Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 12
1.1. Основные математические модели процесса неизотермической фильтрации 12
1.2. Физические особенности процесса фильтрации в геотермальных циркуляционных системах 16
1.3. Методы решения задач неизотермической фильтрации 21
1.4. Метод квазилинеаризащш и его применение к решению краевых задач для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка 24
1.5. Применение метода Р-преобразований при
определении теплового потока в жидкость . . 38
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ГЕОТЕРМАЛЬНЫХ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМАХ 49
2.1. Решение задачи неизотермической фильтрации в трещинном геотермальном коллекторе ... 49
2.2. Сходимость разностной схемы 58
2.3. Исследование взаимодействия теплового и гидродинамического процессов 66
2.4. Решение задачи неизотермической фильтрации при заданном расходе на одной галерее и напоре на другой 8*
ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ГЕОТЕРМАЛЬНЫХ ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМАХ 88
3.1. Математическая постановка задачи неизотермической профильной фильтрации при гомогенной модели среды 88
3.2. Линеаризация системы нестационарных уравнений (двумерный случай) с использованием метода суммарной аппроксимации и метода квазилинеаризации 95
3.3. Решение системы линеаризованных уравнений двумерной неизотермической фильтрации # # 98
3.4. Исследование влияния геотермального градиента и вертикальной составляющей теплопроводности на гидродинамику процесса неизотер-мической фильтрации 107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
- Основные математические модели процесса неизотермической фильтрации
- Решение задачи неизотермической фильтрации в трещинном геотермальном коллекторе
- Математическая постановка задачи неизотермической профильной фильтрации при гомогенной модели среды
Введение к работе
Теория фильтрации формировалась и развивалась как самостоятельное направление механики жидкостей и газа во взаимодействии с запросами практики. Математические основы теории фильтрации, заложенные в работах Н.Е.Жуковского, Н.Н.Павловского и Л.С.Лейбензона, были развиты применительно к одномерной, двумерной и пространственной фильтрации под гидротехническими сооружениями в недсформируемых средах ^3,13,24,59,65,66,67 7. к фильтрации нефти и газа с учетом упругоемкости пласта /"85,16,15,62/, к фильтрации несмешивающихся жидкостей [ 81 7. С освоением техники бурения более глубоких подземных горизонтов получили развитие методы решения задач фильтрации в многопластовых системах с учетом неоднородности среды /"6, 29 У. Потребности мелиорации привели к изучению процесса засоления почв, т.е. к задачам диффузии и массопереноса при фильтрации /"46,47 7. Введение в практику нефте-газодобычи метода термозаводнения положило начало развитию исследований неизотермической фильтрации /"14,76,79, 77,80 7» интерес к которым усилился после того, как создались предпосылки для практического использования глубинного тепла
Земли /"5,49,56,64 7.
Дефицит топливно-энергетических ресурсов в Европейской части СССР и поиск новых источников энергии позволили взглянуть на глубинное тепло Земли как на перспективный источник энергии, обладающий значительными потенциальными ресурсами ^9,30,43,75 7. Для извлечения гидрогеотермальной и петрогеотермальной энергии было предложено создание геотермальных циркуляционных систем (ІЦС) /31, 86 7» Ш0 представляет собой подземный коллектор в совокупности с системой нагнетательных и эксплуатационных скважин. Подземный коллектор может быть как естественным, так и искусственно созданным. Скважины расположены таким образом, чтобы отработанная термальная вода, закачиваемая в нагнетательные скважины, проходя через коллектор к эксплуатационным скважинам, и нагреваясь за счет теплообмена с горными породами, обеспечивала работу системы в постоянном температурном режиме на выходе из коллектора в течение определенного промежутка времени. Расчет ЩС предполагает определение изменяющихся во времени теплового и гидродинамического полей в коллекторе. Такой расчет необходим для выбора оптимальных режимов ее эксплуатации, прогнозирования работы ГЦС на большие промежутки времени, для проектирования энергетических установок на базе ЩС.
В последнее десятилетие в СССР и за рубежом разрабатываются математические модели неизотермической фильтрации в геотермальных циркуляционных системах ^4,10,35,57,58,61,64,94,97-99, 101J7. Исходя из того, что "все действие природы - это лишь математические следствия небольшого числа неизменных законов" Ш.Лаплас), неизотермическая фильтрация воды, подчиняясь тем же законам, имеет свои особенности и отличия от фильтрации нефти и газа. Эти особенности диктуются многообразием форм ЩС, проявляются в уравнениях состояниях. Совместное решение термогидродинамических уравнений оказалось возможным лишь с применением приближенных методов. На основе анализа численных решений задач стало возможным исследование таких явлений, возникающих при неизотермической фильтрации воды в пористых средах, как естественная конвекция /"5, 64, 93, 99, 102 7, степень влияния учета зависимости вязкости воды от температуры на процесс фильтрации /"5.7. Однако целый ряд вопросов остались открытыми, в частности, влия- ниє геотермального градиента на гидродинамическое поле в коллекторе, характер влияния учета зависимости вязкости от температуры при переменной скорости фильтрации на гидродинамику процесса. Мало исследована фильтрация в трещиноватых коллекторах /35,56,57/
Разработка методов расчета ГЦС невозможна без развития математических методов решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений и, в первую очередь, приближенных методов /"16,33,69-72, 89 7.
Настоящая работа посвящена разработке и теоретическому обоснованию метода решения одного класса краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных, а также применению этого метода к решению малоисследованных задач неизотерми-ческой фильтрации в геотермальных системах и изучению физических особенностей процесса.
Актуальность проблемы. Исследования неизотермической фильтрации в геотермальных системах ведутся сравнительно недавно и стимулируются развитием геотермальной энергетики и геотермального теплоснабжения. Вовлечение в энергоресурсы геотермальной энергии имеет важное народнохозяйственное значение, так как позволит в будущем экономить значительное количество минерального топлива. В настоящее время в СССР проводятся широкомасштабные исследования по интенсивному извлечению глубинного тепла Земли с использованием геотермальных циркуляционных систем (ГЦС). Применение таких систем позволяет вести разработку геотермального месторождения без понижения пластового давления, то есть без истощения природных ресурсов, обеспечивает охрану окружающей среды от отработанных термальных вод, кроме того, при этом извлекается не только энергия термальных вод, но и энергия, аккумулированная горными породами. Большое различие температур нагне- таемой и извлекаемой воды создает неизотермические условия, которые характеризуются нестационарным теплообменом между жидкостью и горными породами, взаимодействием теплового и гидродинамического процессов и другими факторами. Ввиду сложности осуществления натурного эксперимента исследование тепло-массопереноса в подземных коллекторах предварительно можно проводить при наличии физико-математической модели неизотермической фильтрации и анализе ее решений.
