Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Описание расчетного метода 18
1. Основные уравнения и элементы конечно-разностной схемы .л.. 18
2. Численный метод построения ударных волн 28
3. Особенности организации вычислительного алгоритма и способы построения разностной сетки 38
Глава 2. Примеры расчета конических течений 48
1. Общие сведения о некоторых особенностях исследуемых течений. 48
2. Течения с границей, образованной характерис тическими поверхностями и регулярно взаимодействующими ударными волнами ..64
3. Течения с границей, образованной нерегулярно взаимодействующими ударными волнами 75
4. Обтекание треугольной пластины со сверх звуковыми передними кромками и ее комбинации с круговым конусом 88
5. Истечение однородного потока газа из области двугранного угла в однородный сверхзвуковой спутный поток 100
Глава 3. Примеры расчета пространственных течений 113
1. Обтекание плоского воздухозаборника с боковыми "щеками" при МоС>Мр 113
2. Обтекание плоского воздухозаборника с боковыми "щеками" при МоС<Мр 119
Выводы 112
Литература 130
Графический материал 141
- Особенности организации вычислительного алгоритма и способы построения разностной сетки
- Течения с границей, образованной характерис тическими поверхностями и регулярно взаимодействующими ударными волнами
- Обтекание треугольной пластины со сверх звуковыми передними кромками и ее комбинации с круговым конусом
- Обтекание плоского воздухозаборника с боковыми "щеками" при МоС<Мр
Введение к работе
Стремительный рост быстродействия и памяти ЭВМ вместе с развитием программного обеспечения, языков, сервиса и т.п. не снимает, как кажется на первый взгляд, проблемы дальнейшего совершенствования методов математического моделирования течений, возникающих при решении широкого круга задач газовой динамики. Последнее обстоятельство объясняется опережающим ростом запросов практики, в свою очередь,стимулируемых прогрессом в области вычислительной техники и математики. В таких условиях, наряду с необходимостью объединения численных методов с подходами, использующими результаты теоретического рассмотрения, крайне актуально дальнейшее совершенствование самих численных методов.
К их числу относятся получившие большое распространение методы сквозного счета, при использовании которых все разрывы в исследуемом течении размазываются, т.е. представляются в виде областей резкого изменения параметров, причем, величина этого размазывания определяется размером расчетных ячеек. Успех этих методов, особенно на начальном этапе использования, связан с тем, что созданные на их основе вычислительные алгоритмы весьма просты и позволяют без серьезной модификации решать широкий круг задач. И сейчас сквозной счет, зачастую, является единственным работоспособным инструментом для первоначального изучения сложных течений с заранее неизвестной структурой разрывов.
Однако, существенное уточнение результатов с помощью таких методов нередко требует столь значительного измельчения разностных сеток, что, даже при отсутствии ограничений по памяти, оно становится практически невозможным из-за роста времени счета.
Это связано, во-первых, с тем, что резко увеличивается погрешность в областях влияния разрывов, поскольку их размазывание, как показано в [l-2j, снижает порядок конечно-разностной аппроксимации любых схем до первого. Во-вторых, в задачах с большим количеством разрывов зоны их размазывания, где ошибки того же порядка, что и сами параметры, могут занимать значительную часть расчетной области.
В силу сказанного, ясно, что одним из действенных способов повышения эффективности численных методов является выделение, если не всех разрывов, то хотя бы тех, которые оказывают наибольшее влияние на исследуемое течение. Связанное с этим усложнение алгоритмов оправдывается не только ростом точности, но и, как правило, одновременным сокращением времени счета за счет уменьшения расчетной области, которая при сквозном счете всегда берется с запасом. Повышение точности при выделении, например,разрывов,ограничивающих возмущенную область,есть следствие не только исключения ошибок,связанных с их размазыванием, но и открывающейся при этом возможности использования сеток в большей степени адаптированных к особенностяі решаемой задачи. Хотя в рамках такого подхода часть разрывов может размазываться, снижая, по-прежнему, до первого порядок аппроксимации всей задачи, его практическая целесообразность и в этой ситуации не вызывает сомнений. Действительно, в общем случае ошибки, обусловленные независимыми причинами,почти всюду суммируются. Поэтому, при равенстве по « порядку величин » как функций характерного размера ячейки, они при выделении главных разрывов заметно уменьшаются, практически, во всем потоке. Кроме того, вне соответствующих областей влияния указанные ошибки быстро затухают, будучи, кстати, как показано в [2J, тем меньше, чем слабее размазанный разрыв. И, наконец, выделив главные разрывы и получив достаточно полную информацию об особенностях изучаемого течения, можно' при необходимости построить еще более совершенный численный алгоритм.
Цель настоящей работы состоит в создании эффективного метода и опирающегося на него комплекса программ, позволяющих с высокой точностью рассчитывать пространственные и конические течения, содержащие сложные системы разрывов. При этом повышение точности, достигается за счет выделения подобластей сравнительно простой структуры (набегающий поток, обобщенные центрированные волны [4,5] и поступательные потоки за такими волнами и косыми скачками) и аккуратного построения их границ (ударных волн и характеристических поверхностей).
Используемый принцип выделения заключается в разбиении расчетной области на подобласти, границы между которыми совпадают с разрывами, форма которых определяется в процессе решения задачи в соответствии с законами движения этих разрывов. Указанное разбиение осуществляется на основе предварительной информации об исследуемом течении, которая, как правило, всегда тлеется,либо может быть получена из более грубого расчета (например, с размазыванием разрывов), или из качественного анализа особенностей течения.
