Содержание к диссертации
Введение
1. Результаты теоретических исследований волновых процессов в жидкости 10
1.1. Натурные примеры распространения поверхностных волн 10
1.2. Линейные поверхностные волны 16
1.3. Методы изучения нелинейных поверхностных волн 23
1.4. Волны Герстнера 40
1.5. Выводы 41
2. Стационарные волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля волны 43
2.1. Физическая и математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины 43
2.2. Линейные поверхностные волны 45
2.3. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной поверхностной волны и ее характеристик 46
2.4. Одномерная задача для стационарных волн на поверхности однородной жидкости конечной глубины 50
2.5. Исходные тригонометрические представления для решения одномерной задачи с точностью до седьмого приближения и система алгебраических уравнений для коэффициентов тригонометрических представлений 51
2.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных поверхностных волн 52
2.7. Анализ последовательных приближений и нелинейного диспер сионного соотношения для поверхностных волн 62
3. Стационарные волны на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины 68
3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины 68
3.2. Предварительный математический анализ задачи 69
3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном приближении 72
3.4. Одномерная задача для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины 75
3.5. Тригонометрические представления для решения одномерной задачи и система алгебраических уравнений для их коэффициентов 77
3.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины 86
3.7. Анализ стационарных поверхностных волн на сдвиговом течении 104
Заключение 106
- Линейные поверхностные волны
- Волны Герстнера
- Анализ последовательных приближений и нелинейного диспер сионного соотношения для поверхностных волн
- Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины
Введение к работе
Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.
Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярно-гравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.
Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Бризом, Рэлеем, Митчел-
5 лом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уи-земом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Корте-вега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики - теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.
Цель работы заключается в изучении характеристик, строения профиля и вывода нелинейного дисперсионного соотношения для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении путем решения следующих задач:
выводу точного нелинейного уравнения для профиля стационарной волны на поверхности идеальной однородной жидкости конечной глубины, его решение в виде аналитических рядов, вывода нелинейного дисперсионного соотношения;
в рамках эйлерова подхода и других стандартных условий изучить стационарные нелинейные волны на горизонтальном сдвиговом течении жидкости конечной глубины при условии, что профиль средней скорости линейный; при этом особое внимание уделить выводу и анализу нелинейного дисперсионного соотношения;
усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.
Научная новизна. Для задачи о двумерных стационарных нелинейных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины при условии, что волновые движения являются потенциальными, впервые выведено точное нелинейное уравнение для профиля стационарной волны на поверхности жидкости; благодаря этому исходная двумерная нелинейная краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению для функции одной переменной.
Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса.
В задаче о поверхностных волнах на сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости предложена модификация первого метода Стокса; получено и проанализировано нелинейное дисперсионное соотношение для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.
Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-дифференциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кор-тевега - де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, нелинейного уравнения Шре-дингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:
Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 03-05-65136, №00-05-64136);
Международного фонда фундаментальных исследований INTAS (проект № 460/01,2002 г.).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Вывод интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.
Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения включительно по амплитуде волны.
Вывод одномерной системы квадратичных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.
Обоснование корректности выбора разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.
Решение одномерной системы уравнений для трех низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами, известными в литературе.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001), Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии. Экологическая физика" (Москва, 2001, 2004), на 56 научно-техническом семинаре Института проблем механики РАН (Москва, 2002), XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003), XII Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003), XIII Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2005), Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200 - летию со дня рождения К.Г. Якоби (Калининград, 2005).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страниц и включает 10 рисунков. Библиографический список включает 167 наименования.
Первая глава представляет собой обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются теоретические методы изучения нелинейных поверхностных волн, а также дан обзор современного состояния теоретического исследования нелинейных стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости. Трудности исследования задач теории нелинейных поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь также является неизвестной функцией и требует определения.
Во второй главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отличия:
удалось получить одномерное интегро-дифференциалыюе уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины,
решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений,
- решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее. В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача
9 сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения.
В заключении приводятся основные выводы работы.
