Содержание к диссертации
Введение
1. Проблемы моделирования турбулентных течений 13
1. Модели турбулентности, основанные на уравнениях Навье-Стокса. 13
1.1. Математические проблемы 13
1.2. Анализ различных гипотез возникновения турбулентности 19
1.3. Проблемы численных расчётов турбулентности и ламинарно-турбулентного перехода 23
2. Учет вязкости в методах дискретных вихрей 28
2. Моделирование вязкости на основе инвариантов движения системы дискретных вихрей 32
1. Идеальные точечные вихри 32
2. Коррекция схемной вязкости 36
3. Моделирование физической вязкости 40
3.1. Гипотеза вязкости 40
3.2. Неинерциальное преобразование системы координат 44
4. Описание численного алгоритма 51
3. Численные расчёты конкретных течений 58
1. Свободные течения 58
1.1. Система четырёх вихрей 58
1.2. Вихревое пятно 61
2. Течения в области с границами 67
2.1. Метод Белоцерковского 69
2.2. Обтекание пластины 71
2.3. Аэродинамические характеристики пластины 83
2.4. Истечение плоской струи 88
2.5 Нелинейный рост возмущений в начальном участке струи 98
2.6 Ламинарно-турбулентный переход в струе 103
Заключение 107
- Анализ различных гипотез возникновения турбулентности
- Моделирование физической вязкости
- Течения в области с границами
- Нелинейный рост возмущений в начальном участке струи
Введение к работе
Задача рассматривается в контексте проблемы моделирования турбулентных течений. Расчёт турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, наталкивается на ряд ограничений, которые будут более подробно рассмотрены в 1.1-1.3 Главы I. От них свободны методы дискретных вихрей [1]. Вихревые методы хорошо зарекомендовали себя как привлекательный и успешный подход к численному моделированию несжимаемых течений жидкости для больших чисел Рейнольдса [2]. У них есть несколько отличительных особенностей, как было показано в [3]: (1) Физические механизмы в реальном сложном течении могут быть смоделированы взаимодействием дискретных вихрей, (2) вихревые методы автоматически адаптивны, поскольку вихри концентрируются в области, представляющей физический интерес, и (3) им не свойственны ошибки, такие как численная вязкость. Математический анализ точности и сходимости вихревых методов для течений невязкой жидкости был проведён в [3-6]. Ряд интересных результатов был получен в разное время в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, например в [7, 8] предлагается вариационный метод построения дискретных вихревых моделей на основе принципа Гамильтона и строится обобщённая модель дис-
кретных вихревых частиц для описания двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости. Построенная модель сравнивается с использовавшимися ранее и тестируется на решении тестовых задач о вихрях Рэнкина и Кирхгофа, имеющих аналитические решения. Выводятся инварианты течения - энергия, импульс и момент импульса. В [9] гамильтонов формализм двумерной системы идеальных вихревых элементов обобщается на пространственный случай и показано, что интегралами трёхмерной системы являются полная энергия, суммарный импульс и суммарный момент. В [7, 10] метод вихревых частиц применяется к описанию течений в областях с границами и отрывных течений, в частности эволюции вихревой пелены, сходящей с острой кромки полубесконечной пластины. В [11, 12] анализируются вихревые возмущения в слое смешения и рассматривается возможность управления ими.
Некоторую проблему представляет учёт твёрдых границ, но условие непротекания может быть удовлетворено точно во всех точках поверхности [13, 14]. Так, известно, что при отрывном обтекании кругового цилиндра с образованием вихрей в потоке граничные условия на поверхности цилиндра могут быть удовлетворены путём расположения дополнительных вихрей в точках инверсии внутри цилиндра [15, 16]. Во всех других случаях плоского течения (отрывное обтекание крыловидного профиля и т.п.) следует воспользоваться конформным отображением внешности обтекае-
мого тела на какую-либо вспомогательную плоскость (внешность круга, верхняя полуплоскость и др.) [15-17]. Труднее учесть условие прилипания. Это граничное условие имеет очень важную физическую интерпретацию: оно ответственно за возникновение завихренности на границе. В данной работе в качестве некоторого приближения будет использоваться условие непротекания, о чём более подробно будет сказано в 2 Главы II.
Другая проблема методов дискретных вихрей - учёт вязкости. Идеальные вихревые элементы достаточно хорошо описывают интегральные характеристики отрывных обтеканий различных летательных аппаратов и крупномасштабные турбулентные структуры [18, 19]. Для описания мелкомасштабной турбулентности необходимо принимать в расчёт вязкость. В настоящее время существуют различные подходы к этой проблеме [18, 20, 21, 22], которые используют в той или иной форме уравнение вязкой диффузии завихренности. Более подробно эти подходы и связанные с ними проблемы будут рассмотрены в 2 Главы I.
