Содержание к диссертации
Введение
I. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов
1) Уравнение процесса 16
2) Модель двухфазного течения с фазовым переходом 21
3) Автомодельное решение 28
a. Внешнее разложение. Перерождение типа особенности 28
b. Разложение в пограничном слое. Сращивание разложений 35
c. Обоснование построения асимптотического разложения 42
4) Неавтомодельное решение 47
5) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность 51
II. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов и капиллярных сил
1) Уравнение процесса 55
2) Автомодельное решение 61
3) Неавтомодельное решение 64
4) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность 67
III. Численное моделирование фазового перехода в задачах фильтрации 70
Заключение 90
Литература 93
Подрисуночные подписи 96
- Модель двухфазного течения с фазовым переходом
- Обоснование построения асимптотического разложения
- Автомодельное решение
- Численное моделирование фазового перехода в задачах фильтрации
Модель двухфазного течения с фазовым переходом
Предлагается модель контрастного течения с фазовым переходом. Система уравнений изотермической фильтрации упрощается с учетом описанных свойств смеси. Для упрощения модели используется свойство контрастности течения. Согласно следствию свойств контрастности, насыщенность новой фазы мала. С учетом замыкающих соотношений, модель контрастного течения многокомпонентной смеси принимает вид системы двух уравнений относительно давления р и насыщенности s. Одномерная задача возмущения изначально однофазного флюида, соответствовавшего фазе А, рассматривается в цилиндрической области толщиной Н. Возмущение вносится за счет непрерывного отбора флюида с постоянным массовым расходом G из центра координат. Процесс извлечения нефти, газа или воды из подземного пласта скважинами, всегда характеризуется малой величиной: є (« 10"4-10 2). Используется асимптотические разложения давления р и насыщенности s, а так же коэффициентов зависимых от этих величин в уравнении для насыщенности s по параметру є. Интенсивность фазового перехода Я. считается постоянной. Для уравнения конвективного переноса с затуханием рассматривается задача Коши и исследуется ее автомодельное решение s sfe), где % = г/у/т -автомодельная переменная.
Уравнение (2.5) имеет прозрачный физический смысл. Локальные изменения массовой насыщенности фазы В могут происходить за счет четырех основных факторов: локального изменения во времени давления и состава смеси (первое слагаемое справа), течения этой фазы (второе слагаемое), конвективного массообмена первого рода - за счет пространственных изменений давления (третье слагаемое). В общем случае - возможен и конвективный массообмен второго рода: за счет пространственных вариаций суммарного состава смеси или, что тоже, смещения фазовой диаграммы.
Под конвективным массообменом понимается процесс фазового перехода, вызванный движением фаз. Конвективный массообмен первого рода связан с тем, что смесь перетекает из одной точки с высоким давлением в точку с более низким давлением, за счет чего в ней происходит фазовое превращение. Этот тип фазового перехода вызван градиентами давлений. Численные эксперименты, проведенные в работах Панфилова М.Б. [Панфилов М.Б., 1985], показали, что функция (рвАск достаточно консервативна и, при малых возмущениях системы, подвержена значительно меньшим относительным изменениям, нежели насыщенность. Поэтому можно в (2.5) вынести ее из-под знака производной. Изменения насыщенности, вызванные локальными производными по времени от параметров состояния играют роль только в очень удаленной от точки возмущения зоне [Ильин A.M., 1989], поэтому ими можно пренебречь.
В последнем условии (2.9) отброшены малые члены порядка со. Параметр є характеризует интенсивность возмущения пласта. Процесс извлечения нефти, газа или воды из подземного пласта скважинами, всегда характеризуется малой величиной -« (10"4-10"2) [Ильин A.M., 1989]. Из условия (2.9) следует, что процесс извлечения нефти характеризуется малыми значениями потока и, как следствие, малыми градиентами давления, т.е. можно считать г— = 0{є). Изменение давления в пласте, является функцией потока or смеси к центру координат, которая разлагается в степенной ряд по параметру є, характеризующим величину этого потока. При этом нулевой член ряда не зависит от пространственных координат.
Так как s = 0 при т = 0, то в начальный момент времени можно считать, что SP=J{E), где Де) - 0 при -» 0. Если провести анализ величин в полученных уравнениях, то в области Г Е при условии, что s s, можно доказать существование пограничного по времени слоя для Т Е . Уравнения, описывающие процесс на начальном этапе, будут рассмотрены ниже, в параграфе 4 этой главы. Уравнение (2.10), получено преобразованием системы уравнений (2.7)-(2.8), которая обладает автомодельными решениями, зависящими от переменной rl4t, поскольку уравнения (2.7)-(2.8) параболического типа. Можно ожидать, что уравнение (2.10) так же обладает решениями подобного типа.