Линейные поверхностные волны
В теории гидродинамических волн уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) появляется при описании длинных волн на воде в узком мелком канале, а также в случае волн конечной амплитуды и неизменной формы на поверхности раздела в двуслойной жидкости. Это уравнение, описывающее одномерные волны, имеет вид где F - величина отклонения либо поверхности жидкости, либо границы раздела от равновесного положения, а а,/3,у определяются величиной ускорения свободного падения и глубиной канала в случае волн на воде и толщинами и плотностями слоев в случае волн на поверхности раздела. Например, в случае длинных поверхностных волн уравнение КдВ принимает такой вид: где rjx- профиль свободной поверхности. С помощью масштабных преобразований и перехода в движущуюся систему координат уравнение КдВ упрощается и принимает безразмерный вид. Обычно его записывают так: ut - виих + иххх = 0; эта форма записи связана с применением метода обратной задачи рассеяния, благодаря которому получены точные решения уравнения КдВ. Стационарным решением этого уравнения является КдВ-солитон и{х) = ach 2\ Ja/6xj, движущийся со скоростью с = 2а/3, где а- его амплитуда. Помимо солитонного решения уравнения (1.3.1) может иметь решение в виде кноидальной волны. Одной из первых работ, в которой исследовались нелинейные гидродинамические волны неизменной формы, была работа G.H. Keulegan a (Keule-gan, 1953), посвященная изучению свойств внутренних волн на границе раздела (ВВГР). Последовательное развитие математической модели явления привело к выводу о том, что ВВГР неизменной формы являются решением стационарного уравнения КдВ. В случае солитонного решения было показано, что в зависимости от соотношения глубин слоев на границе раздела распространяется либо уединенная волна повышения, либо понижения. Дальнейшее развитие теории нелинейных волн в жидкости можно найти в работе Т.В. Benjamin a (Benjamin, 1966), где наряду с солитонными типами исследовались кноидальные типы ВВГР. Работа Т. Kakutani и N. Yamasaki (Kakutani, Yamasaki, 1978) была посвящена изучению нелинейных волн в двуслойной модели с дном и свободной поверхностью. Авторы обнаружили, что в системе существуют два типа солитонных решений - быстрые и медленные. Коэффициенты, входящие в уравнение КдВ, в данном случае являются функциями как отношения толщин слоев, так и плотностей.
В случае критического значения отношения толщин слоев поведение медленных солитонов описывается модифицированным уравнением КдВ с кубической нелинейностью, а вблизи критического значения необходимо пользоваться комбинацией КдВ и модифицированных КдВ-уравнений. В работе R.M. Mine (Mirie, 1985), в которой изучались ВВГР, были определены области на плоскости координат отношение плотностей жидкости - отношение толщин слоев, где реализуются солитоны возвышения и понижения ударного типа - боры. Случай двуслойной жидкости с твердой верхней границей был рассмотрен в статье М. Funakoshi (Funakoshi, 1985), в которой было показано, что вблизи критического отношения плотностей жидкости в основу математического описания процесса необходимо положить модифицированное уравнение КдВ, учитывающее как квадратичную, так и кубическую нелинейность. Также было показано, что скорость солитоноподобного решения ударного типа в такой ситуации не зависит от его амплитуды. Работа М. Funakoshi и М. Oikawa (Funakoshi, Oikawa, 1986) продолжила исследования в этом направлении, но уже для волн большой амплитуды. При этом был дан критерий, на основе которого можно определить является ли амплитуда исследуемой волны большой или нет. Экспериментальные исследования ВВГР конечной амплитуды, проведенные в работе Т. Maxworthy (Maxworthy, 1980), подтвердили результаты теоретических работ и показали реальное существование солитонов на границе раздела. Реальные физические ситуации отличаются от теоретических моделей дополнительными эффектами, что требует особого исследования. Изучение влияния вращения на уединенные волны на поверхности раздела двух жидкостей проводилось экспериментально (Renouard, D Hieres, Zhang, 1987) в канале, расположенном на вращающейся платформе. При этом наблюдалось возвышение, движущееся вдоль правой стороны канала по отношению к направлению распространения. С расстоянием возвышение достигает своей равновесной формы, вариации во времени высоты поверхности раздела точ- но описываются функцией ch , при этом удовлетворяется масштабный закон характеристичексого уравнения КдВ, связывающий максимум амплитуды и длину волны вдоль стенки. Возвышение является устойчивым явлением, которое движется как целое без деформаций за счет вязкого затухания. Амплитуда возвышения вдоль стенки увеличивается с увеличением параметра Кориолиса, а при заданном периоде обращения платформы скорость возвышения растет с ростом амплитуды. В то же время показано, что скорость движения вдоль стенки равна скорости волны в тех же условиях, но без вращения. Амплитуда возвышения в плоскости перепендикулярной стенке экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния от стенки, а гребень волны обращается. Помимо волн на границе раздела интерес представляют нелинейные волны на поверхности жидкости. Из работ последнего времени имеет смысл выделить исследования, посвященные капиллярно-гравитационным волнам. Аналитическое изучение предельной формы чисто капиллярных волн и квазикапиллярных волн конечной амплитуды проводилось M.S. Longuet-Higgins om (Longuet-Higgins, 1988).