В данной работе применяется совершенно другой подход, предложенный Б.Ю. Скобелевым и в дальнейшем развиваемый совместно с автором. Он описан в работах [23-43], и его главная идея заключается в следующем. Как известно, двумерные течения идеальной жидкости обладают следующими инвариантами: полная завихренность, координаты центра завихренности, дисперсия завихренности и некоторая составляющая кине-
тической энергии. Для вязких течений первые две характеристики по-прежнему сохраняются, тогда как дисперсия и энергия изменяются во времени по известным законам [44, 45]. Как и в случае идеальных течений, непрерывное распределение завихренности со = V х и вязкого течения моделируется набором круговых вихрей с завихренностью <у0. (Здесь и -
скорость. Поскольку мы рассматриваем двумерные течения, вместо векторной величины ю мы будем обычно использовать её значение по модулю со.) Устремляем радиус вихрей г0 к нулю, а их завихренность со0 — к
бесконечности так, чтобы циркуляция вихрей Г0 = жг02а>0 оставалась конечной:
> т
(го-»0, о->оо: 71г02соо=Го)
Рис. 1. Предельный переход к точечным вихрям
При этом, скорость изменения дисперсии и энергии обращается в бесконечность. Устремим исходную вязкость /и^ к нулю так, чтобы скорость вызванной вязкостью диссипации энергии D соответствовала данной вязкости /л:
Дро^ссоо) > ДщГ0)
го^-0, соо^со, цо->0
Рис. 2. Соответствие диссипации энергии при предельном переходе
В результате мы получим систему идеальных точечных вихрей, энергия которых будет диссипировать так же, как кинетическая энергия вязкого течения. Чтобы согласовать диссипацию энергии с уравнениями движения идеальных точечных вихрей, постулируем, что процесс дискретизации поля завихренности вязкого течения соответствует переходу в некоторую неинерциальную систему координат. В этой системе выполняются хорошо известные уравнения движения точечных вихрей. Известно, что численная дискретизация уравнений движения порождает схемную диссипацию и дисперсию. Этот процесс также можно представить как переход в другую неинерциальную систему координат. Следовательно, чтобы получить результаты в исходной физической системе координат, необходимо после каждого шага численного интегрирования выполнять обратное преобразование координат и времени. Другими словами, если мы моделируем вязкое течение системой идеальных точечных вихрей, на каждом шаге по времени у нас накапливается некоторая ошибка, связанная с влиянием вязкости и погрешностью дискретизации и интегрирования. Задача заключается в
том, чтобы найти преобразование, минимизирующее эту ошибку и, таким образом, позволяющее моделировать реальное вязкое течение. Это преобразование определяется условием соответствия диссипации энергии системы точечных вихрей некоторой заданной вязкости.
Новизна работы заключается в учёте вязкости в методе дискретных вихрей, исходя из законов сохранения инвариантов течения. Это позволяет обойтись без сложных вычислений, дополняя классический метод лишь вычислением поправок на каждом шаге по времени. Таким образом метод оказывается экономичным с точки зрения объёма вычислений и избегаются многие проблемы, связанные с использованием уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описанные в следующей главе. Достоверность метода доказана многочисленными расчётами различных течений и их сравнением с экспериментальными данными, при котором наблюдается хорошее совпадение в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Данный подход расширяет возможности метода дискретных вихрей достаточно экономичными средствами, что обуславливает его практическую ценность. Кроме того, он обеспечивает сохранение интегральных характеристик течения; благодаря уменьшению погрешностей дискретизации и интегрирования, метод позволяет наблюдать в течениях такие тонкие эффекты, как развитие возмущений - соответствующие результаты описаны в последней главе; позволяет моделировать начальную стадию развития
турбулентности и обобщается на трёхмерный случай, расширяя возможности для моделирования развитой турбулентности. В этом случае метод может послужить хорошей основой для построения замкнутой модели турбулентности.
К защите представляется численный метод расчёта двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости, основанный на коррекции координат и циркуляции точечных вихрей для выполнения интегральных законов сохранения движения системы идеальных точечных вихрей. В известной литературе это первая попытка подобного учёта вязкости. Проделанная работа представляет собой хороший задел для дальнейшего развития подхода, в частности его обобщения на трёхмерный случай.
