Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Движение дисперсного элемента в вязкоупругой среде Максвелла 10
1.1. Введение 10
1.2. Постановка задачи 12
1.3. Преобразование координат 13
1.4. Решение 14
1.5. Результат действия монотонных массовых сил 21
1.6. Результат действия периодических массовых сил 24
ГЛАВА 2. Заполнение сферической полости в среде Максвелла 29
2.1. Постановка задачи 29
2.2. Решение. Переход к дифференциальному уравнению 32
2.3. Численное и асимптотическое решение 37
ГЛАВА 3. Заполнение сферической полости в среде кельвина-фойгта 42
3.1. Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности 42
3.2. Учет капиллярных сил 50
ГЛАВА 4. Течение жидкости бингама в круглой трубе с водяной смазкой 54
4.1. Введение 54
4.2. Постановка задачи 56
4.3. Решение. Анализ результатов 58
4.4. Движение капли под действием сил плавучести 62
Заключение 66
Литература
- Преобразование координат
- Решение. Переход к дифференциальному уравнению
- Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности
- Решение. Анализ результатов
Введение к работе
Актуальность работы.
С развитием высоких технологий, медицины, добывающей и химической индустрии широкое внедрение в практику получили различные реологически сложные материалы - полимерные растворы и расплавы, эмульсии, суспензии. Описание и анализ соответствующих процессов и явлений, таких как движение высокопарафинистой и смолистой нефти, седиментация взвесей, биофизические процессы в живых клетках, дегазация растворов и расплавов полимеров, произодство химических волокон, нанесение покрытий, требуют привлечения математических моделей соответствующей сложности, учитывающих индивидуальные реологические особенности и имеющих существенные отличия от классических ньютоновских жидкостей. Использование материалов и жидкостей в условиях, при которых в них присутствуют полости, твердые частицы, капли различных сред приводит к необходимости исследования вопросов движения дисперсных элементов в жидкой матрице с неньютоновскими свойствами.
В работе не рассматриваются задачи воздействия взрывных нагрузок на вязкоупругие среды, распространение звуковых волн в них и т.д. Область применимости - это медленно меняющиеся нагрузки, слабые силовые поля, состояния, близкие к равновесным. Это позволяет не учитывать вязкую диссипацию энергии и ограничиться случаем изотермических течений в несжимаемых средах.
Работа относится к актуальному направлению гидродинамики -изучение движения вязкоупругих сред со свободными границами.
Целью выполненных исследований является теоретическое исследование сложных по своей природе вязкоупругих и вязкопластических сред на примерах сред Максвелла, Кельвина-Фойгта и Бингама, выявления новых закономерностей, явлений и свойств, возникающих в известных задачах движения дисперсных элементов, полостей, но в более сложных, чем ньютоновских, и малоизученных средах.
Научная новизна работы заключается в том, что автором впервые решены задачи нестационарного движения капель в вязкоупругих средах под действием монотонных и периодических массовых сил; задачи о схлопывании полости в вязкоупругих средах; получено точное решение задачи о стационарном течении двухфазной системы «жидкость Бингама -ньютоновская жидкость» в круглой трубе.
Достоверность результатов исследований подтверждается точностью применяемых методов, сравнением аналитических решений и численных расчетов, а также согласованием результатов в предельных случаях с известными ранее соотношениями для ньютоновских жидкостей.
Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы для расчета динамики дисперсных элементов и процесса схлопывания полостей в вязкоупругих средах. Результаты найдут применение при интерпретации экспериментов по движению двухфазных систем в условиях микрогравитации. В некоторых случаях их можно использовать для оптимизации транспортировки нефти по трубам.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на разделы, заключения и списка литературы. Нумерация
формул в работе выполнена раздельно для каждой главы и остается сквозная внутри каждой главы. Список литературы составлен по алфавиту - русскому и английскому, отдельно.
