Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи и обзор предыдущих работ 13
1.1 Классическая постановка задачи на устойчивость плоскопараллельного течения пленки 13
1.2 Понятия абсолютной и конвективной неустойчивостей и регуляризация задачи о пространственной эволюции 18
1.3 Влияния топографии стенки на волнообразование - обзор теории и эксперимента 22
1.4 Методики предшествующих экспериментальных исследований 34
2 Исследование некоторых вопросов распространения поверхностных возмущений 53
2.1 Неустойчивость в вертикальных пленках жидкости как задача с начальными данными и конвективный характер этой неустойчивости 53
2.2 Пространственное развитие возмущений в вертикально стекающих слоях вязкой жидкости 71
2.3 Поверхностная неустойчивость турбулентных пленок жидкости 80
2.4 Резонансное влияние топографии дна на поверхность слоя вязкой жидкости 86
3 Экспериментальное исследование распада двумерных солитонов и режима лямбда солитонов 103
3.1 Описание экспериментальной установки 103
3.2 Методика измерения локальной толщины слоя жидкости 107
3.3 Двумерные волны и двумерно-трехмерный переход 110
3.4 Создание уединенного трехмерного солитона 115
3.5 Результаты экспериментов 120
4 Основные результаты диссертации 127
Библиографический список 129
- Понятия абсолютной и конвективной неустойчивостей и регуляризация задачи о пространственной эволюции
- Пространственное развитие возмущений в вертикально стекающих слоях вязкой жидкости
- Резонансное влияние топографии дна на поверхность слоя вязкой жидкости
- Двумерные волны и двумерно-трехмерный переход
Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с их широким применением в технике и промышленности.
Классическими объектами такого применения являются химические реакторы, массообменные и выпарные аппараты, кристаллизаторы, электролизеры, нефтеперегонные печи, ядерные реакторы, ожижители природного газа и т.д. В промышленности широко распространены так называемые кожухотрубчатые и роторные пленочные аппараты. В кожухотрубчатых пленочных аппаратах поток газа и пленка жидкости могут двигаться как в одном, так и в противоположном направлениях, они используются в качестве конденсаторов, десорберов, адсорберов, ректификационных колонн, лабораторных колонн с орошаемыми стенками. Роторные пленочные аппараты используют в основном высоковязкие жидкости, их работа связана с действием центробежной силы. Их применяют для производства капролактама, формальдегида, мочевины, силиконовых масел, жирных кислот и спиртов, вазелина, полимеров [1, 26].
В последнее время, в связи со стремлением к уменьшению размеров технологических устройств, повышается интерес к пленочным и т.н. микропленочным процессам, в ведущем международном журнале "Physics of Fluids" даже создается новый раздел — микрофлюидика, значительную часть которого занимают статьи по микропленкам.
О повышенном интересе к микропленкам говорит большое количество статей о них в таких журналах, как "Electrophoresis", "Analytical Chemistry", "Analyst", "Biosensors and Bioelectronics", "Sensors and Actuators", "Journal of
Micromechanics and Microengineering", "Clinical Chemistry", "Luminescence", "Lab on a Chip Miniaturisation for Chemistry and Biology" и т.д.
Новые применения пленок впечатляют (см. главу 1). Одним из таких перспективных применений является оптофлюидика [43], основанная на взаимодействии света и потоков жидкости. С помощью света можно управлять микропотоками жидкости. Так, например, с помощью лазерного луча можно менять поверхностные силы на границе раздела двух жидкостей различной плотности. С помощью потока жидкости можно фокусировать лазерный луч различными способами.
Другим интересным продуктом микрофлюидной технологии является миниатюрный микроскоп, технология которого была предложена исследователями из Калифорнийского технологического университета [85]. Одним из важных элементов этого устройства является наличие направленного потока тонкого слоя жидкости. Эта пленка растекается по матрице светочувствительных элементов и просвечивается, а исследуемые объекты закрывают датчики на матрице. Далее происходит преобразование информации от матрицы в цифровой вид и последующая ее обработка с помощью информационных технологий.
Действие тепловых, химических и электрических факторов на пленку позволяет выявлять в ней необычные свойства [21, 29, 30, 31, 77]. Особо интересным фактом является возможность управления движением пленки под действием электрического поля. Это позволит в дальнейшем создавать устройства, которые могут применяться в жидкостных центрифугах, смешивающих приспособлениях и т.д.
