Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод прямого статистического моделирования 13
1.1 Метод псм и его связь с уравнением больцмана 15
1.2 Сравнение схемы мажорантной частоты с другими подходами 40
1.3 Схема монте-карло с временной релаксацией 53
1.4 Заключение по главе 70
ГЛАВА 2. Исследование процесса оптического захвата газа нерезонансным излучением с учетом межмолекулярных столкновений 74
2.1 Поляризуемая частица в поле оптической решетки 77
2.2 Течение газа при оптическом захвате 80
2.3 Исследование оптического захвата газа методом ПСМ 83
2.4 Заключение по главе 92
ГЛАВА 3. Разделение смеси газов за счет оптического захвата 94
3.1 Разделение смеси газов оптической решеткой 96
3.2 Использование импульсного лазерного излучения для разделения газа в капилляре 106
3.3 Заключение по главе 115
Заключение 116
Литература 117
- Сравнение схемы мажорантной частоты с другими подходами
- Течение газа при оптическом захвате
- Исследование оптического захвата газа методом ПСМ
- Использование импульсного лазерного излучения для разделения газа в капилляре
Введение к работе
Оптический захват газа, возникающий при взаимодействии пересекающихся лучей лазера высокой интенсивности с поляризуемыми атомами и молекулами, открывает новые возможности для диагностики и управления газовыми потоками [1].
Градиентная дипольная сила, образующаяся при взаимодействии неоднородного оптического поля с диэлектрической частицей или поляризуемой молекулой газа, широко используется для манипуляции объектами микронного размера (так называемый оптический пинцет): диэлектрическая частица удерживается около лазерного луча из-за неоднородности интенсивности излучения в его радиальном направлении. Если размер частицы меньше длины волны лазера, то появляется возможность использовать градиент интенсивности излучения внутри интерференционной решетки, который значительно больше, чем радиальное изменение интенсивности в лазерном луче. Впервые на возможность захвата нейтральных атомов в узлах или пучностях стоячей световой волны было указано Летоховым [2]. Последующие исследования взаимодействия поляризуемых атомов и стоячих волн оптического излучения главным образом относились к формированию и манипуляции атомными пучками [3], [4], [5], а также охлаждению атомов [6], [7].д Это было связано в первую очередь с малой величиной потенциала взаимодействия оптической решетки и поляризуемых атомов по сравнению с энергией теплового движения молекул при комнатной температуре.
Современные широкодоступные лазеры обладают интенсивностью лазерного излучения 1010-10и Вт/см2 [8], что позволяет создавать оптические решетки с глубиной потенциала порядка 100 К. Это делает возможным захват существенной части атомов и молекул при комнатной температуре [9]. В последующих работах этих авторов было показано, что с помощью оптического захвата газа можно манипулировать молекулами в нейтральном сверхзвуковом пучке [10], в частности, использовать оптический захват для ускорения молекул до скоростей порядка 10-100 км/с на масштабах 100 мкм и 10 нс [9]. Также была показана возможность использования эффекта оптического захвата для создания времяпролетных детекторов, основанных на разнице масс и поляризуемостей компонент исследуемого вещества [11], и производить локальный нагрев и ускорение газа, что может являться перспективным методом увеличения тяги реактивных микродвигателей [12]. В работе [13] предлагается осуществлять мелкомасштабное перемешивание смеси газов за счет эффекта оптического захвата, а в работе [14] показана возможность создания течений в трубках малого размера и разделения смеси газов в капиллярах. Разделение происходит за счет селективного действия градиентной
дипольнои силы на молекулы и атомы с различным значением поляризуемости и массы [9]. Рассеяние Релея - Брюллиена на возмущениях плотности газа, вызванных оптическим захватом, позволяет проводить локальную диагностику потока [15]-[20]. Таким образом, оптический захват газа является перспективным направлением исследований и может найти широкое применение в аэрогазодинамике.
Эффект оптического захвата при течении разреженного газа в свободномолекулярном режиме позволяет ускорять или замедлять группу захваченных молекул. При увеличении давления газа средняя длина свободного пробега между столкновениями становится соизмеримой с периодом оптической решетки. Например, при комнатной температуре средняя длина свободного пробега атомов гелия становится равной характерному значению периода оптической решетки 0,5 мкм при давлении приблизительно 200торр. В результате межмолекулярных столкновений происходит изменение скорости захваченных оптической решеткой молекул газа, что приводит к уменьшению числа захваченных частиц. В свою очередь, изначально незахваченные молекулы газа после столкновения могут попасть в область захвата. Таким образом, межмолекулярные столкновения оказывают существенное влияние на процесс оптического захвата газа. Поэтому вопрос о влиянии межмолекулярных столкновений на оптический захват газа является важным для анализа механизма оптического захвата.
Процесс оптического захвата газа сопровождается выделением тепловой энергии и изменением импульса газа [13], что может приводить к созданию больших градиентов температуры и давления. Учет влияния этих градиентов становится важным при исследовании разделения смеси газов. В этом случае действие оптической решетки на смесь газов не ограничивается разделением за счет селективности возникающей пондеромоторной силы и вызывает дополнительное разделение компонент, связанное с баро- и термодиффузией. Поэтому оценка вклада баро- и термодиффузии по сравнению с селективностью представляется интересным вопросом для понимания механизма разделения под действием оптической решетки.
Поскольку для реализации оптического захвата газа при комнатной температуре необходимы лазерные поля высокой интенсивности, то для экспериментальной реализации эффекта оптического захвата необходимо использовать импульсные лазерные источники. Поэтому особый интерес представляет процесс развития оптического захвата при малых временах от начала воздействия излучения (10-100 не). Моделирование нестационарного процесса оптического захвата может позволить выявить и описать явления, возникающие в газе под действием оптической решетки.
