Содержание к диссертации
Введение
1 Математическая модель 13
1.1 Модель гидродинамики и
тепло-массопереноса в газовом потоке 13
1.1.1 Уравнения Рейнольдса для неизотермической бинарной газовой смеси в гипфвуковом приближении 13
1.1.2 Модели турбулентности. 17
1.2 Модель радиационного теплообмена 23
1.3 Модели объектов 24
1.3.1 Модели объемных объектов 26
1.3.2 Модели плоских объектов 28
1.4 Граничные условия 33
2 Численный алгоритм 37
2.1 Основные этапы вычислительного алгоритма и полудискретная форма исходных уравнений 38
2.2 Пространственная аппроксимация исходных уравнений 41
2.2.1 Конечно-разностная МАС-сетка 41
2.2.2 Аппроксимация уравнения Пуассона для поправки давления 46
2.2.3 Аппроксимация уравнения для турбулентных характеристик 47
2.3 Метод расчета радиационного теплообмена 48
3 Тестирование численного алгоритма и оценка адекватности используемых математических моделей 52
3.1 Тестирование алгоритма расчета 53
3.1.1 Расчет установившегося ламинарного течения несжимаемой жидкости в канале прямоугольного сечения 53
3.1.2 Расчет свободной конвекции в квадратной полости 55
3.1.3 Расчет автоколебательных режимов естественной конвекции в прямоугольной полости 57
3.1.4 Расчет турбулентного пограничного слоя на плоской пластине 58
3.1.5 Расчет турбулентного течения в канале с обратным уступом 60
3.2 Оценка адекватности используемых приближенных моделей . 62
3.2.1 Модель гидродинамики и теплообмена в пористых телах . 62
3.2.2 Модель пластины 66
3.2.3 Модели «входных» и «выходных» границ области 69
3.2.4 Приближенная модель радиационного теплообмена 77
3.2.5 Модель сопряженного теплообмена 77
Расчет процессов охлаждения электронного оборудования 83
4.1 Расчет естественно-конвективного охлаждения одиночной микросхемы 83
4.2 Расчет охлаждения процессорного блока «типичного» персонального компьютера 87
4.2.1 Влияние на результаты расчетов размеров сетки и модели турбулентности 89
4.2.2 Влияние на результаты расчетов модели радиационного теплообмена 91
4.3 Расчет смешанной конвекции и теплообмена в переносном компьютере 93
4.4 Определение эмпирических констант моделей пористых объектов 95
Численное исследование процессов вентиляции и кондициони рования 101
5.1 Некоторые общие особенности структуры вентиляционных потоков 101
5.2 Влияние конструкции воздушного терминала на характер течения и эффективность работы систем кондиционирования и вентиляции 108
5.2.1 Простой диффузор и диффузор со струегасителем 109
5.2.2 Воздушные терминалы со «встречными струями» 113
5.3 Особенности вентиляционных течений при значительном различии плотностей газа-загрязнителя и воздуха 124
5.3.1 Стационарные режимы вентиляции 127
5.3.2 Нестационарные режимы вентиляции 135
Заключение 141
Литература 144
- Уравнения Рейнольдса для неизотермической бинарной газовой смеси в гипфвуковом приближении
- Основные этапы вычислительного алгоритма и полудискретная форма исходных уравнений
- Расчет установившегося ламинарного течения несжимаемой жидкости в канале прямоугольного сечения
- Влияние на результаты расчетов размеров сетки и модели турбулентности
Введение к работе
Несмотря на быстрый прогресс, наблюдаемый в последние годы в области численного моделирования различных физических процессов и явлений, в том числе гидродинамики и процессов тепло- и массообмена, применение методов численного моделирования для решения соответствующих прикладных задач, связанных с проектированием и оптимизацией разного рода технологических систем и производственного оборудования, все еще остается весьма ограниченным. Это объясняется исключительной вычислительной трудоемкостью практических задач, обусловленной многообразием физических процессов, определяющих эффективность работы реальных систем, и их геометрической сложностью. В результате в проектно-конструкторской практике, как и на протяжении многих десятков лет, по-прежнему используются, главным образом, традиционные «инженерные» методы расчета, применение которых зачастую предписывается соответствующими отраслевыми нормативами.
