ЛЛ9)) (равномерных относительно і Хє { 0+ I % xd ZO, №еЫ = Qjii ). Итак, можно получить оценку V V зависит от К (она зависит от коэффициентов исходной задачи и от области в которой рассматривается задача). і/ Опять перед нами встает вопрос об оценке .% через начальные данные и разностные отношения от них. Рассмотрим разностную задачу Задача (2.3.2 - 2.3.3) представляет собой разностную краевую задачу. Будем решать эту задачу, используя результаты работы [Z3]. Предположим, что матрицы A (OCj) и В (ОС ) постоянны на отрезках (./I 00 (Ы)/Х =0,4,2,.. . , где К -некоторое натуральное число Параметр п положим равным і /К /V , где /V - целое число. Отметим, что матрицы А(Х ) и B(0Cj) могут иметь скачки (разрывы I рода) только в точках ОС,] = С/ К , В таком случае, согласно работе [237 единственное ограниченное решение задачи (2.2.2 - 2.3.3) записывается так: подпространство пространства и (пространство решений уравнения (2.3.2) размерности ЇЇІ ); & 2 _ у _ мерное подпространство пространства V (?+=№) Предположим, что выполнено неравенство (2.2.5) равномерно для всех U}X) . Тогда 2= m dj S = і ; 2+S = М . Такое представление функции Рп+1 очевидно, если записать уравне ние в каноническом виде, как это было сделано в случае постоянных коэффициентов.
висит от коэффициентов исходной задачи и от области в которой рассматривается задача). і/ Опять перед нами встает вопрос об оценке .% через начальные данные и разностные отношения от них. Рассмотрим разностную задачу Задача (2.3.2 - 2.3.3) представляет собой разностную краевую задачу. Будем решать эту задачу, используя результаты работы [Z3]. Предположим, что матрицы A (OCj) и В (ОС ) постоянны на отрезках (./I 00 (Ы)/Х =0,4,2,.. . , где К -некоторое натуральное число Параметр п положим равным і /К /V , где /V - целое число. Отметим, что матрицы А(Х ) и B(0Cj) могут иметь скачки (разрывы I рода) только в точках ОС,] = С/ К , В таком случае, согласно работе [237 единственное ограниченное решение задачи (2.2.2 - 2.3.3) записывается так: подпространство пространства и (пространство решений уравнения (2.3.2) размерности ЇЇІ ); & 2 _ у _ мерное подпространство пространства V (?+=№) Предположим, что выполнено неравенство (2.2.5) равномерно для всех U}X) . Тогда 2= m dj S = і ; 2+S = М . Такое представление функции Рп+1 очевидно, если записать уравне ние в каноническом виде, как это было сделано в случае постоянных коэффициентов.
Устойчивость разностной схемы В.В.Руса нова
Тогда, если 0 d, $ і » то при некоторых ограничениях на шаги разностной сетки можно как и выше доказать устойчивость этой разностной схемы с учетом граничных условий. 120 2. Устойчивость разностной схемы В.В.Русанова В этом параграфе мы продемонстрируем применение метода разностных диссипативных интегралов энергии для доказательства устойчивости разностной схемы В.В.Русанова [15]. В качестве исходной задачи берется смешанная задача (5-8). Введем в рассмотрение следующие обозначения, операторы сдвига и усреднения,разностные отношения и т.д. схему В.В.Русанова [157 мы можем сформулировать следующую разностную модель смешанной задачи (5-8): (3.2.16) K = 0,m-i , 1 = 0,)1, 1// = 0,4,--- (3.2.1B) (UT)"L = // (VS)y , 67 . /J/= 0,1,---, (3.2.2) V v ( иЛ),и - V(V% , Г-Я», / / / -0,-1,--, (3.2.3 V- = VQ (Ihx ,jhy), і=0,11, ///=-0,/, (3.2.4) 122 Здесь J$4 , Ш20 )1/2-/) - 23 & гз некоторые коэффициенты; [Г\\Лн)--кшЧш-АЧиА)уи), fli,= f f, ЧШ=У 9, [AV](9) = Ati,Vlt) = (H,,i!A)-V(S l 0 оІ4 2 - - некоторые константы. Замечание 4. В работе [157 показано, что разностная схема (3.2.1а-3.2.1в) имеет третий порядок точности, если КОЭффИЦИеНТЫ Jd j2j)J22 Jsi J?2 J?3) 30 3Ч ) LO32 c2o &?j @37 @33 удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений: При получении системы (3.2.5) авторы работы [157 полагали, что GL{ - А » С 2 = и%2 Решая эту систему мы получаем: 5? i030 = i020 = ) Л r /5 &4 r -J/4 J J S3 = /4 ) i031 =- P// fe -- % 2-1 = - 37 @22 произвольные константы; а коэффициенты JZQJ )J%2 2 І J J связаны соотношениями: J 22 A = /9 ) J - + J22 - 2/? Положим ±-й/з . Тогда 2Q = Q/- J?2i = О Ниже, для определенности, мы будем полагать, что: - J d J 2 2 = % 20 JS32 J 24 О, Аг- h Л ,Лз = I и зі в3і = - , $ss = s зо зо произвольные константы. Тогда, если и)30 - малая величина, то разностная схема (3.2.1а - 3,2.1в) имеет "почти" третий порядок точности.