В первой главе диссертации рассматривается нестационарное движение дисперсного элемента (капли) в вязкоупругой среде Максвелла, возникающее из состояния покоя в результате действия монотонных и периодических сил. На начальном отрезке времени движение капли определяется главным образом силами упругостями, в дальнейшем доминируют силы вязкости; капля также является вязкоупругим материалом. Осуществляется переход к неинерциальнои системе координат, связанной с движением центра капли; относительно полученного преобразования уравнения движения инвариантны. В первом приближении, путем выделения малого параметра, ищется аналитическое решение задачи со сферической границей раздела. Задача решается с помощью преобразования Лапласа. В итоге строится интегро-дифференциальное уравнение для скорости перемещения центра масс капли. Осуществляется предельный переход по плотности и вязкости внутренней среды и строится точное решение задачи для твердого шарика и пузырька газа путем обратного преобразования с помощью теории вычетов. Рассматривается два случая массовой силы: монотонная и периодическая. В случае периодического воздействия на систему проводится анализ зависимости амплитуды скорости капли и сдвига фазы колебаний от времени релаксации внешней и внутренней сред, а также от частоты колебаний вынуждающей силы.
Во второй главе формулируется задача о заполнении сферической полости в среде Максвелла. Строится дифференциальное уравнение движения границы полости и находится его численное решение. Устанавливается существование трех различных режимов поведения
границы. Ищется асимптотика решения задачи в установленных случаях. Проводится анализ поведения границы полости от определяющих параметров движения: числа Рейнольдса, времени релаксации и начального ускорения.
В третьей главе рассматривается математическое моделирование и решение задачи схлопывания сферической полости в упруговязкой среде Кельвина-Фойгта под действием постоянного давления на бесконечности. Учитывается конечность деформаций. Формируется дифференциальное уравнение движения границы полости и находится его численное решение. Устанавливается существование различных режимов поведения границы и строится карта данных режимов на плоскости определяющих параметров. Ищется асимптотика решения задачи во всех установленных случаях. Во втором разделе главы строится решение задачи с учетом капиллярных сил.
Четвертая глава диссертации посвящена задаче о стационарном движении жидкости Бингама в круглой трубе с водяной смазкой. Задачи о течении жидкости Бингама - всегда задачи со свободной границей, отделяющей «жесткую» и «жидкую» зоны. В главе определяется граница «жесткой» зоны, где жидкость движется как твердое тело. Строится точное решение и показывается существование определенного слоя воды, при котором расход жидкости Бингама существенно возрастает. Этот результат имеет практический интерес.
В финальном разделе четвертой главы приближенно строится картина поверхности текучести, возникающей при движении сферического элемента в среде Бингама.
В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.
Публикации и апробация работы.
В научных рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК, по теме диссертации опубликованы две печатные работы [42]-[43], одна принята в печать [44]. Результаты работы докладывались автором на международных и всероссийских конференциях и семинарах.
Конференции:
Международная научная конференция «Нелинейные уравнения в частных производных» (NPDE-2007), Ялта, Украина, сентябрь, 2007;
Международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, апрель, 2007;
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Московский государственный университет, Москва, апрель, 2006;
Международная конференция «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвящена 70-летию профессора В.И. Юдовича, Ростов-на-Дону, октябрь, 2004;
Международная Научная Студенческая Конференция, Новосибирский государственный университет, Новосибирск, апрель, 2003,2004,2005.
Семинары:
Научный семинар ТФ ИТПМ СО РАН, рук. профессор А.А.Губайдуллин, Тюмень, сентябрь, 2007;
Совместный семинар Отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН и Кафедры гидродинамики Новосибирского государственного университета. Рук-ли: чл.-корр. РАН В.В Пухначев, чл.-корр. РАН В.М.Тешуков. Новосибирск, июнь, 2007;
«Нестационарные задачи механики и физики», рук. чл.-корр. РАН Ю.В.Петров, Институт Проблем Машиноведения РАН, Санкт-Петербург, апрель 2007;
Семинар кафедры математического моделирования ТюмГУ, рук-ли: профессор В. О. Бытев, профессор В. Н. Кутрунов; Тюменский государственный университет, Тюмень, март, 2007;
Семинар Отдела прикладной гидродинамики, рук. чл.-корр. РАН В.В.Пухначев, Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, июнь, 2005.
В заключение автор искренне благодарит чл.-корр. РАН В.В.Пухначева за постановку задач, полезные консультации и большое внимание к работе; д.ф.-м.н. СВ. Стебновского за ценные замечания и советы; профессора В.В. Шелухина за постановку задачи о течении жидкости Бингама и интерес к работе; профессора В.О.Бытева за важные рекомендации; Осипову Н.Г. и Лубкину И.Ю. за вдохновение, поддержку и терпение.