Такой подход, основные принципы которого изложены в [і,з], применяется в различных вариантах достаточно давно. Так, например, в работах [6,7J, где рассматривалось обтекание подветренной и наветренной сторон треугольной пластины со сверхзвуковыми передними кромками, расчет велся только внутри области конического течения. Некоторые результаты, полученные с использованием той же идеи при численном исследовании продольного обтекания прямого двугранного угла, были доложены на ІУ Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике [в]. Аналогичные конфигурации рассматривались также в [э-IIJ, причем в работе [10] наряду с положением ударных волн, ограничивающих область конического течения, определялось положение тангенциальных разрывов внутри нее. Выделение областей известного потока за клиньями и конусами использовалось также в задачах по обтеканию плоского [12] и осесимметричного Г13] воздухозаборников на режимах с выбитой ударной волной. Принцип приспособления вычислительного алгоритма к структуре искомого решения последовательно проводился в работах [14г-1бЗ, выполненных в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша АН СССР, где рассматривались сложные плоские [14], осесимметричные [Д5] и пространственные ["16] течения и, наряду с головной ударной волной, выделялись (в плоском и осесимметрич-ном случаях) некоторые внутренние скачки уплотнения и тангенциальные разрывы.
Используемый в данной работе конечно-разностный метод сквозного счета сверхзвуковых течений, предложенный в [17,18] и описываемый в первом параграфе первой главы, является стационарным аналогом известного метода С.К.Годунова [I9,20j и позволяет интегрировать исходную систему уравнений газовой динамики последовательно шаг за шагом во временноподобном направлении. Этот метод является явным и обеспечивает первый порядок аппроксимации на гладких решениях. Благодаря своей простоте в практической реализации и надежности в работе метод [17,18] получил широкое распространение и с его помощью было решено и решается большое число сложных газодинамических задач. Подробный обзор всех этих работ выходит за рамки настоящего исследования и поэтому в дальнейшем по ходу изложения будут упоминаться только те из них, которые касаются существа затрагиваемых вопросов.
Наиболее важной для выделения разрывов особенностью метода [17,18] является используемая им автомодельная задача о взаи- модействии двух сверхзвуковых потоков, из решения которой можно получить всю необходимую для построения разрывов информацию. Это обстоятельство позволило на всех этапах применения метода легко осуществлять выделение границ осесимметричных [і?] и пространственных [2ІІ струй, а также головной ударной волны в конических [22] и пространственных [23,24] течениях. Следует отметить, что ранее головная ударная волна выделялась в методе интегральных соотношений [2б], в различных вариантах метода характеристик [2б], в методе прямых [27j, а также в конечно-разностном методе [i28,29J, в которых без такого выделения расчет просто невозможен.
При решении поставленной в данной работе задачи создания метода, позволяющего выделять системы ударных волн, выяснилось, что используемые ранее способы их построения [і, 22-24] оказываются неработоспособными при попытках построить ударную волну с падающим на нее достаточно интенсивным скачком уплотнения. Путем численного эксперимента в работе [зо] было наглядно показано, что наблюдаемая в этих случаях неустойчивость процесса вычислений связана с отсутствием механизма сглаживания возмущений фронта разрыва, который присущ реальным ударным волнам. Для того, чтобы расширить класс задач, решаемых с выделением разрывов, в той же работе [зо] был предложен свободный от этого недостатка метод построения ударных волн, основанный на аналогии с известным из акустики принципом Гюйгенса. Для плоских нестационарных течений эта аналогия состоит в том, что фронт волны находится как огибающая построенных соответствующим образом окружностей. В стационарных пространственных сверхзвуковых течениях роль этих окружностей выполняют некоторые « конусы влияния ». Отметим, что при уменьшении интенсивности волны упомянутые окружности становятся звуковыми, а << конусы влияния » переходят в конусы Маха. Методические расчеты, выполненные в [30], показали, что предложенный метод, оказавшийся весьма простым в практической реализации, обеспечивает устойчивый счет, при достаточно произвольных начальных условиях и быстрое сглаживание всех возмущений.
Нестационарный вариант предложенного метода с успехом использовался в работах [l2,I3J, а его стационарный аналог в [її] был несколько усовершенствован с тем, чтобы иметь возможность пользоваться им в произвольной системе координат, и применен для расчета течений, возникающих при продольном обтекании конфигураций близких к прямому двугранному углу и возле треугольного крыла конечной толщины. При этом выделялись характеристические поверхности и ударные волны, ограничивающие область конического течения.
Наряду с рассматриваемым в данной работе, весьма перспективным представляется подход к выделению разрывов, получивший название метода « плавающих скачков» [31,32J. В рамках этого подхода предусматривается выделение на фиксированной сетке всех разрывов, интенсивность которых превосходит некоторое заданное пороговое значение. В настоящее время имеются примеры успешного применения этого метода для конических ГзЗІ и пространственных течений [зЛ хотя, следует отметить, что тут речь идет о выделении лишь нескольких внутренних скачков уплотнения, которое сравнительно нетрудно осуществить и на подвижных сетках.
В третьем параграфе первой главы описываются основные особенности комплекса программ, на базе которого, в рамках принятого подхода к выделению разрывов, могут конструироваться алгоритмы решения любых задач, удовлетворяющих принципиальным ограничениям используемого конечно-разностного метода, с разной степенью выделения особенностей изучаемого течения.