Было показано, что влияние гравитации на предельную форму мало. На вершине предельной волны скорость частиц почти постоянна и равна фазовой скорости. Это свойство позволяет применить квазистатическое приближение так, чтобы определить форму вершины, и следовательно определить выражение для полного профиля капиллярно-гравитационных волн (КГВ) предельной крутизны. В результате оказывается, что существует уединенная КГВ на глубокой жидкости. Естественным продолжением этих исследований явилась работа M.S. Longuet-Higgins a (Longuet-Higgins, 1989), в которой приведено точное решение проблемы предельных КГВ и подтверждено существование КГВ соли-тонного типа. Показано, что предельная волна имеет фазовую скорость с = 0,9267(gy)h 4. Все семейство солитонных волн удовлетворяет условию, налагаемому на их фазовую скорость: с \.3 (gy)XIA, где у - коэффициент поверхностного натяжения. В работе Р.В. Weidman a и R. Zakhem a (Weidman, Zakhem, 1988) сообщается об экспериментах по радиальному распространению осесиммет-ричных уединенных волн на свободной поверхности и проводится сравнение с теоретическим и численным решением цилиндрического КдВ-уравнения. Измерения показывают, что изолированное возмущение превращается в медленно меняющуюся уединенную волну с амплитудой, ведущей себя по закону г_2/3, где г - расстояние от центра возмущения. Уравнение описывающее эволюцию смещения F свободной поверхности воды, по которой распространяется уединенная волна, имеет вид где с = (gh) , h - глубина неподвижной жидкости. Это уравнение не сохраняет массу и потому является асимптотической частью задачи с начальными условиями. Путем замены На основе проведенного анализа в статье делается вывод, что КдВ-уравнение дает неплохое описание (при є «1) слабонелинейных осесим-метричных волн. В примыкающей к этому направлению работе J.A. Zufiria (Zufiria, 1987) для изучения бифуркации уединенных КГВ на воде конечной глубины развивается слабонелинейная модель, в основе которой лежит гамильтонова формулировка волн на воде, предложенная в статье J.A. Zufiria (Zufiria, 1988) и получившая окончательное оформление с приложениями в работе J.A. Zufiria (Zufiria, 1988). В результате этой серии исследований найдено, что кроме чрезвычайно богатой структуры симметричных решений существуют несимметричные волнения. Они появляются в результате спонтанного нарушения симметриии при бифуркации из симметричного решения. Дерево бифуркации такое же, как и в случае гравитационных волн.
