Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние вопроса 12
1.1. Краткий обзор работ по теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности 12
1.2. Некоторые аспекты теории однородной изотропной турбулентности 21
1.2.1. Уравнение Кармана-Ховарта и гипотезы самоподобия 21
1.2.2. Динамическое уравнение энергетического спектра изотропной турбулентности и гипотезы замыкания этого уравнения 33
1.2.3. Гипотезы связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов 41
1.3. Результаты экспериментальных исследований однородной турбулентности 49
1.3.1. Экспериментальные исследования вырождения однородной изотропной турбулентности 49
1.3.2. Особенности турбулентных потоков с однородным сдвигом поля средней скорости 60
Глава 2. Исследование вырождения однородной изотропной турбулентности с помощью замкнутого уравнения Кармана-Ховарта 68
2.1. Физико-математическое описание 68
2.1.1. Модель замыкания уравнения Кармана-Ховарта 68
2.1.2. Модель пути смешения 69
2.1.3. Приведение исходного уравнения к безразмерному виду 73
2.1.4. Граничные и начальные условия 74
2.1.5. Спектральные характеристики течения 80
2.2. Численная реализация 81
2.2.1. Описание метода численного интегрирования 81
2.2.2. Тестирование численной схемы 84
2.2.3. Вычисление спектральной функции 87
2.3. Основные результатыи выводы 89
2.3.1. Результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности 89
2.3.2. Основные выводы 97
Глава 3. Исследование турбулентного потока с однородным сдвигом поля средней скорости в приближении изотропной турбулентности 99
3.1. Постановка задачи 99
3.1.1. Основные предположения 99
3.1.2. Вывод обобщенного уравнения Кармана-Ховарта 100
3.2. Метод решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта 105
3.2.1. Постановка граничных и начальных условий 105
3.2.2. Метод численного интегрирования 106
3.3. Основные результаты и их анализ 108
3.3.1. Качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта в случае турбулентного течения с однородным сдвигом 108
3.3.2. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными 110
3.3.3. Основные выводы 117
Глава 4. Исследование турбулентного потока с однородным сдвигом в приближении осесимметричной турбулентности 120
4.1. Постановка задачи 120
4.1.1. Оценка возможности использования теории осесимметричной турбулентности для описания сдвигового потока 120
4.1.2. Выражение тензоров вторых двухточечных моментов в теории осесимметричной турбулентности 127
4.1.3. Построение модели для описания турбулентности в однородном сдвиговом потоке 131
4.1.4. Выбор вида генерационного члена 134
4.2. Метод решения уравнений модели 137
4.2.1. Приведение уравнений к безразмерному виду и постановка граничных и начальных условий 137
4.2.2. Метод численного интегрирования 139
4.3. Основные результаты и их анализ 142
4.3.1. Сравнение результатов расчетов потока с однородным сдвигом поля средней скорости с экспериментальными данными 142
4.3.2. Исследование процессов, происходящих при мгновенном возникновении сдвига поля осредненной скорости 147
4.3.3. Основные выводы 154
Заключение 156
Список литературы 160
Приложение 168
- Динамическое уравнение энергетического спектра изотропной турбулентности и гипотезы замыкания этого уравнения
- Результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности
- Качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта в случае турбулентного течения с однородным сдвигом
- Приведение уравнений к безразмерному виду и постановка граничных и начальных условий
Введение к работе
Актуальность проблемы
Несмотря на интенсивное развитие вычислительной техники и успехи, достигнутые в последние годы в области разработки эффективных численных алгоритмов решения задач гидромеханики, проблема численного моделирования турбулентных течений по-прежнему остается наиболее трудной и актуальной проблемой механики жидкостей и газов. Основой расчетов прикладных турбулентных течений остается традиционный подход, основанный на использовании уравнений Рейнольдса, замкнутых с помощью полуэмпирических моделей турбулентности, базирующихся на одноточечных статистических характеристиках турбулеіггности (например, моделей "k-s", "k-ш", "k-kl", моделей Рейнольдсовых напряжений и т.д.). Более чем тридцатилетний опыт интенсивных разработок и использования таких моделей показывает, однако, что до сих пор все они имеют ограниченную универсальность. Один из путей совершенствования полуэмпирических моделей состоит в использовании в той или иной степени двухточечных характеристик пульсациошюго движения, которые дают значительно больше информации о структуре турбулентного потока, нежели одноточечные, а именно, двухточечные моменты кроме интегральных характеристик турбулентности -кинетической энергии и масштаба - позволяют найти тэйлоровские масштабы, спектры пульсаций, скорость диссипации энергии в тепло, колмогоровские масштабы и т.д. Проблема разработки полуэмпирических моделей на базе двухточечных корреляционных моментов, которой посвящена настоящая диссертация, является актуальной как в свете возможности усовершенствования с их помощью широко применяемых в инженерной практике моделей типа "k-є", "k-kl", модели Рейнольдсовых напряжений и т.п., так и для самостоятельного их использования при изучении турбулентных тече-ний.