При оптическом захвате газа изначально равновесная функция распределения молекул по скоростям после взаимодействия с оптической решеткой ставится далекой от максвелловской равновесной функции распределения. Для расчета течения газа, когда распределение молекул по скоростям сильно отличается от равновесного распределения, в общем случае необходимо решать кинетическое уравнение Больцмана. Таким образом, вопрос о влиянии межмолекулярных столкновений на процесс оптического захвата может рассматриваться как исследование течения разреженного газа в присутствии внешней силы, действующей со стороны оптической решетки.
Уравнение Больцмана является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением относительно одночастичной функции распределения молекул по скоростям. Вычисление интеграла столкновений и многомерность уравнения Больцмана (пространство координат и скоростей молекул) затрудняют использование аналитических и численных конечноразностных методов, что делает метод прямого статистического моделирования (ПСМ) наиболее эффективным методом изучения течений разреженного газа. Широкое распространение метода ПСМ для проведения численных исследований объясняется в первую очередь применимостью метода для рассмотрения течений разреженного газа со сложной геометрией, а также его гибкостью при учете различных дополнительных физических эффектов. В качестве примера можно привести разработанные для метода ПСМ модели переменных твердых сфер для учета особенностей межмолекулярного взаимодействия и модель Ларсена-Боргнагкке для внутренних степеней свободы [22]. Использование таких специальных моделей при получении численных результатов сопоставляется решению кинетического уравнения Больцмана с соответствующим интегралом столкновений и учетом внутренних степеней свободы молекул. Относительная простота учета дополнительных физических факторов и применимость метода ПСМ для описания течений при различном уровне межмолекулярных столкновений делает этот метод, в частности, удобным инструментом для изучения эффекта оптического захвата газа, при этом влияние градиентной дипольной силы, действующей на поляризуемые молекулы газа, достаточно просто учесть в процедуре передвижения молекул.
Для численного исследования нестационарного процесса оптического захвата газа методом ПСМ требуются значительные вычислительные ресурсы, поэтому необходимо исследование возможностей повышения вычислительной эффективности и проведения оценки точности численных результатов. Оба приведенных направления исследований метода ПСМ тесно связаны, в частности, с необходимостью моделирования течений газа, проходящих в околоконтинуальном режиме при достаточно слабой разреженности (малых
значениях числа Кнудсена), когда вычислительная трудоемкость метода ПСМ становится экстремально высокой [23]. Поэтому важно выбрать эффективную численную схему метода ПСМ, способ проведения оценки макропараметров и определить эффективный способ контроля точности результатов. Методические исследования, представленные в первой главе диссертации, представляют интерес не только для моделирования процесса оптического захвата, но и для расчета течений разреженного газа в околоконтинуальном режиме.
В то время как определение численной ошибки решения для разностных методов является хорошо разработанной темой, для метода ПСМ вопрос о близости результатов моделирования к решению уравнения Больцмана по-прежнему остается актуальным. Известно, что метод ПСМ является стохастическим численным методом решения кинетического уравнения для iV-частичной функции распределения, которое переходит в уравнение Больцмана при N —> оо [24], [25]. Поэтому предполагается, что численные результаты, полученные методом ПСМ, являются решением уравнения Больцмана в пределе, когда число частиц стремиться к бесконечности, а размер временного шага и ячеек стремится к нулю. На практике обычно проводится серия расчетов с изменением параметров моделирования (уменьшение размера ячеек и временного шага, увеличение числа моделирующих молекул) и показывается сходимость результатов моделирования. Для течений в около-континуальном режиме (особенно двух- и трехмерных) проведение такой серии расчетов часто не представляется возможным, поэтому для оценки отклонения численного решения от решения уравнения Больцмана должны использоваться другие критерии. Разработка критериев оценки точности результатов моделирования является насущной проблемой для численных исследований в области динамики разреженного газа.
Помимо развития методов оценки точности численного решения, важной составляющей проверки применимости метода ПСМ для описания течений разреженного газа в околоконтинуальном режиме является сравнение кинетических расчетов (метод ПСМ для уравнения Больцмана) с континуальным подходом (уравнения Навье-Стокса). При проведении сравнения кинетического и континуального подходов особенный интерес представляют течения, которые демонстрируют кинетические эффекты при небольших числах Кнудсена. Яркими примерами таких важных для проверки численного инструментария задач являются задача о теплопередаче и течение Куэтта. Помимо классических кинетических эффектов (теплопроводность, вязкое трение и диффузия), учитываемых при континуальном подходе введением соответствующих кинетических коэффициентов, интересны также особенности околоконтинуальньгх течений, не
описываемые в рамках приближения Навье-Стокса. Например, наличие слабого минимума в плоском течении Пуазейля между двумя пластинами под действием объемной силы [26].
Учитывая высокие требования к вычислительным ресурсам статистических методов моделирования, острый интерес вызывают разработки новых перспективных схем и алгоритмов метода ПСМ, которые используют принципы потенциально позволяющие сократить требуемое время расчетов.