Общая математическая модель неизотермической фильтрации была первоначально разработана И.А.Чарным и З.Б.Чекалюком для фильтрации нефти и газа в связи с введением в практику нефте-га-зодобычи методов термозаводнения. Для геотермальных систем существенным является учет зависимости вязкости от температуры, вследствие чего процесс описывается системой нелинейных термогидродинамических уравнений. Разработка и обоснование методов решения нестационарных краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных представляет самостоятельный научный интерес. "
Цель работы. Разработка и обоснование методов решения одного класса нестационарных краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных. Построение приближенных решений одномерных и двумерных задач неизотермической фильтрации в геотермальных циркуляционных системах и исследование характерных особенностей взаимодействия теплового и гидродинамического процессов при неизотермической фильтрации.
Научная новизна и защищаемые положения.
I. Метод квазилинеаризации развит применительно к решению одного класса краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных.
Разработан новый подход для приближенного решения задач неизотермической фильтрации в геотермальных циркуляционных системах на основе методов квазилинеаризации, Р - преобразований и матричной прогонки.
Создано математическое обеспечение для реализации решений задач нестационарной неизотермической фильтрации, позволяющее производить расчет нестационарных теплового и гидродинамического полей в геотермальных коллекторах.
На основе анализа результатов многовариантных расчетов, проведенных для параметров проектируемой Дагестанской ГеоТЭС, найдены новые физические эффекты, характерные для исследуемого процесса.
Практическая ценность. Результаты исследований могут быть использованы при проведении проектных работ на строительство ГеоТЭС и систем геотермального теплоснабжения на базе подземных циркуляционных систем.
Теоретические обоснования применимости метода квазилинеари-зации для решения систем нелинейных эволюционных уравнений второго порядка позволяют применить предложенный подход для исследования других задач механики сплошной среды, имеющих аналогичную математическую модель.
Результаты, полученные при изучении тепловых и гидродинамических процессов неизотермической фильтрации жидкости в трещинных коллекторах, использовались при внедрении системы захоронения промстоков в коллекторах с искусственной проницаемостью. Методики и программы расчета гидродинамических и тепловых полей на ЭВМ использованы Камчатским промысловым управлением по использованию глубинного тепла Земли при прогнозировании изменений условий эксплуатации Паужетского геотермального месторождения в связи с вводом системы закачки отработанных термальных вод. Акт внедрения и справка об использовании прилагаются.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на Ш Международном симпозиуме по фильтрации воды в пористых средах (Киев, 1976); на УШ научно-технической конференции молодых ученых Института технической теплофизики АН УССР (Киев, 1977); на П Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (Киев, 1978); на Всесоюзной конференции "Народнохозяйственные и методические проблемы геотермии" (Махачкала, 1978); на П Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы горной теплофизики" (Ленинград, 1981); на УІ Всесоюзном семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Фрунзе, 1982); на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование гидрогеологических процессов" (Новосибирск, 1984); на Всесоюзном семинаре "Современные проблемы и математические методы теории фильтрации" (Москва, 1984).
Публикации. Результаты исследований отражены в публикациях /25-28, 36, 39-42, 82-84/.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 131 странице, и приложения; содержит 23 рисунка и I таблицу. Список литературы включает 102 наименования.
Во введении дается краткий обзор работ, посвященных исследованию неизотермической фильтрации.
В первой главе приведены уравнения неизотермической фильтрации. На основании физических особенностей неизотермической фильтрации в геотермальных системах выведено уравнение упругого режима фильтрации воды в неизотермических условиях. Проведен анализ методов решения нелинейных краевых задач неизотермической фильтрации. Проведено теоретическое обоснование применимости метода квазилинеаризации к решению краевых задач для одной системы нелинейных уравнений второго порядка. С использованием метода Р-преобразований получено решение краевой задачи для уравнения теплопроводности, из которого определено численно-аналитическое значение теплового потока из пластины.
Во второй главе сформулирована математическая модель не-изотермической фильтрации в трещинном геотермальном коллекторе на основе гетерогенной модели среды при моделировании нестационарного теплообмена. Разработан алгоритм численного решения сформулированной задачи с использованием метода квазилинеаризации, Р-преобразований и матричной прогонки. Доказывается сходимость решения численной краевой задачи к решению дифференциальной задачи. На основании анализа численного эксперимента исследуется влияние температуры на гидродинамические характеристики процесса.
В третьей главе получено решение двумерной задачи неизотер-мической фильтрации с учетом геотермального градиента, при гомогенной модели нестационарного теплообмена в пористой среде. При решении использовались методы квазилинеаризации, переменных направлений, Р - преобразований и матричной прогонки. Исследованы физические характернетики процесса, влияние учета геотермального градиента и вертикальной составляющей теплопроводности на тепловые и гидродинамические поля.
В заключении сформулированы и охарактеризованы основные результаты, полученные в диссертации.
Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики механико-математического факультета Киевского госуниверситета им.Т.Г.Шевченко по теме "Разработать аналитические методы решения стационарных краевых задач .для уравнений в частных производных и в частных конечных разностях" (Постановление Президиума АН УССР № 604 от 25.12.80, № г.р. 81005006) и в отделе Проблем тепло-использования Института технической теплофизики АН УССР в соответствии с планами научных исследований по Всесоюзным программам 1-І.4-І - "Разработать научные основы проектирования и создать циркуляционные системы отбора тепла из сухих горных пород" (Постановление Совета Министров СССР № 940 от 17.II.75, № г.p. 77076I2I) и 0.01.08 - "Создать и внедрить солнечные, геотермальные, ветровые установки и устройства для производства тепла и электрической энергии" (Постановление Госплана СССР, ГКНТ и АН СССР В 516/272/174 от 29.12.81 г., № г.р. 81083885).
Автор выражает благодарность кандидату технических наук, заведующему отделом Проблем теплоиспользования ИТТФ АН УССР А.В.Шурчкову за организационное руководство и за полезные советы при обсуждении физической интерпретации полученных результатов, а также всем сотрудникам отдела ПТИ ИТТФ АН УССР за оказанное содействие и помощь.