Целиработы
Приведенные соображения определили основные цели работы, которые включают:
составление системы уравнений относительно двухточечных характеристик турбулентного движения, замкнутой с помощью простых полуэмпирических моделей, позволяющей рассчитывать при универсальных значениях эмпирических коэффициен-
тов как вырождение изотропной турбулентности в безсдвиговых потоках, так и гене рацию анизотропной турбулентности в однородных сдвиговых потоках. - тестирование градиентной гипотезы связи вторых и третьих двухточечных кор реляционных моментов путем сравнения расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности, выполненных для широкого диапазона значений числа Рейнольд-са, с большим числом опытных данных. Применение этой градиентной гипотезы пр» разработке моделей однородного сдвигового потока.
Научная новизна работы
-
Градиентная формула связи вторых и третьих двухточечных корреляционны? моментов Н. И. Акатнова, являющаяся в данной работе основным замыкающим соотношением в уравнениях для вторых двухточечных моментов, модифицирована, в результате чего стало возможным использовать ее не только при относительно мальв значениях числа Рейнольдса, но также и при больших его значениях.
-
Выведено обобщенное уравнение Кармана-Ховарта для расчета турбулентности в однородных сдвиговых потоках в предположении изотропности пульсацион-ного движения. Замыкание уравнения осуществлено посредством указанной выше градиентной формулы, использованной ранее только при описании вырождения изотропной турбулентности в безсдвиговых потоках.
З.Для выражения генерационного члена в обобщенном уравнении Кармана-Ховарта впервые использована обобщенная формула Невзглядова-Драйдена, согласие которой недиагональная компонента тензора вторых двухточечных моментов принята пропорциональной сумме диагональных компонент того же тензора.
4. Впервые на основе двухточечных характеристик турбулентности построена модель для расчета неизотропной турбулентности в однородных сдвиговых потоках в приближении осевой симметрии пульсационного движения. При разработке модели использована теория осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара, ранее применявшаяся нм при изучении только финальной стадии вырождения осесимметричной турбулентности в безедвиговом потоке. Замыкание уравнений модели сделано с помощью названных выше формул.
Практическая ценность работы
-
Построенные полуэмпирические модели могут быть непосредственно применены для расчетов турбулентности в однородных потоках. Такие потоки могут иметь место, например, в верхних слоях атмосферы и в областях океана, отдаленные от его дна и поверхности, а также в потоках с приблизительно однородным сдвиговым распределением скоростей в проточных частях технических устройств.
-
Обе построенные модели могут также использоваться для уточнения или модификации отдельных членов уравнений полуэмпирических моделей типа "к-ё\ моделей Рейнольдсовых напряжений и т.п., построенных на основе одноточечных статистических характеристик турбулентности.