С помощью формул (3.2.1а), (3.2.16) исключим в формуле (3.2.1в) значения вспомогательных векторов Ь, U . В результате мы получим следующее выражение: А V = % + й 2 ) (3.2.6) где: __ x(t$ + n4))%(CW}-J??{?x(4+eS34 l)So(BA- JI.I) + + Чу(4+9 ъЪ$)%(СА- 1.1)} , І і = A V+ сЛ {- їх І/у VLJ $0 (В V)- у )/х Vx % (СУ) + + їх J J/y й/ (ВА4В If) + їхїу Л їо% ((BA jC + + СА-{В) V) І- Vy & їх їх ЧЧ (СА 1 С If)} ; ]CQ - агрегат, который мы не приводим из-за громоздко сти его выражения, и для которого может быть получена оценка ИИ2П ЦГ 11112+Г31 112] , (3.2.7) Pd =di-V+ 0+ V-d+ Q + V9+ 0 + 9 + У- 0 \ lllf//g = (V, 1/) j С І О - некоторая постоянная, зависящая в конечном итоге от коэффициентов . матриц. А С Q ) А± ) Ах ) А у Ct Сх і Су и от величин А}2 х 4-у / fза Зо Из (3.2.6) получаем: при этом с учетом неравенства (3.2.7) может быть получена следующая оценка: \Y{\ ]/(А-1)ач-й)\1К9ии(Ш-1) + ((А-%)) ІІХІІІ ± С2 ( Г/ I/UИ9 -і Р? II til У , (3.2.9) ПА {)- їир НА // . ))(№%)-- sup ІІ(А-%ІІ2 (і,х,у)єП и,хіЧ)еП Co О - некоторая постоянная, зависящая в конечном итоге от коэффициентов матриц А; С) Q , А і} Ах Л/; Q) х) С и и от величин А ) їх) Чу ) $зо ) ЬОзо » // А"і II - операторная норма матрицы А 1 и т.д. В дальнейшем нам понадобятся следующие очевидные соотношения : 1) IQU}ATV)= ZlVjAUl- (ZV,A TV)--IV![TA1V)) 2) (VJtl/)= $(V)AV)t(lVj\V)-{rIV)[lAir U)l 3) iV Vl JVjAVj- V VJ ffUj AlipV) 4) tVJ V)= H(VJV) - W,A $ V) -($ V,A V) - (VVJU1VV) {v-lv} iui r v), 5) (V,A$ V) = $(V}A1/) v(AfV,PW 6) (V}A9V)= $(V,(AVl/n- V($lf,ApV) + + V?ff?K A V) - (1/,?(П;А]П1Г) - (иЛїАІ 2V ) и т.д. С учетом соотношений (1-6) форму ( )А li) перепишем так: + (СКі -МІЛ-ЧХі- AVI) Здесь x(L$$ +4/ilUAV)jV) -2txJsi ([4 + U)si ($ + ПП)1 x їо(вю,ЮгЩА4(і:4+ cun( +4n)i%(cw,v) -2J33 (fZxMBA- b) 4y%(WIi)h V)- QlxJssQxt Hfo (ВА ІІ ),1/)- 0Ц As 0??(t$% (M- IJj V)-= Ma- Мя + ДМз) Md =2 0[ (UJ qV)- fV)A U) (U)AWlf) V BU) -fS(V B lf) + 2u;SiS(St0V,BU) + 2o03iX П( о1/)ВУ)-2и)ЗІП 0У)ВпУП-ЦАі[/)20(У ) -%n( 4V C4V) + QtA)Si%([$$ + /441(CU) U)-U31x П (ПІН + W (СЮ; 4 У J]- ZxJ?7[?o(U,BV) --/ Kf l/ BU) + роіВА- їіЛи)- f($(BA- It))U)l - ЦЯЗІІЧО (V, СУ) - (4V)CnV) + %(CA iiii2V) --у ("2 (CA dli), ПУ)1 2 %r Js, Q 14 №o (BA"dIi ) W - 4(f0 (ВА-ПІ), ЧЮ1 Лз $?s [%( (CA-%)}U)--П(Ч$$(СА- Ы П1Г)1 j Me =Qr30[V?(A$2V pW + G9(A4Qlft42WJ- Ш30 x /YfV,A$V)+ и Щ + ІЧУіАЧУ) 4- (ЧІ/іАЧиП