Обоснование построения асимптотического разложения
В этом пункте дается обоснование асимптотического разложения автомодельного решения задачи Коши для уравнения насыщенности L( ,s,s) = 0 в области !;єґ2={ 0}: гдеу 0, р 1, .s(oo) = 0, 0 5 1, є 0 - малый параметр. Рассматривается линейное уравнение ( ,s,s)=0 как предельное для уравнения L(,s,) = 0: l(%,s,s)=(%3 +єу%)— + 2As2(\-s). Показано, что решение s линейного уравнения в области изменения независимой переменной єі?={ 0} разлагается в ряд вида s = sn6x" . Построенный асимптотический ряд является мажорирующим рядом для исходного нелинейного уравнения. Если мажорирующий ряд сходится абсолютно, то и асимптотический ряд для исходного уравнения так же будет сходящимся рядом.
На первом этапе покажем, что на всей области изменения переменной т.е. для є/2= {% ()} решение исходного уравнения имеет формальное разложение по степеням є, для которого существует мажорирующий степенной ряд.
На втором этапе рассмотрим сходимость асимптотического ряда и покажем, что ряд сходится абсолютно, так же как и ряд для производной. Следовательно, построенное формальное разложение является асимптотическим разложением решения исходной задачи Коши.
Таким образом, разлагая правую часть неравенства (З.с.5) по степеням є, мы получаем степенной ряд, который мажорирует ряд s. При этом если я— 0» т.е. к пограничному слою, где значение функции s =1, то so — \. Следовательно, на всей области изменения переменной кроме узкой зоны пограничного слоя вблизи нуля, т.е. для О справедливо неравенство.
Рассмотрим правую часть равенства (З.с.8). Покажем, что на всей области изменения переменной кроме узкой зоны пограничного слоя в нуле, т.е. для 0 правую часть равенства (З.с.8) можно разложить в степенной ряд вида w = 5 с пределом (З.с.2). Действительно, если % е2, правая часть (З.с.8).
Таким образом, решение s уравнения (З.с.4) на всей области изменения переменной кроме узкой зоны пограничного слоя в нуле, т.е. для 0 л=0 разлагается в степенной ряд вида s = snsx", который является асимптотическим рядом этого уравнения. Выше было показано, что асимптотический ряд для линейного уравнения С(,s,s)=0 является мажорирующим рядом для исходного уравнения L(J;,s,8) = 0 и, следовательно, будет его предельным рядом. Это значит, что проблема построения асимптотического ряда J = ,, для уравнения насыщенности ( + )- = -2 (1-5), где 0, ) 0tj3 \, 0 s l, 0 малый параметр - решена, т.е. первый этап обоснования асимптотического разложения для исходной задачи Коши можно считать завершенным. Б). Сходимость степенного ряда s = snex" для уравнения L( ,s,s) = 0 непосредственно следует из предельного перехода к асимптотическому ряду, построенному для линейного уравнения (,s,є)=0.
Используя теорему Вейерштрасса о двух монотонных последовательностях, одна из которых ограничена и является мажорирующей последовательностью для другой, делаем вывод, что и степенные ряды для уравнения L(J;,s,e) = 0 - ограничены, т.е. имеет предел не превышающий (З.с.8).
На втором этапе рассмотрим сходимость асимптотического ряда. Ясно, что ряд сходится абсолютно, также как и ряд для производной. Следовательно, построенное формальное разложение является асимптотическим разложением решения исходной задачи Коши. 4. Неавтомодельное решение
Определяется период существования неавтомодельного решения и его характерный вид. Дается объяснение полученным результатам в рамках применимости предложенной модели фильтрации с фазовым переходом. При этом делается вывод, что автомодельное решение устанавливается при временах г =0(1) и представляет собой волну насыщенности новой фазы, движущуюся из центра координат к границе рассматриваемой области.
Как указывалось выше, параметр є характеризует интенсивность возмущения пласта. Возмущение считается малым, поэтому є «1. Процесс извлечения нефти, газа или воды из подземного пласта скважинами всегда характеризуется малой величиной є («10"4-10"2) [Ильин A.M., 1989]. Поясним полученные результаты. В начальный момент насыщенность новой фазы в нуле мала, т.е. имеет порядок d и отлична от нуля только для достаточно малых значений z. Далее происходит нарастание насыщенности в нуле и соответственно ее профиль смещается к границе области z=l. Это нарастание происходит до момента времени т = Яр . При этом для малой интенсивности фазового перехода Я характерное время нарастания может быть достаточно большим. Как только значение насыщенности становится максимальным, характер поведения решения принципиально меняется.