В частности, при проектировании систем вентиляции и кондиционирования (отопления) жилых и производственных помещений, вплоть до настоящего времени, основным инструментом остаются классические интегральные методы расчета неизотермических турбулентных струйных течений [1], модифицированные с учетом специфики вентиляционных течений (условий ввода и вывода воздуха из помещения, степени стеснения и взаимодействия струй, влияния эффектов плавучести и т.п.) и известных эмпирических связей между характеристиками вентиляционных струй и параметрами «неподвижной» воздушной среды в свободной области помещения (см., например, [2, 3, 4]). При этом расчет теплообмена между помещением и окружающей средой и между воздухом и объектами, находящимися внутри помещения, базируется на эмпирических соотношениях для тех или иных типов теплопередачи (теплопроводность, конвекция, тепловое излучение). По своей сути такой подход представляет собой не что иное, как использование интегральных уравнений баланса импульса, тепла
и массы для отдельных («характерных») объемов и поверхностей, на которые условно разделяется вентилируемое (кондиционируемое) помещение. Очевидно, что для этого требуются достаточно надежные знания о структуре рассматриваемого течения [2, 5], которые, как правило, имеются лишь для простейших типовых объектов. В результате при проектировании новых объектов применение стандартных инженерных методик расчета может приводить и зачастую приводит к существенным ошибкам в оценке эффективности тех или иных конструктивных решений и даже к качественно неверным выводам об их относительных преимуществах или недостатках. Учитывая то, что на эксплуатацию систем вентиляции и кондиционирования производственных и жилых помещений расходуются огромные энергетические ресурсы, эти ошибки оборачиваются большими материальными потерями.
Не менее важным является то обстоятельство, что интегральные методы не дают практически никакой информации о локальных полях скоростей, температур и концентрации примеси в вентилируемом/кондиционируемом помещении. Таким образом, даже в том случае, когда спроектированная на основе таких методов система «в среднем» работает удовлетворительно, нет никакой гарантии, что она обеспечивает выполнение современных достаточно жестких санитарно-гигиенических норм по параметрам воздушной среды в вентилируемых/кондиционируемых помещениях. В первую очередь, это относится к специальным (нетиповым) объектам (стадионам, большим концертным залам, цехам заводов, современным транспортным средствам и т.д.), а также к так называемым «особо чистым» помещениям, создаваемым на фармацевтических и электронных производствах и в медицинских учреждениях.
Таким образом, область применения традиционных интегральных методов расчета систем вентиляции и кондиционирования ограничена достаточно узким кругом типовых систем, в процессе эксплуатации которых накоплен большой объем эмпирической информации. Использование же таких методов для проектирования и оптимизации новых систем или для анализа эффективности существующих в нестандартных (например, аварийных) ситуациях является по-существу ничем не оправданным.
Аналогичная ситуация имеет место и при разработке близких по своей физической сути к системам кондиционирования систем охлаждения теплонапря-женной электронной аппаратуры (см., например, [6]). С учетом бурного роста объемов производства различных электронных приборов (в первую очередь,
компьютеров) и стремления к их миниатюризации эта проблема приобретает все большую остроту, так как значительное увеличение теплонапряженности ключевых элементов прибора делает невозможным поддержание штатного уровня их температуры без использования принудительного охлаждения.
Указанные обстоятельства привели к тому, что, несмотря на наличие отмеченных выше серьезных проблем в области применения методов численного моделирования для решения практических задач вентиляции, кондиционирования и охлаждения электронной аппаратуры, эти методы постепенно находят в указанных областях все большее применение. Будучи основанными на общих дифференциальных уравнениях гидродинамики и тепло-массообмена, они, в отличие от интегральных методов, позволяют получить детальную и достаточно точную количественную информацию о локальных характеристиках вентилируемых и/или кондиционируемых объектов (полях скорости, температуры и/или концентрации загрязняющих газов) в широком диапазоне изменения конструктивных и режимных параметров системы. По крайней мере в принципиальном плане, это открывает перед инженерами-проектировщиками совершенно новые возможности и, в конечном итоге, должно привести к чисто «компьютерному» проектированию соответствующих систем. Однако для реализации этой возможности необходимо решить ряд достаточно сложных вычислительных и физических проблем.