-
Универсальность разработанных моделей по отношению к турбулентному числу Рейнольдса позволяет применять их при разработке подсеточных моделей в методе моделирования крупных вихрей в предположениях о локальной изотропии или локальной осевой симметрии мелкомасштабной турбулентности.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на 10-той сессии международной конференции "Потоки и структуры в жидкости" в 1999 г., на научно-технической конференции вузов-членов совета Ассоциации технических университетов России "Фундаментальные исследования в технических университетах" в 1997 г. и на семинаре кафедры гидроаэродинамики Санкт-Петербургского Государственного технического университета в 2000 г.
Публикации по теме диссертации
Основные результаты работы изложены в трех научных публикациях.
-
Быстрова Е. Н. Использование обобщенного уравнения Кармана-Ховарта для расчета турбулентных сдвиговых течений // Научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах", Санкт-Петербург, 1997,16-17 июня, Тезисы докладов, с. 265-266.
-
АкатновН. И., Быстрова Е. Н, Расчеты некоторых характеристик однородной турбулентности на основе уравнения Кармана-Ховарта, замкнутого посредством полуэмпирической модели'II ТВТ, 1999, № 6, с. 865-873.
3, AkatnovN. І., Bystrow Ye. N. Modelling of homogeneous shear flows using the closed second-order two-points correlation equations // Proc. 10th Internal. Conf. "Fluxes and structures in fluid". St. Petersburg, 1999, 10-12 June, pp. 3-4.
Структура и объем работы
Динамическое уравнение энергетического спектра изотропной турбулентности и гипотезы замыкания этого уравнения
Понятие статистической теории турбулентности, видимо, впервые было введено Дж. Тэйлором в работе [18]. В этой работе скорость в турбулентном потоке трактовалась как непрерывная случайная функция времени и точки пространства и было показано, что для более полного описания турбулентного движения нужно использовать не только одноточечные корреляционные моменты поля скоростей, но также и двухточечные, которые позволяют учитывать статистическую связь пульсации скорости в двух разных точках пространства. На основе двухточечного корреляционного момента второго порядка в [18] были даны определения интегрального масштаба турбулентности и микромасштаба турбулентности (в дальнейшем названного тэйло-ровским масштабом), с помощью которого установлена элементарная формула, выражающая диссипацию турбулентной энергии в тепло за счет действия сил вязкости. Кроме того, в этой работе впервые было введено понятие однородной и изотропной турбулентности, как наиболее простом случае турбулентного движения, и экспериментально исследовано ее вырождение. Понятие однородности состоит в том, что осредненные характеристики пульсационного движения в данный момент времени во всех точках пространства имеют одну и ту же величину, а изотропность означает независимость свойств турбулентности от направления осей системы координат, в которой вычисляют характеристики турбулентности. В [18] впервые использовалось предположение о том, что поток в рабочей части аэродинамической трубы за турбу-лизирующей решеткой приближенно является однородным и изотропным.
Высказанная Тэйлором мысль о возможности изучения структуры турбулентности на примере изотропной турбулентности оказалась плодотворной и привела к созданию особого научного направления в теории турбулентности. В работе [19] Т. Карман заметил, что осредненные произведения проекций пульсационной скорости в двух разных точках пространства представляют собой компоненты тензоров, ранг которых определяется числом сомножителей под знаком осреднения, и что условия однородности и изотропности значительно упрощают вид этих тензоров. В статье [20] Т. Карман и Л. Ховарт показали, что в однородной изотропной турбулентности все компоненты тензора вторых двухточечных моментов могут быть выражены через одну скалярную функцию Вц-ВLL{1, г), а все компоненты третьих двухточечных моментов через скалярную функцию BLL,L = BLLIL( Г), (здесь г - расстояние между точками А я В, a t - время) и вывели уравнение динамики изотропной турбулентности относительно этих двух функций. Ими также были сделаны попытки установить за кономерности вырождения изотропной турбулентности на основе полученного урав нения. Во первых, было найдено решение уравнения в том случае, когда можно пре небречь третьим моментом. Во вторых, в случае неупрощенного уравнения (т.е. BLL,L 0) было выдвинуто предположение о самоподобии коэффициентов КОрреЛЯ 4ий / (Л г) = — — и -МА г) Б течении времени вырождения, если считать функции/и К зависящими от особой переменной % = , где L (f) - некая характерная длина турбулентности. Эта гипотеза позволила авторам найти простые степенные законы вырождения кинетической энергии турбулентности и изменения характерного масштаба, которые согласуются с экспериментально наблюдаемыми при некоторых дополнительных предположениях. В дальнейшем оказалось, однако, что в общем случае полного самоподобия функцийf(%) и К(х) быть не должно и оно может иметь место только в некоторых особых случаях, например, при очень больших значениях числа Рейнольдса. Эти особые случаи были рассмотрены в последствии рядом авторов и некоторые особенно интересные работы данного направления будут рассмотрены в пункте 1.2.1. В работе [21] X. Робертсон на основе теории инвариантов установил общие формулы для двухточечных моментов любого порядка, удовлетворяющих условиям изотропности.