Диссертация построена следующим образом. В Главе I описано современное состояние проблемы, математические и вычислительные проблемы, связанные с расчётами турбулентных течений по моделям, основанным на уравнениях Навье-Стокса, существующие подходы к учёту вязкости в методах дискретных вихрей. Глава II посвящена подробному описанию разработанного метода: сформулированы гипотезы, положенные в его основу, вычислены вязкие поправки, разработан численный алгоритм для расчёта конкретных течений жидкости и газа. В 1 приведены уравнения движения двумерной системы идеальных точечных вихрей и инварианты движения. В 2 показано, что эти инварианты можно исполь-
зовать для коррекции схемной вязкости. В 3 этот же подход использован для моделирования физической вязкости. Наконец, в 4 описан численный алгоритм, реализующий разработанный подход для учёта вязкости в двумерных течениях. В Главе III описаны проведённые численные эксперименты по моделированию свободных течений (система четырёх вихрей, вихревое пятно в 1) и течений в областях с границами (обтекание пластины, истечение плоской струи в 2). Приведены полученные результаты, их сравнение с теорией и данными экспериментов. Показано, что метод правильно учитывает влияние вязкости в двумерных течениях несжимаемой жидкости. В Заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту, и намечены пути обобщения метода на трёхмерный случай. В Приложении приведён вывод некоторых формул метода.
Апробация. Полученные результаты неоднократно докладывались на российских и международных конференциях: Международная конференция "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996); The Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference (Париж, 1996); Saint-Venant Symposium (Париж, 1997); Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998); International Symposium "Actual Problems of Physical Hydroaerody-
namics" (Новосибирск, 1999); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); The First International Conference on Vortex Methods (Кобе, Япония, 1999); Конференция "Вычислительные технологии 2000" (Новосибирск, 2000); Конференция молодых учёных, поев. 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000); Международная конференция, поев. 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001); Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001); 33-я Региональная молодёжная конференция (Екатеринбург, 2002); IV Всероссийская конференция молодых учёных "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004); The Twelfth International Conference on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR'2004) (Новосибирск, 2004); Третья международная научно-практическая конференция "Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности" (Санкт-Петербург, 2007); Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25-43].
Анализ различных гипотез возникновения турбулентности
Гипотеза Ландау [54] предполагает, что после того, как ламинарное течение и0(х) теряет устойчивость при числе Рейнольдса Re = Rei , формируется режим стабильного периодического течения с полем скорости u-uQ{x) + ux{o)vt,x). В теории динамических систем это явление называется закритической бифуркацией рождения периодического решения или прямой бифуркацией Хопфа. Предполагается, что новый режим устойчив в некотором интервале чисел Рейнольдса Re, Re Re2, потом он теряет устойчивость, и возникает квазипериодический режим и = щ(х) + и2(а ,а 2і,х). При возрастании числа Рейнольдса этот процесс продолжается, и в результате появляется квазипериодическое течение с N несоизмеримыми частотами, где N —» со при Re —» со . Это течение эрго-дично (траектории заполняют всё фазовое пространство) и достаточно сложно для описания турбулентности. Достоинство гипотезы Ландау состоит в том, что турбулентность представляется как предельный режим с достаточно большим числом степеней свободы. Это согласуется с оценками размерности множества предельных решений, приведёнными в предыдущем параграфе. Тем не менее, сейчас стало ясно, что эта гипотеза имеет некоторые недостатки. Во-первых, она не предусматривает механизма возникновения пространственной стохастичности, хотя, как было упомянуто в конце предыдущего параграфа, этот недостаток свойственен всем моделям турбулентности, основанным на уравнениях Навье-Стокса, включая модель Рюэля-Такенса. Во-вторых, гипотеза Ландау недостаточно универсальна. Известно, что наряду с течениями, у которых при потере устойчивости наблюдается прямая бифуркация (например, течение Куэтта между вращающимися цилиндрами), есть практически важные течения с обратной бифуркацией Хопфа в точке потери устойчивости, то есть с появлением докритического неустойчивого периодического режима. К таким течениям относится, например, течение в плоском канале [55-57]. Гипотеза Ландау очевидно неприменима для таких течений уже на начальной стадии. Кроме того, сценарий Ландау нетипичен даже для течений с прямой бифуркацией Хопфа. В [58] было показано, что квазипериодическое движение с числом частот больше двух структурно неустойчиво. Это означает, что даже если в некоторой конкретной задаче (2.1) и реализуется трёхчастотное квазипериодическое течение, самые малые деформации границы области дО. или малые изменения вынуждающей силы/разрушают это течение и приводят к появлению странного аттрактора.