В настоящее время применение методов численного моделирования в рассматриваемой области, как и в других областях техники, опирается, главным образом, на использование так называемых «коммерческих кодов», представляющих собой «универсальные» вычислительные программы, предназначенные для решения широкого круга задач гидродинамики и тепло-массообмена. Однако естественной «платой» за «универсальность» коммерческих кодов является их сложность и, как следствие, — длительность и высокая стоимость разработки. Это, в свою очередь, влечет за собой трудность их усовершенствования и развития по мере появления новых численных методов и углубления физических представлений о рассматриваемых явлениях. Так, например, вплоть до настоящего времени в подавляющем большинстве коммерческих кодов, предназначенных для решения задач гидродинамики и тепломассообмена, используется к-е модель турбулентности, разработанная в 60-е годы или, в лучшем случае, ее более поздние модификации. Между тем хорошо известно (см., например, [7]), что модели этой группы не обеспечивают необходимой для практи-
ки точности описания сложных рециркуляционных течений, характерных для вентилируемых помещений и электронной аппаратуры.
Не менее важным недостатком коммерческих кодов, также связанным со стремлением разработчиков к их максимальной универсализации, является относительно низкая вычислительная эффективность. С этой точки зрения коммерческие коды неизбежно уступают специализированным «научным» программам, базирующимся на моделях и алгоритмах, при разработке которых в гораздо более полной мере учитываются специфические особенности рассматриваемых конкретных задач.
Применительно к задачам вентиляции и охлаждения электронный аппаратуры, к числу таких особенностей следует, например, отнести существенно дозвуковой характер течения, с одной стороны, и наличие значительных градиентов плотности, обусловленных неизотермичностью и/или пространственной неоднородностью полей концентраций, — с другой. Известно [8], что использование для расчета таких течений полных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа сопряжено с серьезными вычислительными трудностями, а применение классического приближения Вуссинеска может приводить к недопустимо большим погрешностям. Ясно, что при таких условиях более рациональным является использование модели гипозвуковых течений [8], ориентированной именно на расчет течений данного класса. Существенных упрощений можно добиться также за счет учета геометрической специфики задач вентиляции и охлаждения электронной аппаратуры: большинство объектов, встречающихся в таких задачах, при всем своем многообразии имеет форму прямоугольных параллелепипедов или близкую к ней. Это, в частности, позволяет избежать необходимости использования неструктурированных сеток, без которых едва ли возможно создание программ, претендующих на описание произвольных геометрических объектов, и, тем самым, значительно сократить как затраты памяти, так и время решения задачи.
Приведенные соображения свидетельствуют о том, что, наряду с разработкой и дальнейшим усовершенствованием универсальных вычислительных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения, необходимо построение специализированных математических моделей и разработка экономичных вычислительных алгоритмов, ориентированных на расчет тех или иных конкретных процессов. Настоящая работа направлена на решение именно этих задач применительно к процессам вентиляции и кондиционирования помещений
и охлаждения электронной аппаратуры.
Следует подчеркнуть, что даже в этом сравнительно частном случае спектр явлений, которые необходимо с достаточной для практики точностью описать в рамках разрабатываемой математической модели, остается достаточно широким. Он включает движение воздуха или смеси воздуха с газом-загрязнителем в свободной части помещения (электронного прибора), конвективный теплообмен между газовым потоком и внутренними элементами помещения (прибора), кондуктивный перенос тепла в твердых и пористых объектах, а также радиационный теплообмен между ними. При этом, вследствие высокой степени загроможденности реальных объектов, приводящей к появлению в потоке множества зон рециркуляции, применение относительно простых «параболических» моделей течения и конвективного теплообмена в рассматриваемых условиях нецелесообразным. Кроме того, крайне желательно, чтобы используемые вычислительные алгоритмы были применимы для расчета не только стационарных, но и нестационарных процессов. Это необходимо как для анализа запуска и остановки проектируемых систем и аварийных ситуаций, так и для расчета «номинально» стационарных процессов, в которых реализуются автоколебательные режимы, характерные для течений с обширными отрывными зонами и для сложных струйных течений. Поэтому ясно, что успешное решение поставленной задачи может быть достигнуто только на основе разумного компромисса между полнотой модели и ее вычислительной эффективностью, поиск которого является одним из наиболее сложных элементов такого рода исследований.
Диссертация состоит из данного введения, пяти глав и заключения.
В первой главе формулируется общая математическая модель для описания процессов тепло-массопереноса в задачах вентиляции и кондиционирования помещений и охлаждения электронной аппаратуры. Эта модель включает уравнения для описания гидродинамики и тепло-массообмена в свободном («газовом») пространстве помещения/прибора и модели основных внутренних объектов, характерных для рассматриваемых задач.
Во второй главе описан конечно-объемный метод численного решения исходной системы уравнений, основной особенностью которого является отказ от использования традиционного («зонного») подхода к решению сопряженных задач и расчет параметров течения во всей области в рамках единого «прохода».