Названные выше исследования послужили толчком для интенсивных теоретических и экспериментальных исследований изтропной турбулентности в 40 х-50 х гг., в ходе которых были установлены некоторые важные закономерности пульсационно-го движения. К числу крупнейших достижений этого периода относится установленная А. Н. Колмогоровым (см. [22]) универсальность статистических характеристик турбулентности в интервале диссипации (при больших значениях числа Рейнольдса), а также установленная А. Н. Колмогоровым в [22] и А. М. Обуховым в [23] универсальность статистических характеристик в инерционном интервале волновых чисел. Важные результаты были получены М. Д. Миллиошциковым, Л. Г. Лойцянским, Л. И. Седовым, А. М. Ягломом и другими. Теоретические и экспериментальные исследования в этой области продолжаются до настоящего времени. Целью некоторых из этих исследований являются попытки замкнуть уравнение Кармана-Ховарта, а также использовать теорию двухточечных моментов изотропной турбулентности в современных полуэмпирических моделях турбулентности. Обзор наиболее важных исследований однородной изотропной турбулентности, имеющих отношение к теме данной диссертационной работы, приведен в пункте 1.2.3. К теме изотропной турбулентности мы еще вернемся в конце данного обзора, когда коснемся темы изучения турбулентности методами прямого численного моделирования решений нестационарных уравнений Навье-Стокса.
Результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности
Ввиду того, что в дальнейшем в настоящей работе будет использоваться большое число опытных данных по вырождению однородной изотропной турбулентности, выполненных разными авторами, уместно предварительно привести краткий обзор имеющихся в настоящее время работ, посвященных экспериментальным исследованиям рассматриваемого течения.
При экспериментальном исследовании турбулентности в аэродинамических трубах сложной задачей оказалось обеспечение изотропности за турбулизирующей решеткой. Одними из наиболее ранних работ, в которых впервые были сделаны достаточно полные систематические исследования вырождения изотропной турбулентности в аэродинамических трубах, являются работы Дж. Бэтчелора и А. А. Таунсенда [50], [51], [70], Р. Стюарта [8]. Авторы указанных работ исходили из предположения, что неизотропный и неоднородный характер потока, создаваемого решеткой, уже приблизительно на расстоянии 40-50 М от решетки становится статистически однородным в плоскости параллельной решетки и изотропным практически в пределах точности измерений (М- линейный размер ячейки турбулизирующей решетки). Однако, позднее в работах Гранта и сотр. [71], [72] было показано, что анизотропия и неоднородность уменьшаются вниз по потоку очень медленно и расстояние от решетки, на котором турбулентность можно считать приблизительно однородной и , . изотропной зависит от масштаба решетки М и числа ReM = -—-— ((щ) - осредненная скорость потока). Далее в работе М. Уберои [62] было обнаружено, что отношение среднеквадратичного значения осевой компоненты пульсационнои скорости к поперечной компоненте -.