Г Л А В A I
ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
I.I. Основные математические модели процесса неизотермической фильтрации
Проблема неизотермической фильтрации получила развитие в шестидесятых годах в связи с введением в практику нефте-газодо-бычи метода термозаводнения. В этом случае многофазный поток, движущийся в пласте, представляет собой термодинамическую систему, энергетическое состояние которой определяется давлением и температурой. Основы математических моделей таких процессов заложены в работах И.А.Чарного / 76,77 У, Э.Б.Чекалюка / 79,80 J, Л.И.Рубинштейна /"68./.
Математически процесс нестационарной неизотермической фильтрации описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, включающей следующие уравнения:
I). Уравнение неразрывности:
Э-6 {J J ( i.i ) где V~тої - скорость фильтрации; oJ - скорость поступательного движения частиц в коллекторе; Р - плотность жидкости; т. - пористость коллектора; ~Ь - время. 2). Уравнение движения. В изотермических условиях g достаточной полнотой физическую ІЗ природу течения описывает двучленная зависимость /"59 J: d LK„ Kj> J ( 1.2 ) где P - давление; M - вязкость жидкости; д- - проницаемость породы, обусловленная вязкостью жидкости; /< - проницаемость породы, обусловленная плотностью жидкости. При небольших скоростях фильтрации, наблюдаемых обычно вне призабойной зоны скважины, справедлив закон Дарси; гГ= Л. gZGLcl Н ( 1.3 ) где <р І с")
Н - гидростатический напор; 2 - вертикальная координата; У - объемный вес жидкости.
3). Уравнение сохранения энергии.
При движении упругой жидкости в пористой среде общий тепловой поток определяется следующими перемещениями тепловой энергии: конвективным переносом тепла, температурными адиабатическим и дроссельным эффектами, рассеиванием тепла в результате теплопроводности.
При построении математических моделей нестационарного теплообмена в проницаемых средах в моделировании двухкомпонентной среды существует два подхода. а). Среда сводится к условно непрерывной путем введения функций, усредненных по произвольному элементу объема двухфазной среды - гомогенная модель среды /"10,19,20,25,94./.
В этом случае уравнение сохранения энергии в предположении, что отсутствует подвод внешней механической энергии, записывается в виде [ 80 ]\ где 6/= Q—-2- тУ - скорость конвективного переноса тепла; а - теплоприток от окружающего массива; Сп = пг^Ср + с. - теплоемкость пористой среды; е - теплоемкость жидкости; S - коэффициент Джоуля-Томсона; у л - дифференциальный адиабатический коэффициент. Применительно к фильтрации воды, когда можно пренебречь температурными адиабатическим и дроссельным эффектами, уравнение сохранения энергии при гомогенной модели среды имеет вид: A. clltrotaxJT^ j у- (uavxdTJ + cf, (1.6) б). Среда рассматривается состоящей из двух фаз - жидкой и твердой, на границах которых характеристики каждой из фаз имеют разрывы /"68, 32_/.
Уравнения сохранения энергии для жидкой и твердой фаз имеют соответственно вид: .% = **'*-? a.» где Q - температура твердой фазы, для которой вводится локальная система координат; - количество тепла, поступающего из одной компоненты в другую.
Применение той или другой модели среды обусловливается временем, в течение которого происходит выравнивание температур жидкой и твердой компонент среды, а следовательно, зависит от размеров зерен и пор, коэффициентов теплопроводности и скорости фильтрации.
4). Теплоприток от окружающих массивов.
Существенную роль в температурном режиме фильтрующейся жидкости играет теплоприток (теплопотери) от окружающих коллектор массивов пород. Распределение температуры в массиве описывается уравнением теплопроводности: U - ~м v и« (1.9) где QM - температура пород окружающего коллектор массива; Сім - температуропроводность пород. Теплоприток от массива в среду определяется формулой f-~Ar дп- U~n0 (ІДО) где F - поверхность соприкосновения компонент; п. - нормаль к поверхности теплообмена.
5). Уравнения состояния.
В общем случае плотность и вязкость жидкости в коллекторе зависят от изменения давления и температуры, а свойства среды -проницаемость и пористость - от давления, температуры и неоднородны по протяженности.
Теплофизические характеристики жидкости и пород будем считать постоянными.
В общем случае система уравнений, описывающая процесс нестационарной неизотермической фильтрации, является системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Таким образом, задача исследования условий и особенностей протекания процесса нестационарной неизотермической фильтрации в подземных коллекторах сводится к решению некоторых классов краевых задач для таких систем.
Для описания процесса неизотермической фильтрации в геотермальных системах следует определить уравнения состояния. Вид их зависит от поведения характеристик пород и воды в условиях ІЦС.
1.2. Физические особенности процесса фильтрации в геотермальных циркуляционных системах
Приведем некоторые результаты анализа физических условий при фильтрации воды в геотермальной циркуляционной системе /40/.
В условиях подземных циркуляционных систем температура фильтрующейся воды изменяется в интервале от 20С до 300С. Оценки зависимости пористости и проницаемости пород от изменения температуры для гетерогенной модели среды с идеальной формой частиц твердой компоненты в виде шаров и пластин показали, что в указанных пределах изменения температуры для пористых сред относительная пористость изменяется на 3,6%, относительная проницаемость - на 7$. Для трещиноватых сред эти изменения составляют соответственно 7,5$ и 24$ /"50 ], /"40/. Экспериментальные исследования по оценке влияния температуры на пористость пород /"63./ подтвердили это, показав, что для мелкозернистых песчаников и алевролитов со средней степенью цементации изменение температуры практически не оказывает влияния на коэффициент пористости (изменяется на 2,6$). Для пород с сильной степенью цементации имеет место незначительное изменение пористости с ростом температуры (изменяется на 8-10$). Это позволяет делать предположение, что свойства пород слабо зависят от температуры.
Исследование зависимости плотности и вязкости воды от температуры показали /"21, 407» что относительная плотность при изменении температуры от 20С до 300С изменяется на 25$, а вязкость - в 8-9 раз.
Таким образом, при неизотермической фильтрации воды в подземной циркуляционной системе без фазовых переходов изменение температуры наиболее существенно сказывается на вязкости воды. Зависимость вязкости воды от температуры выражается формулой /ГГ7 I ("' м =/"(//= а ^7 ( сантипуаз ), (I.II) где (и = 2,38663 сп, clS = 0,07518.