Преобразование координат
Движению жидких капель, твердых частиц и пузырьков газа в вязкой несжимаемой жидкости посвящено множество работ. Достаточно широко изучено поведение капель и пузырьков под действием термокапилярных, архимедовых, периодических сил, (см., например, [3], [28], [6]-[8], [31], [36]). Представляет интерес поведение капель в других, неньютоновских средах. В [12] проведен численный анализ нелинейных колебаний пузырьков в жидкостях Олдройда, Джеффри, Ривлина-Эриксена. Отдельные вопросы динамики пузырьков в реологически сложных, полимерных жидкостях рассмотрены в [1], [13], [32]-[34], [37]-[41]. В монографии [25] дано описание практического применения подобных задач.
В настоящей главе рассматривается движение капли, а также пузырька и твердого шарика в несжимаемой вязкоупругои среде Максвелла. Математически максвелловская модель определяется уравнением состояния вида [4]: dP т—+P = -pI + 2juD, dt dP dP где P - тензор напряжений, — = — + P-W + (P-W)T - вращательная dt dt производная Яуманна, обеспечивающая инвариантность уравнений движения относительно вращений, D - тензор скоростей деформации, р давление, W = — (Vv-Vvr). Здесь существенную роль играет величина времени релаксации г, которая определяет свойства среды. В зависимости от соотношения времени релаксации и продолжительности эксперимента или действия нагрузок, среда Максвелла проявляет как свойства упругого тела, так и ньютоновской жидкости. Если продолжительность эксперимента достаточно мала (t« г), то в большей степени проявляются упругие свойства, и тело Максвелла ведет себя как твердое тело Гука; если продолжительность очень велика (/» г), то преобладают вязкие силы, и материал представляет собой ньютоновскую жидкость.
Это свойство среды Максвелла позволяет использовать данную модель для изучения удивительных явлений, подобных тем, что наблюдал СВ. Стебновский. Им были проведены экспериментальные исследования поведения двух сферических дисперсных элементов (капель в маловязкой жидкой матрице, твердых частиц в высоковязкой жидкой матрице, воздушных пор в вязко-упругом теле) [21], [23]. Установлено, что два или более дисперсных элемента в случае их полной изоляции от внешних силовых, а также градиентных температурных и концентрационных полей, находясь на расстоянии порядка их размеров, взаимно притягиваются до полного контакта (коагулируют). В опытах [20] и [22] показано, что при очень слабых сдвиговых напряжениях i" Р\ полярные жидкости ведут себя как упругое тело с некоторым пределом текучести Р\, а при Р \ F, переходят в режим текучести. Таким образом, вначале среда ведет себя как упругое тело, а затем переходит в состояние тела Максвелла. С учетом этого можно сформулировать следующую задачу. В вязкоупругой среде Максвелла помещен сферический дисперсный элемент, на который действует некоторая массовая сила. Цель задачи - определить поле скоростей и давлений.
Заметим, что в общем случае вязкость является величиной переменной для жидкости. А поскольку время релаксации г равно отношению /JJG, где G - динамический модуль сдвига, то и оно изменяется во времени. Таким образом, эти характеристики среды могут принимать различные значения. Но при достаточно малой скорости деформации данные параметры практически не изменяются и их можно считать константами.
С течением времени напряжение сдвига релаксирует, и модель Максвелла начинает описывать обычную ньютоновскую жидкость. Чтобы этого не происходило, для изучения свойств максвелловскои среды целесообразно рассмотреть другой, не монотонный вид сил, вызывающих движение. В связи с этим в разделе 1.5 представлено решение задачи о движении капли максвелловскои жидкости в вязкоупругои среде под действием периодических сил. Необходимым условием является сопоставимость времени релаксации среды и периода колебаний. Для многих вязкоупругих тел г лежит в пределах 10 3 -КГ1 с, поэтому частота колебаний в этом случае должна быть порядка 10 -103 Гц. Малая же частота колебаний не позволит обнаружить сдвиговую упругость, и уравнение состояния будет лишь перегружено чисто математически.