Основу этого комплекса, принципы построения которого близки к изложенным в [l»3j, составляют средства описания структуры расчетной области и модули для определения изменения формы границ и газодинамических параметров в выделенной подобласти на одном расчетном слое в прямоугольной, цилиндрической или сферической ' системах координат. Каждый из этих модулей снабжен постоянно пополняющимся набором программ для реализации различных типов граничных условий и законов построения разностных сеток. К числу важнейших относятся также программы для определения течения за плоскими скачками, в обобщенной центрированной волне (и за ней), ориентированными в пространстве достаточно произвольным образом. Кроме того, комплекс включает вспомогательные программы для осуществления обменов между подобластями, засылки, выборки и преобразования различных параметров и т.д. Существенной составной частью комплекса являются средства графической обработки информации, для построения линий постоянства различных газодинамических параметров.
В рассматриваемом параграфе содержатся также сведения об используемых в данной работе способах построения разностных сеток. Благодаря возможности разбивать расчетную область на совокупность простых подобластей, во всех решенных ниже задачах удалось ограничиться набором простых алгоритмов. Эти алгоритмы, начиная от простейшего, определяющего координаты внутренних узлов сетки по координатам угловых точек подобласти и кончая итерационным, относящимся к типу, описанному в ^Ij, используемые порознь и последовательно, позволяют строить приемлемые по качеству разностные сетки, адаптируемые к форме подобласти. Применение этих простых приемов даже за счет некоторого усложнения структуры расчетной области позволяет сократить необходимые для построения - II - сетки затраты времени, что особенно важно в задачах с подвижными границами, когда сетку приходится строить на каждом расчетном шаге.
Во второй главе возможности предлагаемого метода иллюстрируются примерами расчета широкого класса конических течений, представляющих практический интерес. Общая черта, почти всех этих течений состоит в том, что они возникают в результате интерференции сверхзвуковых потоков за плоскими скачками уплотнения и обобщенными центрированными волнами (и однородными потоками за ними), возникающих при обтекании конфигураций, составленных из пересекающихся плоскостей.
Во всех расчетах, выполненных в данной работе, использовалась система уравнений Эйлера, записанная в полностью дивергентном виде в прямоугольной системе координат, одна из осей которой совпадала с временно-подобной переменной. Параметры течения и форма расчетной области определились в плоскостях, перпендикулярных указанному направлению. Коническое течение получалось в результате установления по координате, которое было предложено в [2з] и теперь, используется во многих работах.
Первый параграф второй главы служит для изложения необходимой в дальнейшем, хотя,в основном,известной, информации. Здесь рассматриваются течения за пространственными плоскими скачками и обобщенными центрированными волнами* с помощью которых удается строить обтекание некоторых трехмерных конфигураций [35-38], близких к исследуемым в данной работе. Значительная часть параграфа посвящена описанию различных, в том числе регулярного и маховс-кого, типов взаимодействия плоских скачков, ограничивающих интер-ферирующие потоки.
В параграфе был выполнен анализ некоторых случаев пространственного взаимодействия плоских скачков, который позволяет предсказать, в основных чертах, структуру разрывов в исследуемом течении и правильно построить алгоритм его расчета. Для такого анализа использовалась методика, основанная на определении точек пересечения « сердцевидных кривых » (ударных поляр), предложенная и развитая в работах [39,40]. С ее помощью, для плоских скачков, возникающих при обтекании « У-образного^крыла , в широком диапазоне определяющих параметров, были получены необходимые условия перехода от регулярного взаимодействия к маховс-кому, соответствующие различным критериям [41,42], известным в плоском случае [43,44]. Некоторые из полученных зависимостей можно найти в работах [10,45,46].
В первом параграфе главы 2 содержится также система уравнений, описывающая конические течения идеального газа, аналогичная приведенной в монографии [47J, и используемые в дальнейшем уравнения характеристик этой системы. Построенные с помощью одного из таких уравнений поля направлений конических линий тока позволяют, в частности, выделять в исследуемом течении точки торможения [48-50].
Переходя к изложению содержания параграфов второй главы, посвященных конкретным задачам, отметим, что общая схема представления результатов включает демонстрацию их сходимости с уменьшением размера расчетных ячеек при одновременном сопоставлении (если это возможно) с известными точными решениями или с результатами других авторов. Важное место отводится сравнениям результатов расчета при разной степени выделения особенностей. Характер течения внутри расчетной области иллюстрируется при помощи линий постоянства различных газодинамических параметров. - ІЗ -
Во втором и третьем параграфах главы 2 исследовалась интерференция потоков, образованных двумя пересекающимися плоскостями, кромки которых, обращенные навстречу набегающему потоку, являются сверхзвуковыми и лежат во взаимноперпендикулярных плоскостях. Подобные течения возникают, например, вблизи пересечения стенок канала воздухозаборника и сопла с поперечным сечением, близким к прямоугольному, а также в местах сопряжения с фюзеляжем аэродинамических поверхностей, у основания различных пилонов, державок и т.п.
Основное внимание в первом из этих параграфов уделено взаимодействию обобщенных центрированных волн (и потоков за ними). До самого последнего времени примеры расчета такого типа течений в литературе отсутствовали. Кроме того, здесь рассмотрены случаи регулярного взаимодействия ограничивающих возмущенную область скачков уплотнения, которые ранее изучались, в основном, в рамках теории малых возмущений. Обратная задача, в которой задавалась система регулярно взаимодействующих ударных волн и строилась поверхность обтекаемого тела, решалась в [45J. Наряду с указанными, в параграфе представлены также результаты расчетов таких режимов течения, когда интерферируют скачок уплотнения и центрированная волна.