—-г остается практически постоянным в течение всего периода вырождения и равным « 1,45. В работе [73] было показано, что снизить анизотропию турбулентного потока за решетками возможно путем уменьшения площади его поперечного сечения, поскольку сужение потока относительно усиливает пульсации поперечной скорости. После такого сужения отношение продольной пульсационнои скорости к поперечной снизилось до 1,1, однако авторы работы отмечают стремление турбулентности вернуться к первоначальному анизотропному состоянию дальше вниз по потоку (аналогичное явление отмечено в работе Н. В. Алексеенко и В. А. Костомахи [74] при z\ /М 200; здесь и всюду далее z\ - ось Декартовой системы координат, перпендикулярная плоскости решетки и направленная в сторону движения жидкости). В то же время в работах Конт-Бело и Корсина [10], [11] посредством уменьшения площади поперечного сечения канала в отношении 1,27:1 была достигнута хорошая степень изотропии на значительно большем по протяженности участке за решеткой (40 z\ /М 400). В работах [64], [74] были проведены сравнительные измерения статистических характеристик турбулентности с использованием сужения и без него, причем в последнем случае воспроизводились условия опытов Бэтчелора и Таунсенда [50], Стюарта [8], соответствующие ReMx5500. При этом, в частности, было получено, что реализованная без использования дополнительного поджатая потока за решеткой турбулентность обладала заметной анизотропией (отношение дисперсии компонент пульсационнои скорости -.—г в этом случае было равно 1,55). В первом случае (с сужением) отношение дисперсий продольной и попе-речной пульсационных скоростей в интервале 60 z\ /М 200 было близко к единице. Важно отметить, что кинетическая энергия, а также тэйлоровский и интегральный масштабы турбулентности, измеренные при наличии конфузорного участка за решеткой и без него, заметно отличались друг от друга. Учитывая тот факт, что указанные выше величины, измеренные в отсутствие сужения, находятся в хорошем согласии с опытными данными работы [50] для ReM = 5500, можно утверждать, что течение, реализованное в работах [50], [8], было не изотропным. В работе [74], кроме того, были измерены корреляционные моменты третьего порядка, которые также оказались несколько отличающимися по величине от данных работы Стюарта [8] для близкого значения числа Reu- Таким образом, более чувствительными к анизотропии являются моменты третьего и высших порядков. Повысить степень изотропности турбулентности за решеткой можно не только при помощи сужения потока за решеткой. В работах Линга, Хуанга и Вена [46], [47] достаточно высокая степень изотропии была достигнута с помощью специальных механически колеблющимися решеток. Подводя итог всем описанным выше опытным данным, можно заключить, что в вырождающейся турбулентности за решетками нет определенной тенденции к установлению изотропии.
Одной из первых измеренных характеристик турбулентного движения за решеткой, помещенной в однородном потоке, была скорость убывания полной кинетической энергии турбулентности. Начиная с работ Дж. Тэйлора [18] и Т. Кармана и Л. Ховарта [20] экспериментальные данные по вырождению энергии турбулентности за решеткой описывают с помощью степенных законов для различных периодов в течении времени жизни турбулентности.
Первый простейший линейный степенной закон вырождения турбулентной энергии был предложен Дж. Бэтчелором [9] на основе опытных данных работ [50], [70], [8] для начального периода вырождения и имел следующий вид: где а - постоянная, которая может зависеть от геометрии решетки и слабо зависит от числа Яем, Z\Q - полюсное расстояние, определяющее положение начала отсчета, в котором энергия принимает бесконечно большое значение. Для обычно употребляемых решеток с квадратными отверстиями постоянная а в формуле (1.3.1) имеет значение около 134, а отношение Z\QIM равно приблизительно 10. Измеренное значение z\o для решетки с квадратными отверстиями заключено между 5М и 15М и медленно меняется при изменении ReM.