Предполагая, что вода и пласт являются слабо сжимаемыми и что, вследствие вышеизложенного, плотность воды и пористость пород слабо зависят от температуры, принимаем Р и ля. зависящими от температуры линейно: f=/>. и *f* ( р-р,)][і*/ц. (г- т.)] (I.I2)
Р- Р If 7 m = m.[i*.fo, -~\[l
С учетом (I.II), (1.3) и (1.4) скорость фильтрации зависит от температуры и выражается следующим образом: 1 Л С У д$ ' (I.I5)
Перемножая (I.I2) и (I.I3) и отбрасывая члены второго порядка малости, получаем: /= "*/* +>* ; А*= y~r ^Ч
Рассмотрим выражение о/сіГґРІ/ )
Из (1,15), (І.І2), (І.ІЗ) получаем: & дії* __ к п дТ ЭР К/І „ гтгі дгР ioo 9 ди * fc <*<* да ди ' ("о[ С J д«2
19& ~f(f* d^ff^~d^J (I.I8) dp /ЭР дТ ,
Здесь ив (1.16) А, можно заменить на / вследствие малости
Подставляя (I.I8) в (I.I7) и. отбрасывая члены второго порядка малости, с учетом уравнения неразрывности (I.I) и (I.I6) аналогично /"85/, получим уравнение упругого режима фильтрации воды в неизотермических условиях: J dt У dt («J /*' А д*2 df дге Дгдг ^Sdf^T~^rfoacidx dec dj
J***r L дх. Эх dtf dt] д? o>i
Проведем некоторые упрощения уравнения (2.19). Аналогично /~66.У пренебрегаем членом в фигурных скобках. Получаем уравнение : f Zf'fr Ж ={й 1^'Л д** dV* Эг* + f Л а
При небольшой мощности коллектора можно пренебречь действием силы тяжести. Приходим к уравнению вида: в* 1Р+ ЭТ. (I.2I) dt сА н ~
Если предположить, что изменение пористости коллектора и плотности воды с изменением температуры достаточно малы, то уравнение принимает вид: ** ЭР к /у1Л грг>/л0і„па дР.п„п ЭТ fit* ^п*№%уі*% > к а (9Г.дР+7Г.9Р+Ж.2В+Р9дТ ) (1в22)
В этом случае для пластов малой мощности получаем следующее уравнение упругого режима неизотермической фильтрации si?- « tun TUP** а. ($ЇЖ*К2Є+2Г2Є) f ш-^{иас'гр+^ C^ te'd/df 'агат/а.»)
Из уравнения (1.23), положив T=cohsc t получаем уравнение нестационарной изотермической фильтрации:
2t (1.24)
Сравнение решений уравнение (1.23) и (1.24) (уравнение с постоянным значением вязкости) дает возможность выявить, в какой сте- пени учет зависимости вязкости от температуры влияет на гидродинамические характеристики процесса - распределение давления и расхода.
Таким образом, из анализа физических условий при фильтрации в ІЦС и уравнений (1.6) и (1.7) следует, что при учете зависимости вязкости воды от температуры процесс неизотермической фильтрации в ГЦС описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
1.3. Методы решения задач неизотермической фильтрации
Решение краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных сопряжено с большими трудностями и представляет собой мало разработанную и весьма актуальную область математики. Разумные упрощения общих нелинейных уравнений в частных производных позволяют в некоторых случаях разработать методы отыскания их приближенных аналитических /"12,37,38,60 7 или численных /~34 7 решений, а в исключительных случаях получить точные решения flOt 45, 102 У.
В задачах неизотермической фильтрации при предположении об одномерности потока и постоянстве расхода теплоносителя во времени, а также о независимости свойств жидкости и пород от температуры возможно разделение процессов теплопереноса и фильтрации, происходящих в подземных коллекторах, что и делалось на начальной стадии изучения этого процесса /"I, 18,25,39,52,76,79,91, 92 J, Такой подход позволил изучить особенности нестационарного теплообмена в пористых и трещиноватых средах /"32, 53, 61х 68, 77, 80, 96 7.
В настоящее время развиваются методы решения задач неизо- термической фильтрации с учетом взаимодействия теплового и гидродинамического процессов. Неизотермическая фильтрация в подземных коллекторах описывается системой нелинейных термогидродинамических уравнений (1,1, 1.2) со сложными краевыми условиями.
Для простейшего случая неизотермической фильтрации идеального газа в стационарных условиях при отсутствии теплопритока от окружающего пласт массива совместную систему термогидродинамических уравнений можно свести к уравнению Лапласа для функции вида U - Р і: вТ , что позволяет получить аналитическое решение задачи /10 J.
Во всех других случаях решение нелинейной системы уравнений неизотермической фильтрации в пористых и трещиноватых средах проводится численными методами /4,5,11,19,20,23,28,48^,49,57,58,64,
84,87,88,93,94,99,1017.
В работе /'23 J рассматривается нестационарный осесиммет-ричный приток реального газа к забою совершенной скважины, расположенной в центре кругового пласта, постоянного по мощности с постоянной пористостью и проницаемостью, при неизотермической фильтрации. Задача решается методом конечных разностей с использованием схемы расщепления /89./. Для нахождения промежуточных величин используется явная схема бегущего счета и метод прогонки. Эта же схема расщепления используется в работе [ 5 J для расчета неизотермической фильтрации сжимаемой жидкости. Отмечается, что расчет численными методами теплового потока от окружающих пласт массивов сильно увеличивает время счета при многовариантных расчетах.
В работе ГII J для решения задач плоско-параллельной и плоско-радиальной неизотермической фильтрации сжимаемой жидкости или газа в пористом теплоизолированном пласте без учета измене-
23 ния фазового состояния используется метод квазилинеаризации fl J с последующим применением метода прогонки. Автор не исследует условия сходимости итерационного процесса, позволяющего от решения краевой задачи для системы нелинейных уравнений перейти к решению последовательности краевых задач для систем линейных уравнений.
Авторы Г 58 J при численном расчете неизотермической площадной фильтрации в предположении, что фильтрационный поток одно-жидкостный и сжимаемый, используют итерационный процесс с применением метода верхней релаксации и метода расщепления по физическим процессам /"54,55 ]. Метод верхней релаксации с корреляцией применяется также в работе Г 88 J для расчета неизотермиче-ской фильтрации двух не смешивающихся жидкостей в неоднородном и изотропном пласте с учетом теплопритока из окружающего массива.