В третьем параграфе второй главы рассматриваются течения с маховским (нерегулярным) взаимодействием' ударных волн, ограничивающих возмущенную область. Такие режимы характерны для большинства практически интересных случаев пространственного неизо-энтропического торможения потока и поэтому их изучению посвящена обширная литература. За исключением ситуаций, когда, как например в [46], для течений с нерегулярным взаимодействием ударных волн удается решить обратную задачу, их теоретическое исследование ведется в основном численными методами. При этом на первых этапах, когда наиболее важно выяснить общую структуру течения, предпочтение отдавалось счету с размазыванием всех разрывов. Такие исследования были выполнены в [51,52], где рассматривалось продольное обтекание прямого двугранного угла и <с У-образного » крыла, а также в [53-58], где с помощью метода Маккормака [59J изучалось обтекание различных пространственных конфигураций, образованных пересекающимися плоскими клиньями. В дальнейшем размазывание всех разрывов использовалось в указанных задачах в основном, при исследовании вязких течений, а для уточнения полученных ранее результатов применялось выделение скачков уплотнения, ограничивающих область конического течения [8-Il] и даже тангенциальных разрывов внутри нее [ю]. Однако и сейчас продолжают появляться работы (см.например, [бо]), в которых аналогичные задачи решаются с помощью сквозного счета.
Наряду с упомянутыми задачами, в третьем параграфе второй главы приведены некоторые результаты расчета течения, которое рассматривалось в работах [б1-63]. Это течение, похожее на то, которое возникает при продольном обтекании внешней части прямого двугранного угла, обладает рядом интересных особенностей и встречается как составная часть более сложных течений [64-67J.
В четвертом параграфе главы 2 представлены результаты расчета обтекания треугольной пластины со сверхзвуковыми передними кромками, выполненные с выделением границ области конического течения, Эта задача рассматривалась во многих работах, одни из которых, как например [б8-7і], посвящены теоретическому изучению вое можных схем обтекания треугольной пластинки, а другие, как например [6,7,72-79], - численному исследованию возникающего течения.
При этом в большинстве упомянутых работ последней группы выделя- лась только головная ударная волна. Полученные в настоящей работе результаты для треугольной пластинки сравниваются с данными расчетов, выполненных в [77,79J, и эксперимента [80J«
Кроме этого в параграфе, о котором идет речь, решается задача об обтекании комбинации треугольной пластины со сверхзвуковыми передними кромками и кругового конуса. В отличие от работ L8I,82J, где ранее рассматривалась эта задача и все возникающие разрывы размазывались, в данной работе выделялась граница области конического течения. Это позволило осуществить проверку гиперзвукового закона подобия [83,84j для локальных распределений параметров течения. Результаты этой проверки опубликованы в работе [85].
В последнем, пятом параграфе второй главы решается задача о сверхзвуковом истечении газа из области двугранного угла в однородный сверхзвуковой спутный поток. Возникающее при этом коническое течение, примеры расчета которого в литературе отсутствуют, является составной частью течения при истечении газа из пространственного сопла с прямоугольным поперечным сечением и косым срезом. Анализируется структура границ области конического течения при разных степенях нерасчетности и различных соотношениях чисел Маха во взаимодействующих однородных потоках и приводятся примеры расчета таких течений с выделением не только границы, существенно возмущенной области, но и содержащихся внутри нее тангенциальных разрывов. Наряду с этим в рамках модифицированной линейной теории [86J получены и численно проверены законы подобия рассматриваемой задачи при умеренных сверхзвуковых числах Маха.
Третья глава, состоящая из двух параграфов, посвящается важной и малоизученной задаче о пространственном сверхзвуковом обтекании плоского воздухозаборника с боковыми « щеками» . Рассмат- !ривалось две конфигурации входного устройства, первое из которых было рассчитано на работу при числе Маха в набегающем потоке 3.2, а второе, взятое из [8?], - на число Маха 4. Торможение потока в этих воздухозаборниках осуществлялось плоским центральным телом, состоящим в первом случае из трех клиньев, а во втором - из двух. Пространственность течения обуславливалась отличием числа Маха в набегающем потоке от расчетного или наличием в нем определяемой углом скоса (скольжения) компоненты вектора скорости, перпендикулярной плоскости боковых « щек » , или действием обоих этих факторов.
В первом параграфе рассматривалось обтекание первого из указанных воздухозаборников, потоком с.числом Маха больше расчетного, и при отличном от нуля угле скоса. В этих условиях кромки боковых « щек » являлись сверхзвуковыми и интересующая нас возмущенная область, откуда газ попадает в канал входного устройства, заключалась между боковыми « щеками >> . Примеры расчета такого течения в литературе отсутствуют.
Во втором параграфе исследовалось обтекание второго из упомянутых воздухозаборников при числах Маха набегающего потока, меньших расчетного и различной ориентации вектора скорости в нем. Кромки боковых « щек » в этом случае были дозвуковыми и на течение на входе в канал оказывало влияние часть области вне воздухозаборника. Аналогичная задача при нулевом угле скольжения была решена в работе [87], где все разрывы, возникающие в течении, размазывались. Пример расчета с использованием метода [l7,I8j гораздо более сложной конфигурации с размазыванием всех разрывов, приведен в ^88].
В данной работе расчет велся с выделением ударной волны, ограничивающей область пространственного течения и на первом его этапе определялось коническое течение в областях, примыкающих к боковым «щекам » . При сверхзвуковом обтекании кромок боковых «щек » дополнительно выделялись возникающие при их обтекании области центрированной волны (и потока за ней) и потока за плоским скачком.
