Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обзор литературы 8
Глава 2. Уравнения двухжидкостной гидродинамики
2.1. Двухжидкостная модель 20
2.2. Основные термодинамические соотношения 22
2.3. Вывод диссипативных уравнений двухжидкостной гидродинамики 27
2.4. Уравнения двухжидкостной гидродинамики при отсутствии диссипации фазового превращения. Преобразование Лежандра. Сравнение с уравнениями Халатни-кова, Лондона, Хиллса и Робертса 40
2.5. Бездиссипативные уравнения. Аналоги интегралов Коши-Лагранжа, Бернулли, теорем Томсона, Лагран-жа. Безвихревые течения. Вывод бездиссипативных уравнений из вариационного принципа 47
Глава 3. Краевые задачи двухжидкостной гидродинамики
3.1. Ламинарный пограничный слой в сверхтекучем гелии. 60
3.2. Асимптотический профиль пограничного слоя при обтекании сверхтекучим гелием охлаждаемой пластины . 75
3.3. Автомодельное решение уравнений гидродинамического пограничного слоя в сверхтекучем гелии 97
3.4. Течение сверхтекучего гелия между двумя вращающимися цилиндрами 104
3.5. Циркуляционное течение сверхтекучего гелия вокруг цилиндра 112
Заключение 117
Выводы 126
Литература 128
- Основные термодинамические соотношения
- Уравнения двухжидкостной гидродинамики при отсутствии диссипации фазового превращения. Преобразование Лежандра. Сравнение с уравнениями Халатни-кова, Лондона, Хиллса и Робертса
- Асимптотический профиль пограничного слоя при обтекании сверхтекучим гелием охлаждаемой пластины
- Течение сверхтекучего гелия между двумя вращающимися цилиндрами
Введение к работе
В предлагаемой работе содержится теоретическое построение макроскопической модели сверхтекучего гелия с точки зрения общих принципов механики сплошной среды, а также проведен расчет решений некоторых краевых задач двухжид-костной гидродинамики сверхтекучего гелия на основе дисси-пативных уравнений и с учетом специфического механизма теплопередачи.
В первой главе приводится обзор литературы по данному вопросу. Рассматриваются различные двухжидкостные модели, описывающие движение сверхтекучего гелия и принципы их построения.
Вторая глава содержит теоретическое построение модели сверхтекучего гелия, предлагаемой автором. Предполагается, что сверхтекучий гелий представляет собой микроскопически однородную смесь двух жидкостей: нормальной и сверхтекучей. При этом, сверхтекучая жидкость в отличие от нормальной мыслится как истинная идеальная жидкость, лишенная какой-либо вязкости, а также тепловых свойств. Выводятся основные термодинамические соотношения, даются определения парциальных величин нормальной и сверхтекучей жидкостей. Учитывается зависимость этих величин от концентрации. Доказана теорема об инвариантности выбора парциальных энергий нормальной.и сверхтекучей жидкостей. Подробно обсуждаются, локальные законы сохранения массы, импульса и энергии. Выводится энтропийное уравнение. Применяется обобщенный принцип. В результате полностью определяется модель взаимодействия сверхтекучей и нормальной жидкостей. В частности, сила, действующая со стороны нормальной жидкости на сверхтекучую, оказывается такой, что при движении и превращении нормальной жидкости в сверхтекучую и обратно последняя не приобретает дополнительного импульса. Более того, это взаимодействие таково, что вихри сверхтекучей жидкости всегда сохраняются и для нее всегда имеют место интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли, а также теоремы Томсо-на и Гельмгольца.