Решение. Переход к дифференциальному уравнению
Задачи о схлопывании пузырьков в жидких средах изучались различными исследователями. Одним из первых заполнение сферической полости в невязкой несжимаемой жидкости рассмотрел Рэлей. Он получил, что направленная к центру скорость ее поверхности в конце заполнения неограниченно растет как r i/2, т.е. происходит неограниченная кумуляция энергии [19]. Это явление считается возможной причиной быстрого износа гребневых винтов и турбин, работающих в условиях кавитации: схлопывание пузырьков на металлической поверхности может интенсивно ее разрушать.
Впоследствии Порицкий, Чу в работах [33], [35] рассматривали задачу Рэлея для вязкой жидкости (результаты их исследований также можно найти в книге [16]). Они показали, что существуют два режима заполнения полости в зависимости от ее начального радиуса: при радиусе меньше критического заполнение происходит за неограниченное время, кумуляция энергии полностью устраняется вязкостью; при достаточно большом начальном радиусе полость схлопывается быстро с неограниченной кумуляцией энергии на стадии фокусировки. Наиболее элегантно и не зависимо от других исследователей решение проблемы о заполнении полости в вязкой жидкости представил Забабахин [11], благодаря чему нередко данную задачу называют «задачей Забабахина».
В дальнейшем Андреев и Гальперин исследовали поведение пузырьков в вязкой жидкости с учетом капиллярных сил, что привело к несколько иному результату, чем у предшественников, а именно: если начальный радиус пузырька достаточно мал (меньше критического), то скорость заполнения уменьшается, но не до нуля, и заполнение достигается за конечное время [2].
Кроме упомянутых авторов, задачи о заполнении пузырьков в различных постановках рассматривались другими авторами. Диффузионное растворение пузырьков в релаксирующей среде рассматривались в работах [40]-[41], диффузионный рост - в [38] - [39]. В работах [1], [12], [32], [34], [37] проведен численный анализ схлопывания пустой каверны и нелинейных колебаний пузырьков в жидкостях Олдройда, Ривлина-Эриксена, Джеффри и жидкости с ретардацией скорости деформации.
Представляет интерес поведение границы пузырьков при наличии сил упругости. В данной главе рассматривается заполнение сферической полости в вязкоупругой среде Максвелла под действием постоянного давления на бесконечности.
Напомним, что уравнение состояния для среды Максвелла записывается с помощью вращательной производной Яуманна [4]:
В задаче о заполнении полости благодаря сферической симметрии W = 0, поэтому здесь яуманновская производная совпадает с обычной конвективной производной.
Решение уравнения (2.28) с начальными данными (2.29) строится численно методом Рунге-Кутта. В результате, в задаче о схлопывании полости в среде Максвелла определяется 3 различных режима заполнения:
1. Монотонное уменьшение радиуса полости до нуля за конечное время с ростом скорости движения границы до бесконечности;
2. Немонотонное схождение полости в точку за конечное время с ростом скорости до бесконечности;
3. Немонотонное схождение полости в точку за бесконечное время с затуханием колебаний границы с убыванием скорости до нуля.
Важно отметить, что «точка покоя» в уравнении (2.28) всегда одна, .s = 0. Первый режим, указанный выше, по существу рэлеевский [19]. Колебания, возникающие в режимах 2 и 3 за счет сил упругости, продолжаются конечное время, а финальные асимптотики дают монотонное изменение радиуса полости.
Ниже представлены графики поведения границы полости и ее скорости для различных значений безразмерного времени релаксации Т и начальных данных (Рис.2.1-Рис.2.6). Видно, что в случае конечного времени схлопывания увеличение времени релаксации среды Максвелла стимулирует более быстрое стягивание полости в точку (Рис. 2.1 -Рис.2.2).
Значительное влияние на конечность времени схлопывания оказывает начальное ускорение полости. Большое в абсолютном выражении ускорение наделяет границу полости достаточной кинетической энергией для преодоления сил вязкости и упругости и способствует стягиванию полости в точку (Рис. 2.3 - Рис.2.4).
Заполнение сферической полости под действием постоянного давления на бесконечности
Устремляя г к бесконечности и используя предельное значение Q = -p0, г- оо, из равенства (3.10) получим нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка на функцию s(t) с известными начальными данными:
Данное уравнение решается численно. Для удобства проведем обезразмеривание переменных, введя в качестве масштабов длины и IР I Рп скорости выражения v I— и I1-1- соответственно. В результате \Ро \ Р уравнение (3.11) и начальные условия (3.12) примут вид: Re 3.13) 2 s решения задачи от параметров приведены ниже (Рисунки 3.2-3.7, N = 0). Представлено поведение границы полости в зависимости от времени, а также зависимость скорости границы от ее положения.