Как и ранее, в каждом из параграфов третьей главы обсуждаются особенности изучаемого течения и расчетного алгоритма, представлены результаты методических расчетов, показаны линии постоянства различных газодинамических параметров в сечении входа в канал воздухозаборника. По результатам расчетов построены коэффициенты расхода и дополнительного сопротивления, а также осред-ненные по сечению входа числа Маха и полные давления в зависимости от невозмущенного числа Маха и угла скоса. Везде, где это оказывается возможным, приведены результаты соответствующего двумерного расчета и данные работы [87J. Кроме того, при дозвуковом режиме обтекания кромок боковых « щек » полученные результаты сравниваются с результатами расчета с размазыванием всех разрывов.
Результаты, представленные в диссертации, нашли отражение также в работе [89] и в тезисах докладов на всесоюзных семинарах и школах [90J . Кроме того они неоднократно докладывались на различных внутренних семинарах и научно-технических конференциях.
Автор пользуется случаем, чтобы подчеркнуть решающее влияние А.Н.Крайко на круг вопросов, затронутых в диссертации, и поблагодарить его за постоянное внимание и поддержку. Очень полезным было сотрудничество с Н.И.Тилляевой, совместная работа с которой лежит в основе предложенного метода построения ударных волн. Наглядное представление полученных результатов стало возможным благодаря использованию программ построения изолиний, составленных В.А.Широносовым. В графическом оформлении диссертации принимали участие В.А.Вострецова и Г.В.Егорова, которым автор выражает признательность.
Особенности организации вычислительного алгоритма и способы построения разностной сетки
Кроме этого в параграфе, о котором идет речь, решается задача об обтекании комбинации треугольной пластины со сверхзвуковыми передними кромками и кругового конуса. В отличие от работ , где ранее рассматривалась эта задача и все возникающие разрывы размазывались, в данной работе выделялась граница области конического течения. Это позволило осуществить проверку гиперзвукового закона подобия [83,84j для локальных распределений параметров течения. Результаты этой проверки опубликованы в работе [85].
В последнем, пятом параграфе второй главы решается задача о сверхзвуковом истечении газа из области двугранного угла в однородный сверхзвуковой спутный поток. Возникающее при этом коническое течение, примеры расчета которого в литературе отсутствуют, является составной частью течения при истечении газа из пространственного сопла с прямоугольным поперечным сечением и косым срезом. Анализируется структура границ области конического течения при разных степенях нерасчетности и различных соотношениях чисел Маха во взаимодействующих однородных потоках и приводятся примеры расчета таких течений с выделением не только границы, существенно возмущенной области, но и содержащихся внутри нее тангенциальных разрывов. Наряду с этим в рамках модифицированной линейной теории [86J получены и численно проверены законы подобия рассматриваемой задачи при умеренных сверхзвуковых числах Маха.
Третья глава, состоящая из двух параграфов, посвящается важной и малоизученной задаче о пространственном сверхзвуковом обтекании плоского воздухозаборника с боковыми « щеками» . Рассматривалось две конфигурации входного устройства, первое из которых было рассчитано на работу при числе Маха в набегающем потоке 3.2, а второе, взятое из [8?], - на число Маха 4. Торможение потока в этих воздухозаборниках осуществлялось плоским центральным телом, состоящим в первом случае из трех клиньев, а во втором - из двух. Пространственность течения обуславливалась отличием числа Маха в набегающем потоке от расчетного или наличием в нем определяемой углом скоса (скольжения) компоненты вектора скорости, перпендикулярной плоскости боковых « щек » , или действием обоих этих факторов.
В первом параграфе рассматривалось обтекание первого из указанных воздухозаборников, потоком с.числом Маха больше расчетного, и при отличном от нуля угле скоса. В этих условиях кромки боковых « щек » являлись сверхзвуковыми и интересующая нас возмущенная область, откуда газ попадает в канал входного устройства, заключалась между боковыми « щеками . Примеры расчета такого течения в литературе отсутствуют.
Во втором параграфе исследовалось обтекание второго из упомянутых воздухозаборников при числах Маха набегающего потока, меньших расчетного и различной ориентации вектора скорости в нем. Кромки боковых « щек » в этом случае были дозвуковыми и на течение на входе в канал оказывало влияние часть области вне воздухозаборника. Аналогичная задача при нулевом угле скольжения была решена в работе [87], где все разрывы, возникающие в течении, размазывались. Пример расчета с использованием метода [l7,I8j гораздо более сложной конфигурации с размазыванием всех разрывов, приведен в 88].
В данной работе расчет велся с выделением ударной волны, ограничивающей область пространственного течения и на первом его этапе определялось коническое течение в областях, примыкающих к боковым «щекам » . При сверхзвуковом обтекании кромок боковых «щек » дополнительно выделялись возникающие при их обтекании области центрированной волны (и потока за ней) и потока за плоским скачком.
Как и ранее, в каждом из параграфов третьей главы обсуждаются особенности изучаемого течения и расчетного алгоритма, представлены результаты методических расчетов, показаны линии постоянства различных газодинамических параметров в сечении входа в канал воздухозаборника. По результатам расчетов построены коэффициенты расхода и дополнительного сопротивления, а также осред-ненные по сечению входа числа Маха и полные давления в зависимости от невозмущенного числа Маха и угла скоса. Везде, где это оказывается возможным, приведены результаты соответствующего двумерного расчета и данные работы [87J. Кроме того, при дозвуковом режиме обтекания кромок боковых « щек » полученные результаты сравниваются с результатами расчета с размазыванием всех разрывов.