Другим новым применением пленок является охлаждение микрочипов [11, 21].
Микротечения пленок жидкости также являются составной частью многих микрофлюидных чипов [22, 28, 71]. Такие чипы, как правило, содержат разветвленную систему каналов и сосудов, по которым возможны различные манипуляции с газами и жидкостями.
Это может быть, например, синтез органических или неорганических веществ, многоэтапный биологический и химический анализ. Причем, управление этими процессами возложено на микропроцессорные устройства. Особенностями таких систем являются: малые размеры, малое энергопотребление, низкая стоимость, безопасность, возможности интегрирования с другими системами, новые возможности исследований, доступные только в микрообъемах, эффективное воздействие на биологические объекты, возможность точного анализа реакций на такое воздействие.
И старые и новые приложения пленочных и микропленочных течений сильно тормозятся недостатком знаний о структуре пленочных течений. Пленочные течения являются гидродинамически неустойчивыми, причем во многих случаях эта неустойчивость начинается с нулевых чисел Рейнольдса, т.е. проявляется в микромасштабах.
Развитие гидродинамической неустойчивости приводит к установлению того или иного волнового режима. Разнообразие этих режимов [32] (периодические, солитонные, двумерные, трехмерные, режимы бегущих и стоячих волн и т.д.) сильно затрудняет как теоретическое, так и экспериментальное изучение течения.
Базовым или эталонным пленочным течением является свободное стекание вязкого слоя по вертикальной жесткой стенке под действием гравитации. Многие типы волн, встречающиеся в более сложных пленочных течениях, имеют место в свободном стекании»вязкой пленки. Несмотря на интенсивное исследование проблемы как теоретически, так и экспериментально в течение нескольких десятков лет и сотни написанных статей, многие вопросы волновых режимов этого эталонного течения остались открытыми.
Один из таких вопросов связан с эволюцией возмущений. В так называемых открытых системах, к которым принадлежат и движущиеся пленки жидкости, с точки зрения эксперимента возмущения, будучи
периодическими по времени, экспоненциально (во время линейной стадии)
растут по пространственной переменной. С теоретической же точки зрения
такая постановка является некорректной, так как задача Коши ставится
для системы эллиптического типа. Вопрос регуляризации такой задачи
является важным для всех открытых течений, но для стекающей пленки
он может быть решен более просто.
Другим важным моментом, связанным с первым, является вопрос о характере проявляющейся неустойчивости: является ли неустойчивость абсолютной или конвективной [7, 57]? Это два принципиально разных характера неустойчивости. При абсолютной неустойчивости возмущения поверхности пленки нарастают во времени и постепенно охватывают всю систему, в то время, как при конвективной неустойчивости возмущения нарастают в пространстве и сносятся к выходу из системы, при этом они могут покинуть систему, не достигнув заметной величины. Однако возможен случай, когда эти возмущения будут достигать более чем заметной величины значительно раньше, чем покинут систему.
Многие микрочипы, где в качестве рабочей жидкости применяются пленочные течения, в силу технологических причин имеют сложную топографию стенки. В настоящее время известен [51, 79, 82] факт аномально сильной реакции межфазной поверхности на неоднородности стенки: слабые неоднородности резко усиливаются на поверхности раздела. Физический механизм этого явления остается непонятым. Вопрос не только является интересным с теоретической точки зрения, это непонимание также тормозит технологические приложения пленок в течениях со сложной топографией.
В ряде технологических процессов течение пленки является турбулентным. При этом на поверхности слоя имеют место волны большой амплитуды с длиной волны намного большей толщины слоя [49]. Для турбулентных пленок жидкости даже исследование первичной неустойчивости представляет собой не решенную задачу.
И, наконец, упомянем о последнем важном вопросе, требующем разрешения. Достаточно исследованными являются режимы двумерных волн, однако во многих процессах имеет место режим трехмерных волн. Несмотря на важность этого режима, он практически не затронут ни теоретически, ни экспериментально. Теоретическое исследование режимов трехмерных локализованных структур, их взаимодействий и трехмерных переходов в настоящее время отражено только в работах [4, 5, 52, 53]. Автору известны только три работы количественного экспериментального изучения трехмерных волновых структур в свободно падающих слоях [1, 37, 66]. Данная работа восполняет этот пробел в экспериментальных исследованиях.