На этом факте как раз основана гипотеза Рюэля-Такенса [59]. Предполагается, что после малого числа бифуркаций (3 или 4), подобных бифуркациям в гипотезе Ландау, в фазовом пространстве возникает странный аттрактор S малой размерности. Движение по аттрактору S и соответствует турбулентному течению. Было показано, что странный аттрактор S структурно устойчив, и в этом смысле сценарий Рюэля-Такенса более типичен, чем сценарий Ландау. Несмотря на типичную картину течения, гипотеза Рюэля-Такенса сейчас кажется даже менее реалистичной, чем гипотеза Ландау, т.к. наряду со всеми недостатками, свойственными гипотезе Ландау, она предлагает в качестве множества предельных решений странный аттрактор S малой размерности, который противоречит оценкам (1.6)-(1.8). Надо сказать, что открытие странного аттрактора вызвало настоящее оживление вокруг проблемы турбулентности. Основополагающая работа Лоренца [60] вызвала к жизни огромное количество теоретических и экс- периментальных исследований, основанных на концепции странного аттрактора. Дело дошло до того, что термин "турбулентность" начали использовать в работах чисто математического характера, вплоть до демонстрации стохастичности в одномерных динамических системах с дискретным временем. В настоящее время это возбуждение проходит, и становится ясным, что развитая турбулентность не может быть описана странным аттрактором малой размерности (например см. [61, 62]). Для примера можно взять задачу тепловой конвекции в слое жидкости. Известно, что знаменитая система Лоренца является трёхмерной галеркинской аппроксимацией для этой задачи. И последовательность бифуркаций решений системы Лоренца, обусловливающая появление странного аттрактора, и структура самого странного аттрактора хорошо изучены [63, 64]. Менее известен факт, что увеличение размерности галеркинской аппроксимации для этой задачи качественно меняет как последовательность бифуркаций, ведущих к стохастике, так и сам странный аттрактор. Этот результат был получен в [65], где была исследована 14-мерная галеркинская аппроксимация задачи о тепловой конвекции. Аналогичная ситуация была отмечена в случае галеркинской аппроксимации двумерных уравнений Навье-Стокса с периодическими граничными условиями и пространственно периодической внешней силой [66-68]. Были численно исследованы 5-, 7-, и 12-мерные аппроксимации. Во всех случаях последовательности бифуркаций, веду- щие к стохастическим движениям, и соответствующие странные аттракторы различались. 1.3. Проблемы численных расчётов турбулентности и ламинарно-турбулентного перехода По видимому, единственные достаточно надёжные результаты в теории турбулентности были получены Колмогоровым [69] и его последователями, которые использовали теорию подобия. В частности, они обнаружили, что следующая формула выполняется для второго момента скорости: Неоднородность диссипации энергии s{x,t) называется перемежаемостью, и показатель // называется показателем перемежаемости. Показатель /j может быть соотнесён с %(т) в (1.10) различными способами. В соответствии с экспериментом, ju равняется 0.2-0.5 в зависимости как от условий измерения, так и от типа корреляционной функции. Вместо левой части (1.11) можно взять, например, Авторы [71] предприняли попытку найти её значение на основе численных расчётов уравнений Навье-Стокса. Поле скорости раскладывалось в ряд Фурье с кубической периодичностью 2тгЬ.
Число базисных функций N равнялось 572 или 836. Число Рейнольдса было 106. Расчёты показали, что инерци-альный интервал был достаточно большим и равнялся 20 вязким масштабам. Несмотря на то, что детерминистический хаос наблюдался на всех масштабах поля скорости, то есть все коэффициенты ut{p,t) в (1.12) были стохастическими функциями времени, не было обнаружено никаких отклонений показателя (2) от его классического значения (2) = 2/3. Авторы заключили, что отсутствие перемежаемости связано с пространственной когерентностью используемого представления поля скорости (1.12), которое не допускает пространственной стохастичности. Этот результат численно подтверждает теоретические выводы, представленные в конце первого параграфа. Рассмотрим теперь задачу численного исследования ламинарно-турбулентного перехода. Здесь, по крайней мере на начальной стадии, множество предельных решений задачи (1.1) имеет малую размерность, следовательно казалось бы, что численные расчёты не представляют проблемы. Это однако не так. В самом деле, предельные множества в этом случае имеют малую размерность, но это преимущество может быть использовано в численных расчётах только в том случае, если базис галер-кинского разложения выбирается не произвольно, а с учётом особенностей поведения решений на предельном множестве. В противном случае чис- ленные решения могут качественно отличаться от точных решений уравнений Навье-Стокса даже при сравнительно большом числе галеркинских функций. Примером может служить численный расчёт периодических режимов течений, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале (см., например [72]). Во всех расчётах, проведённых с различным числом галеркинских функций, было получено, что в окрестности точки потери стабильности существует не более двух периодических режимов. Другими словами, максимальной особенностью амплитудной поверхности является складка. В [73, 74] для решения этой задачи была использована теория инвариантных притягивающих многообразий, что обеспечило правильное описание предельных решений. Было показано, что амплитудная поверхность имеет особенность более высокого порядка, а именно - сборку. Это означает, что при определённых значениях параметров задачи одновременно существуют три периодических режима. Обстоятельный анализ влияния схемной вязкости на точность численного расчёта ламинарно-турбулентного перехода был проведён в [75]. Авторы заметили, что кроме хорошо известного искажения поля скорости, вызванного схемной вязкостью, в расчётах на грубых сетках недавно было обнаружено новое нежелательное явление - появление ложных осцилляции в потоке.