Автомодельное решение
Показано, что для формального разложения по степеням параметра є Лє2 пределом будет функция: s«——, ПРИ Б и =0(\), которая определена во всей области Д а точка =0 является для нее полюсом. Определяется масштаб зоны в окрестности этой точки, который и является размером промежуточного слоя, где проводится разложение решения. Размер промежуточного слоя является нетривиальной дробно-степенной функцией параметра возмущения: к(є)=єитр. Нетрудно заметить, что главные члены внешних разложений как в случае без капиллярных сил, так и в случае с капиллярными силами — совпадают. Для построения разложения в промежуточном слое, используется тот же метод введения новой переменой g=tyA(), имеющей в нем порядок единицы. При этом главный член внутренней асимптотики записывается в виде: sin{ A) = v( ) = v( ,r)-v( ,r). Таким образом, как и в случае без капиллярных сил, имеем: s(A)&d()s\(Q, получим: А3=Аєа ].
Нетрудно заметить, что учет капиллярных сил сказывается на профиле насыщенности только в промежуточной зоне. Профиль насыщенности в данном случае становится более плавным, чем без учета капиллярных сил. Это понятно из чисто физических соображений. Капиллярные силы уменьшают относительное движение фаз, вызывающее дополнительный межфазный массообмен, называемый конвективным. 3. Неавтомодельное решение
Исходное уравнение перенормируется в предположении, что насыщенность s=0(a) и отлична от нуля для малых значений z. Перенормированное уравнение рассматривается как уравнение с постоянным источником в правой части: 2а/?—(s ) = X. Определяется период существования dz v неавтомодельного решения и его характерный вид. Дается объяснение полученным результатам в рамках применимости предложенной модели фильтрации с фазовым переходом. При этом делается вывод, что автомодельное решение устанавливается при временах т=0(1) и представляет собой волну насыщенности новой фазы, движущуюся из центра координат к границе рассматриваемой области.
Как указывалось выше, параметр є характеризует интенсивность возмущения пласта. Возмущение считается малым, поэтому е«\. Процесс извлечения нефти, газа или воды из подземного пласта скважинами всегда характеризуется малой величиной є («10"4-10"2) [Ильин A.M., 1989]. Интенсивность фазового перехода
Автомодельное решение задачи (3.1), (3.2) устанавливается при временах т=0(1). Поскольку начальное условие для насыщенности 5=0, то для малых времен можно предположить, что s=0(a) и насыщенность отлична от нуля для малых значений z. Перенормируем уравнение (3.6) как уже было проделано ранее, т.е. искомую функцию s представим в виде s=V si(Q+0( / ). Тогда, для переменной г находим: r=ti 1/p.
Когда значение насыщенности максимально smax=l, то решение становится автомодельным, т.е. для времен т Ар профиль насыщенности остается постоянным, смещаясь к границе области z=l. Кроме того, функция s имеет излом при переходе от значения =1 к значению s l, так как имеет слева и справа различные производные: производная слева равна нулю, а справа отрицательна. По сути, автомодельное решение представляет собой волну, движущуюся из центра координат к границе области, где значение насыщенности равно нулю.
Как только насыщенность новой фазы приближается к максимуму, условия применимости уравнения (3.1) нарушаются и решение становится автомодельным. Таким образом, только для начального периода времени справедливо перенормированное уравнение (3.7) в предложенной модели фильтрации с фазовым переходом. Для времен превышающих этот период исходная задача предполагает полученное ранее автомодельное решение. 4. Свойства решений. Скейлинговая инвариантность
Ранее указывалось, что зависимость Л от 5 связана с вариациями полного состава системы, и что зависимость эта достаточно слабая, поэтому производной ASQ можно пренебречь. Тогда знак / целиком определяется характером невозмущенного распределения насыщенности в пространстве.
Здесь также возможны два случая. Если интенсивность фазового перехода Я не меняет знак, то насыщенность so монотонно убывает в направлении от стока (фиг. 2, 3). Тогда (dsQ l)/(dr) 0 и процесс устойчив. Если интенсивность фазового перехода в некоторой подобласти Q меняет знак, то есть фазовый переход имеет обратную направленность (из фазы В в фазу А), то невозмущенное распределение насыщенности немонотонно. Тогда в подобласти $ { SQ"X)1{дг) 0 и процесс неустойчив. Это имеет место вблизи стока, когда давление станет ниже давления максимума конденсации/испарения. Направление развития возмущений определяется знаком правой части в (4.6). Таким образом, как и в задаче фильтрации без учета капиллярных сил, в системе могут возникать неустойчивости, когда после повсеместного выпадения фазы В начинают появляться зоны обратного перехода фазы В в фазу А. В этом смысле состояние покоя системы всегда устойчиво, так как невозможно, чтобы в начальный момент, когда фаза В еще не появилась, возникли зоны ее обратного перехода в фазу А. Наличие капиллярных сил принципиально не меняет характер поведения системы.