Одной из новых перспективных численных схем метода ПСМ является схема Монте-Карло с временной релаксацией [27]. Перспективность этой схемы для околоконтинуальных течений основана на том факте, что при увеличении частоты столкновений функция распределения сталкивающихся молекул достаточно быстро становится близкой к равновесной функции распределения Максвелла. Поэтому реализацию некоторой части столкновений при моделировании околоконтинуального течения можно заменить розыгрышем скоростей после столкновений из локального распределения Максвелла. Такая замена может существенно повысить скорость вычислений при моделировании около-континуальных и континуальных течений с использованием частиц [28]. Рекурсивная версия схемы Монте-Карло с временной релаксацией допускает анализ с использованием представления реализуемых комбинаций столкновений в виде графов [29]. Такой анализ позволил показать принципиальную возможность замены расчета столкновений на выборку скоростей молекул после столкновения. Возможность использования этого приема для повышения эффективности метода ПСМ требует более глубокого исследования.
Таким образом, рассмотренные в диссертации вопросы, связанные с оценкой точности численных результатов метода ПСМ, со сравнением решения уравнений Навье-Стокса и результатов моделирования методом ПСМ для течений разреженного газа в околоконтинуальном режиме, с возможностями использования схемы мажорантной частоты без расщепления по времени и схемы Монте-Карло с временной релаксацией, являются важными для повышения эффективности численных исследований течений разреженного газа и, в частности, течений газа при взаимодействии с оптической решеткой.
Цель диссертации: Анализ особенностей оптического захвата газа с учетом межмолекулярных столкновений и механизма разделения смеси газов.
В соответствии с вышеупомянутыми целями работы были исследованы следующие задачи:
исследовать связь точности результатов метода ПСМ для численного решения уравнения Больцмана и уровня «повторных столкновений», то есть выполнения
гипотезы о молекулярном хаосе, на примере классических задач динамики
разреженного газа;
выполнить сравнение схемы мажорантной частоты метода ПСМ с другими схемами и
подходами для численного исследования течений разреженного газа, в частности
провести сравнение со схемой ПСМ Берда и уравнениями Навье-Стокса с условиями
скольжения и температурного скачка на стенке;
для схемы Монте-Карло с временной релаксацией исследовать способы отбора графов,
представляющих последовательности столкновений моделирующих молекул, для
замены реализации столкновений на перераспределение согласно равновесной
функции распределения;
изучить возможность замены столкновений на перераспределение скорости молекул
согласно равновесной функции распределения и влияние этой замены на
вычислительную эффективность схемы Монте-Карло с временной релаксацией
метода ПСМ;
выполнить анализ уравнения Больцмана для течения разреженного газа при наличии
периодической дипольной силы, действующей со стороны оптической решетки;
получить безразмерные параметры этого течения;
изучить особенности оптического захвата при- различных величинах безразмерных
параметров, соответствующих различному уровню межмолекулярных столкновений и
интенсивности лазерного излучения;
определить вклад баро- и термодиффузии в разделение компонент газовой смеси,
возникающее под действием оптической решетки;
проанализировать влияние селективности оптического захвата и бародиффузии при
импульсном воздействии оптической решетки
В работе получены следующие новые научные результаты:
Показана возможность использования числа повторных столкновений и числа моделирующих молекул, пересчитанного на- область с линейными размерами равными средней длине свободного пробега, в качестве индикатора отклонения результатов ПСМ от решения уравнения Больцмана.
На примере классических задач динамики разреженного газа исследованы различные алгоритмы и схемы метода ПСМ. В частности, показана возможность применения точной по времени реализации схемы мажорантной частоты метода ПСМ (без использования расщепления по времени) для оценки точности численных результатов метода ПСМ. Также рассмотрена возможность увеличения численной эффективности схемы Монте-Карло с временной релаксацией метода
ПСМ с использованием замены реализации межмолекулярных столкновений на перераспределение согласно функции Максвелла.
С помощью анализа уравнения Больцмана для течений разреженного газа с учетом градиентной дипольной силы при наличии интерференционной решетки были получены безразмерные параметры, характеризующие такие течения. С помощью прямого статистического моделирования течения газа при оптическом захвате изучено влияние межмолекулярных столкновений на процесс оптического захвата. Выявлена роль обмена между группами захваченных и незахваченных молекул газа за счет межмолекулярных столкновений в изменении скорости развития оптического захвата.
Численно продемонстрирована двухмасштабность развития оптического захвата газа, определяемая временными масштабами взаимодействия с оптической решеткой и столкновительной релаксации газа. Получено смещение столкновительного режима оптического захвата газа в сторону больших значений числа Кнудсена при уменьшении интенсивности лазерного излучения. Наблюдаемые численно различные режимы захвата объяснены с помощью анализа безразмерных параметров.
Проведена оценка вклада термо-, бародиффузии и селективности объемных сил при разделении компонент газовой смеси с использованием явления оптического захвата. Было получено новое аналитическое выражение для объемной силы, действующей на компоненты газовой смеси в переходном режиме оптического захвата (при Кпг>1). С использованием этого аналитического выражения и
расчетов методом ПСМ было показано, что бародиффузия, возникающая под действием оптической решетки, может давать вклад равный или больший, чем вклад селективности объемных сил. Вклад термодиффузии в разделение составляет меньшую величину и становится значительным только на периферии оптической решетки, где могут иметь место большие градиенты температуры.
Показано, что вклад бародиффузии в разделение смеси газов при импульсном воздействии оптической решетки может превосходить действие селективности объемных сил более чем в семь раз.
Проведены оценки времени затухания возмущения в газе, находящемся внутри замкнутой трубки, после импульсного воздействия оптической решетки. В частности, оценки показывают, что для трубки длинной 1 см и радиусом 1 мм импульсное воздействие с частотой 10-30 кГц может позволить сохранить уровень возмущений в газе.
Полученные результаты способствуют значительному углублению понимания особенностей течения разреженного газа при оптическом захвате. Результаты исследований имеют большое значение для широкого круга приложений, в которых может применяться эффект оптического захвата газа: аэрокосмическая техника, разделение смесей газов и изотопов, создание микроэлектромеханических систем (МЭМС) и методы аэрофизических измерений.