Краткая характеристика диссертации.
Основной целью диссертации является экспериментальное и теоретическое исследование некоторых оставшихся открытыми вопросов волнового стекания ламинарных и турбулентных пленок жидкости.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
Теоретически исследовать — является ли характер неустойчивости абсолютным или конвективным. Найти скорости распространения переднего и заднего фронтов расплывающегося волнового пакета в зависимости от физических свойств жидкости.
Регуляризовать некорректную постановку пространственной эволюции линейных возмущений. Решить регуляризованную задачу.
Выявить важный с точки зрения процессов переноса вопрос: физическую природу аномально большой реакции поверхностных волн на топографию дна.
Теоретически исследовать изменение характеристик поверхностных волн при смене ламинарного режима течения слоя на турбулентный.
Разработать и применить экспериментальную методику
измерения характеристик двумерных и трехмерных поверхностных процессов.
6. Экспериментально изучить трехмерные волновые режимы. Определить параметры и физические механизмы возникновения трехмерных волн. Экспериментально исследовать характеристики трехмерных волн.
Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов и надежных численных, сопоставлением полученных результатов с экспериментами, и экспериментальных с теорией, где это возможно.
Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:
Регуляризация задачи о пространственной эволюции линейных возмущений в вертикально стекающей пленке жидкости.
Теоретическое исследование характера неустойчивости (абсолютная, конвективная) в вертикально стекающей пленке при различных числах Капицы.
Результаты расчета поверхностной неустойчивости при турбулентном режиме вертикально стекающего слоя жидкости. Оценки влияния поверхностного натяжения на волновые характеристики при турбулентном режиме течения.
Выявление физического механизма аномального влияния топографии дна на поверхностные волны, заключающегося в особом типе резонанса.
Экспериментальное определение характера и параметров перехода к трехмерным волнам в вертикально стекающем слое вязкой жидкости.
Экспериментальное исследование параметров трехмерного солитона.
Основное содержание и результаты изложены в семи работах [7, 8, 9, 10, 12, 13, 14] в рекомендованных ВАК изданиях: "Доклады Академии Наук", "Теплофизика и аэромеханика", "Механика жидкости и газа", "Экологический вестник научных центров ЧЭС". В работе [7] автору диссертации принадлежит вывод основных соотношений и формул, построение решения рассматриваемой задачи, составление комплекса программ, интерпретация результатов. В работах [8, 9, 10] автору принадлежит построение алгоритма вычислений, написание основной части программы расчетов, получение и анализ результатов. В [12, 13, 14] автору принадлежит участие в проведении экспериментов, обработке полученных результатов, их анализе. Постановку основных задач, общее направление исследований осуществлял научный руководитель профессор Е.А. Демехин. Материалы диссертации докладывались на конференциях: IX всероссийская школа-конференция молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2006, Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе), Второй ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2006), V объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета прикладной математики "Молодые исследователи науки XXI века: прошлое, настоящее и будущее" (Краснодар, 2005), IV школе-семинаре "Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика" для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России. (Краснодар 2005), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ.