Моделирование физической вязкости
Вышеприведенные выкладки проводились для течения идеальной невязкой жидкости. Под влиянием вязкости инварианты Н, L2, X и Y могут меняться. Если мы внесём соответствующую корректировку в формулы, наш метод будет моделировать вязкость [23]. Для этого нам необходимо найти выражение инвариантов для вязкой жидкости и определить, как они меняются во времени. Изменения инвариантов во времени находятся из уравнения Навье-Стокса в форме завихренности: Как и в предыдущем параграфе, мы аппроксимируем завихренность со дискретными круговыми вихрями и ис-пользуем гипотезу вязкости: juQ = jU7rr0 . Далее, можно показать, что величина ]} (2.5) должна оставаться постоянной в процессе моделирования вязкого течения точечными вихрями, т.е. Поскольку циркуляция точечных вихрей и гамильтониан Н сохраняются в процессе движения, Е = const на точных решениях уравнений (2.2) и, следовательно, условие (2.32) не выполняется. С другой стороны, дискретизация уравнений (2.2) ведёт к появлению погрешности интегрирования, а Е и J} в численных расчётах изменяются неконтролируемым образом. Условия (2.32), (2.34) также не выполняются. Чтобы выполнить условия (2.32), (2.34), примем следующую гипотезу. Гипотеза 2. И дискретизация завихренности (переход от непрерывного распределения к точечным вихрям, или пространственная дискретизация), и дискретизация уравнений движения (2.2) (временная дискретизация) эквивалентны переходу в некоторую неинерциальную систему координат. Следовательно, для получения результатов в ис- ходной физической системе координат необходимо выполнять обратное преобразование координат и времени после каждого шага численного интегрирования уравнений движения. Эти преобразования определяются условиями (2.32), (2.34). Рассмотрим конечно-разностные формы уравнений (2.32), (2.34): AL2=L2n+l-L\=0. Напомним, что х; (и +1), ,(« +1) обозначают у нас координаты /-го вихря, полученные на (и+1)-ом шаге интегрирования уравнений (2.2), а Г(и - соответствующее значение циркуляции (оно не меняется при переходе с п-го на (л+1)-ый слой по времени).
Переход в физическую систему координат выполняется при помощи преобразований (2.23), а шаг по времени At , используемый в интегрировании, в соответствии с (2.24) преобразуется по формуле Система уравнений (2.21) для нахождения поправок ALn+vATn+l преобра- зуется в Как и в предыдущем параграфе, можно выразить из второго уравнения 1 + АГ, подставить в первое и полученное нелинейное уравнение на 1 + AL решать методом итераций. После преобразований (2.23) мы получаем величины координат и циркуляции идеальных точечных вихрей, моделирующих течение с заданной кинематической вязкостью v. Как вариант, преобразования (2.23) можно выполнять в два этапа. На первом шаге делается только преобразование координат. Параметр преобразования получается из второго уравнения в (2.35) и имеет следующий вид: После этого значения энергии е0п+1 и величина /2п+1 рассчитываются в преобразованных координатах. На втором этапе выполняются полные преобразования (2.23). По определению, /д И+1 = L2n, следовательно, мы можем получить из второго уравнения (2.38), что Подставляя это выражение для AL{ в первое уравнение (2.38), мы получаем нелинейное уравнение на АГ1; которое решается методом итераций. Сравнение этого варианта с предыдущим показало совпадение результатов. Дополнительные соображения в обоснование метода Обобщая концепцию метода, можно подытожить, что он основывается на Гипотезах 1 и 2 и обосновывается численным экспериментом. В основе гипотез, в свою очередь, лежит соображение, что источники погрешности действуют на вихри схожим образом, поэтому можно предположить, что и обратное преобразование должно быть универсальным для всей системы вихрей. Это принимается в качестве гипотезы и проверяется сравнением с экспериментом и результатами других методов. Можно, однако, привести ещё некоторые дополнительные соображения в обоснование метода. Первое - из статьи СМ. Белоцерковского, в пользу универсальности такого преобразования [92]: «Согласно теории Колмогорова-Обухова, локальное строение мелкомасштабной развитой турбулентности в значительной степени описывается универсальными закономерностями. Доказано, что в области достаточ- но малых масштабов должен господствовать статистический универсальный режим, практически стационарный и однородный.» Второе, связывающее численную диссипацию и вязкость, - из научно-технического отчёта ЦАГИ [93]: «В основу метода дискретных вихрей положен закон взаимодействия вихревых систем в идеальной среде.
