Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы численного моделирования полета при гиперзвуковых скоростях 10
1.1. Обзор работ, посвященных численному исследованию полета гиперзвуковых летательных аппаратов 10
1.2. Интегрированные модели физических явлений 15
1.3. Выводы 20
Глава 2. Построение расчетных сеток 21
2.1. Генерация неструктурированных треугольных сеток 21
2.2. Параболический генератор сеток 24
2.3. Выводы 31
Глава 3. Расчет течений вязкого газа на неструктурированных сетках 32
3.1. Введение 32
3.2. Постановка задачи 33
3.3. Численный метод 35
3.4. Применение схемы AUSM для определения параметров распада разрыва 42
3.5. Алгоритмы и оптимизация 52
3.6. Результаты расчетов 56
3.7. Выводы 69
Глава 4. Расчет течений вязкого химически реагирующего газа в канале, моделирующем участок ГПВРД 71
4.1. Введение 71
4.2. Постановка задачи 72
4.3. Расчет химических реакций 77
4.4. Результаты расчетов течения химически реагирующего газа 79
4.5. Выводы 83
Глава 5. Расчет излучения в камере ГПВРД 85
5.1. Введение 85
5.2. Оптические свойства среды 86
5.3. Расчет в приближении плоского слоя 88
5.4. Расчет в диффузионном приближении 91
5.5. Выводы -3
Глава 6. Метод Монте-Карло для расчета переноса излучения 97
6.1. Введение 97
6.2. Тестовое решение задачи о переносе излучения в плоском светорассеивающем слое. Решение задачи Милна методом Крылова-Боголюбова 98
6.3. Тестовое решение задачи о переносе излучения в плоском светорассеивающем слое. Решение задачи методом Монте-Карло 101
6.4. Тестовое решение задачи о переносе излучения в плоском светорассеивающем излучающем слое 104
6.5. Алгоритм имитационного моделирования, основанный на локальной оценке направленной излучательной способности 105
6.6. Сравнение двух алгоритмов имитационного моделирования на примере расчета сигнатуры излучения струи продуктов сгорания 108
6.7. Выводы 111
Глава 7. Расчет констант скоростей диссоциации и времен колебательной релаксации двухатомных молекул 112
7.1. Введение 112
7.2. Постановка задачи 114
7.3. Описание алгоритма моделирования 115
7.4. Измерение параметров системы 120
7.5. Результаты моделирования 124
7.6. Подход, учитывающий квантовые уровни внутренней энергии частиц 131
7.7. Расчет статсуммы молекулярного газа 134
7.8. Выводы 137
Заключение 139
Литература
- Интегрированные модели физических явлений
- Параболический генератор сеток
- Результаты расчетов течения химически реагирующего газа
- Расчет в приближении плоского слоя
Введение к работе
Актуальность работы. Экспериментальные и теоретические исследования физико-химических процессов, протекающих при гиперзвуковом полете летательных аппаратов, приобретают все большую актуальность с развитием аэрокосмической техники. Однако, физические эксперименты в этой области отличаются высокой стоимостью и сопровождаются множеством технологических сложностей. Поэтому большую роль играет численное моделирование условий гиперзвукового полета [1, 2, 3] .
Полет летательного аппарата на гиперзвуковой скорости (М > 6)
сопровождается множеством процессов, не характерных для движения при более низких числах Маха. В качестве примера этих процессов можно особо отметить наличие химических реакций (прежде всего диссоциация), излучение нагретого газа, турбулентное смешение и горение. Наличие такого множества физико-химических процессов приводит к необходимости комплексного развития соответствующих вычислительных моделей физической механики.
Важной составной частью современных задач физической и химической механики является задача расчета констант скоростей кинетических процессов и времен их релаксации. Современные компьютерные алгоритмы позволяют не только моделировать поведение микросистем на атомном и молекулярном уровне, но и включать ряд моделей микроуровня в модели макроуровня. Появился и в настоящее время активно развивается новый тип моделей физической механики - интегрированные модели, то есть модели физических явлений, объединяющие в себе одновременную реализацию многоуровневых моделей. Разработка таких моделей и соответствующих численных методов является весьма актуальной в настоящее время [4].