Результаты, представленные в диссертации, нашли отражение также в работе [89] и в тезисах докладов на всесоюзных семинарах и школах [90J . Кроме того они неоднократно докладывались на различных внутренних семинарах и научно-технических конференциях.
Автор пользуется случаем, чтобы подчеркнуть решающее влияние А.Н.Крайко на круг вопросов, затронутых в диссертации, и поблагодарить его за постоянное внимание и поддержку. Очень полезным было сотрудничество с Н.И.Тилляевой, совместная работа с которой лежит в основе предложенного метода построения ударных волн. Наглядное представление полученных результатов стало возможным благодаря использованию программ построения изолиний, составленных В.А.Широносовым. В графическом оформлении диссертации принимали участие В.А.Вострецова и Г.В.Егорова, которым автор выражает признательность.
Течения с границей, образованной характерис тическими поверхностями и регулярно взаимодействующими ударными волнами
Для выяснения причин неустойчивости, возникающей при счете разрыва, в работе [зо] был поставлен численный эксперимент. Рассматривалось обтекание плоского тела без протока, контур которого изображен на фиг.5,а в плоскости ХЦ линиями со штриховкой. Тонкими линиями здесь показана разностная сетка, построенная в расчетной области, ограниченной контуром тела, головной ударной волной, изображенной двойной линией, отрезком оси X и двумя граничиными сеточными линиями.
Расчет велся с использованием метода С.К.Годунова [l9,20J. Стационарное распределение параметров вырабатывалось в процессе установления по времени при начальных и граничных условиях, аналогичных описанным в ГI2J Деформация разностной сетки определялась движением ударной волны, способ построения которой в покоящемся газе поясняется на фиг.6. Здесь в той же плоскости физических переменных, что и на фиг.5,а, ломаная Оос представляет собой участок ударной волны, слева от которой газ покоится. Величина отрезка во , определяющая смещение внутренней узловой точки о за время Ъ , находится как полусумма отрезков 00/ и "6 . Точки Р/ и & лежат на пересечении « направляющей» линии, показанной штрих-пунктиром, и продолжений отрезков об и ьс t смещенных как целое по нормали к самим себе на величину ulsJj&) і =1,2. Для определения скоростей прямолинейных участков ударной волны JJI решается задача о распаде произвольного разрыва с параметрами из невозмущенного потока и из ячеек, примыкающих.
После получения установившегося распределения параметров, форма ударной волны возмущалась и она заменялась ломаной с немонотонным изменением угла наклона. Эта ломаная помечена на фиг.5,б цифрой 0 . Ударным волнам, получившимся на разных временных слоях, приписаны цифры, указывающие номер слоя. Можно видеть, что при продолжении счета скорость отдельных пиков все более увеличивается.
Таким образом, использованная схема построения скачка в данном случае не обеспечивает его « самостабилизации » - свойства, которое присуще действительным ударным волнам. Природа этого свойства достаточно очевидна и обусловлена тем, что бугорки волны, как правило, движутся медленнее выемок.
Поскольку попытки модернизации описанного выше алгоритма и применение близких по идее схем построения разрывов не привели к коренному изменению положения, в работе [ 30] было решено воспользоваться аналогией с известным принципом Гюйгенса. В соответствии с этим принципом каждая точка фронта акустической волны в некоторый момент времени рассматривается как источник возмущений, распространяющихся относительно газа со скоростью звука Я, во всех направлениях и к тому же сносящихся со скоростью невозмущенного потока 0 . При построении разрывов конечной интенсивности роль скорости звука играет определяемая из задачи о распаде произвольного разрыва скорость прямолинейных участков ударной волны.
Процедура определения положения внутренних узловых точек волны с использованием указанной аналогии также иллюстрируется на фиг.6. При новом способе построения прежде всего находятся точки ъА и t , в которых «направляющая» пересекается с фронтами возмущений от ОС и Q& . Эти фронты, показанные штриховыми линиями, состоят в данном случае из прямолинейных участков CtoDa и Ос Со , смещенных относительно СХЬ и (с на величину А/ и Аг , и дуг касающихся их в точках Ct0 f о. , о0 , С0 окружностей с центрами в tf, о и С Положение точки о на «новом» расчетном слое определяет та из точек vt или Ьг , которая больше смещена в направлении невозмущенной области. Отметим, что при наличии в этой области отличного от нуля вектора скорости в ,; bf и Ьг определяются после смещения каждой точки фронтов, изображенных штриховыми линиями, на величину Я
Самостабилизирующие свойства описанного алгоритма демонстрируются на ФИГ. 5Дгде по положению ударной волны на разных временных слоях видно, что в отличии от ситуации на фиг.5,6, начальное пилообразное возмущение быстро сглаживается.
Опыт применения этого алгоритма в нестационарных течениях, показал, что он обеспечивает устойчивый счет с выделением разрывов при достаточно произвольных начальных условиях и при воздействии на выделяемую ударную волну интенсивных скачков уплотнения. С его помощью были успешно решены задачи об обтекании плоского [l2J и осесимметричного [із] воздухозаборника на режимах с выбитой ударной волной.
Далее излагается метод численного построения ударных волн, являющийся обобщением описанного выше метода, основанного на аналогии с принципом Гюйгенса, на случай стационарных сверхзвуковых пространственных течений. В этом метода, также предложенном и апробированном в работе [зо], для нахождения фронтов слабых разрывов вместо упоминавшихся звуковых окружностей используются конусы Маха, а для разрывов конечной интенсивности - построенные специальным образом « конусы влияния ».
