Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 10
1.1. Общие сведения о магнитных жидкостях 10
1.2. Равновесная намагниченность магнитных жидкостей 16
1.3. Диффузия коллоидных частиц в магнитной жидкости 22
1.4. Магнитофорез и седиментация коллоидных частиц 29
1.5. Смежные научные и прикладные проблемы 32
2. Методика вычислений и тестовые расчеты 34
2.1. Введение 34
2.2. Магнитофорез и диффузия частиц в концентрированных магнитных жидкостях 35
2.3. Расчет размагничивающего поля 38
2.4. Применение МКО для решения уравнения масообмена 40
2.5. Проверка метода и сходимости численного решения 46
3. Силы, действующие на постоянный магнит, помещенный в прямоугольную полость с магнитной жидкостью 54
3.1. Введение 54
3.2. Постановка задачи 55
3.3. Поле постоянного магнита 58
3.4. Метод решения и результаты 60
3.5. Заключение 68
4. Сегрегация частиц под действием размагничивающих полей 70
4.1. Введение 70
4.2. Сегрегация частиц в размагничивающем поле: структура концентрационных полей 71
4.2. Влияние агрегатов 76
5. Сегрегация частиц в магнитной жидкости при совместном действии магнитного и гравитационного полей 81
5.1. Введение 81
5.2. Седиментация частиц в гравитационном и магнитных полях 82
5.3. Динамические квазипериодические структуры 85
5.4. Модификация уравнения диффузии 88
Основные результаты и выводы 94
Список литературы
- Равновесная намагниченность магнитных жидкостей
- Магнитофорез и диффузия частиц в концентрированных магнитных жидкостях
- Поле постоянного магнита
- Сегрегация частиц в размагничивающем поле: структура концентрационных полей
Равновесная намагниченность магнитных жидкостей
Объектом исследования в данной работе являются магнитные жидкости – коллоидные растворы ферри- и ферромагнитных материалов в немагнитной жидкости носителе. При отсутствии дальней корреляции между частицами, магнитные жидкости демонстрируют суперпарамагнитное поведение, которое подобно поведению парамагнетиков с аномально большими магнитными моментами частиц [25]. Работы по созданию жидких магнитных материалов начались в Соединенных Штатах Америки в связи с реализацией программы полета на Луну. Потребовались надежные герметизаторы между подвижными элементами скафандра и система подачи топлива в условиях невесомости [26]. В качестве средства, которое смогло обеспечить решение обеих проблем, выступили магнитные жидкости, синтезированные Пейпеллом (PapellS. S.) в середине 60-х годов [27]. В результате уникальной совокупности текучести и способности взаимодействовать с магнитным полем, эти жидкости получили широкое практическое применение.
В магнитных жидкостях броуновское тепловое движение должно поддерживать частицы во взвешенном состоянии, а защитные оболочки - предотвращать образование необратимых агломераций под действием сил Ван-дер-Ваальса. Для выполнения первого условия размер ферромагнитных частиц должен быть порядка 10 нм, что на несколько порядков меньше размеров частиц обычных суспензий [10, 28]. Второе условие требует, чтобы твердая магнитная частица была покрыта слоем стабилизатора. Последнее обеспечивается либо введением в коллоид поверхностно-активного вещества (ПАВ), либо введением ионных групп. Как правило, в качестве ПАВ используют вещества, состоящие из полярных органических молекул, у которых присутствуют короткая функциональная группа (щелочная, кислотная и др.) и длинная хвостовая цепочка (углеводородная, фто-руглеродная и др.). Один из концов молекулы адсорбируется на частице, а другой тяго 11 теет к молекулам жидкости-носителя [29]. В результате на поверхности феррочастиц создаются защитные оболочки, которые при соприкосновении двух частиц сжимаются и ведут себя как упругие амортизаторы. Таким образом, проявляется стерическое отталкивание феррочастиц. Чаще всего, в качестве ПАВ используют олеиновую кислоту. Такие коллоиды имеют высокую устойчивость к расслоению и сохраняют свои свойства годами. В ионно-стабилизированных магнитных жидкостях на феррочастице образуется двойной электрический слой, взаимодействующий с полярной жидкостью-носителем.