Третья глава содержит результаты численных исследований, выполненных с целью тестирования разработанных вычислительных алгоритмов и программ, а
также для оценки адекватности предлагаемых математических моделей процессов вентиляции/кондиционирования и охлаждения электронной аппаратуры.
В четвертой главе приведен ряд примеров использования разработанного математического аппарата для расчета гидродинамики и теплообмена в различных элементах персональных компьютеров и компьютеров в целом. Основной целью, преследовавшейся при этом, была оценка уровня сложности практических задач, которые можно решать с помощью этого аппарата с учетом реальных возможностей существующей вычислительной техники и выяснение некоторых методических вопросов, связанных с практическим использованием разработанных моделей и вычислительных алгоритмов. К ним, в частности, относятся вопрос о чувствительности результатов расчетов к выбору той или иной модели турбулентности, вопрос о влиянии размеров сетки на результаты решения сложных трехмерных задач рассматриваемого класса и вопрос об определении эмпирических констант, входящих в предлагаемые модели пористых объектов.
В пятой главе разработанные в диссертации модели и вычислительные алгоритмы применяются для исследования различных аспектов гидродинамики и процессов тепло-массобмена при вентиляции и кондиционировании помещений. При этом, в отличие от предыдущей главы, посвященной расчету процессов охлаждения электронной аппаратуры, в данном случае основное внимание уделяется не оценке возможности применения разработанного математического аппарата для расчета конкретных реальных систем (с этой точки зрения процессы кондиционирования помещений мало чем отличаются от процессов охлаждения компьютеров или других аналогичных объектов), а анализу некоторых общих закономерностей, присущих вентиляционным течениям, и оценке применимости для их расчета традиционных инженерных методов, которые, как об этом подробно говорилось выше, пока все еще занимают доминирующие позиции в практике проектирования.
Уравнения Рейнольдса для неизотермической бинарной газовой смеси в гипфвуковом приближении
Как уже отмечалось во Введении, используемая в настоящей работе модель гидродинамики и тепло-массопереноса в свободной части объема вентилируемых помещений и электронных приборов представляет собой уравнения Навье-Стокса (Рейнольдса — в случае турбулентных режимов течения) для неизотермических течений воздуха или бинарных смесей воздух-газ-загрязнитель в так называемом гипозвуковом приближении [8]. Данный выбор является не вполне традиционным (в подавляющем большинстве работ, посвященных численному моделированию рассматриваемого класса течений, используется классическое приближение Буссинеска) и обусловлен следующими соображениями.
В вентилируемых помещениях и электронных приборах могут иметь местозначительные пространственно-временные изменения плотности потока. В первом случае (вентиляция) это связано с возможностью существенного различия молекулярных масс воздуха и газа-загрязнителя (например воздух-водород, воздух-метан), а во втором (охлаждение электронных приборов) — с сильной неизотермичностью течения (локальные максимумы температуры могут превышать комнатную в несколько раз). Поэтому и в том, и в другом случае неоднородности поля плотности могут далеко выходить за рамки границ применимости приближения Буссинеска, использование которого оправдано лишь при изменениях плотности, не превышающих 10-15% от некоторого среднего уровня [8]. С другой стороны, скорости движения газа в вентилируемых помещениях и электронных приборах невелики, так что соответствующие числа Маха не превышают М 0.01-0.05. Известно, что численное интегрирование полной системы уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа при таких условиях сопряжено со значительными вычислительными трудностями и требует применения специальных вычислительных алгоритмов, позволяющих преодолеть акустическую жесткость этой системы (см., например, [9]).
Таким образом, для рассматриваемых задач выбор гипозвукового приближения, которое, с одной стороны, не имеет каких-либо ограничений по степени неоднородности плотности, а с другой — снимает вычислительные проблемы, связанные с акустической жесткостью полных уравнений Навье-Стокса при малых числах Маха и лишь незначительно уступает по вычислительной эффективности приближению Буссинеска (см., например, [8]), очевидно, является оптимальным.
Подавляющее большинство вентиляционных течений и значительная часть течений в электронных приборах с воздушным охлаждением являются турбулентными. Поэтому второй принципиальный вопрос, который необходимо решить при построении модели таких течений, — это выбор подхода к описанию турбулентности.