Понятия абсолютной и конвективной неустойчивостей и регуляризация задачи о пространственной эволюции
Для регуляризации задачи о пространственной эволюции как задачи Коши потребуются понятия конвективной и абсолютной неустойчивостей. Выделение абсолютной и конвективной неустойчивостей было впервые произведено в работе Ландау и Лифшица [19]. В абсолютно неустойчивых течениях наличие кратковременных возмущений в любом месте пространства приводит к росту возмущений повсеместно. В конвективно неустойчивых течениях растущие возмущения сносятся в одном из направлений и, в конечном счете, оставляя основное течение невозмущенным. Подчеркнем, что в таком подходе возмущения не представляются в виде элементарного синусоидального решения типа exp[i(ax — иї)]. Эволюция начального возмущения исследуется во времени и пространстве. Huerre и Monkewitz [57] исследовали применимость теории пространственно-временного развития возмущений для различных однофазных сдвиговых течений. Вместо плоскости (си, о;) для представления результатов эволюции возмущений использовалась плоскость (x,t) (рис. 1.2). Это позволяет более понятно отразить общую концепцию без потери существенных характеристик неустойчивости. Соответственно, для получения результатов на физической плоскости (ж, і) использовался оператор (-))) связанный с дисперсионным соотношением D(a, ш). Начальное возмущение представлялось в виде дельта-функции
Дирака, зависящей от пространственной и временной переменных, а реакция на возмущение — в виде функции Грина G(x,t), удовлетворяющей уравнению: Для определения типа неустойчивости рассматривался предел LimG(x,t). Основное течение считалось устойчивым, если LimG{x,t) — О для всех направлений x/t — const. Если хотя бы для одного направления x/t = const предел Lim G{x, t) = +оо, то течение считалось неустойчивым. В таком случае характер неустойчивости определялся исходя из величины этого предела в направлении оси времени t. А именно, если течение неустойчиво к элементарным возмущениям, но предел в данном направлении равен нулю, то течение конвективно неустойчиво (рис. 1.2(b)), если же в рассматриваемом случае он равен бесконечности, то течение считалось абсолютно неустойчивым (рис. 1.2(a)). Таким образом, для исследования характера неустойчивости необходимо определить границы роста функции Грина G(x,t) в плоскости (ж, і) при различных параметрах задачи. Используемая математическая модель течения будет соответственно определять вид оператора D (—iJ , i- j. В качестве такой модели в работе [57] вместо полной системы уравнений Навье - Стокса авторы использовали одномерную модель Гинзбурга - Ландау. Случай пространственной эволюции синусоидальных возмущений, т.е. когда основное течение возмущается периодически с частотой Uf, приводит к анализу уравнения: Таким образом, можно исследовать характер пространственной неустойчивости в зависимости от частоты возмущений в заданной точке потока. В работе Демехина и Чэнга [48] была исследована проблема распространения начального возмущения в тонком слое жидкости. В качестве модели течения использовалась система уравнений Капицы -Шкадова, что заранее накладывает ограничение на использование больших чисел Капицы. В работе Brevdo и др. [45] была также исследована проблема распространения начального возмущения в пленке жидкости, стекающей по наклонной плоскости. В качестве математической модели течения использовались уравнения Навье - Стокса, линеаризованные относительно основного течения, в предположении параболического профиля скоростей. Линеаризованные уравнения преобразованиями Лапласа и Фурье сводились к уравнению Орра - Зоммерфельда, в этом случае функция Грина G(x, t) выражается в следующем виде [45]: Функции Т(х, а,ш) и D(a, ш) получались решением спектральной задачи для уравнения Орра - Зоммерфельда с граничными условиями. При оценке интеграла (1.27) при t — со использовался метод перевала, т.е. искались седловые точки, в которых значения подынтегральной функции вносят наибольший вклад в интеграл (1.27). Найденные седловые точки давали ответ на вопрос о характере изменения функции G(x,t) при заданных параметрах задачи. Авторы [45] в своей работе описали некоторые свойства неустойчивых волновых пакетов. Наиболее практически важным является вертикальный случай стекания. Однако все расчеты, описанные в работе [45], были выполнены только для нескольких малых углов наклона. Для этих углов было теоретически получено, что первичная неустойчивость в стекающей пленке имеет конвективный характер. Более того, они были представлены только в спектральной плоскости (а, и). Неверно было проведено сравнение с результатами экспериментов [63]. Таким образом, из результатов работы [45] невозможно сформировать какие-либо обоснованные выводы общего характера распространения неустойчивости в пленках жидкости (рис. 1.3). Случай вертикального стекания остался открытым. При исследовании поверхностной неустойчивости на начальном этапе ее возникновения практически важно учитывать некоторые свойства системы пленочного течения. Так, например, неплоская форма дна может существенно повлиять на картину волнообразования на поверхности.