В качестве дисперсной фазы в магнитной жидкости чаще всего используется магнетит (Fe3O4), реже встречаются растворы на основе высокодисперсного железа, ферритов никеля и кобальта. Как правило, в технике используются концентрированные магнитные жидкости с объемной долей магнетита до 10 – 20%. Выбор дисперсионной среды обусловлен предполагаемым назначением готового продукта и желаемым набором его свойств (вязкость, плотность, термостойкость, теплопроводность и т.д.). Наиболее распространенными и исследованными в лабораторной практике являются магнитные жидкости на основе керосина, но в промышленности применение получили жидкости на более вязких основах: минеральных маслах, кремнийорганических средах, а также на воде.
Процесс получения магнитной жидкости состоит из двух основных стадий: получения магнитных частиц нужного размера и стабилизации их в жидкости-носителе. Существующие на сегодняшний день способы получения магнитных жидкостей можно разделить на два класса: диспергирование и конденсация [4, 28, 30, 31]. Наибольшее развитие получил метод химический осаждения [31], отличающийся высокой производительностью, минимальными временными затратами и позволяющий автоматизировать производство. Он позволил получить магнитные жидкости на основе воды и спиртов [4, 32, 33].
Диаметр x магнитного ядра коллоидной частицы отличается от диаметра ее твердого ядра ds на величину за счет поверхностного немагнитного слоя. Кроме того, каждая частица окружена защитной оболочкой толщиной l. Таким образом, полный (гидродинамический) диаметр частицы равен d = ds + 2l. Для описания концентрации магнитной жидкости обычно используют объемную долю магнитного материала в жидкости m или объемную долю твердой фазы s. Первая вычисляется через намагниченность насыщения магнитной жидкости М и магнетита Мs и определяется соотношением: M
В состоянии насыщения магнитные моменты всех частиц ориентированы вдоль магнитного поля, и намагниченность насыщения обусловлена только объемным содержанием магнетика. Объемная доля твердой фазы определяется через плотность раствора плотности коллоида, жидкости носителя и твердой фазы соответственно. Во всех случаях (рт (ps из-за наличия немагнитного твердого слоя, покрывающего магнитное ядро. Гидродинамическая концентрация (р учитывает наличие защитного слоя на частицах, определяется как сумма (ps и объемной доли поверхностно-активного вещества ср. Однако независимое определение (р в лабораторном эксперименте представляет серьезную проблему и зачастую не проводится [34]. Гидродинамическую концентрацию можно рассчитать, если известно распределение коллоидных частиц по диаметру магнитных ядер. Так, при описании дисперсного состава частиц с помощью гамма-распределения
Здесь толщина твердого немагнитного слоя, а и хо - параметры распределения, определяемые, как правило, в процессе магнитогранулометрического анализа [36], Г - Гамма функция.
Первое уравнение в системе (1.1) можно использовать для расчёта толщины , используя известные значения (ps и (рт, а второе - для определения (р. Толщина защитной оболочки полагается обычно равной длине молекулы стабилизатора, и при использовании олеиновой кислоты равна 2.0 - 2.2 нм.
Несмотря на использование стабилизаторов, полностью предотвратить коагуляцию частиц не удается, поэтому в коллоидном растворе образуются различного рода агрегаты (кластеры частиц). Объединения частиц возникают в магнитной жидкости, когда энергия межчастичного притяжения существенно превосходят энергию теплового движения. Основными причинами коагуляции магнитных коллоидов являются Ван-дер-Ваальсовы силы притяжения между взвешенными частицами и специфические для магнитных частиц диполь-дипольные взаимодействия.