Линейный закон (1.3.1), полученный путем обработки ранних экспериментов Бэтчелора, Таунсенда и Стюарта, согласуется с законом вырождения турбулентной энергии, следующим из гипотезы Кармана о самоподобии корреляционных и спектральных функций вырождающейся однородной изотропной турбулентности (см., например, [40]). Однако, последующие экспериментальные исследования Уберои, Корсина и соавторов, Линга и соавторов, а также многих других исследователей показали, что опытные данные описываются более общей степенной зависимостью, а именно:
Качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта в случае турбулентного течения с однородным сдвигом
В ряде работ приведены измерения двухточечных корреляционных моментов второго порядка и соответствующих одномерных энергетических спектров турбулентности. При рассмотрении этих данных интересным является вопрос о возможности представления измеренных корреляционных моментов, а также соответствующих спектральных функций, в автомодельном виде, поскольку различные гипотезы о самоподобии корреляционных моментов в течение вырождения турбулентности весьма часто использовались при теоретическом исследовании изотропной турбулентности (см. п. 1.2.1.). Для составления переменных самоподобия необходимо каким-либо образом выбрать подходящие масштабы скорости V и длины /. В качестве масштаба V обычно принимают среднеквадратичное значение продольной пульсаци онной скорости J(u i) Можно ожидать, что для турбулентности с малыми числами
Реинольдса подходящим масштабом длины является тэйлоровский микромасштаб Л. Это предположение хорошо подтверждается экспериментальными данными для чисел Реинольдса решетки 840 и 470, приведенными в работе [46]. Корреляционные коэффициенты/(г), измеренные в нескольких позициях за решеткой в диапазонах значений z\ /М от 21 до 155 при Явм = 840 и от 72 до 327 при ReM = 470 совпадали в преде г лах точности измерении при построении их в зависимости от —. При увеличении числа Реинольдса, как показьшают, например, данные Стюарта и Таунсенда для ReM - 5300, приведенные в монографии Дж. Бэтчелора [9], использование — в Ka-честве независимой переменной приводит к совмещению кривых f{f) для разных Z\ IM только в окрестности г = 0, а при больших значениях г между кривыми имеется существенное различие. В работах Стюарта [8], В. А. Костомахи [64] измеренные на различных расстояниях от решетки коэффициенты корреляции практически Совпадать ли при z\ /М 100, если построить их в зависимости от —. Число ReM в этих опытах имело значения 5300 и 5600 соответственно. Таким образом, для развитой турбулентности характерным масштабом должен быть, по-видимому, интегральный масштаб Lf. Следует отметить, однако, что при таком представлении опытных данных отклонения коэффициентов корреляции от автомодельности заключены в области действия сил вязкости (окрестности точки г = 0) и практически не видны из-за малости размеров этой области. Заметными эти отклонения становятся если перейти к соответствующим спектральным функциям, являющимся преобразованием Фурье корреляционных коэффициентов. Например, в работе [62] были измерены одномерные энергетические спектры Еи(к\) при ReM-2,64 х 104 для трех сечений за решеткой z\ /М=48, 72, ПО и представлены в безразмерном виде с помощью масштабов V2 = (и ) + 2(и %), l = Lf. Спектральные функции в этом случае совпадали в диапазоне волновых чисел к\ к\ , соответствующем энергосодержащим вихрям, по крайней мере для двух последних сечений и расходились при больших значениях к\. Диапазон больших волновых чисел соответствует области вязкой диссипации турбулентной энергии и характерными масштабами длины и скорости в этой области являются колмогоровские масштабы /7 и и, в определение которых входят только молекулярная вязкость v и скорость диссипации энергии є. Опытные данные работы [79], а также данные Стюарта и Таунсенда, приведенные в монографии [9], показывают, что можно совместить спектральные функции для разных значений z\ в области больших значений к\, если использовать для их обезразмеривания Колмогоровские масштабы. При этом нет совпадения спектров в области малых волновых чисел. В работе Джорджа [53] были проанализированы опытные данные работы Конт-Бело и Корсина [11], в которой были представлены измеренные одномерные энергетические спектры для двух чисел Реинольдса решетки 17000 и 34000 в сечениях zi/M=45, 120, 240, 385 и z\IM- 42, 98, 171 соответственно. Измеренные спектры затабулированы авторами в размерном виде в таблице 2 их работы [11], а соответствующие масштабы турбулентности приведены там же в таблице 4. В работе [53] эти спектральные функции были обезразмерены тремя способами, а именно: с помощью масштабов \и 2) и Lf, с помощью колмогоровских масштабов и, наконец, с помощью (и 2) и тэйлоровского масштаба Л. Два первых способа масштабирования обладают теми же особенностями, какие были описаны выше. В случае использования тэйлоровского масштаба спектры, измеренные на разных расстояниях от решетки, для каждого числа ReM удалось совместить практически во всем диапазоне волновых чисел. Однако, формы спектров соответствующих разным числам Рейнольдса различаются между собой. Этот факт был отмечен также в монографии [9].