Обтекание треугольной пластины со сверх звуковыми передними кромками и ее комбинации с круговым конусом
В настоящей главе рассматриваются трехмерные сверхзвуковые течения идеального газа, относящиеся к классу конических. Напомним, что такие течения характеризуются отсутствием градиентов газодинамических параметров вдоль лучей, проведенных из некоторого общего центра, называемого полюсом.
Практическая целесообразность изучения конических течений очевидна, поскольку они непосредственно используются во многих технических приложениях. Кроме того, определение такого течения часто является начальным этапом решения более сложной газодинамической задачи. В теоретическом плане значение конических течений состоит, в частности, в том, что они, сохраняя многие важные свойства пространственных течений, благодаря сокращению числа независимых переменных, более доступны для исследования.
В последующих параграфах речь пойдет о течениях, возникающих при обтекании различных вариантов пространственной конфигурации, изображенной на фиг.II. Она образована двумя пересекающимися полубеоконечными клиньями % и W& с прямолинейными передними кромками Cf и 4 , пересекающимися между собой в точке О , называемой вершиной тела. Поверхности клиньев образованы двумя парами проходящих через 1ч и 4 полуплоскостей А, Р/ ж Рг, Рг , возмущающих набегающий поток с вектором скорости IT.
Для удобства описания этой конфигурации проведем через ({ и (г плоскости S/ и S и совместим с линией их пересечения ось л некоторой прямоугольной системы координат xtfz с началом в точке 0, Обозначим через // и Ґг углы, которые образуют с осью линии пересечения Е, и Ег с плоскостью х =0, . а через %( и Х2 -углы, между этими линиями и передними кромками // и U Положение плоскостей, образующих стороны клиньев W и Ws , будем задавать углами h, h, h,h, которые образуют с осью Л линии пересечения этих плоскостей с плоскостями, проходящими через ось х и перпендикулярными ZJ/ и 2г. Ограничимся далее такими режимами течения, когда каждая из сторон упомянутых клиньев, рассматриваемых изолировано, обтекается с образованием присоединенных к их передним кромкам скачков уплотнения или обобщенных центрированных волн.
Остановимся несколько подробнее на этих простейших пространственных течениях, поскольку, в указанных условиях, они могут занимать существенную часть возмущенной области и в значительной сте пени определяют характер течения в областях интерференции, примыка ющих к линиям пересечения К и Ws. С этой целью обратимся к фиг.12, а, где показан безграничный клин Wt , обтекаемый со скосом однородным сверхзвуковым потоком с числом Маха М , ориентированным по вектору 6. Клин образован полуплоскостями Pi и Р/ , проходящими через прямую I/ , называемую передней кромкой, направ ляющий вектор которой обозначим через 7Г. Как известно, для определения течения возле такого тела, достаточно решить плоскую задачу об обтекании клина, образованного линиями пересечения Pi и /? с плоскостью Hi , перпендикулярной передней кромке, потоком, лежащим в той же плоскости, с числом Маха Мм , равным
При этом компонента скорости, параллельная {i , остается постоянной во всей возмущенной области. Если в плоскости /V/ , показанной на фиг.12,б, утлы векторов скорости в набегающем потоке и на сторонах клина с некоторым фиксированным направлением обозначить через #/, й и О/ , то обтекание этих сторон будет независимым, при условии, что передняя кромка является сверхзвуковой, т.е. MfN L и max (Qi -$7 QrQi /меньше предельного при данном значении Мін утле поворота потока в скачке, присоединенном к вершине клина, В ситуации, изображенной на фиг.12, эти условия предполагаются выполненными и сторона клина, образованная плоскостью А обтекается со скачкомуплотнения St , а сторона Р/ - с образованием центрированной волны, заключенной между характеристическими плоское тями Cf и Cf. На фиг. 12,б, где для этих разрывов сохранены те же обозначения, скачок показан двойной линией, характеристики -одинарными. Штриховка нанесена возле линий, лежащих на А и Л, Тонкие линии со стрелкой указывают направление тока в областях невозмущенного потока, потока за скачком и за центрированной волной, обозначенных соответственно через /, / и / . Стрелки на «5,Си С указывают направление проекции вектора на эти линии, а через Ci(t/ обозначена проекция вектора скорости "5 на плоскость НІ.
Статическое давление р и число Маха Мы за скачком уплотнения можно определить из приведенных ниже простых формул, следующих из соотношений на ударных волнах (1.1.5)-(1.1.8), где: В - угол вектора скорости в плоскости, нормальной передней кромке, индекс I относится к состоянию газа в невозмущенной области. Формула (2.1.2) при фиксированных значениях Мм и Pi определяет в плоскости переменных 9 , Р кривую Н , показанную на фиг.12,в, и называемую « сердцевидной » или просто (ударной) полярой. Поскольку угол поворота вектора скорости в скачке , на фиг.12,а,б меньше предельного, прямая Є=Є, пересекает Nt в двух точках (темной и светлой), соответствующих скачкам слабого и сильного семейства. Стрелкой на /// показан переход через скачок $4 . Особенность пространственных течений состоит в том, что при достаточно большой компоненте скорости вдоль передней кромки клина, полная скорость за скачком может оставаться сверхзвуковой в обоих случаях и, таким образом, могут, вообще говоря, существовать два режима обтекания с присоединенным скачком,уплотнения. В данной работе во всех течениях, где приходилось выделять область однородного потока за плоским скачком уплотнения,считалось что он является скачком слабого семейства.