Диполь-дипольное взаимодействие между коллоидными частицами обусловлено наличием у них магнитных моментов и является дальнодействующим. Для оценки его влияния на агрегирование частиц удобно ввести безразмерный параметр агрегирования, в виде отношения энергии диполь-дипольного взаимодействия двух контактирующих частиц к тепловой энергии:
Здесь d гидродинамический диаметр частицы, Т - абсолютная температура, k - постоянная Больцмана, juo = 4 10 7 Гн/м - магнитная постоянная, m - магнитный момент частицы. Для частиц диаметром 10 нм X 1 влияние магнитодипольного взаимодействия невелико, и образовавшиеся агрегаты легко распадаются на одиночные частицы в результате хаотического теплового движения. При X 2, когда энергия магнитодипольно го взаимодействия существенно превышает тепловую, формируются пространственные структуры в виде колец, цепей или квазисферических кластеров [34, 37-40]. Однако в большинстве магнетитовых растворов агрегаты появляются при значении , не превышающем единицы. Это связано с тем, что в процессе приготовления магнитных жидкостей получаются частицы со средним диаметром магнитного ядра 10 - 12 нм, но реально присутствуют частицы диаметром порядка 5 нм и 20 - 25 нм. Частицы разного диаметра дают разный вклад в магнитодипольные взаимодействия, но вклад крупных частиц непропорционально высок. Поэтому при средних значениях X (меньше двух единиц) наличие в рас 14 творе крупных частиц может приводить к появлению агрегатов [41]. Включение магнитного поля усиливает магнитодипольные взаимодействия и способствует сегрегации частиц.
Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия имеют электромагнитную природу [42, 43] и возникают вследствие поляризации частиц в магнитной жидкости, которая появляется в результате различия диэлектрических свойств жидкости носителя и частицы. Потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых сферических частиц описывается формулой Гамакера [25, 44, 45]:
Магнитофорез и диффузия частиц в концентрированных магнитных жидкостях
Основным свойством магнитной жидкости, отличающим ее от обычных жидкостей, является способность намагничиваться во внешнем магнитном поле. Используемые при получении магнитной жидкости ферри- или ферромагнитные вещества обладают доменной структурой. У большинства магнетиков максимальный размер домена составляет несколько сотен нанометров, поэтому все дисперсные частицы магнитной жидкости можно считать однодоменными. Намагниченность каждой частицы однородна и в отсутствии внешнего поля хаотически меняет свое направление в пространстве таким образом, что жидкость в целом остается ненамагниченной. При наложении внешнего магнитного поля магнитные моменты выстраиваются преимущественно по направлению поля, и жидкость намагничивается [28, 52]. В достаточно сильных полях все магнитные моменты ориентированы вдоль поля, и намагниченность жидкости достигает насыщения Мт = пт. Нагревание образца уменьшает магнитный момент частиц, а при достижении температуры Кюри одномерные частицы переходят в парамагнитное состояние. Однако большинство используемых материалов имеют температуры Кюри, многократно превышающую температуру применения магнитных жидкостей [6].
При вычислении намагниченности магнитной жидкости необходимо, вообще говоря, учитывать, что поле И внутри жидкости отличается от внешнего поля Но на величину размагничивающего поля Яг: Н = Но + НТ. Размагничивающим полем, как известно, называется добавка к напряженности поля внутри вещества, связанная с преломлением силовых линий на границах тела. Если проводить аналогию между электро- и магнитостатикой, то существование размагничивающего поля можно связать формально с индуцированием виртуальных магнитных зарядов на поверхности намагниченного тела. При однородной намагниченности тела величина размагничивающего поля полностью определяется формой тела и не зависит от его размеров. Для расчета размагничивающих полей требуется решение связанной краевой задачи для некоторой геометрической области, включающей в себя собственно намагниченное тело и окружающее пространство. Если в намагничивающейся среде нет электрических токов, то задача сводится к решению статических уравнений Максвелла и материального уравнения, связывающего намагниченность M с напряженностью поля H внутри вещества:
Последнее уравнение записано здесь для магнитомягкого материала, каким, безусловно, является магнитная жидкость, и для которого не существенен магнитный гистерезис. На границе намагниченного тела накладывается условие непрерывности нормальной компоненты магнитной индукции В = //0 (Н + М) и тангенциальных компонент напряженности. Если внешнее поле однородно, задача имеет точное аналитическое решение для тела в виде произвольного трехосного эллипсоида и его предельных конфигураций (тонкая пластина, шар и круглый цилиндр бесконечной длины) [53]. В этом случае напряженность поля внутри тела связана с напряженностью внешнего поля Н0 простым соотношением где к– размагничивающий фактор, зависящий только от отношения осей эллипсоида и их ориентации в магнитном поле. Размагничивающий фактор максимален (к= 1) для плоской пластины, намагниченной в поперечном направлении, и минимален (V—» 0) для тела, вытянутого вдоль силовых линий. В приближении однородно намагниченного тела (постоянные магниты, разбавленные магнитные жидкости или сильные магнитные поля) аналитическое решение может быть найдено также для произвольного прямоугольного параллелепипеда и круглого цилиндра конечной длины [54]. В остальных случаях необходимо численное решение задачи.