Подробно обсуждаются полученные в результате применения принпипа Сйзагера диссипативные законы. Подчеркивается важность уравнения фазового равновесия обеих жидкостей, которое замыкает систему уравнений двухжидкостнои гидродинамики сверхтекучего гелия. Построенная теория позволяет рассматривать существенно новые диссипативные процессы, .. характеризуемые коэффициентом вязкости фазового превращения и коэффициентом Перекрестного Эффекта ... .Объемной ВЯЗт кости нормальной жидкости и вязкости фазового превращения. Отдельно рассмотрен случай отсутствия диссипации фазового превращения. Показано, что в этом случае уравнение фазового равновесия при помощи преобразования Лекандра позволяет рассматривать.термодинамические величины не как функции.от концентрации, а как функции от квадрата разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. Этот факт дает возможность для простого сравнения выведенной системы уравнений двухжидкостнои гидродинамики сверхтекучего гелия с диссипативными уравнениями Халатникова, и Робертса и другими. Подчеркивается, что в отличие от предложенной теории, в уравнениях этих авторов в неявной форме сделано предположение о том, что млеет место вполне конкретное уравнение фазового равновесия.
Обсуждаются бездисеипативные уравнения. Установлена справедливость теорем Томсона, Лагранжа, интегралов Коши-Лагранжа и Бернулли для нормальной жидкости. Доказана теорема о сохранении вихря некоторого векторного поля. Предложен вывод бездиссипативных уравнений из вариационного принципа Лагранжа для сплошных сред.
Третья глава содержит решение некоторых интересных краевых задач на уравнения гидродинамики сверхтекучего гелия.
Исследована структура ламинарного пограничного слоя в сверхтекучем гелии. Показано, что этот пограничный слой. существенно отличается от пограничного слоя в обычной вязкой теплопроводной жидкости. Пограничный слой в гелии имеет сложную структуру .и состоит из температурного слоя и охватывающего его гидродинамического пограничного слоя. -Выведены уравнения обоих пограничных слоев. В температурном пограничном слое происходит смена механизма передачи тепла, в результате чего образуются перпендикулярные к поверхности тела потоки нормальной и сверхтекучей жидкостей, что ведет к нарушению обычно выставляемого при исследовании гидродинамического пограничного слоя условия непротекания на внутренней границе гидродинамического пограничного слоя.
Решена задача об обтекании сверхтекучим гелием полу бесконечной пластины, которая во всех точках имеет одинаковую температуру, вообще говоря, отличную от температуры набегающего потока гелия. Найдено распределение темпера-, туры, давления и скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей в температурном и гидродинамическом пограничных слоях. Рассчитано гидродинамическое сопротивление пластины. Показано, что наличие теплового потока между гелием и пластиной оказывает существенное влияние на величину сопротивления, в частности, в этом случае нельзя использовать формулы Бдазиуса.
Рассмотрен случай, когда.температура пластины распределена по закону, Т = Cj+Cgtx) 11 константы) • Показано, что в этом случае уравнения гидродинамического пограничного слоя имеют автомодельное решение.
Подробно.исследуется случай обтекания гелием охлаждаемой пластины. Показано, что при этом образуется асимптотический пограничный слой, в котором сила сопротивления не зависит от вязкости гелия и пропорциональна произведению разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей в набегающем потоке на величину теплового потока между пластиной и гелием.
Найденный при исследовании теплообмена между гелием и твердым телом малый параметр позволяет эффективно использовать методы теории асимптотического сращивания для решения краевых задач.
Решена задача о течении гелия между, двумя вращающимися цилиндрами. Рассчитан момент сил, действующих на каждый цилиндр. Показано, что на величину момента сил существенное влияние оказывает как движение сверхтекучей.жидкости, так и наличие теплового потока между цилиндрами. Таким обра-. зом, при измерении вязкости сверхтекучего гелия в цилиндрическом вискозиметре необходимо учитывать этот тепловой поток.
Исследована задача о вращении цилиндра в бесконечном объеме сверхтекучего гелия. Определены условия, при кото-, рых эта задача имеет ограниченное решение. Найдено распределение температуры, давления и скоростей. Показано, что при наличии циркуляционного течения сверхтекучей жидкости, момент сил, действующих на цилиндр, линейно зависит от потока тепла между гелием и поверхностью цилиндра и не зависит от вязкости.