Наконец, в литературе имеется несколько измерений двухточечных корреляционных моментов третьего порядка. Например, в работах [8], [80], [78]. Авторы наиболее ранних работ (из перечисленных - работа Стюарта [8]) указывают на недостаточную надежность измеренных третьих моментов по крайней мере для больших г (г/М 1,5 в работе [8]). В более поздних работах слишком мало позиций вниз по потоку, в которых проводились измерения, для того, чтобы проверить существование самоподобия тройных корреляций. В работе Алексеенко, Костомахи [74] были сделаны измерения третьих корреляционных моментов BLLIL (zi, г) в нескольких сечениях за решеткой для числа ReM= 5600. Близость формы ВцЬ(гі, г) для разных Z\ и примерное равенство их максимальных значений при 100 z\ /М 220 позволили авторам представить полученные результаты в автомодельной форме где масштаб / был выбран так же, как в работе Стюарта [8], а именно: / = [(z\ - Z\Q ) М\ L/, а величина постоянной z10 оказалась равной -70 М. Следует отметить также, что все перечисленные выше данные показывают, что величина максимума тройной корреляционной функции и ее внешней части (при г г , г - точка максимума) увеличивается при уменьшении числа ReM.
В заключение отметим, что, пожалуй, наиболее информативные опытные данные по вырождению изотропной турбулентности представлены в работах Конт-Бело и Корсина [10], [11], содержащих измерения как интегральных характеристик турбулентности, так и двухточечных корреляционных моментов и энергетических спектров для двух значений числа Рейнольдса и большого по протяженности участка за решеткой 42 zi/M 385. Поэтому при сравнении теории и эксперимента в дальнейшем будем ориентироваться в основном на эти данные и по мере необходимости использовать приведенные выше данные других авторов.
Приведение уравнений к безразмерному виду и постановка граничных и начальных условий
Граничные условия по г для корреляционного момента В (z \, г) или для коэф B(z ,г) фициента корреляции f(zl, г) = — в данной задаче имеют тот же вид, что и в случае вырождения изотропной турбулентности, т.е.
Проблема постановки граничного условия на "бесконечности" (3.2.1) при проведении численных расчетов была подробно проанализирована в пункте 2.1.4. главы 2. Следует заметить, что в случае вырождения изотропной турбулентности имеет место самоподобие коэффициента корреляции f(z \, г), что позволило при решении уравнения
Кармана-Ховарта использовались вспомогательные координаты x = z\, у = (см. пункт 2.1.3 главы 2). Поскольку граница г опеделялась в этом случае масштабом L (z і) и, таким образом, коэффициент корреляции/(z і, г) при г = гтр всегда имел малую величину, то применение любого из рассмотренных в пункте 2.1.4. главы 2 варианта граничного условия (2.1.19), (2.1.23) или (2.1.24) не оказывало заметного влияния на результат расчета. В турбулентном потоке с однородным сдвигом такого самоподобия коэффициента корреляции нет, поэтому в настоящей работе обобщенное уравнение Кармана-Ховарта решалось в физических координатах и граничное условие (3.2.2) задавалось на некотором конечном расстоянии от г = 0.