Цель работы заключается в построении интегрированной модели ряда физико-химических процессов, протекающих при гиперзвуковом полете летательного аппарата и разработка вычислительных методов и компьютерных кодов для проведения численных экспериментов в рамках построенной модели.
Научная новизна работы:
С использованием подходов, предложенных в литературе, создан генератор расчетных сеток, основанный на решении уравнений параболического типа. Генератор позволяет строить структурированные сетки в автоматическом режиме во многих практически важных случаях.
Разработан принципиально новый расчетно-теоретический подход и создан компьютерный код ab-initio расчета констант скоростей диссоциации в высокотемпературных газовых смесях и времен колебательной релаксации двухатомных молекул, основанный на методе молекулярной динамики.
1 нумерация соответствует списку цитируемой литературы
Разработан новый имитационный алгоритм метода Монте-Карло, который реализован в компьютерном коде и использован для расчета спектральной излучательной способности объектов ракетно-космической техники.
Создана серия компьютерных кодов, предназначенных для численного моделирования двумерной аэродинамики гиперзвуковых летательных аппаратов на основе уравнений Навье-Стокса.
На основе построенной модели проведен расчет параметров газодинамики в канале модельного гиперзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ГПВРД). Получены и проанализированы плотности тепловых и радиационных потоков к стенкам двигателя.
Основными защищаемыми положениями и результатами являются:
Вариант метода конечного объема с применением схемы AUSM и алгоритм численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса для химически неравновесного газа.
Метод расчета констант скоростей диссоциации в высокотемпературных газовых смесях и времен колебательной релаксации двухатомных молекул, основанный на методе молекулярной динамики.
Алгоритм локальной выборки Монте-Карло для расчета спектральной излучательной способности объектов ракетно-космической техники.
Результаты численного исследования:
константы скоростей диссоциации и времен колебательной релаксации молекул кислорода и азота;
плотности тепловых и радиационных потоков к стенкам модельного ГПВРД.
Научная и практическая значимость. Построенная в работе модель и разработанные методы расчета могут быть использованы для численного моделирования гиперзвукового полета и, в частности, для расчета тепловых и радиационных потоков к стенкам ГПВРД и к поверхности летательного аппарата произвольной формы. Созданный при выполнении работы программный комплекс, ориентированный на неструктурированные сетки, позволяет решать целый ряд прикладных задач в автоматическом или полуавтоматическом режиме. Результаты исследования могут также использоваться при тестировании процедур численного счета в соответствующих задачах.
Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, осуществлялись в рамках проектов РФФИ №№ 07-01-00133, 09-08-92422, 10-01-00544, программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах, материалах и средах», программ фундаментальных исследований Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН «Физико-химическая механика неравновесных систем» и «Фундаментальные проблемы горения и детонации в энергоустановках».
Достоверность результатов диссертации подтверждается физической обоснованностью постановок задач и строгим аналитическим характером их рассмотрения с применением современных теоретических концепций и математических средств физической и химической механики, а также достаточно хорошим качественным и количественным соответствием полученных результатов известным экспериментальным данным и численным решениям, полученным с помощью других программных комплексов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных профильных научных конференциях и семинарах:
Всероссийская научно-техническую конференцию молодых ученых и специалистов «Проблемы создания перспективных авиационных двигателей», Москва, Центральный Институт Авиационного Моторостроения, 2005 г.;
Международный симпозиум по радиационной плазмо динамике, Москва, Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, 2006, 2009 гг.;
4-ая Курчатовская молодежная научная школа, Москва, Российский научный центр. Курчатовский институт, 2006 г.;
Школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем», Москва, Институт проблем механики РАН, 2007, 2008 гг.;
XVII школа-семинар молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева, Жуковский, Центральный аэрогидродинамический институт, 2009 г.;
Научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, Московский Физико-Технический Институт, 2004-2009 гг;
XVII European Conference on Dynamics of Molecular Systems, St. Petersburg, Russia, 2008;
3rd International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry, Heraklion, Greece, 2009;
38th AIAA Thermophysics Conference, Toronto, 6-9 June, 2005;
46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, 7-10 January, 2008.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа, в том числе 4 статьи в журналах из перечня Высшей аттестационной комиссии РФ. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 148 страниц, включая 80 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 95 наименований.