Основные термодинамические соотношения
Предположим, что сверхтекучий гелий представляет собой микроскопически однородную смесь двух жидкостей: нормальной и сверхтекучей. Причем, будем рассматривать эти две жидкос ти как совершенно самостоятельные объекты, заполняющие одно и то же трехмерное пространство, обладающие каждая своим соб ственным полем скоростей и своей внутренней энергией. Пред положим, что эти жидкости способны свободно превращаться друг в друга в каждой точке пространства в любой момент времени. Будем считать, что нормальная жидкость является обыкновенной классической жидкостью, обладающей всеми обычными термодина мическими и диссипативыыми свойствами. Наоборот, сверхтеку чая жидкость необычна. Она является истинной идеальной клас сической жидкостью, то есть жидкостью, лишенной каких-либо. ... диссипативных, а также и.тепловых свойств. Сверхтекучая жид кость может обладать только определенными упругими свойства ми. Она является, таким образом, чисто механической класси ческой системой.
Сверхтекучая жидкость, как мы сказали, лишена тепловых свойств.и поэтому бессмысленно...говорить об её энтропии.или температуре;.хотя.чисто формально можно все же считать, что. массовая плотность энтропии.сверхтекучей жидкости равна вез де и всегда нулю, а температура во всех её точках тоже всег да нулевая. . . -. Ниже все.величины с .нндексом Л - будем считать относящимися к нормальной жидкости, с индексом V - к сверхтекучей.
Движение нормальной и сверхтекучей-жидкостей относительно некоторой декартовой системы координат кинематически будем характеризовать двумя полями скоростей Vn и "tfsci эти величины являются функциями координат у.в рассматри ваемой точки пространства и времени t ( , А =1,2,3). Плотности нормальной и сверхтекучей жидкостей обозначим рп и д$ ; они также зависят от ХА и Г
Термодинамическое состояние бесконечно малой частицы нормальной жидкости будем характеризовать плотностью j „ , массовой плотностью энтропии 5Л (то есть плотностью в расчете на единицу массы нормальной жидкости) и плотностью . os , имеющейся.в данной точке сверхтекучей жидкости. Иногда будем говорить о давлении Р/ и температуре Т нормальной жидкости в данной точке пространства в заданный момент времени.
Термодинамическое состояние бесконечно малой частицы сверхтекучей жидкости будем характеризовать плотностью ps ж плотностью и , имеющейся в данной точке нормальной жидкости. Иногда будем также говорить.о давлении. Ps .сверх текучей . жидкости в данной точке пространства в данный момент времени. Термодинамические свойства нормальной..и сверхтекучей ... жидкостей будем считать заданными с помощью.фундаментальных функций массовых плотностей внутренних энергий UnsU (y« sn,c) и М$ = U ($s c) .этих жидкостей (то есть внутренних энергий в расчете на единицу массы). Величины с и -1-е. . . характериззшт относительные массовые концентрации нормальной и сверхтекучей, жидкостей соответственно выданной точке пространства в заданный момент времени, то есть
Когда функции Un($n,S ,c) и Us(p c) не зависят от с , будем говорить, что имеем дело с идеальной смесью нормальной и сверхтекучей жидкостей. Такая смесь может служить моделью сверхтекучего гелия, однако более реалистичной будет рассматриваемая модель неидеальной смеси.
Зная функции ип($п,$п,с) и Us (?*>) и значения Q*>9*,* можно по обычным термодинамическим формулам рассчитать значения всех других термодинамических величин для нормальной и сверхтекучей жидкостей. В частности, имеем формулы т- 0SL-р" -'*(*)'-<' p-':Sb-> которые можно рассматривать как формальные определения .температуры Т и давлений Рп , Р* нормальной и сверхтекучей жидкостей.