Положения, выносимые на защиту:
Результаты исследования индикаторов точности численных результатов метода ПСМ, основанных на оценке доли повторных столкновений и числа моделирующих молекул в области с линейными размерами, равными локальному значению средней длины свободного пробега.
Модификация схемы Монте-Карло с временной релаксацией метода ПСМ и результаты исследования замены реализации столкновений перераспределением скорости молекул согласно равновесной функции распределения.
Результаты исследования влияния межмолекулярных столкновений и интенсивности лазерного излучения на процесс оптического захвата газа.
Результаты численного исследования развития оптического захвата при различном уровне межмолекулярных столкновений; столкновительный обмен между группами захваченных и незахваченных молекул.
Результаты исследования разделения смеси газов под действием оптической решетки; оценка вклада баро- и термодиффузии в разделение.
Исследование течения смеси газов под действием импульсной оптической решетки внутри трубки с закрытыми торцами. '
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В главе 1 представлены исследования, связанные с применением гипотезы о молекулярном хаосе, используемой при выводе уравнения Больцмана, для оценки точности результатов ПСМ. На примере классических задач о течении разреженного газа показано, что число повторных столкновений может быть использовано в качестве индикатора отклонения численных результатов от решения уравнения Больцмана. Также показано, что необходимое для высокой точности моделирования число моделирующих молекул в методе ПСМ может быть определено через оценку числа частиц в области течения, имеющей размеры порядка локальной средней длины свободного пробега (лямбда-ячейка). Здесь же исследуется применимость уравнений Навье-Стокса для описания течений разреженного газа в околоконтинуальном режиме. В конце главы
проводится анализ схемы Монте-Карло с временной релаксацией метода ПСМ, основанный на использовании представления последовательности столкновений в виде графов. Также представлены результаты численного анализа замены реализации столкновений на перераспределение скоростей молекул согласно равновесной максвелловской функции распределения.
Сравнение схемы мажорантной частоты с другими подходами
Уравнения Навъе-Стокса для течений разреженного газа. Функция распределения молекул по скоростям в приближении уравнений Навье-Стокса получается при разложении решения уравнения Больцмана в ряд Гилберта с сохранением двух первых членов ряда [41] и имеет вид: значения температуры, давления и компонент тензора напряжений. Параметры Т, р, р.. могут быть найдены путем решения уравнений Навье-Стокса, которые в декартовой системе координат принимают следующий вид: Последние соотношения выражают закон теплопроводности Фурье, закон вязкости Ньютона и уравнение состояния. Приближение (1.23) и, соответственно, уравнения (1.24) учитывают члены первого порядка по числу Кнудсена. Около границы твердой поверхности присутствует слой Кнудсена толщиной порядка X, где приближение (1.23) неверно. При обычных граничных условиях прилипания и равенства температуры газа температуре стенки потеря точности решения из-за скачка температуры и проскальзывания на стенке внутри слоя Кнудсена пропорциональна длине свободного пробега (или числу Кнудсена Кп). Поэтому решение вдали от стенки также претерпевает отклонение порядка Кп. Для восстановления точности решения до второго порядка по ЬСп вне слоя Кнудсена используются фиктивные граничные условия в форме проскальзывания и скачка температуры на стенке [41]: Здесь Л = у[ж/2/і/уІрр — значение длины свободного пробега на стенке, константы аи = 0.858, ае = 0.827, аи и ае — коэффициенты аккомодации (см. более подробно в [41]). Обычно считается, что уравнения Навье-Стокса с граничными условиями (1.25), (1.26) описывают течения разреженного газа в переходном режиме при Кп 0,1. О таком режиме течения разреженного газа в иностранной температуре принято говорить как околоконтинуальном (near-continuum regime).
Действительно, для ряда классических задач динамики разреженного газа, таких как течение Пуазейля и течение Куэтта, когда взаимодействие с твердой поверхностью оказывает определяющее влияние на все течение, использование этих граничных условий позволяет существенно уточнить профили макропараметров. Однако даже для Кп — 0,1 могут возникать особенности течений газа, которые не описываются в рамках приближения Навье-Стокса. Примером может служить продольная компонента потока тепла при отсутствии градиента температуры в этом направлении для течения Куэтта при высокой скорости пластин (см. п. 1.1.5). Другой пример, рассмотренный в данной работе — наличие минимума на профиле температуры поперек канала для плоского течения Пуазейля под действием объемной силы.. В настоящей части рассмотрен вопрос о применимости континуального подхода для описания околоконтинуальных течений газа. Целью данного исследования был сравнительный анализ континуального и кинетического подходов на примере решений для плоского течения между двумя параллельными пластинами и плоского течения Пуазейля под действием объемной силы. Рассмотрим установившееся течение одноатомного газа между двумя пластинами. Уравнения Навье-Стокса сводятся к выражениям для баланса энергии и импульса с граничными условиями (1.25), (1.26). Ось х направим перпендикулярно плоскости пластин, ось у — в сторону движения стенки 2. Из уравнения неразрывности и условия непротекания на стенке следует, что течение газа в направлении х отсутствует, и = 0.