Один из способов решения задачи предполагает разбиение исследуемой области, на элементарные объемы, рассматриваемые как точечные диполи. Каждый такой объем dV создает вокруг себя магнитное поле сМ В произвольной точке Р (х, у, z) эту добавку можно рассчитать по известной формуле для точечных магнитных диполей [25]: dH= lрасстояние от элемента объема dV до точки Р, М - намагниченность элемента объема. Суммируя вклады всех элементарных объемов, получим искомую напряженность размагничивающего поля. Точность вычислений можно повысить, если формулу (1.4) для точечных диполей заменить на более точную формулу, учитывающую форму элементарного объема [54].
В разбавленных растворах ((ps 0.03) энергия межчастичных диполь-дипольных взаимодействий мала по сравнению с тепловой энергией, и взаимодействие однодоменных коллоидных частиц с внешним магнитным полем играет ключевую роль. В этом случае магнитные частицы можно рассматривать как невзаимодействующие друг с другом. Для описания магнитных свойств такой суперпарамагнитной системы в равновесном состоянии используют модель Ланжевена, предложенную им для ансамбля монодисперсных молекул парамагнитного газа: число частиц в единице объема, - параметр Ланжевена, L () - функция Ланжевена. В слабых полях ( « 1) при разложении функция Ланжевена в ряд Тейлора можно ограничиться первым членом разложения L() = f / 3. В этом случае выражение для начальной восприимчивости XL = M / Н имеет вид:
Реальные ферроколлоиды полидисперсны, т. е. содержат частицы разного диаметра. Крупные частицы ориентируются уже в слабых магнитных поля, в то время как вклад в равновесную намагниченность мелких частиц становится заметным лишь в умеренных и сильных полях ( f » 1). На основе сопоставления зависимости намагниченности от напряженности поля и экспериментальных кривых М(Н) возник метод магнитной гранулометрии [55, 56, 36].
Для реальных ферроколлоидов на основе магнетита средний магнитный момент дисперсных частиц имеет порядок 10 19Ам2, намагниченность насыщения - 10 + 100 кА/м, а объемная доля частиц достигает 40 - 50%. Такие жидкости уже нельзя считать разбавленными, влияние межчастичных взаимодействий становится существенным, и приближение парамагнитного газа не может воспроизвести кривую равновесной намагниченности магнитных жидкостей [22, 36, 50, 57-66]. Начальная восприимчивость растет быстрее, чем в соответствии с линейной зависимостью /L п. В первую очередь это происходит из-за влияния диполь-дипольных взаимодействий и, несмотря на стабилизацию, Ван-дер-Ва-альсовых сил.