Интегрированные модели физических явлений
В предыдущем параграфе был перечислен далеко не полный список работ, посвященных численному исследованию гиперзвукового полета. Однако перечень проблем, стоящих перед исследователями, не ограничивается отдельными задачами, рассмотренными в указанных работах.
Развитие методов компьютерной физической механики приводит к необходимости формулировки принципиально новых подходов и методов решения задач фундаментальной физической механики и реализации моделей и программных кодов прикладной физической механики. Физическая механика -это область механики, основной целью которой является предсказание макросвойств, постулируемых и используемых феноменологической механикой, а также теоретическое описание поведения плазмы, газов, жидкостей и твердых тел в условиях их взаимодействия, равновесия и динамики на основе микроанализа структуры веществ. В равной степени это относится как к материалам, применяемым в повседневной практике, так и к материалам, находящимся в экстремальных условиях высоких температур и давлений, под воздействием сильных электрических и магнитных полей. В этом смысле физическая механика может рассматриваться как техническая наука, которая служит инженерной практике.
Опыт практических подходов прошедших столетий показывает, что для решения вопросов, связанных с инженерными проблемами,, широко использовались прежде всего экспериментальные методы. Этому было много причин, но две основные представляются очевидными: - определение свойств материалов экспериментальным путем оказалось более доступным и простым; - отсутствие теорий, объясняющих микроструктуру веществ, приводило к невозможности теоретического описания их макросвойств.
Однако в настоящее время перед наукой и, в частности, перед механикой все чаще встают проблемы объяснения и описания поведения веществ в условиях, когда постановка экспериментов оказывается чрезвычайно дорогостоящей или даже невозможной. Попытки решения таких задач показали, что объединение в единый комплекс таких сформировавшихся наук, как феноменологическая механика, статистическая механика и статистическая физика, квантовая и физическая химия, физическая и химическая кинетика, позволяют объяснить многие явления и эффекты, ранее остававшиеся вне -области понимания. Мощным толчком к формированию физической механики послужило интенсивное развитие вычислительной техники. Развитые методы вычислений, методы проведения вычислительных экспериментов, а также компьютерные технологии реализации физических моделей на современных персональных и многопроцессорных комплексах завершили формирование облика физической механики как науки, обосновывающей возможность использования достижений в описании микромира и для предсказания макросвойств вещества.
Такое определение физической механики делает указанную науку a priory незамкнутой. Неясны границы применимости указанных выше наук для целей физической механики. К тому же совокупность наук не может рассматриваться как линейная комбинация наборов знаний. Взаимопроникновение наук всегда рождает качественно новое знание.
Многие годы традиционной областью "высоких технологий" физической механики была физико-химическая и радиационная газовая динамика космических аппаратов, предназначенных для исследования планет Солнечной системы и, в особенности, возвращаемых на Землю. В последнее десятилетие стало вполне привычным определять физическую механику как многоуровневый подход к созданию замкнутых моделей феноменологической механики с использованием иерархии моделей физики и химии. Иными словами, многоуровневый подход - это использование различной степени подробности описания элементарных и коллективных процессов теоретическими моделями с целью создания замкнутой модели изучаемого явления. Составные элементы такого подхода следующие: - феноменологическая механика сплошной среды и термодинамика, - молекулярно-кинетическая теория и статистическая физика, - химическая и физическая кинетика, - квазиклассическая физика, - квантовая механика и квантовая физика.