Волны Герстнера
Замечательным достижением в теории волн является решение, найденное Герстнером в 1804 году (Сретенский, 1977). Это единственное точное решение нелинейных уравнений. Приведем его. Воспользуемся уравнениями гидродинамики в лагранжевой форме: здесь a, b - лагранжевы координаты, D - относительная плотность, не зависящая от времени (следствие условия несжимаемости жидкости). Решение системы (1.4.1) ищем в виде бегущей волны В формуле (1.4.2) учтено условие затухания волнового движения на бесконечной глубине. После подстановки (1.4.2) в (1.4.1) третье уравнение дает D = l-exp(2kb), а первые два сводятся к таким: Эти уравнения совместны и дают для р следующее значение: р = - — (кс2 - g) exp(kb) cos(k(a - Таким образом, все лагранжевые уравнения удовлетворяются точно. Динамическое условие на свободной поверхности b = 0 удовлетворяется, если первое слагаемое в (1.4.3) отсутствует, а это дает равенство Формулы (1.4.2) показывают, что волны Герстнера образуют двухпараметри-ческое (если не считать сдвиги вдоль оси а) семейство, параметризованное волновым числом к и амплитудой волны А. На свободной поверхности Ь = 0 уравнения (1.4.2) принимают вид Если А = — ,то эти формулы будут уравнения циклоиды; при А(— они будут уравнениями укороченной циклоиды, а при А) удлиненной циклоиды. В последнем случае профиль волны содержит двойные точки, что недопустимо с гидродинамической точки зрения. Следовательно, амплитуда волн Герстнера ограничена значением А = — .Волны предельной амплитуды имеют за- остренные гребни. Профили волны меньшей амплитуды будут гладкими. Расчет завихренности дает для нее значение Таким образом, волны Герстнера являются вихревыми; вектор вихря быстро уменьшается по своей величине с ростом глубины; уменьшение вихря тем более значительно, чем меньше длина распространяющейся волны. Более общие теории вихревых установившихся волн построены в работах Дюбрей -Жакотен Проделанный анализ теоретических результатов по распространению и трансформации поверхностных волн показал, что нелинейные явления играют важную роль в формировании целостной картины динамики жидкости. Поверхностные волны, как объект исследования, и их основные характери- стики непосредственно зависят от свойств и параметров сред, в которых они распространяются. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны.
Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные волны и короткие капиллярно-гравитационные волны. Среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны на относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Различие типов волн обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. Трудности исследования задач теории поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой, точнее, такое соотношение появилось даже в более общей ситуации в виде громоздкой интегральной формулы, но ее доведение до конкретного результата представляется не менее сложной задачей, чем исходная. Она и стала предметом исследования автора в работе. Глава 2. Стационарные волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля волны В главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отличия: - удалось получить одномерное интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины, - решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений, - решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее. 2.1. Физическая и математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины В этом параграфе будет дана физическая и математическая постановка задачи.
Пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости глубины h сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью. Выбирается система отсчета, движущаяся вместе с волной; в этой системе отсчета течение, обусловленное волнами, является установившимся, поэтому свободная поверхность и дно будут линиями тока. Используются обычные обозначения: х, у - декартовы координаты (ось х совмещена с средним горизонтальным уровнем, а ось у направлена вертикально вверх), и=и(х,у), v=v(xj ) - горизонтальная и верти- кальная компонента скорости, TJ = J(X) и С- профиль и среднее значение скорости течения. Используем относительный комплексный потенциал скорости: u-iv=cw\z), z=x+iy, w= p+iy/, где р и ц/ - относительные потенциал скорости и функция тока. Будем считать, что на дне ці = О при y=-h. Обозначим значение относительной функции тока на свободной поверхности (оно постоянно вдоль поверхности) d, d-Qlc, Q - расход через каждую вертикаль. Тогда получим кинематическое граничное условие на свободной поверхности у/ = d при у=г](х). Динамическое условие получается с помощью интеграла Бернулли-Коши и