В работах /19, 20, 49/ исследуются двухфазные течения с учетом тепловых потерь через кровлю и подошву пористого пласта и различия теплофизических параметров фильтрующихся жидкостей, а также механизма вытеснения нефти водой в неизотермических условиях. При решении используется специально разработанный для таких задач итерационный процесс [2]. В [ 49./ отмечается, что расчет теплового потока в массив, окружающий пласт, требует много машинного времени, и предлагается приближенная аналитическая зависимость для определения одномерного теплового потока.
Во всех приведенных работах исследуется неизотермическая фильтрация в пористых коллекторах и применяется гомогенная модель среды для моделирования теплообмена.
Для трещиноватых коллекторов гомогенная модель среды дает большие погрешности в тепловых расчетах в силу длительного времени выравнивания температур между жидкостью и блоками породы, слагающими коллектор. В работе tГ 57 J даны математическая постановка и решение задачи тепло-массопереноса при прямолинейной не-изотермической фильтрации несжимаемой жидкости в трещиноватом коллекторе при гетерогенной модели среды. Линеаризация системы осуществляется взятием нелинейных членов с предыдущего временного слоя и за счет выбора мелкого шага по времени, без исследования вопросов сходимости.
Таким образом, в настоящее время при решении систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процесс неизотермической фильтрации в подземных коллекторах, не затрагивались вопросы метода линеаризации. А это не дает возможности сделать обоснованный вывод о том, приближенное решение какой дифференциальной задачи получается в результате применения численных методов.
Проводить теоретические исследования условий сходимости итерационного процесса при численном моделировании нелинейных дифференциальных уравнений представляется целесообразным для метода квазилинеаризации /"7,11 У, который обладает квадратичной сходимостью и, кроме того, дает единообразный подход к исследованию существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
1.4. Метод квазилинеаризации и его применение к решению краевых задач для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Метод квазилинеаризации предложен американскими математиками Р.Беллманом и Р.Калабой [1J и является дальнейшей разработкой метода Ньютона-Рафсона-Канторовича на функциональные пространства. Этот метод позволяет свести решение нелинейной краевой задачи к решению последовательности линейных краевых задач и сформулировать теоремы о сходимости последовательности получаемых решений к решению исходной нелинейной задачи.
Проведем обоснование применимости метода квазилинеаризации для системы нелинейных уравнений вида /"41 У: здесь *(??)(P,7j, If; (Р, 7), fc. (х,P,rg, VTJ ( ;-.,.2)- известные функции своих аргументов.
Отметим, что система (1.25), (1.26) описывает процесс плоско-параллельной неизотермической фильтрации в геотермальной системе и получается из уравнений (I.2I), (1.7), если считать плотность воды и пористость коллектора линейно зависящими от давления и температуры. Исследуемые нами в дальнейшем задачи имеют такую математическую модель.
После дискретизации по времени і с шагом % * ; -Іі~і . приходим к соответствующей (1.25), (1.26) системе дифференциально-разностных уравнений: WJ^fi
Считаем, что выполнены граничные условия
Р1"(0)-.Р> ; Р:"(1)*Р'* Ut"(О)'* «І» „ . tfl'lfijvu)" (1.29) T"l(o)-- r* , т!н(Ь)*Т**
После введения на каждом временном слое векторных функций I-{$("< и»иІ,иіЛ,и*)]._ систему (1.27) - (1.28) можно записать в векторной форме U (1.30) где Ui [.)=. PfcJ, Uz (-^/- І (я J - искомые функции на каждом временном слое; /> - правая часть (1.27) при j -і и правая часть (1.28) при \ =2.
Покомпонентно уравнение (1.30) запишется в виде системы нелинейных уравнений uj'= fj (at, иЄ! < < ut> u^J (j- /, г). (I>3I)
Граничные условия тлеют вид:
Що)-и? , af(l).u<*
Следуя идее метода квазилинеаризации [ 7 J, из уравнений (I.3I) получим последовательности линейных уравнений для ком- понент функции U (.) : <^У=// *ZZ л Ui%)T>MK І (І.зз, / /(/ „-.о к.л (I (j, {.2; :0,1,2,..-J
Здесь введены операторные обозначения ij j Н (? К* s
1.=1. (U<, Ut, Ul, <, Ult U, J (к.,,е;„*о,<; * Граничные условия на каждой итерации имеют вид: Докажем, что решения линейных краевых задач (1.33), (1.35), составляющие последовательность [bCfc/j (^=0,1,...), существуют, а сама последовательность равномерно ограничена и сходится к решению нелинейной краевой задачи (I.3I), (1.32), причем сходимость квадратичная. Введем обозначения: т. - пг.