Численное моделирование фазового перехода в задачах фильтрации
Настоящая глава посвящена исследованию задачи двухфазной фильтрации, описанной выше. Уравнения фильтрации представляют собой уравнения баланса для каждой компоненты, записанные в дивергентной форме (1.1.1) - (1.1.3).
В работах [Pergament A.Kh, Koldoba А. V., Poveschenko Yu.A., Simous N.A. 2000; Radvogim Yu.B. 2001] показано, что в общем случае уравнения фильтрации могут быть представлены в виде системы уравнений адвекции для концентраций компонент и уравнения параболического типа для порового давления. Тогда, система уравнений фильтрации может быть представлена в двух видах: в виде системы уравнений баланса относительно молярных плотностей или в виде системы уравнений адвекции для молярных концентраций и уравнения параболического типа для порового давления. Таким образом, основываясь на идеях С.К. Годунова, можно построить метод предиктор - корректор для уравнений фильтрации. На этапе предиктора разрешается с помощью явной схемы уравнение переноса и на основе неявной схемы уравнение для порового давления. На этапе корректор, по известному поровому давлению определяются молярные плотности компонент, а затем осуществляется дивергентное замыкание системы посредством удовлетворения условий термодинамического равновесия.
Индексы a = A,B соответствуют жидкой и газообразной фазам; Р - поровое давление; К - общая проницаемость; с, s - молярная концентрация и насыщенность легкой компоненты (газа); п - общая молярная плотность смеси; jua- вязкость; ка - относительная проницаемость фазы а. Система (1.1)-(1.4) описывает различные состояния: однофазное (с сА, жидкое состояние или с св, газообразное состояние) и двухфазное состояние (сА с св). Причем s определяется только двухфазным состоянием. Таким образом, мы определили такую функцию в, что поток W = -Кв\/Р будет непрерывен на ударных волнах конечной интенсивности. Рассмотрим скорость D ударной волны для одномерной задачи. Обратим внимание на [/] скачок функции / на фронте волны. Будем использовать верхний индекс "к" для к-ой химической компоненты, и нижний индекс "Г для /-и фазы (/ = А, В). Здесь Vf и с) - поток фильтрации и молярная концентрация k-ой компоненты в /-й фазе двухфазной смеси; s - объемная насыщенность пор фазой В, т.е. объемная концентрация фазы В; t, Р, т, К - размерные время, давление, а также пористость и проницаемость среды; ju, к, р - динамическая вязкость, относительная фазовая проницаемость и весовая плотность компонента смеси.
В результате применения этих методов было получено следующее решение для рассмотренной выше краевой задаче: в течение начального промежутка времени формируется профиль газовой насыщенности s, а при достижении smax решение приобретает характер бегущей волны.
На фиг. 5-Ю представлена серия графиков краевой задачи фильтрации (1.17), (1.18) в переменных г и s построенных для процесса фильтрации с характерным временем /=6000 при заданных значениях потока q=2, 3, 4, 5, 6, 7 и значения насыщенности smax=\. Используя результаты численного счета, проведем детальный анализ полученного решения. Как видно из графиков представленных фиг. 5-Ю, на начальном этапе происходит формирование профиля насыщенности газовой фазы в течение времени / 10. Времени достижения максимальной насыщенности зависит от величины потока.
Итак, для времен т Яр , что соответствует согласно результатам численной схемы счета временам Г=10, 0.9, 0.34, 0.13, 0.091, 0.0037 соответственно, краевая задача имеет неавтомодельное решение, которое описывает нарастающий профиль насыщенности новой фазы. Бутузов В.Ф., 1973] и С.А. Ломова [Ломов С.А., 1968] показано, что данный пограничный слой возникает в результате решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка с множителем 3 + sy%sp x при производной. Точка =0 в этом уравнении является особой точкой, для которой, в частности, дополнительное условие теряется. В промежуточной области, согласно Ильину A.M., решение ведет себя как дробная степень логарифмической функции: s A{dns)vp, где А константа. При этом размер промежуточной области является нетривиальной дробно-степенной функцией малого параметра: A(s)= 1/2f .