Поэтому далее, рассмотрены различные теоретические подходы изучения такого влияния формы дна и некоторых других внешних параметров на возникновение волн, их профили и динамику. Теоретические работы. Интерес в теоретических исследованиях такого влияния волнистости стенки, во-первых, основан на возможности управления волновыми режимами пленки с целью, например, увеличить уровень тепломассопереноса на границе раздела фаз, во-вторых, в таких приборах микрофлюидики, как "микрофлюидный микроскоп" (см. введение) необходима гладкая поверхность раздела, а также необходимо знать параметры аномально большой реакции и избегать их. В третьих, этот эффект может играть положительную роль в микромиксерах. На сегодняшний день существует небольшое число теоретических работ в данной области. Wang в своей работе [81] выполнил асимптотический анализ для синусоидальной стенки с небольшой по амплитуде волнистостью. Далее, Dassori [50] расширил этот анализ для течения двухслойной жидкости по синусоидальному каналу. Результаты более поздних теоретических исследований в этой области можно найти в работах Pozrikidis [69], а также Shetty и Сегго [72]. В работе [72] авторы рассматривали случай, когда толщина пленки намного меньше длины и амплитуды волн стенки. Во всех перечисленных теоретических работах рассматривались течения с числом Рейнольдса равным нулю, т.е силами инерции пренебрегалось. Во всех работах амплитуда реакции на волнистую стенку не превышала амплитуду соответствующей неровности поверхности. Назовем такую реакцию нормальной. В теоретической работе Bontozuglou и Papapolymerou [42] рассматривалось двумерное ламинарное течение вязкой жидкости по волнистой поверхности, неровности поверхности предполагались существенно меньшие, чем толщина пленки жидкости. Течение бралось ламинарным. Задача сводилась к уравнению типа Орра - Зоммерфельда с неоднородными граничными условиями. Решение задачи проводилось с применением центральной конечно-разностной схемы. Пространственное разбиение на N точек сводило численное решение к 2(N+5) линейным алгебраическим уравнениям. Расчеты проводились при N=41 и N=61. Были получены результаты по величине роста волн на свободной поверхности, как функции длины волны неровности дна, числа Рейнольдса и толщины пленки (рис. 1.4), а также данные сравнения между скоростью основного течения пленки и фазовой скоростью волн на свободной поверхности в зависимости от длины волны на поверхности стенки. Были определены расстояния между волнами стенки, при которых возможна
Пространственное развитие возмущений в вертикально стекающих слоях вязкой жидкости
В разделе 2.1 была исследована пространственно-временная эволюция начального возмущения. В данном разделе предполагается, что возмущения являются периодически действующими с заданной частотой и рассматривается их пространственная эволюция. Вместо полной системы уравнений используется система Капицы - Шкадова [34], количественно сохраняющая свойства полной системы. Система Капицы - Шкадова, описывающая двумерное нестационарное течение вязкого слоя несжимаемой жидкости по вертикальной плоскости, имеет вид: здесь q — расход в направлении х, h — толщина слоя жидкости. Задача описывается одним параметром 6, который выражается через число Рейнольдса Re и число Капицы 7, 6 = 3- 5- /3 11/9. Система (2.13) имеет тривиальное решение h = l,q — 1. К этому решению добавляются малые возмущения: При формальном решении задачи в виде элементарного синусоидального возмущения h ехр[г(а;д; — ші)] и при задании действительного волнового числа а комплексная скорость ш определяется из решения квадратного уравнения: два корня которого соответствуют волнам, распространяющимся вниз по потоку, CR — сод/а 0, и вверх по потоку, CR 0. Первая волна растет, ШІ О, при а е (0,15J), а при а 156 гаснет. Вторая волна всегда гаснет. При формальном подходе к пространственной неустойчивости необходимо задать частоту и и определить комплексные а путем нахождения корней полинома четвертого порядка: имеющего 4 корня, из которых только 2 соответствуют реальным волнам. Этот пример хорошо количественно передает ситуацию, имеющую место для гораздо более технически сложного случая — уравнения Орра -Зоммерфельда. В начале канала, при х — 0, поток возмущается с заданной частотой шо локализованным по пространству сигналом, в этом случае уравнение для отклика h примет вид: где 6(x) — дельта функции Дирака. В отличие от рассматриваемого случая в разделе 2.1, возмущение уже не локализовано по времени, эта разница отражается в правой части уравнения, т.