а&\тщ I 11 md^ j -Аг І пж& І Щ \ Lnutyiui'd ' шЩІкі dU*hiiuMi/A^ ІГ (1.36) j--''* {--и >іл 4* . . # це %(*;- у +(у -"/Jt (Lew Справедливо следующее утверждение: Теорема I. Если для ^ е [о, {>] функции / (Ud г Uj UL, Ut) и йй ) дважды непрерывно дифференцируемы по аргументам Ult Ut/ и[} и^ и ограничены, то решение каждой краевой задачи (=1,2,...) для системы линейных дифференциальных уравнений (1.33), (1.35) существует и равномерно ограничено при достаточно малом параметре f> и при ml = \\J(^))\< Доказательство: Учитывая, что правая часть в уравнениях (1.33) линейна, можно свести решение краевой задачи (1.33), (1.35) к решению интегро-дифференшального уравнения /"6,7 7 У*)'#(*№*гшУуЦ,кЦ Gtyty сі.») где (cc,uj - функция Грина, *Ч-1) при O^X+lf+b Ь , j * (1.39) #l*-LJ при ott/гхиі Функция Gfe'^J непрерывна на [о, Ь]* [<з> &] для каждого фиксированного значения " и " и имеет непрерывные производные по всей области определения, кроме точки <-Ц » гДе производная имеет скачок. Представим уравнение (1.38) в виде: і Так как подынтегральная функция удовлетворяет условиям теоремы о дифференцировании по параметру и выполняются соотношения ^ I &(X^J =# {14i) Ч=(Л^7~1 -|- при 04у<Я*1> (1.42) 14х fc^y / < / получаем -є , (I.4S) 1 * М(п) - -*- "V; L«S*u*W^*]lj \reG(*>**J\ Так как, согласно условиям теоремы Введем норму вектора ^ (х/ следующим образом: J 27*/// = утго* (/ ^ fcJ[+/<4 М +№(*Л+Іи1 (*)\) (1.45) и обозначения /«* = nTfcjt ^-4б) b = 9Ul*JI (1.47) Используя уравнения (1.38) и (1.44), находим норму: ЙІЇ(*)Ц= m^L (lu!^JlilLU^Jhlui(x,JliJu:(^Jl)< л 4 Я, S-*4 і (Ї.48) * * іш+ІІ,А^^^Ше(Ф^ Выбрав LlfcJ так, что Ци(^Л<{ при О^жь и учитывая (1.36). (І.4І), (1.43). (1.46). (1.47) при ^=0 из (1.48) получаем ^Ы*2]** (1.49) то выполняется неравенство Эта верхняя граница ^ не превосходит І при выполнении условия /П1 -t Єпг.Ц-^ + і J 4 / (І.5І) Система неравенств (1.50) и (І.51) имеет решение при m^/ (1.52) и при значениях & из интервала 0<1±-2ф+-^^-- (1>Б8) Продолжая рассуждения, по индукции для >2 =2,3,... получаем, что последовательность/| tl fc)\\ , определенная как решение последовательности линейных краевых задач (1.33), (1.35), равномерно ограничена при выполнении условий (1.52), (1.53). Теорема доказана. Теорема 2. Если для осе [о, і J : і) функции Uj (*z)e C2[oJJ (J =1,2), 2) функции /*(ииг,и/, U^UftUt) (/=1,2) в системе (1.33) дважды непрерывно дифференцируемы по аргументам Иіч Uz> и[л Uz ; 3) выполняется условие / та.* /I U(xl) - U(xJ\\< 1 , где постоянная У определена равенством (1.63), то последова-тельность I tifcjj (=0,1,..,) решений краевых задач (1.33), (1.35) сходится к решению нелинейной краевой задачи (I.3I), (1.32) и сходимость квадратичная. Доказательство. Учитывая равенство (1.38), составим уравнение для разности двух последовательных приближений n.-.o к.-.л f fl , r "'aV -V (/" ^, „ Разлагаем функции У. r// ^4, 4' <#, Uhut/U =1,2) в ряд Тейлора в окрестности точки ( щ , /^ /0 / / по ьсем аргументам с остаточным членом в форме Лагранжа , ±$Л^ *M Scejj.2 f (I-55) h-o <zi l- p-1 U ? f,«e' ***> ' ' 1 (Г* л* Из (1.54) с учетом (1.55) получаем: < І?Щ. ^"'"bUj-ty Введем обозначение М = ^Г \ rryvfi І-;| / іпі% J 2U і,шіфі' Щ 3U?) {^{J W, dU^I , (1.57) Применяя неравенство (1.58) |a.|-|cU/(/a|*4/c/*y и учитывая (1.36) и (I.4I) из (1.56) получаем ^ 1т** [Л Ut /*+ т** /А СІ/% „аїІАІЇ; 1% (І-59) f пгщб / Л ^z I г Здесь и в дальнейшем максимум функции определяется для jcefc&J . Учитывая соотношения (1.43), (1.44), аналогично для разнос- ти производных функций U- (эе.) получаем: "**#* \^iLi I < lm.Z2Lrx\& Uk Ъ М J/папіли J + + nz^L I'Al/&/% n^ ( АиЦ% mo/p J ALll /* I (I"60) Сложив правые и левые части неравенств (1.59) и (1.60) для всех значений / =1,2, придем к неравенству: / -7 г Л41 х^ s'i ^ ^ у (I.61) Используя норму (1.45), из (I.6I) получаем II A U(xjH= m*fi[\ A U4 J +/А І}ІІ+І&ЇЇ/\ і I Alt I jje / I J О ^ П ? А О 1 (1.62) r~ i-i&tjm. ' (I-6S) когда (1.64) Усиливая неравенство (1.62), запишем ^ jt'^рб (їли, і* ІЛ/іІ + Іййі'і'ІдЦ'і/*. Ч< Для сходимости последовательности [и. (я-Jjb норме (1.45) необходимо выполнение неравенства: У7~ЇГ*—)— (I-S6) t-Чт **/"* Система неравенств (1.64), (1.66) выполняется при (1.67) Продолжая неравенство (1.65), по индукции получаем Таким обра зом, сходимос ть последовательное ти / U (я) I (szo, /, 2,. . J зависит от величины которая меньше I при достаточно малом о (это можно показать аналогично предыдущему). Заметим, что сходимости последовательности можно добиться о v за счет удачного выбора начального приближения U. frj у чтобы разность//Ufc)- Ll(J\\ была достаточно малой величиной. В этом случае ограничения на величину отрезка [о, J не накладываются. При выполнении неравенства fl\AUfa)\\^ из (1.68) следует равномерная сходимость последовательности к некоторой вектор-функции. Поэтому в силу равенства (1.45) последовательности A U, (т.J, А ил (xj, A Ut (*jt л U,'(лJ равномерно сходятся к нулю. Из уравнения (1.38) заключаем, что пределом последовательности компонент вектора о((х.) будут функции следующего вида: е где ^я^<^Х<4,4/ V 1 v Отсюда следует, что функции Uj Лс J (/ =1,2) удовлетворяют исходной краевой задаче (I.3I), (1.32). По методике, аналогичной вышеприведенной, можно показать, что // U (л) - %(*)\) 4 Ot lj U(*J- U(xtjj\ * Действительно, производная от функции -Uj faj при условии, $w/wif'eb;f что / непрерывна по ос определяется по формуле V (I.7I) По формулам (1.38), (1.70) и (1.44), (I.7I) определяются разности і і . . J. ъи-Ч&Ц'ЪЦ-М'&еЖяф ч'&?&Я&№Мж*!&щ}щ Откуда норма разности векторов равна t (я) - ut fa J і I U/(xJ- U,'(a)\ * I Ui(x) - %& і J = к -^рШ-и*л^ ФЫ^'Ч^ Вследствие равномерной сходимости последовательностей (/=1,2), можно записать Используя разложение функции /*(Uij U&,Ui,^г,<ЧЦів ряд Тейлора в окрестности точки (Ul} Уц; Mi, Ug, J с остаточным членом в { ' z форме Лагранжа, получаем: (А .пі * JL Л (I л ч u\ є [a& (*j, uz (*JJ} ц\' e[4'(*J> иї (*JJ . Далее, используя соотношения (1.57), (1.58), (I.41), (1.42), получаем II 1 f s 2 s *+ *№-"/!*+ I^-^I*Lm(J + фщ*)-и(*Д* Или.