Уравнение для поперечной компоненты импульса сводится к виду а уравнение для продольной компоненты импульса и уравнение энергии приобретают вид: здесь v — скорость газа в направлении у, fi — вязкость, коэффициент теплопроводности к выражен через вязкость и число Прандтля Рг = //ср/ Г = 2/3,ср - yj{y-\), 9t— универсальная газовая постоянная, у —1,4 — отношение теплоємкостей. Для степенного закона зависимости вязкости от температуры fi = jUref\T/Tref) , в случае молекул -твердых сфер 6) = 0,5. Используя кинетическую теорию, можно выразить коэффициенты вязкости и теплопроводности через характеристики молекул газа [35]: Переходя к безразмерным координатам v = v,v, Т=Т{Г, /1 = ju(Tl)fi = /г(Г,)л/Г, х = їх (тепловая скорость v, = sJ2RTx ), запишем (1.28), (1.29) как Первое уравнение в (1.31) определяет напряжение трения в газе. Задача имеет две величины, независящие от х: р и р , первый параметр определялся в процессе счета из условия-равенства средней плотности заданной величине а величина р может быть получена после расчета течения Решение уравнений (1.31) проводилось методом стационирования с использованием схемы центральных разностей второго порядка, граничные условия (1.25), (1-26) реализовывались конечными разностями второго порядка точности. Сходимость схемы была проверена численно, при этом итерационная переменная т = 0,8Ах max/=а дг (/і. )/2 Течение Куэтта. С целью демонстрации влияния эффектов разреженности проведено численное решение (1.31) без учета скольжения и скачка температуры. Исследование сходимости по сетке на примере величины давления р = p/nQmvf для рассматриваемого случая Кп = 0,01 и 5 = 5 представлено в Таблица 3. Подгонка параметров p ,k,h зависимости p,=:pL kN h по методу наименьших квадратов позволило провести оценку порядка сходимости расчетной величины давления по расчетной сетке и предельное значение давления. Видно, что учет эффектов разреженности для уравнения Навье-Стокса вносит поправку в величину давления, составляющую 3,7%. Результат ПСМ для этого течения дает практически постоянное по области давление, оценка р = 2,129 со статистической погрешностью 0,5%.
Высокая точность результатов ПСМ обеспечивалась использованием неоднородной пространственной сетки (около стенок величина столкновительных ячеек в 5 раз меньше локальной длины свободного пробега), корректно выбранным временным шагом At/rcl 0.3 и числом моделирующих молекул (100 молекул в Х-ячейке), доля повторных столкновений в области не превосходила 1%. На Рис. 10 представлены профили скорости и температуры газа. Из Рис. 10 (а) видно, что уравнения Навье-Стокса с граничными условиями (1.25), (1.26) дают практически совпадающий с результатом ПСМ профиль скорости (за исключением слоя Кнудсена, показанного на врезке). Профиль скорости и температуры, полученный с помощью уравнений Навье-Стокса с граничными условиями прилипания, значительно сильнее отклоняется от результатов ПСМ; Использование граничных условий (1.25), (1.26) позволяет в 4 раза улучшить совпадение величины температуры в центре xlL — 0,5. Таким образом полученные результаты демонстрируют, что учет эффектов разреженности для уравнений Навье-Стокса существенно улучшает совпадение полей скорости и температуры с результатами, полученными методом ПСМ. Сравнение величин qx и q позволяет сказать насколько верно используемое приближение и указывает на применимость уравнений Навье-Стокса для описания течения Куэтта в рассматриваемом режиме. Также, сравнение получаемого из закона Фурье значения qx с решением уравнения Больцмана делает более очевидной разницу в функции распределения, поскольку поток тепла является функцией моментов более высокого порядка, чем скорость и температура. В используемых безразмерных переменных поток тепла определяется как q = n0mvfq , и преобразование выражения (1.30) дает выражение Фурье в безразмерных переменных в виде
Течение газа при оптическом захвате
Моделирование нестационарного течения одноатомного газа с учетом действия градиентных сил проводилось в пространственно-одномерной постановке с периодическими граничными условиями на входной и выходной границе. Расчетная область вмещала один период решетки / = 2я7q. Для проведения столкновений использовалась модель молекул-твердых сфер, диаметр молекулы d = 4,092-10 WM, масса молекулы т — 6,64 10"26 кг, поляризуемость а — 5 10-41 Кл2м/Н. Для реализации межмолекулярных столкновений применялась схема мажорантной частоты с расщеплением по времени. Реализация воздействия оптической решетки за счет градиентной силы (2.4) осуществлялась на этапе свободномолекулярного переноса. Для этого проводилось решение уравнений (2.6) и определялось новое положение частиц через временной шаг At. 2.3.1 Влияние межмолекупярных столкновений на процесс оптического захвата газа Параметры поля оптической решетки выбирались такими, что бы скорость захвата была У,г=500м/с, фазовая скорость решетки Vf=lQQulc, а период интерференционной решетки Л, =2я7# = 400нм. Эти величины соответствуют оптической решетке, В начале моделирования скорости молекул разыгрывались по распределению Максвелла с температурой Го = 300 К, тепловая скорость vT =353,2 м/с. Отношение скорости захвата к тепловой скорости Vlr/vT =1,416, а скорости решетки — Vf /vT = 1,982. Расчетная область разбита на 200 равных столкновительных ячеек. Временной шаг в расчетах выбирался из условия vTAt/Ax l и был равен 1,6 10" С. Проведены расчеты для трех случаев: 1) случай Кп = 10, плотность газа п — 3,3605-1023 м"3 — близкий к свободномолекулярному режиму; "УЛ. Ч 2) случай Кп = 1, плотность газа п = 3,3605 10 м" — переходный режим; 3) случай Кп = 0,1, плотность газа п = 3,3605 1025 м"3 — околоконтинуальный режим; (начальное давление ро= 1392 Па, 13920 Па и 139200 Па соответственно). На Рис. 32 для случая 1 представлены профили функции распределения скорости молекул Vx, направленной вдоль оси решетки. Функция распределения усреднялась по периоду оптической решетки: {f(x Vx)), = [ /( , )Л:/(п ), и рассчитывалась в разные моменты времени. В начальный момент времени оценка функции распределения представляет собой распределение Максвелла, соответствующее температуре 300 К и нулевой скорости газа. Из графика видно, что в момент времени t=0,8 не значительная часть захваченных молекул приобретает скорость vx 1000 м/с. Такое быстрое изменение функции распределения обусловлено колебательным движением частиц в оптическом поле (период малых колебаний Ттс =2ж/(00$с =1,6 не).