Лишь несколько примеров многоуровневого подхода иллюстрирует его плодотворность: определение свойств переноса (вязкости, теплопроводности, коэффициентов диффузии) газов и жидкостей с использованием метода Энскога (и др. методов) на основе молекулярно-кинетической теории Больцмана; решение задач радиационной газовой динамики с использованием спектральных коэффициентов поглощения и излучения, рассчитанных на основе квантовой теории (квантовой механики и квантовой электродинамики); магнитная газовая динамика; турбулентность; прямое моделирование разреженных потоков методом Монте-Карло (DSMC).
Как уже отмечалось, принципиальную роль в развитии физической механики играет совершенствование вычислительной техники. Современные компьютерные алгоритмы позволяют не только моделировать поведение микросистем на атомном и молекулярном уровне, но и включать ряд моделей микроуровня в модели макроуровня. Появился и реализуется новый тип моделей физической механики - интегрированные модели. Интегрированная модель - это модель физического явления, объединяющая в себе одновременную реализацию многоуровневых моделей. Примером реализации интегрированных моделей может служить решение следующих задач
Параболический генератор сеток
Основная проблема, возникающая при решении газодинамических уравнений - это устойчивость численной схемы. Для того чтобы схема была устойчивой, она должна быть построена «против потока». То есть на этапе построения схемы необходимо определить, в каких направлениях каждая группа волн распространяется по расчетной сетке. Для этого необходимо иметь физическую модель взаимодействия расчетных ячеек. На данный момент существует две модели такого взаимодействия.
В первой модели взаимодействие осуществляется посредством дискретных волн, получаемых с помощью точного или приближенного решения задачи о распаде произвольного разрыва, заданного на границе между ячейками (задача Римана). К схемам такого типа относятся схемы Годунова [60], Ошера [33], Роу [36].
Во второй модели взаимодействие между ячейками осуществляется через группы частиц, перемещающихся между ячейками и имеющими заданное распределение скоростей. Численные методы для различения групп частиц, движущихся «вперед» и «назад», называются методами расщепления потока. К схемам такого типа относятся схемы Ван-Лира [43], Лио и Стефана [20]. Группа схем типа [20] получила название AUSM.
Как уже было отмечено, итерационная процедура, позволяющая получить «точное» решение задачи Римана является достаточно трудоемкой как с точки зрения вычислительных затрат, так и в плане технической реализации. В связи с этим, для расчета параметров на границе ячеек применялась вторая модель, в частности использовалась схема AUSM. Дополнительным преимуществом использования этой модели является возможность сравнительно просто построить неявную схему решения системы уравнений (3.2).