Поступим аналогично тому, как рассуждают в классической термодинамической теории химически реагирующих газовых и .... жидких смесей. Сверхтекучий гелий никоим образом не являєтеся по своей физической природе такой смесью. Но, тем не менее, введем в.рассмотрение внутреннюю энергию всей нашей смеси в целом. Формально определим фундаментальную функцию массовой плотности внутренней энергии U-u(ptstc) смеси в 22. расчете на единицу массы выражением
Уравнения двухжидкостной гидродинамики при отсутствии диссипации фазового превращения. Преобразование Лежандра. Сравнение с уравнениями Халатни-кова, Лондона, Хиллса и Робертса
Тогда из уравнения (2.62) получаем условие фазового равновесия ЪЦ (\fu-V}) ъТ = Т (2-64) Рассмотрим это условие вместе с термодинамическими соотношениями 40. P ?% T= (2.65) В качестве основных термодинамических переменных здесь выступают величины 9 jc Читывал (2.64),(2,65), можно в качестве основных взять переменные q3 s и \л/ - (и и- Л) . Совершим преобразование Іежандра от функции и-иС?, ) и переменных рд/ к функпии ц - и ($, 5 , wx) и переменным р, х, wa с помощью обычной формулы и = и- с -у Легко видеть, что тогда имеют место следующие соотношения UfV l /p, l l?)W7f (2.66)
Таким образом, условие фазового равновесия (2.64) позволяет перейти в термодинамических формулах к новым переменным д} sJ w путем введения функции . и , зависящей от квадрата разности скоростей х . ,. При этом ус-, ловие фазового равновесия заменяется термодинамическим соотношением (2.66) для определения концентрации с в функции от g,Sj wl
Система диссипативных уравнений двухжидкостной гидродинамики в случае отсутствия диссипации фазового превращения примет вид ч- dtv ( CQVb + (t-c)?Us )=0 (2.67) -f 1- 4 м мл - (2.68) Ъ-fr 7 ? т - -ьх (2.69) Г c i x/ x з / / г (2.70) Имеем 8 уравнений для определения 8 неизвестных вели-чин _у, 5у гГйл, V Величины Р, Т, с, 0 являются известными функциями - , w и задаются формулами п. 0il т =. 2. е = - 3 = й- + І - Тх (2#71) а - ы ( р w J а функция іл должна быть задана заранее как функция переменных л s vvl. 2.4.2. Приведем в немного преобразованном виде систему диссипативных уравнений двухжидкостнои гидродинамики, полученную Хиллсом и Робертсом [зі] - і (рс А, - p(t-c) й; = о (2#72) 42. = + іНЩ Щ Ї (2.73) Т р 1 f " -dxoc (2.74) + Tf K ЪЪ T J Y (lA v u (2.75) Имеем 8 уравнений для 8 величин д} Т} ъ\ % . Входящие в эти уравнения величины Р Г с,.Ф являются известными функциями $} Т) W и задаются следующими формулами - (2.76) причем считается раз навсегда заданной, известной .г Л функцией р7 "Г w - (У -1 ) Соотношения (2.76) можно представить в следующем эквивалентном виде. Введем новую функцию U = v7? + Г (Г 43. Переменными дхя (А будут р} 6 и wx . В соответствии с (2.76) получим соотношения -X Здесь & - заданная функция переменных , Г, w .
Таким образом, систему уравнений (2.72)-(2.75) можно рассматривать как систему 8 уравнений для 8 величин ?, б", тГил, V} Входящие в эти уравнения величины Р , Т , с , Ф являются известными функциями j ,d", w и задаются формулами (2.77).
Полученная система уравнений (2.72)-(2.75),(2.77) полностью, с точностью до обозначений, совпадает с приведенной выше системой (2.67)-(2.70),(2.71). Действительно, для полного совпадения достаточно положить s s а диссипативные коэффициенты пересчитать по формулам
В результате приходим к выводу, что система уравнений Хиллса и Робертса (2.67)-(2.71) является частным случаем выведенных нами уравнений при отсутствии диссипации фазового превращения.
Обратимся теперь к диссипативным уравнениям двухжидкостнои гидродинамики, предложенным Халатниковым [lO,Il] Прежде всего заметим, что в отличие от нас Халатников рассматривает диссипацию сверхтекучей жидкости, которая, как нам представляется, должна всегда мыслиться как лишенная какой-либо диссипации. С этой точки зрения введение диссипации в описание сверхтекучей жидкости нецелесообразно, поэтому при сравнении наших уравнений с. уравнениями Халатни-кова мы эту диссипацию учитывать не будем.