Как показывают профили функции распределения при t = 1,6 не; 2,4 не; 3,2 не и 4 не, при дальнейшем развитии оптического захвата газа в диапазоне скоростей, который соответствует области захвата 200 м/с VX 1200 м/с, формируется плато на графике функции распределения. Формирование плато на профиле (f{Vx)S качественно согласуется с аналитическими и численными исследованиями других авторов [13], а также с результатами эксперимента [72]. При временах t больше среднего времени между столкновениями tc A/vT = 11,33 не функция распределения сглаживается (см. Рис. 32 момент времени t = 19,2 нс). Для г = 38,4; 57,6; 76,8 не появляется значительная доля молекул, двигающихся быстрее скорости захвата Vf +Vtrap = 1200 м/с, что указывает на накачку энергии от движущейся оптической решетки в поступательную степень свободы v,. Из графика на Рис. 32 для t = 96 не видно, что газ двигается со средней скоростью близкой к скорости решетки, потому что максимум функции распределения (f(vx)\ смещается в vx =700 м/с, а ее профиль принимает форму близкую к симметричной. Такие изменения указывают на термализацию функции распределения, т.е. протекание процесса установления статистического равновесия за счет межмолекулярных столкновений и взаимодействия с потенциалом решетки. Нагрев газа, взаимодействующего с оптической решеткой значительно дольше характерного времени между столкновениями 1/v, может быть просто объяснен, если рассмотреть захват в системе отсчета, связанной с оптической решеткой. В этой системе отсчета начальная энергия поступательного движения газа как целого pVf2 /2 за счет взаимодействия с решеткой и межмолекулярных столкновений полностью переходит в тепловую энергию, что в случае одноатомного газа вызывает нагрев на АГ = iriVf21ъкв =785,5 К. Заметим, что AT зависит только от фазовой скорости оптической решетки (т.е. от разницы частот лазеров Асо). Это указывает на возможность произвести сильный локальный нагрев газа, при этом величина нагрева в рамках использованных предположений не зависит от глубины потенциальной ямы (интенсивности лазерного излучения). Механизм нагрева газа в этом случае объясняется обменом между группой захваченных и незахваченных частиц: столкновения приводят к тому, что захваченные частицы могут покидать область захвата, а незахваченные частицы пополняют число захваченных частиц, интенсивно взаимодействующих с потенциалом. Поэтому скорость такого обмена имеет сильное влияние на скорость нагрева. Отличие оценочной и расчетной максимальной температуры объясняется тем, что в оценках не было учтено изменение полной энергии- газа до и- после- включения поля, которое составляет малую величину. Для Кп = 1 (случай 2, Рис. 33) характерное время между столкновениями составляет величину порядка периода колебаний Ттс. Из графика (f(yx)) на Рис. 33 видно, что функция распределения гладкая даже при малых временах Г = 0,8 не.
Развитие захвата газа при наличии столкновений приводит к тому, что накачка энергии происходит быстрее. По-сравнению со случаем 1, плато на функции распределения в области захвата выражено слабее, а термализация происходит быстрее: уже при = 9,6нс максимум (/(vv)) ПРИ vx =0 выражен слабо. При г = 24не функция распределения симметричная и широкая, что соответствует нагреву газа. Дальнейшее увеличение уровня столкновений Кп = 0,1 (случай 3, Рис. 34) приводит к отсутствию плато на профиле функции распределения. Как видно из Рис. 34, нагрев и ускорение газа происходит одновременно с развитием захвата. Профиль функции распределения близок к симметричной форме как в начале оптического захвата (г = 1,6нс на графике Рис. 34), так и при t = 8 не, что указывает на усиление влияния оптического поля на незахваченные молекулы при Kn = 0,1. Сопоставление эволюции функции распределения для представленных трех случаев показывает, что время разгона газа до скорости решетки и нагрева во всех случаях порядка среднего времени свободного пробега. Столкновения приводят к тому, что захваченная частица покидает область захвата в пространстве скоростей, а изначально незахваченные частицы могут попасть в область захвата. Из представленных результатов
Исследование оптического захвата газа методом ПСМ
Сопоставление эволюции функции распределения для представленных трех случаев показывает, что время разгона газа до скорости решетки и нагрева во всех случаях порядка среднего времени свободного пробега. Столкновения приводят к тому, что захваченная частица покидает область захвата в пространстве скоростей, а изначально незахваченные частицы могут попасть в область захвата. Из представленных результатов моделирования для случая 3 видно, что такой обмен между захваченными и незахваченными частицами в случае высокого уровня столкновений приводит к отсутствию выраженной группы захваченных молекул. Таким образом, численные результаты указывают на причину большей эффективности использования решетки с постоянной скоростью для переходного и околоконтинуального режима захвата. Зависимость скорости и температуры газа от времени показана на Рис. 35. Для случая 1 видно, что за время порядка Та5с скорость повышается приблизительно на 50 м/с. При временах t»Tosc скорость монотонно растёт. Для случаев 2 и 3 разгон газа происходит значительно быстрее, чем для случая 1. Скорость газа увеличивается, пока не достигнет максимального значения 700 м/с. График температуры качественно повторяет график скорости. Видно, что максимальная величина нагрева близка к полученной в оценках величине 1085,5К. Для случая 3 в момент времени 33,9нс температура составляла Представленные результаты моделирования наглядно показывают, что причина такого отличия скорости нагрева и ускорения газа состоит в двухмасштабности процесса взаимодействия оптической решетки и газа. Первый масштаб определяется взаимодействием оптической решетки и молекул газа, за счет которого происходит «накачка» энергии в поступательную степень свободы, соответствующую оси решетки (направлению оси х). При этом изменение импульса и энергии газа происходит в основном для молекул, которые находятся в области захвата пространства скоростей. Характерное время составляет величину порядка Tosc, а длина Aj. Второй процесс определяется обменом за счет столкновений между группой захваченных молекул (которые взаимодействуют с полем достаточно сильно) и группой незахваченных молекул (которые взаимодействуют с полем относительно слабо), масштабы этого процесса столкновительные.