В то же время известно, что в турбулентных течениях существенную роль играет вязкость. Для объяснения возникающего противоречия естественно предположить, что в процессе реализации метода на ЭВМ появляются эффекты диссипации, которые и моделируют вязкость жидкости. ... Для определения коэффициента вязкости существенным образом используются методы кинетической теории газов. И это не случайно, так как существует прямая аналогия между свойствами движения большой совокупности молекул и свойствами движения большого числа вихрей. В последние годы появилось много работ, в которых методы кинетической теории применяются для исследования систем дискретных вихрей. В этих работах дискретные вихри рассматриваются как вторичные объекты, «квазичастицы», существующие лишь при турбулентном движении жидкости. Основное внимание уделяется равновесным состояниям и возможности описания энергетического спектра развитой турбулентности. Причины появления диссипации в этих работах не исследовались, а диссипативные эффекты объяснялись турбулентной вязкостью. В данной работе предполагается иная точка зрения. Считается, что дискретные вихри являются первичными объектами. Точно так же, как в кинетической теории газов принято рассматривать жидкость как совокупность дискретных вихрей, В кинетической теории исходное уравнение — уравнение Лиувиля является обратимым. Необратимость, а следовательно, и диссипация, возникают в результате возмущений, вносимых в уравнение Лиувиля при выводе уравнения Больцмана. Дополнительные возмущения вносятся из уравнения Больцмана гидродинамических уравнений. В итоге оказывается, что с точки зрения статистической механики молекулярная вязкость есть прямое следствие тех возмущений, которые возникают в цепочке перехода от уравнений Лиувиля к уравнениям гидродинамики. Такая же картина наблюдается и в методе дискретных вихрей. Исходные уравнения движения вихрей являются обратимыми. Но переход к конечно-разностным уравнениям, который неизбежен при численной реализации метода, вносит необратимые возмущения. Благодаря этим возмущениям в системе дискретных вихрей возникает диссипация, которую так же, как в кинетической теории газов, можно использовать для моделирования вязкости.» Вышеописанные идеи были реализованы в численном алгоритме моделирования вязкости в двумерных течениях. Условно его можно разделить на два этапа, на первом из которых выполняется интегрирование уравнений движения (2.6) и находятся координаты вихрей на новом слое по времени, а на втором из системы уравнений (2.38) находятся вязкие поправки ALn+l, АГл+1 и проводится соответствующая коррекция координат и циркуляции. Более подробная схема приведена на рис. 6.
Течения в области с границами
В этой части описывается численное моделирование течений при наличии твёрдых границ. Учёт влияния твёрдых границ представляет собой некоторую проблему. В отсутствие вязкости достаточно выполнения условия непротекания где и — вектор скорости, п — вектор нормали к границе, 8Q. - граница области. В вязком случае при моделировании течения уравнениями Навье-Стокса, граничное условие меняется на условие прилипания и представляет собой определённую сложность для моделирования. А.Дж. Чорин [96] разработал несколько методов, в которых на границе области добавляются вихри с такой циркуляцией, чтобы суммарное поле скоростей обращалось на ЗО. в нуль. Эти вихри могут дрейфовать в Q и участвовать в течении. При этом каждый вихрь испытывает случайные блуждания. Этот метод привлекателен имитацией физического процесса возникновения вязкости на дО.. В том или ином виде эта идея лежит в основе почти всех методов, используемых в настоящее время для аппроксимации условия (3.5) в вычислительных вихревых методах. В данном подходе способ Чорина не применяется по нескольким причинам. Во-первых, это сделало бы метод гибридным, лишив его первоначальной простоты, в то время как объектом анализа является именно способ учёта вязкости из законов изменения интегральных характеристик течения. Если использовать подход Чорина для моделирования условия прилипания, то тогда было бы естественно и использовать его подход для учёта вязкости вообще. Во-вторых, использование уравнений погранслоя потребовало бы введения в модель дополнительных эмпирических соотношений, в то время как в остальном она обходится без них. Поэтому, было бы привлекательным научиться моделировать условие прилипания в рамках разрабатываемой модели, тогда можно было бы говорить о построении некоторого двумерного приближения к замкнутой теории турбулентности. Один из возможных путей решения этой проблемы - моделирование границы двумя рядами вихрей вместо одного. Помимо всего прочего, это было бы в духе метода дискретных вихрей, который отличается физической наглядностью - два ряда вихрей здесь моделировали бы своего рода «шероховатость» поверхности.