Асимптотический профиль пограничного слоя при обтекании сверхтекучим гелием охлаждаемой пластины
Рассмотрим плоское течение сверхтекучего гелия около полубесконечыой, твердой, гладкой, неподвижной пластины. Как и в задаче об асимптотическом профиле пограничного слоя в обычной вязкой жидкости [58] будем искать такое установившееся течение сверхтекучего гелия, в.котором все переменные зависят только от одной координаты у .
Будем считать, что компоненты скоростей нормальной Un 1Гц и сверхтекучей Us жидкостей, а также температура и давление заданы.на бесконечном удалении от поверхности пластины. На поверхности пластины обе. компоненты скорости нормальной.жидкоети в соответствии с условием прилипания равны нулю. Также на поверхности пластины обращается в нуль, в силу условия непротекания, и перпендикулярная стенке компонента скорости, сверхтекучей, жидкости. ...
Долная система диссипативных уравнений, двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия (2.51)-(2.57) в рассматриваемом случае сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений
К этим уравнениям необходимо добавить условие Ландау потенциальности течения сверхтекучей жидкости, которое в рассматриваемом случае имеет вид Us л dj = О-20 Обратим внимание на то, что несмотря на постоянство плотностей нормальной и сверхтекучей жидкостей условия div Th 0 , div U - О вообще говоря, не выполняются, так как нормальная и сверхтекучая жидкости.могут превращаться друг в друга. Собственно в этом и состоит одно из существенных отличий течений сверхтекучего гелия от течения обычной смеси двух несжимаемых нереагирующих компонент.
Граничными условиями на поверхности пластины будут: U„ =0, ТЯ, =0, 1& =0 при у=о (3.21) 76. На бесконечности зададим значения компонент скоростей нормальной жидкости, а также температуру и давление сверхтекучего гелия u„= tin , , ц-„= У . ,Т = Т«,, Р= Pro при у= с» (3.22) Также зададим на бесконечном удалении от пластины параллельную поверхности пластины скорость сверхтекучей жидкости Us = Ц х при у= со (3.23) Из этого граничного условия и (3.20) сразу вытекает, что продольная скорость сверхтекучей жидкости везде в потоке одна и та же и равна usa .
Из первого уравнения системы (3.19) и граничных условий (3.21) для скоростей гГЛ, г на поверхности пластины следует простое соотношение, связывающее эти скорости - fs r» (3.24)
После интегрирования уравнений (3.19). с учетом (3.24) получаем следующие.интегральные соотношения сохранения компонент импульса, энергии и следствие интеграла Бернулли для сверхтекучей жидкости t : - + р К+ Р-Ъ 9п9 Ти + $»\ги ии(и»-ц5) + р I 1Ги - де Т V/VH - qU uJ = ]% (3.25) 77. Константы интегрирования 7xj 7 y определяются из граничных условий (3.22) и равны 9« = - V„3«o + 7 VM«, + VHcoUH„(U -Usii (3.26) Система уравнений (3.25),после исключения переменных Р , Т , vs с учетом (3.24),(3.,26) сводится к двум дифференциальным ураВНеНИЯМ ДЛЯ Определения ПереМеННЫХ tin И и ys ay. Я J А p.tf„ (Uu Us) - у 1Л/ - 7у (3.27)
Температурный пограничный слой. Частным случаем поставленной выше задачи является задача о теплообмене между неподвижной плоской стенкой и сверхтекучим гелием при отсутст 78. вий продольного течения гелия вдоль.поверхности, когда параллельные стенке компоненты скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей везде равны нулю U» = U3 = О Тогда система уравнений (3.27) упрощается и сводится к единственному уравнению для определения перпендикулярной стенке компоненты скорости нормальной жидкости: к V" - Ш ftW + Мv„J - (0,-Ар) Л 7« = О (3.28) Вследствие (3.21),(3.22) граничные условия для 1Ги имеют вид: \їи- VH при у=оо , ц;=0 при у=0 (3.29) Уравнение (3.28) впервые было.получено при решении задачи о температурном скачке в работе [ 64J . Там же было предложено приближенное решение этого уравнения. Здесь мы покажем, что имеющийся в задаче малый параметр позволяет получить найденное приближенное решение.