Очевидно, что скорость нагрева и ускорение газа зависят не только от отношения длины свободного пробега и периода решетки, но и от глубины потенциальной ямы. Чем меньше величина поля, тем медленнее будет достигаться конечное состояние газа. Также, поскольку период малых колебаний
Tosc зависит от интенсивности лазерного излучения, то при изменении интенсивности изменится и соотношение между Tosc и Для установления зависимости ускорения и скорости нагрева газа от интенсивности излучения проведено моделирование оптического захвата газа при меньшей величине интенсивности лазеров равной 4,295-1016Вт/м2. Кинетические и молекулярные свойства газа оставлены без изменений, параметры расчета были следующие: аЩЕг =1,61812-1021 Дж, У/=698,1м/с, Г0 = 293К, Л,=400пт. В этих расчетах Vtr/vT =0,6325, Vf/vT =2, a Tosc = 3,62нс. Рассмотрены три случая (нумерация продолжающаяся): 4) Кп = 10; 5) Кп = 1; 6) Кп = 0,1. Зависимости скорости и температуры газа от времени представлены на Рис. 36. Сначала проведем качественное сравнение расчета 1 и расчета 4, а потом на примере Vtr/vT =0,6325 проанализируем влияние числа Кнудсена на оптический захват в случае меньшей глубины потенциальной ямы. Уменьшение интенсивности приводит к увеличению Tosc \Tosc l/Vlr 1/V7). Сравнивая развитие оптического захвата для случаев 1 и 4, естественно было бы ожидать, что ускорение и скорость нагрева газа будет изменяться пропорционально УТ05С- Однако сравнение данных при различных значениях интенсивности лазерного излучения (Рис. 35 и Рис. 36) показывает, что при уменьшении V VT С 1,416 до 0,6325 изменение скорости и температуры газа происходит медленнее приблизительно в 6 раз (время достижения скорости Vf/2 для случая 1 и 4 составило приблизительно 100 нс и 650 нс соответственно). Такое изменение скорости газа и температуры в случае 4 может быть объяснено сужением области захвата при уменьшении глубины ямы. Это приводит к двум последствиям: увеличение периода малых колебаний в потенциале решетки и уменьшение числа частиц в области захвата. Поэтому скорость развития оптического захвата зависит от параметра VJVT нелинейным образом. Другое отличие расчета 4 по сравнению с расчетом 1 состоит в отсутствии резких изменений скорости и температуры при t tc в случае 4 {tc A/vT = 11,46 нс), которые видно для случая 1. Такое качественное отличие объясняется изменением соотношения между масштабными величинами Tosc и tc, а также уменьшением глубины потенциала аЕхЕг. В случае 1 Toscltc = 0,14, а в случае 4 — 0,32. Такое соотношение в случае 1 приводит к быстрому формированию плато на профиле функции распределения, но в случае 4 является слишком большим для формирования плато. Отличие может быть объяснено также сменой режима оптического захвата, если рассмотреть в качестве параметра, определяющего режим, не число Кнудсена, а отношение периода колебаний к времени между столкновениями, как это будет сделано далее. Рассмотрим влияние числа столкновений на оптический захват в случае Vtr/vT = 0,6325. Нагрев и ускорение газа в случае Кп = 1 (линии 5 на Рис. 36) происходит быстрее, чем в случае Кп = 10 (линии 4 на Рис. 36).
При больших временах, например при t 300 не для расчета 5, скорость газа становится близкой к скорости решетки. Для случая 5 температура газа в момент 500 не составляла 1075,0 К, изменение температуры близко к значению, рассчитанному по оценке АГ = mVf2 J3kB =781,ЗК. Это подтверждает сделанное предположение (см. 2.3.1), что максимальное значение нагрева газа практически не зависит от величины поля, и определяется главным образом скоростью оптической решетки, то есть разницей частот лазеров. Результат моделирования для случая 6 показывает, что изменение скорости и нагрев газа происходит приблизительно таким же образом, как и для случая 5. Отсутствие значимых изменений при увеличении плотности в 10 раз может быть объяснено балансом между процессами накачки энергии от решетки к группе захваченных частиц и покиданием частиц области захвата в пространстве скоростей. Так, в случае 5 отношение TosJtc = 3,2, а в случае 6 — Toscltc = 32. Поскольку оба числа значительно больше 1, то скорость молекул газа, попавших в область захвата, не успевает измениться достаточно сильно, и это изменение становится пропорциональным времени пребывания молекулы газа в области захвата.