имеет вид (и +v )/2+g (х) = Р при у= tj(x); здесь Р - постоянная величина, требующая определения. В отсутствие волн d = h. Присутствие волн нарушает это равенство. Величину d назовем динамической глубиной. Следуя второму методу Стокса область течения с помощью относительного комплексного потенциала скорости конформно отображается на полосу (в случае жидкости конечной глубины) или полуплоскость (в случае бесконечной глубины); в случае жидкости конечной глубины образом этого отображения будет полоса 0 y/ d. Тогда задача сводится к определению непрерывной функции rj( p) и гармонической функции у=у((р,у/), удовлетворяющих следующим граничным условиям (они являются следствием кинематического и динамического условий на свободной поверхности): 2.2. Линейные поверхностные волны Получим решение задачи в линейном приближении. В этом приближении d = h, поэтому кинематическое условие на свободной поверхности (2.1.2) принимает вид: у{ р,И)=ц{(р). (2.2.1) Линеаризации требует только динамическое условие (2.1.3). Пренебрегая там членами 2-го порядка малости и учитывая, что у1«1, получаем: здесь c0 - фазовая скорость линейных волн. Таким образом, исходная задача в линейном приближении сводится к решению уравнения Лапласа для функции у((р,у), удовлетворяющего условиям (2.2.1) и (2.2.2). Будем искать это решение в виде синусоидальной волны (с симметричным профилем относительно точки р = 0). Тогда Представление для y((p,y/) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию на дне (2.1.1). Осталось удовлетворить условиям на верхней границе. После подстановки равенств (2.2.2) в левую часть уравнения (2.2.1) получаем:
Анализ последовательных приближений и нелинейного диспер сионного соотношения для поверхностных волн
На рисунке 2.7.3 показан график отношения глубины жидкости к динамической глубине в зависимости от волнового числа (снова по результатам расчетов 3-го, 5-го и 7-го приближений); здесь нижняя кривая соответствует 3-му приближению, средняя и верхняя - соответственно 5-му и 7-ому приближениям. Из графика видно, что динамическая глубина меньше глубины жидкости. На рисунке 2.7.4 изображены графики линейного и нелинейного дисперсионных соотношений (графики нелинейного дисперсионного соотношения построены по результатам расчетов 3-го, 5-го и 7-го приближений). Они показывают, что скорость нелинейных волн больше скорости линейных и в длинноволновом и коротковолновом диапазонах она возрастает. Здесь также достигнута достаточная степень точности. На рисунке 2.7.5(a) изображены профили линейных и нелинейных волн; профиль нелинейной волны рассчитан с точностью до пятой гармоники. На рисунке 2.7.5 (Ь) для сравнения изображены те же профили и профили нелинейных волн, рассчитанных с промежуточной точностью до третьей и четвертой гармоник. Видно, что с ростом амплитуды гребень волны заостряется, т.е. волна близка к волне предельной амплитуды. В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения. 3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины В первом параграфе дана физическая постановка задачи: пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью с. Ставится цель в рамках эйлерова подхода изучить случай двумерных волновых движений жидкости конечной глубины и линейного профиля средней скорости. При выполнении второго условия становится возможным, как и в отсутствие среднего течения (то есть в задаче Стокса), существование безвихревых волновых движений.
Для математической постановки задачи требуется предварительный анализ. С этой целью во втором параграфе уравнения идеальной жидкости и граничные условия преобразуются в уравнения и граничные условия для стационарных волн на сдвиговом течении. Рассматривается горизонтальное течение идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины h с линейным профилем среднего течения, її = bу, v = О, b = const. Здесь b - градиент средней скорости. Используется прямоугольная система координат (х, у), где ось х совмещена со средним горизонтальным уровнем, а ось у направлена вертикально вверх. Горизонтальную и вертикальную компоненты скорости частиц жидкости обозначим ип=й + и и v, где и и v - значения этих компонент, обусловленные волновым движением. Давление, плотность и профиль свободной поверхности обозначим рп, р и r\. Выбор горизонтальной оси ведет к условию нулевого среднего для профиля волны Ш) = о. Уравнения Эйлера динамики идеальной несжимаемой однородной жидкости, дополненные условием потенциальности волнового движения, будут иметь вид В случае стационарных нелинейных волн, распространяющихся по горизонтали, зависимости компонент скорости волновых движений частиц жидкости, гидродинамического давления и профиля от х и / выражаются единой комбинацией x-ct, где с - скорость волны, т.