Течение сверхтекучего гелия между двумя вращающимися цилиндрами
Введенный в 3.1. малый параметр в позволяет использовать методы теории асимптотического сращивания.при решении различных краевых задач в сверхтекучем гелии. В данном параграфе метод расчета течений сверхтекучего гелия вблизи нагретых и охлажденных поверхностей применяется для исследования задачи о течении сверхтекучего гелия между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами, имеющими различную температуру. Возникающий между цилиндрами тепловой поток, оказывается, существенно влияет на величину момента сил, действующего со стороны гелия на каждый цилиндр.
Пусть внутренний цилиндр радиуса Я вращается с угловой скоростью сой ., а его поверхность поддерживается при температуре Т а , радиус внешнего цилиндра - в , его температура и угловая скорость вращения Т в и to g соответственно. .
Предположим, что изменения температуры и давления в пространстве между цилиндрами малы, а плотности нормальной и сверхтекучей жидкостей, как и плотность энтропии постоянны.
Условие. Ландау потенциальности течения сверхтекучей жидкости в цилиндрической системе координат, ось . г которой направлена вдоль центральной оси вращения цилиндров, имеет вид (шг) = о 104. а следовательно _ Us о О Us - = - =— (3.68) где Uio - значение скорости сверхтекучей жидкости на поверхности внутреннего цилиндра.
Полная система уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия [65,7Ij , описывающая установившееся течение, в котором все переменные .зависят только от радиальной координаты . Г , сводится к следующим трем обыкновенным дифференциальным уравнениям, в которые входят температура Т и компоненты скорости нормальной жидкости
В качестве граничных условий зададим температуру на .. поверхностях цилиндров, а также потребуем выполнения условий прилипания нормальной жидкости к стенкам цилиндров характеризует толщину образующихся вблизи твердых поверхностей цилиндров, погруженных в гелий, температурных пограничных слоев, в которых происходят основные изменения температуры и перпендикулярных к поверхностям.компонент скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей.
Решение уравнений (3.69) с граничными условиями (3.70), (3.71) ищем в виде разложений по малому параметру р .В результате в температурном пограничном слое вблизи поверхности внутреннего цилиндра находим, что Заметим, что при Са/и -.- в формулах (3.74), (3.75) необходимо внести изменения. В частности, вместо последнего выражения для скорости Uv\ В (3.74) будем иметь
Костанты . Aj ., &2 . определяются при сращивании с решениями (2.72),(2.73)..Так как эти изменения не носят принципиального характера, то подробнее_мы на них.останавливаться не будем, тем более, что рассматриваемый случаи может быть реализован либо при очень маленьких радиусах цилиндров ( Q 0,1. мм) О. и о , либо при очень больших потоках тепла, когда величина скорости . VW становится большой и её значение превышает критическую скорость сохранения ламинарного режима течения в сверхтекучем гелии. 3.4.2. Известны эксперименты [бз] , в которых реализо-г вывалась ситуация,, при которой сверхтекучий гелий заставляли течь между двумя покоящимися цилиндрами» имевшими на поверхностях разные температуры ( Тд 1g ). Измерялась -зависимость крутящего момента сил, действующего.со стороны гелия .на внутренний цилиндр, от теплового потока между цилиндрами.
Таким образом, при отсутствии вращения цилиндров крутящий момент сил, действующи!! на внутренний цилиндр, линейно зависит от произведения теплового потока Q-$sTVi« o между, цилиндрами и скорости вращения Uso сверхтекучей жидкости. Обнаруженный экспериментально в бЗ крутящий момент сил, линейно зависел от потока тепла Q . К сожалению, в [бЗ] не приводится данных о диаметре внешнего пилиндра и о скорости Uso , поэтому провести.подробное.сравнение результатов экспериментов . [бз] с формулой (3.76) не представляется возможным..Недостатком работы [63J ,по нашему мнению, является и то, что в ней при расчетах использовалась формула для момента сил, выведенная из бездиссипа-тивных уравнений ...двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия [53J , что привело к появлению в окончательной расчетной формуле "скорости проскальзывания" нормальной . жидкости, физический смысл которой в [53,63J раскрыт не был.