е. 5(x)6(t) меняется на 5(х)е гші. При х — ±оо накладывается краевое условие затухания: Для нахождения решения полученного уравнения (2.14) применяется преобразование Фурье по пространственной переменной х и преобразование Лапласа по времени t:
Тогда образ Н(а, а;) удовлетворяет уравнению: где Используя обратное преобразование Лапласа и Фурье, можно найти решение исходной задачи h: ИЛИ В интеграле (2.16) подынтегральная функция имеет особенности только в точках D(a,u) = 0 и в точке UJQ. ДЛЯ вычисления этого интеграла применялась теорема вычетов в сочетании с леммой Жордана (см. раздел 2.1): Интеграл по замкнутому контуру равен сумме вычетов подынтегральной функции в ее особых точках, т.е. в UJQ И точках о &, соответствующих нулям функции D(u: а): случае простых корней D(a,u) = 0 подынтегральная функция имеет только простые полюсы и интеграл (2.16) выражается как сумма вычетов следующим образом: где u k{ot) — корни дисперсионного соотношения для заданного числа а. Интеграл (2.17) удобно рассматривать в виде суммы іах Асимптотическая оценка интегралов типа (2.18) подробно описана в 2.1, оценка первого интеграла: при t —» со методом перевала [18], приводит к следующему выражению для h\\ где а — доминирующая седловая точка (см. раздел 2.1). Для вычисления второй составляющей интеграла (2.18): также использовалась теорема вычетов и лемма Жордапа. Контур F аналогично предыдущему дополнялся в комплексной плоскости а дугой полуокружности CR (R — оо) так, чтобы получился замкнутый контур С. Т.к. рассматривается случай х 0, то имеет место замыкание контура С в верхней полуплоскости и он должен содержать в себе все нули D(UJO7 а), расположенные в верхней комплексной полуплоскости а. Интеграл по дуге CR при R— oo равен нулю. Тогда: и в случае простых корней D(uo,a) = 0 интеграл h,2 выражается следующим образом: где a " — корни уравнения D(uo, a) = 0, расположенные в верхней полуплоскости. В итоге при х 0: Т.е. отклик /і состоит из двух составляющих: I — реакции на малое одиночное возмущение, II — реакции на периодически действующее возмущение с заданной частотой UQ. Каждое слагаемое II представляет собой элементарное волновое решение. Если найдется такой член в
И, для которого 1т(а (шо)) О, то возмущение с соответствующим волновым числом будет расти по пространству при t — оо, т.е. можно полагать, что течение неустойчиво. Таким образом, из всех корней дисперсионного соотношения а наиболее неустойчивым будет тот, для которого мнимая часть Im{al) наименьшая (рис. 2.8). Если реакция на одиночное возмущение (I) порождает конвективную неустойчивость, то такая неустойчивость с течением времени сносится вниз по течению и наблюдается только неустойчивость, возникающая за счет периодически действующих возмущений (И).
Амплитуда волн, порождаемых такими возмущениями, в начале волнообразования будет нарастать экспоненциально с показателем экспоненты — щх (рис. 2.9). Коэффициент роста в этом случае будет равен — щс, где скорость волны с = uj/ar. На рис. 2.10 приведен график зависимости коэффициента роста от частоты подаваемых на вход возмущений и. Интересным вопросом является сравнение результатов теории пространственного роста с теорией временного роста. На рис. 2.11 приведена зависимость соответствующих коэффициентов роста от параметра 6. По графику видно, что обе теории дают схожие результаты относительно значения параметра 6т, при котором наблюдается наибольший максимальный рост. При малых числах S результаты теории совпадают с результатами решения задачи на собственные значения для уравнения Орра - Зоммерфельда (1.19)-(1.23). Такое сравнение приведено на рис. 2.12.