В настоящее время существует три основных направления решения этой проблемы, а именно, традиционный подход, основанный на использовании ос-редненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (RANS в англоязычной литературе), замкнутых с помощью той или иной полуэмпирической модели турбулентности, а также интенсивно развиваемые в последние годы метод моделирования крупных вихрей (LES) и метод прямого численного моделирования (DNS). Второе и, в особенности, третье из перечисленных направлений непосредственно связаны с прогрессом вычислительной техники, который сделал возможным казавшееся еще совсем недавно практически нереальным решение нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.
При использовании DNS эти уравнения численно интегрируются на сетках, позволяющих разрешить весь спектр пространственно-временных масштабов турбулентности. Затем полученные решения подвергаются статистической обработке, в результате чего получаются представляющие основной практический интерес осредненные характеристики течения и тепло-массообмена. К сожалению, возможности DNS ограничены пока анализом течений со сравнительно простой геометрией при низких (порядка тысячи и ниже) значениях числа Рейнольдса.
Метод LES (см. например, [10]) базируется на решении уравнений Навье-Стокса, предварительно подвергнутых так называемой процедуре фильтрации, в результате которой в уравнениях появляются дополнительные слагаемые («подсеточные» члены), сходные по своей природе с рейнольдсовыми напряжениями в уравнениях Рейнольдса. Важным преимуществом метода LES пред подходом, основанным на использовании уравнений Рейнольдса, является то, что значительная часть спектра турбулентных пульсаций, в том числе крупномасштабные когерентные структуры, характерные для большинства турбулентных потоков и существенно зависящие от конкретных геометрических характеристик рассматриваемого течения, рассчитываются в рамках LES «точно» (на основе исходных уравнений Навье-Стокса), а моделируется только воздействие на них не разрешаемых сеткой («подсеточных») мелкомасштабных вихревых структур. Поскольку свойства последних являются более универсальными, чем свойства крупномасштабных вихрей, их моделирование оказывается более простой задачей, чем моделирование всего спектра турбулентных пульсаций, необходимого в рамках уравнений Рейнольдса. С другой стороны, требования LES к пространственным сеткам и шагам интегрирования по времени являются очевидно гораздо менее жесткими, чем соответствующие требования DNS. Тем не менее, требования к вычислительным ресурсам, необходимым для использования LES при реальных числах Рейнольдса (порядка 105 и выше) при расчете пристенных течений, все еще остаются чрезмерно высокими [11], в связи с чем применение этого подхода для массовых расчетов в инженерной практике станет возможным еще не скоро.
Учитывая это, а также цели настоящей работы, единственно возможным подходом к моделированию турбулентности представляется использование ос-редненных по Рейнольдсу [12] уравнений Навье-Стокса в сочетании с той или иной полуэмпирической моделью. При этом основная проблема сводится к выбору относительно простых, но обеспечивающих приемлемую для практики точность моделей. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем разделе. Пока же приведем используемые в дальнейшем уравнения Рейнольдса для неизотермической бинарной газовой смеси совершенных газов в гипозвуковом приближении, форма которых не зависит от конкретного выбора модели турбулентности. Для бинарной смеси газов эти уравнения имеют вид [8] (черта над осредненны-ми величинами для краткости опущена):
Основные этапы вычислительного алгоритма и полудискретная форма исходных уравнений
Решение сопряженных задач гидродинамики и тепломассообена, а именно к такому типу относятся рассматриваемые в настоящей работе задачи вентиляции, кондиционирования и охлаждения электронной аппаратуры, связано со специфическими вычислительными трудностями, обусловленными необходимостью решения различных дифференциальных уравнений в разных подобластях расчетной области.
Традиционный («зонный») подход к решению сопряженных задач состоит в последовательном расчете параметров в отдельных подобластях («зонах») с использованием соответствующих условий сопряжения в качестве граничных условий на их границах (см., например, [34, 35]).
Очевидным недостатком данного подхода является необходимость аппроксимации граничных условий сопряжения явным (по времени) образом. Это приводит к снижению устойчивости и к замедлению или даже отсутствию сходимости итерационных неявных методов, обычно используемых при решении стационарных задач гидродинамики и тепломассообмена.