Сложностями на этом пути являются построение замкнутой системы уравнений с правильным балансом неподвижных вихрей и контрольных точек, а также выбор начального приближения. Эта проблема пока не решена, поэтому в данных вычислениях в качестве некоторого приближения используется условие непротекания, реализация которого будет более подробно описана в следующем параграфе. Это же определяет и выбор круга задач для моделирования — отсутствие условия прилипания на границах не позволяет опробовать метод на течениях Куэтта и Пуазейля, поскольку в таких течениях завихренность формируется именно на границах. Поэтому наиболее подходящих кругом задач для данного подхода является обтекания тел с острыми кромками и струи. Эти два класса задач и будут исследованы ниже. В следующих задачах использовался метод моделирования границ, предложенный в [100] и иногда называемый методом присоединённых вихрей. Как обычно, непрерывные распределения параметров потока и других величин заменяются на дискретные. Нестационарный вихревой слой на обтекаемом теле и за ним моделируется системой дискретных вихрей. Непрерывный процесс изменения во времени граничных условий и аэродинамических нагрузок на несущей поверхности заменяется ступенчатым. Полагается, что граничные условия и нагрузки скачкообразно изменяются в некоторые расчётные моменты времени t = 0,...,tn, а в промежутках между этими моментами остаются неизменными и равными значениям этих величин в начале каждого промежутка. Граничных условий на поверхности обтекаемого тела, условий о замкнутости вихревых систем и гипотезы Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей на острых кромках достаточно для того, чтобы в каждый расчётный момент времени найти циркуляции нестационарных вихрей. Задача первого этапа сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых цир-куляций. Положение свободных вихрей в любой момент времени находится из условия, что они движутся вместе с жидкими частицами, и их циркуляции остаются неизменными во времени. На втором этапе нами вводится коррекция положения и циркуляции свободных вихрей в соответствии с вязкими поправками. Описанный алгоритм позволяет изучать процессы сворачивания вихревой пелены, её разрушения и формирования спутного следа, а также изменение аэродинамических характеристик при отрывном обтекании несущих поверхностей. По известному полю вихрей в следе и найденному их положению в пространстве рассчитываются поля средних и пульсационных скоростей и давлений в фиксированных точках следа и основные статистические характеристики вихревых потоков в отрывных областях. В методе, развитом в [100], граница делится на п участков. Неподвижные вихри Г,- помещаются в серединах участков, а контрольные точки ТІ — на их концах. Точки отрыва свободных вихрей от кромок располага- ются на касательных к профилю линиях на расстояниях, равных половине длины участка. В результате такого разбиения все контрольные точки оказываются посередине между соседними неподвижными дискретными вихрями, а крайние из них - на кромках профиля: Рассмотрим обтекание пластины (рис. 17) потоком вязкой жидкости с постоянной скоростью U0. В методе дискретных вихрей пластина замещает- ся системой неподвижных точечных вихрей.
Точки отрыва свободных вихрей располагаются на фиксированном расстоянии от краёв пластины. Два свободных вихря порождаются перед каждым шагом интегрирования уравнений движения. Циркуляции неподвижных и свободных вихрей определяются из двух условий: условие непротекания в контрольных точках, расположенных между неподвижными вихрями и на краях пластины, и равенства нулю полной циркуляции. Таким образом, есть два типа вихрей в задаче перед переходом к (и+1)-му шагу по времени: N0 неподвижных вихрей и 2п свободных вихрей. Свободные вихри движутся в соответствии с уравнениями (2.1), дополненными вкладом от неподвижных вихрей и внешнего течения: где г у вычисляются так же, как в (2.7). Условие непротекания в контрольных точках, гипотеза Чаплыгина-Жуковского на обеих кромках профиля и условие равенства нулю суммарной циркуляции дают нам систему уравнений для определения неизвестных циркуляции неподвижных вихрей Г si (і = 1,.. .До), а также двух новых вихрей, сходящих с кромок профиля: где wSl\TSj j и wm\TSj j - нормальные составляющие безразмерной скорости в контрольных точках Т$, от вихрей TS1 и Гот соответственно. Определение положения свободных вихрей производится интегрированием уравнений движения (2.1). Преобразования координат и циркуляции, описанные в предыдущей главе, выполняются на каждом шаге по времени, начиная с некоторого слоя «0, перед порождением двух новых вихрей. При этом, принимается во внимание, что N свободных вихрей, находящихся на (п+1)-ом временном слое (N = 2и + 2), движутся во внешнем поле скорости, порождаемом набегающим потоком и неподвижными вихрями. Влияние внешней скорости U0 исключается переходом в систему координат, движущуюся с внешним потоком. Скорость U = (UX,U ), порождённая неподвижными вихрями, приводит к дополнительным изменениям в энергии Е и величине ]} [45]. На интервале времени At эти изменения имеют вид АЕ = АЇ ГХиліиуі-иуіихі), где Ut — величина U в точке г-го вихря, вычисляемая суммированием вкладов от неподвижных вихрей и внешней скорости, а и, - скорость, наведённая в этой точке всеми свободными вихрями, исключая z-ый вихрь. Соответствующие вклады от неподвижных вихрей вычитаются из величин /2п+1, еп+1 до определения параметров преобразования. В численном моделировании пластина замещалась N0 - 20 неподвижными вихрями. Точки отрыва свободных вихрей располагались на расстояниях 1/2N0 от краёв пластины.