е. Рп = SPy + Р(х - ct, у), TJ = TJ(X- ct) (в выражении для полного давления первое слагаемое описывает гидростатическую составляющую, а второе - гидродинамическую). После подстановки этих выражений в уравнения Эйлера (3.2.1) - (3.2.3) и граничные условия на свободной поверхности (3.2.4) и на дне (3.2.5) получаем Здесь можно считать, что и = и(х,у), v = v(x,y), р = р(х,у), Т] = т](х), то есть выполнено переобозначение x — ct— x. Индекс s указывает, что берутся значения на свободной поверхности; например, и = u(x,rj(x)), Vs =v(x,J](x)), р" = р(х,?](х)). Это условие далее будет использоваться. Будут рассматриваться периодические стационарные волны с длиной волны L-lnlk. Тогда уравнения (3.2.6) - (3.2.8) и граничные условия (3.2.9), (3.2.10) следует дополнить условиями периодичности Совпадение горизонтальной оси хс средним уровнем означает, что для профиля волны должно выполняться условие нулевого среднего (используется стандартное осреднение по длине волны). Средние значения волновых составляющих компонент скорости частиц жидкости также должны быть нулевыми (по смыслу средней скорости течения), Для решения рассматриваемой задачи удобно гидродинамические характеристики выразить через функцию тока волновых движений у/ = у/{х,у), которая определяется равенствами Тогда уравнение несжимаемости (3.2.7) удовлетворяется автоматически, а условие потенциальности (3.2.8) волнового движения сводится к уравнению Лапласа. которое заменяет уравнения Эйлера. Его нужно дополнить граничными условиями, выраженными через у/. Граничное условие непротекания на дне, выраженное через относительную функцию тока, становится таким Сложней с граничными условиями (3.2.9) и (3.2.10) на свободной поверхности у = т]{х). Их можно преобразовать в граничные условия для функции тока, если воспользоваться первыми интегралами. Вывод первых интегралов дается в следующем параграфе. 3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном приближении В этом параграфе приведены первые интегралы рассматриваемой задачи. Предлагаемая методика решения задачи о стационарных волнах на сдвиговом течении использует два таких интеграла: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной, и обобщение интеграла Бернулли - Коши, который имеет следующий вид: Предлагаемая методика решения поставленной задачи использует два закона сохранения: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной и обобщение интеграла Бернулли - Коши. Оба закона сохранения известны, но для полноты изложения здесь будет дан их вывод заново. Начнем с первого закона сохранения. Выражение для полной функции тока на свободной поверхности в движущейся (вместе со стационарными волнами) системе координат имеет вид
Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины
В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения. 3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины В первом параграфе дана физическая постановка задачи: пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью с. Ставится цель в рамках эйлерова подхода изучить случай двумерных волновых движений жидкости конечной глубины и линейного профиля средней скорости. При выполнении второго условия становится возможным, как и в отсутствие среднего течения (то есть в задаче Стокса), существование безвихревых волновых движений. Для математической постановки задачи требуется предварительный анализ. С этой целью во втором параграфе уравнения идеальной жидкости и граничные условия преобразуются в уравнения и граничные условия для стационарных волн на сдвиговом течении. Рассматривается горизонтальное течение идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины h с линейным профилем среднего течения, її = bу, v = О, b = const. Здесь b - градиент средней скорости. Используется прямоугольная система координат (х, у), где ось х совмещена со средним горизонтальным уровнем, а ось у направлена вертикально вверх. Горизонтальную и вертикальную компоненты скорости частиц жидкости обозначим ип=й + и и v, где и и v - значения этих компонент, обусловленные волновым движением. Давление, плотность и профиль свободной поверхности обозначим рп, р и r\. Выбор горизонтальной оси ведет к условию нулевого среднего для профиля волны Ш) = о. Уравнения Эйлера динамики идеальной несжимаемой однородной жидкости, дополненные условием потенциальности волнового движения, будут иметь вид На свободной поверхности у = rj(x) имеют место два граничных условия: Здесь и далее индекс s указывает, что берутся значения на свободной поверхности; например, pi = рп (х, г/(х), t).