На данный момент разработано множество модификаций AUSM. Первоначально метод был предложен Лио и Стефаном [20] для расчета типичных аэродинамических задач и усовершенствован в работах [19,44] с целью повышения точности метода. Позже метод был обобщен на все скоростные режимы и на многофазные течения [18,6,5]. Также были предложены модификации этих обобщений [7,17]. В данной работе в качестве основного метода расщепления потоков использовался простой вариант, предложенный в [20]. В этом методе расщепление проводится отдельно по числу Маха (с аппроксимацией полиномом второго порядка) и давлению (с аппроксимацией полиномом третьего порядка). Также для сравнения проводились расчеты с использованием расщепления AUSM+ [19], в котором аппроксимация числа Маха осуществлялась полиномом четвертого, а давления - пятого порядка. Описание подхода A USM
Как отмечалось выше, для определения параметров на границе ячеек достаточно решить одномерную задачу Римана. Поэтому в качестве исходной задачи возьмем одномерные уравнения Эйлера: dw dF = 0, (3.6) dt дх где pu ,F = w = pu pu1 + p u(e + p) \e J Первым шагом на пути к построению схемы AUSM является отделение двух процессов, различных по своей физической сути: распространения конвективных и акустических волн: F = FC + FP, где ( ср Л (0 ери с(е + р) F = FC=M Здесь с - скорость звука, М - число Маха. Конвективный поток F выражен через конвективную скорость М и столбец «пассивных» величин. Акустический поток F9 содержит только одну величину - давление. Рассмотрим конвективный поток F. Обозначим индексом «L» величины внутри ячейки слева, индексом «R» величины внутри ячейки справа, а индексом «1/2» величины на границе этих ячеек. Конвективный поток на границе ячеек запишем в виде:
Основная идея подхода AUSM заключается в том, что все расщепление потоков производится за счет числа Мт, в то время как «пассивные» величины переносятся с той ячейки, откуда направлен поток: Л/2 /Л, мт о / Мт 0 Теперь вся задача состоит в том, чтобы правильно расщепить «конвективную скорость» Мт. Эта проблема является определяющей для развития всего семейства схем AUSM. Далее будем придерживаться логики схемы AUSM [20]. Число Мт будем расщеплять на вклад «слева» M+L и «справа» М : мш=/;+/-. (з.7) Будем искать функции f {M) и f (M), удовлетворяющие следующим критериям: 1а./;+/;=М; 2а./; 0и/; 0; За.функции //(Л/) и / (М) должны быть непрерывны и монотонно возрастающие; 4а. функции f(M) и f (M) должны быть непрерывно дифференцируемы. -45 5a.y;;w = -/;(-M); 6a. fl - M при M 1 и f =M при M 1; Физический смысл критериев (la) - (2a) очевиден. Критерий (За) обеспечивает выполнение неравенств f 1 и f -\ при м 1. Выполнение этих неравенств является необходимым, так как в противном случае волны будут распространяться только в направлении потока даже при дозвуковой скорости. Критерий (4а) обеспечивает гладкость полученного решения. Критерий (5а) обеспечивает симметричность расщепления. Критерий (6а) соответствует стандартной противопоточной схеме, обеспечивая распространение сверхзвуковых волн только в направлении потока.
Результаты расчетов течения химически реагирующего газа
Предварительные расчеты проводились на «квазиструктурированной» сетке из 23800 треугольников (Рис. 29). После получения результатов производилось уточнение решения на сетке из 95200 треугольников. Волновая структура вязкого течения в данной задаче является достаточно сложной, так как присутствует взаимодействие ударных волн с пограничным слоем. Для выявления всех существенных особенностей течения было необходимо получить решение с достаточно высокой точностью. Поэтому при расчетах использовалась процедура восстановления значений внутри ячеек, описанная выше. Это позволило поднять уровень пространственной аппроксимации до второго порядка.
Результаты расчетов представлены на Рис. 30 - 34. В целом картины распределений давления в невязком и вязком газе подобны. Однако в вязком газе ударно-волновая структура оказывается более сложной. При вязком течении появляются ударные волны, развивающиеся от входного сечения в канал. Утолщение на нижней стенке порождает еще одну волну, которая, интерферируя с первыми двумя волнами, изменяет свой наклон на несколько градусов. Далее эта волна взаимодействует с пограничным слоем на противоположной стенке. На Рис. 31.6 отчетливо видны две волны, порождаемые этим взаимодействием: первая ударная волна появляется в результате взаимодействия падающей волны с пограничным слоем, вторая ударная волна отражается от стенки. Таким образом, от верхней стенки отражаются две ударных волны.
Распределение давления вдоль стенок при невязком течении: 1 — сетка из 23000 ячеек, первый порядок аппроксимации, 2 — сетка из 95200 ячеек, второй порядок аппроксимации, 3 —расчет на структурированной сетке [87] Распределение давления вдоль стенок при вязком течении. Обозначения те же, что на Рис. -69 Подобный эффект наблюдается и при измельчении сетки. Интересно, что переход на второй порядок аппроксимации привел почти к тому же качеству решения, что и четырехкратное увеличение числа ячеек (Рис. 31 .б-в). При этом машинное время расчета при переходе на второй порядок аппроксимации увеличилось всего в 1.2 раза, а при четырехкратном измельчении сетки -соответственно в 4 раза.