Использование импульсного лазерного излучения для разделения газа в капилляре
Как показывает оценка интенсивности лазерного излучения, необходимой для практической реализации оптического захвата газа при комнатной температуре, она может быть достигнута с использованием импульсных источников лазерного излучения. Типичная длительность лазерного импульса составляет величину порядка 1-100 не. Поэтому изучение течения газа, возникающего после кратковременного воздействия лазерного излучения, представляет большой интерес для определения возможности проведения разделения газовых смесей за счет эффекта оптического захвата. Из-за нелинейности эффекта оптического захвата газа перспективным представляется использование лазерных импульсов короткой интенсивности. Объемная сила пропорциональна квадрату напряженности: F - I2, и, следовательно, интегральное воздействие лазерного импульса на газ при длительности т„мп и фиксированной энергии /т„мп = const пропорционально FT„M„ 1/т1ШП. В то же время, использование мощного излучения и коротких импульсов ограничено столкновительным масштабом времени развития оптического захвата и возможностью достижения порогового значения интенсивности для оптического пробоя. При непрерывном воздействии излучения на смесь газов устанавливающийся градиент давления может составлять величину порядка или больше селективного действия решетки. Поэтому вопрос о величине и затухании возмущения, созданного импульсным воздействием оптической решетки на смесь газов, представляет интерес для оценки величины разделения. При импульсном воздействии, после окончания импульса, часть газа приобретет дополнительный импульс в направлении движения решетки и нагреется. Характерное расстояние, на которое распространится созданное возмущение за время импульса, можно оценить через скорость звука и длительность импульса: для скорости звука 500 м/с и длительности импульса 10 не расстояние будет равно 5 мкм. При рассмотрении нестационарного процесса установления течения внутри тонкой трубочки (например, в работе [70] для оценок используется длина 3 см и диаметр 20 мкм) можно пренебречь движениями газа в течение импульса.
Поэтому течение в импульсном режиме оптического захвата упрощенно можно представить как кратковременное возмущение газа в области решетки лазерным импульсом и последующей эволюции этого возмущенного течения между импульсами. При развитии возмущения газа внутри закрытой трубочки или капилляра важное влияние может оказывать вязкое трение газа о стенки сосуда, которое будет приводить к быстрому затуханию возмущения. В работе [14] приводятся оценки времени затухания возмущения, основанные на вычислении времени установления давления на концах капилляра. В настоящей части даны оценки скорости затухания возмущения, основанные на изменении импульса газа внутри трубки, течение которого создано коротким лазерным импульсом. Также для случая малой силы вязкого терния о стенки трубки рассматривается вопрос о возможной роли изменения давления вдоль трубки в разделении смеси после импульса: в определенный момент возникнет изменение давления вдоль трубочки, что даст вклад в разделение компонент смеси. Последующее обратное течение газа приведет к возрастанию давления у противоположного конца, и разделение будет происходить в обратном направлении. Изучение деталей течения газовой смеси в закрытой трубочке после импульсного воздействия оптической решетки позволяют оценить требуемый период следования импульсов, необходимый для поддержания разделения компонент смеси. При изучении течения полагалось, что влияние сил вязкого трения при нестационарном течении газа в трубке мало, и рассматривался модельный случай течения между пластинами. Для исследования течения газа после короткого импульса при больших временах (порядка 10 3 с) метод ПСМ требует больших вычислительных ресурсов. В то же время такое течение может быть достаточно хорошо описано уравнениями Навье-Стокса. Поэтому в настоящей части при исследовании нестационарного течения при больших интервалах времени метод ПСМ использован для моделирования взаимодействия газа с излучением и эволюции течения при небольшом интервале времени. Представлено сравнение для этого начального этапа результатов моделирования по методу ПСМ и расчета уравнений Навье-Стокса. Исследование течения при большом интервале времени выполнено с использованием континуального подхода, путем численного решения уравнений Навье-Стокса. Рассмотрим оптический захват газа в импульсном режиме внутри длинной тонкой трубки радиусом R. Предположим, что в течение действия короткого импульса оптической решетки краевые эффекты, возникающие из-за закрытых торцов трубки, слабо влияют на изменение течения газа вдали от торцов.
Также предположим, как в [14], что интенсивность излучения неоднородна в радиальном направлении: 1(f) = /0(1 - r2/R2), а /о — значение интенсивности в центре — постоянно в течение импульса. Трение о стенки влияет на течение газа в течение короткого импульса незначительно. В этом можно убедиться, если оценить скорость разгона таза и влияние сил трения на ускоряющийся газ. Для рассматриваемого нами случая Не-СЩ 1:1 смеси, имеющей давление 100 торр при температуре 300 К, оценка вязкости по формуле для =2,38х10_5Па-с. Выражение для вязкости двухкомпонентной смеси [76] (3.10) Для рассматриваемого в нашей работе случая / = 2,5х1015Вт/м2 и скорости решетки Vf = 250м/с действие оптического захвата на компоненты смеси задается следующими величинами: оценка величины скорости газа в центре трубочки с радиусом 1 мм, при которой действие решетки уравновешивается силами вязкого трения о стенки, составляет M(0) = 3F0/?2/16// = 7,19X104M/C. В то же время сила Fo будет уменьшаться при разгоне газа во время импульса, а максимальная скорость, которая может быть достигнута за время действия импульса 10 не равна ForHMn/p = 4 м/с. Влияние вязкости на течение газа в течение такого импульса становится существенным при уменьшении радиуса трубки до 100-10 мкм. Оценка времени затухания (остановки) созданного внутри трубки течения из-за трения дает представление об интервале времени после- импульсного воздействия оптической решетки, когда влияние трения незначительно. Полный интегральный