Ранние модели взаимодействующих твердых дипольных сфер основаны на модели среднего поля. В рамках популярной модели Вейса [67] вклад диполь-дипольных взаимодействий считается эквивалентным некоторому увеличению напряженности внешнего магнитного поля, пропорциональному намагниченности М ферроколлоида. Эффективное поле, действующее на однодоменную частицу, выражается как:
Формула (1.6) является аналогом закона Кюри-Вейса для обычных парамагнетиков [22, 68]. Модель Вейса подробно проанализирована в [36, 57, 61, 69] на основе экспериментальных данных. Показано, что она хорошо работает для разбавленных растворов, а также в области сильных полей, т.е. при больших значениях параметра Ланжевена (» 1). Кроме того, эта модель прогнозирует появление спонтанной намагниченности М (Н = 0) 0, если XL 3.
Среди других теоретических моделей, можно выделить модель поляризованных молекул Онзагера [70], метод кластерного разложения Джепсера [71], средне сферическое приближение Морозова [62], теорию возмущений [72] и модифицированную модель среднего поля [22, 36, 63]. Согласно модифицированному приближению эффективного поля оно определяется выражением:
Поле постоянного магнита
Тепловое движение частиц в коллоидных системах получило название броуновского движения в честь английского ботаника Роберта Броуна, обнаружившего в 1827 г. под микроскопом непрерывное хаотическое движение частиц цветочной пыльцы в воде. Броуновское движение частиц является причиной диффузии - самопроизвольного процесса выравнивания концентрации. Диффузия является макроскопическим проявлением теплового движения молекул и происходит тем быстрее, чем выше температура. Явление диффузии необратимо, она протекает до полного выравнивания концентрации, так как хаотическому распределению частиц соответствует максимальное значение энтропии в системе [79]. Диффузионный перенос массы в результате диффузии описывается законом Фика (1855 г.): \d=-DVn, где у- плотность диффузионного потока, D - коэффициент диффузии. Согласно А. Эйнштейну (1908 г.) коэффициент диффузии сферических частиц в разбавленных суспензиях определяется абсолютной температурой Т, вязкостью ц дисперсионной среды и гидродинамическим диаметром частицы d: кТ где k – константа Больцмана, – динамическая вязкость среды. Теория Эйнштейна разработана для сильно разбавленных растворов, в которых каждая частица может рассматриваться как одиночная, находящаяся в неограниченном объеме жидкости. Однако такой подход не является достаточным, когда мы имеем дело с высокой концентрацией частиц, т. е. с диапазоном параметров, которые представляют особый интерес для исследований с прикладной точки зрения. В случае высококонцентрированных коллоидных растворов диффузионные процессы зависят от стерических и магнито-дипольных взаимодействий, учет которых представляет серьезную проблему. Влияние межчастичных взаимодействий на диффузию процессов рассмотрено рядом исследователей, которые сосредоточили свое внимание на расчете коэффициента диффузии. В частности, стерические и гидродинамические взаимодействия в линейном (по отношению к объемной доле частиц ) приближения были учтены Бэтчелором Г. К. (Barchelor G. K.) в работе [80]. Он показал, что в случае градиентной концентрации частиц, термодинамические силы, действующие на каждую частицу, равны градиенту химического потенциала. Определение потока частиц под действием этой силы эквивалентно определению скорости седиментации частиц, падающих в жидкости под действием силы тяжести. Из общих термодинамических рассуждений, описывающих состояние равновесной системы через однородность химического потенциала каждой из компонент системы (частицы твердой фазы и жидкость-носитель) и температуры внутри всей жидкости, автор получил выражение для коэффициента градиентной диффузии гидродинамически взаимодействующих коллоидных частиц D=KM