С целью выбора подходящего значения r , а также наилучшего варианта граничного условия (3.2.2) были проведены предварительные расчеты, а именно: уравнение (3.1.12) решалось с использованием двух типов граничного условия (3.2.2) — асимптотического условия (2.1.23) и условия равенства нулю производной при г=г (2.1.24) и, кроме того, варьировалось значение г . Сделанные расчеты показали, что в качестве граничного условия (3.2.2) для коэффициента корреляции/(z і, г) можно применять любой из двух указанных вариантов и для того, чтобы решения уравнения (2.1.24), полученные с их использованием, при z і /М 600 практически не отличались друг от друга, достаточно выполнения условия Ггр, 25 М.
Начальные значения величин b0 =B(zl0,0) = (u[2\ и L/0 в настоящей работе были взяты из опытных данных. К сожалению, экспериментальные данные по турбулентному потоку с однородным сдвигом, приведенные в работах [14], [16], не содержат достаточно подробных измерений корреляционного момента В {z\, г). Кроме того, измерения характеристик турбулентности, представленные в этих работах, относятся к начальному участку, поэтому, чтобы рассчитать подобное течение, нужно было бы задавать начальные условия вблизи турбулизирующей решетки, где профиль осредненной скорости может содержать следы от прутьев решетки, а корреляционные моменты могут отражать сильную неоднородность турбулентности вблизи от решетки. Однако, известно, что все коэффициенты корреляции случайных величин являются быстро убывающими от единицы в начале координат к нулю на бесконечности по экспоненциальному или степенному закону. Исходя из этого, представилось возможным для расчета потока с однородным сдвигом задать начальное распределение В (zio, г) такое же, как и для расчета однородного изотропного турбулентного без-сдвигового потока, предполагая, что формы функции В {z\, г) для безсдвигового и для сдвигового турбулентных потоков не сильно отличаются и что в процессе расчета начальное распределение В (z\0, г) достаточно быстро "забудется" и не повлияет существенным образом на результат.
Обобщенное уравнение Кармана-Ховарта (3.1.12) отличается от уравнения (2.1.16), которое решалось в главе 2, только наличием генерационного члена P l-B и отсутствием члена с первой производной от В по г (первое слагаемое с правой стороны (2.1.16)), появляющегося в уравнении (2.1.16) при переходе от переменных z і, г к переменным самоподобия. Поэтому численный метод решения уравнения (3.1.12) не имеет никаких отличительных особенностей от метода, использованного в главе 2 для решения уравнения Кармана-Ховарта (2.1.16). Численная схема решения уравнения (2.1.16) и методика ее тестирования подробно описаны в главе 2.2. главы 2, здесь лишь коротко отметим основные моменты: - применяется маршевая по координате z \ неявная конечно-разностная схема; - дискретизация уравнений осуществляется на неравномерной по г разностной сетке и равномерной сетке по zx: rj -rj = k{rj-rj.x\k =1,02 ч-1,04;; =1,2, ..., Nr; (z1)(+1=(21)/ + A(z1);/=l,2,...,7V;c; - первая производная от В (z і, г) по z і аппроксимировалась двухточечной разностью первого порядка точности (см. (2.2.2) главы 2), а член со второй производной по г -трехточечной разностью второго порядка точности (см. (2.2.4) главы 2); - аппроксимация граничного условия (3.2.1) и условия (3.2.2) в асимптотической форме осуществлялась по формулам (2.2.6) и (2.2.7) главы 2 соответственно; - итерационный процесс на каждом шаге по z і осуществлялся совершенно также, как в случае решения уравнения (2.1.16) (см. пункт 2.2.1. главы 2); - проверка сходимости решения по расчетным сеткам по координатам z і и г соответственно проводилась так же как описано в пункте 2.2.2 главы 2. В результате были подобраны параметры численной схемы - A (z t) = 0,05, А г = (3 4- 7) х 10 и к = 1,02. Полученное при выбранных параметрах численное решение уравнения (3.1.12) является сошедшимся по сетке с относительной погрешностью 0,05 %. Численный метод расчета одномерного энергетического спектра турбулентности, определение которого дано в пункте 2.1.5. главы 2 (см. формулу (2.1.34)), изложен в пункте 2.2.3. главы 3. Интегральный масштаб L/вычислялся методом трапеции (см. формулу (2.2.8) главы 2).