Альтернативный подход к решению сопряженных задач состоит в расчете параметров во всей расчетной области в рамках ее единого «прохода» [36]. При этом, несмотря на то, что в отдельных подобластях для описания процессов переноса используются различные дифференциальные уравнения, вся область рассматривается как единое целое, а условия сопряжения на границах подобластей используются при конечно-объемной аппроксимации законов сохранения массы, импульса и тепла в приграничных ячейках расчетной области. С помощью данного подхода удается обойти отмеченные выше трудности, связанные с последовательным решением соответствующих задач в отдельных подобластях. Кроме того, с точки зрения программной реализации достаточно важным преимуществом данного подхода является однородность соответствующего вычислительного алгоритма, который на каждом временном слое (итерации в случае решения стационарных задач) сводится к решению одной и той же линейной системы алгебраических уравнений (при переходе из одной подобласти в другую изменяется лишь структура матрицы коэффициентов этой системы). Единственным недостатком стратегии «сквозного прохода» является то, что при существенном различии характерных времен тех или иных из рассматриваемых физических процессов в отдельных подобластях эта стратегия приводит к так называемым жестким системам [37], решение которых связано с достаточно серьезными вычислительными трудностями. Для задач, рассматриваемых в данной работе, это обстоятельство имеет весьма существенное значение. Например, различие коэффициентов теплопроводности, а следовательно, и характерных времен кондуктивного теплопереноса в контактирующих между собой твердых телах может достигать трех порядков (медь-керамика). Аналогичная ситуация может иметь место при контакте воздуха с твердым металлическим телом и т.д. Тем не менее, анализ данной проблемы свидетельствует о том, что при использовании некоторых современных алгоритмов решения линейных систем [38, 39], она может быть достаточно успешно решена. С учетом этого обстоятельства, а также принимая во внимание отмеченные выше принципиальные недостатки «зонного подхода», при разработке численного алгоритма в настоящей работе было отдано предпочтение принципу «сквозного прохода» и, как показали дальнейшие расчеты, этот выбор оказался вполне оправданным.
Расчет поля вектора скорости и давления. На данном этапе проводится численное интегрирование уравнений движения и неразрывности (1.1)-(1.2) и соответствующих уравнений для пористых тел (1.22)-(1.23), если таковые имеются внутри расчетной области. При этом используется так называемый проекционный метод [40], в рамках которого на первом («предикторном») шаге из уравнений движения находится предварительное поле вектора скорости. При этом входящий в них градиент давления определяется по «старому» (на предыдущем временном слое) полю давления.
Полудискретная форма предикторного шага имеет вид: Предикторный шаг реализуется с помощью неявной схемы приближенной факторизации с использованием метода переменных направлений с диагональным преобладанием (DDADI) На втором («проекционном») шаге алгоритма из решения уравнения Пуассона определяется поправка давления 5р = рп+1 — рп, где п — номер временного слоя/итерации. Решение дискретного аналога этого уравнения осуществляется методом сопряженных градиентов с неполным разложением Холецкого [39]. «Окончательное» (удовлетворяющее уравнению неразрывности (1.1)) поле скорости на новом временном слое (итерации), un+1, определяется из уравнения:
Характерной особенностью применяемого метода сквозного прохода области является то, что описанная процедура применяется во всей расчетной области, а не только в газовой фазе и в объемных пористых телах, где, собственно, происходит течение. При этом в узлах сетки, расположенных в твердых телах, на пластинах, вентиляторах и пористых пластинах, элементы матрицы соответствующим образом модифицируются. Например, внутри твердых тел, где скорость равна нулю, а давление вообще не определено, они доопределяются таким образом, чтобы получить нулевое решение.
Расчет поля температуры. На этом этапе с использованием одного и того же метода (метода би-сопряженных градиентов с неполным LU-разложением [39]) осуществляется численное интегрирование уравнения энергии в газовой фазе (1.3), уравнения энергии для пористых тел (1.24) и уравнения теплопроводности для твердых тел (1.21). Полудискретный аналог этих уравнений выглядит следующим образом:
При этом в узлах сетки, находящихся на твердых и пористых пластинах, соответствующие элементы матриц дискретных аналогов уравнений модифицируются с учетом моделей плоских объектов, представленных в разделах 1.3.2, 1.3.2.
Расчет поля концентрации газа-загрязнителя. Данный этап состоит в решении уравнения переноса массы газа-загрязнителя в газовой фазе (1.4) и в объемных пористых телах (1.25). При этом, как и при решении уравнения энергии, используется метод би-сопряженных градиентов с неполным LU-разложением [39]. Полудискретный аналог уравнения концентрации выглядит аналогично уравнению (2.4). Соответствующие элементы матрицы системы разностных уравнений модифицируются таким образом, чтобы получить нулевое решение в твердых телах.