Граничным условием на дне служит условие непротекания В случае стационарных нелинейных волн, распространяющихся по горизонтали, зависимости компонент скорости волновых движений частиц жидкости, гидродинамического давления и профиля от х и / выражаются единой комбинацией x-ct, где с - скорость волны, т.е. Рп = SPy + Р(х - ct, у), TJ = TJ(X- ct) (в выражении для полного давления первое слагаемое описывает гидростатическую составляющую, а второе - гидродинамическую). После подстановки этих выражений в уравнения Эйлера (3.2.1) - (3.2.3) и граничные условия на свободной поверхности (3.2.4) и на дне (3.2.5) получаем Здесь можно считать, что и = и(х,у), v = v(x,y), р = р(х,у), Т] = т](х), то есть выполнено переобозначение x — ct— x. Индекс s указывает, что берутся значения на свободной поверхности; например, и = u(x,rj(x)), Vs =v(x,J](x)), р" = р(х,?](х)). Это условие далее будет использоваться. Будут рассматриваться периодические стационарные волны с длиной волны L-lnlk. Тогда уравнения (3.2.6) - (3.2.8) и граничные условия (3.2.9), (3.2.10) следует дополнить условиями периодичности Совпадение горизонтальной оси хс средним уровнем означает, что для профиля волны должно выполняться условие нулевого среднего (используется стандартное осреднение по длине волны). Средние значения волновых составляющих компонент скорости частиц жидкости также должны быть нулевыми (по смыслу средней скорости течения), Для решения рассматриваемой задачи удобно гидродинамические характеристики выразить через функцию тока волновых движений у/ = у/{х,у), которая определяется равенствами Тогда уравнение несжимаемости (3.2.7) удовлетворяется автоматически, а условие потенциальности (3.2.8) волнового движения сводится к уравнению Лапласа. 72 которое заменяет уравнения Эйлера. Его нужно дополнить граничными условиями, выраженными через у/. Граничное условие непротекания на дне, выраженное через относительную функцию тока, становится таким Сложней с граничными условиями (3.2.9) и (3.2.10) на свободной поверхности у = т]{х). Их можно преобразовать в граничные условия для функции тока, если воспользоваться первыми интегралами. Вывод первых интегралов дается в следующем параграфе. 3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном приближении В этом параграфе приведены первые интегралы рассматриваемой задачи.
Предлагаемая методика решения задачи о стационарных волнах на сдвиговом течении использует два таких интеграла: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной, и обобщение интеграла Бернулли - Коши, который имеет следующий вид: Предлагаемая методика решения поставленной задачи использует два закона сохранения: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной и обобщение интеграла Бернулли - Коши. Оба закона сохранения известны, но для полноты изложения здесь будет дан их вывод заново. Начнем с первого закона сохранения. Выражение для полной функции тока на свободной поверхности в движущейся (вместе со стационарными волнами) системе координат имеет вид Дифференцируя его по х (при этом учитываются равенство уу" = ц/(х,г/(х)) и правила дифференцирования сложной функции) и используя равенства (3.2.15) и граничное условие (3.2.9), получаем откуда W = const, то есть величина (3.3.1) имеет постоянное значение на свободной поверхности. Значение 4у на свободной поверхности обозначим Q; тогда будем иметь Покажем теперь, что величина принимает постоянное значение в каждой точке жидкости. Для этого вычислим ее градиент, пользуясь уравнениями Эйлера (3.2.6) для стационарных волн, условием потенциальности (3.2.8) и выражениями (3.2.15) для компонент скорости через относительную функцию тока. Для компонент градиента будем иметь Итак, доказана справедливость равенств отсюда следует, что Р имеет одинаковые значения во всех точках жидкости, в том числе всюду на свободной поверхности. Отметим, что в отсутствии сдвигового течения (когда b = 0) интеграл (3.3.3) переходит в хорошо известный интеграл Бернулли С учетом динамического граничного условия (3.2.10) на свободной поверхности и равенств (3.2.15) из (3.3.3) получим где сделано переобозначение Р/ р- Р. Получим решение задачи в линейном приближении: Последнее соотношение является уравнением для фазовой скорости линейных синусоидальных волн. Оно имеет два разных действительных корня: первый из которых положительный, а второй отрицательный. Им соответствуют две синусоидальные волны, бегущие вниз и вверх по потоку. Отметим, что в длинноволновом приближении, kh «1, С ростом к модули обоих значений скорости монотонно убывают до 0. Графики их зависимости от к изображены на рисунке 3.2.1. Решение линейной задачи будет служить основой выбора разложений характеристик нелинейных стационарных волн в виде рядов по степеням амплитуды основной гармоники ( 3.6).