Резонансное влияние топографии дна на поверхность слоя вязкой жидкости
Эксперименты [79, 82, 51] с пленкой, стекающей по волнистой стенке, описанные в обзоре, выявили существование неожиданного эффекта аномально сильного влияния волнистости на возникающие на поверхности стоячие волны. Эти волны оказались необычно большой амплитуды, больше, чем амплитуда волнистости дна. Данный эффект остался без ясного физического понимания, хотя и были проведены численные эксперименты исследования линейного и нелинейного отклика [83, 56, 42, 72]. Теория, построенная в 2.4, позволяет понять механизм возникновения резонанса, в результате которого можно наблюдать сильный рост амплитуды стоячих волн на поверхности пленки, стекающей по волнистой стенке (рис. 2.16). Постановка рассматриваемой задачи представляет собой систему уравнений (1.1)-(1.3) с граничными условиями (1.4)-(1.7). В задаче учитываются наклон канала и волнистость стенки. Амплитуда волнистости предполагается малой, что позволяет рассматривать линеаризованную версию задачи. Форма дна задается уравнением у — f = fexp(iax), где / и а — соответственно, амплитуда и волновое число волнистости стенки. Поверхность раздела задается формулой у = h(x). Таким образом, параметрами являются Re, W, в и а. Для / = 0 система (1.1)-(1.7) имеет тривиальное решение, соответствующее наклонному плоско-параллельному течению с постоянной толщиной слоя жидкости: и полупараболическим профилем скоростей U(y): (2.43) Предположение о малой волнистости дна позволяет линеаризовать задачу. Реакция поля скоростей и поверхности на волнистость дна в линейной постановке выражается возмущениями того же вида что и (1.9)-(1.10), однако из-за отсутствия скорости движения волнистой стенки с = 0, Рис. 2.16. Схема потока по наклонной волнистой стенке. Сплошной линией условно ограничена нормальная реакция поверхности, пунктирной — аномальная реакция на волнистость дна поэтому:
При подстановке этих соотношений в основные уравнения движения (1.1)-(1.3) и соответствующие граничные условия (1.4)-(1.7) и линеаризации задачи удобно ввести функцию тока вида (1.18). В итоге система (1.1)-(1.7) переходит в уравнение Орра -Зоммерфельда вида (1.19), в котором с = О, с условиями при у = 1: Одна из целей исследования — получить зависимость реакции h/f от параметров задачи. Асимптотика больших чисел Рейнольдса. Экспериментально аномально большой отклик на волнистость имеет место при числах Рейнольдса порядка десятков и сотен, поэтому будет рассмотрен предел больших чисел Рейнольдса методом сращиваемых асимптотических разложений. Внешнее асимптотическое разложение ищется в виде: Будут использоваться только первые члены в разложении и опускаться надстрочный символ ноль. ф(0) удовлетворяет уравнению Рэлея: где U"/U = —1/[у{1 — (1/2)г/2)]. Это уравнение имеет сингулярную точку при у = 0, что сильно затрудняет решение, и, в частности, подстановку краевых условий прилипания. Одно из двух линейно независимых решений регулярно в окрестности нуля: другое имеет сингулярность логарифмического типа: В силу особенности решение уравнения Рэлея не может удовлетворить граничным условиям на стенке (2.48)-(2.49). Следовательно, необходимо рассмотреть вязкое внутреннее решение около у — 0. Пусть Fi(y) и F2(y) — два некоторых фундаментальных решения уравнения (2.51). Эти решения с точки зрения численного решения задачи удобно выбрать таким образом, что
В окрестности у — 0 решение уравнения Рэлея может быть представлено как линейная комбинация регулярного и особого решений Фі и Ф2, где коэффициенты ciij являются функциями только волнового числа а и не зависят от Re, в и 7- Эти функции были получены численным интегрированием (2.51) с условиями (2.54)-(2.55) и это единственный численный результат, который необходим для решения всей задачи. Результаты расчета приведены в таб. 2.1. Итак, пусть a ij(a) определены численно и известны. Внешнее невязкое решение также не удовлетворяет граничным условиям на свободной поверхности у = 1 (однако около свободной поверхности решение является регулярным в отличие от решения около
Двумерные волны и двумерно-трехмерный переход