Расчет установившегося ламинарного течения несжимаемой жидкости в канале прямоугольного сечения
Данная глава содержит результаты численных исследований, выполненных с целью тестирования разработанных вычислительных алгоритмов и программ, а также для оценки адекватности предлагаемых математических моделей процессов вентиляции/кондиционирования и охлаждения электронной аппаратуры.
В частности, для проверки «газодинамической» и «тепловой» частей разработанного алгоритма использовались соответственно точное решение задачи об установившемся ламинарном течении несжимаемой жидкости в трубе прямоугольного сечения [46] и результаты расчетов естественной конвекции в квадратной полости [47]. Тестирование алгоритма расчета нестационарных процессов проведено путем сопоставления полученных с его помощью численных решений для автоколебательных режимов естественной конвекции в прямоугольной полости с аналогичными решениями [48]. Наконец, для проверки корректности реализации моделей турбулентности выполнено сопоставление результатов расчетов, полученных в настоящей работе, с известными данными по турбулентному пограничному слою на плоской пластине и с результатами независимых расчетов турбулентного течения в плоском канале с обратным уступом [16]. Все эти результаты представлены в первом разделе главы.
Во втором разделе содержатся результаты методических расчетов, целью которых являлась оценка адекватности и определение границ применимости используемых в работе приближенных математических моделей. Этот раздел включает в себя сравнение результатов расчетов, полученных в рамках этих моделей, с известными экспериментальными данными по достаточно широкому кругу процессов, представляющих интерес с точки зрения задач настоящей работы. Наряду с этим, проведена «внутренняя» оценка точности используемых упрощенных моделей путем сопоставления результатов, полученных в рамках этих моделей, с аналогичными результатами, полученными на основе более полных моделей. В частности, для оценки границ применимости квазиодномерной модели твердой пластины (см. раздел 3.2.2) проведено сравнение решения задачи об обтекании пластины конечной толщины с источником тепла, полученного в рамках этой модели, с «точным» решением, полученным при использовании полной (трехмерной) модели твердого тела в широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи, а оценка точности «линейной» модели радиационного теплообмена (см. раздел 3.2.4) получена на примере решения задачи о естественной конвекции в квадратной полости [50].
Данная задача имеет аналитическое решение [46], которое позволяет не только провести достаточно полную проверку используемого численного метода в части, касающейся динамики газового потока, но и объективно оценить влияние величины пространственного шага используемой сетки на точность получаемого численного решения. На рис. 3.1 представлены профили продольной составляющей скорости в двух сечениях канала, а на рис. 3.2 — относительная погрешность расчета в зависимости от шага используемой равномерной сетки. Видно, что даже на весьма грубой сетке с числом ячеек 10x10 максимальная относительная погрешность расчета не превышает 2%. Кроме того, приведенные данные подтверждают второй порядок точности аппроксимации используемой разностной схемы (отнесенная к квадрату шага сетки погрешность расчета не зависит от величины шага). Данная задача (см. схему на рис. 3.3) является общепринятым тестом для численных алгоритмов, предназначенных для расчета естественной конвекции и теплообмена, поскольку по ней накоплен обширный расчетный материал, позволяющий не только провести надежную проверку разработанного алгоритма, но и оценить его «рейтинг» в ряду других известных методов решения аналогичных задач.
В таблице 3.1 представлено сравнение максимальных значений скорости потока в центральных вертикальном и горизонтальном сечениях полости и координат точек, в которых достигаются эти максимальные значения, рассчитанных в настоящей работе, с аналогичными данными, имеющимися в литературе и полученными с использованием широкого круга численных алгоритмов и сеток разного размера [47]. Так, в программе «ResCUE» используется явный МАС-метод, уравнения аппроксимируются методом конечного объема на шахматной сетке с первым порядком точности по времени и пространству. В программе «PSIOM2D» для решения исходной системы уравнений используются переменные ip — со, а конвективные члены аппроксимируются противопоточными разностями первого порядка. Программа «NS» использует конечно-элементный метод Галеркина. В качестве «эталона» при сопоставлении разных решений приняты результаты расчетов [51], полученные на очень подробной сетке 320x320 ячеек. Из таблицы видно, что алгоритм, используемый в данной работе, заметно превосходит по точности три других алгоритма и что решение, полученное с его помощью на сетке 64x64, уже практически совпадает с эталонным решением [51].