иначе —* s*f —=> 1*. \)ufr)~ Ими 4 Wfy - vfcJH (1.72) где tOz - Mo(^2 4*М' вследствие (1.66). ffrjj . Используя (1.72), докажем сходимость последовательности Предположим, что существуют два предела последовательности: ЇЇ(я) и 5/W : їг(;(и<Н и*Н ці(*]> LlU*J> 4,4/ J с/ Рассмотрим разность этих функций /і %; - ггс/ и=// zfe;- u(*j- ffi*;- иф]\ , // ufcj- и (x.)\\ -f // v(*)-Ul*>)\щ І u(*J- и(ф * 4IIЧ*)~ №/1 Продолжая неравенство, по индукции получаем В норме (1.45) U(otJ=. гГ (х,) Следовательно, теорема 2 доказана. 1.5. Применение метода Р-преобразований при определении теплового потока в жидкость Определение теплового потока от массива, окружающего коллектор, в жидкость, как отмечалось в работах [49, 5 j7, представляет некоторые трудности вследствие необходимости проводить многовариантные расчеты. Для решения уравнения теплопроводности в двумерной области, имеющей форму параллелограмма, применим метод Р- преобразований [ 65 J. Этот метод позволяет получить решение краевой задачи в замкнутом виде (формулы суммарных пред- ставлений), что сокращает объем вычислительной работы и дает возможность избежать большой вычислительной погрешности. Изложим сущность метода суммарных представлений на примере решения одной краевой задачи, которая потребуется нам в дальнейшем. Рассмотрим решение дифференциального уравнения вида: ЪЬ 1 ?Х* *"dy*< ' 3 S/ (1.73) при краевых условиях e(x.f,oJ,d, (1.74) где Tfe^J, Pc fa^l fafa^kt =1,2,Ъ) - известные функции. Введем ортогональную сетку А^ ~-{(**$4<'J: *****>$ У'*1*i;=*' На сетке (1.77) краевой задаче (1.73) - (1.76) ставится в соответствие следующая конечно-разностная задача: ЩЙЬ0кі1 = Ь[«к4(і;)-Є Щіф W4frJ]/^ (1.78) у г.у wr"»f 41 ^j(0j= (1.79) fl ' \. ' l / L / (Ii8I) Будем использовать обозначения: И/^ї/ /- // И4/ fee JII П} у^ (»,м І - матрица с элементами Ц fcj* lW'ifcJ- %' fcj> -'> W'jfcJJ (1.82) f% ("J' Л/ V/frj, 0,0,.:,0, W^/iJ- W-^ = (fij fa/, .,--, Ofy &JJ (1.83) - (/=1,2,,.., ) -П.-мерные векторы. Если ввести разностный оператор (1.84) где //- ^ f . ^- Cz г то систему разностных уравнений (1.78) можно записать в виде системы т векторных уравнений: (1.85) Штрица п. -го порядка Ч\ определяется /" 65 ]'. / / О > О 10/ 0<-- О /з sjlO і 0 1--0 О 1 О 1 о 11 (| Систему (1.85) угшожаем слева на матрицу /- , то есть применяем к системе В, - трансформацию, и вводим обозначения Система принимает вид: где j\5 - диагональная матрица, элементы которой 2 JK являются собственными значениями матрицы У3 » Л з = 2lAj,h,...Jn.J ' (1.87) (1.88) Р - Г *CV 7 " р<У. {Ifі COS U± Введя т. -мерные векторы Х*&І("/КІ(І;),ЧМ-. K^fc))(*'<»), И-») (1.92) систему (1.86) можно переписать в виде следующей системы п. векторных уравнений Щк)+*№% fyA Матрицы УІ. и Pz порядка т определяются следующим образом: Я/Л , К j > ^ J ; і/ COS оС 2*г + 4 (г <> (1.94) (1.95) Применяем к системе (1.93) Р2 - преобразование и вводим обозначение Система запишется в виде: Учитывая (1.84), каждое из векторных уравнений этой системы можно записать как /»"*- скалярных уравнений: XjJ-4 ' frXj* № fa ty (i.j (j - <« *= ^(1.98) (Щ „ Ot №17-1 fr*[i*rflt-W+ tf(l -\jj] (1.99) ^i!l'tsi^^H^Nl CI-I00) Каждое из уравнений системы (1.98) представляет собой обыкновенное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Для него можно найти общее решение [ 22 J. В векторной форме общее решение системы (1.98) имеет вид / 657: Здесь JLK(hJ= О, где Дк-- произвольные постоянные, определяемые из начального условия (1.79), Рассмотрим (^n.J-mTpmxyJfl'icJ^ityfeiJllrr.n , которая в силу равенства (1.90) будет транспонированной к [п., mj- матрице W [і с ) = If WK: [іі у |„jm . Для матрицы X [і: общее решение (І.І0І) уравнения запишется в виде Xfc)= Pt [*%№* fa j] (ІЛ04) где прямоугольные (m,nj - матрицы J\ (іі J и SI [І і J оп- ределяются равенствами A%h№]JM---.%Nl (ІЛ0В) После транспонирования обеих частей равенство (І.104) принимает вид: W(i;)-[Afch-Z(b)lP? алт) где/4/-/.7и SLIic } [n>rri 1 - матРицы» транспонированные соответственно с /{*({і/ и SI* (б; J : причем //« (і; J = ( h4U), Мс. (і; J,.... Нк„ fc/J~ Р*' Нк (і;) После умножения слева обеих частей равенства (І.І07) на матрицу Р3 получаем Wtk)=P3[A(iiyjL(i:)]p; (;.«<.*,... J алое) Эту формулу можно переписать в более удобной форме: *M-P3lA'tyJ*Z[ni*i-i)'H(ipJPt]]/i* «.к») где знак "х" обозначает 'поэлементное умножение матриц [ 24 /: СФ - Цбу //„,„ < Л JKj //„,„ = ICy. d- ІПш „ , а.по) 4 -fa,'*1)- матрица произвольных постоянных; ПП'їіїі - (».") -ма , столбцами Здесь 6J- определяется равенством (1.83); ff(2jftO" [h *.$,.>"*'<) (1.112) J}*3 fc) - и/о ^-/- ^ &> ^ &/ (І ЛІЗ) 1^[іі) = W„H(ii)--Yiitl) (1.114) Определим матрицу произвольных постоянных ^ '. из начального условия (1.73). Учитывая что вследствие (І.І03) SlK [0J =0 получаем при -о=0 соотношение где ^,т единичная {р>т ) -матрица. Отсюда следует A=f?E(",n"pt (хлад Таким образом, решение задачи (1.78) - (I.8I) имеет вид: С учетом (1.111)-(1.114) решение можно записать в виде: Ь УГ) Учитывая (1.83) и (1.112)-(1.114), можно переписать l:>)„:. + где матрицы Р^2' и Р^ ', а также оЛй определены зависимостями (1.88), (1.96), (1.99). Из (I.II8) можно определить значение производной от функции Wk! (Іі) При U^(m->l)h^ U»>.