Из графиков видно, что существует несколько режимов поведения границы полости: 1. Схождение в точку; 2. Монотонное уменьшение радиуса до положительного значения; 3. Немонотонное уменьшение радиуса до положительного значения. В первом случае скорость схлопывания растет до бесконечности; во втором и третьем - убывает до нуля. На рисунке 3.1 приведена карта соответствующих режимов на плоскости М, Re с выделением областей.
В случае, когда полость сходится в точку, можно построить асимптотику решения уравнения (14) вблизи момента схлопывания. Для этого выделим главные члены, используя соотношение s(t) = A(t.)". Получим уравнение для определения коэффициентов:
Положим, показатель « = 1/2, откуда следует биквадратное уравнение АА -16 2-8MRe2 =0. Поскольку J(0 0, то будем иметь два корня: , из которых требуемым является корень с неотрицательным дискриминантом. В результате, искомая асимптотика поведения границы в момент схлопывания полости может быть представлена выражением: s(t) = \p + (64 + HMRe2Y2](t.)U2, t- t.. (3.15) Соответственно, скорость схлопывания ведет себя как i(0 = --(8 + (64 + 8MRe2) j 2(f.-/)""2, /- /., или u(s)=--(p + (64 + $MRe2Y2)-, 5- 0. (3.16) При переходе к пределу «по упругости» М-»0, будем иметь о u(s) = —,s- 0, что согласуется с результатом в задаче Забабахина о s схлопывании полости в вязкой жидкости [11]. Во втором и третьем случаях, когда силы упругости достаточно велики и препятствуют схлопыванию полости, предельное значение границы полости t/может быть определено из уравнения (3.13). Учитывая, что скорость и ускорение движения границы стремятся к нулю (s(0- d, i(/) — 0, (/)- 0), для определения константы d получаем уравнение, действительный корень которого дает точное значение d:
Очевидно, если корни различные вещественные, то они одного знака. В этом случае особая точка - узел. Это соответствует случаю № 2. Отметим, что автоматически сюда попадает случай для вязкой жидкости, когда М= 0. Сюда же можно отнести случай, когда корни равные, при этом особой точкой будет вырожденный узел. При мнимых корнях, очевидно, присутствует действительная часть, поэтому в этом случае особая точка -фокус, что соответствует случаю № 3.
Решение строится с помощью численного интегрирования. Учет капиллярных сил приводит к результатам, аналогичным рассмотренным выше. В отличие от результата Гальперина, описанного в работе [2], в случае малого начального радиуса капиллярные силы не устремляют скорость движения границы полости до конечного ненулевого значения и не приводят к схлопыванию полости за конечное время. Режим, обнаруженный Гальпериным, при учете сил упругости вписывается в режим номер два, описанный выше в настоящей работе: скорость уменьшается до нуля при стремлении радиуса полости к положительному значению. Влияние капиллярных сил проявляется в том, что они стремятся стянуть полость быстрее, чем это происходит только лишь благодаря давлению на бесконечности в случае отсутствия капиллярности (Рис. 3.2-3.7). Но в процессе схлопывания, при достаточно большом начальном радиусе, силы упругости начинают преобладать и с некоторого момента могут препятствовать полному стягиванию полости в точку, стабилизируя ее радиус на определенном уровне (режим 2).
Асимптотическое поведение границы полости в среде Кельвина-Фойгта в момент схлопывания при наличии капиллярных сил совпадает с асимптотикой движения границы без их учета, что легко проверяется подстановкой соотношения s(t) - A(t, )" в уравнение (3.21). В случаях, когда силы упругости велики и препятствуют полному схлопыванию полости, предельное значение границы с определяется из уравнения (3.21).
Решение. Анализ результатов
В предыдущих главах было показано, что модель тела Максвелла позволяет обнаружить эффект воздействия упругих свойств среды, что очень важно с точки зрения описания многих явлений и процессов, наблюдаемых в действительности. В 4 главе предлагается к рассмотрению модель вязко-пластической среды Бингама, которая характеризуется наличием сдвиговой прочности, благодаря чему в среде, или жидкости, Бингама могут существовать зоны, движущиеся как твердое тело. Таким образом, задачи о движении жидкости Бингама - это всегда задачи со свободными границами, т.е. поверхностями, отделяющими «жидкие» и «твердые» области.