На Рис. 33 - 34 показаны распределения давления вдоль нижней и верхней стенок, полученные в численных экспериментах с вязким и невязким газом. Для сравнения на рисунках приведены результаты, полученные на структурированной сетке [87]. При расчетах вязкого газа виден резкий рост давления на входе в канал. Этот эффект, связанный с неприменимостью уравнений Навье-Стокса для расчета обтекания абсолютно тонкой стенки, обсуждался в предыдущем параграфе.
Из Рис. 33 видно, что различия между расчетами на разных сетках вполне закономерны: на более грубой сетке наблюдается уменьшение амплитудных значений давления в месте падения ударной волны на поверхность. Также, при внимательном рассмотрении, на решении, полученном при расчете со вторым порядком аппроксимации, в некоторых участках заметны малые колебания, характерные для схем с повышенным порядком. Незначительные расхождения с расчетом на структурированной сетке, особенно заметные в случае вязкого течения (Рис. 34), могут быть связаны с тем, что расчет в работе [87] был произведен на очень подробной сетке из 1301x201 узлов, что соответствует 523002 треугольникам.
Разработана вычислительная модель течения вязкого совершенного газа. Проведен теоретический анализ схемы AUSM и ее модификации повышенного порядка точности.
В рамках разработанного кода проведено сравнение результатов решения тестовой задачи, полученных при решении задачи Римана методом Годунова и AUSM. Сравнение показало преимущества AUSM в высокой скорости и гладкости невязки в ущерб незначительным отклонениям от «точного» решения. В рамках рассмотренной тестовой задачи не выявлено принципиальных различий между схемами AUSM различного порядка точности. На неструктурированной сетке проведены расчеты невязкого обтекания выпуклой преграды в канале. Результаты расчетов с достаточной точностью соответствуют расчетам на структурированной сетке, приведённым в [11]. При этом расчет на неструктурированной сетке приводит к колебаниям в численном решении. На неструктурированной сетке проведены расчеты течения вязкого газа в канале. Сравнение с расчетами расчетов на структурированной сетке [92], показало удовлетворительное соответствие между полученными решениями. На основе этой задачи проведено исследование влияния структуры неструктурированной сетки на гладкость решения. Показано, что для получения гладкого решения может оказаться полезным строить «квазиструктурированную» сетку вблизи стенок расчетной области.
Выполнен расчет вязкого и невязкого течения в канале с сегментарным утолщением. Проведено исследование влияния порядка пространственной аппроксимации на качество численного решения. Исследование показало, что повышение порядка аппроксимации позволяет получить существенно более качественное решение, заметно снизив схемную вязкость. В проведенных расчетах улучшение качества решения соответствовало примерно четырехкратному измельчению сетки. Побочным эффектом использования схемы второго порядка является присутствие малых колебаний в некоторых участках расчетной области. В целом результаты расчетов показали стабильность численной схемы и адекватность построенной численной модели.
Расчет в приближении плоского слоя
Исследования показали, что радиационные потоки, излучаемые нагретым газом в камере сгорания, вносят существенный вклад в нагрев стенки камеры. В работе [21] исследовалось излучение молекул воды путем применения методом Монте-Карло совместно с уравнениями Навье-Стокса. Полученные значения плотности радиационного потока находятся в диапазоне 20 - 50Вт I см2, что сопоставимо с конвективным нагревом. Таким образом, в рассматриваемом классе задач принципиально важным становится учет переноса излучения.