Обтекание плоского воздухозаборника с боковыми "щеками" при МоС<Мр
Рассмотрим обтекание конфигурации, изображенной на фиг.II, потоком, ориентированным по оси Л с числом Маха М при условии, что угол 1=90 и передние кромки С и 4 являются сверхзвуковыми ( Мо со Лі і9 і =1,2). Ограничимся частью возмущенной области, заключенной между плоскостями Pi и Рг , пересекающимися по линии и , и предположим, что эти плоскости обтекаются с образованием обобщенных центрированных волн (углы // и 4 отрицательны) и конус Маха невозмущенного потока с вершиной в точке 0 (фиг.II) заключен между А , Рг и плоскостью, проведенной через w и ці , что возможно при выполнении следующего неравенства: для этих условий структура течения в исследуемой части возмущенной области показана схематически на фиг.18,а. Обобщенные центрированные волны, заключены здесь между характеристическими плоскостями С/ , С, и Сг , С& , проходящими через ч и С& , а между Cf , Р/ ж Сг , Рг поток однороден. Коническое течение отделено от остальной части возмущенной области поверхностями разрыва 4 и 4 , проходящими через линию itz , вдоль которой пересекаются С, и Сг . Прямыми со стрелками на Р/ и Р2 показаны линии тока, направленные при положительной стреловидности передних кромок к линии to.
В переменных , П на фиг.18, б плоскостям Pt и Рг соответствуют прямые со штриховкой, передним кромкам - точки Лі и 7іг , а линиям ъ» и - точки о ж Ъ . Границей конического течения является здесь контур оагСгЬсм , к участкам которого примыкают обобщенные центрированные волны, заключенные между характеристиками пго , лгСг и л,о , ЦЯ, , а к участкам с/гСг и CfCif - однородные потоки за этими волнами. Как показывают результаты расчетов, представленные ниже, при достаточно больших по абсолютной величине значениях ч и 4 , область конически дозвукового течения внутри odzCzOCfdf сосредоточена в окрестности точки 0. Примерное положение границы этой области, на которой Мс =1,показано на фиг.18,б штриховой линией. Вне области конического течения всегда Мс 1. Конические линии тока (прямые со стрелками) в невозмущенном потоке и в однородных потоках за центрированными волнами сходятся к началу координат и к точкам 0/ и Ог , лежащим на продолжении отрезков Оаг и do.
Если углы // и h положительны и плоские скачки «5/ и ог , возникающие при обтекании Pi и Рг , взаимодействуют между собой регулярно, структура возмущенного течения, показанная на фиг.19,а, имеет много общего с описанной выше. Область конической течения ограничена поверхностями разрыва 4 и Ог , по-прежнему проходящими через линию ч& , вдоль которой пересекаются / и - . Если рассматриваемая конфигурация несимметрична, то в області конического течения существует тангенциальный разрыв Т , разделяющий газ, прошедший через скачки «/ , f и 4? «S . В ЭТОЙ случае при положительной стреловидности линии тока на Pi и Рг , отмеченные стрелками, направлены от линии l0 .
На плоскости , п (фиг.19,б) участкам плоских скачков соответствуют двойные отрезки, пересекающиеся в точке о . Коническое течение ограничено здесь контуром ОСІМ , к участкам и od4 которого примыкает однородный поток за 5/ и Se . Граница между конически до- и сверхзвуковыми зонами, изображенная внутри oazoc[f штриховой линией, проходит вблизи точки о и рвется на тангенциальном разрыве $о , Течения со структурой возмущенной области, показанной на фиг.18,19, рассчитывались при помощи единого вычислительного алго ритма, поясняемого на фиг.20,а. Область, называемая расчетной и обозначенная через Во , где параметры определялись с использова нием конечно-разностного метода [l7,I8J, была заключена между по верхностями ft и Qz . Эти поверхности, форма которых определя лась в процессе расчета, проходили через линию пересечения фикси рованных плоскостей Qi и Qz , проведенных через передние кромки плоскостей А и гг . В качестве ц/ и Цг выбирались граничные характеристические плоскости Сі и Св (фиг.18,а) или скачки уплотнения 5/ и S& (фиг.19,а). Параметры потока в областях, заключенных между , и обознача емых через Д и Д , определялись с использованием конечных соотношений для центрированной волны или скачка уплотнения, приведе] ных в предыдущем параграфе. Процедура построения поверхностей Q{ и Qz , рассматриваемы: как ударные волны, поясняется на фиг.20,а, где четырехугольники ос/г осі/ и OGfeba, представляют собой границы области So в «старом» и «новом» расчетных сечениях. Форма участков аго ж vctf , узлы которых изображены светлыми точками, определялась с помощью метода, описанного в 2 главы I. При этом узлы на с(го и Ьа, (темные точки) смещались по отмеченным стрелками траекториям, лежащим в « направляющих » плоскостях, проходящих через рассматриваемый узел и одну из передних кромок. Точки и О смещались по линиям пересечения плоскостей Qf , Qz и Pt , Рг и узлы на участках границы ос/г и dfO расставлялись равномерно между соответствующими угловыми точками.
На фиг.20,б в плоскости переменных , П для границ области Do в соседних расчетных сечениях сохранены обозначения фиг.20,а. Точки о и О , а также о и о , здесь,совпадают, а траектории узлов подвижной части границы, отмеченные стрелками, лежат на прямых, проходящих через точки, соответствующие передним кромкам. Границами областей flf и ])г с невозмущенным потоком служат прямые, пересекающие в точке о . Тонкие линии внутри od2Daf дают представление о разностной сетке, для построения которой применялась формула (I.3.I) и, при необходимости, описанный в 3 главы I итерационный алгоритм.