Нелинейный рост возмущений в начальном участке струи
Как уже говорилось, в струе наблюдаются три области течения: начальная, ламинарная и турбулентная. Переход одной области в другую происходит благодаря потере устойчивости и росту характерных возмущений течения. Для этого, чтобы исследовать этот процесс, на оси струи на различном удалении от среза сопла измерялись пульсации продольной скорости и ис- следовался их спектр. На рис. 41 и 42 приведены амплитуды различных гармоник в зависимости от удаления от сопла при у = 0 и вязкости 0,01. Буквы C-R соответствуют диапазону частот от 0 до 0,15625 Гц. В отличие от погранслоя, где сначала выделяется одна нарастающая волна Толмина-Шлихтинга, для начального участка струи характерен целый спектр практически одновременно нарастающих гармоник. Этот результат находится в полном соответствии с линейной теорией гидродинамической устойчивости. Известно, что линейная нейтральная кривая для погранс-лойного течения имеет ярко выраженный «носик», в то время как сдвиговые слои в начальном участке струи неустойчивы при всех числах Рей-нольдса. При Re — оо это неустойчивость Рэлея (невязкая неустойчивость), а неустойчивость при конечных Re и при Re —+ 0 была получена численно в работе [108]. Таким образом, анализ результатов моделирования развития неустойчивости в плоской струе позволяет сделать вывод, что разрабатываемый подход правильно воспроизводит влияние вязкости и на локальные характеристики течения. При этом характер влияния соответствует явлениям, наблюдаемым в пограничном слое. Заключение На основе метода дискретных вихрей разработан новый численный метод моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости. Существенное преимущество этого метода заключается в исключении влияния численной диссипации из физических процессов. Процесс интегрирования уравнений движения дополняется процедурой локальной коррекции координат и циркуляции точечных вихрей с целью привести изменения энергии и дисперсии вихревого движения в соответствие с заданной вязкостью. Несмотря на приближения метода - двумерность и условие непротекания на границах, - численное моделирование показывает, что он достаточную эффективен для моделирования ламинарных течений и начальной стадии турбулентности. Для моделирования развитой турбулентности необходим переход к трёхмерности, и концепция метода позволяет развить аналогичный подход для трёхмерных течений.
Известно, что трёхмерные идеальные течения имеют следующие инварианты [9]: полная завихрен- ность, импульс, момент импульса, кинетическая энергия и спиральность. Для вязких течений первые три величины по прежнему сохраняются, а энергия и спиральность изменяются по известным законам [44, 109]. Непрерывное поле завихренности может быть аппроксимировано набором коротких сегментов вихревых нитей. Каждый сегмент может быть представлен как предел системы замкнутых вихревых нитей. Тогда появляется возможность разработать численный алгоритм для учёта вязкости, подобный алгоритму для двумерных течений. Основные результаты и выводы диссертационной работы: 1. Впервые сформулирован метод, позволяющий моделировать начальную стадию развития турбулентности в двумерных течениях вязкой несжимаемой жидкости с помощью управления интегральными характеристиками течения. На основе этого метода создан численный алгоритм расчёта двумерных течений вязкой жидкости. 2. С помощью предложенного метода показана возможность влиять на эволюцию свободных течений, в частности на стохастичность движения вихрей. При этом, характер влияния соответствует заданной вязкости. 3. На примере численных расчётов обтекания плоской пластины под различными углами атаки и истечения плоской струи в затопленное пространство показано хорошее согласие численных результатов с известными экспериментальными данными. 4. На основе детального изучения потери устойчивости в начальном участке струи как в ламинарной, так и в нелинейной стадии развития возмущения установлено, что динамика развития неустойчивых возмущений качественно совпадает с динамикой неустойчивости в пограничном слое. 5. Показано, что разработанный метод успешно моделирует как интегральные, так и локальные характеристики ламинарных течений и начальной стадии развития турбулентности. Аналогичный подход может быть развит для анализа трёхмерных течений и моделирования развитой турбулентности. Приложение. Изменение инвариантов двумерного вихревого движения идеальной жидкости под действием вязкости В данном приложении приводятся инварианты двумерного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости и вычисляется изменение первых трёх инвариантов во времени в случае вязкого течения. Показывается, что полная завихренность и координаты центра завихренности остаются инвариантами, а изменение дисперсии L2 равно 4v, где v - кинематическая вязкость.