Здесь Kg((p) - гидродинамическая подвижность коллоидной частицы в концентрированной системе, т/о - вязкость жидкости-носителя, а - химический потенциал. Выражение (1.9) является универсальным, так как сохраняет свой вид и в случае межчастичных вза имодействий. Для разбавленных растворов в области (р 10 2, Бэтчелор предложил ис пользовать линейное по концентрации приближение D = bоkT(1 + 1.45 q ) = Do(l + 1.45 ф), (1.10) где bо = 1 /3 т/о ж d - подвижность частиц в жидкости-носителе, Do - эйнштейновское значение коэффициента диффузии для предельно разбавленных растворов. Согласно (1.10) коэффициент диффузии является возрастающей функцией концентрации частиц, в то время как подвижность частиц уменьшается с ростом концентрации. Это кажущееся противоречие объясняется влиянием «исключенного объема», стимулирующего переход частиц из области высокой концентрации в область низких концентраций [80-82]. По пытку выйти за границы разбавленных растворов предприняли Байбен и Хансен (T. Biben and J.-P. Hansen) [83]. Они исследовали осаждение коллоидных частиц в монодисперсных заряженных коллоидах. Расчеты были основаны на функционале свободной энергии с учетом исключенного объема и кулоновских взаимодействий. Этот подход был расширен в работе [84] для бинарных смесей заряженных коллоидов в присутствии малых ионов, с учетом влияния силы тяжести и условием взаимной непроницаемости сфер. В работе Це берса (Cerbers А. О.) [85] получено выражение для химического потенциала магнитной жидкости, описывающее эффект исключенного объема (как в случае с газом Ван дер Ва альса). Значительный прогресс в проблеме учета стерических взаимодействий достигнут в работах [86, 87]. Авторы представили формулу для коэффициента диффузии частиц в рамках аппроксимации Carnagan - Starling для системы твердых сфер [88] и ввели линей ную по концентрации поправку на эффективное притяжение сферических диполей: - (!) 8 D = D0K((p) \1 + 2 р 4- -Х2(р\. (1.11) L (1 -?) 3 J Здесь K() = b/b0 – относительная подвижность частиц в магнитной жидкости, b – подвижность частиц в магнитной жидкости. Второе слагаемое в квадратных скобках (1.11) весьма точно учитывает стерические взаимодействия во всем диапазоне возможных концентраций частиц. В отсутствие внешнего магнитного поля относительная подвижность K() феррочастиц в магнитной жидкости является скалярной функцией концентрации объема частицы. Однако на сегодняшний день в литературе нет единого мнения относительно вида безразмерной подвижности K(), так как единое выражение для K() невозможно получить последовательным способом для различных концентраций. Это приводит к необходимости использовать приближенные выражения для различных диапазонов концентрации, сравнивая их предсказания с экспериментом. Для разбавленных растворов в области 10–2, Бэтчелор предложил использовать линейное по концентрации приближение
Эта аппроксимация была экспериментально подтверждена М. М. Kops-Werkhoven и соавторами [89-91] для частиц силикагеля, диспергированных в циклогексане. Однако, согласно зависимости (1.12) K() обращается в нуль при 0.15, а дальнейшее увеличение концентрации приводит к отрицательным значениям безразмерной подвижности. Разрешить противоречие удалось Расселу (Russel W. B.) в работе [92]. Он предложил аппроксимировать концентрационную зависимость относительной гидродинамической подвижности с помощью степенной функции где j – показатель степени равный 6.55. При таком значении j выражение (1.13) совпадает с (1.12) в пределе малых концентраций. Несмотря на отсутствие ярко выраженных недочетов, теория Рассела неудовлетворительно описывает экспериментальные данные. Добиться согласия удалось лишь с заряженными полистироловыми сферами [93]. Для нейтральных твердых сфер Мод и Уитмор (Maude and Whitmore) предложили использовать показатель j 5 [94]. Другой вид зависимости предложили Рид и Андерсон (Reed and Anderson) [95], они попробовали расширить теорию Бэтчелора [80] на больший диапазон концентраций. Авторы рассчитывали относительную гидродинамическую подвижность как:
Выражение (1.14) обращается в нуль при (р 0.53 и дает хорошее согласие с экспериментами по осаждению силикагеля в [90]. Из большого числа теорий экспериментаторы в [34] отдают предпочтение модели Ладда (Ladd) [96], которая работает для широкого диапазона концентрации (ср 0.2), а изменение подвижности носит экспоненциальный характер и имеет вид:
Влияние внешнего магнитного поля на диффузию частиц концентрированного фер-роколлоида исследовалось в работах К. И. Морозова [97-99]. Автор рассчитал эффективный коэффициент диффузии магнитной жидкости в бесконечном плоском слое, помещенном в однородное внешнее поле Н с учетом магнитодипольных и стерических взаимодействий. Градиент концентрации частиц направлен поперек плоского слоя, поэтому магнитная часть задачи имеет тривиальное решение В = \хо(Н+М) = const или Н = const в зависимости от направления магнитного поля (М- намагниченность жидкости). Рассчитаны коэффициенты диффузии в линейном по концентрации приближении для двух ориентаций поля: вдоль и поперек градиента концентрации. В этих работах автор рассматривает анизотропию массопереноса, для которой есть две независимые причины. Во-первых, может быть анизотропна подвижность частиц из-за диполь-дипольного взаимодействия. Во-вторых, возможна анизотропия термодинамических сил, обусловленная размагничивающими полями. В [98] показано, что влияние анизотропии подвижности частиц на порядок слабее по сравнению с влиянием анизотропии термодинамической силы. Этот факт позволил Морозову К. И. пренебречь анизотропией подвижности частиц при изучении диффузии в концентрированных магнитных жидкостях. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными [100].
Сегрегация частиц в размагничивающем поле: структура концентрационных полей
Приведенные выше результаты описывают перераспределение одиночных частиц. В том случае, когда в магнитной жидкости присутствуют не только одиночные частицы, но и агрегаты, состоящие из большого числа N частиц, то для описания концентрационных полей можно воспользоваться двухфракционной моделью. Согласно этой модели магнитная жидкость состоит из двух фракций, в которой первая представлена одиночными частицами, а вторая – агрегатами, включающими в себя от нескольких частиц до нескольких десятков частиц. Полидисперсностью частиц внутри первой фракции и разбросом агрегатов по размерам пренебрегается. Ранее такая модель успешно использовалась для описания результатов диффузионных опытов с разбавленными растворами [34, 114, 156]. Сделанное предположение оправдано тем, что в линейном по концентрации частиц приближении приращение к эффективной вязкости раствора и относительной подвижности частиц определяется их суммарной объемной долей, независимо от распределения частиц по размерам. Коэффициент диффузии достаточно слабо зависит от размера частиц (обратно пропорционально), поэтому расчет по средним размерам частиц удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [156]. Менее очевидна возможность применения двухфракционной модели в задачах с магнитофорезом частиц, так как сила, действующая на коллоидную частицу со стороны градиентного магнитного поля, пропорциональна ее магнитному моменту m, т.е. кубу диаметра магнитного ядра [53]. Это уже сильная зависимость. Положение спасают два обстоятельства. Во-первых, самые крупные частицы, вносящие наибольший вклад в намагниченность жидкости, объединяются в агрегаты, влияние которых учитывается отдельно. Во-вторых, мелкие частицы вносят малый вклад в намагниченность системы и их присутствие в жидкости можно учесть приближенно. Оставшаяся часть частиц имеет относительно узкое распределение частиц по размерам и может быть заменена одной фракцией. Отличие в размерах отдельных частиц и агрегатов уже не может быть проигнорировано. Применительно к рассматриваемой здесь задаче это означает, что потоки одиночных частиц и агрегатов должны описываться отдельными уравнениями. Уравнение (1) в целом хорошо описывает результаты численных экспериментов по сегрегации частиц в широкой области безразмерных параметров (Л 2 и ср 0.4), однако не допускает модификацию, которая позволила бы учесть влияние агрегатов, так как невозможно рассчитать аналитически свободную энергию частично агрегированной системы. Поэтому для учета влияния агрегатов ниже используется приближенное выражение для коэффициента диффузии, полученное ранее в [157] и уточненное в [158]:
Видно, что коэффициенты диффузии (2.5) и (4.2) совпадают в линейном по произведению Л, р приближении, а квадратичные слагаемые отличаются примерно на 7%. Второй подход менее строг, но позволяет записать систему уравнений, описывающую взаимодействующие потоки индивидуальных частиц и агрегатов в рамках двухфракционной модели. Он использовался для анализа пространственного распределения частиц в тонком слое концентрированной магнитной жидкости, помещенном в неоднородное магнитное поле. Концентрационные профили, полученные в результате расчета, дали хорошее согласие с экспериментом при введении подгоночного параметра [156, 159].