Сначала проводились эксперименты с учетом только естественных возмущений. Визуальное наблюдение показало, что поверхность пленки при (Re) 5 остается плоской, даже при (Re) — 7 проявления волн очень слабые (рис. 3.7(a)). Эти волны сохраняют структуру двумерных уединенных волн, но искажены трехмерной составляющей, имеющей Двумерные и квазидвумерные волны были изучены достаточно хороню [23]. Авторы [23] экспериментально показали, что естественные и искусственные двумерные волны совпадают. Был сделан вывод о том, что различие между искусственными и естественными волнами состоит лишь в способах установления такой волны. Как и в [23, 17], для получения искусственных волн в наших экспериментах на основное течение накладывались периодические пульсации расхода жидкости. Эти искусственные возмущения подавляли естественный шум и в результате реализовывалась последовательность двумерных стационарных уединенных волн (рис. 3.8). Волны образовывались почти у самого начала рабочего участка. Область их двумерности сохранялась на протяжении всего канала. При достаточно больших числах Рейнольдса дальнейшая эволюция двумерных волн предполагает их разрушение и преобразование в трехмерные структуры (рис. 3.9(1)), это явление называется двумерно трехмерным переходом. Для того, чтобы рассмотреть "чистый" двумерно-трехмерный переход и последующую эволюцию, исключая другие эффекты, использовалась идея [66]. Чтобы начать процесс распада двумерных волн в трехмерные локализованные когерентные структуры, на двумерные уединенные волны накладываются возмущения. Специальные иголки помещаются на некотором расстоянии друг от друга I так, чтобы волны возмущались в поперечном направлении. Регулярная структура двумерных волн сразу же нарушается (рис. 3.9(1,а)). На некотором расстоянии от входа появляются трехмерные модуляции, накладываемые на двумерные волны. Эти модуляции растут вниз по течению и разрушают двумерные уединенные волны (рис. 3.9(1,Ь)).
Характерные трехмерные локализованные структуры появляются на некотором расстоянии L от входа канала(рис. 3.9(1,с)). Типичный снимок такой эволюции показан на рис. 3.9(1), (Re) = 10, / = 25 мм. Расстояние L определялась визуально на множестве снимков, от одного эксперимента к другому оно слегка менялось на величину порядка 0, 5 см. На основе полученного множества расстояний искалась средняя величина L. Эксперименты были выполнены для различных /, от 10 мм до 35 мм с шагом 2,5 мм. Для достаточно коротких расстояний, I 10 мм, никакой реакции не наблюдалось и трехмерные возмущения угасали вниз по течению. . Для (Re) — 10 результаты наблюдений были обобщены и представлены в виде функции, зависящей от I (рис. 3.9(2)). Зависимость четко выражена, начиная от I — 2 см, что соответствует теоретическим прогнозам ([52] рис. 9, [5]). Более того, расстояние полного распада L, значение которого от 5 до 10 см, также хорошо сходится с теоретическими предсказаниями ([52] рис. 10). Уже при числах Рейнольдса {Re) = 7 могут быть видны локализованные трехмерные волны, но они имеют очень маленькую амплитуду и, что более важно, они неустойчивы и быстро исчезают вниз по течению. Как показали эксперименты Алексеенко и др. [38], Park и Nosoko [66], режим устойчивых трехмерных волн имеет место после долгой и сложной эволюции вниз по течению, как финальная ее стадия. При этом, на первый взгляд, поверхность пленки представляет собой хаотическое волновое движение. Однако при более тщательном наблюдении можно установить, что поверхность покрыта устойчивыми трехмерными локализованными структурами. Были подтверждены утверждения [66], что естественный двумерно-трехмерный переход происходит при {Re) 40 — 50. В этом случае трехмерная составляющая не стационарна и она возрастает с разрушением двумерных волн и появлением стадии трехмерных уединенных волн.
На рис. 3.10 изображен хорошо развитый трехмерный режим, полученный экспериментально, с применением метода наложения трехмерных возмущений, описанного в предыдущем разделе. Волновой режим, когда неустойчивый вязкий слой покрыт трехмерными локализованными волновыми структурами (солитонами), является одним из самых интересных и важных волновых режимов стекающей пленки. Солитоны распространяются вниз по течению, они имеют сложную и богатую динамику; они сталкиваются, притягивают или отталкивают друг друга (это зависит от их взаимного расположения и угла взаимодействия). На рис. 3.11 можно наблюдать несколько типичных состояний: 1 — двумерные уединенные волны с трехмерной модуляцией, готовые к распаду вниз по течению; 2 — хорошо развитые трехмерные уединенные волны, взаимодействующие друг с другом своими Схвостами" или фронтом; 3 — сложные столкновения нескольких трехмерных