Поэтому в данной работе моделирование работы ГПВРД проводились в два этапа. В предыдущей главе проводилось решение уравнений Навье-Стокса совместно с уравнениями химической кинетики. В этой главе результаты этих расчетов служат исходным материалом для второго этапа - решения задачи о переносе излучения в двигателе и, в конечном итоге, расчета плотности радиационного потока к стенке двигателя.
Расчет переноса излучения в камере сгорания ГПВРД проводился двумя методами: в приближении плоского слоя и диффузионном приближении. Эти методы были выбраны благодаря их простоте реализации и высокой скорости расчетов по сравнению с более точными методами, такими как метод Монте-Карло [90].
В силу сравнительно низких температур влияние излучения на течение газа в работе не учитывалось. Расчет излучения проводился на основе полей концентраций, температуры и давления, полученных после установления решения газодинамической задачи. Основными излучающими частицами были Н20 и ОН. Их концентрации приведены на Рис. 42.6 и Рис. 43. Исходное поле температуры показано на Рис. 39.6, а давления - на Рис. 40.6.
Оптическая плотность среды т вдоль направления у определялась по соотношению: о где KV — спектральный коэффициент поглощения в данной точке. Расчет KV проводился при помощи компьютерного кода ASTEROID [89] на основе спектроскопических баз данных [24, 16]. 7 6 5 Г 4 3 2 1 О 1000 2000 3000 4000 5000 Оптическая плотность вдоль среза сопла вдоль у (при х = 140 см) показана на Рис. 45. На этом же графике показаны данные, полученные в [32]. Параметры среды в [32] указаны в среднем для всего двигателя, поэтому по абсолютной величине результаты расчетов данной работы могут отличаться от [32]. Однако сам вид кривых (т.е. зависимость от частоты), как видно из -рисунка, совпадает с приемлемой точностью (здесь и далее спектральная зависимость измеряется в см"1).
Отметим, что для большинства частот оптическая толщина существенно меньше единицы, откуда следует, что диффузионное приближение может работать с плохой точностью [90]. Для решения в этом приближении коэффициент поглощения должен быть ограничен снизу. На Рис. 46 показана оптическая толщина при минимальном коэффициенте поглощения 0,01 см"1. Видно, что порог в 0,01 см"1 достаточно сильно меняет оптические свойства среды. Поэтому в данной работе минимальный коэффициент поглощения был выбран на уровне 0,001 см"1. При этом график оптической плотности практически совпадает с исходным. Везде далее используется модель локального термодинамического равновесия. и У 1 А ДЛ Л 2 N v / / / 3.0 2.5 2.0 Г 1.5 1.0 0.5 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 со, см 1 Рис. 46. Оптическая плотность вдоль среза сопла: 1 - исходный расчет, 2 —расчет с ограничением коэффициента поглощения на уровне не меньше 0,01 см -88-5.3. Расчет в приближении плоского слоя Постановка
Пусть требуется найти плотность потока теплового излучения на стенке камеры в точке хо. Поле температур, давлений и концентраций, полученное на неструктурированной сетке, задает распределение соответствующих параметров вдоль нормали к стенке в точке х0. Считая, что неоднородностью распределения параметров вдоль стенки можно пренебречь, задачу можно решать в соответствии с аналитическим решением задачи о плоском слое (см., например, [90]). Спектральная плотность потока излучения на стенку в этом приближении записывается в виде:
На Рис. 47 изображена плотность спектрального потока излучения в точке с координатой д;0 = 64см на стенке. Учитывалось 100 спектральных групп в диапазоне от 1000 до 8000 см"1. Также на этом рисунке приведены результаты из статьи [32], в которой проводится расчет аналогичной задачи. В ней для расчета переноса излучения задача была сведена к одномерной. При этом использовалось 230 спектральных групп. На рисунке хорошо заметна корреляция между этими решениями. Однако необходимо отметить, что по причине, указанной выше, анализировать количественное совпадение плотностей потоков в [32] и полученных в данной работе представляется невозможным.