Согласно [157] при записи потока индивидуальных частиц учитываются относительно малая скорость диффузии агрегатов и их большой (по сравнению с одиночными частицами) размер. В этом случае влияние отдельного агрегата на одиночные частицы аналогично влиянию неподвижного круглого диска эквивалентного радиуса. Поток одиночных частиц описывается уравнением типа (2.1), но с учетом уменьшения «проницаемости» среды. В отсутствие силы тяжести и конвективных течений плотность объемного потока частиц будет равна где (р1, д 2 - объемные доли одиночных и агрегированных частиц соответственно, у- коэффициент упаковки частиц в агрегате. Дополнительный множитель в круглых скобках в правой части (4.3) описывает уменьшение площади поперечного сечения, свободного от агрегатов. Кроме того, при записи последнего слагаемого в (4.3) принято во внимание, что поток частиц, обусловленный магнитодипольными взаимодействиями, пропорционален концентрации индивидуальных частиц и градиенту магнитной восприимчивости, то есть градиенту полной концентрации = 1 + 2. Все остальные слагаемые получаются из (2.1) заменой объемной доли на объемную долю одиночных частиц 1.
В свою очередь, агрегаты дрейфуют в коллоидном растворе мелких одиночных частиц, который можно рассматривать как сплошную среду с относительной вязкостью, зависящей от гидродинамической концентрации одиночных частиц 1. В качестве формулы для этой вязкости можно взять, например, аппроксимацию Чонга – Христиансена, применимость которой к магнитным жидкостям в широком интервале концентраций магнитной фазы продемонстрирована в [160, 161]: где y„ = 0.605 - коэффициент случайной плотной упаковки для сферических частиц, а т/о - вязкость жидкости-носителя. Для относительной подвижности частиц такой проверенной формулы нет, поэтому, следуя [87], будет использоваться аппроксимация Рассела. Что касается коэффициента диффузии Эйнштейна для агрегатов, то в предположении о квазисферической форме агрегатов он будет равен D =D sll- 1ЦН n{q() где N - среднее число частиц в агрегате. При малых и умеренных значениях параметра агрегирования Л 1 корреляция между магнитными моментами частиц в агрегате несущественна, поэтому сила, действующая на агрегат во внешнем поле, увеличивается в N раз по сравнению с силой, действующей на одиночную частицу. С учетом вышесказанного, плотность потока агрегированных частиц можно записать в виде
Система уравнений (4.3) - (4.5) с граничными условиями (4.6) решалась численно методом контрольных объемов с явной схемой и постоянным шагом по времени. Средняя по объему концентрация оставалась неизменной в процессе счета (р = 0.1. Объемная доля агрегированных частиц принималась равной д 2 = 0.03, а среднее число частиц в агрегате N = 50. Агрегаты полагались рыхлыми (коэффициент упаковки частиц в агрегате у = 0.3), а магнитное поле умеренным ( 0 = 1). Влияние гравитационного поля не учитывалось (Gy= 0).
Результаты расчета в виде зависимости коэффициента разделения от параметра агрегирования приведены на рисунке 4.5. Как и следовало ожидать, наличие агрегатов в системе даже при малых значениях параметра агрегирования и в отсутствие гравитационного поля приводит к многократному усилению сегрегации. Как видно из сравнения рисунков 4.4 и 4.5, при Л =1.5 коэффициент сегрегации увеличивается примерно в шесть раз - с 0.5 до трех единиц.
Похожие диссертации на Пространственная сегрегация частиц в концентрированной магнитной жидкости: численное моделирование