Работа, представленная в настоящей главе, родилась на стыке двух задач. Первая - это изучение сложной по своей природе жидкости Бингама, вторая - поиск пути увеличения расхода нефти при транспортировке ее по трубам при фиксированном перепаде давлений.
Первичные представления о модели жестко-вязко-пластической среды связаны с исследованиями Шведова и Бингама. Выводы, заключенные ими независимо друг от друга в ходе экспериментов, свидетельствовали, что коллоидные дисперсии обладают свойствами не только вязкой жидкости, но и упруго-пластического тела. В последствии подобные среды стали называть жидкостями Бингама.
Для многих сортов нефти характерны такие же свойства. Часто нефть содержит примеси глины, песка, серы и других веществ, которые, взаимодействуя друг с другом, образуют жестко-вязко-пластическую форму. При ее движении по трубам, особенно с малым перепадом давлений, вдоль оси трубы в области, где величина Р не превосходит критическое значение, образуется «жесткая» зона. Это напоминает механизм подшипников - перемещение твердого ядра со смазывающим материалом. Привлекая дополнительный слой жидкости с отличной вязкостью, можем влиять на величину расхода среды Бингама.
Основные трудности, возникающие при изучении таких задач, связаны с нахождением границы «жестких» зон.
Течения жестко-вязко-пластических жидкостей в трубах или между двумя параллельными пластинами рассматривались ранее в работах Мосолова и Мясникова [14], Огибалова и Мирзаджанзаде [15], Дюво и Лионса [9], Басова и Шелухина [26], [29], Петрова [17] и других. В книге [15] дано описание различных методов исследования задач вязко-пластичности, приводится единственное точное решение для нестационарного течения между двумя неподвижными пластинами. Петров А.Г. в статье [17] приводит четыре многопараметрических семейства точных решений для такой задачи. Мосолов и Мясников в монографии [14] предложили использование принципа виртуальных работ, который рассматривается как условие равенства нулю вариации некоторого функционала. Похожий подход был у Дюво и Лионса [9]. Они характеризовали течение жидкости Бингама внутри резервуара вариационным неравенством. В.В. Шелухин [26] переформулировал задачу и трактовал жидкость Бингама как тройку функций (\(t,x),p(t,x),P (t,x)), удовлетворяющих соответствующим уравнениям.
Он показал, что вектор-функция v из решения (v,p,F) является решением вариационного неравенства Дюво-Лионса. Описание жидкости Бингама в переменных напряжение-скорость было применено и ранее в работе [9] для одномерных течений сжимаемой жидкости Бингама. В настоящей главе построено точное решение задачи о стационарном течении жидкости Бингама в цилиндрической трубе с водяной смазкой. Полученная формула расхода жидкости Бингама показывает наличие оптимального режима транспортировки нефти, моделируемой жидкостью Бингама, при определенной толщине слоя воды.
Математически жидкость Бингама описывается уравнениями состояния вида P = -pI + F, причем девиаторная часть Р тензора напряжений Р определена только для ненулевых значений тензора Р\ скоростей деформации D: Р=2/Ю+—-D, Z) 0. В случае, когда D = О, F есть неизвестная величина, для которой верно соотношение \Р \ Р\. Здесь /л - динамический коэффициент вязкости, F, - предел текучести жидкости Бингама, / - единичный тензор, D 2= D: D = DvDg.
При нагружении среды таким образом, чтобы тангенциальная составляющая напряжений F превышала бы критическое значение Р., в окрестности действия силы образуется локальная зона пластической деформации. Если сила такова, что \Р\»Р\, то происходит полное разрушение структуры среды и получается состояние ньютоновской жидкости. При Р\ Р, жидкость ведет себя как твердое тело.
Поверхность, на которой выполнено тождество \Р\=Р,, является той свободной границей, которая выделяет «жесткую» область. В финальной части работы формулируется задача о движении капли под действием сил плавучести, поскольку с аналогичной задачи, но для жидкости Максвелла, была начата диссертация.