< ь ЧТО НеобХОДИМО ДЛЯ ВЫ- числения . величины теплопритока: yl^~w - У/к -f з WKrn.A zb, ^рЩр-^рЩІ^е,,^, >ztirffiPfobHbh!h am /&'(/fahH*b/JJ]№ -зф)М Эта формула позволяет определить теплоприток, не вычисляя все элементы матрицы л// . Проблема неизотермической фильтрации получила развитие в шестидесятых годах в связи с введением в практику нефте-газодо-бычи метода термозаводнения. В этом случае многофазный поток, движущийся в пласте, представляет собой термодинамическую систему, энергетическое состояние которой определяется давлением и температурой. Основы математических моделей таких процессов заложены в работах И.А.Чарного / 76,77 У, Э.Б.Чекалюка / 79,80 J, Л.И.Рубинштейна /"68./. Математически процесс нестационарной неизотермической фильтрации описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, включающей следующие уравнения: I). Уравнение неразрывности: где V тої - скорость фильтрации; oJ - скорость поступательного движения частиц в коллекторе; Р - плотность жидкости; т. - пористость коллектора; Ь - время. 2). Уравнение движения. В изотермических условиях G достаточной полнотой физическую природу течения описывает двучленная зависимость /"59 J: где P - давление; M - вязкость жидкости; д- - проницаемость породы, обусловленная вязкостью жидкости; / - проницаемость породы, обусловленная плотностью жидкости. При небольших скоростях фильтрации, наблюдаемых обычно вне призабойной зоны скважины, справедлив закон Дарси; Н - гидростатический напор; 2 - вертикальная координата; У - объемный вес жидкости. 3). Уравнение сохранения энергии. При движении упругой жидкости в пористой среде общий тепловой поток определяется следующими перемещениями тепловой энергии: конвективным переносом тепла, температурными адиабатическим и дроссельным эффектами, рассеиванием тепла в результате теплопроводности. При построении математических моделей нестационарного теплообмена в проницаемых средах в моделировании двухкомпонентной среды существует два подхода. а). Среда сводится к условно непрерывной путем введения функций, усредненных по произвольному элементу объема двухфазной среды - гомогенная модель среды В этом случае уравнение сохранения энергии в предположении, что отсутствует подвод внешней механической энергии, записывается в виде [ 80 ]\ Рассмотрим процесс неизотермической фильтрации в геотермальной циркуляционной системе, созданной в трещинном коллекторе. Для моделирования нестационарного теплообмена применяем гетерогенную модель среды f68 ]\ представляем трещинную среду как двухкомпонентную систему, состоящую из весьма большого числа твердых частиц, имеющих форму пластин толщины Z& , равномерно обтекаемых жидкостью (рис.2.I). Размеры этих частиц, малые по сравнению с объемом изучаемой системы, предполагаются весьма большими по сравнению с молекулярными размерами. В этом случае к каждой частице приложим закон распространения тепла Зурье, гидродинамика потока описывается уравнением неразрывности потока в пористой среде и законом движения Дарси / 13 J. Принимаем зависимость вязкости жидкости от температуры (I.II) и считаем, что пористость коллектора и плотность воды не зависят от температуры, а сжимаемость воды и пород настолько мала, что учитывается только в уравнении неразрывности. Для упругого режима неизотермической фильтрации в трещинном коллекторе между двумя галереями система уравнений (І.І), (1.3), (I.7J, (1.8) Рассмотрим пористый коллектор протяженности А и мощности Н , ограниченный сверху и снизу водонепроницаемыми массивами мощности /А и /73 И% , соответственно (рис.3.1). Начальное распределение температуры по глубине горного массива линейно, с температурный градиентом (рио.3.2). В некоторый момент вре-мени в коллектор начинают закачивать воду с температурой Тн , отличной от температуры воды, находящейся в коллекторе. Для пористых коллекторов характерны небольшие размеры частиц породы, их слагающих. При фильтрации жидкости через такие коллекторы происходит быстрое выравнивание температур между движущейся жидкостью и частицами породы. Вследствие этого, для описания нестационарного теплообмена применима гомогенная модель среды (1.5), (1.6). Исходя из уравнений (І.І), (1.3), (1.4), (1.6), (1.9), (І.ІІ), упругий режим профильной неизотермической фильтрации в пористом коллекторе описывается следующей системой дифференциальных уравнений здесь использованы прежние обозначения и введены новые: - вертикальная координата, Q а. Хл - температура массива, покрывающего коллектор, его теплопроводность и температуропроводность; в Я« Лг температура, теплопроводность и температуропро водность массива, подстилающего коллектор; СР - ж? 77- +CnPn{i-nt)- эффективная объемная теплоемкость проницаемого коллектора; Сп Рп - объемная теплоемкость твердой компоненты коллектора. Рассмотрим граничные условия. Для уравнения (3.1) на входе и выходе можно задать граничные условия как первого, так и второго рода, что соответствует заданию как давлений, так и расходов. Рассмотрим условия первого рода для уравнения (3.1). Тогда граничные условия для системы (3.1) - (3.7) имеют вид:Основные математические модели процесса неизотермической фильтрации
Решение задачи неизотермической фильтрации в трещинном геотермальном коллекторе
Математическая постановка задачи неизотермической профильной фильтрации при гомогенной модели среды
Похожие диссертации на Нестационарные краевые задачи неизотермической фильтрации в геотермальных системах