Влияние на результаты расчетов размеров сетки и модели турбулентности
Для того чтобы приближенно учесть кондуктивный перенос тепла вдоль поверхности пластины, оставаясь в рамках локально одномерной модели теплопроводности, в настоящей работе предложен следующий простой прием. При расчете соответствующих составляющих тепловых потоков в ячейках сетки, граничащих с поверхностью пластины, используется не теплопроводность газа, а средневзвешенная величина, определяемая через теплопроводность газа и материала пластины с учетом доли объема газовой ячейки, занимаемого пластиной. Этот прием оказался весьма эффективным, что наглядно иллюстрирует рис. 3.15, на котором представлены результаты расчетов, полученные с его использованием для тех же условий, что и на рис. 3.14. Видно, что описанная «коррекция» теплопроводности газа в приграничных газовых ячейках позволяет значительно снизить погрешность расчета температуры даже на поверхности относительно толстой пластины (l/h = 50), а при l/h = 200 профили температуры, рассчитанные с использованием полной (трехмерной) и предлагаемой упрощенной модели практически совпадают. Таким образом, использование последней для тонких (с отношением толщины к характерному продольному размеру порядка 0.01 и ниже) тел является вполне оправданным в широком (до нескольких тысяч) диапазоне изменения отношения теплопроводностей материала пластины и газа. Отметим, что именно в этом случае («очень тонкие» тела) применение приближенной модели пластины вместо полной модели трехмерного твердого тела дает наибольший выигрыш с вычислительной точки зрения. Это связано с тем, что при малых h/l расчет в рамках трехмерной модели требует сильного сгущения сетки в месте расположения тела, что влечет за собой не только увеличение размерности конечно-разностной сетки, но приводит также к существенному различию пространственных шагов сетки вдоль разных координатных осей, что, как известно, отрицательно сказывается на скорости сходимости итерационных алгоритмов. Так, например, при h/l = 0.005 соотношение времен решения рассматриваемой задачи с использованием трехмерной и описанной приближенной моделей достигает 10.
Характерной особенностью задач вентиляции, кондиционирования и охлаждения электронной аппаратуры является наличие большого числа «открытых» или «проницаемых» границ расчетной области (вентиляционные решет ки, открытые дверные или оконные проемы, щели в кожухе прибора и т. п.). При этом не только величина, но и направление скорости потока на этих границах, как правило, неизвестны, то есть априори неясно, является ли рассматриваемый участок границы «входом» или «выходом». Хорошо известно (см., например, [11]), что при таких условиях постановка математически корректных и физически оправданных (приводящих к правильным результатам) граничных условий к уравнениям Навье-Стокса является далеко не тривиальной задачей. В настоящей работе предложен один из возможных вариантов ее решения, базирующийся на использовании модели граничных условий на проницаемых границах, описанной в разделе 1.4. С целью проверки работоспособности этой модели была рассмотрена следующая относительно простая, но достаточно типичная модельная задача.
Пусть помещение представляет собой симметричную квадратную полость с пятью проницаемыми участками - «щелями» (см. схему на рис. 3.16). Через с заданной скоростью подается вентилирующий газ. Что касается остальных четырех щелей, то ни величина, ни направление скорости в них не известны и должны быть определены в процессе решения задачи (предполагается, что давление в окружающей среде, знание которого необходимо для постановки граничных условий на проницаемых границах, известно и равно ра).
Решение описанной задачи при двух различных значениях числа Рейнольд-са, построенного по размеру полости и скорости подачи в нее воздуха, представлено на рис. 3.17. Из рисунка видно, что при Re = 100 используемые граничные условия приводят к решению, в котором все боковые щели являются «выходными» границами, а при Re = 1000 верхние щели оказываются «выходными», а нижние — «входными» границами. Приведенные результаты свидетельствуют о работоспособности используемой модели граничных условий: в обоих рассмотренных случаях, то есть независимо от того, является ли проницаемая граница входом или выходом, эта модель позволяет получить сошедшееся стационарное решение задачи, причем необходимое для этого число итераций практически не зависит от типа течения. Кроме того, как видно из приведенных на рис. 3.17 полей скорости, эта модель позволяет описать смену типа границы («вход» на «выход») при изменении параметров течения (в рассматриваемом случае числа Рейнольдса), что, по крайней мере, качественно соответствует действительности. Однако для получения количественной оценки точности предлагаемой модели необходимо сравнение полученных с ее помощью результатов с экспериментальными данными. Такое сравнение было выполнено на примере расчета естественной конвекции в модели корпуса телевизора, экспериментально исследовавшейся в работе [55].
